Оюутнууд пирамид гэдэг ойлголттой геометрийг судлахаас нэлээд өмнө тулгардаг. Буруу нь дэлхийн алдартай Египетийн гайхамшгуудад оршдог. Тиймээс энэхүү гайхамшигт олон өнцөгтийг судалж эхлэхэд ихэнх оюутнууд үүнийг аль хэдийн тодорхой төсөөлдөг. Дээр дурдсан бүх үзвэрүүд зөв хэлбэртэй байдаг. Юу болов ердийн пирамид, ямар шинж чанартай болохыг цаашид хэлэлцэх болно.
Тодорхойлолт
Пирамидын тухай маш олон тодорхойлолт байдаг. Эрт дээр үеэс энэ нь маш их алдартай байсан.
Жишээлбэл, Евклид үүнийг нэг цэгээс эхлээд тодорхой цэгт нийлдэг хавтгайнуудаас бүрдэх биеийн дүрс гэж тодорхойлсон.
Херон илүү нарийн томъёолол өгсөн. Энэ бол ийм тоо байна гэж тэрээр зөрүүдлэв бааз, онгоцтой гурвалжин хэлбэрээр, нэг цэгт нэгдэх.
Үндэслэн орчин үеийн тайлбар, пирамид нь тодорхой k-gon ба k-ээс бүрдэх орон зайн олон өнцөгт хэлбэрээр дүрслэгддэг. хавтгай дүрсүүднэг нийтлэг цэгтэй гурвалжин хэлбэртэй.
Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье, ямар элементүүдээс бүрддэг вэ:
- k-gon нь зургийн үндэс гэж тооцогддог;
- 3 өнцөгт хэлбэрүүд нь хажуугийн хэсгийн ирмэгүүд шиг цухуйсан;
- хажуугийн элементүүдээс үүссэн дээд хэсгийг орой гэж нэрлэдэг;
- оройг холбосон бүх сегментүүдийг ирмэг гэж нэрлэдэг;
- хэрэв шулуун шугамыг оройноос 90 градусын өнцгөөр зургийн хавтгайд буулгасан бол түүний дотоод орон зайд байгаа хэсэг нь пирамидын өндөр болно;
- Ямар ч хажуугийн элементэд апотем гэж нэрлэгддэг перпендикулярыг манай олон өнцөгтийн тал руу зурж болно.
Ирмэгийн тоог 2*k томьёогоор тооцдог ба энд k нь k-gon-ийн талуудын тоо юм. Пирамид гэх мэт олон өнцөгт хэдэн нүүртэй болохыг k+1 илэрхийлэлээр тодорхойлж болно.
Чухал!Тогтмол хэлбэрийн пирамид нь стереометрийн дүрс бөгөөд суурь хавтгай нь тэнцүү талуудтай k-gon юм.
Үндсэн шинж чанарууд
Зөв пирамид олон шинж чанартай,Энэ нь түүнд өвөрмөц юм. Тэднийг жагсаацгаая:
- Үүний үндэс нь зөв хэлбэрийн дүрс юм.
- Хажуугийн элементүүдийг хязгаарлах пирамидын ирмэгүүд нь тэнцүү тооны утгатай байна.
- Хажуугийн элементүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
- Зургийн өндрийн суурь нь олон өнцөгтийн төвд унадаг бол энэ нь нэгэн зэрэг бичээстэй, хүрээлэгдсэн төв цэг юм.
- Хажуугийн бүх хавирга нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
- Хажуугийн бүх гадаргуу нь суурьтай харьцуулахад ижил налуу өнцөгтэй байна.
Бүртгэгдсэн бүх шинж чанаруудын ачаар элементийн тооцоог хийх нь илүү хялбар байдаг. Дээрх шинж чанарууд дээр үндэслэн бид анхаарлаа хандуулдаг хоёр тэмдэг:
- Олон өнцөгт тойрогт багтах тохиолдолд, хажуугийн нүүрнүүдсуурьтай байх болно тэнцүү өнцөг.
- Олон өнцөгтийг тойрсон тойргийг дүрслэхдээ оройноос гарч буй пирамидын бүх ирмэгүүд нь: тэнцүү уртба суурьтай тэнцүү өнцөгтэй байна.
Суурь нь дөрвөлжин юм
Ердийн дөрвөлжин пирамид - суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй олон өнцөгт.
Энэ нь дөрвөн хажуугийн нүүртэй бөгөөд тэдгээр нь гадаад төрхөөрөө адил тэгш өнцөгт юм.
Квадратыг хавтгай дээр дүрсэлсэн боловч ердийн дөрвөлжингийн бүх шинж чанарт суурилдаг.
Жишээлбэл, квадратын талыг диагональтай нь холбох шаардлагатай бол дараах томъёог ашиглана: диагональ нь квадратын тал ба хоёрын язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.
Энэ нь ердийн гурвалжин дээр суурилдаг
Энгийн гурвалжин пирамид нь суурь нь ердийн 3 өнцөгт хэлбэртэй олон өнцөгт юм.
Хэрэв суурь нь ердийн гурвалжин бөгөөд хажуугийн ирмэг нь суурийн ирмэгтэй тэнцүү байвал ийм зураг тетраэдр гэж нэрлэдэг.
Тетраэдрийн бүх нүүр нь ижил талт 3 өнцөгт хэлбэртэй байна. IN энэ тохиолдолдТооцоолохдоо та зарим зүйлийг мэдэж байх хэрэгтэй бөгөөд үүнд цаг үрэхгүй байх хэрэгтэй.
- хавирганы аль ч сууринд налуу өнцөг нь 60 градус;
- бүх дотоод нүүрний хэмжээ нь 60 градус;
- ямар ч нүүр царай суурь болж чаддаг;
- , зураг дотор зурсан, эдгээр нь тэнцүү элементүүд юм.
Олон өнцөгтийн хэсгүүд
Ямар ч олон талт талбарт байдаг хэд хэдэн төрлийн хэсэгхавтгай. Ихэнхдээ ордог сургуулийн курсгеометрүүд хоёртой ажилладаг:
- тэнхлэгийн;
- суурьтай зэрэгцээ.
Олон өнцөгтийг орой, хажуугийн ирмэг, тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайтай огтлолцох замаар тэнхлэгийн огтлолыг олж авна. Энэ тохиолдолд тэнхлэг нь оройноос татсан өндөр юм. Таслах хавтгай нь бүх нүүртэй огтлолцох шугамаар хязгаарлагдаж, гурвалжин үүснэ.
Анхаар!Ердийн пирамидын хувьд тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Хэрэв зүсэх онгоц нь суурьтай зэрэгцээ гүйж байвал үр дүн нь хоёр дахь сонголт юм. Энэ тохиолдолд бид суурьтай төстэй хөндлөн огтлолын дүрстэй байна.
Жишээлбэл, хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол суурьтай зэрэгцээ хэсэг нь зөвхөн жижиг хэмжээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй болно.
Энэ нөхцөлд асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээр нь дүрсүүдийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг, шинж чанарыг ашигладаг. Фалесийн теорем дээр үндэслэсэн. Юуны өмнө ижил төстэй байдлын коэффициентийг тодорхойлох шаардлагатай.
Хэрэв онгоцыг суурьтай зэрэгцүүлэн зурвал таслагдана дээд хэсэголон талт, дараа нь доод хэсэгт ердийн таслагдсан пирамид олж авна. Дараа нь таслагдсан олон өнцөгтийн суурь нь ижил төстэй олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг. Энэ тохиолдолд хажуугийн нүүрнүүд нь хоёр талт трапец хэлбэртэй байдаг. Тэнхлэгийн хэсэг нь мөн адил тэгш өнцөгт байна.
Таслагдсан олон өнцөгтийн өндрийг тодорхойлохын тулд тэнхлэгийн хэсэгт, өөрөөр хэлбэл трапецын өндрийг зурах шаардлагатай.
Гадаргуугийн талбайнууд
Сургуулийн геометрийн хичээл дээр шийдвэрлэх ёстой гол геометрийн асуудлууд пирамидын гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүнийг олох.
Хоёр төрлийн гадаргуугийн хэмжээ байдаг:
- хажуугийн элементүүдийн талбай;
- бүх гадаргуугийн талбай.
Нэрнээс нь харахад бидний юу яриад байгаа нь ойлгомжтой. Хажуугийн гадаргуу нь зөвхөн хажуугийн элементүүдийг агуулдаг. Үүнээс үзэхэд үүнийг олохын тулд та хажуугийн хавтгайн талбайг, өөрөөр хэлбэл 3-гонс тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэмэх хэрэгтэй. Хажуугийн элементүүдийн талбайн томъёог гаргаж авахыг хичээцгээе.
- 3 өнцөгт тэгш өнцөгтийн талбай нь Str=1/2(aL)-тай тэнцүү бөгөөд a нь суурийн тал, L нь апотем юм.
- Хажуугийн хавтгайн тоо нь суурийн к-гоны төрлөөс хамаарна. Жишээлбэл, ердийн дөрвөлжин пирамид нь дөрвөн хажуугийн хавтгайтай байдаг. Иймд Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L гэсэн дөрвөн дүрсийн талбайг нэмэх шаардлагатай. Утга нь 4a = Rosn, Росн нь суурийн периметр болох тул илэрхийллийг ийм байдлаар хялбарчилсан. Мөн 1/2*Rosn илэрхийлэл нь түүний хагас периметр юм.
