Prva stopnja
Odvod funkcije. Obsežen vodnik (2019)
Predstavljajmo si ravno cesto, ki poteka skozi hribovito območje. To pomeni, da gre gor in dol, vendar ne zavije desno ali levo. Če je os usmerjena vodoravno vzdolž ceste in navpično, bo črta ceste zelo podobna grafu neke zvezne funkcije:
Os je določena ničelna višina; v življenju kot njo uporabljamo morsko gladino.
Ko se po takšni cesti premikamo naprej, se premikamo tudi navzgor ali navzdol. Lahko tudi rečemo: ko se spremeni argument (premik vzdolž abscisne osi), se spremeni vrednost funkcije (premik vzdolž ordinatne osi). Zdaj pa razmislimo, kako določiti "strmino" naše ceste? Kakšna vrednost bi to lahko bila? Zelo preprosto: koliko se bo višina spremenila, ko se premaknete naprej na določeno razdaljo. Dejansko se bomo na različnih odsekih ceste, ki se premikamo naprej (vzdolž osi x) za en kilometer, dvignili ali spustili za različno število metrov glede na morsko gladino (vzdolž osi y).
Označimo napredek (beri "delta x").
Grška črka (delta) se v matematiki običajno uporablja kot predpona, ki pomeni "sprememba". To je - to je sprememba količine, - sprememba; kaj je potem? Tako je, sprememba velikosti.
Pomembno: izraz je ena sama celota, ena spremenljivka. Nikoli ne ločite "delta" od "x" ali katere koli druge črke!
To je na primer,.
Torej, premaknili smo se naprej, vodoravno, za. Če črto ceste primerjamo z grafom funkcije, kako potem označimo vzpon? Vsekakor,. Se pravi, ko gremo naprej, se dvigamo višje.
Vrednost je enostavno izračunati: če smo bili na začetku na višini in smo se po premikanju znašli na višini, potem. Če je končna točka nižja od začetne, bo negativna – to pomeni, da se ne vzpenjamo, ampak spuščamo.
Vrnimo se k "strmini": to je vrednost, ki kaže, za koliko (strmo) se višina poveča, ko se pomaknemo naprej za eno enoto razdalje:
Zdaj pa poglejmo vrh hriba. Če vzamete začetek odseka pol kilometra pred vrhom in konec pol kilometra za njim, vidite, da je višina skoraj enaka.
To pomeni, da se po naši logiki izkaže, da je naklon tukaj skoraj enak nič, kar očitno ni res. Samo na kilometrski razdalji se lahko marsikaj spremeni. Za ustreznejšo in natančnejšo oceno strmine je potrebno upoštevati manjše površine. Na primer, če izmerite spremembo višine, ko se premaknete za en meter, bo rezultat veliko natančnejši. Toda tudi ta natančnost nam morda ne bo zadostovala – navsezadnje, če je na sredini ceste drog, ga lahko preprosto peljemo mimo. Kakšno razdaljo naj potem izberemo? Centimeter? Milimeter? Manj je bolje!
IN resnično življenje Merjenje razdalj do najbližjega milimetra je več kot dovolj. Toda matematiki vedno stremijo k popolnosti. Zato je bil koncept izumljen infinitezimalno, kar pomeni, da je absolutna vrednost manjša od katerega koli števila, ki ga lahko imenujemo. Na primer, rečete: ena bilijontina! Koliko manj? In to številko delite z - in bo še manj. In tako naprej. Če želimo zapisati, da je količina neskončno majhna, zapišemo takole: (beremo “x teži k ničli”). Zelo pomembno je razumeti da to število ni nič! Ampak zelo blizu. To pomeni, da ga lahko delite.
Koncept, ki je nasproten infinitezimalnemu, je neskončno velik (). Verjetno ste že naleteli na to, ko ste delali na neenačbah: to število je modulo večje od katerega koli števila, ki si ga lahko zamislite. Če pridete do največjega možnega števila, ga samo pomnožite z dva in dobili boste še večje število. In neskončnost je še večja od tega, kar se bo zgodilo. Pravzaprav sta neskončno veliko in neskončno majhno nasprotje drug drugemu, to je at, in obratno: at.
Zdaj pa se vrnimo k naši cesti. Idealno izračunan naklon je naklon, izračunan za neskončno majhen segment poti, to je:
Opažam, da bo pri neskončno majhnem premiku tudi sprememba višine neskončno majhna. Vendar naj vas spomnim, da infinitezimalno ne pomeni enako nič. Če neskončno majhna števila delite eno z drugim, lahko dobite povsem običajno število, na primer . To pomeni, da je lahko ena majhna vrednost natanko krat večja od druge.
