Заавар
Өгөгдсөнийг бичнэ үү логарифм илэрхийлэл. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол түүний тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоо байвал дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – байгалийн логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.
Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";
Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Өгөгдсөн бол нарийн төвөгтэй функц, дараа нь дотоод функцийн дериватив ба гадаад функцийн деривативыг үржүүлэх шаардлагатай. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.
Дээрх үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэг дээр деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Функцийн утгыг тооцоол өгсөн оноо y"(1)=8*e^0=8
Сэдвийн талаархи видео
Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.
Эх сурвалжууд:
- тогтмолын дериватив
Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэл ба оновчтой тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч тэмдгийн доор байгаа бол квадрат язгуур, тэгвэл тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.
Заавар
Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун болон зүүн тал нь утгагүй илэрхийллийг агуулна. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны язгуур тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа гадны үндэсийг таслах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.
Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэл, квадрат язгуургүй, баруун талд, дараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь ердийн зүйл юм квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэлд үндэс байхгүй; Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.
Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд тавьсан зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийх шаардлагатай. Тиймээс энгийн арифметик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар даалгаврыг шийдвэрлэх болно.
Танд хэрэгтэй болно
- - цаас;
- - үзэг.
Заавар
Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна, олон байдаг ба тригонометрийн томъёо, тэдгээр нь үндсэндээ ижил таних тэмдэг юм.
Үнэн хэрэгтээ хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат нь эхнийхийн квадрат дээр нэмэх нь эхнийх нь хоёр дахь үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахьын квадратыг нэмсэнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Хоёуланг нь хялбарчил
Шийдлийн ерөнхий зарчим
Тодорхой интеграл гэж юу болохыг математик анализ эсвэл дээд математикийн сурах бичгээс давт. Мэдэгдэж байгаагаар шийдэл тодорхой интегралДериватив нь интеграл өгдөг функц байдаг. Энэ функцэсрэг дериватив гэж нэрлэдэг. Энэ зарчимд үндэслэн үндсэн интегралуудыг байгуулна.Хүснэгтийн интегралуудын аль нь тохирохыг интеграл хэлбэрээр тодорхойлно энэ тохиолдолд. Үүнийг нэн даруй тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ интегралыг хялбарчлахын тулд хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа хүснэгт хэлбэр нь мэдэгдэхүйц болдог.
Хувьсагчийг солих арга
Хэрэв интеграл функц нь тригонометрийн функц, аргумент нь олон гишүүнт агуулсан байвал хувьсагчийг орлуулах аргыг ашиглаж үзнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд интегралын аргумент дахь олон гишүүнтийг шинэ хувьсагчаар солино. Шинэ болон хуучин хувьсагчдын хоорондын хамаарал дээр үндэслэн интеграцийн шинэ хязгаарыг тодорхойлно. Энэ илэрхийлэлийг ялгаснаар шинэ дифференциалыг . Тиймээс та авах болно шинэ дүр төрхөмнөх интегралын аль ч хүснэгттэй ойролцоо эсвэл бүр харгалзах.Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх
Хэрэв интеграл нь хоёр дахь төрлийн интеграл, интегралын вектор хэлбэр бол эдгээр интегралаас скаляр руу шилжих дүрмийг ашиглах шаардлагатай болно. Ийм дүрмийн нэг бол Остроградский-Гаусын харилцаа юм. Энэ хууль нь тодорхой векторын функцийн роторын урсгалаас өгөгдсөн векторын талбарын дивергенцийг давсан гурвалсан интеграл руу шилжих боломжийг бидэнд олгодог.Интеграцийн хязгаарыг орлуулах
Эсрэг деривативыг олсны дараа интеграцийн хязгаарыг орлуулах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, дээд хязгаарын утгыг эсрэг деривативын илэрхийлэлд орлуулна. Та хэд хэдэн дугаар авах болно. Дараа нь үүссэн тооноос доод хязгаараас авсан өөр тоог эсрэг дериватив болгон хасна. Хэрэв интеграцийн хязгаарын нэг нь хязгааргүй бол түүнийг эсрэг дериватив функцэд орлуулахдаа хязгаарт очиж, илэрхийлэл юунд чиглэж байгааг олох шаардлагатай.Хэрэв интеграл нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст бол интегралыг хэрхэн үнэлэхийг ойлгохын тулд та интегралын хязгаарыг геометрээр илэрхийлэх шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, гурван хэмжээст интегралын хувьд интегралын хязгаар нь нэгтгэж буй эзлэхүүнийг хязгаарладаг бүхэл бүтэн хавтгай байж болно.
Өнөөдөр бид хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно, энд ямар ч урьдчилсан хувиргалт, үндэс сонгох шаардлагагүй. Гэхдээ хэрэв та ийм тэгшитгэлийг шийдэж сурвал энэ нь илүү хялбар байх болно.
Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь log a f (x) = b хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a, b нь тоонууд (a > 0, a ≠ 1), f (x) нь тодорхой функц юм.
Бүх логарифмын тэгшитгэлүүдийн нэг онцлог шинж чанар нь логарифмын тэмдгийн дор х хувьсагч байгаа явдал юм. Хэрэв энэ нь бодлогод анх өгөгдсөн тэгшитгэл бол түүнийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг. Бусад аливаа логарифмын тэгшитгэлийг тусгай хувиргалтаар хамгийн энгийн болгон багасгадаг ("Логарифмын үндсэн шинж чанарууд" -ыг үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч олон тооны нарийн ширийн зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй: нэмэлт үндэс үүсч болзошгүй тул нарийн төвөгтэй логарифмын тэгшитгэлийг тусад нь авч үзэх болно.
Ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа тоог зүүн талынхтай ижил суурьтай логарифмаар солиход хангалттай. Дараа нь та логарифмын тэмдгээс салж болно. Бид авах:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Бид ердийн тэгшитгэлийг авсан. Үүний үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.
Эрдмийн зэрэг авч байна
Гаднаас нь харахад төвөгтэй, аюул заналхийлсэн логарифмын тэгшитгэлийг ихэвчлэн хэд хэдэн мөрөнд оруулалгүйгээр шууд утгаараа шийддэг. нарийн төвөгтэй томъёо. Өнөөдөр бид логарифмын тодорхойлолтын домэйныг хайхдаа томьёог каноник хэлбэрт болгоомжтой буулгаж, андуурахгүй байх шаардлагатай бүх асуудлыг авч үзэх болно.
Өнөөдөр та гарчигаас таамаглаж байсанчлан бид каноник хэлбэрт шилжих томъёог ашиглан логарифмын тэгшитгэлийг шийдэх болно. Энэхүү видео хичээлийн гол "заль мэх" нь зэрэгтэй ажиллах, эс тэгвээс үндэслэл, аргументаас зэрэг гаргах явдал юм. Дүрмийг харцгаая:
Үүний нэгэн адил, та дараах үндэслэлээс зэрэг гаргаж болно.
Бидний харж байгаагаар хэрвээ бид логарифмын аргументаас градусыг хасахад зүгээр л урд нэмэлт хүчин зүйл байгаа бол суурийг сууриас нь хасах үед бид зөвхөн хүчин зүйл биш, харин урвуу хүчин зүйлийг олж авна. Үүнийг санах хэрэгтэй.
Эцэст нь, хамгийн сонирхолтой зүйл. Эдгээр томъёог нэгтгэж болно, дараа нь бид дараахийг авна.
