Энэхүү видео заавар нь хэрэглэгчдэд Пирамидын сэдвийн талаар ойлголттой болоход тусална. Зөв пирамид. Энэ хичээлээр бид пирамид гэдэг ойлголттой танилцаж, түүнд тодорхойлолт өгөх болно. Ердийн пирамид гэж юу болох, ямар шинж чанартай болохыг авч үзье. Дараа нь бид ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн тухай теоремыг батална.

Энэ хичээлээр бид пирамид гэдэг ойлголттой танилцаж, түүнд тодорхойлолт өгөх болно.

Олон өнцөгтийг авч үзье A 1 A 2...А н, α хавтгайд байрлах ба цэг П, α хавтгайд оршдоггүй (Зураг 1). Цэгүүдийг холбоно Поргилуудтай A 1, A 2, A 3, … А н. Бид авдаг nгурвалжин: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rгэх мэт.

Тодорхойлолт. Олон өнцөгт RA 1 A 2 ...A n, бүрдсэн n-дөрвөлжин A 1 A 2...А нТэгээд nгурвалжин RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 гэж нэрлэдэг n- нүүрсний пирамид. Цагаан будаа. 1.

Цагаан будаа. 1

Дөрвөн өнцөгт пирамидыг авч үзье PABCD(Зураг 2).

Р- пирамидын дээд хэсэг.

ABCD- пирамидын суурь.

РА- хажуугийн хавирга.

AB- суурь хавирга.

Нэг цэгээс Рперпендикулярыг хаяцгаая РНсуурь хавтгайд ABCD. Перпендикуляр зурсан нь пирамидын өндөр юм.

Цагаан будаа. 2

Пирамидын бүрэн гадаргуу нь хажуугийн гадаргуу, өөрөөр хэлбэл бүх хажуугийн нүүрний талбай ба суурийн талбайгаас бүрдэнэ.

S дүүрэн = S тал + S гол

Пирамидыг зөв гэж нэрлэдэг бол:

• түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт;
• Пирамидын дээд хэсгийг суурийн төвтэй холбосон сегмент нь түүний өндөр юм.

Зөв жишээг ашиглан тайлбар дөрвөлжин пирамид

Ердийн дөрвөлжин пирамидыг авч үзье PABCD(Зураг 3).

Р- пирамидын дээд хэсэг. Пирамидын суурь ABCD- ердийн дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл дөрвөлжин. Цэг ТУХАЙ, диагональуудын огтлолцлын цэг нь квадратын төв юм. гэсэн үг, ROпирамидын өндөр.

Цагаан будаа. 3

Тайлбар: зөв nГурвалжинд бичээстэй тойргийн төв ба тойргийн төв нь давхцдаг. Энэ төвийг олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг. Заримдаа орой нь төв рүү чиглэсэн байдаг гэж хэлдэг.

Тогтмол пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройноос нь татсан гэж нэрлэдэг апотемболон томилогдсон h a.

1. бүх зүйл хажуугийн хавиргаердийн пирамидын хэмжээ тэнцүү байна;

2. хажуугийн нүүрнүүднь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Бид ердийн дөрвөлжин пирамидын жишээн дээр эдгээр шинж чанаруудын нотолгоог өгөх болно.

Өгсөн: PABCD- ердийн дөрвөлжин пирамид,

ABCD- дөрвөлжин,

RO- пирамидын өндөр.

Нотлох:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Зураг. 4.

Цагаан будаа. 4

Баталгаа.

RO- пирамидын өндөр. Өөрөөр хэлбэл шулуун ROхавтгайд перпендикуляр ABC, тиймээс шууд ХК, VO, SOТэгээд ХИЙХдотор нь хэвтэж байна. Тиймээс гурвалжин ROA, ROV, ROS, ROD- тэгш өнцөгт.

Квадратыг авч үзье ABCD. Дөрвөлжингийн шинж чанараас ийм зүйл гарч ирнэ AO = VO = CO = ХИЙХ.

