График доорх талбайг хэрхэн олох вэ. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

16.10.2019

Тодорхой интегралын геометрийн утгыг шинжлэхэд зориулагдсан өмнөх хэсэгт бид талбайг тооцоолох хэд хэдэн томъёог хүлээн авсан. муруй трапец:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба сөрөг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба эерэг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b ].

Эдгээр томъёог шийдвэрлэхэд тохиромжтой энгийн даалгаварууд. Бодит байдал дээр бид илүү төвөгтэй тоонуудтай ажиллах шаардлагатай болдог. Үүнтэй холбогдуулан бид энэ хэсгийг тодорхой хэлбэрээр функцээр хязгаарлагдсан тоонуудын талбайг тооцоолох алгоритмын шинжилгээнд зориулах болно. y = f(x) эсвэл x = g(y) гэх мэт.

Теорем

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд [ a ; b ] , ба f 1 (x) ≤ f 2 (x) нь [ a -аас ямар ч х утгын хувьд; b ]. Дараа нь x = a, x = b, y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) шугамаар хязгаарлагдсан G зургийн талбайг тооцоолох томъёо нь S (G) = ∫ хэлбэртэй болно. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Үүнтэй төстэй томъёог y = c, y = d, x = g 1 (y) ба x = g 2 (y) шугамаар хязгаарласан зургийн талбайд хэрэглэнэ: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Баталгаа

Томъёо хүчинтэй байх гурван тохиолдлыг авч үзье.

Эхний тохиолдолд талбайн нэмэлт шинж чанарыг харгалзан үзэхэд анхны зураг G ба муруйн шугаман трапецын G1 талбайн нийлбэр нь G2 зургийн талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь тийм гэсэн үг

Тиймээс S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Бид тодорхой интегралын гурав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

Хоёр дахь тохиолдолд тэгш байдал нь үнэн: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

График дүрслэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

Хэрэв функц хоёулаа эерэг биш бол бид дараахийг авна: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . График дүрс нь дараах байдлаар харагдах болно.

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) нь O x тэнхлэгтэй огтлолцох ерөнхий тохиолдлыг авч үзье.

Бид огтлолцох цэгүүдийг x i, i = 1, 2, гэж тэмдэглэнэ. . . , n - 1. Эдгээр цэгүүд сегментийг хуваадаг [a; b ] n хэсэгт x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, энд α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Тиймээс,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Бид тодорхой интегралын тав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

График дээрх ерөнхий тохиолдлыг харуулъя.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x томьёог батлагдсан гэж үзэж болно.

Одоо y = f (x) ба x = g (y) шугамаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолох жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Бид график байгуулах замаар жишээнүүдийн аль нэгийг авч үзэх болно. Зураг нь биднийг төлөөлөх боломжийг олгоно нарийн төвөгтэй тоохэрхэн илүү хослуулах вэ энгийн тоонууд. График, тэдгээрийн дээр зураг зурах нь танд хэцүү бол та үндсэн үндсэн функц, функцийн графикийг геометрээр хувиргах, мөн функцийг судалж байхдаа график байгуулах хэсгийг судалж болно.

Жишээ 1

y = - x 2 + 6 x - 5 парабол ба y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх шугамуудыг декартын координатын системээр зуръя.

Сегмент дээр [1; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 параболын график нь y = - 1 3 x - 1 2 шулуунаас дээш байрлана. Үүнтэй холбогдуулан хариултыг авахын тулд бид өмнө нь олж авсан томъёо, түүнчлэн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргыг ашигладаг.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Хариулт: S(G) = 13

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

IN энэ тохиолдолдбидэнд x тэнхлэгтэй параллель ганц шулуун шугам байна. Энэ нь x = 7 байна. Энэ нь биднээс интеграцийн хоёр дахь хязгаарыг өөрсдөө олохыг шаарддаг.

График байгуулж, түүн дээр асуудлын тайлбарт өгөгдсөн шугамуудыг зуръя.