Мэдээжийн хэрэг, эдгээр шилжилтийг хийхдээ тодорхойлолтын хамрах хүрээг өргөжүүлэх, эсвэл эсрэгээр, тодорхойлолтын хамрах хүрээг багасгахтай холбоотой тодорхой бэрхшээлүүд байдаг. Өөрийгөө шүүх:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Хэрэв эхний тохиолдолд x нь 0-ээс өөр ямар ч тоо, өөрөөр хэлбэл x ≠ 0 гэсэн шаардлага байж болох юм бол хоёр дахь тохиолдолд бид зөвхөн x-д сэтгэл хангалуун байх болно, энэ нь зөвхөн тэнцүү биш, харин 0-ээс их байх болно, учир нь -ийн домэйн Логарифмын тодорхойлолт нь аргумент нь 0-ээс их байх явдал юм. Тиймээс би 8-9-р ангийн алгебрийн хичээлээс нэгэн гайхалтай томъёог сануулъя:
Өөрөөр хэлбэл, бид томъёогоо дараах байдлаар бичих ёстой.
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Дараа нь тодорхойлолтын хамрах хүрээг багасгах явдал гарахгүй.
Гэсэн хэдий ч өнөөдрийн видео зааварт квадрат байхгүй болно. Хэрэв та бидний даалгавруудыг харвал зөвхөн үндсийг нь харах болно. Тиймээс, бид энэ дүрмийг хэрэглэхгүй, гэхдээ та үүнийг санаж байх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр та зөв цагт, харж байхдаа квадрат функцАргумент эсвэл логарифмын суурь дээр та энэ дүрмийг санаж, бүх хувиргалтыг зөв хийх болно.
Тиймээс эхний тэгшитгэл нь:
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд би томъёонд байгаа нэр томъёо бүрийг анхааралтай авч үзэхийг санал болгож байна.
Эхний гишүүнийг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр дахин бичье.
Бид хоёр дахь нэр томъёог авч үзье: log 3 (1 - x). Энд юу ч хийх шаардлагагүй, энд бүх зүйл аль хэдийн өөрчлөгдсөн байна.
Эцэст нь 0, 5. Би өмнөх хичээлүүд дээр хэлсэнчлэн логарифмын тэгшитгэл, томьёог шийдэхдээ аравтын бутархайгаас энгийн бутархай руу шилжихийг зөвлөж байна. Үүнийг хийцгээе:
0,5 = 5/10 = 1/2
Үүссэн нэр томъёог харгалзан анхны томъёогоо дахин бичье.
log 3 (1 − x ) = 1
Одоо каноник хэлбэр рүү шилжье:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Аргументуудыг тэнцүүлэх замаар бид логарифмын тэмдгээс ангижрах болно.
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
Ингээд л бид тэгшитгэлээ шийдлээ. Гэсэн хэдий ч аюулгүй тоглож, тодорхойлолтын домэйныг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд анхны томъёо руу буцаж очоод харцгаая:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Бидний язгуур x = −2 нь энэ шаардлагыг хангаж байгаа тул x = −2 нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл юм. Одоо бид хатуу, тодорхой үндэслэлийг хүлээн авлаа. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.
Хоёрдахь даалгавар руугаа орцгооё:
Нэр томъёо бүрийг тусад нь авч үзье.
Эхнийхийг нь бичье:
Бид эхний нэр томъёог өөрчилсөн. Бид хоёр дахь нэр томъёогоор ажилладаг:
Эцэст нь тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа сүүлчийн нэр томъёо:
Бид үүссэн томъёоны нэр томъёоны оронд үүссэн илэрхийллийг орлуулна.
log 3 x = 1
Каноник хэлбэр рүү шилжье:
log 3 x = log 3 3
Бид аргументуудыг тэгшитгэх логарифмын тэмдгээс салж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
x = 3
Дахин хэлэхэд, аюулгүй байхын тулд анхны тэгшитгэл рүү буцаж очоод харцгаая. Анхны томъёонд x хувьсагч нь зөвхөн аргумент дотор байдаг тул
x > 0
Хоёрдахь логарифмын хувьд х нь язгуур доор байгаа боловч аргумент дээр дахин үндэс нь 0-ээс их байх ёстой, өөрөөр хэлбэл, радикал илэрхийлэл нь 0-ээс их байх ёстой. Бид өөрсдийн язгуур х = 3-ыг хардаг. энэ шаардлагыг хангаж байна. Тиймээс x = 3 нь анхны логарифм тэгшитгэлийн шийдэл юм. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.
Өнөөдрийн видео зааварт хоёр гол зүйл байна:
1) логарифмыг хувиргахаас бүү ай, ялангуяа логарифмын тэмдгээс хүчийг авахаас бүү ай, бидний үндсэн томъёог санаж байх хэрэгтэй: аргументаас хүчийг хасахдаа үүнийг өөрчлөхгүйгээр зүгээр л гаргаж авдаг. үржүүлэгчийн хувьд ба суурингаас хүчийг авах үед энэ хүчийг урвуу болгодог.
2) хоёр дахь цэг нь каноник хэлбэртэй холбоотой. Бид логарифмын тэгшитгэлийн томъёог хувиргах хамгийн төгсгөлд каноник хэлбэрт шилжсэн. Дараах томъёог танд сануулъя.
a = log b b a
Мэдээжийн хэрэг, "ямар ч тоо b" гэсэн хэллэгээр би логарифмын суурь дээр тавигдах шаардлагыг хангасан тоонуудыг хэлж байна, өөрөөр хэлбэл.
1 ≠ b > 0
Ийм b-ийн хувьд, мөн бид үндэслэлийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул энэ шаардлага автоматаар биелэх болно. Гэхдээ ийм b-ийн хувьд - ямар ч сэтгэл ханамжтай энэ шаардлага — энэ шилжилтхийж болно, бид амжилтанд хүрнэ каноник хэлбэр, үүнд та логарифмын тэмдгээс ангижрах боломжтой.
Тодорхойлолт болон нэмэлт үндэсийн хүрээг өргөжүүлэх
Логарифмын тэгшитгэлийг хувиргах явцад тодорхойлолтын хүрээний далд тэлэлт үүсч болно. Ихэнхдээ оюутнууд үүнийг анзаардаггүй бөгөөд энэ нь алдаа, буруу хариулт өгөхөд хүргэдэг.
Хамгийн энгийн загваруудаас эхэлцгээе. Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
log a f (x) = b
Нэг логарифмын зөвхөн нэг аргументад x байдаг гэдгийг анхаарна уу. Бид ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Бид каноник хэлбэрийг ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд b = log a a b тоог төсөөлж, бидний тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.
log a f (x) = log a a b
Энэ оруулгыг каноник хэлбэр гэж нэрлэдэг. Үүний тулд та өнөөдрийн хичээл дээр төдийгүй бие даасан болон туршилтын ажилд таарах аливаа логарифмын тэгшитгэлийг багасгах хэрэгтэй.
Каноник хэлбэрт хэрхэн хүрэх, ямар арга техникийг ашиглах нь практикийн асуудал юм. Ойлгох ёстой гол зүйл бол ийм бичлэгийг хүлээн авмагц асуудлыг шийдсэн гэж үзэж болно. Учир нь дараагийн алхам бол бичих явдал юм:
f (x) = a b
Өөрөөр хэлбэл, бид логарифмын тэмдгээс ангижирч, аргументуудыг зүгээр л тэгшитгэдэг.
Яагаад энэ бүх яриа? Баримт нь каноник хэлбэр нь зөвхөн хамгийн энгийн асуудалд төдийгүй бусад бүх асуудалд хамаарна. Тодруулбал, өнөөдөр бидний шийдэх зүйл. Харцгаая.
