>

Тодорхойлолтоор бол ердийн гурвалжин пирамидын суурь нь юм. Пирамидыг геометрийн гайхамшиг болгодог зүйл юу вэ?

Элсэлтийн түвшин

Пирамид. Харааны хөтөч (2019)

Пирамид гэж юу вэ?

Тэр ямар харагддаг вэ?

Та харж байна: пирамидын ёроолд (тэд " суурь дээр") зарим олон өнцөгт бөгөөд энэ олон өнцөгтийн бүх орой нь орон зайн аль нэг цэгтэй холбогдсон (энэ цэгийг " гэж нэрлэдэг. орой»).

Энэ бүх бүтэц хэвээр байна хажуугийн нүүрнүүд , хажуугийн хавиргаТэгээд суурь хавирга. Дахин нэг удаа эдгээр бүх нэрсийн хамт пирамид зурцгаая.

Зарим пирамидууд маш хачирхалтай харагддаг ч пирамид хэвээрээ л байна.

Жишээлбэл, энд бүрэн "ташуу" байна пирамид.

Мөн нэрсийн талаар бага зэрэг: пирамидын ёроолд гурвалжин байгаа бол пирамидыг гурвалжин, дөрвөлжин бол дөрвөлжин, хэрвээ центагон бол ... та өөрөө таах хэрэгтэй. .

Үүний зэрэгцээ унасан цэг өндөр, дуудсан өндөр суурь. "Тахир" пирамидууд байдаг гэдгийг анхаарна уу өндөрпирамидын гадна ч байж магадгүй. Үүнтэй адил:

Мөн үүнд буруу зүйл байхгүй. Энэ нь мохоо гурвалжин шиг харагдаж байна.

Зөв пирамид.

Олон нарийн төвөгтэй үгс? Шифрийг нь тайлаад үзье: "Үндэс нь зөв" - энэ нь ойлгомжтой. Одоо энгийн олон өнцөгт нь төвтэй байдаг - цэг нь ба, ба -ийн төв байдаг гэдгийг санацгаая.

За, "дээд хэсэг нь суурийн төв рүү чиглэсэн" гэсэн үг нь өндрийн суурь нь суурийн төв рүү яг унасан гэсэн үг юм. Энэ нь ямар гөлгөр, хөөрхөн харагдаж байгааг хараарай ердийн пирамид.

Зургаан өнцөгт: сууринд ердийн зургаан өнцөгт байдаг, орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байна.

Дөрвөн өнцөгт: суурь нь дөрвөлжин, дээд тал нь энэ дөрвөлжингийн диагональуудын огтлолцох цэг рүү чиглэсэн байна.

Гурвалжин: сууринд ердийн гурвалжин байдаг, орой нь энэ гурвалжны өндрийн (тэдгээр нь бас медиан ба биссектрис) огтлолцох цэг хүртэл проекц байна.

Маш чухал шинж чанарууд ердийн пирамид:

Баруун пирамид дээр

  • бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна.
  • Хажуугийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд эдгээр гурвалжнууд бүгд тэнцүү байна.

Пирамидын эзэлхүүн

Пирамидын эзэлхүүний үндсэн томъёо:

Энэ нь яг хаанаас ирсэн бэ? Энэ нь тийм ч энгийн зүйл биш бөгөөд эхлээд пирамид ба конус нь томьёо дахь эзэлхүүнтэй, харин цилиндрт тийм биш гэдгийг санах хэрэгтэй.

Одоо хамгийн алдартай пирамидуудын эзлэхүүнийг тооцоолъё.

Суурийн тал нь тэнцүү, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна. Бид олох хэрэгтэй ба.

Энэ бол талбай тогтмол гурвалжин.

Энэ бүсийг хэрхэн хайхаа санацгаая. Бид талбайн томъёог ашигладаг:

Бидний хувьд “ ” нь энэ, “ ” нь бас энэ юм, тийм ээ.

Одоо олъё.

Пифагорын теоремын дагуу

Ялгаа нь юу вэ? Учир нь энэ нь тойрог зам юм пирамидзөвулмаар төв.

Түүнээс хойш - медиануудын огтлолцох цэг мөн.

(Пифагорын теорем)

Үүнийг томъёонд орлуулъя.

