Srednja stopnja

Kvadratne neenakosti. Obsežen vodnik (2019)

Da bi ugotovili, kako rešiti kvadratne enačbe, moramo razumeti, kaj kvadratna funkcija, in kakšne lastnosti ima.

Verjetno ste se spraševali, zakaj je kvadratna funkcija sploh potrebna? Kje je uporaben njegov graf (parabola)? Da, le pogledati morate okoli sebe in opazili boste, da vsak dan v vsakdanje življenje srečaš jo. Ste pri športni vzgoji opazili, kako vržena žoga leti? "Vzdolž loka"? Najbolj pravilen odgovor bi bil "parabola"! In po kateri poti se giblje curek v vodnjaku? Da, tudi v paraboli! Kako leti krogla ali granata? Tako je, tudi v paraboli! Tako bo s poznavanjem lastnosti kvadratne funkcije mogoče rešiti številne praktične probleme. Na primer, pod kakšnim kotom je treba vreči žogo, da zagotovimo največjo razdaljo? Ali pa, kje bo projektil končal, če ga izstreliš pod določenim kotom? itd.

Kvadratna funkcija

Torej, ugotovimo.

Na primer,. Kaj so tu enaki in? No, seveda!

Kaj če, tj. manj kot nič? No, seveda smo »žalostni«, kar pomeni, da bodo veje usmerjene navzdol! Poglejmo graf.

Ta slika prikazuje graf funkcije. Ker, tj. manj kot nič, so veje parabole usmerjene navzdol. Poleg tega ste verjetno že opazili, da veje te parabole sekajo os, kar pomeni, da ima enačba 2 korena, funkcija pa ima tako pozitivne kot negativne vrednosti!

Na samem začetku, ko smo podali definicijo kvadratne funkcije, je bilo rečeno, da sta in nekaj števil. Ali so lahko enaki nič? No, seveda lahko! Razkril bom celo še večjo skrivnost (ki sploh ni skrivnost, je pa vredna omembe): za te številke (in) sploh ni nobenih omejitev!

No, poglejmo, kaj se zgodi z grafoma, če sta in enaka nič.

Kot lahko vidite, so se grafi obravnavanih funkcij (in) premaknili tako, da so njihova oglišča zdaj na točki s koordinatami, to je na presečišču osi, in to ne vpliva na smer vej . Tako lahko sklepamo, da so odgovorni za "gibanje" grafa parabole vzdolž koordinatnega sistema.

Graf funkcije se dotika osi v točki. To pomeni, da ima enačba en koren. Tako funkcija zavzame vrednosti, večje ali enake nič.

Enako logiko sledimo tudi z grafom funkcije. V točki se dotika osi x. To pomeni, da ima enačba en koren. Tako funkcija zavzame vrednosti, manjše ali enake nič, tj.

Če želite torej določiti znak izraza, morate najprej poiskati korenine enačbe. To nam bo zelo koristilo.

Kvadratna neenakost

Pri reševanju takšnih neenačb bomo potrebovali sposobnost določiti, kje je kvadratna funkcija večja, manjša ali enaka nič. To je:

• če imamo neenakost oblike, potem se pravzaprav naloga zmanjša na določitev numeričnega intervala vrednosti, za katere parabola leži nad osjo.
• če imamo neenakost oblike, se pravzaprav naloga zmanjša na določitev numeričnega intervala vrednosti x, za katere parabola leži pod osjo.

Če neenakosti niso stroge, so korenine (koordinate presečišča parabole z osjo) vključene v želeni numerični interval, v primeru strogih neenakosti pa so izključene.

Vse to je precej formalizirano, vendar ne obupajte in ne bodite prestrašeni! Zdaj pa poglejmo primere in vse bo prišlo na svoje mesto.

Pri reševanju kvadratnih neenačb se bomo držali podanega algoritma in čaka nas neizogiben uspeh!

Algoritem	primer:
1) Zapišimo ustrezno neenakost kvadratna enačba(samo spremenite znak za neenakost v znak za enakost "=").
2) Poiščimo korenine te enačbe.
3) Označite korenine na osi in shematično pokažite orientacijo vej parabole ("gor" ali "dol")
4) Na osi postavimo znake, ki ustrezajo znaku kvadratne funkcije: kjer je parabola nad osjo, postavimo " ", in kjer spodaj - " ".
5) Izpišite interval(e), ki ustrezajo " " ali " ", odvisno od znaka neenakosti. Če neenakost ni stroga, so koreni vključeni v interval; če je stroga, niso.

razumeš Potem ga pripni!

primer:

No, je uspelo? Če imate kakršne koli težave, poiščite rešitve.

rešitev:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo znaku " ", saj je znak neenakosti " ". Neenakost ni stroga, zato so koreni vključeni v intervale:

Zapišimo ustrezno kvadratno enačbo:

Poiščimo korenine te kvadratne enačbe:

Dobljene korenine shematično označimo na osi in razporedimo znake:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo znaku " ", saj je znak neenakosti " ". Neenakost je stroga, zato koreni niso vključeni v intervale:

Zapišimo ustrezno kvadratno enačbo:

Poiščimo korenine te kvadratne enačbe:

ta enačba ima en koren

Dobljene korenine shematično označimo na osi in razporedimo znake:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo znaku " ", saj je znak neenakosti " ". Za kateri koli ima funkcija nenegativne vrednosti. Ker neenakost ni stroga, bo odgovor.

Zapišimo ustrezno kvadratno enačbo:

Poiščimo korenine te kvadratne enačbe:

Shematično narišimo graf parabole in razporedimo znake:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo znaku " ", saj je znak neenakosti " ". Za vsako ima funkcija pozitivne vrednosti, zato bo rešitev neenakosti interval:

KVADRATNE NEENAČBE. SREDNJA NIVO

Kvadratna funkcija.

Preden govorimo o temi "kvadratne neenakosti", se spomnimo, kaj je kvadratna funkcija in kaj je njen graf.

Z drugimi besedami, to polinom druge stopnje.

Graf kvadratne funkcije je parabola (se spomnite, kaj je to?). Njegove veje so usmerjene navzgor, če "a) funkcija sprejme le pozitivne vrednosti za vse, v drugem () pa samo negativne:

V primeru, da ima enačba () natanko en koren (na primer, če je diskriminanta nič), to pomeni, da se graf dotika osi:

Potem, podobno kot v prejšnjem primeru, za " .

Tako smo se pred kratkim naučili, kako določiti, kje je kvadratna funkcija večja od nič in kje manjša:

Če kvadratna neenakost ni stroga, potem so koreni vključeni v numerični interval; če je stroga, niso.

Če je samo en koren, je v redu, isti znak bo povsod. Če ni korenin, je vse odvisno le od koeficienta: če je "25((x)^(2))-30x+9

odgovori:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Korenov ni, zato celoten izraz na levi strani vzame predznak koeficienta:

• Če želite najti numerični interval, na katerem je kvadratni trinom večji od nič, potem je to numerični interval, kjer parabola leži nad osjo.
• Če želite najti numerični interval, na katerem je kvadratni trinom manjši od nič, potem je to numerični interval, kjer parabola leži pod osjo.

KVADRATNE NEENAČBE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna funkcija je funkcija oblike: ,

Graf kvadratne funkcije je parabola. Njegove veje so usmerjene navzgor, če, in navzdol, če:

Vrste kvadratnih neenakosti:

Vse kvadratne neenakosti so reducirane na naslednje štiri vrste:

Algoritem rešitve:

Algoritem	primer:
1) Zapišimo kvadratno enačbo, ki ustreza neenakosti (preprosto spremenimo znak neenakosti v znak enačbe "").
2) Poiščimo korenine te enačbe.
3) Označite korenine na osi in shematično pokažite orientacijo vej parabole ("gor" ali "dol")
4) Na osi postavimo znake, ki ustrezajo znaku kvadratne funkcije: kjer je parabola nad osjo, postavimo " ", in kjer spodaj - " ".
5) Zapišite interval(e), ki ustrezajo " " ali " ", odvisno od znaka neenakosti. Če neenakost ni stroga, so koreni vključeni v interval; če je stroga, niso.

Kvadratna neenakost – “OD in DO”.V tem članku si bomo ogledali rešitev kvadratnih neenakosti, kot pravijo, vse do tankosti. Priporočam, da natančno preučite gradivo v članku, ne da bi ničesar zamudili. Članka ne boste mogli obvladati takoj, priporočam, da to storite v več pristopih, informacij je veliko.

Vsebina:

Uvod. Pomembno!

Uvod. Pomembno!

Kvadratna neenakost je neenakost oblike:

Če vzamete kvadratno enačbo in zamenjate enačaj s katerim koli od zgornjih, dobite kvadratno neenakost. Reševanje neenakosti pomeni odgovor na vprašanje, za katere vrednosti x bo ta neenakost resnična. Primeri:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Kvadratno neenakost je mogoče določiti implicitno, na primer:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

V tem primeru je potrebno izvesti algebraične transformacije in ga pripeljati v standardno obliko (1).