Эхний даалгавар:
Энэ тэгшитгэлийн асуудал юу вэ? Функц нь нэг дор хоёр логарифмд байдаг нь баримт юм. Асуудлыг нэг логарифмыг нөгөөгөөс хасаад л хамгийн энгийн болгож болно. Гэхдээ тодорхойлолтын талбарт асуудал үүсдэг: нэмэлт үндэс гарч ирж болно. Тиймээс логарифмын аль нэгийг баруун тийш шилжүүлье:
Энэ оруулга нь каноник хэлбэртэй илүү төстэй юм. Гэхдээ өөр нэг нюанс бий: каноник хэлбэрээр аргументууд ижил байх ёстой. Зүүн талд бид 3-р суурь дээр логарифм, баруун талд 1/3 суурьтай байна. Эдгээр баазуудыг нэг тоонд хүргэх хэрэгтэй гэдгийг тэр мэдэж байгаа. Жишээлбэл, сөрөг хүч гэж юу болохыг санацгаая.
Дараа нь бид логийн гаднах "−1" илтгэгчийг үржүүлэгч болгон ашиглах болно:
Анхаарна уу: суурь дээр байсан зэрэг нь эргэж, бутархай болж хувирдаг. Бид янз бүрийн баазуудаас салснаар бараг каноник тэмдэглэгээтэй болсон боловч хариуд нь баруун талд "−1" гэсэн коэффициентийг авсан. Энэ хүчин зүйлийг аргумент болгон хүч болгон хувиргаж үзье.
Мэдээжийн хэрэг, каноник хэлбэрийг хүлээн авсны дараа бид логарифмын тэмдгийг зоригтойгоор зурж, аргументуудыг тэгшитгэдэг. Үүний зэрэгцээ, "−1" хүртэл өсгөхөд фракцыг зүгээр л эргүүлж, пропорцийг олж авна гэдгийг сануулъя.
Пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, хөндлөн үржүүлье.
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Бидний өмнө дээрх квадрат тэгшитгэл байгаа тул бид үүнийг Виетийн томъёогоор шийднэ.
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
Ингээд л болоо. Тэгшитгэл шийдэгдсэн гэж та бодож байна уу? Үгүй! Ийм шийдлийн хувьд бид 0 оноо авах болно, учир нь анхны тэгшитгэлд x хувьсагчтай хоёр логарифм байдаг. Тиймээс тодорхойлолтын хүрээг харгалзан үзэх шаардлагатай.
Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг. Ихэнх оюутнууд андуурч байна: логарифмын тодорхойлолтын хүрээ юу вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх аргумент (бидэнд хоёр байгаа) тэгээс их байх ёстой:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Эдгээр тэгш бус байдал бүрийг шийдэж, шулуун шугам дээр тэмдэглэж, огтолж, зөвхөн дараа нь огтлолцол дээр аль үндэс байгааг харах ёстой.
Би үнэнийг хэлье: энэ техник нь оршин тогтнох эрхтэй, найдвартай бөгөөд та зөв хариултыг авах болно, гэхдээ үүнд хэтэрхий олон шаардлагагүй алхамууд байдаг. Тиймээс бид шийдлээ дахин харцгаая: хамрах хүрээг яг хаана хэрэглэх шаардлагатай вэ? Өөрөөр хэлбэл, та нэмэлт үндэс хэзээ гарч ирэхийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй.
- Эхэндээ бид хоёр логарифмтай байсан. Дараа нь бид тэдгээрийн аль нэгийг нь баруун тийш шилжүүлсэн боловч энэ нь тодорхойлолтод нөлөөлөөгүй.
- Дараа нь бид баазаас хүчийг арилгадаг боловч хоёр логарифм хэвээр байгаа бөгөөд тэдгээр нь тус бүрт x хувьсагч байдаг.
- Эцэст нь бид логоны тэмдгийг хасаад сонгодог бутархай оновчтой тэгшитгэлийг олж авна.
Эцсийн шатанд тодорхойлолтын хүрээ өргөжиж байна! Бүртгэлийн тэмдгүүдээс салж, бутархай-рационал тэгшитгэл рүү шилжсэн даруйд х хувьсагчийн шаардлага эрс өөрчлөгдсөн!
Тиймээс, тодорхойлолтын талбарыг шийдлийн эхэнд биш, харин зөвхөн дурдсан алхам дээр - аргументуудыг шууд тэнцүүлэхээс өмнө авч үзэж болно.
Эндээс оновчлох боломж бий. Нэг талаас бид хоёр аргумент нь тэгээс их байхыг шаарддаг. Нөгөөтэйгүүр, бид эдгээр аргументуудыг илүү тэнцүүлж байна. Тиймээс, ядаж нэг нь эерэг байвал хоёр дахь нь эерэг байх болно!
Тэгэхээр хоёр тэгш бус байдлыг нэг дор биелүүлэхийг шаардах нь хэтрүүлсэн хэрэг болох нь харагдаж байна. Эдгээр фракцуудын зөвхөн нэгийг нь авч үзэх нь хангалттай юм. Яг аль нь вэ? Хамгийн энгийн нь. Жишээлбэл, баруун гар талын бутархайг харцгаая:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Энэ бол ердийн бутархай оновчтой тэгш бус байдал бөгөөд бид үүнийг интервалын аргыг ашиглан шийддэг.
Тэмдгийг хэрхэн байрлуулах вэ? Бидний бүх язгуураас илт их байгаа тоог авч үзье. Жишээлбэл, 1 тэрбум, бид түүний бутархай хэсгийг орлуулна. Бид эерэг тоог авдаг, өөрөөр хэлбэл. язгуурын баруун талд x = 5 дээр нэмэх тэмдэг байх болно.
Дараа нь тэмдгүүд нь ээлжлэн солигддог, учир нь хаана ч олон янзын үндэс байдаггүй. Бид функц эерэг байх интервалуудыг сонирхож байна. Иймд x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞) болно.
Одоо хариултуудыг санацгаая: x = 8 ба x = 2. Хатуухан хэлэхэд эдгээр нь хараахан хариулт биш, зөвхөн хариултанд нэр дэвшигчид юм. Аль нь заасан багцад хамаарах вэ? Мэдээжийн хэрэг, x = 8. Гэхдээ х = 2 нь тодорхойлолтын домэйны хувьд бидэнд тохирохгүй.
Нийтдээ эхний логарифмын тэгшитгэлийн хариулт нь x = 8 байх болно. Одоо бид тодорхойлолтын мужийг харгалзан чадварлаг, үндэслэлтэй шийдэлтэй боллоо.
Хоёр дахь тэгшитгэл рүү шилжье:
log 5 (x − 9) = log 0.5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Хэрэв тэгшитгэлд аравтын бутархай байгаа бол та үүнийг арилгах хэрэгтэй гэдгийг сануулъя. Өөрөөр хэлбэл 0.5-ыг энгийн бутархай болгон дахин бичье. Энэ суурийг агуулсан логарифмыг хялбархан тооцоолж байгааг бид шууд анзаарч байна.
Энэ бол маш чухал мөч юм! Суурь болон аргументийн аль алинд нь зэрэгтэй байх үед бид эдгээр градусын үзүүлэлтүүдийг томъёогоор гаргаж болно.
Анхны логарифм тэгшитгэлдээ буцаж очоод дахин бичье.
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Бид каноник хэлбэрт нэлээд ойрхон загварыг олж авсан. Гэсэн хэдий ч бид нэр томъёо, тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа хасах тэмдэгтээр будилдаг. Нэгийг 5 суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлье.
