Dowiedz się, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta. Parzystość funkcji

nawet, jeśli dla wszystkich \(x\) z jego dziedziny definicji prawdziwe jest: \(f(-x)=f(x)\) .

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(y\):

Przykład: funkcja \(f(x)=x^2+\cos x\) jest parzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Wywoływana jest funkcja \(f(x)\). dziwne, jeśli dla wszystkich \(x\) z jego dziedziny definicji prawdziwe jest: \(f(-x)=-f(x)\) .

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku:

Przykład: funkcja \(f(x)=x^3+x\) jest nieparzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, nazywane są funkcjami widok ogólny. Funkcję taką można zawsze jednoznacznie przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej.

Na przykład funkcja \(f(x)=x^2-x\) jest sumą funkcji parzystej \(f_1=x^2\) i nieparzystej \(f_2=-x\) .

\(\czarnytrójkątprawy\) Niektóre właściwości:

1) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o tej samej parzystości - nawet funkcjonować.

2) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o różnych parzystościach jest funkcją nieparzystą.

3) Suma i różnica funkcji parzystych - funkcja parzysta.

4) Suma i różnica funkcji nieparzystych - funkcja nieparzysta.

5) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą, to równanie \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ma unikalny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \( x =0\) .

6) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą lub nieparzystą, a równanie \(f(x)=0\) ma pierwiastek \(x=b\), to równanie to na pewno będzie miało drugą korzeń \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcja \(f(x)\) nazywana jest okresową na \(X\), jeśli dla pewnej liczby \(T\ne 0\) zachodzi następujący zapis: \(f(x)=f( x+T) \) , gdzie \(x, x+T\w X\) . Najmniejszy \(T\), dla którego spełniona jest ta równość, nazywany jest głównym (głównym) okresem funkcji.

Funkcja okresowa ma dowolną liczbę w postaci \(nT\) , gdzie \(n\in \mathbb(Z)\) będzie także kropką.

Przykład: dowolny funkcja trygonometryczna jest okresowy;
dla funkcji \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) okres główny jest równy \(2\pi\), dla funkcji \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) główny okres jest równy \(\pi\) .

Aby zbudować wykres funkcji okresowej, można nanieść jej wykres na dowolny odcinek długości \(T\) (okres główny); wówczas wykres całej funkcji uzupełniamy przesuwając skonstruowaną część o całkowitą liczbę okresów w prawo i w lewo:

\(\blacktriangleright\) Dziedzina \(D(f)\) funkcji \(f(x)\) to zbiór składający się ze wszystkich wartości argumentu \(x\), dla których funkcja ma sens (jest zdefiniowany).

Przykład: funkcja \(f(x)=\sqrt x+1\) ma dziedzinę definicji: \(x\in

Zadanie 1 #6364

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Przy jakich wartościach parametru \(a\) wykonuje się równanie

ma jedno rozwiązanie?

Zauważ, że ponieważ \(x^2\) i \(\cos x\) są parzystymi funkcjami, jeśli równanie ma pierwiastek \(x_0\) , będzie miało również pierwiastek \(-x_0\) .
Rzeczywiście, niech \(x_0\) będzie pierwiastkiem, czyli równością \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Prawidłowy. Zastąpmy \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Zatem jeśli \(x_0\ne 0\) , to równanie będzie już miało co najmniej dwa pierwiastki. Dlatego \(x_0=0\) . Następnie:

Otrzymaliśmy dwie wartości dla parametru \(a\) . Zauważ, że wykorzystaliśmy fakt, że \(x=0\) jest dokładnie pierwiastkiem pierwotnego równania. Ale nigdy nie korzystaliśmy z faktu, że jest ten jedyny. Dlatego należy podstawić otrzymane wartości parametru \(a\) do pierwotnego równania i sprawdzić, dla jakiego konkretnego \(a\) pierwiastka \(x=0\) będzie naprawdę unikalny.

1) Jeżeli \(a=0\) , to równanie przyjmie postać \(2x^2=0\) . Oczywiście to równanie ma tylko jeden pierwiastek \(x=0\) . Dlatego odpowiada nam wartość \(a=0\).