Дараа нь зөв гурвалжингууд ROA, ROV, ROS, RODхөл RO- ерөнхий ба хөл ХК, VO, SOТэгээд ХИЙХтэнцүү байна, энэ нь эдгээр гурвалжин хоёр талдаа тэнцүү байна гэсэн үг юм. Гурвалжны тэгш байдлаас сегментүүдийн тэгш байдал гарч ирнэ. RA = PB = RS = PD. 1-р цэг нь батлагдсан.

Сегментүүд ABТэгээд Нарижил квадратын талууд тул тэнцүү байна, RA = PB = RS. Тиймээс гурвалжин AVRТэгээд VSR -тэгш өнцөгт ба гурван талдаа тэнцүү байна.

Үүнтэй төстэй байдлаар бид гурвалжинг олдог ABP, VCP, CDP, DAP 2-р зүйлд нотлох шаардлагатай бол ижил өнцөгт ба тэнцүү байна.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Үүнийг батлахын тулд энгийн гурвалжин пирамидыг сонгоцгооё.

Өгсөн: RAVS- ердийн гурвалжин пирамид.

AB = BC = AC.

RO- өндөр.

Нотлох: . Зураг. 5.

Цагаан будаа. 5

Баталгаа.

RAVS- ердийн гурвалжин пирамид. Тэр нь AB= AC = BC. Болъё ТУХАЙ- гурвалжны төв ABC, Дараа нь ROпирамидын өндөр. Пирамидын ёроолд байрладаг тэгш талт гурвалжин ABC. Үүнийг анхаарна уу .

Гурвалжин RAV, RVS, RSA- тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин (өмчөөр). У гурвалжин пирамидгурван талын нүүр: RAV, RVS, RSA. Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

S тал = 3S RAW

Теорем нь батлагдсан.

Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурь дээр бичээстэй тойргийн радиус 3 м, пирамидын өндөр нь 4 м пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Өгсөн: ердийн дөрвөлжин пирамид ABCD,

ABCD- дөрвөлжин,

r= 3 м,

RO- пирамидын өндөр,

RO= 4 м.

Хай: S тал. Зураг. 6.

Цагаан будаа. 6

Шийдэл.

Батлагдсан теоремын дагуу, .

Эхлээд суурийн талыг олъё AB. Ердийн дөрвөлжин пирамидын ёроолд сийлсэн тойргийн радиус 3 м гэдгийг бид мэднэ.

Дараа нь, м.

Дөрвөлжингийн периметрийг ол ABCD 6 м талтай:

Гурвалжинг авч үзье BCD. Болъё М- хажуугийн дунд DC. Учир нь ТУХАЙ- дунд Б.Д, Тэр (м).

Гурвалжин DPC- тэгш өнцөгт. М- дунд DC. Энэ нь, RM- медиан, тиймээс гурвалжин дахь өндөр DPC. Дараа нь RM- пирамидын үг.

RO- пирамидын өндөр. Дараа нь шууд ROхавтгайд перпендикуляр ABC, тиймээс шууд ОМ, дотор нь хэвтэж байна. Апотемийг олцгооё RMтэгш өнцөгт гурвалжнаас ROM.

Одоо бид олж чадна хажуугийн гадаргуупирамидууд:

Хариулах: 60 м2.

Ердийн гурвалжин пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь m-тэй тэнцүү, хажуугийн гадаргуу нь 18 м 2 байна. Апотемийн уртыг ол.

Өгсөн: ABCP- ердийн гурвалжин пирамид,

AB = BC = SA,

Р= м,

S тал = 18 м2.

Хай: . Зураг. 7.

Цагаан будаа. 7

Шийдэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд ABCХязгаарлагдсан тойргийн радиусыг өгөв. Нэг талыг олъё ABсинусын хуулийг ашиглан энэ гурвалжин.

Тогтмол гурвалжны талыг (м) мэдэж, бид түүний периметрийг олдог.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн теоремоор, хаана h a- пирамидын үг. Дараа нь:

Хариулах: 4 м.

Тиймээс бид пирамид гэж юу болох, ердийн пирамид гэж юу болохыг судалж, ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн тухай теоремыг баталсан. Дараагийн хичээлээр бид таслагдсан пирамидтай танилцах болно.

