a (a>0, a нь 1-тэй тэнцүү биш) эерэг тооны b-ийн логарифм нь c тоо бөгөөд a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
Эерэг бус тооны логарифм нь тодорхойгүй гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна логарифмын суурь нь 1-тэй тэнцүү биш эерэг тоо байх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв бид -2-ийн квадрат бол бид 4-ийн тоог авна, гэхдээ энэ нь 4-ийн суурь -2 логарифм нь тэнцүү гэсэн үг биш юм. 2 хүртэл.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Энэ томъёоны баруун ба зүүн талыг тодорхойлох хүрээ өөр байх нь чухал юм. Зүүн тал нь зөвхөн b>0, a>0 болон a ≠ 1-д тодорхойлогддог. Баруун тал нь дурын b-д тодорхойлогддог бөгөөд a-аас огт хамаарахгүй. Тиймээс тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ үндсэн логарифмын "идентификатор" -ыг ашиглах нь OD-ийг өөрчлөхөд хүргэдэг.
Логарифмын тодорхойлолтын хоёр тодорхой үр дагавар
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Үнэн хэрэгтээ, а тоог эхний зэрэглэлд хүргэхэд бид ижил тоо, тэг рүү өсгөхөд нэг тоог авна.
Үржвэрийн логарифм ба хуваалтын логарифм
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Лог a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Сургуулийн хүүхдүүдэд эдгээр томъёог шийдэхдээ бодлогогүй хэрэглэхээс сэрэмжлүүлмээр байна логарифм тэгшитгэлба тэгш бус байдал. Тэдгээрийг "зүүнээс баруун тийш" ашиглах үед ODZ нарийсч, логарифмын нийлбэр эсвэл зөрүүгээс бүтээгдэхүүн эсвэл категоритын логарифм руу шилжих үед ODZ өргөжиж байна.
Үнэн хэрэгтээ log a (f (x) g (x)) илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд тодорхойлогддог: функц нь хоёулаа эерэг байх үед эсвэл f (x) ба g (x) хоёулаа тэгээс бага байх үед.
Энэ илэрхийлэлийг log a f (x) + log a g (x) нийлбэр болгон хувиргаснаар бид зөвхөн f(x)>0 ба g(x)>0 тохиолдолд л хязгаарлагдахаас өөр аргагүй болно. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсч байгаа бөгөөд энэ нь шийдлийг алдахад хүргэж болзошгүй тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Томъёо (6)-д ижил төстэй асуудал бий.
Зэрэгийг логарифмын тэмдгээс хасаж болно
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Мөн би дахин болгоомжтой байхыг хүсч байна. Дараах жишээг авч үзье.
Лог a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Тэгээс бусад f(x)-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш байдлын зүүн тал тодорхой тодорхойлогддог. Баруун тал нь зөвхөн f(x)>0! Логарифмаас градусыг авснаар бид ODZ-ийг дахин нарийсгана. Урвуу процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Эдгээр бүх тайлбарууд нь зөвхөн 2-р хүчинд төдийгүй аливаа тэгш эрх мэдэлд хамаарна.
Шинэ суурь руу шилжих томъёо
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Өөрчлөлтийн явцад ODZ өөрчлөгддөггүй ховор тохиолдол. Хэрэв та c суурийг ухаалгаар сонгосон бол (эерэг ба 1-тэй тэнцүү биш) шинэ суурь руу шилжих томъёо нь бүрэн аюулгүй юм.
Хэрэв бид b тоог c шинэ суурь болгон сонговол (8) томьёоны чухал онцгой тохиолдлыг олж авна.
Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Логарифмын зарим энгийн жишээ
Жишээ 1. Тооцоол: log2 + log50.
Шийдэл. log2 + log50 = log100 = 2. Бид логарифмын нийлбэр томъёо (5) болон аравтын бутархай логарифмын тодорхойлолтыг ашигласан.
Жишээ 2. Тооцоол: lg125/lg5.
Шийдэл. log125/log5 = log 5 125 = 3. Бид шинэ суурь руу шилжих томъёог ашигласан (8).
Логарифмтай холбоотой томъёоны хүснэгт
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
274. Тайлбар.
A)Хэрэв таны үнэлэхийг хүссэн илэрхийлэл агуулж байвал нийлбэрэсвэл ялгаатоонууд, дараа нь тэдгээрийг ердийн нэмэх, хасах замаар хүснэгтийн тусламжгүйгээр олох ёстой. Жишээ нь:
бүртгэл (35 +7.24) 5 = 5 бүртгэл (35 + 7.24) = 5 бүртгэл 42.24.
б)Хэрхэн логарифм илэрхийлэхийг мэддэг учраас бид урвуу байдлаар хийж чадна энэ үр дүнлогарифм ашиглан энэ үр дүнг олж авсан илэрхийллийг олох; тийм бол
бүртгэл X=лог а+ бүртгэл б- 3 гуалин -тай,
тэгвэл үүнийг ойлгоход хялбар болно
V)Логарифмын хүснэгтийн бүтцийг авч үзэхийн өмнө бид аравтын бутархай логарифмын зарим шинж чанарыг зааж өгөх болно. 10-ын тоог үндэс болгон авсан тоонууд (тооцоолдолд зөвхөн ийм логарифмуудыг ашигладаг).
Хоёрдугаар бүлэг.
Аравтын логарифмын шинж чанарууд.
275 . А) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 гэх мэт тул лог 10 = 1, лог 100 = 2, лог 1000 = 3, лог 10000 = 4 гэх мэт.
гэсэн үг, Нэг ба тэгээр илэрхийлэгдсэн бүхэл тооны логарифм нь тухайн тооны дүрслэлд тэгтэй адил олон нэгийг агуулсан эерэг бүхэл тоо юм.
Тиймээс: бүртгэл 100,000 = 5, бүртгэл 1000 000 = 6 , гэх мэт.
б) Учир нь
log 0.1 = -l; бүртгэл 0.01 = - 2; бүртгэл 0.001 == -3; бүртгэл 0.0001 = - 4,гэх мэт.
гэсэн үг, логарифм аравтын, өмнөх тэгтэй нэгжээр илэрхийлэгдэх нь бутархайн дүрслэлд 0 бүхэл тоо зэрэг олон сөрөг нэгж агуулсан сөрөг бүхэл тоо юм.
Тиймээс: бүртгэл 0.00001= - 5, бүртгэл 0.000001 = -6,гэх мэт.
V)Жишээлбэл, нэг ба тэгээр илэрхийлэгдээгүй бүхэл тоог авч үзье. 35, эсвэл бутархай бүхэл тоо, жишээ нь. 10.7. Ийм тооны логарифм нь бүхэл тоо байж болохгүй, учир нь 10-ыг бүхэл тоон үзүүлэлттэй (эерэг эсвэл сөрөг) зэрэглэлд хүргэхэд бид 1-ийг тэгтэй (1-ийн ард эсвэл түүний өмнөх) авна. Ийм тооны логарифм нь зарим нэг бутархай байна гэж үзье а / б . Тэгвэл бид тэгш эрхтэй болно
Гэхдээ эдгээр тэгш байдал нь боломжгүй юм 10А Тэгтэй 1-үүд байдаг бол градус байдаг 35б Тэгээд 10,7б ямар ч хэмжээгээр б 1-ийг дараа нь тэг өгөх боломжгүй. Энэ нь бид зөвшөөрөх боломжгүй гэсэн үг юм бүртгэл 35Тэгээд бүртгэл 10.7бутархайтай тэнцүү байв. Гэхдээ логарифмын функцийн шинж чанаруудаас бид эерэг тоо бүр логарифмтай гэдгийг мэдэж байна (); иймээс 35 ба 10.7 тоо тус бүр өөрийн гэсэн логарифмтай бөгөөд энэ нь бүхэл тоо эсвэл бутархай тоо байж чадахгүй тул энэ нь иррационал тоо тул яг тоогоор илэрхийлэх боломжгүй юм. Иррационал логарифмыг ихэвчлэн аравтын бутархайгаар хэд хэдэн бутархайгаар илэрхийлдэг. Энэ бутархайн бүхэл тоо ("0 бүхэл тоо" байсан ч) дуудагдана онцлог, харин бутархай хэсэг нь логарифмын мантис юм. Жишээлбэл, логарифм байгаа бол 1,5441 , тэгвэл түүний шинж чанар тэнцүү байна 1 , мөн мантисса байна 0,5441 .