- Тиймээс, бид хажуугийн элементүүдийн талбай гэж дүгнэж байна ердийн пирамидсуурийн хагас периметр ба апотемийн үржвэртэй тэнцүү: Sside=Rosn*L.
Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай нь хажуугийн хавтгай ба суурийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ: Sp.p = Sside + Sbas.
Суурийн талбайн хувьд энд олон өнцөгтийн төрлөөс хамааран томъёог ашиглана.
Ердийн пирамидын эзэлхүүнсуурийн хавтгайн талбайн үржвэр ба өндрийг гурваар хуваасантай тэнцүү: V=1/3*Sbas*H, H нь олон талт өндөр.
Геометрийн ердийн пирамид гэж юу вэ
Зөв зүйлийн шинж чанарууд дөрвөлжин пирамид
Таамаглал:Пирамидын хэлбэр төгс төгөлдөр болсон нь түүний хэлбэрт байдаг математикийн хуулиудтай холбоотой гэж бид үздэг.
Зорилтот:гэж пирамидыг судалсан геометрийн бие, түүний хэлбэрийн төгс байдлыг тайлбарлах.
Даалгаварууд:
1. Пирамидын математикийн тодорхойлолтыг өг.
2. Пирамидыг геометрийн биет байдлаар судал.
3. Египетчүүд ямар математикийн мэдлэгийг пирамиддаа шингээж байсныг ойлго.
Хувийн асуултууд:
1. Геометрийн биетийн хувьд пирамид гэж юу вэ?
2. Пирамидын өвөрмөц хэлбэрийг математикийн үүднээс хэрхэн тайлбарлах вэ?
3. Пирамидын геометрийн гайхамшгийг юу гэж тайлбарладаг вэ?
4. Пирамид хэлбэрийн төгс төгөлдөр байдлыг юу тайлбарладаг вэ?
Пирамидын тодорхойлолт.
ПИРАМИД (Грекийн пирамид, ген. пирамидос) - суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин (зураг) бүхий олон өнцөгт юм. Суурийн булангийн тоогоор пирамидуудыг гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт ангилдаг.
ПИРАМИД - пирамид геометрийн хэлбэртэй (заримдаа шаталсан эсвэл цамхаг хэлбэртэй) дурсгалт байгууламж. МЭӨ 3-2-р мянганы эртний Египетийн фараонуудын аварга булшнуудыг пирамид гэж нэрлэдэг. д., түүнчлэн эртний Америкийн сүм хийдийн тавцан (Мексик, Гватемал, Гондурас, Перу) зэрэг сансар судлалын шашин шүтлэгтэй холбоотой.
"Пирамид" гэсэн грек үг нь Египетийн per-em-us гэсэн үгнээс, өөрөөр хэлбэл пирамидын өндөр гэсэн үгнээс гаралтай байж магадгүй юм. Оросын нэрт египет судлаач В.Струве Грекийн “пурам...ж” нь эртний Египетийн “p”-mr”-аас гаралтай гэж үздэг.
Түүхээс. Атанасяны зохиолчдын "Геометр" сурах бичгийн материалыг судалж үзэв. Бутузов болон бусад хүмүүсээс бид мэдэж авсан: n-gon A1A2A3 ... An ба n гурвалжин PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1-ээс бүрдсэн олон өнцөгтийг пирамид гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгт A1A2A3...An нь пирамидын суурь, гурвалжин PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 нь пирамидын хажуу талууд, P нь пирамидын дээд хэсэг, PA1, PA2,..., PAn сегментүүд юм. байна хажуугийн хавирга.
Гэсэн хэдий ч пирамидын ийм тодорхойлолт үргэлж байдаггүй. Жишээлбэл, эртний Грекийн математикч, математикийн тухай онолын зохиолын зохиогч Евклид пирамидыг нэг хавтгайгаас нэг цэгт нийлдэг хавтгайгаар хязгаарлагдсан хатуу дүрс гэж тодорхойлсон байдаг.
Гэхдээ энэ тодорхойлолтыг эрт дээр үеэс шүүмжилж байсан. Тиймээс Херон пирамидын тухай дараах тодорхойлолтыг санал болгов: "Энэ бол нэг цэгт нийлдэг гурвалжингаар хязгаарлагдах дүрс бөгөөд суурь нь олон өнцөгт юм."
Манай бүлэг эдгээр тодорхойлолтыг харьцуулж үзээд "суурь" гэсэн ойлголтын тодорхой томъёолол байхгүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
Бид эдгээр тодорхойлолтуудыг судалж үзээд 1794 онд "Геометрийн элементүүд" бүтээлдээ пирамидыг дараах байдлаар тодорхойлсон Адриен Мари Лежендрегийн тодорхойлолтыг олсон: "Пирамид нь нэг цэгт нийлж, өөр өөр талуудаар төгсдөг гурвалжнуудаас үүссэн цул дүрс юм. хавтгай суурь."
Сүүлчийн тодорхойлолт нь пирамидын талаар тодорхой ойлголт өгч байгаа юм шиг санагдаж байна, учир нь суурь нь хавтгай гэсэн үг юм. 19-р зууны сурах бичигт пирамидын өөр нэг тодорхойлолт гарч ирэв: "Пирамид бол хавтгай огтлолцсон хатуу өнцөг юм."
Пирамид бол геометрийн бие юм.
Тэр. Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (суурь) нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүрүүд (талууд) нь нэг нийтлэг оройтой (пирамидын орой) гурвалжин юм.
Пирамидын оройгоос суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр гэж нэрлэдэг өндөрhпирамидууд.
Дурын пирамидаас гадна байдаг зөв пирамидсуурь нь ердийн олон өнцөгт ба таслагдсан пирамид.
Зураг дээр PABCD пирамид, ABCD нь түүний суурь, PO нь өндөр юм.
Нийт гадаргуугийн талбай пирамид нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм.
Sfull = Sside + Smain,Хаана Хажуу тал– хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр.
Пирамидын эзэлхүүн томъёогоор олно:
V=1/3Sbas. h, хаана Sbas. - суурь талбай, h- өндөр.
 |
|
Apothem ST нь ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр юм.
Ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг дараах байдлаар илэрхийлнэ: хажуу тал. =1/2P h, энд P нь суурийн периметр, h- хажуугийн нүүрний өндөр (ердийн пирамидын нэр томъёо). Хэрэв пирамид нь суурьтай параллель A'B'C'D' хавтгайтай огтлолцвол:
1) хажуугийн хавирга ба өндрийг энэ хавтгайгаар пропорциональ хэсгүүдэд хуваана;
2) хөндлөн огтлолд суурьтай төстэй A'B'C'D' олон өнцөгтийг авсан;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" өргөн "287" өндөр "151">
Таслагдсан пирамидын суурь– ижил төстэй олон өнцөгт ABCD ба A`B`C`D`, хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
Өндөртаслагдсан пирамид - суурийн хоорондох зай.
Тасалсан хэмжээпирамидыг дараах томъёогоор олно.
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="зүүн" өргөн="91" өндөр="96"> Энгийн тайрсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ: Sside = ½(P+P'). h, энд P ба P’ нь суурийн периметр, h- хажуугийн нүүрний өндөр (энгийн тайрсан пирамигийн үг
Пирамидын хэсгүүд.
Пирамидын оройг нь дайран өнгөрөх онгоцнуудын хэсгүүд нь гурвалжин юм.
Пирамидын хоёр зэргэлдээгүй хажуугийн ирмэгийг дайран өнгөрөх хэсгийг гэнэ диагональ хэсэг.
Хэрэв хэсэг нь суурийн хажуу ба хажуугийн цэгийг дайран өнгөрвөл пирамидын суурийн хавтгайд хүрэх мөр нь энэ тал байх болно.
Пирамидын нүүрэн талд байрлах цэгийг дайран өнгөрч буй хэсэг ба суурийн хавтгай дээрх өгөгдсөн хэсгийн ул мөр, дараа нь угсралтын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
· өгөгдсөн нүүрний хавтгайн огтлолцох цэг ба пирамидын огтлолын ул мөрийг олж, түүнийг тодорхойлох;
дамжин өнгөрөх шулуун шугам барих өгсөн онооба үүссэн уулзварын цэг;
· Дараагийн нүүрэнд эдгээр алхмуудыг давт.
, энэ нь хөлний харьцаатай тохирч байна зөв гурвалжин 4:3. Хөлний энэ харьцаа нь "төгс", "ариун" эсвэл "Египетийн" гурвалжин гэж нэрлэгддэг 3: 4: 5 талтай тэгш өнцөгт гурвалжинтай тохирч байна. Түүхчдийн үзэж байгаагаар "Египет" гурвалжин нь ид шидийн утгатай байсан. Египетчүүд орчлон ертөнцийн мөн чанарыг “ариун” гурвалжинтай зүйрлэсэн гэж Плутарх бичсэн; Тэд босоо хөлийг нөхөртэй, суурийг эхнэртэй, гипотенузыг хоёуланг нь төрүүлсэнтэй адилтган дүрсэлсэн.