Бүх зүйлийг эзлэхүүний томъёонд орлъё:

Анхаар:Хэрэв танд ердийн тетраэдр (жишээ нь) байгаа бол томъёо нь дараах байдалтай байна.

Суурийн тал нь тэнцүү, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна.

Энд хайх шаардлагагүй; Эцсийн эцэст, суурь нь дөрвөлжин, тиймээс.

Бид олох болно. Пифагорын теоремын дагуу

Бид мэдэх үү? За бараг л. Хараач:

(бид үүнийг хараад үүнийг харсан).

Томъёонд орлуулах:

Одоо бид эзлэхүүний томъёог орлуулж байна.

Суурийн тал нь тэнцүү, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна.

Хэрхэн олох вэ? Хараач, зургаан өнцөгт нь яг зургаан ижил тэгш гурвалжнаас бүрддэг. Энгийн гурвалжны эзэлхүүнийг тооцоолохдоо бид ердийн гурвалжны талбайг аль хэдийн хайсан. гурвалжин пирамид, энд бид олсон томъёог ашигладаг.

Одоо (үүнийг) олъё.

Пифагорын теоремын дагуу

Гэхдээ энэ нь ямар хамаатай юм бэ? Энэ нь энгийн, учир нь (мөн бусад бүх хүмүүс) зөв юм.

Орлуулж үзье:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПИРАМИД. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Пирамид гэдэг нь ямар ч хавтгай олон өнцөгт (), суурийн хавтгайд ороогүй цэг (пирамидын орой) ба пирамидын оройг суурийн цэгүүдтэй холбосон бүх сегментээс бүрдэх олон өнцөгт юм. хажуугийн хавирга ).

Пирамидын оройноос суурийн хавтгайд перпендикуляр унав.

Зөв пирамид- пирамид нь суурин дээр ердийн олон өнцөгт байрладаг бөгөөд пирамидын дээд хэсэг нь суурийн төв рүү чиглэсэн байдаг.

Ердийн пирамидын шинж чанар:

  • Ердийн пирамидын хувьд бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна.
  • Хажуугийн бүх нүүр нь ижил өнцөгт гурвалжин бөгөөд эдгээр гурвалжнууд бүгд тэнцүү байна.

Пирамидын тухай ойлголт

Тодорхойлолт 1

Геометрийн дүрс, олон өнцөгт ба энэ олон өнцөгтийг агуулсан хавтгайд ороогүй цэгээс үүссэн, олон өнцөгтийн бүх оройтой холбогдсон цэгийг пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Пирамидын хийсэн олон өнцөгтийг пирамидын суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь нэг цэгт холбогдсон үед үүссэн гурвалжингууд нь пирамидын хажуу талууд, гурвалжны талууд нь пирамидын талууд, нийтлэг цэгүүд юм; бүх гурвалжин нь пирамидын орой юм.

Пирамидын төрлүүд

Пирамидын суурийн өнцгийн тооноос хамааран гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэтээр нэрлэж болно (Зураг 2).

Зураг 2.

Өөр нэг төрлийн пирамид бол ердийн пирамид юм.

Энгийн пирамидын шинж чанарыг танилцуулж, баталцгаая.

Теорем 1

Ердийн пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь бие биетэйгээ тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Баталгаа.

$S$ өндөр $h=SO$ оройтой ердийн $n-$гональ пирамидыг авч үзье. Суурийг тойруулан тойрог зурцгаая (Зураг 4).

Зураг 4.

$SOA$ гурвалжинг авч үзье. Пифагорын теоремын дагуу бид олж авдаг

Ямар ч хажуугийн ирмэгийг ийм байдлаар тодорхойлох нь ойлгомжтой. Үүний үр дүнд бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бүх хажуугийн нүүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Тэд бие биетэйгээ тэнцүү гэдгийг баталцгаая. Суурь нь ердийн олон өнцөгт тул бүх талын нүүрний суурь нь хоорондоо тэнцүү байна. Тиймээс гурвалжны тэгш байдлын III шалгуурын дагуу бүх хажуугийн нүүрнүүд тэнцүү байна.

Теорем нь батлагдсан.

Одоо ердийн пирамид гэсэн ойлголттой холбоотой дараах тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 3

Ердийн пирамидын нэр томъёо нь түүний хажуугийн нүүрний өндөр юм.