Графикийг нүдэн дээр нь тавьснаар интегралын доод хязгаар нь y = x шулуун шугам ба хагас парабол y = x + 2-ийн графын огтлолцох цэгийн абсцисса байх болно гэдгийг хялбархан тодорхойлж чадна. Абсциссыг олохын тулд бид тэгшитгэлийг ашиглана:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Уулзалтын цэгийн абсцисса нь x = 2 байна.

Үүнд бид таны анхаарлыг хандуулж байна ерөнхий жишээзураг дээр y = x + 2, y = x шугамууд (2; 2) цэг дээр огтлолцдог тул ийм нарийн тооцоо хийх шаардлагагүй мэт санагдаж магадгүй юм. Бид үүнийг энд авчирсан нарийвчилсан шийдэлзөвхөн олон байгаа учраас л хүнд хэцүү тохиолдлуудшийдэл нь тийм ч тодорхой биш байж магадгүй. Энэ нь шугамын огтлолцлын координатыг аналитик аргаар тооцоолох нь үргэлж дээр гэсэн үг юм.

Интервал дээр [ 2 ; 7] y = x функцийн график нь у = x + 2 функцийн график дээр байрлана. Талбайг тооцоолохын тулд томъёог ашиглацгаая.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Хариулт: S (G) = 59 6

Жишээ 3

y = 1 x ба y = - x 2 + 4 x - 2 функцуудын графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээр мөрүүдийг зуръя.

Интеграцийн хязгаарыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид 1 x ба - x 2 + 4 x - 2 илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх замаар шугамуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Хэрэв x тэг биш бол 1 x = - x 2 + 4 x - 2 тэгшитгэл нь бүхэл тооны коэффициент бүхий 3-р зэргийн тэгшитгэл - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0-тэй тэнцүү болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын талаарх таны санах ойг сэргээхийн тулд бид "Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" хэсгийг үзэж болно.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 илэрхийлэлийг x - 1 хоёрт хуваавал: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x) болно. - 1) = 0

Бид x 2 - 3 x - 1 = 0 тэгшитгэлээс үлдсэн үндсийг олж болно.

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Бид x ∈ 1 интервалыг олсон; 3 + 13 2, үүнд G зураг цэнхэр дээр, улаан шугамын доор байна. Энэ нь зургийн талбайг тодорхойлоход тусална:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Хариулт: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Жишээ 4

y = x 3, y = - log 2 x + 1 муруй ба абсцисса тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх бүх мөрийг зуръя. y = - log 2 x + 1 функцийн графикийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлуулж, нэг нэгж дээш хөдөлгөвөл y = log 2 x графикаас авч болно. Х тэнхлэгийн тэгшитгэл нь у = 0 байна.

Шугамануудын огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэе.

Зурагнаас харахад у = x 3 ба у = 0 функцуудын графикууд (0; 0) цэг дээр огтлолцож байна. Энэ нь x = 0 нь x 3 = 0 тэгшитгэлийн цорын ганц бодит язгуур учир болдог.

x = 2 нь тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур - log 2 x + 1 = 0 тул y = - log 2 x + 1 ба y = 0 функцуудын графикууд (2; 0) цэг дээр огтлолцоно.

x = 1 нь x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм. Үүнтэй холбогдуулан y = x 3 ба y = - log 2 x + 1 функцуудын графикууд (1; 1) цэг дээр огтлолцоно. Сүүлийн мэдэгдэл нь тодорхой биш байж болох ч x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэл нь нэгээс олон язгууртай байж болохгүй, учир нь y = x 3 функц хатуу нэмэгдэж, y = - log 2 x + 1 функц нь хатуу бууруулж байна.

Цаашдын шийдэл нь хэд хэдэн сонголтыг агуулдаг.