3:4:5 гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн: 32 + 42 = 52, энэ нь Пифагорын теоремыг илэрхийлдэг. Энэ теоремыг Египетийн тахилч нар 3:4:5 гурвалжин дээр тулгуурлан пирамид босгож, мөнхжүүлэхийг хүссэн юм биш үү? Пифагорын теоремыг Пифагор нээхээс өмнө Египетчүүдэд мэддэг байсан Пифагорын теоремыг харуулах илүү амжилттай жишээ олоход хэцүү байдаг.
Ийнхүү гайхалтай бүтээгчид Египетийн пирамидуудАлс холын хойч үеийнхнийг мэдлэгийн гүнээрээ гайхшруулахыг эрэлхийлсэн бөгөөд тэд Хеопс пирамидын хувьд "алтан" тэгш өнцөгт гурвалжинг "гол геометрийн санаа" болгон, Хафре пирамидын хувьд "ариун" буюу "Египетийн" гурвалжинг сонгосноор амжилтанд хүрсэн. .
Эрдэмтэд судалгаандаа Алтан харьцаатай пирамидын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг.
Математикийн хувьд нэвтэрхий толь бичигАлтан хэсгийн дараах тодорхойлолтыг өгсөн болно - энэ нь гармоник хуваагдал, туйлын болон дундаж харьцаагаар хуваагдах - AB сегментийг хоёр хэсэгт хувааснаар түүний том хэсэг нь AC нь AB сегмент ба түүний хоорондох дундаж пропорциональ байна. жижиг хэсэг NE.
Сегментийн алтан хэсгийг алгебрийн аргаар тодорхойлох AB = a a: x = x: (a – x) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бууруулна, үүнээс x нь ойролцоогоор 0.62a-тай тэнцүү байна. x харьцааг 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618 бутархайгаар илэрхийлж болох ба энд 2, 3, 5, 8, 13, 21 нь Фибоначчийн тоонууд юм.
AB сегментийн Алтан огтлолын геометрийн бүтцийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: В цэг дээр AB-ийн перпендикуляр сэргээгдэж, BE = 1/2 AB сегментийг байрлуулж, A ба E нь холбогдсон, DE = BE. ажлаас халагдсан ба эцэст нь AC = AD, дараа нь AB тэгш байдал хангагдана: CB = 2:3.
Алтан харьцааихэвчлэн урлаг, архитектурын бүтээлүүдэд ашиглагддаг бөгөөд байгальд байдаг. Тод жишээнүүдЭдгээр нь Парфенон дахь Аполло Белведерийн баримал юм. Парфеноныг барих явцад барилгын өндрийг урттай харьцуулсан харьцааг ашигласан бөгөөд энэ харьцаа 0.618 байна. Бидний эргэн тойрон дахь объектууд Алтан харьцааны жишээг өгдөг, жишээлбэл, олон номын хавтаснууд нь 0.618-тай ойролцоо өргөн, уртын харьцаатай байдаг. Ургамлын нийтлэг ишний навчны байршлыг харгалзан үзвэл хоёр хос навч тутамд гурав дахь нь Алтан харьцаа (слайд) дээр байрладаг болохыг анзаарч болно. Бидний хүн нэг бүр Алтан харьцааг "гартаа" авч явдаг - энэ бол хурууны фалангуудын харьцаа юм.
Хэд хэдэн математикийн папирус олсны ачаар египет судлаачид эртний Египетийн тооцоо, хэмжүүрийн системийн талаар ямар нэг зүйлийг мэдэж авсан. Тэдэнд агуулагдах даалгавруудыг бичээч нар шийддэг байв. Хамгийн алдартай нь Райндын математикийн папирус юм. Эдгээр асуудлыг судалснаар египет судлаачид эртний египетчүүд жин, урт, эзэлхүүний хэмжигдэхүүнийг тооцоолохдоо ихэвчлэн бутархай хэсгүүдийг хамарсан янз бүрийн хэмжигдэхүүнүүдтэй хэрхэн харьцдаг, мөн өнцгийг хэрхэн зохицуулдаг болохыг олж мэдсэн.
Эртний египетчүүд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр ба суурийн харьцаанд үндэслэн өнцгийг тооцоолох аргыг ашигладаг байжээ. Тэд ямар ч өнцгийг градиент хэлээр илэрхийлсэн. Налуугийн налууг "seced" гэж нэрлэдэг бүхэл тооны харьцаагаар илэрхийлэв. Ричард Пиллинз "Фараонуудын эрин үеийн математик" номондоо: "Ердийн пирамидын секед нь дөрвөн гурвалжин нүүрний аль нэгнийх нь суурийн хавтгайд хазайсан байдал бөгөөд босоо өсөлтийн нэгж дэх хэвтээ нэгжийн n-р тоогоор хэмжигддэг. . Тиймээс энэ хэмжлийн нэгж нь налуу өнцгийн орчин үеийн котангенстай тэнцүү юм. Тиймээс Египетийн "секед" гэдэг үг манайхтай холбоотой орчин үеийн үг"градиент"".
Пирамидын тоон түлхүүр нь тэдний өндрийг суурьтай харьцуулсан харьцаанд оршдог. Практикийн хувьд энэ нь пирамид барих явцад налуугийн зөв өнцгийг байнга шалгаж байх шаардлагатай загваруудыг гаргах хамгийн хялбар арга юм.
Египет судлаачид фараон бүр өөрийн хувийн шинж чанарыг илэрхийлэхийг хүсдэг, иймээс пирамид бүрийн хазайлтын өнцгийн ялгааг илэрхийлэхэд таатай байх болно. Гэхдээ өөр шалтгаан байж болно. Магадгүй тэд бүгд өөр өөр харьцаагаар нуугдаж, өөр өөр бэлгэдлийн холбоог өөртөө нэгтгэхийг хүссэн байх. Гэсэн хэдий ч Khafre-ийн пирамидын өнцөг (гурвалжин (3:4:5) дээр үндэслэсэн) нь Ринд математикийн папирус дахь пирамидын танилцуулсан гурван бодлогод харагдана. Тиймээс энэ хандлагыг эртний Египетчүүд сайн мэддэг байсан.
Эртний египетчүүд 3:4:5 гурвалжны талаар мэддэггүй байсан гэж үздэг египет судлаачдад шударга байхын тулд гипотенуз 5-ын уртыг огт дурдаагүй. Гэхдээ математикийн асуудлуудПирамидтай холбоотой асуултуудыг үргэлж секеда өнцөг буюу өндөр ба суурийн харьцаагаар шийддэг. Гипотенузын уртыг хэзээ ч дурдаагүй тул египетчүүд гурав дахь талын уртыг хэзээ ч тооцоогүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
Гизагийн пирамидуудад ашигласан өндрийн суурийн харьцааг эртний Египетчүүд мэддэг байсан нь дамжиггүй. Пирамид бүрийн хувьд эдгээр харилцааг дур зоргоороо сонгосон байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь Египетийн дүрслэх урлагийн бүх төрөлд тооны бэлгэдлийн ач холбогдлыг зөрчиж байна. Шашны тодорхой санааг илэрхийлсэн учраас ийм харилцаа чухал байсан байх. Өөрөөр хэлбэл, Гизагийн цогцолбор бүхэлдээ тодорхой бурханлаг сэдвийг тусгах зорилготой уялдаа холбоотой загварт захирагдаж байв. Энэ нь дизайнерууд яагаад сонгосон тухай тайлбарлах болно өөр өөр өнцөггурван пирамидын налуу.
"Орионы нууц" номонд Баувал, Гилберт нар Гизагийн пирамидуудыг Орион одны, ялангуяа Орионы бүсний ододтой холбосон итгэл үнэмшилтэй нотолгоог үзүүлсэн бөгөөд Исис, Осирисын домогт ч мөн адил од байдаг Пирамид бүр нь Осирис, Исис, Хорус гэсэн гурван гол бурхдын нэгний төлөөлөл юм.
"ГЕОМЕТРИЙН" ГАЙХАМШИГ.
Египетийн агуу пирамидуудын дунд энэ нь онцгой байр суурь эзэлдэг Фараон Хеопсийн агуу пирамид (Хуфу). Бид Cheops пирамидын хэлбэр, хэмжээг шинжилж эхлэхээсээ өмнө египетчүүд ямар хэмжүүрийн системийг ашиглаж байсныг санах хэрэгтэй. Египетчүүд уртын гурван нэгжтэй байсан: "тохой" (466 мм) нь долоон "алга" (66.5 мм) -тэй тэнцэх бөгөөд энэ нь эргээд дөрвөн "хуруу" (16.6 мм) -тэй тэнцүү байв.
Украины эрдэмтэн Николай Васютинскийн гайхамшигт номонд өгөгдсөн аргументуудын дагуу Cheops пирамидын хэмжээсийг шинжлэн үзье (Зураг 2). Алтан харьцаа"(1990).
Ихэнх судлаачид пирамидын суурийн хажуугийн уртыг жишээ нь: Г.Фтэнцүү байна Л= 233.16 м Энэ утга нь бараг 500 "тохой" -той тохирч байна. Хэрэв "тохой" уртыг 0.4663 м-тэй тэнцүү гэж үзвэл 500 "тохой" -ыг бүрэн дагаж мөрдөх болно.