Нэгдүгээр теоремоор бол бүх апотемууд хоорондоо тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Теорем 2

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг суурийн хагас периметр ба апотемийн үржвэрээр тодорхойлно.

Баталгаа.

$n-$гональ пирамидын суурийн талыг $a$, апотемийг $d$ гэж тэмдэглэе. Тиймээс хажуугийн нүүрний талбай нь тэнцүү байна

1-р теоремын дагуу бүх зүйл талуудтэнцүү байна, тэгвэл

Теорем нь батлагдсан.

Пирамидын өөр нэг төрөл бол таслагдсан пирамид юм.

Тодорхойлолт 4

Хэрэв суурьтай параллель хавтгайг энгийн пирамидаар татвал энэ хавтгай ба суурийн хавтгай хооронд үүссэн дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

Зураг 5. Таслагдсан пирамид

Таслагдсан пирамидын хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байдаг.

Теорем 3

Ердийн тайрсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг суурийн хагас периметр ба апотемийн нийлбэрийн үржвэрээр тодорхойлно.

Баталгаа.

$n-$гональ пирамидын суурийн талуудыг $a\ ба\ b$, апотемийг $d$ гэж тэмдэглэе. Тиймээс хажуугийн нүүрний талбай нь тэнцүү байна

Бүх талууд тэнцүү тул

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ даалгавар

Жишээ 1

Таслагдсан гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг ердийн пирамидын суурь тал 4 ба апотем 5-аас хажуугийн нүүрний дунд шугамаар дамжин өнгөрөх хавтгайг таслах замаар олж ав.

Шийдэл.

тухай теоремоор дунд шугамТаслагдсан пирамидын дээд суурь нь $4\cdot \frac(1)(2)=2$, харин апотем нь $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$-тай тэнцүү болохыг бид олж харлаа.

Дараа нь 3-р теоремын дагуу бид олж авна

Оюутнууд пирамид гэдэг ойлголттой геометрийг судлахаас нэлээд өмнө тулгардаг. Буруу нь дэлхийн алдартай Египетийн гайхамшгуудад оршдог. Тиймээс энэхүү гайхамшигт олон өнцөгтийг судалж эхлэхэд ихэнх оюутнууд үүнийг аль хэдийн тодорхой төсөөлдөг. Дээр дурдсан бүх үзвэрүүд зөв хэлбэртэй байдаг. Юу болов ердийн пирамид, ямар шинж чанартай болохыг цаашид хэлэлцэх болно.

Тодорхойлолт

Пирамидын тухай маш олон тодорхойлолт байдаг. Эрт дээр үеэс энэ нь маш их алдартай байсан.

Жишээлбэл, Евклид үүнийг нэг цэгээс эхлээд тодорхой цэгт нийлдэг хавтгайнуудаас бүрдэх биеийн дүрс гэж тодорхойлсон.

Херон илүү нарийн томъёолол өгсөн. Энэ бол ийм тоо байна гэж тэрээр зөрүүдлэв бааз, онгоцтой гурвалжин хэлбэрээр, нэг цэгт нэгдэх.

Үндэслэн орчин үеийн тайлбар, пирамид нь тодорхой k-gon ба k-ээс бүрдэх орон зайн олон өнцөгт хэлбэрээр дүрслэгддэг. хавтгай дүрсүүднэг нийтлэг цэгтэй гурвалжин хэлбэртэй.

Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье, ямар элементүүдээс бүрддэг вэ:

  • k-gon нь зургийн үндэс гэж тооцогддог;
  • 3 өнцөгт хэлбэрүүд нь хажуугийн хэсгийн ирмэгүүд шиг цухуйсан;
  • хажуугийн элементүүдээс үүссэн дээд хэсгийг орой гэж нэрлэдэг;
  • оройг холбосон бүх сегментүүдийг ирмэг гэж нэрлэдэг;
  • хэрэв шулуун шугамыг оройноос 90 градусын өнцгөөр зургийн хавтгайд буулгасан бол түүний дотоод орон зайд байгаа хэсэг нь пирамидын өндөр болно;
  • Ямар ч хажуугийн элементэд апотем гэж нэрлэгддэг перпендикулярыг манай олон өнцөгтийн тал руу зурж болно.