G)Жишээлбэл, бүхэл тоо эсвэл холимог тоог авч үзье. 623 эсвэл 623,57 . Ийм тооны логарифм нь шинж чанар ба мантисаас бүрдэнэ. Аравтын бутархай логарифмууд ийм тохь тухтай байдаг нь харагдаж байна Бид тэдгээрийн шинж чанарыг нэг төрлийн тоогоор үргэлж олж чадна . Үүнийг хийхийн тулд бид өгөгдсөн бүхэл тоо эсвэл бүхэл тоонд хэдэн цифр байгааг тоолно холимог тоо, Эдгээр тоонуудын жишээн дээр 3 . Тиймээс тоо тус бүр 623 Тэгээд 623,57 100-аас дээш боловч 1000-аас бага; Энэ нь тус бүрийн логарифм нь илүү байна гэсэн үг юм бүртгэл 100, өөрөөр хэлбэл илүү 2 , гэхдээ бага бүртгэл 1000, өөрөөр хэлбэл бага 3 (илүү их тоо нь том логарифмтай байдаг гэдгийг санаарай). Тиймээс, бүртгэл 623 = 2,..., Мөн бүртгэл 623.57 = 2,... (цэгүүд нь үл мэдэгдэх мантисуудыг орлоно).
Үүнтэй адилаар бид олдог:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 бүртгэл 56.7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 бүртгэл 8634 = 3,... |
Өгөгдсөн бүхэл тоо буюу холимог тооны бүхэл хэсгийг ерөнхийд нь агуулна м тоо Хамгийн бага бүхэл тоо агуулсан тул м тоо, тийм ээ 1 -тай м - 1 төгсгөлд тэг, дараа нь (энэ тоог илэрхийлнэ Н) бид тэгш бус байдлыг бичиж болно:
тиймээс,
м - 1 < log N < м ,
log N = ( м- 1) + эерэг бутархай.
Тиймээс шинж чанар logN = м - 1 .
Үүнийг бид ийм байдлаар харж байна бүхэл тоо эсвэл холимог тооны логарифмын шинж чанар нь тооноос нэгийг хассан бүхэл хэсэгт цифр байгаатай тэнцэх хэмжээний эерэг нэгжийг агуулна.
Үүнийг анзаарсны дараа бид шууд бичиж болно:
бүртгэл 7.205 = 0,...; бүртгэл 83 = 1,...; бүртгэл 720.4 = 2,...гэх мэт.
г)Хэд хэдэн аравтын бутархайг жижигрүүлье 1 (жишээ нь байх 0 бүхэлд нь): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, гэх мэт.
Иймд эдгээр логарифм тус бүр нь нэг нэгжээр ялгаатай хоёр сөрөг бүхэл тооны хооронд агуулагддаг; тиймээс тэдгээр нь тус бүр нь эерэг бутархайгаар нэмэгдсэн эдгээр сөрөг тоонуудын багатай тэнцүү байна. Жишээ нь, log0.0056= -3 + эерэг бутархай. Энэ бутархайг 0.7482 гэж үзье. Дараа нь энэ нь:
бүртгэл 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
зэрэг дүн - 3 + 0,7482 , сөрөг бүхэл тоо ба эерэг аравтын бутархайгаас бүрдэх тул бид логарифмын тооцоонд дараах байдлаар товчилсон байдлаар бичихээр тохиролцов. 3 ,7482 (Энэ тоо: 3 хасах, 7482 арван мянганы нэг.). Тиймээс дээрх хүснэгтээс харахад энэ нь тодорхой байна
бүртгэл 0.35 == 1,.....; бүртгэл 0.07 = 2,.....; бүртгэл 0.0008 = 4 ,....
Ер нь болъё 
. эхний чухал цифрээс өмнө аравтын бутархай байдаг α
зардал м
тэг, түүний дотор 0 бүхэл тоо. Тэгвэл энэ нь ойлгомжтой
- м < log A < - (м- 1).
Хоёр бүхэл тооноос:- м Тэгээд - (м- 1) бага байна - м , Тэр
log A = - м+ эерэг бутархай,
улмаар шинж чанар log A = - м (эерэг мантисатай).
Тиймээс, 1-ээс бага аравтын бутархайн логарифмын шинж чанар нь эхний чухал цифрийн өмнөх аравтын бутархайн зурганд тэг бүхэл тоо зэрэг олон сөрөг тоог агуулна; Ийм логарифмын мантис эерэг байна.
д)Зарим тоог үржүүлье Н(бүхэл тоо эсвэл бутархай - хамаагүй) 10-аар, 100-аар 1000-аар..., ерөнхийдөө 1-ээр тэгтэй. Энэ хэрхэн өөрчлөгдөхийг харцгаая бүртгэл Н. Бүтээгдэхүүний логарифмаас хойш нийлбэртэй тэнцүү байнахүчин зүйлсийн логарифмууд, дараа нь
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;гэх мэт.
Хэзээ бүртгэл Нбид бүхэл тоо нэмбэл, бид энэ тоог мантисад биш харин шинж чанарт нэмж болно.
Тэгэхээр хэрэв log N = 2.7804 бол 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801 гэх мэт;
эсвэл log N = 3.5649 бол 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649 гэх мэт.
Тоог 10, 100, 1000,.., ерөнхийдөө 1-ээр тэгээр үржүүлэхэд логарифмын мантис өөрчлөгдөхгүй бөгөөд тухайн хүчин зүйлд тэг байх тусам шинж чанар нь хэдэн нэгжээр нэмэгддэг. .
Үүний нэгэн адил, хуваагчийн логарифмгүйгээр хуваагчийн логарифм нь ногдол ашгийн логарифмтай тэнцүү байгааг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;
log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3;гэх мэт.
Хэрэв бид логарифмаас бүхэл тоог хасахдаа энэ бүхэл тоог шинж чанараас нь хасч, мантисыг өөрчлөхгүй байхыг зөвшөөрвөл дараахь зүйлийг хэлж болно.
Тоог 1-ээр тэгээр хуваах нь логарифмын мантисыг өөрчлөхгүй, харин шинж чанар нь хуваагч дахь тэг байгаа тоогоор хэдэн нэгжээр буурдаг.
276. Үр дагавар.өмчөөс ( д) дараах хоёр үр дагаварыг гаргаж болно.
A) Аравтын бутархай руу шилжихэд логарифмын мантис өөрчлөгддөггүй , учир нь аравтын бутархайг зөөх нь 10, 100, 1000 гэх мэтээр үржүүлэх буюу хуваахтай тэнцүү юм. Иймээс тооны логарифмууд:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
зөвхөн шинж чанараараа ялгаатай, харин мантисаар биш (бүх мантис эерэг байвал).
б) Ижил чухал хэсэгтэй, гэхдээ зөвхөн төгсгөлийн тэгээр ялгаатай тоонуудын мантис нь ижил байна. Тиймээс тоонуудын логарифмууд: 23, 230, 2300, 23,000 нь зөвхөн шинж чанараараа ялгаатай.