2) Jeżeli \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , to równanie przyjmie postać \ Przepiszmy równanie w postaci \ Ponieważ \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). W związku z tym wartości prawej strony równania (*) należą do segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Ponieważ \(x^2\geqslant 0\) , to lewa strona równania (*) jest większa lub równa \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Zatem równość (*) można spełnić tylko wtedy, gdy obie strony równania są równe \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to oznacza, że \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Dlatego odpowiada nam wartość \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odpowiedź:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Zadanie 2 #3923

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdej z nich wykres funkcji \

symetrycznie względem początku.

Jeżeli wykres funkcji jest symetryczny względem początku, to taka funkcja jest nieparzysta, to znaczy \(f(-x)=-f(x)\) zachodzi dla dowolnego \(x\) z dziedziny definicji funkcji. Dlatego wymagane jest znalezienie tych wartości parametrów, dla których \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Ostatnie równanie musi być spełnione dla wszystkich \(x\) z dziedziny \(f(x)\) , zatem \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odpowiedź:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadanie 3 #3069

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdej z nich równanie \ ma 4 rozwiązania, gdzie \(f\) jest parzystą funkcją okresową z okresem \(T=\dfrac(16)3\) zdefiniowany na całej osi liczbowej i \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadanie od subskrybentów)

Ponieważ \(f(x)\) jest funkcją parzystą, jej wykres jest symetryczny względem osi rzędnych, zatem gdy \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=topór^2\) . Zatem kiedy \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a to jest odcinek długości \(\dfrac(16)3\) , funkcja \(f(x)=ax^2\) .

1) Niech \(a>0\) . Wtedy wykres funkcji \(f(x)\) będzie wyglądał następująco:


Następnie, aby równanie miało 4 rozwiązania konieczne jest, aby wykres \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) przeszedł przez punkt \(A\) :


Stąd, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrane)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(wyrównane)\end(zebrane)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrane)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( zebrane)\prawo.\] Ponieważ \(a>0\) , odpowiedni jest \(a=\dfrac(18)(23)\).

2) Niech \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Konieczne jest, aby wykres \(g(x)\) przechodził przez punkt \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\] Ponieważ \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Przypadek, gdy \(a=0\) nie jest odpowiedni, ponieważ wówczas \(f(x)=0\) dla wszystkich \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i równanie będzie miało tylko 1 pierwiastek.

Odpowiedź:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Zadanie 4 #3072

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości \(a\) , dla każdej z nich równanie \

ma co najmniej jeden pierwiastek.

(Zadanie od subskrybentów)

Przepiszmy równanie w postaci \ i rozważ dwie funkcje: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcja \(g(x)\) jest parzysta i ma punkt minimalny \(x=0\) (oraz \(g(0)=49\) ).
Funkcja \(f(x)\) dla \(x>0\) jest malejąca, a dla \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Rzeczywiście, gdy \(x>0\) drugi moduł otworzy się dodatnio (\(|x|=x\) ), zatem niezależnie od tego, jak otworzy się pierwszy moduł, \(f(x)\) będzie równe do \( kx+A\) , gdzie \(A\) jest wyrażeniem \(a\) , a \(k\) jest równe \(-9\) lub \(-3\) . Kiedy \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Znajdźmy wartość \(f\) w maksymalnym punkcie: \

Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie konieczne jest, aby wykresy funkcji \(f\) i \(g\) miały co najmniej jeden punkt przecięcia. Dlatego potrzebujesz: \ \\]

Odpowiedź:

\(a\w \(-7\)\kubek\)

Zadanie 5 #3912

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z nich równanie \

ma sześć różnych rozwiązań.