Ирмэгийн тоог 2*k томьёогоор тооцдог ба энд k нь k-gon-ийн талуудын тоо юм. Пирамид гэх мэт олон өнцөгт хэдэн нүүртэй болохыг k+1 илэрхийлэлээр тодорхойлж болно.

Чухал!Тогтмол хэлбэрийн пирамид нь стереометрийн дүрс бөгөөд суурь хавтгай нь тэнцүү талуудтай k-gon юм.

Үндсэн шинж чанарууд

Зөв пирамид олон шинж чанартай,Энэ нь түүнд өвөрмөц юм. Тэднийг жагсаацгаая:

  1. Үүний үндэс нь зөв хэлбэрийн дүрс юм.
  2. Хажуугийн элементүүдийг хязгаарлах пирамидын ирмэгүүд нь тэнцүү тооны утгатай байна.
  3. Хажуугийн элементүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
  4. Зургийн өндрийн суурь нь олон өнцөгтийн төвд унадаг бол энэ нь нэгэн зэрэг бичээстэй, хүрээлэгдсэн төв цэг юм.
  5. Хажуугийн бүх хавирга нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
  6. Хажуугийн бүх гадаргуу нь суурьтай харьцуулахад ижил налуу өнцөгтэй байна.

Бүртгэгдсэн бүх шинж чанаруудын ачаар элементийн тооцоог хийх нь илүү хялбар байдаг. Дээрх шинж чанарууд дээр үндэслэн бид анхаарлаа хандуулдаг хоёр тэмдэг:

  1. Олон өнцөгт нь тойрогт багтах тохиолдолд хажуугийн нүүр нь суурьтай болно тэнцүү өнцөг.
  2. Олон өнцөгтийг тойрсон тойргийг дүрслэхдээ оройноос гарч буй пирамидын бүх ирмэгүүд нь: тэнцүү уртба суурьтай тэнцүү өнцөгтэй байна.

Суурь нь дөрвөлжин юм

Ердийн дөрвөлжин пирамид - суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй олон өнцөгт.

Энэ нь дөрвөн хажуугийн нүүртэй бөгөөд тэдгээр нь гадаад төрхөөрөө адил тэгш өнцөгт юм.

Квадратыг хавтгай дээр дүрсэлсэн боловч ердийн дөрвөлжингийн бүх шинж чанарт суурилдаг.

Жишээлбэл, квадратын талыг диагональтай нь холбох шаардлагатай бол дараах томъёог ашиглана: диагональ нь квадратын тал ба хоёрын язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.

Энэ нь ердийн гурвалжин дээр суурилдаг

Энгийн гурвалжин пирамид нь суурь нь ердийн 3 өнцөгт хэлбэртэй олон өнцөгт юм.

Хэрэв суурь нь ердийн гурвалжин бөгөөд хажуугийн ирмэг нь суурийн ирмэгтэй тэнцүү байвал ийм зураг тетраэдр гэж нэрлэдэг.

Тетраэдрийн бүх нүүр нь ижил талт 3 өнцөгт хэлбэртэй байна. IN энэ тохиолдолдТооцоолохдоо та зарим зүйлийг мэдэж байх хэрэгтэй бөгөөд үүнд цаг үрэхгүй байх хэрэгтэй.

  • хавирганы аль ч сууринд налуу өнцөг нь 60 градус;
  • бүх дотоод нүүрний хэмжээ нь 60 градус;
  • ямар ч нүүр царай суурь болж чаддаг;
  • , зураг дотор зурсан, эдгээр нь тэнцүү элементүүд юм.

Олон өнцөгтийн хэсгүүд

Ямар ч олон талт талбарт байдаг хэд хэдэн төрлийн хэсэгхавтгай. Ихэнхдээ ордог сургуулийн курсгеометрүүд хоёртой ажилладаг:

  • тэнхлэгийн;
  • суурьтай зэрэгцээ.

Олон өнцөгтийг орой, хажуугийн ирмэг, тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайтай огтлолцох замаар тэнхлэгийн огтлолыг олж авна. Энэ тохиолдолд тэнхлэг нь оройноос татсан өндөр юм. Таслах хавтгай нь бүх нүүртэй огтлолцох шугамаар хязгаарлагдаж, гурвалжин үүснэ.