Čemu je vse to namenjeno? Cesta, strmina ... Ne gremo na avto reli, ampak poučujemo matematiko. In v matematiki je vse popolnoma enako, le drugače se imenuje.
Koncept derivata
Odvod funkcije je razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta.
Postopoma v matematiki imenujejo sprememba. Imenuje se obseg, v katerem se argument () spreminja, ko se premika vzdolž osi povečanje argumenta in je označeno. Koliko se je funkcija (višina) spremenila pri premikanju vzdolž osi za razdaljo, se imenuje prirast funkcije in je določen.
Torej je odvod funkcije razmerje do kdaj. Odvod označujemo z isto črko kot funkcijo, le s praštevilo desno zgoraj: ali preprosto. Torej, zapišimo izpeljano formulo z uporabo teh zapisov:
Tako kot v analogiji s cesto je tudi tukaj, ko funkcija narašča, odvod pozitiven, ko se zmanjšuje pa je negativen.
Ali je lahko odvod enak nič? Vsekakor. Če se na primer vozimo po ravni vodoravni cesti, je strmina enaka nič. In res je, višina se sploh ne spremeni. Tako je tudi z odvodom: odvod konstantne funkcije (konstante) je enak nič:
saj je prirastek takšne funkcije enak nič za katerokoli.
Spomnimo se primera na hribu. Izkazalo se je, da je mogoče konce segmenta razporediti na nasprotnih straneh vrha tako, da se višina na koncih izkaže za enako, to je, da je segment vzporeden z osjo:
Toda veliki segmenti so znak netočne meritve. Naš segment bomo dvignili vzporedno s seboj, nato pa se bo njegova dolžina zmanjšala.
Sčasoma, ko smo neskončno blizu vrha, bo dolžina segmenta postala neskončno majhna. Toda hkrati je ostal vzporeden z osjo, to je razlika v višinah na njegovih koncih je enaka nič (ne teži k, ampak je enaka). Izpeljanka torej
To lahko razumemo takole: ko stojimo na samem vrhu, majhen premik v levo ali desno zanemarljivo spremeni našo višino.
Obstaja tudi povsem algebraična razlaga: levo od oglišča funkcija narašča, desno pa pada. Kot smo že ugotovili, je odvod pri naraščanju funkcije pozitiven, pri zmanjševanju pa negativen. Spreminja pa se gladko, brez skokov (saj cesta nikjer ne spreminja strmo naklona). Zato mora obstajati med negativnimi in pozitivnimi vrednostmi. To bo tam, kjer funkcija ne narašča in ne pada - v točki vrha.
Enako velja za korito (območje, kjer se funkcija na levi zmanjšuje in na desni povečuje):
Še malo o prirastkih.
Zato spremenimo argument v velikost. Od katere vrednosti spreminjamo? Kaj je (argument) zdaj postal? Izberemo lahko katero koli točko in zdaj bomo plesali iz nje.
Razmislite o točki s koordinato. Vrednost funkcije v njej je enaka. Nato naredimo enako povečanje: povečamo koordinato za. Kaj je zdaj argument? Zelo enostavno: . Kakšna je zdaj vrednost funkcije? Kamor gre argument, gre tudi funkcija: . Kaj pa povečanje funkcije? Nič novega: to je še vedno znesek, za katerega se je funkcija spremenila:
Vadite iskanje prirastkov:
- Poiščite prirastek funkcije v točki, ko je prirastek argumenta enak.
- Enako velja za funkcijo v točki.
rešitve:
IN različne točke z enakim prirastkom argumenta bo prirast funkcije drugačen. To pomeni, da je izpeljanka na vsaki točki drugačna (o tem smo govorili že na začetku - strmina ceste je na različnih točkah različna). Zato moramo, ko pišemo izpeljanko, navesti, na kateri točki:
Funkcija moči.
Funkcija moči je funkcija, pri kateri je argument do neke mere (logičen, kajne?).
Še več – v kakršni koli meri: .
Najenostavnejši primer- to je takrat, ko eksponent:
Poiščimo njegovo izpeljanko v točki. Spomnimo se definicije derivata:
Torej se argument spremeni iz v. Kolikšen je prirastek funkcije?
Povečanje je to. Toda funkcija na kateri koli točki je enaka svojemu argumentu. Zato:
Izpeljanka je enaka:
Izpeljanka je enaka:
b) Zdaj razmislite kvadratna funkcija (): .