Dokonajmy zamiany \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Wtedy równanie przyjmie postać \ Stopniowo będziemy pisać warunki, w jakich pierwotne równanie będzie miało sześć rozwiązań.
Należy pamiętać, że równanie kwadratowe \((*)\) może mieć maksymalnie dwa rozwiązania. Każde równanie sześcienne \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) może mieć nie więcej niż trzy rozwiązania. Dlatego jeśli równanie \((*)\) ma dwa różne rozwiązania (dodatnie!, ponieważ \(t\) musi być większe od zera) \(t_1\) i \(t_2\) , to wykonując odwrotność podstawieniem otrzymujemy: \[\left[\begin(zebrane)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(wyrównane)\end(zebrane)\right.\] Ponieważ dowolną liczbę dodatnią można w pewnym stopniu przedstawić jako \(\sqrt2\), na przykład \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), wówczas pierwsze równanie zbioru zostanie zapisane w postaci \ Jak już powiedzieliśmy, każde równanie sześcienne ma nie więcej niż trzy rozwiązania, dlatego każde równanie w zestawie będzie miało nie więcej niż trzy rozwiązania. Oznacza to, że cały zbiór będzie miał nie więcej niż sześć rozwiązań.
Oznacza to, że aby pierwotne równanie miało sześć rozwiązań, równanie kwadratowe \((*)\) musi mieć dwa różne rozwiązania, a każde wynikowe równanie sześcienne (z całości) musi mieć trzy różne rozwiązania (a nie jedno rozwiązanie jedno równanie powinno pokrywać się z dowolnym - decyzją drugiego!)
Oczywiście, jeśli równanie kwadratowe \((*)\) ma jedno rozwiązanie, to nie otrzymamy sześciu rozwiązań pierwotnego równania.

W ten sposób plan rozwiązania staje się jasny. Zapiszmy punkt po punkcie warunki, które należy spełnić.

1) Aby równanie \((*)\) miało dwa różne rozwiązania, jego wyróżnik musi być dodatni: \

2) Konieczne jest również, aby oba pierwiastki były dodatnie (ponieważ \(t>0\) ). Jeżeli iloczyn dwóch pierwiastków jest dodatni, a ich suma jest dodatnia, to same pierwiastki będą dodatnie. Dlatego potrzebujesz: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

W ten sposób zapewniliśmy sobie już dwa różne dodatnie pierwiastki \(t_1\) i \(t_2\) .

3) Spójrzmy na to równanie \ Dla jakiego \(t\) będzie miał trzy różne rozwiązania?
Rozważmy funkcję \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Można rozłożyć na czynniki: \ Dlatego jego zera to: \(x=-1;2\) .
Jeśli znajdziemy pochodną \(f"(x)=3x^2-6x\) , to otrzymamy dwa ekstrema \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dlatego wykres wygląda następująco:


Widzimy, że dowolna linia pozioma \(y=k\) , gdzie \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) miał trzy różne rozwiązania, konieczne jest, aby \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Zatem potrzebujesz: \[\begin(przypadki) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Zauważmy też od razu, że jeśli liczby \(t_1\) i \(t_2\) są różne, to liczby \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) będą różne, co oznacza równania \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) I \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) będzie miał inne korzenie.
System \((**)\) można przepisać w następujący sposób: \[\begin(przypadki) 1

Ustaliliśmy zatem, że oba pierwiastki równania \((*)\) muszą leżeć w przedziale \((1;4)\) . Jak napisać ten warunek?
Nie będziemy pisać wprost korzeni.
Rozważmy funkcję \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jej wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi ku górze, która ma dwa punkty przecięcia z osią x (warunek ten zapisaliśmy w paragrafie 1)). Jak powinien wyglądać jego wykres, aby punkty przecięcia z osią x znajdowały się w przedziale \((1;4)\)? Więc:


Po pierwsze, wartości \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcji w punktach \(1\) i \(4\) muszą być dodatnie, a po drugie, wierzchołek funkcji parabola \(t_0\ ) musi także należeć do przedziału \((1;4)\) . Możemy zatem napisać układ: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) zawsze ma co najmniej jeden pierwiastek \(x=0\) . Oznacza to, że aby spełnić warunki zadania konieczne jest spełnienie równania \

miał cztery różne pierwiastki, różne od zera, reprezentujące wraz z \(x=0\) postęp arytmetyczny.

Zauważ, że funkcja \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) jest parzysta, co oznacza, że ​​jeśli \(x_0\) jest pierwiastkiem równania \( (*)\ ) , wtedy \(-x_0\) będzie także jego korzeniem. Wtedy konieczne jest, aby pierwiastkami tego równania były liczby uporządkowane rosnąco: \(-2d, -d, d, 2d\) (wtedy \(d>0\)). Wtedy te pięć liczb utworzy ciąg arytmetyczny (z różnicą \(d\)).