Сонголт №1

Бид G дүрсийг x тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хоёр муруй шугаман трапецын нийлбэр гэж төсөөлж болно, эхнийх нь доор байрладаг. дунд шугамх ∈ 0 сегмент дээр; 1, хоёр дахь нь x ∈ 1 сегмент дээрх улаан шугамын доор байна; 2. Энэ нь талбай нь S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Сонголт №2

Зураг G-ийг хоёр зургийн зөрүүгээр дүрсэлж болох бөгөөд эхнийх нь x тэнхлэгээс дээш, x ∈ 0 сегмент дээрх цэнхэр шугамын доор байрладаг; 2, хоёр дахь нь х ∈ 1 сегмент дээрх улаан ба цэнхэр шугамуудын хооронд; 2. Энэ нь бидэнд талбайг дараах байдлаар олох боломжийг олгоно.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Энэ тохиолдолд талбайг олохын тулд S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y хэлбэрийн томъёог ашиглах шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, дүрсийг холбосон шугамуудыг y аргументийн функцээр илэрхийлж болно.

y = x 3 ба - log 2 x + 1 тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулан бодъё.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Бид шаардлагатай талбайг авдаг:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Хариулт: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Жишээ 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Улаан шугамаар бид y = x функцээр тодорхойлогдсон шугамыг зурна. Бид y = - 1 2 x + 4 шугамыг цэнхэр өнгөөр, y = 2 3 x - 3 шугамыг хараар зурдаг.

Уулзалтын цэгүүдийг тэмдэглэе.

y = x ба y = - 1 2 x + 4 функцуудын графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё.

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Шалгана уу: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 биш Тэгшитгэлийн шийдэл x 2 = мөн үү? 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (4; 2) огтлолцлын цэг i y = x ба y = - 1 2 x + 4

y = x ба y = 2 3 x - 3 функцуудын графикуудын огтлолцох цэгийг олъё.

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Шалгана уу: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 нь тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (9 ; 3) цэг a s y = x ба у = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй

y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3 шулуунуудын огтлолцох цэгийг олъё:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) огтлолцлын цэг y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3

Арга №1

Хүссэн зургийн талбайг бие даасан дүрсүүдийн талбайн нийлбэр гэж төсөөлөөд үз дээ.

Дараа нь зургийн талбай нь:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Арга №2

Анхны зургийн талбайг бусад хоёр зургийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Дараа нь бид x-тэй харьцуулахад шугамын тэгшитгэлийг шийдэж, зөвхөн үүний дараа бид зургийн талбайг тооцоолох томъёог ашиглана.

y = x ⇒ x = y 2 улаан шугам y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 хар шугам y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Тэгэхээр талбай нь:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь ижил байна.

Хариулт: S (G) = 11 3

Үр дүн

Өгөгдсөн шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг олохын тулд бид хавтгай дээр шугам барьж, тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг олж, талбайг олох томъёог ашиглах хэрэгтэй. Энэ хэсэгт бид даалгаврын хамгийн түгээмэл хувилбаруудыг авч үзсэн.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Бид давхар интегралыг тооцоолох бодит үйл явцыг авч үзэж, түүний геометрийн утгатай танилцаж эхэлдэг.

Тоогоор давхар интеграл талбайтай тэнцүүхавтгай зураг (интеграцийн бүс). Энэ хамгийн энгийн хэлбэрхоёр хувьсагчийн функц нэгтэй тэнцүү байх үед давхар интеграл: .

Эхлээд асуудлыг авч үзье ерөнхий үзэл. Одоо та бүх зүйл үнэхээр энгийн болохыг гайхах болно! Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолъё. Тодорхой байхын тулд бид сегмент дээр гэж таамаглаж байна. Энэ зургийн талбай нь тоон хувьд тэнцүү байна:

Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Талбайг туулах эхний аргыг сонгоцгооё:

Тиймээс:

Тэгээд тэр даруй чухал техникийн техник: давтагдсан интегралуудыг тусад нь тооцож болно. Эхлээд дотоод интеграл, дараа нь гаднах интеграл. Энэ аргаБи үүнийг энэ сэдвээр эхлэгчдэд зөвлөж байна.

1) Дотоод интегралыг тооцоод, интеграл нь "y" хувьсагч дээр явагдана.