Сэтгэгдэл. Аравтын бутархай логарифмын заасан шинж чанаруудаас бид хүснэгтийн тусламжгүйгээр бүхэл тоо ба аравтын бутархайн логарифмын шинж чанарыг олох боломжтой болох нь тодорхой байна (энэ нь аравтын бутархай логарифмын маш их тав тухтай байдал юм); Үүний үр дүнд логарифмын хүснэгтэд зөвхөн нэг мантиса байрлуулсан; үүнээс гадна бутархайн логарифмийг олох нь бүхэл тооны логарифм (бутархайн логарифм = хуваарийн логарифмгүй тооны логарифм) олоход буурдаг тул зөвхөн бүхэл тооны логарифмын мантисуудыг хүснэгтэд байрлуулна.
Гуравдугаар бүлэг.
Дөрвөн оронтой хүснэгтийг зохион бүтээх, ашиглах.
277. Логарифмын системүүд.Логарифмын систем гэдэг нь ижил суурийг ашиглан хэд хэдэн дараалсан бүхэл тоонд тооцсон логарифмын багц юм. Хоёр системийг ашигладаг: энгийн эсвэл аравтын бутархай логарифмын систем, тоо нь суурь болгон авдаг 10 , мөн иррационал тоог суурь болгон авдаг натурал логарифмын систем (зарим шалтгааны улмаас математикийн бусад салбаруудад тодорхой байдаг) 2,7182818 ... Тооцооллын хувьд аравтын бутархай логарифмийг ашигладаг бөгөөд энэ нь бид ийм логарифмын шинж чанарыг жагсаахдаа заасан тохиромжтой байдаг.
Байгалийн логарифмийг мөн логарифм зохион бүтээгч Шотландын математикч Неперов гэж нэрлэдэг. Непера(1550-1617), аравтын логарифмууд - Бриггс профессорын нэрэмжит БригаЭдгээр логарифмын хүснэгтийг анх эмхэтгэсэн хүн (Напиерын орчин үеийн, найз).
278. Сөрөг логарифмыг мантис эерэг болгон хувиргах, урвуу хувиргалт. 1-ээс бага тооны логарифмууд сөрөг байдгийг бид харсан. Энэ нь тэдгээр нь сөрөг шинж чанар, сөрөг мантисагаас бүрддэг гэсэн үг юм. Ийм логарифмуудыг үргэлж хувиргаж, мантис нь эерэг боловч шинж чанар нь сөрөг хэвээр байна. Үүнийг хийхийн тулд мантисад эерэг нэгийг, шинж чанарт сөрөг нэгийг нэмэхэд хангалттай (энэ нь мэдээжийн хэрэг логарифмын утгыг өөрчлөхгүй).
Жишээлбэл, бид логарифмтай бол - 2,0873 , дараа нь та бичиж болно:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
эсвэл товчилсон:
Эсрэгээр сөрөг шинж чанар, эерэг мантис бүхий аливаа логарифмыг сөрөг болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд эерэг мантисад сөрөг талыг, сөрөг шинж чанарт эерэгийг хавсаргахад хангалттай: иймээс та дараахь зүйлийг бичиж болно.
279. Дөрвөн оронтой хүснэгтийн тодорхойлолт.Ихэнх практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд дөрвөн оронтой хүснэгтүүд хангалттай бөгөөд тэдгээрийг зохицуулах нь маш энгийн. Эдгээр хүснэгтүүдийг (дээд талд нь "логарифм" гэсэн бичээстэй) энэ номын төгсгөлд байрлуулсан бөгөөд тэдгээрийн багахан хэсгийг (зохион байгуулалтыг тайлбарлах) энэ хуудсан дээр хэвлэсэн болно
Логарифм.
-аас бүх бүхэл тооны логарифмууд 1 руу 9999 багтаасан, аравтын дөрвөн орон хүртэл тооцсон бөгөөд эдгээрийн сүүлийн оронгоор нэмэгдсэн 1 5-р бутархай нь 5 буюу 5-аас дээш байх бүх тохиолдолд; Тиймээс 4 оронтой хүснэгтүүд нь ойролцоогоор мантисыг өгдөг 1 / 2 арван мянганы хэсэг (дутагдал эсвэл илүүдэлтэй).
Бид аравтын бутархайн логарифмын шинж чанарт үндэслэн бүхэл тоо эсвэл аравтын бутархайн логарифмийг шууд тодорхойлж чаддаг тул хүснэгтээс зөвхөн мантисуудыг авах ёстой; Үүний зэрэгцээ, аравтын бутархайн тоон дахь аравтын бутархайн байрлал, мөн тооны төгсгөл дэх тэгийн тоо нь мантисын утгад нөлөөлөхгүй гэдгийг санах хэрэгтэй. Тиймээс мантиса олохдоо өгсөн дугаарБид энэ тоон дахь таслалыг, хэрэв байгаа бол төгсгөлд нь тэгийг хаяж, үүний дараа үүссэн бүхэл тооны мантиссыг олно. Дараах тохиолдол гарч болзошгүй.
1) Бүхэл тоо нь 3 цифрээс бүрдэнэ.Жишээлбэл, бид 536 тооны логарифмын мантисыг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Энэ тооны эхний хоёр орон, жишээлбэл, 53 нь зүүн талын эхний босоо баганад байгаа хүснэгтүүдээс олддог (хүснэгтийг харна уу). 53 дугаарыг олсны дараа бид түүнээс хэвтээ шугамын дагуу баруун тийш хөдөлж, дээд талд байрлуулсан 0, 1, 2, 3, ... 9 тоонуудын аль нэгийг нь дайран өнгөрөх босоо баганатай огтлолцоно. Хүснэгтийн доод талд байгаа бөгөөд энэ нь өгөгдсөн тооны 3-р орон, өөрөөр хэлбэл бидний жишээнд 6 дугаар байна. Уулзвар дээр бид 536 тооны логарифмд хамаарах мантиса 7292 (өөрөөр хэлбэл 0.7292) авна. Үүний нэгэн адил. , 508 тооны хувьд бид мантисыг 0.7059, 500 тооны хувьд 0.6990 гэх мэтийг олно.
2) Бүхэл тоо нь 2 эсвэл 1 цифрээс бүрдэнэ.Дараа нь бид оюун ухаанаараа энэ тоонд нэг эсвэл хоёр тэг оноож, үүссэн гурван оронтой тооны мантиссыг олдог. Жишээлбэл, бид 51-ийн тоонд нэг тэг нэмж, үүнээс 510-ыг авч, мантиса 7070-ыг олно; 5-ын тоонд бид 2 тэг оноож, мантиса 6990 гэх мэтийг олно.
3) Бүхэл тоог 4 оронтой тоогоор илэрхийлнэ.Жишээлбэл, та 5436 логоны мантисыг олох хэрэгтэй. Дараа нь бид хүснэгтээс эхлээд энэ тооны эхний 3 оронтой тоогоор илэрхийлэгдсэн тооны мантиссыг олно, өөрөөр хэлбэл 543 (энэ мантиса нь 7348 болно) ; дараа нь бид олсон мантисагаас хэвтээ шугамын дагуу баруун тийш (хүснэгтийн баруун талд, зузаан босоо шугамын ард байрладаг) тоонуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөх босоо баганатай огтлолцох хүртэл шилжинэ: 1, 2 3,. .. 9, хүснэгтийн энэ хэсгийн дээд хэсэгт (болон доод талд) байрлах бөгөөд энэ нь өгөгдсөн тооны 4-р цифрийг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл бидний жишээн дээр 6-р тоо. Уулзвар дээр бид залруулга (тоо) олдог. 5) 5436 дугаартай мантисыг авахын тулд 7348-ын мантисад оюун ухаанаараа түрхэх ёстой; Ингэснээр бид 0.7353 мантиса авах болно.