Пирамидын өндөр ( Х) нь 146.6-аас 148.2 м-ийн хооронд янз бүрээр үнэлэгддэг бөгөөд пирамидын хүлээн зөвшөөрөгдсөн өндрөөс хамааран түүний бүх харьцаа өөрчлөгддөг геометрийн элементүүд. Пирамидын өндрийн тооцооны зөрүүгийн шалтгаан юу вэ? Үнэнийг хэлэхэд, Cheops пирамид нь таслагдсан байдаг. Өнөөдөр түүний дээд тавцан нь ойролцоогоор 10´ 10 м, гэхдээ зуун жилийн өмнө энэ нь 6´ 6 м байсан нь мэдээжийн хэрэг пирамидын дээд хэсгийг задалсан бөгөөд энэ нь анхныхтай тохирохгүй байна.
Пирамидын өндрийг үнэлэхдээ бүтцийн "ноорог" гэх мэт физик хүчин зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Учир нь урт хугацааасар их даралтын нөлөөн дор (доод гадаргуугийн 1 м2 тутамд 500 тонн хүрдэг) пирамидын өндөр нь анхны өндрөөсөө буурсан байна.
Пирамидын анхны өндөр хэд байсан бэ? Пирамидын үндсэн "геометрийн санаа" -ыг олох замаар энэ өндрийг дахин бүтээж болно.
Зураг 2.
1837 онд Английн хурандаа Г.Уайз пирамидын нүүрний налуу өнцгийг хэмжсэн: энэ нь тэнцүү болж хувирав. а= 51°51". Энэ утгыг ихэнх судлаачид өнөөдрийг хүртэл хүлээн зөвшөөрсөөр байна. Заасан өнцгийн утга нь шүргэгчтэй (tg) тохирч байна. а), 1.27306-тай тэнцүү. Энэ утга нь пирамидын өндрийн харьцаатай тохирч байна АСсуурийн хагас хүртэл C.B.(Зураг 2), өөрөөр хэлбэл А.С. / C.B. = Х / (Л / 2) = 2Х / Л.
Энд судлаачдыг том гайхшрал хүлээж байна!.png" width="25" height="24">= 1.272. Энэ утгыг tg утгатай харьцуулах нь а= 1.27306, эдгээр утгууд хоорондоо маш ойрхон байгааг бид харж байна. Хэрэв бид өнцгийг авбал а= 51°50", өөрөөр хэлбэл үүнийг зөвхөн нэг нуман минутаар, дараа нь утгыг бууруулна а 1.272-той тэнцэх болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь утгатай давхцах болно. 1840 онд Г.Уайз хэмжилтээ давтан хийж, өнцгийн утгыг тодруулсныг дурдах хэрэгтэй. а=51°50".
Эдгээр хэмжилтүүд нь судлаачдыг дараах маш сонирхолтой таамаглалд хүргэв. Хеопс пирамидын ACB гурвалжин нь АС хамаарал дээр суурилагдсан / C.B. = = 1,272!
Одоо зөв гурвалжинг авч үзье ABC, аль нь хөлний харьцаа А.С. / C.B.= (Зураг 2). Хэрэв одоо тэгш өнцөгтийн талуудын урт ABC-аар томилно x, y, z, мөн түүнчлэн харьцааг харгалзан үзнэ y/x= , тэгвэл Пифагорын теоремын дагуу урт zтомъёог ашиглан тооцоолж болно:
Хэрэв бид хүлээн зөвшөөрвөл x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" өргөн "143" өндөр "27">
Зураг 3."Алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин.
Талууд нь хоорондоо холбогдсон тэгш өнцөгт гурвалжин т:алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин.
Хэрэв бид Cheops пирамидын гол "геометрийн санаа" нь "алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн таамаглалыг үндэс болгон авч үзвэл эндээс бид Cheops пирамидын "дизайн" өндрийг хялбархан тооцоолж болно. Энэ нь тэнцүү байна:
H = (L/2) ´ = 148.28 м.
Одоо "алтан" таамаглалаас үүдэлтэй Cheops пирамидын бусад хамаарлыг гаргаж авцгаая. Ялангуяа бид пирамидын гаднах талбайн суурийн талбайн харьцааг олох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хөлний уртыг авдаг C.B.нэгж тутамд, өөрөөр хэлбэл: C.B.= 1. Харин дараа нь пирамидын суурийн хажуугийн урт Г.Ф= 2 ба суурийн талбай EFGHтэнцүү байх болно SEFGH = 4.
Одоо Cheops пирамидын хажуугийн гадаргууг тооцоолъё SD. Учир нь өндөр ABгурвалжин AEFтэнцүү байна т, дараа нь хажуугийн нүүрний талбай тэнцүү байх болно SD = т. Дараа нь пирамидын бүх дөрвөн хажуугийн нийт талбай 4-тэй тэнцүү байх болно т, мөн пирамидын нийт гадна талбайн суурийн талбайн харьцаа нь алтан харьцаатай тэнцүү байх болно! Энэ бол - Cheops пирамидын гол геометрийн нууц!
Хеопс пирамидын "геометрийн гайхамшгуудын" бүлэгт пирамид дахь янз бүрийн хэмжээсүүдийн хоорондын хамаарлын бодит болон алс холын шинж чанарууд багтдаг.
Дүрмээр бол тэдгээрийг тодорхой "тогтмол" хайхад олж авдаг, тухайлбал "пи" (Людольфогийн тоо), 3.14159...; үндэслэл байгалийн логарифмууд"e" (Неперийн тоо), 2.71828...-тай тэнцүү; "F" тоо, "алтан хэсгийн тоо", жишээлбэл, 0.618... гэх мэт.
Та нэрлэж болно, жишээлбэл: 1) Геродотын өмч: (Өндөр)2 = 0.5 урлаг. үндсэн x Апотем; 2) V.-ийн өмч Үнэ: Өндөр: 0.5 арт. суурь = "F"-ийн квадрат язгуур; 3) M. Eist-ийн өмч: Суурийн периметр: 2 Өндөр = "Пи"; өөр тайлбараар - 2 tbsp. үндсэн : Өндөр = "Pi"; 4) G. Ирмэгийн өмч: Бичсэн тойргийн радиус: 0.5 арт. үндсэн = "F"; 5) К.Клеппишийн өмч: (Үндсэн зүйл.)2: 2(Үндсэн зүйл. x Апотема) = (Үндсэн урлаг. В. Апотема) = 2(Үндсэн зүйл. x Апотема) : ((2 урлаг) үндсэн X Apothem) + (v. Үндсэн)2). гэх мэт. Ялангуяа хоёр зэргэлдээх пирамидыг холбосон тохиолдолд та ийм олон шинж чанарыг гаргаж чадна. Тухайлбал, “А.Арефьевын шинж чанарууд” гэж Хеопсийн пирамид ба Хафрегийн пирамидын эзэлхүүний зөрүү нь Микериний пирамидын эзэлхүүнээс хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцэж байгааг дурьдаж болно...
Д.Хэмбижийн “Архитектур дахь динамик тэгш хэм”, М.Гикийн “Байгаль ба урлаг дахь харьцааны гоо зүй” номуудад ялангуяа “алтан харьцаа”-ны дагуу пирамид барих тухай олон сонирхолтой заалтуудыг тусгасан байдаг. “Алтан харьцаа” гэдэг нь хэрчмийг А хэсэг нь В хэсгээс хэд дахин их, А хэсэг нь А+В хэсгээс хэдэн дахин бага байхаар хуваагдахыг хэлнэ гэдгийг санацгаая. A/B харьцаа энэ тохиолдолд "F" == 1.618 тоотой тэнцүү байна .. "Алтан харьцаа"-ыг зөвхөн бие даасан пирамидуудад төдийгүй Гиза дахь бүх пирамидуудын цогцолборт зааж өгсөн болно.
Гэхдээ хамгийн сонин зүйл бол нэг л Cheops пирамид нь маш олон гайхалтай шинж чанарыг агуулж чаддаггүй явдал юм. Тодорхой эд хөрөнгийг нэг нэгээр нь аваад "тогуулж" болох боловч бүгд нэг дор таарахгүй - давхцдаггүй, хоорондоо зөрчилддөг. Тиймээс, жишээлбэл, бүх шинж чанарыг шалгахдаа бид пирамидын суурийн ижил талыг (233 м) авбал өөр өөр шинж чанартай пирамидын өндөр нь бас өөр байх болно. Өөрөөр хэлбэл, Cheops-тай гаднаасаа төстэй боловч өөр өөр шинж чанартай пирамидуудын тодорхой "гэр бүл" байдаг. "Геометрийн" шинж чанарт онцгой гайхамшигтай зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу - ихэнх нь тухайн зургийн шинж чанараас автоматаар үүсдэг. "Гайхамшиг" нь зөвхөн эртний Египетчүүдийн хувьд боломжгүй зүйл байсан гэж үзэх ёстой. Үүнд, ялангуяа Гиза дахь Хеопс пирамид эсвэл пирамидын цогцолборын хэмжилтийг зарим одон орны хэмжилтүүдтэй харьцуулж, "тэгш" тоонуудыг зааж өгсөн "сансрын" гайхамшгууд орно: сая дахин бага, тэрбум дахин бага, мөн. гэх мэт. Зарим "сансрын" харилцааг авч үзье.