Zdaj pa si zapomnimo to. To pomeni, da lahko vrednost prirastka zanemarimo, saj je neskončno majhna in zato nepomembna glede na drugi izraz:
Tako smo prišli do drugega pravila:
c) Nadaljujemo logični niz: .
Ta izraz lahko poenostavimo na različne načine: odpremo prvi oklepaj s formulo za skrajšano množenje kuba vsote ali faktoriziramo celoten izraz s formulo razlike kubov. Poskusite to narediti sami s katero koli od predlaganih metod.
Torej, dobil sem naslednje:
In še enkrat se spomnimo tega. To pomeni, da lahko zanemarimo vse izraze, ki vsebujejo:
Dobimo: .
d) Podobna pravila lahko dobimo za velike moči:
e) Izkazalo se je, da je to pravilo mogoče posplošiti za potenčno funkcijo s poljubnim eksponentom, niti celim številom:
| (2) |
Pravilo je mogoče formulirati z besedami: "stopnja se premakne naprej kot koeficient in nato zmanjša za."
To pravilo bomo dokazali kasneje (skoraj čisto na koncu). Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov. Poiščite odvod funkcij:
- (na dva načina: s formulo in z uporabo definicije odvoda - z izračunom prirastka funkcije);
- . Ne boste verjeli, ampak tole funkcija moči. Če imate vprašanja, kot je »Kako je s tem? Kje je diploma?«, spomnite se teme »«!
Da, da, koren je tudi stopnja, le ulomek: .
Torej naše Kvadratni koren- to je samo diploma z indikatorjem:
.
Izpeljanko iščemo po nedavno naučeni formuli:Če na tej točki spet postane nejasno, ponovite temo “”!!! (o diplomi z negativnim eksponentom)
- . Zdaj eksponent:
In zdaj skozi definicijo (ste že pozabili?):
;
.
Zdaj, kot običajno, zanemarimo izraz, ki vsebuje:
. - . Kombinacija prejšnjih primerov: .
Trigonometrične funkcije.
Tukaj bomo uporabili eno dejstvo iz višje matematike:
Z izrazom.
Dokazila se boste naučili v prvem letniku inštituta (in da pridete tja, morate dobro opraviti enotni državni izpit). Zdaj bom samo grafično prikazal:
Vidimo, da ko funkcija ne obstaja - je točka na grafu izrezana. Toda bližje kot je vrednost, bližje je funkcija temu "cilju".
Poleg tega lahko to pravilo preverite s kalkulatorjem. Da, da, ne bodite sramežljivi, vzemite kalkulator, še nismo na enotnem državnem izpitu.
Torej, poskusimo: ;
Ne pozabite preklopiti kalkulatorja v radianski način!
itd. Vidimo, da manjše kot je, bližje je vrednost razmerja.
a) Razmislite o funkciji. Kot običajno, poiščimo njegov prirastek:
Spremenimo razliko sinusov v produkt. Za to uporabimo formulo (zapomnite si temo “”): .
Zdaj pa izpeljanka:
Naredimo zamenjavo: . Potem je za infinitezimalno tudi infinitezimalno: . Izraz za ima obliko:
In zdaj se tega spominjamo z izrazom. In tudi, kaj če lahko neskončno majhno količino zanemarimo v vsoti (to je pri).
Torej dobimo naslednje pravilo: odvod sinusa je enak kosinusu:
To so osnovne ("tabelarne") izpeljanke. Tukaj so na enem seznamu:
Kasneje jih bomo dodali še nekaj, vendar so ti najpomembnejši, saj se najpogosteje uporabljajo.
Praksa:
- Poiščite odvod funkcije v točki;
- Poiščite odvod funkcije.
rešitve:
- Najprej poiščimo izpeljanko v splošni pogled in nato nadomestite njegovo vrednost:
;
. - Tukaj imamo nekaj podobnega funkciji moči. Poskusimo jo pripeljati do
navaden pogled:
.
Super, zdaj lahko uporabite formulo:
.
. - . Eeeeeee….. Kaj je to????
V redu, prav imate, takšnih derivatov še ne znamo najti. Tu imamo kombinacijo več vrst funkcij. Če želite delati z njimi, se morate naučiti še nekaj pravil:
Eksponent in naravni logaritem.
V matematiki obstaja funkcija, katere odvod za katero koli vrednost je hkrati enak vrednosti same funkcije. Imenuje se "eksponent" in je eksponentna funkcija
Osnova te funkcije je konstanta – je neskončna decimalno, to je iracionalno število (kot je). Imenuje se "Eulerjevo število", zato je označeno s črko.