* Koeficienti so lahko delni in iracionalni, vendar so takšni primeri redki v šolskem kurikulumu in jih sploh ni v nalogah enotnega državnega izpita. Vendar ne bodite prestrašeni, če na primer naletite na:

Tudi to je kvadratna neenakost.

Najprej si poglejmo preprost algoritem rešitve, ki ne zahteva razumevanja, kaj je kvadratna funkcija in kako njen graf izgleda na koordinatni ravnini glede na koordinatne osi. Če si lahko informacije zapomnite trdno in dolgo ter jih redno utrjujete z vajo, vam bo algoritem pomagal. Tudi če, kot pravijo, morate takšno neenakost rešiti "naenkrat", vam bo algoritem pomagal. Če ga boste upoštevali, boste rešitev enostavno implementirali.

Če se učite v šoli, vam toplo priporočam, da začnete preučevati članek iz drugega dela, ki pove celoten pomen rešitve (glejte spodaj od točke -). Če razumete bistvo, se vam ne bo treba učiti ali zapomniti določenega algoritma; zlahka boste rešili katero koli kvadratno neenakost.

Seveda bi moral razlago takoj začeti z grafom kvadratne funkcije in razlago samega pomena, a sem se odločil, da članek “konstruiram” na ta način.

Še ena teoretična točka! Poglejte formulo za faktorizacijo kvadratnega trinoma:

kjer sta x 1 in x 2 korena kvadratne enačbe ax 2+ bx+c=0

*Da bi rešili kvadratno neenačbo, bo treba faktorizirati kvadratni trinom.

Spodaj predstavljeni algoritem se imenuje tudi intervalna metoda. Primeren je za reševanje neenačb oblike f(x)>0, f(x)<0 , f(x)≥0 inf(x)≤0 . Upoštevajte, da sta lahko več kot dva množitelja, na primer:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Algoritem rešitve. Intervalna metoda. Primeri.

Glede na neenakost sekira 2 + bx+ c > 0 (poljubni znak).

1. Napišite kvadratno enačbo sekira 2 + bx+ c = 0 in jo reši. Dobimo x 1 in x 2– korenine kvadratne enačbe.

2. Nadomestite koeficient v formulo (2) a in korenine. :

a(x – x 1 )(x – x 2)>0

3. Določite intervale na številski premici (koreni enačbe delijo številsko premico na intervale):

4. Določite »predznake« na intervalih (+ ali –) tako, da v izraz nadomestite poljubno vrednost »x« iz vsakega nastalega intervala:

a(x – x 1 )(x – x2)

in jih slavite.

5. Ostaja le še, da zapišemo intervale, ki nas zanimajo, označeni so:

- z znakom “+”, če je neenakost vsebovala “>0” ali “≥0”.

- znak "–", če je neenakost vključena "<0» или «≤0».

BODITE POZORNI!!! Sami znaki v neenakosti so lahko:

strogo - to je “>”, “<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Kako to vpliva na izid odločitve?

Pri strogih znakih neenakosti meje intervala NISO VKLJUČENE v rešitev, v odgovoru pa je sam interval zapisan v obliki ( x 1 ; x 2 ) – okrogli oklepaji.

Za šibke znake neenakosti so meje intervala vključene v rešitev, odgovor pa je zapisan v obliki [ x 1 ; x 2 ] – oglati oklepaji.

*To ne velja samo za kvadratne neenakosti. Oglati oklepaj pomeni, da je sama meja intervala vključena v rešitev.

To boste videli v primerih. Oglejmo si jih nekaj, da razjasnimo vsa vprašanja o tem. V teoriji se algoritem morda zdi nekoliko zapleten, v resnici pa je vse preprosto.

1. PRIMER: Reši x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Reševanje kvadratne enačbe x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Iskanje korenin:

Nadomestite koeficient a

x 2 –60 x+500 = (x–50)(x–10)

Neenačbo zapišemo v obrazec (x–50)(x–10) ≤ 0

Koreni enačbe delijo številsko premico na intervale. Pokažimo jih na številski premici:

Dobili smo tri intervale (–∞;10), (10;50) in (50;+∞).

Določimo "znake" na intervalih; to naredimo tako, da nadomestimo poljubne vrednosti vsakega nastalega intervala v izraz (x–50)(x–10) in pogledamo ujemanje nastalega "znaka" z znakom v neenakost (x–50)(x–10) ≤ 0:

pri x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 napačno

pri x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

pri x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 nepravilno

Rešitev bo interval.

Za vse vrednosti x iz tega intervala bo neenakost resnična.

*Upoštevajte, da smo vključili oglate oklepaje.