Эдгээрийн нэг нь: "Хэрэв та пирамидын суурийн талыг жилийн тодорхой уртаар хуваах юм бол дэлхийн тэнхлэгийн яг 10 сая хувийг авна." Тооцоол: 233-ыг 365-д хуваавал 0.638 болно. Дэлхийн радиус нь 6378 км.
Өөр нэг мэдэгдэл нь өмнөхөөсөө эсрэгээрээ юм. Хэрэв бид түүний зохион бүтээсэн “Египет тохой”-г ашиглавал пирамидын тал нь “Нарны жилийн хамгийн үнэн зөв үргэлжлэх хугацаа буюу өдрийн тэрбум дахь нэгтэй тэнцэнэ” гэж Ф.Ноэтлинг онцолжээ - 365.540.903.777 .
П.Смитийн хэлсэн үг: "Пирамидын өндөр нь дэлхийгээс нар хүртэлх зайны яг тэрбумын нэгтэй тэнцэнэ". Хэдийгээр ихэвчлэн авдаг өндөр нь 146.6 м боловч Смит орчин үеийн радарын хэмжилтээр дэлхийн тойрог замын хагас гол тэнхлэг нь 149.597.870 + 1.6 км юм. Энэ нь Дэлхийгээс Нар хүртэлх дундаж зай боловч перигелийн үед афелионоос 5,000,000 километрээр бага байна.
Сүүлийн нэг сонирхолтой мэдэгдэл:
"Хеопс, Хафре, Микеринус пирамидуудын масс нь Дэлхий, Сугар, Ангараг гаригуудын масстай адил бие биетэйгээ холбоотой гэдгийг бид хэрхэн тайлбарлах вэ?" Тооцоод үзье. Гурван пирамидын масс нь: Khafre - 0.835; Хеопс - 1000; Микерин - 0.0915. Гурван гаригийн массын харьцаа: Сугар - 0.815; Дэлхий - 1000; Ангараг - 0.108.
Тиймээс эргэлзэж байгаа хэдий ч бид мэдэгдлийн барилгын сайн зохицлыг тэмдэглэж байна: 1) пирамидын өндөр нь "сансарт гарах" шугам шиг Дэлхийгээс Нар хүртэлх зайтай тохирч байна; 2) пирамидын суурийн тал нь "субстрат" -тай хамгийн ойрхон, өөрөөр хэлбэл Дэлхийд хамгийн ойрхон, дэлхийн радиус ба дэлхийн эргэлтийг хариуцдаг; 3) пирамидын эзэлхүүн (унших - масс) нь дэлхийд хамгийн ойр байгаа гаригуудын массын харьцаатай тохирч байна. Үүнтэй төстэй "шифр" -ийг жишээлбэл, Карл фон Фришийн дүн шинжилгээ хийсэн зөгий хэлнээс олж болно. Гэсэн хэдий ч бид одоохондоо энэ асуудлаар тайлбар хийхээс татгалзах болно.
ПИРАМИД ХЭЛБЭР
Пирамидуудын алдартай тетраэдр хэлбэр нь тэр даруй үүссэнгүй. Скифчүүд шороон толгод - толгод хэлбэрээр оршуулга хийдэг байв. Египетчүүд чулуун "толгод" - пирамидуудыг барьсан. Энэ нь дээд ба доод Египетийг нэгтгэсний дараа буюу МЭӨ 28-р зуунд Гуравдугаар гүрнийг үндэслэгч Фараон Жосер (Зосер) улс орны эв нэгдлийг бэхжүүлэх үүрэг даалгавартай тулгарах үед болсон юм.
Энд түүхчдийн үзэж байгаагаар бэхжүүлэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг төв засгийн газархааныг “бурханчлах шинэ үзэл баримтлал”-аар тоглосон. Хааны оршуулга нь илүү сүр жавхлангаараа ялгардаг байсан ч тэд зарчмын хувьд ордны язгууртнуудын булшнаас ялгаатай байсангүй, тэдгээр нь ижил бүтэцтэй байв. Муми агуулсан саркофаг бүхий танхимын дээгүүр жижиг чулуун тэгш өнцөгт толгод цутгаж, дараа нь том чулуун блокоор хийсэн жижиг барилга - "мастаба" (арабаар - "вандан") босгожээ. Фараон Жозер анхны пирамидыг өөрийн өмнөх Санахтын мастабагийн суурин дээр босгожээ. Энэ нь шаталсан бөгөөд нэг архитектурын хэлбэрээс нөгөөд, мастабагаас пирамид хүртэлх харагдах шилжилтийн үе шат байв.
Ийнхүү Грекчүүдэд хожим нь шидтэн гэж тооцогдож, Асклепиус бурхантай адилтгасан мэргэн, архитектор Имхотеп фараоныг “өсгөжээ”. Зургаан мастаба дараалан босгосон юм шиг. Түүгээр ч барахгүй анхны пирамид нь 1125 х 115 метр талбайг эзэлсэн бөгөөд тооцоолсон өндөр нь 66 метр байв (Египетийн стандартын дагуу - 1000 "алга"). Эхлээд архитектор мастаба барихаар төлөвлөж байсан ч гонзгой биш, харин дөрвөлжин төлөвлөгөөтэй байсан. Сүүлдээ өргөтгөсөн ч өргөтгөл нь доогуур хийгдсэн болохоор хоёр шаттай юм шиг санагдсан.
Энэ байдал нь архитекторын сэтгэлд нийцээгүй бөгөөд асар том хавтгай мастабагийн дээд тавцан дээр Имхотеп дахин гурвыг байрлуулж, орой руу аажмаар буурчээ. Булш нь пирамидын доор байрладаг байв.
Өөр хэд хэдэн шаттай пирамидууд мэдэгдэж байгаа боловч хожим нь барилгачид бидэнд илүү танил болсон тетраэдр пирамидуудыг барих ажилд шилжсэн. Гэхдээ яагаад гурвалжин эсвэл найман өнцөгт биш гэж? Шууд бус хариултыг бараг бүх пирамидууд дөрвөн үндсэн чиглэлийн дагуу төгс чиглүүлдэг тул дөрвөн талтай байдаг. Нэмж дурдахад пирамид нь дөрвөн өнцөгт булшны тасалгааны бүрхүүл болох "байшин" байв.
Гэхдээ нүүрний налуу өнцгийг юу тодорхойлсон бэ? "Пропорцын зарчим" номонд "Пирамидын налуу өнцгийг юу тодорхойлж болох вэ" гэсэн бүхэл бүтэн бүлгийг багтаасан болно. Тодруулбал, “Хуучин хаант улсын агуу пирамидуудын таталцаж буй дүрс нь орой дээрээ тэгш өнцөгтэй гурвалжин юм.
Сансар огторгуйд энэ нь хагас октаэдр юм: суурийн ирмэг ба талууд нь тэнцүү, ирмэгүүд нь тэгш талт гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм." Хэмбидж, Гик болон бусад хүмүүсийн номонд энэ сэдвээр тодорхой анхаарал хандуулсан болно.
Хагас октаэдр өнцгийн давуу тал нь юу вэ? Археологичид, түүхчдийн тайлбарласнаар зарим пирамидууд өөрсдийн жингийн дор нурсан. "Тэсвэртэй байдлын өнцөг" хэрэгтэй байсан бөгөөд энэ нь хамгийн эрчим хүчний найдвартай өнцөг байв. Цэвэр эмпирик байдлаар энэ өнцгийг овоолж буй хуурай элсний оройн өнцгөөс авч болно. Гэхдээ үнэн зөв мэдээлэл авахын тулд та загвар ашиглах хэрэгтэй. Дөрвөн хатуу бэхлэгдсэн бөмбөгийг авсны дараа та тав дахь бөмбөгийг байрлуулж, налуу өнцгийг хэмжих хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч та энд алдаа гаргаж болно, тиймээс онолын тооцоолол нь тусалдаг: та бөмбөгний төвүүдийг шугамаар (сэтгэцийн хувьд) холбох хэрэгтэй. Суурь нь радиусаас хоёр дахин их талтай дөрвөлжин байх болно. Квадрат нь зөвхөн пирамидын суурь байх бөгөөд ирмэгийн урт нь радиусаас хоёр дахин их байх болно.
Тиймээс 1: 4-ийн харьцаатай бөмбөгийг сайтар боох нь бидэнд ердийн хагас октаэдрийг өгөх болно.