Энд тодорхойгүй интеграл нь хамгийн энгийн бөгөөд дараа нь энгийн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг бөгөөд цорын ганц ялгаа нь: Интеграцийн хязгаар нь тоо биш, харин функцууд юм. Эхлээд бид дээд хязгаарыг "y" (эсрэг үүсмэл функц), дараа нь доод хязгаарыг орлуулсан.

2) Эхний догол мөрөнд олж авсан үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулах ёстой:

Бүхэл бүтэн шийдлийн илүү нягт дүрслэл дараах байдалтай байна.

Үр дүнгийн томъёо - яг тийм ажлын томъёо"энгийн" тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох! Хичээлээ үзээрэй Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох, тэр алхам бүрт байна!

Тэр бол, давхар интеграл ашиглан талбайг тооцоолох асуудал нэг их ялгаатай биштодорхой интеграл ашиглан талбайг олох бодлогоос!Үнэн хэрэгтээ энэ нь ижил зүйл юм!

Үүний дагуу ямар ч бэрхшээл гарах ёсгүй! Та энэ даалгавартай олон удаа тулгарч байсан тул би тийм ч олон жишээ харахгүй.

Жишээ 9

Шийдэл:Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Бид талбайг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Эхний догол мөрөнд маш нарийвчилсан тайлбарыг өгсөн тул би энэ газрыг хэрхэн яаж туулах талаар энд цааш ярихгүй.

Тиймээс:

Өмнө дурьдсанчлан, эхлэгчдэд давтагдсан интегралыг тусад нь тооцоолох нь дээр бөгөөд би ижил аргыг баримтална.

1) Нэгдүгээрт, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан бид дотоод интегралыг авч үздэг.

2) Эхний алхамд олж авсан үр дүнг гадаад интегралд орлуулна.

2-р цэг нь тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох явдал юм.

Хариулт:

Энэ бол ийм тэнэг, гэнэн ажил юм.

Бие даасан шийдлийн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 10

Давхар интеграл ашиглан , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн дүрсийн талбайг тооцоол.

Ойролцоогоор дээжХичээлийн төгсгөлд шийдлийг эцэслэх.

9-10-р жишээн дээр, сониуч уншигчид талбайг туулах эхний аргыг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг. Хэрэв та алдаа гаргахгүй бол мэдээжийн хэрэг та ижил талбайн утгыг авах болно.

Гэхдээ зарим тохиолдолд энэ газрыг туулах хоёрдахь арга нь илүү үр дүнтэй байдаг бөгөөд залуу нердийн сургалтын төгсгөлд энэ сэдвээр хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 11

Давхар интеграл ашиглан шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгайн дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл:Хажуу талд нь байрлах хачирхалтай хоёр параболыг бид тэсэн ядан хүлээж байна. Инээмсэглэх шаардлагагүй; ижил төстэй зүйлүүд олон интегралд ихэвчлэн тохиолддог.

Зураг зурах хамгийн хялбар арга юу вэ?

Параболыг хоёр функц хэлбэрээр төсөөлье.
– дээд салбар ба – доод салбар.

Үүний нэгэн адил параболыг дээд ба доод хэлбэрээр төсөөлөөд үз дээ салбарууд.

Дараа нь графикуудыг цэгийн дагуу зурах нь ийм хачирхалтай дүрсийг үүсгэдэг.

Дараахь томъёоны дагуу давхар интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолно.

Хэрэв бид тухайн газрыг туулах эхний аргыг сонговол юу болох вэ? Нэгдүгээрт, энэ талбайг хоёр хэсэгт хуваах ёстой. Хоёрдугаарт, бид энэ гунигтай дүр зургийг ажиглах болно. . Мэдээжийн хэрэг интеграл бол хэт төвөгтэй түвшин биш, гэхдээ ... эртний математикийн хэллэг байдаг: Үндэстээ ойрхон хүмүүст тест хэрэггүй.

Тиймээс, нөхцөл байдалд өгөгдсөн буруу ойлголтоос бид урвуу функцийг илэрхийлнэ.