Лавлагаа

1. Геометр. 10-11-р анги: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг (үндсэн ба тусгай түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, илч. болон нэмэлт - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй.
2. Геометр. 10-11 анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ Шарыгин I.F. - М.: Bustard, 1999. - 208 х.: өвчтэй.
3. Геометр. 10-р анги: Математикийг гүнзгийрүүлэн, төрөлжүүлэн судалдаг ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг /Э. В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М .: Bustard, 008. - 233 х.: өвчтэй.

1. "Yaklass" интернет портал ()
2. "9-р сарын нэг" сурган хүмүүжүүлэх санааны наадам ()
3. "Slideshare.net" интернет портал ()

Гэрийн даалгавар

1. Тогтмол олон өнцөгт нь жигд бус пирамидын суурь байж чадах уу?
2. Энгийн пирамидын салангид ирмэгүүд перпендикуляр гэдгийг батал.
3. Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн хажуугийн хоёр өнцөгт өнцгийн утгыг олоорой.
4. RAVS- ердийн гурвалжин пирамид. Пирамидын суурь дээр хоёр талт өнцгийн шугаман өнцгийг байгуул.

Тодорхойлолт. Хажуугийн ирмэг- энэ бол нэг өнцөг нь пирамидын дээд хэсэгт байрлах гурвалжин бөгөөд эсрэг тал нь суурийн талтай (олон өнцөгт) давхцдаг.

Тодорхойлолт. Хажуугийн хавирга- эдгээр нь хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд юм. Пирамид нь олон өнцөгтийн өнцөгтэй адил олон ирмэгтэй байдаг.

Тодорхойлолт. Пирамидын өндөр- энэ нь пирамидын дээд талаас доош буусан перпендикуляр юм.

Тодорхойлолт. Апотем- энэ нь пирамидын дээд талаас суурийн хажуу руу доошлуулсан пирамидын хажуугийн гадаргуутай перпендикуляр юм.

Тодорхойлолт. Диагональ хэсэг- энэ нь пирамидын дээд ба суурийн диагональ дундуур дайран өнгөрч буй хавтгайгаар пирамидын хэсэг юм.

Тодорхойлолт. Зөв пирамидЭнэ нь суурь нь ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй, өндөр нь суурийн төв хүртэл доошоо буудаг пирамид юм.

Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай

Томъёо. Пирамидын эзэлхүүнсуурь талбай ба өндрөөр:

Пирамидын шинж чанарууд

Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол пирамидын суурийг тойруулан тойрог зурж болох бөгөөд суурийн төв нь тойргийн төвтэй давхцдаг. Мөн дээрээс унасан перпендикуляр нь суурийн төв (тойрог) дамжин өнгөрдөг.

Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байвал тэдгээр нь ижил өнцгөөр суурийн хавтгайд налуу байна.

Хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайтай үүсэх үед тэнцүү байна тэнцүү өнцөгэсвэл пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол.

Хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байвал пирамидын сууринд тойрог бичиж, пирамидын дээд хэсгийг төв рүү нь чиглүүлж болно.

Хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байвал хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд тэнцүү байна.

Ердийн пирамидын шинж чанарууд

1. Пирамидын дээд хэсэг нь суурийн бүх булангаас ижил зайд байрладаг.

2. Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна.

3. Хажуугийн бүх хавирга нь суурьтай ижил өнцгөөр налуу байна.

4. Хажуугийн бүх нүүрнүүдийн тэмдэгтүүд тэнцүү байна.

5. Хажуугийн бүх нүүрний талбайнууд тэнцүү байна.

6. Бүх нүүр нь хоёр талт (хавтгай) өнцөгтэй.

7. Пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно. Хязгаарлагдмал бөмбөрцгийн төв нь ирмэгийн дундуур дамждаг перпендикуляруудын огтлолцох цэг болно.

8. Бөмбөрцгийг пирамид дотор оруулж болно. Бичсэн бөмбөрцгийн төв нь ирмэг ба суурийн хоорондох өнцгөөс гарч буй биссектрисын огтлолцох цэг болно.