Torej, pravilo:
Zelo enostavno zapomniti.
No, ne gremo daleč, poglejmo takoj inverzna funkcija. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:
V našem primeru je osnova številka:
Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.
Čemu je enako? Seveda, .
Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:
Primeri:
- Poiščite odvod funkcije.
- Kaj je odvod funkcije?
odgovori: Razstavljavec in naravni logaritem- funkcije so edinstveno preproste v smislu derivatov. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo preučili pravila diferenciacije.
Pravila razlikovanja
Pravila česa? Spet nov mandat, spet?!...
Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.
To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.
Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:
Skupaj je 5 pravil.
Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.
Če - nekaj stalno število(konstantno), potem.
Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .
Dokažimo to. Naj bo ali preprosteje.
Primeri.
Poiščite odvode funkcij:
- na točki;
- na točki;
- na točki;
- na točki.
rešitve:
- (odvod je v vseh točkah enak, saj je linearna funkcija, se spomnite?);
Izpeljanka izdelka
Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:
Izpeljanka:
Primeri:
- Poiščite odvode funkcij in;
- Poiščite odvod funkcije v točki.
rešitve:
Odvod eksponentne funkcije
Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).
Torej, kje je kakšna številka.
Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo prenesti našo funkcijo na novo osnovo:
Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:
No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.
Se je zgodilo?
Evo, preverite sami:
Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.
Primeri:
Poiščite odvode funkcij:
odgovori:
To je le številka, ki je ni mogoče izračunati brez kalkulatorja, torej je ni več mogoče zapisati v preprosti obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.
Odvod logaritemske funkcije
Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:
Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:
Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:
Samo zdaj bomo namesto tega napisali:
Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:
Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo v enotnem državnem izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.
Odvod kompleksne funkcije.
Kaj se je zgodilo " kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".
Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.
Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolada), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.
Enake korake lahko preprosto izvedemo v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadriraš, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.
Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .
Za prvi primer,.
Drugi primer: (isto). .
Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).
Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:
odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji
- Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
In prvotna funkcija je njihova sestava: . - Notranji: ; zunanji:.
Pregled: . - Notranji: ; zunanji:.
Pregled: . - Notranji: ; zunanji:.
Pregled: . - Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.
No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:
Še en primer:
Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:
Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:
Zdi se preprosto, kajne?
Preverimo s primeri:
rešitve:
1) Notranji: ;
Zunanji: ;
2) Notranji: ;
(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)
3) Notranji: ;
Zunanji: ;
Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.
To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.
V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:
Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:
Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.
1. Radikalno izražanje. .
2. Koren. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Vse skupaj:
IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM
Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila razlikovanja:
Konstanta je vzeta iz izpeljanke:
Izpeljanka vsote:
Izpeljanka izdelka:
Izpeljanka količnika:
Odvod kompleksne funkcije:
Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:
- Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
- Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
- Rezultate prve in druge točke pomnožimo.
Opredelitev. Naj bo funkcija \(y = f(x)\) definirana v določenem intervalu, v katerem je točka \(x_0\). Dajmo argumentu prirastek \(\Delta x \), tako da ne zapusti tega intervala. Poiščimo ustrezen prirastek funkcije \(\Delta y \) (pri premikanju iz točke \(x_0 \) v točko \(x_0 + \Delta x \)) in sestavimo relacijo \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Če obstaja omejitev tega razmerja pri \(\Delta x \rightarrow 0\), se podana omejitev imenuje odvod funkcije\(y=f(x) \) v točki \(x_0 \) in označite \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbol y se pogosto uporablja za označevanje odpeljanke. Upoštevajte, da je y" = f(x) nova funkcija, ki je seveda povezana s funkcijo y = f(x), definirano v vseh točkah x, v katerih obstaja zgornja meja. Ta funkcija se imenuje takole: odvod funkcije y = f(x).
Geometrijski pomen izpeljanke kot sledi. Če je mogoče na graf funkcije y = f(x) narisati tangento v točki z absciso x=a, ki ni vzporedna z osjo y, potem f(a) izraža naklon tangente :
\(k = f"(a)\)
Ker \(k = tg(a) \), potem velja enakost \(f"(a) = tan(a) \).