Aby te pierwiastki były liczbami \(-2d, -d, d, 2d\) konieczne jest, aby liczby \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) były pierwiastkami równanie \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Następnie, zgodnie z twierdzeniem Viety:

Przepiszmy równanie w postaci \ i rozważ dwie funkcje: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcja \(g(x)\) ma maksymalny punkt \(x=0\) (i \(g_(\text(góra))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Pochodna zerowa: \(x=0\) . Kiedy \(x<0\) имеем: \(g">0\) , dla \(x>0\): \(g"<0\) .
Funkcja \(f(x)\) dla \(x>0\) jest rosnąca, a dla \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Rzeczywiście, gdy \(x>0\) pierwszy moduł otworzy się dodatnio (\(|x|=x\)), zatem niezależnie od tego, jak otworzy się drugi moduł, \(f(x)\) będzie równe do \( kx+A\) , gdzie \(A\) jest wyrażeniem \(a\) , a \(k\) jest równe \(13-10=3\) lub \(13+10 =23\) . Kiedy \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Znajdźmy wartość \(f\) w punkcie minimalnym: \

Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie konieczne jest, aby wykresy funkcji \(f\) i \(g\) miały co najmniej jeden punkt przecięcia. Dlatego potrzebujesz: \ Rozwiązując ten zbiór układów otrzymujemy odpowiedź: \\]

Odpowiedź:

\(a\w \(-2\)\kubek\)

Aby to zrobić, użyj papieru milimetrowego lub kalkulatora graficznego. Wybierz dowolną liczbę wartości zmiennych niezależnych x (\ displaystyle x) i podłącz je do funkcji, aby obliczyć wartości zmiennej zależnej y (\ displaystyle y). Narysuj znalezione współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych, a następnie połącz te punkty, aby zbudować wykres funkcji.

• Zastąp dodatnie wartości liczbowe w funkcji x (\ displaystyle x) i odpowiadające im ujemne wartości liczbowe. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję . Zastąp w nim następujące wartości x (\ displaystyle x):
  • fa (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ (2) +1 = 2 + 1 = 3) (1, 3) ​​(\ displaystyle (1,3)).
  • fa (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ Displaystyle f (2) = 2 (2) ^ (2) +1 = 2 (4) +1 =8+1=9). Mamy punkt ze współrzędnymi (2 , 9) (\ displaystyle (2,9)).
  • fa (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ Displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ (2) +1 = 2 + 1 = 3). Mamy punkt ze współrzędnymi (- 1 , 3) ​​\ (\ displaystyle (-1,3)).
  • fa (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ Displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ (2) + 1 = 2 ( 4)+1=8+1=9). Mamy punkt ze współrzędnymi (- 2, 9) (\ displaystyle (-2,9)).

Zera funkcji
Zero funkcji jest wartością X, w którym funkcja przyjmuje wartość 0, czyli f(x)=0.

Zero to punkty przecięcia wykresu funkcji z osią Oh.

Parzystość funkcji
Funkcja jest wywoływana, nawet jeśli dla dowolnej X z dziedziny definicji zachodzi równość f(-x) = f(x).

Funkcja parzysta jest symetryczna względem osi Oh

Nieparzysta funkcja parzystości
Funkcja nazywana jest nieparzystą, jeśli dla dowolnego X z dziedziny definicji zachodzi równość f(-x) = -f(x).

Funkcja nieparzysta jest symetryczna względem początku.
Funkcję, która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, nazywamy funkcją ogólną.

Funkcja rosnąca
Mówi się, że funkcja f(x) jest rosnąca, jeśli większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, tj.

Funkcja malejąca
Funkcję f(x) nazywamy malejącą, jeśli większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji, tj.