4) Бүхэл тоог 5 ба түүнээс дээш цифрээр илэрхийлнэ.Дараа нь бид эхний 4-өөс бусад бүх цифрүүдийг хаяж, ойролцоогоор дөрвөн оронтой тоог авч, энэ тооны сүүлийн оронг 1-ээр нэмэгдүүлнэ. тухайн тооны хаясан 5 дахь орон нь 5 ба түүнээс дээш байвал 57842-ын оронд 5784, 30257-ийн оронд 3026, 583263-ын оронд 5833 гэх мэтийг авна. Энэхүү дугуйрсан дөрвөн оронтой тооны хувьд бид сая тайлбарласны дагуу мантиссыг олно.
Эдгээр зааврын дагуу, жишээлбэл, дараах тоонуудын логарифмуудыг олцгооё.
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Юуны өмнө, одоохондоо хүснэгтүүд рүү эргэж орохгүйгээр бид зөвхөн шинж чанаруудыг нь буулгаж, мантисад зориулж зай үлдээж, дараа нь бичих болно.
бүртгэл 36.5 = 1,.... бүртгэл 0.00345 = 3,....
log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....
бүртгэл 0.26 = 1,.... бүртгэл 3456.86 = 3,....
бүртгэл 36.5 = 1.5623; бүртгэл 0.00345 = 3.5378;
бүртгэл 804.7 = 2.9057; бүртгэл 7.2634 = 0.8611;
бүртгэл 0.26 = 1.4150; бүртгэл 3456.86 = 3.5387.
280. Тайлбар. Зарим дөрвөн оронтой хүснэгтэд (жишээлбэл, хүснэгтэд В.Лорченко болон Н.Оглоблина, С.Глазенап, Н.Каменщикова нар) энэ тооны 4-р оронгийн засварыг оруулаагүй болно. Ийм хүснэгттэй ажиллахдаа та эдгээр залруулгад үндэслэн хийж болох энгийн тооцоог ашиглан олох хэрэгтэй. дараагийн үнэн: хэрэв тоо нь 100-аас дээш, тэдгээрийн хоорондох ялгаа нь 1-ээс бага бол эмзэг алдаагүй гэж үзэж болно. логарифмын ялгаа нь харгалзах тоонуудын зөрүүтэй пропорциональ байна . Жишээлбэл, та 5367 тоонд тохирох мантиса олох хэрэгтэй. Энэ мантиса нь мэдээжийн хэрэг 536.7 тоотой ижил байна. Хүснэгтээс бид 536 тоот мантис 7292-ыг олж харлаа. Энэ мантисыг баруун талд байрлах 537 тоотой харгалзах 7300 мантистай харьцуулж үзвэл 536 тоо 1-ээр нэмэгдвэл мантиса нь 8 араваар нэмэгдэх болно. -мянган (8 гэж нэрлэгддэг хүснэгтийн ялгаахоёр зэргэлдээ мантисын хооронд); Хэрэв 536 тоо 0.7-оор нэмэгдвэл түүний мантис нь 8 арван мянгаар биш, харин арай бага тоогоор нэмэгдэх болно. X 10 мянганы нэг хэсэг нь пропорциональ байдлын дагуу дараахь харьцааг хангасан байх ёстой.
X :8 = 0.7:1; хаана X = 8 07 = 5,6,
энэ нь 6 арван мянга болж бөөрөнхийлсөн. Энэ нь 536.7 тооны мантиса (тиймээс 5367 тоо) нь: 7292 + 6 = 7298 болно гэсэн үг юм.
Хүснэгт дэх хоёр зэргэлдээх тооноос завсрын тоог олохыг дууддаг болохыг анхаарна уу интерполяци.Энд тайлбарласан интерполяц гэж нэрлэдэг пропорциональ, учир нь энэ нь логарифмын өөрчлөлт нь тооны өөрчлөлттэй пропорциональ байна гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Логарифмын функцийн өөрчлөлтийг графикаар шулуун шугамаар илэрхийлдэг гэж үздэг тул үүнийг шугаман гэж нэрлэдэг.
281. Ойролцоо логарифмын алдааны хязгаар.Хэрэв логарифмыг нь хайж байгаа тоо нь яг нарийн тоо бол 4 оронтой хүснэгтээс олдсон логарифмын алдааны хязгаарыг бид дээр хэлсэнчлэн авч болно. 1 / 2 арван мянга дахь хэсэг. Хэрэв энэ тоо үнэн зөв биш бол энэ алдааны хязгаарт бид тухайн дугаарын буруугаас үүссэн өөр алдааны хязгаарыг нэмэх ёстой. Ийм хязгаарлалтыг бүтээгдэхүүн гэж үзэж болох нь батлагдсан (бид энэ нотолгоог орхигдуулсан).
а(г +1) арван мянганы.,
аль нь А гэж үзвэл хамгийн тодорхой бус тооны алдааны хязгаар юм түүний бүхэл хэсэг нь 3 оронтой, а г өгөгдсөн тодорхой бус тоо байгаа хоёр дараалсан гурван оронтой тоонд харгалзах мантисын хүснэгтийн зөрүү. Тиймээс логарифмын эцсийн алдааны хязгаарыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
1 / 2 + а(г +1) арван мянга
Жишээ. Бүртгэлийг олох π , авах π ойролцоогоор тоо 3.14, яг хүртэл 1 / 2 зуу дахь.
3.14 тоон дахь 3-р оронгийн ард таслалыг зүүн гар талаас нь тоолох замаар бид 314 гэсэн гурван оронтой тоог авна. 1 / 2 нэгж; Энэ нь буруу тоо, өөрөөр хэлбэл бидний үсгээр тэмдэглэсэн алдааны зөрүү гэсэн үг юм. А , байдаг 1 / 2 Хүснэгтүүдээс бид олж мэдсэн:
бүртгэл 3.14 = 0.4969.
Хүснэгтийн ялгаа г 314 ба 315 тоонуудын мантисын хооронд 14-тэй тэнцүү тул олсон логарифмын алдаа бага байх болно.
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 арван мянга.
0.4969 логарифм дутуу эсвэл хэтэрсэн эсэхийг бид мэдэхгүй тул бид яг л логарифм гэдгийг л баталж чадна. π 0.4969 - 0.0008 ба 0.4969 + 0.0008, өөрөөр хэлбэл 0.4961 хооронд байна.< log π < 0,4977.
282. Өгөгдсөн логарифмыг ашиглан тоог ол. Өгөгдсөн логарифмыг ашиглан тоог олохын тулд өгөгдсөн тооны мантисуудыг олохын тулд ижил хүснэгтүүдийг ашиглаж болно; гэхдээ антилогарифм гэж нэрлэгддэг бусад хүснэгтүүдийг ашиглах нь илүү тохиромжтой, өөрөөр хэлбэл эдгээр мантисуудад тохирох тоонууд. Дээд талын "антилогарифмүүд" гэсэн бичээсээр заасан эдгээр хүснэгтийг логарифмын хүснэгтүүдийн багахан хэсгийг энэ хуудсанд байрлуулсны дараа энэ номын төгсгөлд байрлуулсан болно (тайлбарлах зорилгоор).