Razložimo zdaj definicijo odvoda z vidika približnih enakosti. Naj ima funkcija \(y = f(x)\) odvod v določeni točki \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To pomeni, da v bližini točke x velja približna enakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Smiselni pomen dobljene približne enakosti je naslednji: prirastek funkcije je »skoraj sorazmeren« s prirastkom argumenta, koeficient sorazmernosti pa je vrednost odvoda v dano točko X. Na primer, za funkcijo \(y = x^2\) velja približna enakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Če natančno analiziramo definicijo izpeljanke, bomo ugotovili, da vsebuje algoritem za njeno iskanje.
Oblikujmo ga.
Kako najti odvod funkcije y = f(x)?
1. Popravite vrednost \(x\), poiščite \(f(x)\)
2. Povečajte argument \(x\) \(\Delta x\), pojdite na novo točko \(x+ \Delta x \), poiščite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Poiščite prirastek funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Ustvarite relacijo \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ta meja je odvod funkcije v točki x.
Če ima funkcija y = f(x) odvod v točki x, se imenuje diferencibilna v točki x. Postopek za iskanje odvoda funkcije y = f(x) se imenuje diferenciacija funkcije y = f(x).
Razpravljajmo o naslednjem vprašanju: kako sta zveznost in diferenciabilnost funkcije v točki povezani med seboj?
Naj bo funkcija y = f(x) diferenciabilna v točki x. Nato lahko tangento narišemo na graf funkcije v točki M(x; f(x)) in, spomnimo se, kotni koeficient tangente je enak f "(x). Tak graf se ne more "zlomiti" v točki M, tj. funkcija mora biti zvezna v točki x.
To so bili "praktični" argumenti. Dajmo strožjo utemeljitev. Če je funkcija y = f(x) diferenciabilna v točki x, potem velja približna enakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Če v tej enakosti \(\Delta x \) teži k nič, potem bo \(\Delta y \) teži k nič, in to je pogoj za kontinuiteto funkcije v točki.
Torej, če je funkcija diferenciabilna v točki x, potem je v tej točki zvezna.
Obratna trditev ne drži. Na primer: funkcija y = |x| je povsod zvezna, zlasti v točki x = 0, vendar tangenta na graf funkcije v "stičišču" (0; 0) ne obstaja. Če na neki točki ni mogoče potegniti tangente na graf funkcije, potem odvod na tej točki ne obstaja.
Še en primer. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) je zvezna na celotni številski premici, tudi v točki x = 0. Tangenta na graf funkcije obstaja v kateri koli točki, tudi v točki x = 0. Toda na tej točki tangenta sovpada z osjo y, to je, da je pravokotna na os abscise, njena enačba ima obliko x = 0. Koeficient naklona take vrstice ni, kar pomeni, da tudi \(f"(0) \) ne obstaja
Tako smo se seznanili z novo lastnostjo funkcije - diferenciabilnostjo. Kako lahko iz grafa funkcije sklepamo, da je diferenciabilna?
Odgovor je dejansko podan zgoraj. Če je na neki točki mogoče narisati tangento na graf funkcije, ki ni pravokotna na abscisno os, potem je na tej točki funkcija diferencibilna. Če na neki točki tangenta na graf funkcije ne obstaja ali je pravokotna na abscisno os, potem funkcija na tej točki ni diferencibilna.
Pravila razlikovanja
Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija. Pri izvajanju te operacije morate pogosto delati s količniki, vsotami, zmnožki funkcij, pa tudi s "funkcijami funkcij", to je kompleksnimi funkcijami. Na podlagi definicije izpeljanke lahko izpeljemo pravila razlikovanja, ki olajšajo to delo. Če je C konstantno število in so f=f(x), g=g(x) nekatere diferenciable funkcije, potem velja naslednje pravila razlikovanja:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabela odvodov nekaterih funkcij
$$ \left(\frac(1)(x) \desno) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \levo(x^a \desno) " = a x^(a-1) $$ $$ \levo(a^x \desno) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \desno) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Kako najti izpeljanko, kako vzeti izpeljanko? Vklopljeno to lekcijo naučili se bomo iskati odvode funkcij. Toda preden preučite to stran, toplo priporočam, da se seznanite z metodološko gradivo Vroče formule šolski tečaj matematiki. Referenčni priročnik lahko odprete ali prenesete na strani Matematične formule in tabele. Tudi od tam bomo potrebovali Tabela izvedenih finančnih instrumentov, je bolje, da ga natisnete; pogosto se boste morali sklicevati nanj, ne samo zdaj, ampak tudi brez povezave.