9. Хэрэв бичээстэй бөмбөрцгийн төв нь хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн төвтэй давхцаж байвал орой дээрх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь π-тэй тэнцүү эсвэл эсрэгээр, нэг өнцөг нь π/n-тэй тэнцүү, энд n нь тоо юм. пирамидын суурь дахь өнцгүүдийн .

Пирамид ба бөмбөрцөг хоорондын холбоо

Пирамидын сууринд тойргийг дүрсэлж болох олон өнцөгт байгаа бол пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно (зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь пирамидын хажуугийн ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр перпендикуляр өнгөрч буй хавтгайн огтлолцох цэг болно.

Аливаа гурвалжин эсвэл ердийн пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрслэх боломжтой байдаг.

Хэрэв пирамидын дотоод хоёр талт өнцгүүдийн биссектрисын хавтгайнууд нэг цэгт огтлолцож байвал бөмбөрцгийг пирамид дотор бичиж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв байх болно.

Пирамид ба конус хоёрын хамаарал

Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын сууринд бичээстэй байвал конусыг пирамид дотор бичдэг гэнэ.

Хэрэв пирамидын нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамид хэлбэрээр бичиж болно.

Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн байвал конусыг тойрон хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.

Пирамид ба цилиндрийн хоорондын хамаарал

Пирамидын дээд хэсэг нь цилиндрийн нэг суурин дээр, харин пирамидын суурь нь цилиндрийн өөр сууринд бичээстэй байвал пирамидыг цилиндрт бичээстэй гэж нэрлэдэг.

Пирамидын суурийг тойруулан тойрог дүрсэлж чадвал цилиндрийг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.

Тодорхойлолт. Таслагдсан пирамид (пирамид призм)нь пирамидын суурь ба суурьтай параллель огтлолын хавтгайн хооронд байрладаг олон өнцөгт юм. Тиймээс пирамид нь том суурьтай төстэй, жижиг суурьтай байдаг. Хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.

Тодорхойлолт. Гурвалжин пирамид (тетраэдр)нь гурван нүүр ба суурь нь дурын гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм.

Тетраэдр нь дөрвөн нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэгтэй бөгөөд аль ч хоёр ирмэг нь нийтлэг оройгүй боловч хүрч болохгүй.

Орой бүр нь гурван нүүр, ирмэгээс бүрддэг гурвалжин өнцөг.

Тетраэдрийн оройг эсрэг талын нүүрний төвтэй холбосон сегментийг нэрлэдэг тетраэдрийн медиан(GM).

Бимедианхүрэлцдэггүй эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг (KL).

Тетраэдрийн бүх бимедиан ба медианууд нэг цэгт (S) огтлолцдог. Энэ тохиолдолд хоёр медианыг хагасаар хувааж, дээд талаас нь 3: 1 харьцаагаар хуваана.

Тодорхойлолт. Ташуу пирамидирмэгүүдийн аль нэг нь суурьтай мохоо өнцөг (β) үүсгэдэг пирамид юм.

Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт пирамиднь хажуугийн аль нэг нүүр нь сууринд перпендикуляр байрладаг пирамид юм.

Тодорхойлолт. Хурц өнцөгт пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн хагасаас илүү урттай пирамид.

Тодорхойлолт. Мохоо пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн хагасаас бага урттай пирамид.

Тодорхойлолт. Ердийн тетраэдр- дөрвөн нүүр нь тэгш талт гурвалжин байдаг тетраэдр. Энэ нь ердийн таван олон өнцөгтийн нэг юм. Ердийн тетраэдрт бүх хоёр талт өнцөг (нүүрний хоорондох) ба гурвалсан өнцөг (орой дээр) тэнцүү байна.

Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт тетраэдророй дээрх гурван ирмэгийн хооронд тэгш өнцөгтэй (ирмэгүүд нь перпендикуляр) байдаг тетраэдр гэж нэрлэдэг. Гурван нүүр үүсдэг тэгш өнцөгт гурвалжин өнцөгба ирмэгүүд нь зөв гурвалжин, суурь нь дурын гурвалжин юм. Аливаа царайны нэрийн тэмдэг нь апотем унасан суурийн талтай тэнцүү байна.