Гэсэн хэдий ч яагаад ижил төстэй хэлбэр рүү татагддаг олон пирамидууд үүнийг хадгалдаггүй вэ? Пирамидууд хөгширч байгаа байх. Алдарт үгийн эсрэгээр:
"Дэлхийн бүх зүйл цаг хугацаанаас айдаг, цаг хугацаа пирамидуудаас айдаг" пирамидын барилгууд нь хөгшрөх ёстой бөгөөд тэдгээрт зөвхөн гадны өгөршлийн үйл явц тохиолдох төдийгүй, мөн дотоод "агшилтын" үйл явц үүсч болно. пирамидуудыг доошлуулахад хүргэдэг. Д.Дэвидовицын бүтээлээр эртний египетчүүд шохойн үртэс, өөрөөр хэлбэл "бетон"-аас блок хийх технологийг ашигласан тул агшилт нь бас боломжтой юм. Каираас өмнө зүгт 50 км-ийн зайд орших Медум пирамид сүйрсэн шалтгааныг тайлбарлаж болох яг ижил төстэй үйл явц юм. Энэ нь 4600 жилийн настай, суурийн хэмжээ нь 146 х 146 м, өндөр нь 118 м. В.Замаровский "Яагаад ийм гажигтай байгаа юм бэ?" гэж асуув. "Цаг хугацааны сүйрлийн үр нөлөө, "бусад барилгад чулуу ашиглах" гэсэн ердийн ишлэлүүд энд тохирохгүй байна.
Эцсийн эцэст түүний ихэнх блокууд, нүүрэн талын хавтангууд нь өнөөг хүртэл байрандаа, хөлд нь балгас болон үлдсэн." Бидний харж байгаачлан, хэд хэдэн заалтууд нь алдарт Хеопсийн пирамид ч мөн "хорчийсон" гэж бодоход хүргэдэг. ямар ч байсан, бүх эртний зургуудад пирамидууд үзүүртэй байдаг ...
Пирамидын хэлбэрийг дуурайлган хийсэн байж болох юм: байгалийн зарим дээж, "гайхамшигт төгс байдал" гэх мэт октаэдрон хэлбэртэй зарим талстууд.
Үүнтэй төстэй талстууд нь алмааз, алтны талст байж болно. Онцлог шинж чанартай их тооФараон, Нар, Алт, Алмаз зэрэг ойлголтуудын "давхцах" тэмдгүүд. Хаа сайгүй - эрхэмсэг, гайхалтай (гайхалтай), агуу, өө сэвгүй гэх мэт. Ижил төстэй байдал нь санамсаргүй биш юм.
Нарны шүтлэг нь шашны чухал хэсэг байсан гэдгийг мэддэг Эртний Египет. "Хамгийн агуу пирамидуудын нэрийг бид яаж орчуулсан ч хамаагүй" гэж нэг нь тэмдэглэжээ орчин үеийн туслах хэрэгслүүд"Хуфугийн огторгуй" буюу "Хуфугийн огторгуй" нь хаан бол нар гэсэн үг юм. Хэрвээ Хуфу хүч чадлынхаа хувьд өөрийгөө хоёр дахь нар гэж төсөөлсөн бол түүний хүү Жедеф-Ра болсон. Египетийн хаадын анхных нь өөрийгөө "Рагийн хүү", өөрөөр хэлбэл Нарны хүү гэж нэрлэсэн. Нар бараг бүх ард түмний дунд "нарны метал" алтаар тэмдэглэгдсэн байдаг. "Тод том диск. алт” гэж египетчүүд манайхыг ингэж нэрлэдэг байсан өдрийн гэрэл. Египетчүүд алтыг маш сайн мэддэг байсан бөгөөд алтны талстууд октаэдрон хэлбэрээр гарч ирдэг уугуул хэлбэрийг мэддэг байв.
"Нарны чулуу" буюу алмаз нь "хэлбэрийн дээж" гэдгээрээ бас сонирхолтой юм. Очир эрдэнийн нэр нь яг Арабын ертөнцөөс гаралтай, "алмас" - хамгийн хатуу, хамгийн хатуу, эвдэшгүй. Эртний Египетчүүд алмаз болон түүний шинж чанарыг маш сайн мэддэг байсан. Зарим зохиогчдын үзэж байгаагаар тэд өрөмдлөгийн ажилд алмазан зүсэгч бүхий хүрэл хоолойг хүртэл ашигладаг байжээ.
Өнөө үед алмаазын гол нийлүүлэгч нь Өмнөд Африк боловч Баруун Африк нь алмаазаар баялаг юм. Бүгд Найрамдах Мали улсын нутаг дэвсгэрийг "Очир алмаазын газар" гэж хүртэл нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ, Мали улсын нутаг дэвсгэр дээр палео зочлох таамаглалыг дэмжигчид олон найдвар төрүүлдэг Догонууд амьдардаг (доороос үзнэ үү). Эртний египетчүүдийн энэ бүс нутагтай харилцах шалтгаан нь алмаз байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч эртний Египетчүүд алмаз, алтны талстуудын октаэдрүүдийг хуулбарлах замаар яг л алмаз шиг "усгаршгүй", алт шиг "гоц" Фараонуудыг бурханлиг болгож, нарны хөвгүүдийг зөвхөн харьцуулж болох юм. байгалийн хамгийн гайхамшигтай бүтээлүүд рүү.
Дүгнэлт:
Пирамидыг геометрийн бие гэж судалж, түүний элементүүд, шинж чанаруудтай танилцсаны дараа бид пирамидын хэлбэрийн гоо үзэсгэлэнгийн талаархи үзэл бодлын үнэн зөв гэдэгт итгэлтэй байсан.
Судалгааны үр дүнд бид Египетчүүд математикийн хамгийн үнэ цэнэтэй мэдлэгийг цуглуулж, түүнийг пирамид хэлбэрээр шингээсэн гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Тиймээс пирамид бол үнэхээр байгаль, хүний хамгийн төгс бүтээл юм.
АШИГЛАСАН АШИГЛАЛТЫН ЖАГСААЛТ
"Геометр: Сурах бичиг. 7-9 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд\ гэх мэт - 9-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 1999
Сургуулийн математикийн түүх, М: "Просвещение", 1982 он.
Геометр 10-11 анги, М: "Гэгээрэл", 2000 он
Питер Томпкинс "Хеопсийн агуу пирамидын нууц", М: "Центрополиграф", 2005 он.
Интернет нөөц
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Тодорхойлолт
Пирамиднь нийтлэг оройтой \(P\) (олон өнцөгтийн хавтгайд хэвтэхгүй) олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(n\) гурвалжнуудаас бүрдэх олон өнцөгт бөгөөд түүний эсрэг талуудтай давхцаж байгаа олон өнцөгт юм. олон өнцөгтийн талууд.
Тэмдэглэл: \(PA_1A_2...A_n\) .
Жишээ нь: таван өнцөгт пирамид \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Гурвалжин \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) гэх мэт. гэж нэрлэдэг хажуугийн нүүрнүүдпирамид, сегмент \(PA_1, PA_2\) гэх мэт. – хажуугийн хавирга, олон өнцөгт \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – суурь, цэг \(P\) – дээд.
ӨндөрПирамидууд нь пирамидын оройноос суурийн хавтгайд буусан перпендикуляр юм.
Суурь нь гурвалжинтай пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр.
Пирамид гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан бол:
\((a)\) пирамидын хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна;
\((b)\) пирамидын өндөр нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг;
\(c)\) хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
\((d)\) хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
Ердийн тетраэдрнь гурвалжин пирамид бөгөөд бүх нүүр нь тэгш талт гурвалжин юм.
Теорем
\((a), (b), (c), (d)\) нөхцөлүүд тэнцүү байна.
Баталгаа
Пирамидын өндрийг олцгооё \(PH\) . Пирамидын суурийн хавтгайг \(\альфа\) гэж үзье.
1) \((a)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) байг.
Учир нь \(PH\perp \alpha\), тэгвэл \(PH\) нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд перпендикуляр байх бөгөөд энэ нь гурвалжингууд тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм. Энэ нь эдгээр гурвалжин нь нийтлэг хөл \(PH\) ба гипотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) тэнцүү байна гэсэн үг юм. Энэ нь \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) гэсэн үг. Энэ нь \(A_1, A_2, ..., A_n\) цэгүүд \(H\) цэгээс ижил зайд байгаа тул \(A_1H\) радиустай нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм. Тодорхойлолтоор энэ тойрог \(A_1A_2...A_n\) олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн байна.
2) \((b)\) нь \((c)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт, хоёр хөл дээр тэнцүү. Энэ нь тэдний өнцөг нь тэнцүү гэсэн үг, тиймээс \(\ өнцөг PA_1H=\ өнцөг PA_2H=...=\ өнцөг PA_nH\).
3) \((c)\) нь \((a)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Эхний цэгтэй төстэй гурвалжин \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт ба хөлний дагуу ба хурц булан. Энэ нь тэдний гипотенузууд мөн тэнцүү байна гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) \((b)\) нь \((d)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Учир нь жирийн олон өнцөгт дотор хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн төвүүд давхцдаг (ерөнхийдөө энэ цэгийг ердийн олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг), тэгвэл \(H\) нь бичээстэй тойргийн төв болно. \(H\) цэгээс суурийн талууд руу перпендикуляр зуръя: \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. Эдгээр нь бичээстэй тойргийн радиус юм (тодорхойлолтоор). Дараа нь TTP-ийн дагуу (\(PH\) нь хавтгайд перпендикуляр, \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. талуудын перпендикуляр проекцууд) налуу \(PK_1, PK_2\) гэх мэт. талуудтай перпендикуляр \(A_1A_2, A_2A_3\) гэх мэт. тус тус. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H\)хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Учир нь гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү (хоёр талдаа тэгш өнцөгт хэлбэртэй), дараа нь өнцөг \(\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H, ...\)тэнцүү байна.