Jesti? Začnimo. Za vas imam dve novici: dobro in zelo dobro. Dobra novica je naslednja: če želite izvedeti, kako najti izpeljanke, vam ni treba vedeti in razumeti, kaj je izpeljanka. Poleg tega je definicija odvoda funkcije, matematične, fizikalne, geometrijski pomen Izpeljanko je primerneje prebaviti kasneje, saj kakovostna izdelava teorije po mojem mnenju zahteva preučevanje številnih drugih tem, pa tudi nekaj praktičnih izkušenj.
In zdaj je naša naloga, da te iste derivate tehnično obvladamo. Zelo dobra novica je, da se naučiti jemati odvode ni tako težko; obstaja dokaj jasen algoritem za reševanje (in razlago) te naloge, težje je obvladati na primer integrale ali limite.
Priporočam naslednji vrstni red študija teme:: Najprej ta članek. Potem morate prebrati najpomembnejšo lekcijo Odvod kompleksne funkcije. Ti dve osnovni lekciji bosta izboljšali vaše sposobnosti popolna nula. Nadalje se lahko seznanite z bolj zapletenimi derivati v članku Kompleksni derivati. Logaritemski odvod. Če je letvica previsoka, najprej preberite stvar Najenostavnejši tipični problemi z izpeljankami. Lekcija poleg nove snovi zajema tudi druge, enostavnejše vrste izpeljank in je odlična priložnost za izboljšanje tehnike razlikovanja. Poleg tega v testi Skoraj vedno obstajajo naloge za iskanje odvodov funkcij, ki so podane implicitno ali parametrično. Obstaja tudi taka lekcija: Odvodi implicitnih in parametrično definiranih funkcij.
Poskušal vas bom v dostopni obliki, korak za korakom, naučiti, kako najti izpeljanke funkcij. Vse informacije so predstavljene podrobno, z enostavnimi besedami.
Pravzaprav si takoj poglejmo primer:
Primer 1
Poiščite odvod funkcije
rešitev: 
to najpreprostejši primer, poiščite ga v tabeli odvodov elementarnih funkcij. Zdaj pa poglejmo rešitev in analizirajmo, kaj se je zgodilo? In zgodilo se je naslednje: imeli smo funkcijo, ki se je zaradi rešitve spremenila v funkcijo.
Preprosto povedano, da bi našli odvod funkcije, jo morate spremeniti v drugo funkcijo v skladu z določenimi pravili. Ponovno poglejte tabelo izpeljank - tam se funkcije spremenijo v druge funkcije. Edina izjema je eksponentna funkcija, ki se spremeni vase. Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija .
Poimenovanja: Izpeljanka je označena z ali .
POZOR, POMEMBNO! Pozabite vnesti črto (kjer je potrebno) ali narisati dodatno črto (kjer ni potrebno) - VELIKA NAPAKA! Funkcija in njen derivat sta dve različni funkciji!
Vrnimo se k naši tabeli derivatov. Iz te tabele je zaželeno zapomni si: pravila diferenciacije in odvodi nekaterih elementarnih funkcij, zlasti:
derivat konstante:
, kjer je konstantno število;
odvod potenčne funkcije:
, še posebej: , , .
Zakaj se spominjati? To znanje je osnovno znanje o derivatih. In če ne morete odgovoriti na učiteljevo vprašanje "Kaj je derivat števila?", Potem se lahko vaš študij na univerzi za vas konča (osebno poznam dva resnični primeri iz življenja). Poleg tega so to najpogostejše formule, ki jih moramo uporabiti skoraj vsakič, ko naletimo na izpeljanke.
V resnici so preprosti tabelarični primeri redki, pri iskanju odvodov se običajno najprej uporabijo pravila diferenciranja, nato pa tabela odvodov elementarnih funkcij.
V zvezi s tem nadaljujemo z razmislekom pravila razlikovanja:
1) Konstantno število se lahko (in mora) vzeti iz izpeljanke
Kje je konstantno število (konstanta)
Primer 2
Poiščite odvod funkcije
Poglejmo tabelo izpeljank. Odvod kosinusa je tam, vendar imamo .
Čas je, da uporabimo pravilo, konstantni faktor vzamemo iz predznaka odvoda:
Zdaj pretvorimo naš kosinus v skladu s tabelo:
No, rezultat je priporočljivo malo "prečesati" - na prvo mesto postavite znak minus, hkrati pa se znebite oklepajev:
2) Odvod vsote je enak vsoti odvodov
Primer 3
Poiščite odvod funkcije
Odločimo se. Kot ste verjetno že opazili, je prvi korak, ki ga vedno izvedemo pri iskanju izpeljanke, ta, da celoten izraz zadamo v oklepaj in postavimo praštevilo zgoraj desno:
Uporabimo drugo pravilo:
Upoštevajte, da morajo biti za razlikovanje vsi koreni in stopnje predstavljeni v obrazcu, in če so v imenovalcu, jih premaknite navzgor. Kako to storiti, je opisano v mojih učnih gradivih.