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Баруун талд байгаа логарифмуудыг хас (энэ тохиолдолд тэдгээрийн аргументууд хуваагдана):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Гайхалтай. Тиймээс бид каноник хэлбэрийг олж авлаа! Бид бүртгэлийн тэмдгүүдийг хасч, аргументуудыг тэгшитгэдэг.
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Энэ нь хөндлөн үржүүлснээр амархан шийдэж болох хувь хэмжээ юм.
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Бидэнд багасгасан квадрат тэгшитгэл байгаа нь ойлгомжтой. Үүнийг Виетийн томъёог ашиглан хялбархан шийдэж болно.
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Бид хоёр үндэстэй. Гэхдээ эдгээр нь эцсийн хариулт биш, харин зөвхөн нэр дэвшигчид, учир нь логарифм тэгшитгэл нь мөн тодорхойлолтын хүрээг шалгахыг шаарддаг.
Би танд сануулж байна: хэзээ хайх шаардлагагүй бүраргументуудын тоо тэгээс их байх болно. Нэг аргумент буюу x - 9 эсвэл 5/(x - 5) - тэгээс их байхыг шаардахад хангалттай. Эхний аргументыг авч үзье:
x − 9 > 0
x > 9
Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн x = 10 нь энэ шаардлагыг хангаж байгаа нь эцсийн хариулт юм. Асуудлыг бүхэлд нь шийдсэн.
Дахин нэг удаа өнөөдрийн хичээлийн гол санаанууд:
- Хэд хэдэн логарифмд x хувьсагч гарч ирмэгц тэгшитгэл нь энгийн байхаа больж, түүний тодорхойлолтын мужийг тооцоолох шаардлагатай болно. Үгүй бол та хариултанд нэмэлт үндэсийг хялбархан бичиж болно.
- Хэрэв бид тэгш бус байдлыг нэн даруй биш, харин бүртгэлийн тэмдгүүдээс ангижрах тэр мөчид бичвэл домэйнтэй ажиллах нь өөрөө ихээхэн хялбарчлах болно. Эцсийн эцэст, аргументуудыг бие биентэйгээ тэнцүүлэх үед тэдгээрийн зөвхөн нэг нь тэгээс их байхыг шаардахад хангалттай.
Мэдээжийн хэрэг, тэгш бус байдлыг бий болгохын тулд ямар аргумент ашиглахаа бид өөрсдөө сонгодог тул хамгийн энгийнийг сонгох нь логик юм. Жишээлбэл, хоёр дахь тэгшитгэлд бид бутархай рационал хоёр дахь аргументаас ялгаатай нь шугаман функц (x - 9) аргументыг сонгосон. Зөвшөөрч байна, x − 9 > 0 тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь 5/(x − 5) > 0-ээс хамаагүй хялбар. Хэдийгээр үр дүн нь ижил байна.
Энэ тайлбар нь ODZ-ийн хайлтыг ихээхэн хөнгөвчлөх боловч болгоомжтой байгаарай: хэрэв аргументууд нь үнэн зөв байвал та хоёрын оронд нэг тэгш бус байдлыг ашиглаж болно. хоорондоо тэнцүү байна!
Мэдээжийн хэрэг, хэн нэгэн одоо асуух болно: өөрөөр юу болох вэ? Тиймээ, тохиолддог. Жишээлбэл, энэ алхамд бид хувьсагч агуулсан хоёр аргументыг үржүүлэхэд шаардлагагүй үндэс гарч ирэх аюултай.
Өөрийгөө шүүж үзээрэй: эхлээд аргумент бүр нь тэгээс их байх шаардлагатай боловч үржүүлсний дараа тэдгээрийн үржвэр нь тэгээс их байх нь хангалттай юм. Үүний үр дүнд эдгээр бутархай тус бүр нь сөрөг байх тохиолдол алга болно.
Тиймээс, хэрэв та нарийн төвөгтэй логарифмын тэгшитгэлийг дөнгөж ойлгож эхэлж байгаа бол ямар ч тохиолдолд x хувьсагчийг агуулсан логарифмуудыг үржүүлж болохгүй - энэ нь ихэвчлэн нэмэлт үндэс гарч ирэхэд хүргэдэг. Нэг нэмэлт алхам хийж, нэг нэр томъёог нөгөө тал руу шилжүүлж, каноник хэлбэрийг бий болгох нь дээр.
Хэрэв та ийм логарифмуудыг үржүүлэхгүй бол яах вэ, бид дараагийн видео хичээл дээр хэлэлцэх болно.
Тэгшитгэл дэх хүчнүүдийн талаар дахин нэг удаа
Өнөөдөр бид логарифмын тэгшитгэлтэй холбоотой нэлээд гулгамтгай сэдвийг судлах болно, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар логарифмын аргументууд болон сууриудаас хүчийг хасах тухай.
Бодит логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэнх бэрхшээлүүд тэгш эрх мэдэлтэй байдаг тул тэгш хүчийг хасах талаар ярих болно гэж би хэлмээр байна.
Каноник хэлбэрээс эхэлье. Бидэнд log a f (x) = b хэлбэрийн тэгшитгэл байна гэж бодъё. Энэ тохиолдолд бид b тоог b = log a a b томъёог ашиглан дахин бичнэ. Энэ нь дараах байдалтай байна.
log a f (x) = log a a b
Дараа нь бид аргументуудыг тэнцүүлж байна:
f (x) = a b
Эцсийн өмнөх томъёог каноник хэлбэр гэж нэрлэдэг. Үүний тулд тэд ямар ч логарифмын тэгшитгэлийг эхлээд харахад хичнээн төвөгтэй, аймшигтай мэт санагдаж байсан ч багасгахыг хичээдэг.
Ингээд оролдоод үзье. Эхний даалгавараас эхэлцгээе:
Урьдчилсан тэмдэглэл: миний хэлсэнчлэн бүх зүйл аравтын бутархайЛогарифмын тэгшитгэлд үүнийг энгийн тэгшитгэл болгон хувиргах нь дээр.
0,5 = 5/10 = 1/2
Энэ баримтыг харгалзан тэгшитгэлээ дахин бичье. 1/1000 ба 100 хоёулаа аравын зэрэглэл гэдгийг анхаарна уу, дараа нь аргументаас, тэр ч байтугай логарифмын сууриас ч гэсэн хүчийг хасъя:
Энд олон оюутнуудаас "Баруун талд байгаа модуль хаанаас ирсэн бэ?" Гэсэн асуулт гарч ирж байна. Үнэхээр (x - 1) гэж зүгээр л бичиж болохгүй гэж? Мэдээжийн хэрэг, бид одоо (x - 1) бичих болно, гэхдээ тодорхойлолтын домэйныг харгалзан үзэх нь бидэнд үүнийг бичих эрхийг өгдөг. Эцсийн эцэст, өөр логарифм аль хэдийн (x - 1) агуулсан бөгөөд энэ илэрхийлэл тэгээс их байх ёстой.
Гэхдээ бид логарифмын суурийн квадратыг арилгахдаа модулийг яг үндсэн дээр нь үлдээх ёстой. Яагаад гэдгийг нь тайлбарлая.