Анхаар!Ердийн пирамидын хувьд тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Хэрэв зүсэх онгоц нь суурьтай зэрэгцээ гүйж байвал үр дүн нь хоёр дахь сонголт юм. Энэ тохиолдолд бид суурьтай төстэй хөндлөн огтлолын дүрстэй байна.

Жишээлбэл, хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол суурьтай зэрэгцээ хэсэг нь зөвхөн жижиг хэмжээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй болно.

Энэ нөхцөлд асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээр нь дүрсүүдийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг, шинж чанарыг ашигладаг. Фалесийн теорем дээр үндэслэсэн. Юуны өмнө ижил төстэй байдлын коэффициентийг тодорхойлох шаардлагатай.

Хэрэв онгоцыг суурьтай зэрэгцүүлэн зурвал таслагдана дээд хэсэголон талт, дараа нь доод хэсэгт ердийн таслагдсан пирамид олж авна. Дараа нь таслагдсан олон өнцөгтийн суурь нь ижил төстэй олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг. Энэ тохиолдолд хажуугийн нүүрнүүд нь хоёр талт трапец хэлбэртэй байдаг. Тэнхлэгийн хэсэг нь мөн адил тэгш өнцөгт байна.

Таслагдсан олон өнцөгтийн өндрийг тодорхойлохын тулд тэнхлэгийн хэсэгт, өөрөөр хэлбэл трапецын өндрийг зурах шаардлагатай.

Гадаргуугийн талбайнууд

Сургуулийн геометрийн хичээл дээр шийдвэрлэх ёстой гол геометрийн асуудлууд пирамидын гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүнийг олох.

Хоёр төрлийн гадаргуугийн хэмжээ байдаг:

  • хажуугийн элементүүдийн талбай;
  • бүх гадаргуугийн талбай.

Нэрнээс нь харахад бидний юу яриад байгаа нь ойлгомжтой. Хажуугийн гадаргуу нь зөвхөн хажуугийн элементүүдийг агуулдаг. Үүнээс үзэхэд үүнийг олохын тулд та хажуугийн хавтгайн талбайг, өөрөөр хэлбэл 3-гонс тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэмэх хэрэгтэй. Хажуугийн элементүүдийн талбайн томъёог гаргаж авахыг хичээцгээе.

  1. 3 өнцөгт тэгш өнцөгтийн талбай нь Str=1/2(aL)-тай тэнцүү бөгөөд a нь суурийн тал, L нь апотем юм.
  2. Хажуугийн хавтгайн тоо нь суурийн к-гоны төрлөөс хамаарна. Жишээлбэл, ердийн дөрвөлжин пирамид нь дөрвөн хажуугийн хавтгайтай байдаг. Иймд Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L гэсэн дөрвөн дүрсийн талбайг нэмэх шаардлагатай. 4a = Rosn утга нь Rosn нь суурийн периметр юм, учир нь илэрхийллийг ийм байдлаар хялбаршуулсан болно. Мөн 1/2*Rosn илэрхийлэл нь түүний хагас периметр юм.
  3. Тиймээс бид ердийн пирамидын хажуугийн элементүүдийн талбай нь суурийн хагас периметр ба апотемийн үржвэртэй тэнцүү байна гэж дүгнэж байна: Sside = Rosn * L.

Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай нь хажуугийн хавтгай ба суурийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ: Sp.p = Sside + Sbas.

Суурийн талбайн хувьд энд олон өнцөгтийн төрлөөс хамааран томъёог ашиглана.

Ердийн пирамидын эзэлхүүнсуурийн хавтгайн талбайн үржвэр ба өндрийг гурваар хуваасантай тэнцүү: V=1/3*Sbas*H, H нь олон талт өндөр.

Геометрийн ердийн пирамид гэж юу вэ

Зөв зүйлийн шинж чанарууд дөрвөлжин пирамид

Энэхүү видео заавар нь хэрэглэгчдэд Пирамидын сэдвийн талаар ойлголттой болоход тусална. Зөв пирамид. Энэ хичээлээр бид пирамид гэдэг ойлголттой танилцаж, түүнд тодорхойлолт өгөх болно. Ердийн пирамид гэж юу болох, ямар шинж чанартай болохыг авч үзье. Дараа нь бид ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн тухай теоремыг батална.

Энэ хичээлээр бид пирамид гэдэг ойлголттой танилцаж, түүнд тодорхойлолт өгөх болно.