Sedaj pa se spomnimo prvega pravila diferenciacije - konstantne faktorje (števila) vzamemo izven predznaka odvoda:
Običajno se med reševanjem ti dve pravili uporabita hkrati (da ne bi znova prepisali dolgega izraza).
Vse funkcije, ki se nahajajo pod potezami, so osnovne funkcije tabele, s pomočjo katere izvedemo transformacijo:
Vse lahko pustite tako, kot je, saj ni več udarcev in izpeljanka je najdena. Vendar izrazi, kot je ta, običajno poenostavijo:
Priporočljivo je, da vse potence tipa ponovno predstavimo v obliki korenov, potence z negativnimi eksponenti pa ponastavimo na imenovalec. Čeprav vam tega ni treba narediti, ne bo napaka.
Primer 4
Poiščite odvod funkcije 
Poskusite rešiti ta primer samostojno (odgovor ob koncu ure). Zainteresirani lahko tudi uporabljajo intenzivni tečaj v pdf formatu, kar je še posebej primerno, če imate zelo malo časa na razpolago.
3) Odvod produkta funkcij
Zdi se, da analogija nakazuje formulo ...., toda presenečenje je, da:
To je nenavadno pravilo (kot pravzaprav drugi) izhaja iz izpeljane definicije. Vendar se bomo za zdaj ustavili pri teoriji – zdaj je bolj pomembno, da se naučimo reševati:
Primer 5
Poiščite odvod funkcije
Tukaj imamo produkt dveh funkcij, odvisnih od .
Najprej uporabimo naše nenavadno pravilo, nato pa transformiramo funkcije z uporabo izpeljane tabele:
Težko? Sploh ne, čisto dostopen tudi za čajnik.
Primer 6
Poiščite odvod funkcije 
Ta funkcija vsebuje vsoto in produkt dveh funkcij - kvadratni trinom in logaritem. Iz šole se spomnimo, da imata množenje in deljenje prednost pred seštevanjem in odštevanjem.
Tukaj je enako. NAJPREJ uporabljamo pravilo razlikovanja izdelkov:
Zdaj za oklepaj uporabimo prvi dve pravili:
Zaradi uporabe pravil diferenciacije pod potezami nam ostanejo le elementarne funkcije, s pomočjo tabele odvodov pa jih pretvorimo v druge funkcije:
pripravljena
Z nekaj izkušnjami pri iskanju izpeljank se zdi, da preprostih izpeljank ni treba tako podrobno opisovati. Na splošno se o njih odloča ustno in se takoj zapiše 
.
Primer 7
Poiščite odvod funkcije 
To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije)
4) Odvod funkcij kvocienta
V stropu se je odprla loputa, ne skrbite, to je napaka.
Toda to je kruta realnost: 
Primer 8
Poiščite odvod funkcije
Kaj tukaj manjka – vsota, razlika, zmnožek, ulomek…. S čim naj začnem?! So dvomi, ni dvomov, ampak, KAKORKOLI Najprej narišemo oklepaje in zgoraj desno postavimo črto:
Zdaj pa pogledamo izraz v oklepajih, kako ga lahko poenostavimo? IN v tem primeru opazimo dejavnik, da je po prvem pravilu priporočljivo odvzeti predznak izpeljanke.
Problem iskanja izpeljanke dano funkcijo je eden glavnih tečajev matematike Srednja šola in v višjem izobraževalne ustanove. Nemogoče je v celoti raziskati funkcijo in sestaviti njen graf, ne da bi vzeli njen derivat. Odvod funkcije zlahka najdete, če poznate osnovna pravila diferenciacije, pa tudi tabelo odvodov osnovnih funkcij. Ugotovimo, kako najti odvod funkcije.
Odvod funkcije je meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli.
Razumevanje te definicije je precej težko, saj se koncept meje v šoli ne preučuje v celoti. Ampak zato, da bi našli izpeljanke različne funkcije, definicije ni potrebno razumeti, prepustimo jo matematikom in pojdimo naravnost k iskanju odvoda.
Postopek iskanja odvoda imenujemo diferenciacija. Ko diferenciramo funkcijo, dobimo novo funkcijo.
Za njihovo označevanje bomo uporabili latinične črke f, g itd.