Үнэн хэрэгтээ математикийн үүднээс эрдмийн зэрэг авах нь үндсийг нь авахтай адил юм. Ялангуяа (x - 1) 2 илэрхийллийг квадрат болгоход бид үндсэндээ хоёр дахь язгуурыг авдаг. Гэхдээ квадрат язгуур нь модулиас өөр зүйл биш юм. Яг модуль, учир нь x − 1 илэрхийлэл сөрөг байсан ч квадратаар тооцоход “хасах” нь шатах болно. Үндэсийг цаашид олборлох нь бидэнд эерэг тоог өгөх болно - ямар ч хасах зүйлгүй.
Ерөнхийдөө доромжилсон алдаа гаргахгүйн тулд нэг удаа, бүрмөсөн санаарай:
Аливаа функцийн тэгш чадлын язгуур нь ижил чадалтай нь биш, харин түүний модультай тэнцүү байна.
Логарифм тэгшитгэл рүүгээ буцъя. Модулийн талаар ярихдаа бид үүнийг өвдөлтгүй арилгаж чадна гэж би маргасан. Энэ үнэн. Одоо би яагаад гэдгийг тайлбарлах болно. Хатуухан хэлэхэд бид хоёр сонголтыг авч үзэх ёстой байв.
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Эдгээр сонголт бүрийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг алдаа бий: анхны томьёо нь ямар ч модульгүйгээр (x - 1) функцийг аль хэдийн агуулж байна. Логарифмын тодорхойлолтын домайныг дагаж бид x − 1 > 0 гэж шууд бичих эрхтэй.
Шийдвэрлэх явцад бидний хийдэг аливаа модулиуд болон бусад өөрчлөлтүүдээс үл хамааран энэ шаардлагыг хангасан байх ёстой. Тиймээс, хоёр дахь сонголтыг авч үзэх нь утгагүй юм - энэ нь хэзээ ч үүсэхгүй. Тэгш бус байдлын энэ салбарыг шийдвэрлэхдээ бид зарим тоонуудыг авсан ч эцсийн хариултад тусгагдаагүй болно.
Одоо бид логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэрээс шууд утгаараа нэг алхмын зайд байна. Нэгжийг дараах байдлаар төлөөлүүлье.
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Нэмж дурдахад бид баруун талд байгаа −4 хүчин зүйлийг аргумент болгон оруулав.
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Бидний өмнө логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэр байна. Бид логарифмын тэмдгээс ангижрах болно:
10 −4 = x − 1
Гэхдээ суурь нь функц (мөн анхны тоо биш) байсан тул бид энэ функцийг тэгээс их, нэгтэй тэнцүү биш байхыг шаарддаг. Үр дүнд нь систем нь:
x − 1 > 0 гэсэн шаардлага автоматаар (эцэст нь x − 1 = 10 −4) хангагдсан тул тэгш бус байдлын аль нэгийг манай системээс устгаж болно. Хоёрдахь нөхцөлийг мөн хасаж болно, учир нь x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0.0001 = 1.0001
Энэ бол логарифмын тодорхойлолтын домэйны бүх шаардлагыг автоматаар хангадаг цорын ганц үндэс юм (гэхдээ бидний асуудлын нөхцөлд бүх шаардлага нь тодорхой биелэгдсэн тул хасагдсан).
Тэгэхээр хоёр дахь тэгшитгэл:
3 лог 3 x x = 2 log 9 x x 2
Энэ тэгшитгэл өмнөхөөсөө юугаараа ялгаатай вэ? Хэрэв логарифмын суурь болох 3x ба 9x нь бие биенийхээ байгалийн хүч биш юм бол. Тиймээс бидний өмнөх шийдэлд ашигласан шилжилт боломжгүй юм.
Ядаж эрдмийн зэрэглэлээс салъя. Манай тохиолдолд цорын ганц зэрэг нь хоёр дахь аргумент юм.
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Гэсэн хэдий ч модулийн тэмдгийг арилгаж болно, учир нь x хувьсагч нь мөн суурь дээр байдаг, i.e. x > 0 ⇒ |x| = x. Логарифм тэгшитгэлээ дахин бичье.
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Бид аргументууд нь ижил боловч суурь нь өөр логарифмуудыг олж авсан. Дараа нь юу хийх вэ? Энд олон сонголт байгаа боловч бид зөвхөн хоёрыг нь авч үзэх болно, энэ нь хамгийн логик бөгөөд хамгийн чухал нь эдгээр нь ихэнх оюутнуудад хурдан бөгөөд ойлгомжтой арга юм.
Бид эхний хувилбарыг аль хэдийн авч үзсэн: ямар ч тодорхойгүй нөхцөл байдалд хувьсагч суурьтай логарифмуудыг тогтмол суурь болгон хөрвүүл. Жишээлбэл, хоёр тал руу. Шилжилтийн томъёо нь энгийн:
Мэдээж c хувьсагчийн үүрэг хэвийн тоо байх ёстой: 1 ≠ c > 0. Бидний тохиолдолд c = 2. Одоо бидний өмнө энгийн бутархай рационал тэгшитгэл байна. Бид зүүн талд байгаа бүх элементүүдийг цуглуулдаг:
Мэдээжийн хэрэг, лог 2 х хүчин зүйлийг хасах нь дээр, учир нь энэ нь эхний болон хоёр дахь фракцид хоёуланд нь байдаг.
бүртгэл 2 x = 0;
3 бүртгэл 2 9х = 4 бүртгэл 2 3х
Бид бүртгэл бүрийг хоёр нэр томъёонд хуваадаг:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Эдгээр баримтуудыг харгалзан тэгш байдлын хоёр талыг дахин бичье.
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (лог 2 3 + log 2 x )
6 бүртгэл 2 3 + 3 лог 2 x = 4 бүртгэл 2 3 + 4 бүртгэл 2 х
2 log 2 3 = log 2 x
Одоо логарифмын тэмдгийн дор хоёрыг оруулах л үлдлээ (энэ нь хүч болж хувирна: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Бидний өмнө сонгодог каноник хэлбэр нь логарифмын тэмдгээс салж, дараахь зүйлийг авна.
Хүлээгдэж байсанчлан энэ үндэс тэгээс их болсон. Тодорхойлолтын домэйныг шалгахад л үлддэг. Шалтгаануудыг авч үзье:
Гэхдээ x = 9 үндэс нь эдгээр шаардлагыг хангаж байна. Тиймээс эцсийн шийдвэр.
Энэхүү шийдлийн дүгнэлт нь энгийн: урт тооцооллоос бүү ай! Зүгээр л бид анх санамсаргүй байдлаар шинэ суурийг сонгосон бөгөөд энэ нь үйл явцыг ихээхэн хүндрүүлсэн.
Гэхдээ дараа нь асуулт гарч ирнэ: ямар үндэслэл байна оновчтой? Би энэ талаар хоёр дахь аргын талаар ярих болно.
Анхны тэгшитгэл рүүгээ буцъя:
3 бүртгэл 3х х = 2 бүртгэл 9х х 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Одоо жаахан бодоцгооё: ямар тоо эсвэл функц нь оновчтой суурь байх вэ? Энэ нь ойлгомжтой хамгийн сайн сонголт c = x байх болно - аргументуудад аль хэдийн байгаа зүйл. Энэ тохиолдолд log a b = log c b /log c a томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
Өөрөөр хэлбэл, илэрхийлэл нь зүгээр л урвуу байна. Энэ тохиолдолд аргумент, үндэслэл нь байраа өөрчилдөг.
Энэ томьёо нь маш ашигтай бөгөөд нарийн төвөгтэй логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг. Гэсэн хэдий ч, энэ томъёог ашиглахад нэг маш ноцтой алдаа бий. Хэрэв бид суурийн оронд x хувьсагчийг орлуулах юм бол өмнө нь ажиглагдаагүй хязгаарлалтууд тавигдана.
