Równania

Jak rozwiązywać równania?

W tej części przypomnimy sobie (lub przestudiujemy, w zależności od tego, kogo wybierzesz) najbardziej elementarne równania. Jakie jest więc równanie? Z ludzkiego punktu widzenia jest to pewnego rodzaju wyrażenie matematyczne, w którym występuje znak równości i niewiadoma. Co jest zwykle oznaczone literą "X". Rozwiąż równanie- polega to na znalezieniu takich wartości x, które po podstawieniu do oryginalny wyrażenie da nam poprawną tożsamość. Przypomnę, że tożsamość to wyraz nie budzący wątpliwości nawet dla osoby absolutnie nieobciążonej wiedzą matematyczną. Jak 2=2, 0=0, ab=ab itd. Jak zatem rozwiązywać równania? Rozwiążmy to.

Istnieje wiele rodzajów równań (jestem zaskoczony, prawda?). Ale całą ich nieskończoną różnorodność można podzielić tylko na cztery typy.

4. Wszyscy inni.)

Cała reszta oczywiście przede wszystkim tak...) Obejmuje to sześcienne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i wszelkiego rodzaju inne. Będziemy z nimi ściśle współpracować w odpowiednich sekcjach.

Od razu powiem, że czasami równania trzech pierwszych typów są tak pokręcone, że nawet ich nie rozpoznajecie… Nic. Dowiemy się jak je rozluźnić.

I dlaczego potrzebujemy tych czterech typów? A potem co równania liniowe rozwiązać w jeden sposób kwadrat inni, wymierne ułamkowe - trzecie, A odpoczynek Wcale się nie odważą! Cóż, to nie tak, że w ogóle nie mogą się zdecydować, po prostu myliłem się co do matematyki.) Po prostu mają swoje własne specjalne techniki i metody.

Ale dla każdego (powtarzam - dla każdy!) równania stanowią niezawodną i niezawodną podstawę do rozwiązywania. Działa wszędzie i zawsze. Ten podkład - Brzmi przerażająco, ale jest bardzo prosty. I bardzo (Bardzo!) ważny.

Właściwie rozwiązanie równania składa się z tych właśnie przekształceń. 99% Odpowiedź na pytanie: „ Jak rozwiązywać równania?” leży właśnie w tych przekształceniach. Czy podpowiedź jest jasna?)

Identyczne przekształcenia równań.

W dowolne równania Aby znaleźć nieznane, musisz przekształcić i uprościć oryginalny przykład. I tak przy zmianie wygląd istota równania nie uległa zmianie. Takie przekształcenia nazywane są identyczny lub równoważny.

Należy pamiętać, że te przekształcenia mają zastosowanie konkretnie do równań. Transformacje tożsamościowe występują także w matematyce wyrażenia. To jest inny temat.

Teraz powtórzymy wszystko, wszystko, wszystko podstawowe identyczne przekształcenia równań.

Podstawowe, bo można do nich zastosować każdy równania - liniowe, kwadratowe, ułamkowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp. itp.

Pierwsza transformacja tożsamości: możesz dodawać (odejmować) po obu stronach dowolnego równania każdy(ale jedna i ta sama!) liczba lub wyrażenie (w tym wyrażenie z niewiadomą!). Nie zmienia to istoty równania.

Nawiasem mówiąc, ciągle korzystałeś z tej transformacji, po prostu myślałeś, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania do drugiej poprzez zmianę znaku. Typ:

Sprawa jest znana, przesuwamy oba w prawo i otrzymujemy:

Właściwie ty zabrane z obu stron równania wynosi dwa. Wynik jest taki sam:

x+2 - 2 = 3 - 2

Przesuwanie terminów w lewo i w prawo wraz ze zmianą znaku jest po prostu skróconą wersją pierwszej transformacji tożsamości. I po co nam tak głęboka wiedza? – pytasz. Nic w równaniach. Na litość boską, wytrzymaj. Tylko nie zapomnij zmienić znaku. Ale w przypadku nierówności nawyk przenoszenia może prowadzić w ślepy zaułek...

Druga transformacja tożsamości: obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez to samo niezerowy liczba lub wyrażenie. Tutaj pojawia się już zrozumiałe ograniczenie: mnożenie przez zero jest głupie, a dzielenie jest całkowicie niemożliwe. To jest transformacja, której używasz, gdy rozwiązujesz coś fajnego

To jasne X= 2. Jak to znalazłeś? Przez wybór? A może po prostu do ciebie dotarło? Aby nie wybierać i nie czekać na wgląd, musisz zrozumieć, że jesteś sprawiedliwy dzielimy obie strony równania przez 5. Dzieląc lewą stronę (5x), pięć zostało zmniejszone, pozostawiając czyste X. Właśnie tego potrzebowaliśmy. A dzieląc prawą stronę (10) przez pięć, otrzymamy oczywiście dwa.