Урвуу функцуудВ энэ жишээндТэд параболыг бүхэлд нь навч, царс, мөчир, үндэсгүйгээр нэг дор зааж өгдөг давуу талтай.

Хоёрдахь аргын дагуу талбайн шилжилт нь дараах байдалтай байна.

Тиймээс:

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр.

1) Бид дотоод интегралтай харьцдаг:

Бид үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулна.

"y" хувьсагч дээр интеграци хийх нь төөрөгдүүлэхгүй байх ёстой, хэрэв "zy" үсэг байсан бол түүн дээр интеграци хийх нь гайхалтай байх болно. Хичээлийн хоёр дахь догол мөрийг хэн уншсан ч гэсэн Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэрээр "Y" аргыг ашиглан интеграцид өчүүхэн ч эвгүй байдалд орохоо больсон.

Мөн эхний алхамд анхаарлаа хандуулаарай: интеграл нь тэгш, интегралын интервал нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сегментийг хоёр дахин багасгаж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой. Энэ техникхичээл дээр дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн Үр дүнтэй аргуудтодорхой интегралын тооцоо.

Юу нэмэх вэ... Бүгд!

Хариулт:

Интеграцийн техникээ шалгахын тулд та тооцоолж болно . Хариулт нь яг адилхан байх ёстой.

Жишээ 12

Давхар интеграл ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн талбайг тооцоол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Сонирхолтой нь, хэрэв та талбайг туулах эхний аргыг ашиглахыг оролдвол зургийг хоёр хэсэгт хуваах шаардлагагүй, харин гурван хэсэгт хуваах болно! Үүний дагуу бид гурван хос давтагдсан интеграл авдаг. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог.

Мастер анги дуусч, их мастерын түвшинд шилжих цаг боллоо - Давхар интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Шийдлийн жишээ. Хоёрдахь нийтлэлд би тийм их тэнэг байхыг хичээх болно =)

Чамд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл: Талбайг дүрсэлцгээе зураг дээр:

Бид талбайг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Тиймээс:
Урвуу функцууд руу шилжье:

Тиймээс:
Хариулт:

Жишээ 4:Шийдэл: Шууд функцууд руу шилжье:

Зураг зурцгаая:

Талбайг туулах дарааллыг өөрчилье:

Хариулт:

Асуудал 1(муруй трапецын талбайг тооцоолох тухай).

Декартын тэгш өнцөгт координатын xOy системд x тэнхлэг, x = a, x = b шулуун шугамууд (муруй трапец. Муруй трапецын талбайг тооцоолох шаардлагатай) -ээр хязгаарлагдсан дүрсийг (зураг харна уу) өгөгдсөн.
Шийдэл.Геометр нь олон өнцөгтийн талбай болон тойргийн зарим хэсгийг (салбар, сегмент) тооцоолох жорыг бидэнд өгдөг. Геометрийн үзэл баримтлалыг ашиглан бид зөвхөн шаардлагатай талбайн ойролцоо утгыг олох боломжтой бөгөөд дараах үндэслэлээр тайлбарлана.

Хэсэгт хувацгаая [a; b] (муруй трапецын суурь) n тэнцүү хэсэгт; энэ хуваалтыг x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 цэгүүдийг ашиглан гүйцэтгэнэ. Эдгээр цэгүүдээр у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татъя. Дараа нь өгөгдсөн муруйн трапецийг n хэсэг, n нарийн багана болгон хуваана. Бүх трапецын талбай нь баганын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

k-р баганыг тусад нь авч үзье, өөрөөр хэлбэл. суурь нь сегмент болох муруй трапец. Үүнийг суурь, өндөр нь f(x k)-тэй тэнцүү тэгш өнцөгтөөр орлъё (зураг харна уу). Тэгш өнцөгтийн талбай нь $f(x_k) \cdot \Delta x_k $-тэй тэнцүү бөгөөд $\Delta x_k $ нь сегментийн урт юм; Үүссэн бүтээгдэхүүнийг k-р баганын талбайн ойролцоо утга гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм.