Танд 4 оронтой мантисса 2863 өгсөн гэж бодъё (бид шинж чанарыг анхаарч үздэггүй) та харгалзах бүхэл тоог олох хэрэгтэй. Дараа нь антилогарифмын хүснэгттэй бол та тэдгээрийг өгөгдсөн тооны мантиссыг олохын тулд өмнө нь тайлбарласантай яг ижил аргаар ашиглах хэрэгтэй, тухайлбал: бид зүүн талын эхний баганад мантисын эхний 2 цифрийг олно. Дараа нь бид эдгээр тооноос хэвтээ шугамын дагуу баруун тийш шилжих бөгөөд энэ нь мантисын 3-р цифрээс гарч буй босоо баганатай огтлолцох хүртэл дээд мөрөнд (эсвэл доод) хайх ёстой. Уулзвар дээр бид дөрвөн оронтой тоо 1932 олох, мантиса 286 харгалзах. Дараа нь энэ тооноос бид баруун тийш хэвтээ шугамын дагуу цааш дамждаг мантисын 4-р цифрээс босоо баганатай огтлолцох хүртэл, энэ нь заавал байх ёстой. 1, 2, 3,... гэсэн тоонуудын дээд талд (эсвэл доод талд) байх ёстой. 9. Уулзвар дээр бид өмнөх дарааллаар нь олдсон 1032 тоонд (сэтгэлд) хэрэглэх ёстой залруулга 1-ийг олно. mantissa 2863-д тохирох дугаарыг авах.
Тиймээс энэ тоо 1933 байх болно. Үүний дараа шинж чанарт анхаарлаа хандуулж, та 1933 дугаарыг зохих байранд нь оруулах хэрэгтэй. Жишээ нь:
Хэрэв бүртгэл x = 3.2863, тэгвэл X = 1933,
„ бүртгэл x = 1,2863, „ X = 19,33,
, бүртгэл x = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ бүртгэл x = 2 ,2863, „ X = 0,01933
Энд илүү олон жишээ байна:
бүртгэл x = 0,2287, X = 1,693,
бүртгэл x = 1 ,7635, X = 0,5801,
бүртгэл x = 3,5029, X = 3184,
бүртгэл x = 2 ,0436, X = 0,01106.
Хэрэв мантиса нь 5 ба түүнээс дээш оронтой бол бид зөвхөн эхний 4 цифрийг авч, үлдсэнийг нь хаяна (мөн 5-р цифр тав ба түүнээс дээш оронтой бол 4-р цифрийг 1-ээр нэмэгдүүлнэ). Жишээлбэл, мантиса 35478-ийн оронд 3548, 47562-ын оронд 4756-г авна.
283. Тайлбар.Мантисын 4 ба дараагийн цифрүүдийн засварыг интерполяци хийх замаар олж болно. Хэрэв мантиса нь 84357 бол мантиса 843-тай тохирох 6966 тоог олсны дараа бид дараах байдлаар тайлбарлаж болно: хэрэв мантис 1 (мянгадахь) -аар нэмэгдвэл 844 болно. хүснэгтээс харж болно, 16 нэгжээр нэмэгдэх болно; хэрэв мантиса нь 1 (мянга) биш, харин 0.57 (мянга) -аар нэмэгдвэл тоо нь нэмэгдэнэ. X нэгж, ба X пропорцийг хангасан байх ёстой:
X : 16 = 0.57: 1, хаанаас x = 16 0,57 = 9,12.
Энэ нь шаардлагатай тоо нь 6966+ 9.12 = 6975.12 эсвэл (зөвхөн дөрвөн оронтойгоор хязгаарлагддаг) 6975 болно гэсэн үг юм.
284. Олдсон тооны алдааны хязгаар.Олдсон тоон дахь таслал нь зүүнээс 3-р оронгийн дараа, өөрөөр хэлбэл логарифмын шинж чанар 2 байвал нийлбэрийг алдааны хязгаар болгон авч болох нь батлагдсан.
Хаана А тоо олдсон логарифмын (арван мянганы нэгээр илэрхийлсэн) алдааны хязгаар бөгөөд г - олсон тоо байгаа гурван оронтой дараалсан хоёр тооны мантисын хоорондох зөрүү (зүүн талын 3-р оронгийн дараа таслалтай). Шинж чанар нь 2 биш, харин өөр байх үед олсон тоон дээр таслалыг зүүн эсвэл баруун тийш шилжүүлэх шаардлагатай болно, өөрөөр хэлбэл тоог 10-ын зарим хүчээр хуваах эсвэл үржүүлэх шаардлагатай болно. Энэ тохиолдолд алдаа гарна. үр дүнг 10-ын ижил хүчээр хувааж эсвэл үржүүлнэ.
Жишээлбэл, бид логарифм ашиглан тоог хайж байна 1,5950 , энэ нь арван мянганы 3 хүртэлх нарийвчлалтай гэдгийг мэддэг; тэгвэл гэсэн үг А = 3 . Антилогарифмын хүснэгтээс олдсон энэ логарифмд тохирох тоо нь байна 39,36 . Зүүн талаас 3-р цифрийн араас таслалыг хөдөлгөвөл бид тоотой болно 393,6 , хооронд бүрдэнэ 393 Тэгээд 394 . Логарифмын хүснэгтээс бид эдгээр хоёр тоонд тохирох мантисын хоорондох ялгаа байгааг харж байна 11 арван мянганы хэсэг; гэсэн үг г = 11 . 393.6 дугаарын алдаа бага байх болно
Энэ нь тоонд алдаа байна гэсэн үг юм 39,36 бага байх болно 0,05 .
285. Сөрөг шинж чанартай логарифмын үйлдлүүд.Эндээс харахад логарифм нэмэх, хасах нь ямар ч хүндрэл учруулахгүй дараах жишээнүүд:
Логарифмыг эерэг тоогоор үржүүлэхэд ямар ч бэрхшээл гарахгүй, жишээлбэл:
Сүүлийн жишээнд эерэг мантисыг тусад нь 34-өөр үржүүлнэ сөрөг шинж чанар 34-т.
Хэрэв сөрөг шинж чанар ба эерэг мантисын логарифмыг сөрөг тоогоор үржүүлбэл хоёр аргаар үргэлжлүүлнэ үү: өгөгдсөн логарифмыг эхлээд сөрөг болгож, эсвэл мантис ба шинж чанарыг тусад нь үржүүлж үр дүнг нэгтгэнэ. :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Хуваах үед хоёр тохиолдол үүсч болно: 1) сөрөг шинж чанар нь хуваагдана ба 2) хуваагчаар хуваагддаггүй. Эхний тохиолдолд шинж чанар ба мантисыг тусад нь тусгаарлана.
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
Хоёрдахь тохиолдолд шинж чанарт маш олон сөрөг нэгжийг нэмсэн тул үр дүнгийн тоог хуваагчаар хуваана; мантисад ижил тооны эерэг нэгжийг нэмсэн:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Энэ өөрчлөлтийг оюун ухаанд хийх ёстой тул үйлдэл нь дараах байдалтай байна.
286. Хасах логарифмуудыг гишүүнээр солих.Логарифм ашиглан зарим нарийн төвөгтэй илэрхийллийг тооцоолохдоо зарим логарифмуудыг нэмж, заримыг нь хасах хэрэгтэй; Энэ тохиолдолд үйлдлүүдийг гүйцэтгэх ердийн аргаар тэд нэмсэн логарифмын нийлбэрийг, дараа нь хасагдсан нийлбэрийг тус тусад нь олж, эхний нийлбэрээс хоёр дахь нь хасагдана. Жишээлбэл, хэрэв бидэнд байгаа бол:
бүртгэл X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
Дараа нь үйлдлүүдийн ердийн гүйцэтгэл иймэрхүү харагдах болно.
Гэхдээ хасахыг нэмэхээр сольж болно. Тэгэхээр:
Одоо та тооцооллыг дараах байдлаар зохион байгуулж болно.
287. Тооцооллын жишээ.
Жишээ 1. Илэрхийлэлийг үнэлэх:
Хэрэв A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127Тэгээд D = 7.246.