To wszystko.

To zabawne, ale te dwie (tylko dwie!) identyczne transformacje są podstawą rozwiązania wszystkie równania matematyczne. Wow! Warto przyjrzeć się przykładom tego, co i jak, prawda?)

Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.

Zacznijmy od Pierwszy transformacja tożsamości. Przenieś lewo-prawo.

Przykład dla młodszych.)

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujące równanie:

3-2x = 5-3x

Przypomnijmy zaklęcie: „z X – w lewo, bez X – w prawo!” To zaklęcie jest instrukcją użycia pierwszej transformacji tożsamości.) Jakie wyrażenie z X znajduje się po prawej stronie? 3x? Odpowiedź jest błędna! Po naszej prawej stronie - 3x! Minus trzy x! Dlatego podczas przesuwania się w lewo znak zmieni się na plus. Okaże się:

3-2x+3x=5

Zatem X zostały zebrane w stos. Przejdźmy do liczb. Po lewej stronie jest trójka. Z jakim znakiem? Odpowiedź „bez żadnego” nie jest akceptowana!) Przed trzema rzeczywiście nic nie jest rysowane. A to oznacza, że ​​przed trzema jest plus. Więc matematycy zgodzili się. Nic nie jest napisane, to znaczy plus. Dlatego potrójna zostanie przeniesiona na prawą stronę z minusem. Otrzymujemy:

-2x+3x=5-3

Pozostały już tylko drobnostki. Po lewej stronie - przynieś podobne, po prawej - policz. Odpowiedź przychodzi od razu:

W tym przykładzie wystarczyła jedna transformacja tożsamości. Drugi nie był już potrzebny. No cóż.)

Przykład dla starszych dzieci.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Operacje matematyczne - przenoszenie wyrazów, dzielenie obu wpisów przez jedną liczbę itp. Oznacza to, że należy uprościć i pracować ze wzorem jak z równaniem algebraicznym. Wykonując te czynności należy także wziąć pod uwagę zmianę znaku, zasady wyprowadzania wielkości i podnoszenia do potęgi.

W większości prosty przypadek Jeśli masz wyrażenie w postaci v = 2*g + 11, aby znaleźć wartość g, wykonaj następujące kroki. Przenieś wszystkie terminy niezawierające zmiennej g do jednej (najlepiej lewej) części dane równanie, nie zapominając o zmianie znaku przy przechodzeniu na przeciwny: -2*g = 11 - v. Pozostałe wielkości i stałe przesuń poza znak równości. Jeśli wymagana wartość ma współczynnik, jak w w tym przypadku(-2), podziel obie strony równania przez tę stałą: g = -(11 – v)/2.

Wyrażając od formuły wartość podniesioną do potęgi, jak np. w wersji: S = a*t²/4, należy najpierw wykonać czynności opisane powyżej. Umieść zmienną po lewej stronie równania i aby wyprowadzić z niej stałą, pomnóż obie strony przez tę liczbę formuły: a*t² = 4*S. Podziel przez zmienną a i otrzymasz: t² = 4*S/a. Aby usunąć stopień żądanej zmiennej, weź pierwiastek tego samego stopnia (tutaj kwadratowy) zarówno z lewej, jak i prawej strony wyrażenia: t = √4*S/a. Odwrotna sytuacja ma również miejsce, gdy żądana wielkość znajduje się pod pierwiastkiem; w tym przypadku konieczne jest podniesienie równania do potęgi wskazanej w . Zatem wyrażenie ³√S = v + g przekształca się do postaci S = (v + g)³.

W obecności złożonych wyrażeń uzyskanych w wyniku wielokrotnych podstawień różnych wzorów często pojawiają się trudności z wyrażeniem nieznanej wielkości. Przykładowo w konstrukcji postaci S = (√t²*k/(1+g))*f – 15, szukając wartości k, warto najpierw uprościć równanie poprzez wprowadzenie zmiennej podstawieniowej. Weźmy wyrażenie w dużych nawiasach dla x: x = (√t²*k/(1+g)), wówczas równanie początkowe będzie wyglądało następująco: S = x*f – 15. Stąd łatwo znaleźć x = (S + 15)/f. Następnie zwróć wyrażenie w nawiasie zamiast x (√t²*k/(1+g)) = (S + 15)/f. Po czym możesz kontynuować uproszczenia, stosując podobne podstawienia lub od razu wyrazić pożądane rozmiar: k = ((1+g)*(S + 15)/f)2/t².