Obstaja veliko različnih zapisov za izvedene finančne instrumente. Uporabili bomo kap. Na primer, pisanje g" pomeni, da bomo našli odvod funkcije g.
Tabela izvedenih finančnih instrumentov
Da bi odgovorili na vprašanje, kako najti derivat, je treba zagotoviti tabelo derivatov glavnih funkcij. Za izračun odvodov elementarnih funkcij ni treba izvajati zapletenih izračunov. Dovolj je samo pogledati njegovo vrednost v tabeli izvedenih finančnih instrumentov.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (lok g x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Primer 1. Poiščite odvod funkcije y=500.
Vidimo, da je to stalnica. Iz tabele odvodov je znano, da je odvod konstante enak nič (formula 1).
Primer 2. Poiščite odvod funkcije y=x 100.
To je potenčna funkcija, katere eksponent je 100, in če želite najti njen odvod, morate funkcijo pomnožiti z eksponentom in ga zmanjšati za 1 (formula 3).
(x 100)"=100 x 99
Primer 3. Poiščite odvod funkcije y=5 x
to eksponentna funkcija, izračunajmo njegov derivat s formulo 4.
Primer 4. Poiščite odvod funkcije y= log 4 x
Odvod logaritma najdemo s formulo 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Pravila razlikovanja
Ugotovimo zdaj, kako najti odvod funkcije, če je ni v tabeli. Večina proučevanih funkcij ni elementarnih, ampak so kombinacije elementarnih funkcij z uporabo preprostih operacij (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in množenje s številom). Če želite najti njihove izpeljanke, morate poznati pravila razlikovanja. Spodaj črki f in g označujeta funkciji, C pa je konstanta.
1. Konstantni koeficient lahko vzamemo iz predznaka odvoda
Primer 5. Poiščite odvod funkcije y= 6*x 8
Izločimo konstantni faktor 6 in diferenciramo samo x 4. To je potenčna funkcija, katere odvod najdemo s formulo 3 tabele odvodov.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Odvod vsote je enak vsoti odvodov
(f + g)"=f" + g"
Primer 6. Poiščite odvod funkcije y= x 100 +sin x
Funkcija je vsota dveh funkcij, katerih odvode najdemo iz tabele. Ker je (x 100)"=100 x 99 in (sin x)"=cos x. Odvod vsote bo enak vsoti teh odvodov:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Odvod razlike je enak razliki odvodov
(f – g)"=f" – g"
Primer 7. Poiščite odvod funkcije y= x 100 – cos x
Ta funkcija je razlika dveh funkcij, katerih odvode prav tako najdemo v tabeli. Potem je odvod razlike enak razliki odvodov in ne pozabite spremeniti predznaka, saj (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Primer 8. Poiščite odvod funkcije y=e x +tg x– x 2.
Ta funkcija ima vsoto in razliko, poiščimo izpeljanke vsakega člena:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Potem je odvod prvotne funkcije enak:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Izpeljanka izdelka
(f * g)"=f" * g + f * g"
Primer 9. Poiščite odvod funkcije y= cos x *e x
Da bi to naredili, najprej poiščemo odvod vsakega faktorja (cos x)"=–sin x in (e x)"=e x. Zdaj pa vse nadomestimo v formulo izdelka. Odvod prve funkcije pomnožimo z drugo in produkt prve funkcije prištejemo odvodu druge.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Izpeljava količnika
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Primer 10. Poiščite odvod funkcije y= x 50 /sin x
Da bi našli odvod količnika, najprej ločeno poiščemo odvod števca in imenovalca: (x 50)"=50 x 49 in (sin x)"= cos x. Če zamenjamo derivat količnika v formulo, dobimo:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Odvod kompleksne funkcije
Kompleksna funkcija je funkcija, ki jo predstavlja sestava več funkcij. Obstaja tudi pravilo za iskanje odvoda kompleksne funkcije:
(u (v))"=u"(v)*v"
Ugotovimo, kako najti odvod takšne funkcije. Naj bo y= u(v(x)) kompleksna funkcija. Funkcijo u imenujemo zunanja, v pa notranja.
Na primer:
y=sin (x 3) je kompleksna funkcija.
Potem je y=sin(t) zunanja funkcija
t=x 3 - notranji.
Poskusimo izračunati odvod te funkcije. Po formuli morate pomnožiti derivate notranjih in zunanjih funkcij.
(sin t)"=cos (t) - odvod zunanje funkcije (kjer je t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - odvod notranje funkcije
Potem je (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 odvod kompleksne funkcije.