Анхны тэгшитгэлд ийм хязгаарлалт байгаагүй. Тиймээс бид x = 1 тохиолдолд тусад нь шалгах хэрэгтэй. Энэ утгыг тэгшитгэлдээ орлуулна уу:
3 бүртгэл 3 1 = 4 бүртгэл 9 1
Бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авдаг. Тиймээс x = 1 нь үндэс юм. Бид шийдлийн хамгийн эхэнд өмнөх аргад яг ижил үндсийг олсон.
Харин одоо бид энэ тодорхой тохиолдлыг тусад нь авч үзсэнийхээ дараа бид x ≠ 1 гэж баттай таамаглаж байна. Дараа нь бидний логарифм тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичих болно.
3 log x 9x = 4 log x 3x
Бид өмнөхтэй ижил томъёог ашиглан хоёр логарифмыг өргөжүүлдэг. log x x = 1 гэдгийг анхаарна уу:
3 (лог x 9 + log x x ) = 4 (лог x 3 + log x x )
3 лог х 9 + 3 = 4 лог х 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 лог х 3 = 1
Тиймээс бид каноник хэлбэрт ирлээ:
log x 9 = log x x 1
x=9
Бид хоёр дахь үндсийг авсан. Энэ нь x ≠ 1 шаардлагыг хангаж байна. Тиймээс x = 9, x = 1-ийн хамт эцсийн хариулт болно.
Таны харж байгаагаар тооцооллын хэмжээ бага зэрэг буурсан байна. Гэхдээ бодит логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхдээ алхам бүрийг нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй тул алхамуудын тоо хамаагүй бага байх болно.
Өнөөдрийн хичээлийн гол дүрэм нь дараах байдалтай байна: хэрэв бодлого нь тэгш зэрэгтэй, түүнээс ижил зэрэгтэй язгуурыг гаргаж авсан бол үр дүн нь модуль болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та логарифмын тодорхойлолтын домэйнд анхаарлаа хандуулбал энэ модулийг устгаж болно.
Гэхдээ болгоомжтой байгаарай: энэ хичээлийн дараа ихэнх оюутнууд бүх зүйлийг ойлгодог гэж боддог. Гэвч бодит асуудлыг шийдэхдээ тэд логик гинжийг бүхэлд нь хуулбарлаж чадахгүй. Үүний үр дүнд тэгшитгэл нь шаардлагагүй үндсийг олж авдаг бөгөөд хариулт нь буруу болж хувирдаг.
Алгебр 11-р анги
Сэдэв: "Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга"
Хичээлийн зорилго:
боловсролын: тухай мэдлэгийг бий болгох янз бүрийн аргаарлогарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэдгээрийг тодорхой нөхцөл байдалд ашиглах, шийдвэрлэх ямар ч аргыг сонгох чадвар;
хөгжүүлэх: ажиглах, харьцуулах, шинэ нөхцөл байдалд мэдлэгийг хэрэгжүүлэх, хэв маягийг тодорхойлох, нэгтгэх чадварыг хөгжүүлэх; харилцан хяналт, өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх;
Боловсрол: боловсролын ажилд хариуцлагатай хандах, хичээлийн материалыг анхааралтай авч үзэх, анхааралтай тэмдэглэл хөтлөх.
Хичээлийн төрөл: шинэ материалыг нэвтрүүлэх хичээл.
"Логарифмийг зохион бүтээсэн нь одон орон судлаачийн ажлыг бууруулж, түүний амьдралыг уртасгасан."
Францын математикч, одон орон судлаач П.С. Лаплас
Хичээлийн явц
I. Хичээлийн зорилгоо тодорхойлох
Логарифмын судлагдсан тодорхойлолт, логарифмын шинж чанар, логарифмын функц нь логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно. Бүх логарифмын тэгшитгэлийг хичнээн төвөгтэй байсан ч нэг төрлийн алгоритм ашиглан шийддэг. Бид өнөөдрийн хичээлээр эдгээр алгоритмуудыг авч үзэх болно. Тэдгээр нь тийм ч олон биш юм. Хэрэв та тэдгээрийг эзэмшвэл логарифм бүхий ямар ч тэгшитгэл та нарын хүн бүрт боломжтой байх болно.
Хичээлийн сэдвийг дэвтэртээ "Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд" гэж бич. Би хүн бүрийг хамтран ажиллахыг урьж байна.
II. Лавлах мэдлэгийг шинэчлэх
Хичээлийн сэдвийг судлахад бэлдье. Та даалгавар бүрийг шийдэж, нөхцөлийг бичих шаардлагагүй; Хосоор ажиллах.
1) Х-ийн ямар утгуудын хувьд функц нь утга учиртай вэ:
(Хариултуудыг слайд бүрээр шалгаж, алдааг эрэмбэлсэн)
2) Функцуудын графикууд давхцаж байна уу?
3) Тэнцвэрийг логарифмын тэнцүү гэж дахин бичнэ үү.
4) Тоонуудыг 2 суурьтай логарифм хэлбэрээр бичнэ үү.
5) Тооцоолох:
6) Эдгээр тэгш байдлын дутуу элементүүдийг сэргээх эсвэл нөхөхийг хичээ.
III. Шинэ материалын танилцуулга
Дараах мэдэгдлийг дэлгэц дээр харуулав.
"Тэгшитгэл бол бүх математикийн гүн ухааныг нээж өгдөг алтан түлхүүр юм."
Польшийн орчин үеийн математикч С.Коваль
Логарифм тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг томъёолж үзээрэй. (Логарифмын тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэл).
Ингээд авч үзье Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл:бүртгэлАx = b(энд a>0, a ≠ 1). Логарифмын функц нь эерэг тооны олонлог дээр нэмэгдэж (эсвэл буурч) бүх бодит утгыг авдаг тул язгуур теоремоор энэ тэгшитгэл нь дурын b-ийн хувьд зөвхөн нэг шийдэлтэй, эерэг нэгтэй байна.
Логарифмын тодорхойлолтыг санаарай. (х тооны а суурийн логарифм нь х тоог гаргахын тулд а суурийг өсгөх шаардлагатай чадлын үзүүлэлт юм). Логарифмын тодорхойлолтоос харахад шууд гарч ирдэг АВийм шийдэл юм.
Гарчиг бичнэ үү: Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
1. Логарифмын тодорхойлолтоор.
Хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг.
Ингээд авч үзье № 514(a)): Тэгшитгэлийг шийд
Та үүнийг хэрхэн шийдвэрлэхийг санал болгож байна вэ? (Логарифмын тодорхойлолтоор)
Шийдэл. , Тиймээс 2x - 4 = 4; x = 4.
Энэ даалгаварт 2x - 4 > 0, учир нь > 0 тул гадны үндэс гарч ирэхгүй, шалгах шаардлагагүй. Энэ даалгаварт 2x - 4 > 0 нөхцөлийг бичих шаардлагагүй.
2. Потенциаци(өгөгдсөн илэрхийллийн логарифмаас энэ илэрхийлэл рүү шилжих).
Ингээд авч үзье дугаар 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Та ямар онцлогийг анзаарсан бэ? (Хоёр илэрхийллийн суурь нь ижил бөгөөд логарифм нь тэнцүү.) Юу хийж болох вэ? (Хүчтэй болгох).