Źródła:

• wyrażenie ilości

Czasami przy rozwiązywaniu problemów konieczne staje się wyrażanie ułamków w procentach. Możesz zamienić ułamek dziesiętny, ułamek zwykły, ułamek zwykły lub ułamek nieregularny na procent. Przyjrzyjmy się, jak to zrobić.

Instrukcje

Niech zostanie podany podany ułamek dziesiętny. Na przykład 0,54. Aby wyrazić to jako ułamek dziesiętny, musisz to zrobić numer pomnóż przez sto (w przypadku dziesiętny Oznacza to przesunięcie punktu o dwa miejsca w prawo) i postawienie znaku na prawo od liczby. Otrzymujemy, że 0,54 = 54%. Jeszcze kilka przykładów: 1,3=130%, 0,218=21,8%, 0,02=2%.

W każdym zadaniu fizycznym trzeba wyrazić niewiadomą ze wzoru, kolejnym krokiem jest podstawienie wartości liczbowych i uzyskanie odpowiedzi, w niektórych przypadkach wystarczy jedynie wyrazić nieznaną wielkość. Istnieje wiele sposobów wyprowadzania niewiadomej ze wzoru. Jeśli spojrzymy na Internet, zobaczymy wiele zaleceń w tej kwestii. Sugeruje to, że środowisko naukowe nie wypracowało jeszcze jednolitego podejścia do rozwiązania tego problemu, a stosowane metody, jak pokazuje doświadczenie szkoły, są nieskuteczne. Aż 90% absolwentów nie wie, jak poprawnie wyrazić nieznane. Ci, którzy wiedzą, jak to zrobić, dokonują uciążliwych transformacji. To bardzo dziwne, ale fizycy, matematycy, chemicy mają różne podejścia, tłumacząc metody przenoszenia parametrów przez znak równości (podają zasady trójkąta, krzyża czy proporcji itp.). Można powiedzieć, że mają inna kultura praca z formułami. Można sobie wyobrazić, co dzieje się z większością uczniów, którzy podczas systematycznego uczęszczania na zajęcia z tych przedmiotów spotykają się z różnymi interpretacjami sposobu rozwiązania danego problemu. Sytuację tę opisuje typowy dialog internetowy:

Naucz, jak wyrażać ilości ze wzorów. W 10 klasie wstydzę się, że nie umiem zrobić kolejnego z jednego przepisu.

Nie martw się – to problem wielu moich kolegów z klasy, mimo że chodzę do 9 klasy. Nauczyciele najczęściej pokazują to metodą trójkąta, jednak wydaje mi się, że jest to niewygodne i łatwo się pomylić. Pokażę ci najprostszy sposób, w jaki ja używam...

Powiedzmy, że podana jest formuła:

Cóż, prostszy sposób....trzeba znaleźć czas z tego wzoru. W tym wzorze bierzesz i zastępujesz tylko różne liczby, w oparciu o algebrę. powiedzmy:

i prawdopodobnie wyraźnie to widzisz, aby znaleźć czas wyrażenie algebraiczne 5 potrzebujesz 45/9, czyli przechodzimy do fizyki: t=s/v

U większości uczniów pojawia się blokada psychologiczna. Uczniowie często zauważają, że podczas czytania podręcznika trudności powodują przede wszystkim te fragmenty tekstu, które zawierają dużo formuł, że „w dalszym ciągu nie można zrozumieć długich wniosków”, ale jednocześnie poczucie niższości i brak wiary w pojawiają się czyjeś zdolności.

Proponuję następujące rozwiązanie tego problemu - większość uczniów nadal potrafi rozwiązać przykłady, a tym samym ustalić kolejność działań. Wykorzystajmy tę ich umiejętność.

1. W części wzoru zawierającej zmienną, którą należy wyrazić, należy ustalić kolejność działań i nie będziemy tego robić w jednomianach, które nie zawierają pożądanej wartości.

2. Następnie w odwrotnej kolejności obliczeń przenieść elementy wzoru do innej części wzoru (poprzez znak równości) wykonując czynność odwrotną („minus” – „plus”, „dziel” – „pomnóż”, „podnoszenie do kwadratu” - „wyciąganie pierwiastka kwadratowego”).

Oznacza to, że znajdziemy ostatnią akcję w wyrażeniu i przeniesiemy jednomian lub wielomian, który wykonuje tę akcję, poprzez znak równości do pierwszego, ale z przeciwną akcją. Zatem sekwencyjnie, znajdując ostatnią akcję w wyrażeniu, przenieś wszystkie znane wielkości z jednej części równości do drugiej. Na koniec przepiszmy formułę tak, aby nieznana zmienna znajdowała się po lewej stronie.

Otrzymujemy przejrzysty algorytm pracy, wiemy dokładnie ile przekształceń trzeba wykonać. Do treningu możemy wykorzystać już znane formuły lub wymyślić własne. Aby rozpocząć prace nad opanowaniem tego algorytmu, stworzono prezentację.