Za x = 10 in x = 50 bo tudi neenakost resnična, to pomeni, da so meje vključene v rešitev.

Odgovor: x∊

Še enkrat:

— Meje intervala so VKLJUČENE v rešitev neenačbe, kadar pogoj vsebuje znak ≤ ali ≥ (nestroga neenačba). V tem primeru je običajno prikazati nastale korenine v skici s krogom HASHED.

— Meje intervala NISO VKLJUČENE v rešitev neenačbe, kadar pogoj vsebuje predznak< или >(stroga neenakost). V tem primeru je običajno, da se koren na skici prikaže kot NEHASHED krog.

PRIMER 2: Reši x 2 + 4 x–21 > 0

Reševanje kvadratne enačbe x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Iskanje korenin:

Nadomestite koeficient a in korenine v formuli (2), dobimo:

x 2 + 4 x–21 = (x–3)(x+7)

Neenačbo zapišemo v obrazec (x–3)(x+7) > 0.

Koreni enačbe delijo številsko premico na intervale. Označimo jih na številski premici:

*Neenakost ni stroga, zato simboli za korenine NISO osenčeni. Dobili smo tri intervale (–∞;–7), (–7;3) in (3;+∞).

Določimo "znake" na intervalih, to naredimo tako, da poljubne vrednosti teh intervalov nadomestimo v izraz (x–3)(x+7) in iščemo skladnost z neenakostjo (x–3)(x+7)> 0:

pri x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 pravilno

pri x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

pri x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 pravilno

Rešitev bosta dva intervala (–∞;–7) in (3;+∞). Za vse vrednosti x iz teh intervalov bo neenakost resnična.

*Upoštevajte, da smo vključili oklepaje. Pri x = 3 in x = –7 bo neenakost napačna – meje niso vključene v rešitev.

Odgovor: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

PRIMER 3: Reši – x 2 –9 x–20 > 0

Reševanje kvadratne enačbe – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Iskanje korenin:

Nadomestite koeficient a in korenine v formuli (2), dobimo:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Neenačbo zapišemo v obrazec –(x+5)(x+4) > 0.

Koreni enačbe delijo številsko premico na intervale. Označimo na številski premici:

*Neenakost je stroga, zato simboli za korenine niso zasenčeni. Dobili smo tri intervale (–∞;–5), (–5; –4) in (–4;+∞).

Na intervalih definiramo »znake«, to naredimo s podstavitvijo v izraz –(x+5)(x+4) poljubne vrednosti teh intervalov in si oglejte ujemanje z neenakostjo –(x+5)(x+4)>0:

pri x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

pri x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 pravilno

pri x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

Rešitev bo interval (–5,–4). Za vse vrednosti "x", ki mu pripadajo, bo neenakost resnična.

*Upoštevajte, da meje niso del rešitve. Za x = –5 in x = –4 neenakost ne bo resnična.

KOMENTIRAJ!

Pri reševanju kvadratne enačbe lahko na koncu dobimo en koren ali pa sploh nimamo korenin, potem pa lahko pri tej metodi na slepo pride do težav pri določanju rešitve.

Majhen povzetek! Metoda je dobra in priročna za uporabo, še posebej, če ste seznanjeni s kvadratno funkcijo in poznate lastnosti njenega grafa. Če ne, si oglejte in pojdite na naslednji razdelek.

Uporaba grafa kvadratne funkcije. priporočam!

Kvadratna je funkcija oblike:

Njen graf je parabola, veje parabole so usmerjene navzgor ali navzdol:

Graf je lahko postavljen na naslednji način: lahko seka os x v dveh točkah, lahko se je dotika v eni točki (točki) ali pa se ne seka. Več o tem pozneje.

Zdaj pa si poglejmo ta pristop na primeru. Celoten postopek rešitve je sestavljen iz treh stopenj. Rešimo neenačbo x 2 +2 x –8 >0.

Prva stopnja

Reševanje enačbe x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Iskanje korenin:

Dobili smo x 1 = 2 in x 2 = – 4.

Druga stopnja

Sestavljanje parabole y=x 2 +2 x–8 po točkah:

Točki 4 in 2 sta presečišči parabole in osi x. Enostavno je! Kaj si naredil? Rešili smo kvadratno enačbo x 2 +2 x–8=0. Oglejte si njegovo objavo takole:

0 = x 2+2x – 8

Nič je za nas vrednost "y". Ko je y = 0, dobimo absciso točk presečišča parabole z osjo x. Lahko rečemo, da je ničelna vrednost "y" os x.