Хэрэв бид одоо бусад бүх баганатай ижил зүйлийг хийвэл дараах үр дүнд хүрнэ: өгөгдсөн муруйн трапецын S талбай нь n тэгш өнцөгтөөс бүрдсэн шаталсан дүрсийн S n талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байна (зураг харна уу):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Энд тэмдэглэгээг жигд байлгах үүднээс a = x 0, b = x n; $\Дельта x_0 $ - сегментийн урт, $\Дельта x_1 $ - сегментийн урт гэх мэт; энэ тохиолдолд бид дээр тохиролцсоны дагуу $\Дельта x_0 = \цэг = \Дельта x_(n-1) $

Тэгэхээр, $S \ойролцоогоор S_n $ бөгөөд энэ ойролцоо тэгш байдал нь илүү нарийвчлалтай байх тусам n их байх болно.
Тодорхойлолтоор муруйн трапецын шаардагдах талбай нь дарааллын хязгаартай (S n) тэнцүү байна гэж үздэг.
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Асуудал 2(цэг шилжүүлэх тухай)
Шулуун шугамаар хөдөлдөг материаллаг цэг. Хурдны хугацаанаас хамаарах хамаарлыг v = v(t) томъёогоор илэрхийлнэ. Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөнийг ол [a; б].
Шийдэл.Хэрэв хөдөлгөөн жигд байсан бол асуудлыг маш энгийнээр шийдэх болно: s = vt, i.e. s = v(b-a). Тэгш бус хөдөлгөөний хувьд та өмнөх асуудлын шийдэлд үндэслэсэн санааг ашиглах хэрэгтэй.
1) Цагийн интервалыг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт хуваана.
2) Цаг хугацааг авч үзээд энэ хугацаанд хурд нь t k үеийнхтэй адил тогтмол байсан гэж үзье. Тиймээс бид v = v(t k) гэж таамаглаж байна.
3) Тодорхой хугацааны туршид цэгийн хөдөлгөөний ойролцоо утгыг олъё, бид энэ ойролцоо утгыг s k гэж тэмдэглэнэ;
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Шилжилтийн s-ийн ойролцоо утгыг ол:
$s \ойролцоогоор S_n $ хаана
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Шаардлагатай шилжилт нь дарааллын хязгаартай тэнцүү байна (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Дүгнэж хэлье. Төрөл бүрийн асуудлын шийдлүүдийг ижил математик загвар болгон бууруулсан. Шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбарын олон асуудал шийдвэрлэх явцад ижил загварт хүргэдэг. Энэ математик загварыг тусгайлан судлах ёстой гэсэн үг.

Тодорхой интегралын тухай ойлголт

y = f(x), тасралтгүй (гэхдээ авч үзсэн бодлогод таамаглаж байсанчлан сөрөг биш байх албагүй) функцийн авч үзсэн гурван бодлогод [a; b]:
1) сегментийг хуваах [a; b] n тэнцүү хэсэгт;
2) нийлбэрийг бүрдүүлэх $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$-ийг тооцоол

Математик шинжилгээний явцад энэ хязгаар нь тасралтгүй (эсвэл хэсэгчлэн тасралтгүй) функцийн хувьд байдаг нь батлагдсан. Түүнийг дууддаг y = f(x) функцийн тодорхой интеграл [a сегмент дээр; b]ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
$\int\limits_a^b f(x) dx $
a ба b тоонуудыг интеграцийн хязгаар гэж нэрлэдэг (доод ба дээд).

Дээр дурдсан ажлууд руу буцаж орцгооё. 1-р асуудалд өгөгдсөн талбайн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
энд S нь дээрх зурагт үзүүлсэн муруй трапецын талбай юм. Энэ бол геометрийн утгатодорхой интеграл.