Энэ илэрхийллийн логарифмыг авч үзье.
бүртгэл X= 1/3 лог A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Одоо, шаардлагагүй цаг хугацаа алдахаас зайлсхийх, алдаа гарах магадлалыг багасгахын тулд юуны өмнө бид бүх тооцооллыг одоохондоо хийхгүйгээр, тиймээс хүснэгтэд хандахгүйгээр зохион байгуулна.
Үүний дараа бид хүснэгтүүдийг авч, үлдсэн хэсэгт логарифмуудыг тавьдаг үнэгүй газрууд:
Алдааны хязгаар.Эхлээд тооны алдааны хязгаарыг олъё x 1 = 194,5 , тэнцүү:
Тиймээс, та эхлээд олох хэрэгтэй А , өөрөөр хэлбэл, арван мянганы нэгээр илэрхийлсэн ойролцоо логарифмын алдааны хязгаар. Эдгээр тоонууд байна гэж бодъё A, B, CТэгээд Дбүгд үнэн зөв. Дараа нь бие даасан логарифмын алдаа дараах байдалтай байна (арван мянгад):
В logA.......... 1 / 2
В 1/3 лог А......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 нэмсэн, учир нь бид 1.9146-ийн 3 логарифмд хуваахдаа түүний 5-р цифрийг хаях замаар категорийг дугуйрсан тул үүнээс ч бага алдаа гаргасан. 1 / 2 арван мянга дахь).
Одоо бид логарифмын алдааны хязгаарыг оллоо:
А = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (арван мянганы нэг).
Цаашид тодорхойлъё г . Учир нь x 1 = 194,5 , дараа нь тэдгээрийн хооронд байрлах 2 дараалсан бүхэл тоо x 1 болно 194 Тэгээд 195 . Хүснэгтийн ялгаа г эдгээр тоонуудад харгалзах мантисын хооронд тэнцүү байна 22 . Энэ нь дугаарын алдааны хязгаар байна гэсэн үг x 1 Үүнд:
Учир нь x = x 1 : 10, дараа нь тоон дахь алдааны хязгаар x тэнцүү байна 0,3:10 = 0,03 . Тиймээс бидний олсон тоо 19,45 -аас бага тоогоор тодорхой тооноос ялгаатай 0,03 . Ойролцоогоор дутагдалтай эсвэл илүүдэлтэй байгаа эсэхийг бид мэдэхгүй байгаа тул бид үүнийг л баталж чадна.
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , өөрөөр хэлбэл
19,48 > X > 19,42 ,
тиймээс, хэрэв бид хүлээн зөвшөөрвөл X =19,4 , тэгвэл бид 0.1 хүртэлх нарийвчлалтай сул талтай ойролцоо тооцоололтой болно.
Жишээ 2.Тооцоолох:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Сөрөг тоонуудад логарифм байдаггүй тул эхлээд дараах зүйлийг олно.
X" = (2,31) 3 5 √72
задралаар:
бүртгэл X"= 3 log 2.31 + 1/5 log72.
Тооцооллын дараа дараахь зүйл гарч ирнэ.
X" = 28,99 ;
иймээс,
x = - 28,99 .
Жишээ 3. Тооцоолох:
Үндэсний тэмдэг нь c u m m a учраас тасралтгүй логарифмчлалыг энд ашиглах боломжгүй. IN ижил төстэй тохиолдлуудтомъёог хэсгүүдээр тооцоол.
Эхлээд бид олдог Н = 5 √8 , Дараа нь Н 1 = 4 √3 ; Дараа нь энгийн нэмэлтээр бид тодорхойлно Н+ Н 1 , эцэст нь бид тооцоолно 3 √Н+ Н 1 ; Энэ нь гарч байна:
N=1.514, Н 1 = 1,316 ; Н+ Н 1 = 2,830 .
бүртгэл x= бүртгэл 3 √ 2,830 = 1 / 3 бүртгэл 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
Дөрөвдүгээр бүлэг.
Экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл.
288. Экспоненциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх нь экспонентт багтсан тэгшитгэл юм логарифм- тэмдгийн доор үл мэдэгдэх зүйл ордог хүмүүс бүртгэл. Ийм тэгшитгэлийг зөвхөн онцгой тохиолдлуудад шийдэж болох бөгөөд логарифмын шинж чанар, хэрэв тоонууд нь тэнцүү бол тэдгээрийн логарифмууд нь тэнцүү, харин эсрэгээр, логарифмууд нь тэнцүү бол харгалзах зарчимд найдах хэрэгтэй. тоо тэнцүү байна.
Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд: 2 x = 1024 .
Тэгшитгэлийн хоёр талыг логарифм болгоё:
Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд: а 2x - а x = 1 . тавих а x = цагт , бид авдаг квадрат тэгшитгэл:
y 2 - цагт - 1 = 0 ,
Учир нь 1-√5 < 0 , тэгвэл сүүлчийн тэгшитгэл боломжгүй (функц а x үргэлж эерэг тоо байдаг), эхнийх нь:
Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд:
бүртгэл( a + x) + бүртгэл ( b + x) = бүртгэл ( c + x) .
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
бүртгэл[( a + x) (b + x)] = бүртгэл ( c + x) .
Логарифмын тэгшитгэлээс бид тоонууд тэнцүү байна гэж дүгнэв.
(a + x) (b + x) = c + x .
Энэ бол квадрат тэгшитгэл бөгөөд шийдэл нь тийм ч хэцүү биш юм.
Тавдугаар бүлэг.
Нийлмэл хүү, хугацааны төлбөр, хугацаат төлбөр.
289. Нийлмэл хүүгийн үндсэн асуудал.Нийслэл хэдэн төгрөг болж хувирах вэ? А рубль, өсөлтөөр өгсөн r нийлмэл хүү, дараа т жил ( т - бүхэл тоо)?
“Хүүгийн хүү” гэж нэрлэгддэг зүйлийг тооцож үзвэл, өөрөөр хэлбэл, капиталд төлөх ёстой хүүгийн мөнгийг жил бүрийн эцэст капиталд нэмж, нэмэгдүүлэхийн тулд капиталыг нийлмэл хүүгээр төлдөг гэж тэд хэлдэг. Энэ нь дараагийн жилүүдэд сонирхолтой байх болно.
Хөрөнгийн рубль бүрийг бусдад өгсөн r %, нэг жилийн дотор ашиг авчрах болно х / 100 рубль болж, улмаар 1 жилийн дотор капиталын рубль бүр болж хувирна 1 + х / 100 рубль (жишээлбэл, хэрэв капиталыг өгсөн бол 5 %, тэгвэл нэг жилийн дотор рубль бүр нь болж хувирна 1 + 5 / 100 , өөрөөр хэлбэл in 1,05 рубль).
Товчхондоо бутархайг тэмдэглэнэ х / 100 жишээ нь нэг үсгээр r , бид нэг жилийн хугацаанд капиталын рубль бүр болж хувирна гэж хэлж болно 1 + r рубль; иймээс, А рублийг 1 жилийн дараа буцааж өгнө А (1 + r ) үрэх. Өөр нэг жилийн дараа, өөрөөр хэлбэл өсөлт эхэлснээс хойш 2 жилийн дараа эдгээрийн рубль бүр А (1 + r ) үрэх. дахин холбогдох болно 1 + r үрэх; Энэ нь бүх капитал болж хувирна гэсэн үг юм А (1 + r ) 2 үрэх. Үүнтэй адилаар бид гурван жилийн дараа нийслэл болно гэдгийг олж мэдсэн А (1 + r ) 3 , дөрвөн жилийн дараа энэ нь болно А (1 + r ) 4 ,... ерөнхийдөө дамжуулан т жил бол т бүхэл тоо, энэ нь эргэх болно А (1 + r ) түрэх. Тиймээс, -ээр тэмдэглэнэ Аэцсийн хөрөнгийн хувьд бид дараах нийлмэл хүүгийн томъёог авна.