Zdaj pa poglejte, katere vrednosti x izraza x 2 +2 x – 8 večji (ali manjši) od nič? To ni težko ugotoviti iz grafa parabole, pravijo, da je vse na vidiku:

1. Na x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 bo pozitiven.

2. Pri –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 bo negativna.

3. Pri x > 2 leži veja parabole nad osjo x. Za navedeni x, trinom x 2 +2 x –8 bo pozitiven.

Tretja stopnja

Iz parabole lahko takoj vidimo, pri kolikšnem x je izraz x 2 +2 x–8 večji od nič, enak nič, manjši od nič. To je bistvo tretje stopnje rešitve, in sicer videti in prepoznati pozitivna in negativna področja na risbi. Dobljeni rezultat primerjamo z izvirno neenačbo in zapišemo odgovor. V našem primeru je treba določiti vse vrednosti x, za katere je izraz x 2 +2 x–8 več kot nič. To smo storili v drugi fazi.

Preostane le še zapis odgovora.

Odgovor: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Povzemimo: ko smo v prvem koraku izračunali korenine enačbe, lahko označimo dobljene točke na osi x (to so točke presečišča parabole z osjo x). Nato shematsko sestavimo parabolo in že lahko vidimo rešitev. Zakaj shematski? Ne potrebujemo matematično natančnega urnika. In predstavljajte si, na primer, če se korenine izkažejo za 10 in 1500, poskusite zgraditi natančen graf na listu papirja s takim razponom vrednosti. Postavlja se vprašanje! No, dobili smo korenine, no, označili smo jih na o-osi, ampak ali bi morali skicirati lokacijo same parabole - z njenimi vejami navzgor ali navzdol? Tukaj je vse preprosto! Koeficient za x 2 vam bo povedal:

- če je večja od nič, so veje parabole usmerjene navzgor.

- če je manjša od nič, so veje parabole usmerjene navzdol.

V našem primeru je enaka ena, torej pozitivna.

*Opomba! Če neenačba vsebuje nestrogi znak, to je ≤ ali ≥, potem morajo biti koreni na številski premici osenčeni, to običajno pomeni, da je meja intervala sama vključena v rešitev neenačbe. V tem primeru korenine niso zasenčene (preluknjane), ker je naša neenakost stroga (tam je znak ">"). Še več, v tem primeru odgovor uporablja oklepaje namesto oglatih (obrobe niso vključene v rešitev).

Veliko je bilo napisanega, verjetno sem koga zmedla. Če pa s parabolami rešite vsaj 5 neenačb, potem vaše občudovanje ne bo poznalo meja. Enostavno je!

Torej na kratko:

1. Neenačbo zapišemo in reduciramo na standardno.

2. Zapiši kvadratno enačbo in jo reši.

3. Narišite os x, označite dobljene korenine, shematsko narišite parabolo, z vejami navzgor, če je koeficient x 2 pozitiven, ali vejami navzdol, če je negativen.

4. Vizualno identificirajte pozitivna ali negativna področja in zapišite odgovor na prvotno neenakost.

Poglejmo si primere.

1. PRIMER: Reši x 2 –15 x+50 > 0

Prva stopnja.

Reševanje kvadratne enačbe x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Iskanje korenin:

Druga stopnja.

Gradimo os o. Označimo nastale korenine. Ker je naša neenakost stroga, jih ne bomo senčili. Shematično sestavimo parabolo, ki se nahaja z vejami navzgor, saj je koeficient x 2 pozitiven:

Tretja stopnja.

Vizualno definiramo pozitivna in negativna področja, tukaj smo jih zaradi jasnosti označili z različnimi barvami, tega vam ni treba storiti.

Odgovor zapišemo.

Odgovor: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Znak U označuje rešitev poenotenja. Figurativno povedano je rešitev »ta« IN »ta« interval.

PRIMER 2: Reši – x 2 + x+20 ≤ 0

Prva stopnja.

Reševanje kvadratne enačbe – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Iskanje korenin:

Druga stopnja.

Gradimo os o. Označimo nastale korenine. Ker naša neenakost ni stroga, zasenčimo oznake korenin. Shematično sestavimo parabolo, ki se nahaja z vejami navzdol, saj je koeficient x 2 negativen (je enak –1):

Tretja stopnja.

Vizualno prepoznamo pozitivna in negativna področja. Primerjamo jo z izvirno neenakostjo (naš predznak je ≤ 0). Neenakost bo veljala za x ≤ – 4 in x ≥ 5.

Odgovor zapišemo.

Odgovor: x∊(–∞;–4] U; uredil S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008. - 271 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09 -019243-9.