Wywoływane są przedziały, w których funkcja albo tylko maleje, albo tylko rośnie okresy monotonii. Funkcja f(x) ma 3 przedziały monotoniczności:

Znajdź przedziały monotoniczności korzystając z usługi Przedziały funkcji rosnącej i malejącej

Lokalne maksimum
Kropka x 0 nazywa się lokalnym punktem maksymalnym, jeśli istnieje X z sąsiedztwa punktu x 0 zachodzi nierówność: f(x 0) > f(x)

Minimum lokalne
Kropka x 0 nazywa się lokalnym punktem minimalnym, jeśli istnieje X z sąsiedztwa punktu x 0 zachodzi nierówność: f(x 0)< f(x).

Lokalne punkty maksymalne i lokalne punkty minimalne nazywane są lokalnymi punktami ekstremalnymi.

lokalne punkty ekstremalne.

Częstotliwość funkcji
Funkcję f(x) nazywamy okresową, z kropką T, jeśli w ogóle X zachodzi równość f(x+T) = f(x).

Przedziały stałości znaku
Przedziały, w których funkcja jest albo tylko dodatnia, albo tylko ujemna, nazywane są przedziałami znaku stałego.

Ciągłość funkcji
Funkcję f(x) nazywamy ciągłą w punkcie x 0, jeśli granica funkcji jako x → x 0 jest równa wartości funkcji w tym punkcie, tj. .

Punkty przerwania
Punkty, w których naruszony jest warunek ciągłości, nazywane są punktami przerwania funkcji.

x 0- punkt przerwania.

Ogólny schemat kreślenia funkcji

1. Znajdź dziedzinę definicji funkcji D(y).

2. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.

3. Sprawdź funkcję pod kątem parzystości i nieparzystości.

4. Zbadaj funkcję pod kątem okresowości.

5. Znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

6. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji.

7. Znajdź asymptoty funkcji.

8. Na podstawie wyników badań skonstruuj wykres.

Przykład: Zbadaj funkcję i wykreśl ją: y = x 3 – 3x

1) Funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej, tzn. jej dziedziną definicji jest D(y) = (-∞; +∞).

2) Znajdź punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

z osią OX: rozwiąż równanie x 3 – 3x = 0

z osią OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Sprawdź, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Wynika z tego, że funkcja jest nieparzysta.

4) Funkcja jest nieokresowa.

5) Znajdźmy przedziały monotoniczności i punkty ekstremalne funkcji: y’ = 3x 2 - 3.

Punkty krytyczne: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: y’’ = 6x

Punkty krytyczne: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funkcja jest ciągła, nie ma asymptot.

8) Na podstawie wyników badania skonstruujemy wykres funkcji.

Zależność zmiennej y od zmiennej x, w której każda wartość x odpowiada pojedynczej wartości y, nazywana jest funkcją. Do oznaczenia należy stosować zapis y=f(x). Każda funkcja ma szereg podstawowych właściwości, takich jak monotoniczność, parzystość, okresowość i inne.

Przyjrzyj się bliżej właściwości parzystości.

Funkcja y=f(x) wywoływana jest nawet wtedy, gdy spełnia dwa warunki:

2. Wartość funkcji w punkcie x, należąca do dziedziny definicji funkcji, musi być równa wartości funkcji w punkcie -x. Oznacza to, że dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = f(-x).

Wykres funkcji parzystej

Jeśli narysujesz wykres funkcji parzystej, będzie on symetryczny względem osi Oy.

Na przykład funkcja y=x^2 jest parzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.

Weźmy dowolne x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Zatem f(x) = f(-x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że ​​funkcja jest parzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^2.

Rysunek pokazuje, że wykres jest symetryczny względem osi Oy.

Wykres funkcji nieparzystej

Funkcję y=f(x) nazywamy nieparzystą, jeżeli spełnia dwa warunki:

1. Dziedzina definicji danej funkcji musi być symetryczna względem punktu O. To znaczy, jeśli jakiś punkt a należy do dziedziny definicji funkcji, to odpowiadający mu punkt -a także musi należeć do dziedziny definicji funkcji danej funkcji.

2. Dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = -f(x).

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu O – początku współrzędnych. Na przykład funkcja y=x^3 jest nieparzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.

Weźmy dowolne x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Zatem f(x) = -f(x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że ​​funkcja jest nieparzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^3.

Rysunek wyraźnie pokazuje, że funkcja nieparzysta y=x^3 jest symetryczna względem początku.