А = А (1 + r ) тХаана r = х / 100 .
Жишээ.Болъё а =2,300 рубль., х = 4, т=20 жил; Дараа нь томъёо нь дараахь зүйлийг өгнө.
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) 20.
Тооцоолохын тулд А, бид логарифм ашигладаг:
бүртгэл а = бүртгэл 2 300 + 20 бүртгэл 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.
A = 5031рубль.
Сэтгэгдэл.Энэ жишээнд бид хийх ёстой байсан бүртгэл 1.04-ээр үржүүлнэ 20 . Тооноос хойш 0,0170 ойролцоо утга байна бүртгэл 1.04хүртэл 1 / 2 арван мянганы хэсэг, дараа нь энэ тооны үржвэр 20 хүртэл байх нь гарцаагүй 1 / 2 20, өөрөөр хэлбэл 10 хүртэл арван мянганы = 1 мянга. Тиймээс нийтдээ 3,7017 Бид зөвхөн арван мянгатын тоо биш, мянгатын тоог ч баталж чадахгүй. Ийм тохиолдолд илүү нарийвчлалтай байхын тулд тоо нь илүү дээр юм 1 + r логарифмыг 4 оронтой биш харин хамт авна их тоотоо, жишээ нь. 7 оронтой. Энэ зорилгоор бид 7 оронтой логарифмуудыг хамгийн нийтлэг утгуудын хувьд бичсэн жижиг хүснэгтийг энд толилуулж байна. r .
290. Гол үүрэг нь яаралтай төлбөр.Хэн нэгэн авсан А рубль тутамд r % өрийг төлөх нөхцөлтэй, түүнд төлөх ёстой хүүгийн хамт, in т жил бүрийн эцэст ижил хэмжээний төлбөр төлдөг. Энэ хэмжээ ямар байх ёстой вэ?
нийлбэр x , ийм нөхцөлд жил бүр төлдөг бол яаралтай төлбөр гэж нэрлэдэг. Дахин үсгээр тэмдэглэе r 1 рубльээс жилийн хүүгийн мөнгө, өөрөөр хэлбэл тоо х / 100 . Тэгээд эхний жилийн эцэс гэхэд өр А хүртэл нэмэгддэг А (1 + r ), үндсэн төлбөр X рубль болно А (1 + r )-X .
Хоёр дахь жилийн эцэс гэхэд энэ хэмжээний рубль бүр дахин болж хувирна 1 + r рубль, тиймээс өр нь [ А (1 + r )-X ](1 + r ) = А (1 + r ) 2 - x (1 + r ), мөн төлбөрийн хувьд x рубль байх болно: А (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . Яг үүнтэй адил 3-р жилийн эцэс гэхэд өртэй болно гэдгийг анхаарна
А (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,
мөн ерөнхийдөө болон төгсгөл т жил болох нь:
А (1 + r ) т - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , эсвэл
А (1 + r ) т - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]
Хаалт доторх олон гишүүнт нь геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг илэрхийлнэ; анхны гишүүнтэй 1 , сүүлчийн ( 1 + r ) t -1, ба хуваагч ( 1 + r ). Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан (10-р хэсэг 3-р бүлэг § 249) бид дараах зүйлийг олно.
ба түүнээс хойшхи өрийн хэмжээ т -дахь төлбөр нь:
Асуудлын нөхцлөөр бол өр эцэслэж байна т -р жилтэй тэнцүү байх ёстой 0 ; Тийм учраас:
хаана
Үүнийг тооцоолохдоо яаралтай төлбөрийн томъёологарифм ашиглан бид эхлээд туслах тоог олох ёстой Н = (1 + r ) тлогарифмээр: log N= тбүртгэл(1+ r) ; олсон Н, үүнээс 1-ийг хасвал бид томъёоны хуваагчийг авна X, Үүний дараа бид хоёрдогч логарифмээр олно:
бүртгэл X=лог а+ log N + log r - бүртгэл (N - 1).
291. Хугацааны шимтгэлийн үндсэн үүрэг.Жил бүрийн эхэнд хэн нэгэн банкинд ижил хэмжээний мөнгө байршуулдаг. А үрэх. Дараа нь эдгээр шимтгэлээс ямар капитал үүсэхийг тодорхойл т банк төлсөн бол жил r нийлмэл хүү.
Томилогдсон r 1 рубльээс жилийн хүүгийн мөнгө, өөрөөр хэлбэл. х / 100 , бид ингэж тайлбарлаж байна: эхний жилийн эцэс гэхэд нийслэл болно А (1 + r );
2-р жилийн эхэнд энэ хэмжээгээр нэмэгдэнэ А рубль; Энэ нь энэ үед капитал байх болно гэсэн үг юм А (1 + r ) + а . 2-р жилийн эцэс гэхэд тэр байх болно А (1 + r ) 2 + a (1 + r );
3-р жилийн эхэнд дахин ордог А рубль; Энэ нь энэ үед хөрөнгө байх болно гэсэн үг юм А (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + А ; 3-р сарын эцэс гэхэд тэр байх болно А (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Эдгээр аргументуудыг цааш үргэлжлүүлбэл эцэст нь бид үүнийг олж мэднэ т шаардлагатай хөрөнгийн жил Аболно:
Энэ бол жил бүрийн эхэнд оруулсан хугацааны шимтгэлийн томъёо юм.
Үүнтэй ижил томъёог дараахь үндэслэлээр гаргаж болно. урьдчилгаа төлбөр А рубль банкинд байхдаа т жил, нийлмэл хүүгийн томъёоны дагуу, болж хувирна А (1 + r ) түрэх. Хоёр дахь хэсэг нь банкинд нэг жилээс бага хугацаатай байх, өөрөөр хэлбэл. т - 1 настай, холбоо барих А (1 + r ) t- 1үрэх. Үүний нэгэн адил гурав дахь хэсэг нь өгөх болно А (1 + r ) t-2гэх мэтчилэн, эцэст нь банкинд 1-хэн жил болоод байгаа сүүлийн хэсэг рүүгээ орно А (1 + r ) үрэх. Энэ нь эцсийн капитал гэсэн үг Аүрэх. болно:
А= А (1 + r ) т + А (1 + r ) t- 1 + А (1 + r ) t-2 + . . . + А (1 + r ),
хялбаршуулсаны дараа дээрх томъёог өгдөг.
Энэ томьёоны логарифмыг ашиглан тооцоолохдоо яаралтай төлбөрийн томъёог тооцоолохтой ижил аргаар үргэлжлүүлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл эхлээд N = ( тоог олох хэрэгтэй. 1 + r ) ттүүний логарифмаар: log N= тбүртгэл(1 + r ), дараа нь тоо N- 1Дараа нь томъёоны логарифмыг авна уу:
бүртгэл A = бүртгэл а+лог(1+ r) + гуалин (N - 1) - 1огr
Сэтгэгдэл.Хэрэв яаралтай хувь нэмэр оруулбал А үрэх. Жил бүрийн эхэнд биш, харин эцэст нь хийсэн (жишээлбэл, яаралтай төлбөр хийх гэх мэт). X өрийг төлөх), дараа нь өмнөхтэй адил үндэслэлээр бид эцэст нь олж мэдсэн т шаардлагатай хөрөнгийн жил А"үрэх. байх болно (сүүлийн хэсгийг оруулаад А үрэх., хүү тооцохгүй):
А"= А (1 + r ) t- 1 + А (1 + r ) t-2 + . . . + А (1 + r ) + А
тэнцүү байна:
өөрөөр хэлбэл А"-д төгсдөг ( 1 + r ) дахин бага А, капиталын рубль бүрээс хойш хүлээгдэж буй байсан А"банкинд нэг жилийн хугацаанд харгалзах рублийн хөрөнгийн хэмжээнээс бага хугацаагаар оршино А.
