Оршил
Тооцооллыг хурдасгах, хялбаршуулах зорилгоор логарифмуудыг зохион бүтээсэн. Логарифмын санаа, өөрөөр хэлбэл тоог ижил суурийн хүч болгон илэрхийлэх санаа нь Михаил Штифелийнх юм. Гэвч Стифелийн үед математик тийм ч хөгжөөгүй, логарифмын санаа ч хөгжөөгүй байв. Логарифмыг хожим Шотландын эрдэмтэн Жон Непьер (1550-1617) нэгэн зэрэг, бие биенээсээ хамааралгүйгээр зохион бүтээсэн бөгөөд Швейцарийн Жобст Бурги (1552-1632) уг бүтээлийг 1614 онд анх хэвлүүлсэн. "Логарифмын гайхалтай хүснэгтийн тайлбар" нэртэй Напиерийн логарифмын онолыг хангалттай хэмжээгээр өгсөн. бүрэн, логарифмыг тооцоолох аргыг хамгийн энгийнээр нь өгсөн тул логарифмийг зохион бүтээхэд Непиерийн гавьяа Бургигийнхаас их байна. Бурги Напиертэй нэгэн зэрэг ширээн дээр ажиллаж байсан боловч удаан хугацаанд нууцалж, зөвхөн 1620 онд нийтлэв. Напиер 1594 онд логарифмын санааг эзэмшсэн. хэдийгээр хүснэгтүүдийг 20 жилийн дараа нийтэлсэн. Эхлээд тэрээр логарифмуудаа "хиймэл тоо" гэж нэрлэсэн бөгөөд зөвхөн дараа нь эдгээр "хиймэл тоо" -ыг Грек хэлнээс "харилцан хамааралтай тоо" гэсэн утгатай "логарифм" гэж нэрлэхийг санал болгов. тусгайлан сонгосон геометр прогресс. Орос хэл дээрх анхны хүснэгтүүд 1703 онд хэвлэгдсэн. 18-р зууны гайхамшигт багшийн оролцоотойгоор. Л.Ф.Магнитский. Логарифмын онолыг хөгжүүлэхэд их ач холбогдолСанкт-Петербургийн академич Леонхард Эйлерийн бүтээлүүд байсан. Тэрээр логарифмыг хүчин чадалд хүргэхийн урвуу хүчин зүйл гэж үзсэн анхны хүн бөгөөд тэрээр "логарифмын суурь" ба "мантисса" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн. Бриггс 10 суурьтай логарифмын хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Напиерийн логарифмуудаас илүү энгийн. Тиймээс аравтын логарифмыг заримдаа Бригс логарифм гэж нэрлэдэг. Бриггс "шинж чанар" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн.
Мэргэдүүд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан тэгш байдлын талаар анх бодож эхэлсэн тэр алс үед зоос, хэтэвч байгаагүй байх. Гэхдээ тэнд овоолго, түүнчлэн сав, сагс байсан бөгөөд тэдгээр нь тодорхойгүй тооны эд зүйлсийг хадгалах боломжтой хадгалах кэшийн үүрэг гүйцэтгэхэд тохиромжтой байв. Эртний үед математикийн асуудлуудМесопотами, Энэтхэг, Хятад, Грек, үл мэдэгдэх тоо хэмжээ нь цэцэрлэгт тогос тоо, сүрэг дэх бухын тоо, эд хөрөнгийг хуваахдаа харгалзан үзсэн бүх зүйлийг илэрхийлсэн. Нууц мэдлэгт автсан, нягтлан бодох бүртгэлийн шинжлэх ухаанд сайн сургагдсан бичээч, түшмэд, санваартнууд ийм ажлыг амжилттай даван туулж байв.
Эртний эрдэмтэд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга техниктэй байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд харуулж байна. Гэсэн хэдий ч нэг ч папирус эсвэл шавар шахмалд эдгээр аргуудын тайлбар байдаггүй. Зохиогчид тоон тооцоололдоо "Хараач!", "Үүнийг хий!", "Та зөвийг олсон байна" гэх мэт бүдүүлэг тайлбаруудыг зөвхөн хааяа өгдөг. Энэ утгаараа үл хамаарах зүйл бол Грекийн математикч Александрийн Диофантус (III зуун) -ын "Арифметик" бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүдийг системтэй танилцуулсан тэгшитгэл зохиох асуудлын цуглуулга юм.
Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдвэрлэх анхны гарын авлага бол 9-р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл юм. Мухаммед бин Муса аль-Хорезми. Энэ зохиолын араб нэрнээс гаралтай "аль-жабр" гэдэг үг нь "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Сэргээн босголт ба эсэргүүцлийн ном") нь цаг хугацааны явцад алдартай "алгебр" гэсэн үг болж хувирав. Хорезмигийн бүтээл өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааны хөгжлийн эхлэл болсон.
Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
1. Логарифм тэгшитгэл
Логарифмын тэмдгийн дор эсвэл суурь дээр үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг нэрлэнэ логарифм тэгшитгэл.
Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм
бүртгэл а x = б . (1)
Мэдэгдэл 1. Хэрэв а > 0, а≠ 1, ямар ч бодит тэгшитгэл (1). бөвөрмөц шийдэлтэй x = a b .
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд:
a) бүртгэл 2 x= 3, б) бүртгэл 3 x= -1, в)
Шийдэл. 1-р мэдэгдлийг ашиглан бид a) олж авна. x= 2 3 эсвэл x= 8; б) x= 3 -1 эсвэл x= 1/3; в)
эсвэл x = 1.Логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг танилцуулъя.
P1. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг:
Хаана а > 0, а≠ 1 ба б > 0.
P2. Эерэг хүчин зүйлийн үржвэрийн логарифм нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр хүчин зүйлсийн логарифмууд:
бүртгэл а Н 1 · Н 2 = бүртгэл а Н 1 + бүртгэл а Н 2 (а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).
Сэтгэгдэл. Хэрэв Н 1 · Н 2 > 0, дараа нь P2 шинж чанар хэлбэрийг авна
бүртгэл а Н 1 · Н 2 = бүртгэл а |Н 1 | + бүртгэл а |Н 2 | (а > 0, а ≠ 1, Н 1 · Н 2 > 0).
P3. Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм нь ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна.
(а
> 0, а
≠ 1, Н
1
> 0, Н
2
> 0).
Сэтгэгдэл. Хэрэв
, (энэ нь тэнцүү байна Н 1 Н 2 > 0) дараа нь P3 шинж чанар хэлбэрийг авна
(а
> 0, а
≠ 1, Н
1
Н
2
> 0).
P4. Эерэг тооны чадлын логарифм нь экспонент ба энэ тооны логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна.
бүртгэл а Н к = кбүртгэл а Н (а > 0, а ≠ 1, Н > 0).
Сэтгэгдэл. Хэрэв к - тэгш тоо (к = 2с), Тэр
бүртгэл а Н 2с = 2сбүртгэл а |Н | (а > 0, а ≠ 1, Н ≠ 0).
P5. Өөр суурь руу шилжих томъёо:
(а
> 0, а
≠ 1, б
> 0, б
≠ 1, Н
> 0),
ялангуяа хэрэв Н = б, бид авдаг
(а > 0, а ≠ 1, б > 0, б ≠ 1). (2)P4 ба P5 шинж чанаруудыг ашигласнаар дараах шинж чанаруудыг олж авахад хялбар байдаг
(а
> 0, а
≠ 1, б
> 0, в
≠ 0), (3)
(а
> 0, а
≠ 1, б
> 0, в
≠ 0), (4)
(а
> 0, а
≠ 1, б
> 0, в
≠ 0), (5)
ба (5)-д байгаа бол в- тэгш тоо ( в = 2n), тохиолддог
(б
> 0, а
≠ 0, |а
| ≠ 1). (6)
Логарифмын функцийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсаацгаая е (x) = бүртгэл а x :
1. Логарифм функцийг тодорхойлох муж нь эерэг тооны олонлог юм.
2. Логарифм функцийн утгын муж нь бодит тооны олонлог юм.
3. Хэзээ а> 1 логарифм функц хатуу нэмэгдэж байна (0< x 1 < x 2лог а x 1 < logа x 2) ба 0-д< а < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2лог а x 1 > бүртгэл а x 2).
4.лог а 1 = 0 ба бүртгэл а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).
5. Хэрэв а> 1 бол логарифм функц сөрөг байх үед x(0;1) ба эерэг үед x(1;+∞), хэрэв 0 бол< а < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) ба сөрөг үед x (1;+∞).
6. Хэрэв а> 1 бол логарифмын функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв а(0;1) - доошоо гүдгэр.
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараах мэдэгдлүүдийг (жишээлбэл, үзнэ үү) ашигладаг.
Хэрэв логарифмын функц агуулж байвал тэгш бус байдлыг логарифм гэнэ.
Шийдлийн аргууд логарифмын тэгш бус байдалхоёр зүйлээс бусад нь ялгаагүй.
Нэгдүгээрт, логарифмын тэгш бус байдлаас дэд логарифмын функцүүдийн тэгш бус байдал руу шилжихдээ дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй. үүссэн тэгш бус байдлын тэмдгийг дагаж мөрдөөрэй. Энэ нь дараах дүрмийг дагаж мөрддөг.
Хэрэв логарифмын функцын суурь нь $1$-ээс их бол логарифмын тэгш бус байдлаас дэд логарифмын функцүүдийн тэгш бус байдал руу шилжих үед тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдах боловч $1$-ээс бага бол эсрэгээр өөрчлөгдөнө. .
Хоёрдугаарт, аливаа тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал бөгөөд иймээс дэд логарифмын функцүүдийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд хоёр тэгш бус байдлын системийг бий болгох шаардлагатай: энэ системийн эхний тэгш бус байдал нь дэд логарифмын функцүүдийн тэгш бус байдал, хоёр дахь нь логарифмын тэгш бус байдалд багтсан логарифмын функцүүдийн тодорхойлолтын домэйны интервал болно.
Дасгал хийх.
Тэгш бус байдлыг шийдье:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Логарифмын суурь нь $2>1$ тул тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in)