Логарифмын илэрхийлэл эерэг байгаа бүх x-ийн дунд аливаа шийдэл агуулагддаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
Шийдэл: ODZ:
X2+8>0 нь шаардлагагүй тэгш бус байдал юм
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
Анхны тэгшитгэлийг хүчирхэгжүүлье
x2+8= 8x+8 тэгшитгэлийг авна
Үүнийг шийдье: x2-8x=0
Хариулт: 0; 8
IN ерөнхий үзэл эквивалент системд шилжих:
Тэгшитгэл
(Систем нь илүүдэл нөхцөлийг агуулдаг - тэгш бус байдлын аль нэгийг тооцох шаардлагагүй).
Ангид зориулсан асуулт: Эдгээр гурван шийдлийн аль нь танд илүү таалагдсан бэ? (Аргын талаархи хэлэлцүүлэг).
Та ямар ч байдлаар шийдэх эрхтэй.
3. Шинэ хувьсагчийн танилцуулга.
Ингээд авч үзье дугаар 520(г). .
Та юу анзаарсан бэ? (Энэ бол log3x-ийн квадрат тэгшитгэл юм) Санал болгох уу? (Шинэ хувьсагч оруулах)
Шийдэл. ODZ: x > 0.
, тэгвэл тэгшитгэл нь: хэлбэрийг авна. Дискриминант D > 0. Вьетагийн теоремын дагуу үндэс:.
Орлуулах зүйл рүү буцъя: эсвэл.
Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хариулт: 27;
4. Тэгшитгэлийн хоёр талын логарифм.
Тэгшитгэлийг шийд:.
Шийдэл: ODZ: x>0, тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмыг 10-р суурьт авна:
Хүчний логарифмын шинж чанарыг ашиглая:
(logx + 3) logx = 4
logx = y, тэгвэл (y + 3)y = 4
, (D > 0) Виетийн теоремын дагуу үндэс: y1 = -4 ба y2 = 1.
Орлуулах руу буцъя, бид дараахийг авна: lgx = -4,; lgx = 1, .
Хариулт: 0.0001; 10.
5. Нэг суурь болгон бууруулах.
№ 523(c). Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл: ODZ: x>0. 3-р суурь руу шилжье.
6. Функционал-график арга.
№ 509(d).Тэгшитгэлийг графикаар шийд: = 3 - x.
Та хэрхэн шийдвэрлэхийг санал болгож байна вэ? (Цэгүүдийг ашиглан y = log2x ба y = 3 - x гэсэн хоёр функцийн графикийг байгуулж, графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссыг олоорой).
Слайд дээрх шийдлээ харна уу.
График хийхээс зайлсхийх арга бий . Энэ нь дараах байдалтай байна : функцүүдийн аль нэг нь болу = f(x) нэмэгддэг, нөгөө ньу = g(x) X интервал дээр буурна, дараа нь тэгшитгэл f(x)= g(x) X интервал дээр хамгийн ихдээ нэг үндэстэй.
Хэрэв үндэс байгаа бол үүнийг тааж болно.
Манай тохиолдолд функц нь x>0-ийн хувьд нэмэгдэж, y = 3 - x функц нь x-ийн бүх утгууд, түүний дотор x>0-ийн хувьд буурдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь нэгээс илүү үндэсгүй гэсэн үг юм. x = 2 үед тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг тул .
“Арга зүйг зөв хэрэглэхэд суралцаж болно
зөвхөн тэдгээрийг хэрэглэх замаар янз бүрийн жишээ».
Данийн математикийн түүхч G. G. Zeiten
IВ. Гэрийн даалгавар
P. 39 3-р жишээг авч үз, №514(b), No529(b), No520(b), No523(b)-ыг шийд.
V. Хичээлийг дүгнэж байна
Бид ангид логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ямар аргуудыг үзсэн бэ?
Дараагийн хичээлүүдэд бид илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд судалсан аргууд нь ашигтай байх болно.
Сүүлд үзүүлсэн слайд:
“Дэлхий дээрх юу юунаас илүү вэ?
Орон зай.
Хамгийн ухаалаг нь юу вэ?
Цаг хугацаа.
Хамгийн сайхан нь юу вэ?
Хүссэн зүйлдээ хүр."
Талес
Хүн бүр хүссэн зүйлдээ хүрэхийг хүсч байна. Хамтран ажилласан, ойлголцсонд баярлалаа.
Математик яагаад хэрэгтэйг хүн бүр мэддэг. Гэсэн хэдий ч шийдвэр гаргахад олон хүн тусламж хэрэгтэй байна математикийн асуудлуудба тэгшитгэл. Логарифмын тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг танд хэлэхээс өмнө тэдгээр нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Логарифмын суурь эсвэл түүний тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг логарифмын тэгшитгэл гэнэ. logaX = b хэлбэртэй буюу энэ хэлбэрт буулгаж болох тэгшитгэлийг хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл гэж үзнэ.
Зөв шийдвэр
Учир нь зөв шийдвэрИйм тэгшитгэлийн хувьд аливаа логарифмын функцийн шинж чанарыг санах хэрэгтэй.
- бодит тоонуудын багц (муж)
- эерэг тооны багц (домайн)
- "a" нь 1-ээс их бол логарифмын функц эрс нэмэгддэг, хэрэв бага бол логарифмын функц буурдаг
- өгөгдсөн параметрүүдтэй: "a" нь 1, 1 нь тэгтэй тэнцүү бол "a" нь 1-тэй тэнцүү биш, 0-ээс их байх болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
Логарифм тэгшитгэлийн зөв шийдэл нь логарифмыг өөрөө ойлгохоос шууд хамаарна. Нэг жишээ авъя: 5x=11. X нь 11 болохын тулд 5-ыг өсгөх ёстой тоо юм. Энэ тоог 5 суурьтай 11-ийн логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар бичнэ: x = log511. Тиймээс бид 5x=11 гэсэн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэж, x=log511 гэсэн хариултыг олж авлаа.
Логарифм тэгшитгэл
Логарифмтай тэгшитгэлийг логарифм тэгшитгэл гэнэ. Энэ тэгшитгэлд үл мэдэгдэх хувьсагч, түүнчлэн тэдгээртэй илэрхийлэгдэх илэрхийллүүд нь логарифмын дотор байрладаг. Тэгээд өөр хаана ч байхгүй! Логарифм тэгшитгэлийн жишээ: log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), log3(x+3)+20=15log(x+5) гэх мэт. Х-тэй янз бүрийн илэрхийлэл нь зөвхөн өгөгдсөн логарифмын дотор байж болно гэдгийг бүү мартаарай.
Логарифмуудаас салах
Логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тухайн асуудлын дагуу ашигладаг бөгөөд шийдвэрлэх үйл явц нь өөрөө маш хэцүү ажил юм. Энгийн тэгшитгэлээс эхэлцгээе. Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
- logx-21=11
- log5 (70x-1)=2
- log5x=25
Логарифм тэгшитгэлийг шийдэх нь логарифм бүхий тэгшитгэлээс аль нь ч байхгүй тэгшитгэл рүү шилжих явдал юм. Хамгийн энгийн тэгшитгэлд үүнийг нэг алхамаар хийж болно. Ийм учраас тэднийг эгэл биетэн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, бид дараах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй: log5x = log52. Үүний тулд бидэнд тусгай мэдлэг хэрэггүй. IN энэ жишээндБид бүхэл бүтэн дүр зургийг сүйтгэдэг логарифмуудаас салах хэрэгтэй. Бид логарифмуудыг хасаад: x=2. Тиймээс ирээдүйд боломжтой бол шаардлагагүй логарифмуудыг арилгах шаардлагатай байна. Эцсийн эцэст, яг энэ дараалал нь таныг шийдэх боломжийг олгодог логарифмын тэгш бус байдалба тэгшитгэл. Математикийн хувьд ийм үйлдлийг ихэвчлэн потенциац гэж нэрлэдэг. Гэхдээ ийм аргаар логарифмуудаас салах нь өөрийн гэсэн дүрэмтэй. Хэрэв логарифм нь ямар ч коэффициентгүй (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь өөрөө тодорхойлогддог), мөн ижил тооны суурьтай бол логарифмуудыг устгаж болно.