Тодорхойлолт. Изохедр тетраэдрХажуу тал нь хоорондоо тэнцүү, суурь нь тетраэдр гэж нэрлэгддэг тогтмол гурвалжин. Ийм тетраэдр нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй нүүртэй байдаг.

Тодорхойлолт. Ортоцентрик тетраэдрдээрээс эсрэг талын нүүр рүү буулгасан бүх өндөр (перпендикуляр) нэг цэгт огтлолцдог тетраэдр гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Од пирамидсуурь нь од байдаг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Бипирамид- хоёр өөр пирамидаас бүрдэх олон өнцөгт (пирамидуудыг таслах боломжтой), нийтлэг суурьтай, оройнууд нь суурийн хавтгайн эсрэг талд байрладаг.

Пирамид. Таслагдсан пирамид

Пирамидолон өнцөгт, нэг нүүр нь олон өнцөгт ( суурь ), бусад бүх нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин ( хажуугийн нүүрнүүд ) (Зураг 15). Пирамид гэж нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байвал (Зураг 16). Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр .

Хажуугийн хавиргаПирамидын хажуугийн нүүр нь сууринд хамаарахгүй тал юм Өндөр пирамид нь түүний оройноос суурь хавтгай хүртэлх зай юм. Ердийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, хажуугийн бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Оройноос зурсан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг гэнэ апотем . Диагональ хэсэг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар пирамидын зүсэлт гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн гадаргуугийн талбайпирамид нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Талбай бүрэн гадаргуу бүх хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Теоремууд

1. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.

2. Хэрэв пирамид бүх хажуугийн ирмэгүүд байвал тэнцүү урттай, дараа нь пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ.

3. Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү тусна.

Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд зөв томьёо нь:

Хаана В- эзлэхүүн;

S суурь- суурь талбай;

Х- пирамидын өндөр.

Ердийн пирамидын хувьд дараах томъёо зөв байна.

Хаана х- суурийн периметр;

h a- үг хэллэг;

Х- өндөр;

S дүүрэн

S тал

S суурь- суурь талбай;

В- ердийн пирамидын эзэлхүүн.

Таслагдсан пирамидПирамидын суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгай хооронд хаагдсан хэсгийг гэж нэрлэдэг (Зураг 17). Тогтмол таслагдсан пирамид нь суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн ердийн пирамидын хэсэг юм.

Үндэслэлтаслагдсан пирамид - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр - трапецууд. Өндөр Таслагдсан пирамидын хэмжээ нь түүний суурийн хоорондох зай юм. Диагональ Таслагдсан пирамид нь нэг нүүрэн дээр байрладаггүй оройг нь холбосон сегмент юм. Диагональ хэсэг нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар таслагдсан пирамидын хэсэг юм.

Таслагдсан пирамидын хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

(4)

Хаана С 1 , С 2 - дээд ба доод суурийн хэсгүүд;

S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай;

S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай;

Х- өндөр;

В– таслагдсан пирамидын эзэлхүүн.

Энгийн тайрсан пирамидын хувьд томъёо зөв байна:

Хаана х 1 , х 2 - суурийн периметр;

h a– ердийн тайрсан пирамидын үг.

Жишээ 1.Ердийн гурвалжин пирамид дээр суурийн хоёр талт өнцөг нь 60º байна. Суурийн хавтгайд хажуугийн ирмэгийн налуу өнцгийн тангенсыг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 18).

Пирамид нь тогтмол бөгөөд энэ нь суурь дээр тэгш талт гурвалжин, бүх хажуугийн нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин байна гэсэн үг юм. Суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн суурийн хавтгайд налуугийн өнцөг юм. Шугаман өнцөг нь өнцөг юм ахоёр перпендикулярын хооронд: гэх мэт. Пирамидын дээд хэсэг нь гурвалжны төвд (тойрог ба гурвалжны бичээстэй тойрог) төвлөрсөн байна. ABC). Хажуугийн ирмэгийн налуу өнцөг (жишээлбэл С.Б.) нь ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Хавирганы хувьд С.Б.энэ өнцөг нь өнцөг болно SBD. Шүргэгчийг олохын тулд та хөлийг мэдэх хэрэгтэй SOТэгээд О.Б.. Сегментийн уртыг үзье Б.Д 3-тай тэнцүү А. Цэг ТУХАЙсегмент Б.Дгэсэн хэсгүүдэд хуваагдана: мөн From we find SO: Бидний олж мэдсэнээр:

Хариулт:

Жишээ 2.Суурийн диагональ нь см ба см-тэй тэнцүү, өндөр нь 4 см бол ердийн таслагдсан дөрвөлжин пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Шийдэл.Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг олохын тулд бид (4) томъёог ашиглана. Суурийн талбайг олохын тулд тэдгээрийн диагональуудыг мэдэхийн тулд суурийн квадратуудын талыг олох хэрэгтэй. Суурийн талууд нь 2 см ба 8 см-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь суурийн талбайг илэрхийлнэ гэсэн үг бөгөөд бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулж, бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолно.

Хариулт: 112 см 3.

Жишээ 3.Суурийн талууд нь 10 см ба 4 см, пирамидын өндөр нь 2 см хэмжээтэй энгийн гурвалжин зүсэгдсэн пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 19).

Энэ пирамидын хажуугийн нүүр нь хоёр талт трапец юм. Трапецын талбайг тооцоолохын тулд та суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Суурь нь нөхцөл байдлын дагуу өгөгдсөн бөгөөд зөвхөн өндөр нь тодорхойгүй хэвээр байна. Бид түүнийг хаанаас олох болно А 1 Эцэгээс перпендикуляр А 1 доод суурийн хавтгай дээр, А 1 Д-аас перпендикуляр А 1 тутамд АС. А 1 Э= 2 см, учир нь энэ нь пирамидын өндөр юм. олохын тулд Д.ЭДээд талын үзэмжийг харуулсан нэмэлт зургийг хийцгээе (Зураг 20). Цэг ТУХАЙ– дээд ба доод суурийн төвүүдийн проекц. оноос хойш (20-р зургийг үз) болон Нөгөө талаас OK– тойрог дотор бичээстэй радиус ба ОМ- тойрог дотор бичсэн радиус:

MK = DE.

-аас Пифагорын теоремын дагуу

Хажуугийн нүүрний хэсэг:

Хариулт:

Жишээ 4.Пирамидын ёроолд суурь нь ижил өнцөгт трапец хэлбэртэй байдаг АТэгээд б (а> б). Хажуугийн нүүр бүр нь пирамидын суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг j. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 21). Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай SABCDтрапецын талбай ба талбайн нийлбэртэй тэнцүү ABCD.

Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ гэсэн мэдэгдлийг ашиглая. Цэг ТУХАЙ– оройн проекц Спирамидын ёроолд. Гурвалжин SODгурвалжны ортогональ проекц юм CSDсуурийн хавтгайд. Ортогональ проекцын талбайн тухай теоремоор хавтгай дүрсбид авах:

Үүнтэй адил гэсэн үг Тиймээс трапецын талбайг олоход асуудал багассан ABCD. Трапецийг зурцгаая ABCDтусад нь (Зураг 22). Цэг ТУХАЙ– трапец хэлбэрээр бичсэн тойргийн төв.

Тойрог трапец хэлбэрээр бичиж болох тул Пифагорын теоремоос бид

Эндээс та пирамид болон холбогдох томьёо, ойлголтуудын талаарх үндсэн мэдээллийг олж авах боломжтой. Бүгдийг нь улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхийн тулд математикийн багштай хамт суралцдаг.

Хавтгай, олон өнцөгтийг авч үзье , дотор нь хэвтэж байгаа ба S цэг, дотор нь хэвтээгүй. Олон өнцөгтийн бүх оройтой S-г холбоно. Үүссэн олон өнцөгтийг пирамид гэж нэрлэдэг. Сегментүүдийг хажуугийн хавирга гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийг суурь гэж нэрлэдэг ба S цэг нь пирамидын орой юм. Пирамидыг n тооноос хамааран гурвалжин (n=3), дөрвөн өнцөгт (n=4), таван өнцөгт (n=5) гэх мэтээр нэрлэдэг. Гурвалжин пирамидын өөр нэр тетраэдр. Пирамидын өндөр нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэл бууж буй перпендикуляр юм.