Олон өнцөгтийг авч үзье A 1 A 2...А н, α хавтгайд байрлах ба цэг П, α хавтгайд оршдоггүй (Зураг 1). Цэгүүдийг холбоцгооё Поргилуудтай A 1, A 2, A 3, … А н. Бид авдаг nгурвалжин: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rгэх мэт.

Тодорхойлолт. Олон өнцөгт RA 1 A 2 ...A n, бүрдсэн n-дөрвөлжин A 1 A 2...А нТэгээд nгурвалжин RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 гэж нэрлэдэг n- нүүрсний пирамид. Цагаан будаа. 1.

Цагаан будаа. 1

Дөрвөн өнцөгт пирамидыг авч үзье PABCD(Зураг 2).

Р- пирамидын дээд хэсэг.

ABCD- пирамидын суурь.

РА- хажуугийн хавирга.

AB- суурь хавирга.

Нэг цэгээс Рперпендикулярыг хаяцгаая РНсуурь хавтгайд ABCD. Перпендикуляр зурсан нь пирамидын өндөр юм.

Цагаан будаа. 2

Бүтэн гадаргууПирамид нь хажуугийн гадаргуу, өөрөөр хэлбэл бүх хажуугийн нүүрний талбай ба суурийн талбайгаас бүрдэнэ.

S дүүрэн = S тал + S гол

Пирамидыг зөв гэж нэрлэдэг бол:

  • түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт;
  • Пирамидын дээд хэсгийг суурийн төвтэй холбосон сегмент нь түүний өндөр юм.

Энгийн дөрвөлжин пирамидын жишээг ашиглан тайлбар

Ердийн дөрвөлжин пирамидыг авч үзье PABCD(Зураг 3).

Р- пирамидын дээд хэсэг. Пирамидын суурь ABCD- ердийн дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл дөрвөлжин. Цэг ТУХАЙ, диагональуудын огтлолцлын цэг нь квадратын төв юм. гэсэн үг, ROпирамидын өндөр.

Цагаан будаа. 3

Тайлбар: зөв nГурвалжинд бичээстэй тойргийн төв ба тойргийн төв нь давхцдаг. Энэ төвийг олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг. Заримдаа орой нь төв рүү чиглэсэн байдаг гэж хэлдэг.

Тогтмол пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройноос нь татсан гэж нэрлэдэг апотемболон томилогдсон h a.

1. энгийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү;

2. Хажуугийн нүүрнүүд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Бид ердийн дөрвөлжин пирамидын жишээн дээр эдгээр шинж чанаруудын нотолгоог өгөх болно.

Өгсөн: PABCD- ердийн дөрвөлжин пирамид,

ABCD- дөрвөлжин,

RO- пирамидын өндөр.

Нотлох:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Зураг. 4.

Цагаан будаа. 4

Баталгаа.

RO- пирамидын өндөр. Энэ нь шууд ROхавтгайд перпендикуляр ABC, тиймээс шууд ХК, VO, SOТэгээд ХИЙХдотор нь хэвтэж байна. Тиймээс гурвалжин ROA, ROV, ROS, ROD- тэгш өнцөгт.

Квадратыг авч үзье ABCD. Дөрвөлжингийн шинж чанараас ийм зүйл гарч ирнэ AO = VO = CO = ХИЙХ.

Дараа нь зөв гурвалжингууд ROA, ROV, ROS, RODхөл RO- ерөнхий ба хөл ХК, VO, SOТэгээд ХИЙХтэнцүү байна, энэ нь эдгээр гурвалжин нь хоёр талдаа тэнцүү байна гэсэн үг юм. Гурвалжны тэгш байдлаас сегментүүдийн тэгш байдал гарч ирнэ. RA = PB = RS = PD. 1-р цэг нь батлагдсан.

Сегментүүд ABТэгээд Нарижил квадратын талууд тул тэнцүү байна, RA = PB = RS. Тиймээс гурвалжин AVRТэгээд VSR -тэгш өнцөгт ба гурван талдаа тэнцүү байна.

Үүнтэй төстэй байдлаар бид гурвалжинг олдог ABP, VCP, CDP, DAP 2-р зүйлд нотлох шаардлагатай бол ижил өнцөгт ба тэнцүү байна.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Үүнийг батлахын тулд энгийн гурвалжин пирамидыг сонгоцгооё.