Doświadczenia w pracy ze studentami to potwierdzają tę metodę jest przez nich dobrze odbierany. O pozytywnym usposobieniu tej twórczości świadczy także reakcja nauczycieli na mój występ na festiwalu „Nauczyciel szkoły specjalistycznej”.

Następnie pozbądź się go, podnosząc obie strony tożsamości do , równego wykładnikowi pierwiastka. Dla powyższego przykładu czynność tę należy wyrazić poprzez przekształcenie do postaci: 36*Y² = X. Czasami wygodniej jest wykonać operację tego kroku przed akcją z kroku poprzedniego.

Przekształć wyrażenie tak, aby wszystkie terminy tożsamości zawierające pożądane zmienny, znalazło się po lewej stronie równości. Na przykład, jeśli formuła ma postać 36*Y-X*Y+5=X i interesuje Cię zmienna X, wystarczy zamienić lewą i prawą połowę tożsamości. A jeśli trzeba wyrazić Y, to formuła w wyniku tej akcji powinna przyjąć postać 36*Y-X*Y=X-5.

Uprość wyrażenie po lewej stronie formuły tak, że żądana zmienna staje się jedną z . Na przykład dla formuły z poprzedniego kroku można to zrobić w następujący sposób: Y*(36-X)=X-5.

Podziel wyrażenia za pomocą obu znaków równości przez współczynniki interesującej Cię zmiennej. W rezultacie tylko ta zmienna powinna pozostać po lewej stronie tożsamości. Ten użyty powyżej będzie wyglądał tak po tym kroku: Y = (X-5)/(36-X).

Jeśli żądana zmienna w wyniku wszystkich przekształceń zostanie podniesiona do jakiej potęgi, pozbądź się stopnia, wyodrębniając pierwiastek z obu części formuły. Przykładowo wzór z drugiego kroku do tego etapu transformacji powinien przyjąć postać Y²=X/36. A jego ostateczna postać powinna wyglądać następująco: Y=√X/6.

Zmienne

Głównym wskaźnikiem zmiennej jest to, że jest ona zapisana literą. Symbol najczęściej kryje w sobie określone znaczenie. Zmienna ma swoją nazwę, ponieważ jej wartość zmienia się w zależności od równania. Z reguły dowolne może być użyte jako oznaczenie takiego elementu. Na przykład, jeśli wiesz, że masz 5 rubli i chcesz kupić jabłka, które kosztują 35 kopiejek, skończona liczba jabłek, które możesz kupić, wynosi (na przykład „C”).

Przykład użycia

Jeśli istnieje zmienna, która została wybrana według własnego uznania, musisz ją skomponować równanie algebraiczne. Połączy znane i nieznane wielkości, a także pokaże związek między nimi. To wyrażenie będzie zawierać liczby, zmienne i jedną operację algebraiczną. Należy pamiętać, że wyrażenie będzie zawierać znak równości.

Pełne równanie zawiera wartość wyrażenia jako całości. Jest on oddzielony od reszty równania znakiem równości. W poprzednim przykładzie dotyczącym jabłek wyrażeniem jest 0,35 lub 35 kopiejek pomnożone przez „C”. Aby utworzyć pełne równanie, musisz napisać, co następuje:

Wyrażenia jednomianowe

Istnieją dwie główne klasyfikacje wyrażeń: jednomiany. Jednomiany są zmienną jednostkową, liczbą lub iloczynem zmiennej i liczby. Ponadto wyrażenie kilku zmiennych lub wyrażeń z wykładnikami jest również jednomianem. Na przykład liczba 7, zmienna x i iloczyn 7*x są jednomianami. Wyrażenia z wykładnikami, w tym x^2 lub 3x^2y^3, są również jednomianami.

Wielomiany

Wielomiany to wyrażenia, które obejmują kombinację dodawania lub odejmowania dwóch lub więcej. Do wielomianu można włączyć dowolny typ jednomianu, w tym liczby, pojedyncze zmienne lub wyrażenia zawierające liczby i niewiadome. Na przykład wyrażenie x+7 jest wielomianem, który jest dodawany przez jednomian x i jednomian 7. 3x^2 jest także wielomianem. 10x+3xy-2y^2 to wielomian łączący trzy jednomiany za pomocą dodawania i odejmowania.

Zmienne zależne i niezależne

Zmienne niezależne to niewiadome określające pozostałe części równania. Występują samodzielnie w wyrażeniach i nie zmieniają się wraz z innymi zmiennymi.

Wartości zmiennych zależnych określa się za pomocą zmiennych niezależnych. Ich wartości często ustala się empirycznie.