Заавар
Өгөгдсөн логарифм илэрхийллийг бич. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол түүний тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоо байвал дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – байгалийн логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.
Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";
Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Өгөгдсөн бол нарийн төвөгтэй функц, дараа нь дотоод функцийн дериватив ба гадаад функцийн деривативыг үржүүлэх шаардлагатай. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.
Дээр олж авсан үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Функцийн утгыг тооцоол өгсөн оноо y"(1)=8*e^0=8
Сэдвийн талаархи видео
Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.
Эх сурвалжууд:
- тогтмолын дериватив
Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэл ба оновчтой тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч тэмдгийн доор байгаа бол квадрат язгуур, тэгвэл тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.
Заавар
Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун, зүүн тал нь утгагүй илэрхийллийг агуулна. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны үндэс, тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлүндэсгүй.
Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа гадны үндэсийг таслах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.
Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэл, квадрат язгуургүй, баруун талд, дараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм. Үүний үндэсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэлд үндэс байхгүй; Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.
Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд тавьсан зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийх шаардлагатай. Тиймээс энгийн арифметик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар даалгаврыг шийдвэрлэх болно.
Танд хэрэгтэй болно
- - цаас;
- - үзэг.
Заавар
Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна, олон байдаг ба тригонометрийн томъёо, эдгээр нь үндсэндээ ижил таних тэмдэг юм.
Үнэн хэрэгтээ хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат нь эхнийхийн квадрат дээр нэмэх нь эхнийх нь хоёр дахь үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахьын квадратыг нэмсэнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Хоёуланг нь хялбарчил
Шийдлийн ерөнхий зарчим
Тодорхой интеграл гэж юу болохыг математик анализ эсвэл дээд математикийн сурах бичгээс давт. Мэдэгдэж байгаагаар шийдэл тодорхой интегралДериватив нь интеграл өгдөг функц байдаг. Энэ функцэсрэг дериватив гэж нэрлэдэг. Энэ зарчимд үндэслэн үндсэн интегралуудыг байгуулна.Хүснэгтийн интегралуудын аль нь тохирохыг интеграл хэлбэрээр тодорхойлно энэ тохиолдолд. Үүнийг шууд тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ интегралыг хялбарчлахын тулд хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа хүснэгт хэлбэр нь мэдэгдэхүйц болдог.
Хувьсагчийг солих арга
Хэрэв интеграл функц нь тригонометрийн функц, аргумент нь олон гишүүнт агуулж байгаа бол хувьсагчийг орлуулах аргыг ашиглаж үзнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд интегралын аргумент дахь олон гишүүнтийг шинэ хувьсагчаар солино. Шинэ болон хуучин хувьсагчдын хоорондын хамаарал дээр үндэслэн интеграцийн шинэ хязгаарыг тодорхойлно. Энэ илэрхийлэлийг ялгаснаар шинэ дифференциалыг . Тиймээс та авах болно шинэ дүр төрхөмнөх интегралын аль ч хүснэгттэй ойролцоо эсвэл бүр харгалзах.Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх
Хэрэв интеграл нь хоёр дахь төрлийн интеграл, интегралын вектор хэлбэр бол эдгээр интегралаас скаляр руу шилжих дүрмийг ашиглах шаардлагатай болно. Ийм дүрмийн нэг бол Остроградский-Гаусын харилцаа юм. Энэ хууль нь тодорхой векторын функцийн роторын урсгалаас өгөгдсөн векторын талбарын дивергенцийг давсан гурвалсан интеграл руу шилжих боломжийг бидэнд олгодог.Интеграцийн хязгаарыг орлуулах
Эсрэг деривативыг олсны дараа интеграцийн хязгаарыг орлуулах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, дээд хязгаарын утгыг эсрэг деривативын илэрхийлэлд орлуулна. Та хэд хэдэн дугаар авах болно. Дараа нь үүссэн тооноос доод хязгаараас авсан өөр тоог эсрэг дериватив болгон хасна. Хэрэв интеграцийн хязгаарын нэг нь хязгааргүй бол түүнийг эсрэг дериватив функцэд орлуулахдаа хязгаарт очиж, илэрхийлэл юунд чиглэж байгааг олох шаардлагатай.Хэрэв интеграл нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст бол интегралыг хэрхэн үнэлэхийг ойлгохын тулд та интегралын хязгаарыг геометрээр илэрхийлэх шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, гурван хэмжээст интегралын хувьд интегралын хязгаар нь нэгтгэж буй эзлэхүүнийг хязгаарладаг бүхэл бүтэн хавтгай байж болно.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай гэж үзвэл хуулийн дагуу шүүхийн журам, хуулийн процесст болон/эсвэл олон нийтийн лавлагаа эсвэл хүсэлтийн үндсэн дээр төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Логарифмын илэрхийлэл, шийдвэрлэх жишээ. Энэ нийтлэлд бид логарифмыг шийдвэрлэхтэй холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Даалгаврууд нь илэрхийллийн утгыг олох асуултыг тавьдаг. Логарифмын тухай ойлголтыг олон ажилд ашигладаг бөгөөд түүний утгыг ойлгох нь туйлын чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Улсын нэгдсэн шалгалтын хувьд логарифмыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, хэрэглээний асуудал, мөн функцийг судлахтай холбоотой даалгаварт ашигладаг.
Логарифмын утгыг ойлгохын тулд жишээ татъя.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг:
Үргэлж санаж байх ёстой логарифмын шинж чанарууд:
*Үйлдвэрийн логарифм нь хүчин зүйлийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.
* * *
*Хавар (бутархай)-ын логарифм нь хүчин зүйлсийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна.
* * *
*Дүүргийн логарифм нь илтгэгч ба суурийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна.
* * *
*Шинэ суурь руу шилжих
* * *
Бусад үл хөдлөх хөрөнгө:
* * *
Логарифмын тооцоолол нь илтгэгчийн шинж чанарыг ашиглахтай нягт холбоотой.
Тэдгээрийн заримыг жагсаацгаая:
Энэ өмчийн мөн чанар нь тоологчийг хуваагч руу шилжүүлэх ба эсрэгээр нь илтгэгчийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгддөгт оршино. Жишээ нь:
Энэ өмчийн үр дүн:
* * *
Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь хэвээр байх боловч илтгэгчийг үржүүлнэ.
* * *
Таны харж байгаагаар логарифмын тухай ойлголт нь өөрөө энгийн зүйл юм. Хамгийн гол нь танд сайн дадлага хэрэгтэй бөгөөд энэ нь танд тодорхой ур чадварыг өгдөг. Мэдээжийн хэрэг, томъёоны талаархи мэдлэг шаардлагатай. Хэрэв анхан шатны логарифмыг хөрвүүлэх ур чадвар хөгжөөгүй бол энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ та амархан алдаа гаргаж болно.
Дадлага хийж, эхлээд математикийн хичээлээс хамгийн энгийн жишээнүүдийг шийдэж, дараа нь илүү төвөгтэй жишээнүүд рүү шилжинэ. Ирээдүйд би "муухай" логарифмууд хэрхэн шийдэгддэгийг харуулах болно, гэхдээ эдгээр нь улсын нэгдсэн шалгалтанд харагдахгүй, гэхдээ тэд сонирхож байна, бүү алдаарай!
Ингээд л болоо! Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.