Өгсөн: RAVS- ердийн гурвалжин пирамид.

AB = BC = AC.

RO- өндөр.

Нотлох: . Зураг. 5.

Цагаан будаа. 5

Баталгаа.

RAVS- ердийн гурвалжин пирамид. Тэр нь AB= AC = BC. Болъё ТУХАЙ- гурвалжны төв ABC, Дараа нь ROпирамидын өндөр. Пирамидын ёроолд байрладаг тэгш талт гурвалжин ABC. Үүнийг анхаарна уу .

Гурвалжин RAV, RVS, RSA- тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин (өмчөөр). Гурвалжин пирамид нь гурван талтай: RAV, RVS, RSA. Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

S тал = 3S RAW

Теорем нь батлагдсан.

Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурь дээр бичээстэй тойргийн радиус 3 м, пирамидын өндөр нь 4 м пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Өгсөн: ердийн дөрвөлжин пирамид ABCD,

ABCD- дөрвөлжин,

r= 3 м,

RO- пирамидын өндөр,

RO= 4 м.

Хай: S тал. Зураг. 6.

Цагаан будаа. 6

Шийдэл.

Батлагдсан теоремын дагуу, .

Эхлээд суурийн талыг олъё AB. Ердийн дөрвөлжин пирамидын ёроолд сийлсэн тойргийн радиус 3 м гэдгийг бид мэднэ.

Дараа нь, м.

Дөрвөлжингийн периметрийг ол ABCD 6 м талтай:

Гурвалжинг авч үзье BCD. Болъё М- хажуугийн дунд DC. Учир нь ТУХАЙ- дунд Б.Д, Тэр (м).

Гурвалжин DPC- тэгш өнцөгт. М- дунд DC. Энэ нь, RM- медиан, тиймээс гурвалжин дахь өндөр DPC. Дараа нь RM- пирамидын үг.

RO- пирамидын өндөр. Дараа нь шууд ROхавтгайд перпендикуляр ABC, тиймээс шууд ОМ, дотор нь хэвтэж байна. Апотемийг олцгооё RM-аас зөв гурвалжин ROM.

Одоо бид олж чадна хажуугийн гадаргуупирамидууд:

Хариулт: 60 м2.

Ердийн гурвалжин пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь m-тэй тэнцүү, хажуугийн гадаргуу нь 18 м 2 байна. Апотемийн уртыг ол.

Өгсөн: ABCP- ердийн гурвалжин пирамид,

AB = BC = SA,

Р= м,

S тал = 18 м2.

Хай: . Зураг. 7.

Цагаан будаа. 7

Шийдэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд ABCХязгаарлагдсан тойргийн радиусыг өгөв. Нэг талыг олъё ABсинусын хуулийг ашиглан энэ гурвалжин.

Тогтмол гурвалжны талыг (м) мэдэж, бид түүний периметрийг олдог.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн теоремоор, хаана h a- пирамидын үг. Дараа нь:

Хариулт: 4 м.

Тиймээс бид пирамид гэж юу болох, ердийн пирамид гэж юу болохыг судалж, ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн тухай теоремыг баталсан. Дараагийн хичээлээр бид таслагдсан пирамидтай танилцах болно.

Лавлагаа

  1. Геометр. 10-11-р анги: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг (үндсэн ба тусгай түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй.
  2. Геометр. 10-11 анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 х.: өвчтэй.
  3. Геометр. 10-р анги: Математикийг гүнзгийрүүлэн, төрөлжүүлэн судалдаг ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг /Э. В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М .: Bustard, 008. - 233 х.: өвчтэй.
  1. "Yaklass" интернет портал ()
  2. "9-р сарын нэг" сурган хүмүүжүүлэх санааны наадам ()
  3. "Slideshare.net" интернет портал ()

Гэрийн даалгавар

  1. Тогтмол олон өнцөгт нь жигд бус пирамидын суурь байж чадах уу?
  2. Энгийн пирамидын салангид ирмэгүүд перпендикуляр гэдгийг батал.
  3. Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн хажуугийн хоёр өнцөгт өнцгийн утгыг олоорой.
  4. RAVS- ердийн гурвалжин пирамид. Пирамидын суурь дээр хоёр талт өнцгийн шугаман өнцгийг байгуул.