Бодлого 2-т өгөгдсөн t = a-аас t = b хүртэлх хугацаанд v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн шилжилтийн s-ийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Ньютон-Лейбницийн томъёо

Эхлээд асуултанд хариулъя: тодорхой интеграл ба эсрэг дериватив хоёрын хооронд ямар холбоо хамааралтай вэ?

Хариултыг бодлого 2-оос олж болно.Нэг талаас v = v(t) хурдтай шулуун шугамаар хөдөлж буй цэгийн t = a-аас t = b хүртэлх хугацааны s шилжилтийг тооцоолно. томъёо
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Нөгөө талаас, хөдөлж буй цэгийн координат нь хурдны эсрэг дериватив юм - үүнийг s(t) гэж тэмдэглэе; энэ нь s шилжилтийг s = s(b) - s(a) томъёогоор илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
Энд s(t) нь v(t)-ийн эсрэг дериватив юм.

Математик анализын явцад дараах теорем батлагдсан.
Теорем. Хэрэв y = f(x) функц нь [a интервал дээр тасралтгүй байвал; b] бол томъёо хүчинтэй байна
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
Энд F(x) нь f(x)-ийн эсрэг дериватив юм.

Өгөгдсөн томъёог ихэвчлэн нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёоАнглийн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нарын хүндэтгэлд зориулж, бие биенээсээ хамааралгүй, бараг нэгэн зэрэг хүлээн авсан.

Практикт F(b) - F(a) гэж бичихийн оронд $\зүүн. F(x)\right|_a^b $ тэмдэглэгээг ашигладаг (заримдаа үүнийг гэж нэрлэдэг). давхар орлуулалт) ба үүний дагуу Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ үү.
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \зүүн. F(x)\right|_a^b $

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эхлээд эсрэг деривативыг олж, дараа нь давхар орлуулалт хийнэ.

Ньютон-Лейбницийн томъёонд үндэслэн бид тодорхой интегралын хоёр шинж чанарыг олж авч болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Функцийн нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаинтеграл:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох

Интегралыг ашиглан та зөвхөн муруй шугаман трапецын талбайг төдийгүй хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолж болно. нарийн төвөгтэй төрөл, жишээ нь зурагт үзүүлсэн. P дүрс нь x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) тасралтгүй функцуудын графикаар хязгаарлагдаж, [a; b] $g(x) \leq f(x) $ тэгш бус байдал биелнэ. Ийм зургийн S талбайг тооцоолохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Тэгэхээр x = a, x = b шулуун шугамууд болон y = f(x), y = g(x) функцүүдийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн S талбай нь хэрчим дээр үргэлжилсэн бөгөөд хэрчмээс аль ч х-д байхаар байна. [a; b] томъёогоор тооцоолсон $g(x) \leq f(x) $ тэгш бус байдал хангагдана.
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Зарим функцийн тодорхойгүй интегралын (эсрэг дериватив) хүснэгт

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Энэ нийтлэлд та интеграл тооцоог ашиглан шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олох талаар сурах болно. Бид тодорхой интегралын судалгааг дөнгөж дуусгаж, практик дээр олж авсан мэдлэгээ геометрийн тайлбарыг эхлүүлэх цаг болсон үед ахлах сургуульд ийм асуудлыг томъёолохтой анх удаа тулгарч байна.

Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхэд юу шаардлагатай вэ:

Чадварлаг зураг зурах чадвартай;
Ньютон-Лейбницийн сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхой интегралыг шийдвэрлэх чадвар;
Илүү ашигтай шийдлийн сонголтыг "харах" чадвар - жишээлбэл. Нэг эсвэл өөр тохиолдолд интеграци хийх нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгож байна уу? X тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
За, зөв тооцоололгүй бол бид хаана байх вэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцооллыг зөв хийх зэрэг орно.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:

1. Бид зураг зурж байна. Үүнийг алаг цаасан дээр, том хэмжээгээр хийхийг зөвлөж байна. Бид энэ функцийн нэрийг график бүрийн дээр харандаагаар гарын үсэг зурдаг. График дээр гарын үсэг зурах нь зөвхөн цаашдын тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс хийгддэг. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд интеграцийн аль хязгаарыг ашиглах нь нэн даруй тодорхой болно. Тиймээс бид асуудлыг графикаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоо хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.