5) \((d)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Дөрөв дэх цэгтэй адил гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү байна (хөлний дагуу тэгш өнцөгт ба хурц өнцөг) нь \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) сегментүүд гэсэн үг юм. тэнцүү. Энэ нь тодорхойлолтоор \(H\) нь сууринд сийлсэн тойргийн төв гэсэн үг юм. Гэхдээ учир нь Тогтмол олон өнцөгтүүдийн хувьд бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд давхцаж байгаа бол \(H\) нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв болно. Chtd.
Үр дагавар
Ердийн пирамидын хажуу талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Тодорхойлолт
Тогтмол пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройноос нь татсан гэж нэрлэдэг апотем.
Ердийн пирамидын бүх хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд мөн медиан ба биссектрис юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Тогтмол гурвалжин пирамидын өндөр нь суурийн өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн гурвалжин юм).
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь дөрвөлжин).
3. Тогтмол зургаан өнцөгт пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн зургаан өнцөгт).
4. Пирамидын өндөр нь сууринд байрлах дурын шулуун шугамд перпендикуляр байна.
Тодорхойлолт
Пирамид гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт, хэрэв түүний хажуугийн нэг ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал.
Чухал тэмдэглэл
1. Тэгш өнцөгт пирамидын суурьтай перпендикуляр ирмэг нь пирамидын өндөр юм. Энэ нь \(SR\) нь өндөр юм.
2. Учир нь \(SR\) нь суурийн аль ч шулуунд перпендикуляр байна \(\гурвалжин SRM, \гурвалжин SRP\)- тэгш өнцөгт гурвалжин.
3. Гурвалжин \(\гурвалжин SRN, \гурвалжин SRK\)- бас тэгш өнцөгт.
Өөрөөр хэлбэл, энэ ирмэгээс үүссэн аливаа гурвалжин ба суурь дээр байрлах энэ ирмэгийн оройноос гарч буй диагональ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
\[(\Том(\текст(Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай)))\]
Теорем
Пирамидын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба пирамидын өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. \
Үр дагавар
\(a\) нь суурийн тал, \(h\)-ийг пирамидын өндөр гэж үзье.
1. Энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун гурвалжин.пир.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн \(V_(\текст(баруун.дөрвөн.пир.))=\dfrac13a^2h\).
3. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун. зургаан пир.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Энгийн тетраэдрийн эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорем
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн хагас үржвэртэй тэнцүү байна.
\[(\Том(\текст(Frustum)))\]
Тодорхойлолт
Дурын пирамидыг авч үзье \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Пирамидын хажуугийн ирмэг дээр байрлах тодорхой цэгээр дамжуулан пирамидын суурьтай параллель хавтгай зурцгаая. Энэ хавтгай нь пирамидыг хоёр олон талт хэлбэрт хуваах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь пирамид (\(PB_1B_2...B_n\)), нөгөөг нь нэрлэдэг. таслагдсан пирамид(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Таслагдсан пирамид нь хоорондоо төстэй олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(B_1B_2...B_n\) гэсэн хоёр суурьтай.
Таслагдсан пирамидын өндөр нь дээд суурийн зарим цэгээс доод суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
2. Энгийн таслагдсан пирамидын (өөрөөр хэлбэл ердийн пирамидын хөндлөн огтлолоор олж авсан пирамид) суурийн төвүүдийг холбосон сегмент нь өндөр юм.
Гурвалжин пирамид нь суурин дээрээ гурвалжин байдаг пирамид юм. Энэ пирамидын өндөр нь пирамидын оройноос суурь хүртэл доошилсон перпендикуляр юм.
Пирамидын өндрийг олох
Пирамидын өндрийг хэрхэн олох вэ? Маш энгийн! Аливаа гурвалжин пирамидын өндрийг олохын тулд та эзлэхүүний томъёог ашиглаж болно: V = (1/3) Sh, S нь суурийн талбай, V нь пирамидын эзэлхүүн, h нь түүний өндөр юм. Энэ томъёоноос өндрийн томьёог гарга: гурвалжин пирамидын өндрийг олохын тулд та пирамидын эзэлхүүнийг 3-аар үржүүлж, үүссэн утгыг суурийн талбайд хуваах хэрэгтэй, энэ нь: h. = (3V)/S. Гурвалжин пирамидын суурь нь гурвалжин байдаг тул та гурвалжны талбайг тооцоолохдоо томъёог ашиглаж болно. Хэрэв бид мэдэж байгаа бол: S гурвалжны талбай ба түүний хажуугийн z, талбайн томьёоны дагуу S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, h нь пирамидын өндөр, γ. гурвалжны ирмэг; гурвалжны талууд ба хоёр талын хоорондох өнцгийг, дараа нь дараах томъёог ашиглан: S = (1/2)γφsinQ, энд γ, φ нь гурвалжны талууд бөгөөд бид гурвалжны талбайг олно. Q өнцгийн синусын утгыг интернетэд байгаа синусын хүснэгтээс харах шаардлагатай. Дараа нь бид талбайн утгыг өндрийн томъёонд орлуулна: h = (2S)/γ. Хэрэв даалгавар нь гурвалжин пирамидын өндрийг тооцоолохыг шаарддаг бол пирамидын эзэлхүүнийг аль хэдийн мэддэг болсон.
Ердийн гурвалжин пирамид
Ердийн гурвалжин пирамидын өндрийг ол, өөрөөр хэлбэл бүх нүүр нь тэгш талт гурвалжин байдаг пирамидын ирмэгийн хэмжээ γ-ийг мэд. Энэ тохиолдолд пирамидын ирмэгүүд нь тэгш талт гурвалжны талууд юм. Энгийн гурвалжин пирамидын өндөр нь: h = γ√(2/3), энд γ нь тэгш талт гурвалжны ирмэг, h нь пирамидын өндөр юм. Хэрэв суурийн талбай (S) тодорхойгүй бөгөөд зөвхөн ирмэгийн урт (γ) ба олон өнцөгтийн эзэлхүүн (V) өгөгдсөн бол өмнөх алхамын томъёонд шаардлагатай хувьсагчийг солих шаардлагатай. ирмэгийн уртаар илэрхийлэгдэх эквивалентаар. Гурвалжны талбай (энгийн) нь энэ гурвалжны хажуугийн уртын үржвэрийн 1/4 нь 3-ын квадрат язгууртай тэнцүү байна. Бид өмнөх суурийн талбайн оронд энэ томъёог орлуулна. томъёо, бид дараах томьёог олж авна: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Тетраэдрийн эзэлхүүнийг түүний ирмэгийн уртаар илэрхийлж болно, дараа нь зургийн өндрийг тооцоолох томъёоноос та бүх хувьсагчийг хасч, зөвхөн талыг нь үлдээж болно. гурвалжин нүүртоонууд. Ийм пирамидын эзэлхүүнийг 2-ын квадрат язгуурт нүүрнийх нь шоо дөрвөлжин урттай үржвэрээс 12-т хуваах замаар тооцоолж болно.
Энэ илэрхийллийг өмнөх томъёонд орлуулснаар бид дараах томъёог тооцоолно: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Бас зөв гурвалжин призмБөмбөрцөгт бичээстэй байж болох бөгөөд зөвхөн бөмбөрцгийн радиусыг (R) мэдэж байвал тетраэдрийн өндрийг өөрөө олох боломжтой. Тетраэдрийн ирмэгийн урт нь: γ = 4R/√6. Бид өмнөх томьёоны γ хувьсагчийг энэ илэрхийллээр сольж, h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3 томъёог авна. Тетраэдр дотор сийлсэн тойргийн радиусыг (R) мэдсэнээр ижил томьёо гаргаж болно. Энэ тохиолдолд гурвалжны ирмэгийн урт нь 12 харьцаатай тэнцүү байх болно квадрат язгуур 6 ба радиус. Бид энэ илэрхийлэлийг өмнөх томьёо руу орлуулбал: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Ердийн дөрвөлжин пирамидын өндрийг хэрхэн олох вэ
Пирамидын өндрийн уртыг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулахын тулд ердийн пирамид гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй. Дөрвөн өнцөгт пирамид нь суурин дээрээ дөрвөлжин хэлбэртэй пирамид юм. Хэрэв асуудлын нөхцөлд бид пирамидын эзэлхүүн (V) ба суурийн талбай (S) байвал олон өнцөгтийн өндрийг (h) тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна - хуваана. эзлэхүүнийг S талбайгаар 3-аар үржүүлсэн: h = (3V)/S. Өгөгдсөн эзэлхүүн (V) ба хажуугийн урт γ-тэй пирамидын дөрвөлжин суурь өгөгдсөн бол өмнөх томьёоны талбайг (S) хажуугийн уртын квадратаар солино: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Энгийн пирамидын өндөр h = SO нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр яг дамждаг. Энэхүү пирамидын суурь нь дөрвөлжин тул О цэг нь AD ба ВС диагональуудын огтлолцох цэг юм. Бидэнд: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6 байна. Дараа нь тэгш өнцөгт SOC гурвалжинд (Пифагорын теоремыг ашиглан) олно: SO = √(SC 2 -OC 2). Одоо та ердийн пирамидын өндрийг хэрхэн олохыг мэддэг болсон.