Логарифмуудыг хассаны дараа бид хялбаршуулсан тэгшитгэлтэй үлдэх болно гэдгийг санаарай. Өөр нэг жишээг шийдье:
log9 (5x-4)-log9x. Бид хүчирхэгжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна.
- 5х-4=х
- 5x=x+4
Таны харж байгаагаар логарифмуудыг хассанаар бид ердийн тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд хэцүү болсон. Одоо та илүү олон зүйл рүү шилжиж болно нарийн төвөгтэй жишээнүүд: log9 (60x-1)=2. Дэд логарифмын илэрхийлэл (60x-1) авахын тулд бид логарифм (суурийг өсгөсөн тоо, манай тохиолдолд 9) руу хандах хэрэгтэй. Бидний логарифм 2-той тэнцүү. Тиймээс: 92 = 60x-1. Өөр логарифм байхгүй. Бид үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ: 60x-1=59, x = 1.
Бид энэ жишээг логарифмын утгын дагуу шийдсэн. Аливаа өгөгдсөн тооноос та шаардлагатай хэлбэрийн логарифмийг хийж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ арга нь тэгш бус байдал, логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй. Хэрэв та тэгшитгэлийн үндсийг олох шаардлагатай бол үүнийг хэрхэн хийж болохыг харцгаая: log5(18 – x) = log55
Хэрэв бидний тэгшитгэлд тэгшитгэлийн хоёр тал нь ижил суурьтай логарифмтай бол бид логарифмын тэмдгийн дор гарч буй илэрхийллийг тэнцүүлж болно. Бид нийтлэг үндэслэлийг устгадаг: log5. Бид энгийн тэгшитгэлийг олж авна: 18 – x = 5, x = 13.
Үнэндээ логарифмын тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Логарифмын тэгшитгэлийн шинж чанарууд нь мэдэгдэхүйц ялгаатай байдгийг харгалзан үзсэн ч шийдвэрлэх боломжгүй даалгавар байдаггүй. Логарифмын шинж чанарыг мэдэхийн зэрэгцээ тэдгээрийг зөв хэрэглэх чадвартай байх шаардлагатай. Яарах шаардлагагүй: бид дээрх зааврыг санаж, даалгавруудыг шийдэж эхэлнэ. Ямар ч тохиолдолд айх шаардлагагүй нарийн төвөгтэй тэгшитгэл, Та тэдгээрийн аль нэгийг нь амархан даван туулахад шаардлагатай бүх мэдлэг, нөөцтэй.
Асаалттай энэ хичээлБид логарифмын тухай онолын үндсэн баримтуудыг давтаж, хамгийн энгийн логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно.
Логарифмын тодорхойлолт болох төв тодорхойлолтыг эргэн санацгаая. Энэ нь шийдвэртэй холбоотой экспоненциал тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлнэг язгууртай, үүнийг b-ийн логарифм гэж нэрлэдэг a суурь:
Тодорхойлолт:
b-ийн суурийн логарифм нь b-ийг авахын тулд а суурийг өсгөх ёстой илтгэгч юм.
Танд сануулъя үндсэн логарифмын ижилсэл.
Илэрхийлэл (илэрхийлэл 1) нь тэгшитгэлийн үндэс юм (илэрхийлэл 2). 2-р илэрхийлэлд x-ийн оронд 1-р илэрхийлэлийн x утгыг орлуулж, үндсэн логарифмын ижилсэлтийг авна уу.
Тиймээс бид үнэ цэнэ бүр утгатай холбоотой болохыг харж байна. Бид b-г x(), c-г y-ээр тэмдэглэж, логарифм функцийг олж авна.
Жишээ нь: 
Логарифмын функцийн үндсэн шинж чанаруудыг эргэн санацгаая.
Логарифмын суурь нь хатуу эерэг илэрхийлэл байж болох тул энд дахин анхаарлаа хандуулцгаая.
Цагаан будаа. 1. Янз бүрийн суурьтай логарифм функцийн график
at функцийн графикийг хар өнгөөр үзүүлэв. Цагаан будаа. 1. Хэрэв аргумент тэгээс хязгаар хүртэл нэмэгдвэл функц нь хасахаас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгдэнэ.
Функцийн графикийг улаанаар харуулав. Цагаан будаа. 1.
Энэ функцийн шинж чанарууд:
Хамрах хүрээ: ;
Утгын хүрээ: ;
Функц нь бүх тодорхойлолтын хүрээнд нэг хэвийн байна. Нэг хэвийн (хатуу) нэмэгдэхэд, илүү өндөр үнэ цэнэаргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна. Монотон (хатуу) буурах үед аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байна.
Логарифмын функцийн шинж чанарууд нь янз бүрийн логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх түлхүүр юм.
Хамгийн энгийн логарифмын тэгшитгэлийг авч үзье.
Логарифмын суурь болон логарифмууд нь өөрөө тэнцүү тул логарифмын доорх функцууд нь мөн адил тэнцүү боловч бид тодорхойлолтын мужийг алдах ёсгүй. Логарифмын доор зөвхөн эерэг тоо гарч ирж болно, бидэнд:
Бид f ба g функцууд тэнцүү болохыг олж мэдсэн тул ODZ-д нийцүүлэхийн тулд аль нэг тэгш бус байдлыг сонгоход хангалттай.
Тиймээс бид тэгшитгэл ба тэгш бус байдал бүхий холимог системтэй болно.
Дүрмээр бол тэгш бус байдлыг шийдэх шаардлагагүй, тэгшитгэлийг шийдэж, олсон үндсийг тэгш бус байдалд орлуулахад хангалттай.
Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг шийдэх аргыг томъёолъё.
Логарифмын суурийг тэнцүүлэх;
Дэд логарифмын функцуудыг тэнцүүлэх;
Шалгалт хийх.
Тодорхой жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ 1 - тэгшитгэлийг шийд:
Логарифмын суурь нь эхлээд тэнцүү, бид дэд логарифмын илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх эрхтэй, ODZ-ийн талаар бүү мартаарай, бид тэгш бус байдлыг бүрдүүлэх эхний логарифмийг сонгоно.
Жишээ 2 - тэгшитгэлийг шийд:
Энэ тэгшитгэл нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд логарифмын суурь нь нэгээс бага боловч энэ нь шийдэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй.
Үндэсийг олоод тэгш бус байдалд орлъё:
Бид буруу тэгш бус байдлыг хүлээн авсан бөгөөд энэ нь олсон үндэс нь ODZ-ийг хангахгүй гэсэн үг юм.
Жишээ 3 - тэгшитгэлийг шийд:
Логарифмын суурь нь эхлээд тэнцүү, бид дэд логарифмын илэрхийлэлүүдийг тэнцүүлэх эрхтэй, ODZ-ийн талаар бүү мартаарай, бид тэгш бус байдлыг бүрдүүлэх хоёр дахь логарифмийг сонгоно.
Үндэсийг олоод тэгш бус байдалд орлъё:
Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн эхний үндэс нь DD-г хангадаг.