Пирамидыг ердийн if гэж нэрлэдэг энгийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын өндрийн суурь (перпендикуляр суурь) нь түүний төв юм.

Багшийн сэтгэгдэл:
"Ердийн пирамид" ба "ердийн тетраэдр" гэсэн ойлголтыг бүү андуураарай. Энгийн пирамидын хувьд хажуугийн ирмэг нь суурийн ирмэгтэй тэнцүү байх албагүй, харин ердийн тетраэдр дээр бүх 6 ирмэг нь тэнцүү байна. Энэ бол түүний тодорхойлолт юм. Тэгш байдал нь олон өнцөгтийн P төв давхцаж байгааг батлахад хялбар байдаг суурь өндөртэй тул ердийн тетраэдр нь ердийн пирамид юм.

Апотем гэж юу вэ?
Пирамидын нэр томъёо нь түүний хажуугийн нүүрний өндөр юм. Хэрэв пирамид нь тогтмол байвал түүний бүх нэр томъёо тэнцүү байна. Урвуу нь үнэн биш юм.

Математикийн багш өөрийн нэр томъёоны талаар: Пирамидтай хийсэн ажлын 80% нь хоёр төрлийн гурвалжингаар бүтээгдсэн байдаг.
1) Апотем SK, өндөр SP агуулсан
2) Хажуугийн ирмэг SA, түүний төсөөлөл ТХГН-ийг агуулсан

Эдгээр гурвалжнуудын эшлэлийг хялбарчлахын тулд математикийн багш эхний гурвалжинг дуудах нь илүү тохиромжтой. апотемал, хоёр дахь нь эргийн. Харамсалтай нь та энэ нэр томьёог аль ч сурах бичгээс олж харахгүй бөгөөд багш үүнийг нэг талдаа нэвтрүүлэх ёстой.

Пирамидын эзэлхүүний томъёо:
1) , пирамидын суурийн талбай хаана байна, пирамидын өндөр
2) , энд бичээстэй бөмбөрцгийн радиус ба пирамидын нийт гадаргуугийн талбай юм.
3) , энд MN нь дурын хоёр огтлолцох ирмэгийн хоорондох зай бөгөөд үлдсэн дөрвөн ирмэгийн дунд цэгээс үүссэн параллелограммын талбай юм.

Пирамидын өндрийн суурийн шинж чанар:

Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд P цэг (зураг харна уу) пирамидын ёроолд байгаа тойргийн төвтэй давхцана.
1) Бүх нэрийн үгс тэнцүү байна
2) Хажуугийн бүх нүүр нь суурь руу жигд налуу байна
3) Бүх апотемууд пирамидын өндөрт адилхан налуу байна
4) Пирамидын өндөр нь бүх хажуугийн нүүрэн дээр тэгш налуу байна

Математикийн багшийн тайлбар: Бүх цэгүүдийг нэг нийтлэг өмчөөр нэгтгэдэг гэдгийг анхаарна уу: нэг талаараа хажуугийн нүүрнүүд хаа сайгүй оролцдог (апотемууд нь тэдгээрийн элементүүд юм). Тиймээс багш нь бага нарийвчлалтай, гэхдээ сурахад илүү тохиромжтой, томъёоллыг санал болгож болно: P цэг нь бичээстэй тойргийн төв, пирамидын суурь, хэрэв түүний хажуугийн нүүрний талаар ижил төстэй мэдээлэл байгаа бол давхцдаг. Үүнийг батлахын тулд бүх апотем гурвалжин тэнцүү гэдгийг харуулахад хангалттай.

Гурван нөхцлийн аль нэг нь үнэн бол P цэг нь пирамидын суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвтэй давхцаж байна.
1) Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна
2) Хажуугийн бүх хавирга нь суурь руу жигд налуу байна
3) Хажуугийн бүх хавирга нь өндөрт адилхан налуу байна