Энэхүү видео заавар нь хэрэглэгчдэд Пирамидын сэдвийн талаар ойлголттой болоход тусална. Зөв пирамид. Энэ хичээлээр бид пирамид гэдэг ойлголттой танилцаж, түүнд тодорхойлолт өгөх болно. Ердийн пирамид гэж юу болох, ямар шинж чанартай болохыг авч үзье. Дараа нь бид ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн тухай теоремыг батална.
Энэ хичээлээр бид пирамид гэдэг ойлголттой танилцаж, түүнд тодорхойлолт өгөх болно.
Олон өнцөгтийг авч үзье A 1 A 2...А н, α хавтгайд байрлах ба цэг П, α хавтгайд оршдоггүй (Зураг 1). Цэгүүдийг холбоцгооё Поргилуудтай A 1, A 2, A 3, … А н. Бид авдаг nгурвалжин: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rгэх мэт.
Тодорхойлолт. Олон өнцөгт RA 1 A 2 ...A n, бүрдсэн n-дөрвөлжин A 1 A 2...А нТэгээд nгурвалжин RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 гэж нэрлэдэг n- нүүрсний пирамид. Цагаан будаа. 1.
Цагаан будаа. 1
Дөрвөн өнцөгт пирамидыг авч үзье PABCD(Зураг 2).
Р- пирамидын дээд хэсэг.
ABCD- пирамидын суурь.
РА- хажуугийн хавирга.
AB- суурь хавирга.
Үүн дээрээс Рперпендикулярыг хаяцгаая РНсуурь хавтгайд ABCD. Перпендикуляр зурсан нь пирамидын өндөр юм.
Цагаан будаа. 2
Бүтэн гадаргууПирамид нь хажуугийн гадаргуу, өөрөөр хэлбэл бүх хажуугийн нүүрний талбай ба суурийн талбайгаас бүрдэнэ.
S дүүрэн = S тал + S гол
Пирамидыг зөв гэж нэрлэдэг бол:
- түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт;
- Пирамидын дээд хэсгийг суурийн төвтэй холбосон сегмент нь түүний өндөр юм.
Энгийн дөрвөлжин пирамидын жишээг ашиглан тайлбар
Ердийн дөрвөлжин пирамидыг авч үзье PABCD(Зураг 3).
Р- пирамидын дээд хэсэг. Пирамидын суурь ABCD- ердийн дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл дөрвөлжин. Цэг ТУХАЙ, диагональуудын огтлолцлын цэг нь квадратын төв юм. гэсэн үг, ROпирамидын өндөр.
Цагаан будаа. 3
Тайлбар: зөв nГурвалжинд бичээстэй тойргийн төв ба тойргийн төв нь давхцдаг. Энэ төвийг олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг. Заримдаа орой нь төв рүү чиглэсэн байдаг гэж хэлдэг.
Тогтмол пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройноос нь татсан гэж нэрлэдэг апотемболон томилогдсон h a.
1. энгийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү;
2. Хажуугийн нүүрнүүд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Бид ердийн дөрвөлжин пирамидын жишээн дээр эдгээр шинж чанаруудын нотолгоог өгөх болно.
Өгсөн: PABCD- ердийн дөрвөлжин пирамид,
ABCD- дөрвөлжин,
RO- пирамидын өндөр.
Нотлох:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Зураг. 4.
Цагаан будаа. 4
Баталгаа.
RO- пирамидын өндөр. Энэ нь шууд ROхавтгайд перпендикуляр ABC, тиймээс шууд ХК, VO, SOТэгээд ХИЙХдотор нь хэвтэж байна. Тиймээс гурвалжин ROA, ROV, ROS, ROD- тэгш өнцөгт.
Квадратыг авч үзье ABCD. Дөрвөлжингийн шинж чанараас ийм зүйл гарч ирнэ AO = VO = CO = ХИЙХ.
Дараа нь зөв гурвалжингууд ROA, ROV, ROS, RODхөл RO- ерөнхий ба хөл ХК, VO, SOТэгээд ХИЙХтэнцүү байна, энэ нь эдгээр гурвалжин нь хоёр талдаа тэнцүү байна гэсэн үг юм. Гурвалжны тэгш байдлаас сегментүүдийн тэгш байдал гарч ирнэ. RA = PB = RS = PD. 1-р цэг нь батлагдсан.
Сегментүүд ABТэгээд Нарижил квадратын талууд тул тэнцүү байна, RA = PB = RS. Тиймээс гурвалжин AVRТэгээд VSR -тэгш өнцөгт ба гурван талдаа тэнцүү байна.
Үүнтэй төстэй байдлаар бид гурвалжинг олдог ABP, VCP, CDP, DAP 2-р зүйлд нотлох шаардлагатай бол ижил өнцөгт ба тэнцүү байна.
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
Үүнийг батлахын тулд энгийн гурвалжин пирамидыг сонгоцгооё.
Өгсөн: RAVS- ердийн гурвалжин пирамид.
AB = BC = AC.
RO- өндөр.
Нотлох: 
. Зураг. 5.
Цагаан будаа. 5
Баталгаа.
RAVS- ердийн гурвалжин пирамид. Тэр нь AB= AC = BC. Болъё ТУХАЙ- гурвалжны төв ABC, Дараа нь ROпирамидын өндөр. Пирамидын ёроолд байрладаг тэгш талт гурвалжин ABC. Үүнийг анхаарна уу 
.
Гурвалжин RAV, RVS, RSA- тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин (өмчөөр). Гурвалжин пирамид нь гурван талтай: RAV, RVS, RSA. Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:
S тал = 3S RAW
Теорем нь батлагдсан.
Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурь дээр бичээстэй тойргийн радиус 3 м, пирамидын өндөр нь 4 м пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Өгсөн: ердийн дөрвөлжин пирамид ABCD,
ABCD- дөрвөлжин,
r= 3 м,
RO- пирамидын өндөр,
RO= 4 м.
Хай: S тал. Зураг. 6.
Цагаан будаа. 6
Шийдэл.
Батлагдсан теоремын дагуу, .
Эхлээд суурийн талыг олъё AB. Ердийн дөрвөлжин пирамидын ёроолд сийлсэн тойргийн радиус 3 м гэдгийг бид мэднэ.
Дараа нь, м.
Дөрвөлжингийн периметрийг ол ABCD 6 м талтай:
Гурвалжинг авч үзье BCD. Болъё М- хажуугийн дунд DC. Учир нь ТУХАЙ- дунд Б.Д, Тэр 
(м).
Гурвалжин DPC- тэгш өнцөгт. М- дунд DC. Энэ нь, RM- медиан, тиймээс гурвалжин дахь өндөр DPC. Дараа нь RM- пирамидын үг.
RO- пирамидын өндөр. Дараа нь шууд ROхавтгайд перпендикуляр ABC, тиймээс шууд ОМ, дотор нь хэвтэж байна. Апотемийг олцгооё RMтэгш өнцөгт гурвалжнаас ROM.
Одоо бид олж чадна хажуугийн гадаргуупирамидууд:
Хариулт: 60 м2.
Ердийн гурвалжин пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь m-тэй тэнцүү, хажуугийн гадаргуу нь 18 м 2 байна. Апотемийн уртыг ол.
Өгсөн: ABCP- ердийн гурвалжин пирамид,
AB = BC = SA,
Р= м,
S тал = 18 м2.
Хай: . Зураг. 7.
Цагаан будаа. 7
Шийдэл.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд ABCХязгаарлагдсан тойргийн радиусыг өгөв. Нэг талыг олъё ABсинусын хуулийг ашиглан энэ гурвалжин.
Хажуу талыг нь мэддэг тогтмол гурвалжин(м), түүний периметрийг олъё.
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн теоремоор, хаана h a- пирамидын үг. Дараа нь:
Хариулт: 4 м.
Тиймээс бид пирамид гэж юу болох, ердийн пирамид гэж юу болохыг судалж, ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн тухай теоремыг баталсан. Дараагийн хичээлээр бид таслагдсан пирамидтай танилцах болно.
Лавлагаа
- Геометр. 10-11-р анги: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг (үндсэн ба тусгай түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй.
- Геометр. 10-11 анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 х.: өвчтэй.
- Геометр. 10-р анги: Математикийг гүнзгийрүүлэн, төрөлжүүлэн судалдаг ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг /Э. В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М .: Bustard, 008. - 233 х.: өвчтэй.
- "Yaklass" интернет портал ()
- "9-р сарын нэг" сурган хүмүүжүүлэх санааны наадам ()
- "Slideshare.net" интернет портал ()
Гэрийн даалгавар
- Тогтмол олон өнцөгт нь жигд бус пирамидын суурь байж чадах уу?
- Энгийн пирамидын салангид ирмэгүүд перпендикуляр гэдгийг батал.
- Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн хажуугийн хоёр өнцөгт өнцгийн утгыг олоорой.
- RAVS- ердийн гурвалжин пирамид. Пирамидын суурь дээр хоёр талт өнцгийн шугаман өнцгийг байгуул.