2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол бид графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэл аналитик шийдэлтэй давхцаж байгаа эсэхийг харна.

3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран зургийн талбайг олох янз бүрийн арга байдаг. Ингээд авч үзье өөр өөр жишээнүүдинтеграл ашиглан зургийн талбайг олох.

3.1. Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд хамгийн энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох явдал юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ хавтгай дүрс, x тэнхлэгээр хязгаарлагддаг (y = 0), Чигээрээ x = a, x = bаас интервал дээр үргэлжилсэн дурын муруй аөмнө б. Түүнээс гадна энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгээс доогуур байрлана. Энэ тохиолдолд муруйн трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тэнцүү байна.

Жишээ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Зураг ямар шугамаар хүрээлэгдсэн бэ? Бидэнд парабол байна y = x2 – 3x + 3, энэ нь тэнхлэгээс дээш байрладаг Өө, энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд эерэг утгатай байна. Дараа нь шулуун шугамуудыг өгөв x = 1Тэгээд x = 3, тэдгээр нь тэнхлэгтэй параллель гүйдэг OU, зүүн ба баруун талд байгаа зургийн хилийн шугам юм. За y = 0, энэ нь мөн x тэнхлэг бөгөөд дүрсийг доороос нь хязгаарладаг. Үр дүнгийн зураг нь сүүдэртэй, зүүн талын зургаас харж болно. Энэ тохиолдолд та асуудлыг даруй шийдэж болно. Бидний өмнө муруй трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан шийддэг.

3.2. Өмнөх 3.1-д бид муруй трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд судалж үзсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. Ньютон-Лейбницийн стандарт томьёонд хасах нь нэмэгддэг. Ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид доор авч үзэх болно.

Жишээ 2 . Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Энэ жишээнд бид парабола байна y = x2 + 6x + 2тэнхлэгээс үүссэн Өө, Чигээрээ x = -4, x = -1, y = 0. Энд y = 0дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. Шууд x = -4Тэгээд x = -1Эдгээр нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь 1-р жишээтэй бараг бүрэн давхцдаг. Ганц ялгаа нь: өгөгдсөн функцэерэг биш бөгөөд интервал дээр үргэлжилсээр байна [-4; -1] . Та эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн х-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.

Нийтлэл дуусаагүй байна.

Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхэд юу шаардлагатай вэ:

Чадварлаг зураг зурах чадвартай;
Ньютон-Лейбницийн сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхой интегралыг шийдвэрлэх чадвар;
Илүү ашигтай шийдлийн сонголтыг "харах" чадвар - жишээлбэл. Нэг эсвэл өөр тохиолдолд интеграци хийх нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгож байна уу? X тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
За, зөв тооцоололгүй бол бид хаана байх вэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцооллыг зөв хийх зэрэг орно.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:

3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран зургийн талбайг олох янз бүрийн арга байдаг. Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох янз бүрийн жишээг авч үзье.

3.1. Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд хамгийн энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох явдал юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ нь x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм (y = 0), Чигээрээ x = a, x = bаас интервал дээр үргэлжилсэн дурын муруй аөмнө б. Түүнээс гадна энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгээс доогуур байрлана. Энэ тохиолдолд муруйн трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тэнцүү байна.

Жишээ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Жишээ 2 . Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Энэ жишээнд бид парабола байна y = x2 + 6x + 2тэнхлэгээс үүссэн Өө, Чигээрээ x = -4, x = -1, y = 0. Энд y = 0дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. Шууд x = -4Тэгээд x = -1Эдгээр нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь жишээний дугаар 1-тэй бараг бүрэн давхцдаг. Ганц ялгаа нь өгөгдсөн функц эерэг биш, мөн интервал дээр үргэлжилдэг. [-4; -1] . Та эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн х-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.

Нийтлэл дуусаагүй байна.