Zagotavlja referenčne podatke o eksponentni funkciji - osnovne lastnosti, grafe in formule. Upoštevana so naslednja vprašanja: domena definicije, niz vrednosti, monotonost, inverzna funkcija, izpeljanka, integral, razširitev v potenčne vrste in predstavitev z uporabo kompleksnih števil.
Opredelitev
Eksponentna funkcija
je posplošitev produkta n števil, ki so enaka a:
l (n) = a n = a·a·a···a,
na množico realnih števil x:
l (x) = sekira.
Tukaj je a fiksno realno število, ki se imenuje osnova eksponentne funkcije.
Imenuje se tudi eksponentna funkcija z osnovo a eksponent na osnovo a.
Posplošitev se izvede na naslednji način.
Za naravni x = 1, 2, 3,...
, je eksponentna funkcija zmnožek faktorjev x:
.
Poleg tega ima lastnosti (1,5-8) (), ki izhajajo iz pravil za množenje števil. Za ničelne in negativne vrednosti celih števil se eksponentna funkcija določi z uporabo formul (1.9-10). Za delne vrednosti x = m/n racionalnih števil, , se določi s formulo (1.11). Za realne je eksponentna funkcija definirana kot omejitev zaporedja:
,
kjer je poljubno zaporedje racionalnih števil, ki konvergira k x: .
S to definicijo je eksponentna funkcija definirana za vse , in izpolnjuje lastnosti (1.5-8), kot za naravni x.
Stroga matematična formulacija definicije eksponentne funkcije in dokaz njenih lastnosti je podan na strani “Definicija in dokaz lastnosti eksponentne funkcije”.
Lastnosti eksponentne funkcije
Eksponentna funkcija y = a x ima naslednje lastnosti na množici realnih števil ():
(1.1)
določeno in neprekinjeno, za , za vse ;
(1.2)
za ≠ 1
ima veliko pomenov;
(1.3)
striktno narašča pri , striktno pada pri ,
je konstantna pri ;
(1.4)
ob ;
ob ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Druge uporabne formule.
.
Formula za pretvorbo v eksponentno funkcijo z drugo eksponentno osnovo:
Ko je b = e, dobimo izraz eksponentne funkcije preko eksponente:
Zasebne vrednote
, , , , .
Slika prikazuje grafe eksponentne funkcije
l (x) = sekira
za štiri vrednosti diplomske osnove: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
in a = 1/8
. 1
Vidi se, da je za > eksponentna funkcija monotono narašča. Čim večja je osnova stopnje a, tem več močna rast 0
< a < 1
eksponentna funkcija monotono pada. Manjši kot je eksponent a, močnejše je zmanjšanje.
Naraščajoče, padajoče
Eksponentna funkcija je strogo monotona in zato nima ekstremov. Njegove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli.
| y = a x , a > 1 | y = sekira, 0 < a < 1 | |
| Domena | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Razpon vrednosti | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotona | monotono narašča | monotono pada |
| Ničle, y = 0 | št | št |
| Presečišča z ordinatno osjo, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Inverzna funkcija
Inverz eksponentne funkcije z osnovo a je logaritem na osnovo a.
Če, potem
.
Če, potem
.
Diferenciacija eksponentne funkcije
Za diferenciacijo eksponentne funkcije je treba njeno osnovo zmanjšati na število e, uporabiti tabelo odvodov in pravilo diferenciacije kompleksna funkcija.
Če želite to narediti, morate uporabiti lastnost logaritmov
in formula iz tabele derivatov:
.
Naj bo dana eksponentna funkcija:
.
Prinesemo ga v bazo e:
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij. Če želite to narediti, uvedite spremenljivko
Potem
Iz tabele odvodov imamo (spremenljivko x zamenjamo z z):
.
Ker je konstanta, je odvod z glede na x enak
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije:
.
Odvod eksponentne funkcije
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>
Primer diferenciacije eksponentne funkcije
Poiščite odvod funkcije
y= 3 5 x
rešitev
Izrazimo bazo eksponentne funkcije skozi število e.
3 = e ln 3
Potem
.
Vnesite spremenljivko
.
Potem
Iz tabele derivatov najdemo:
.
Zaradi 5ln 3 je konstanta, potem je odvod z glede na x enak:
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije imamo:
.
Odgovori
Integral
Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila
Razmislite o funkciji kompleksnega števila z:
f (z) = a z
kjer je z = x + iy; 2 = - 1
.
jaz
Izrazimo kompleksno konstanto a z modulom r in argumentom φ:
Potem
.
a = r e i φ Argument φ ni enolično definiran. IN
φ = φ splošni pogled,
0 + 2 πn kjer je n celo število. Zato je funkcija f(z)
.
tudi ni jasno. Pogosto se upošteva njegov glavni pomen
.
Razširitev serije
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
EKSPONENTARNE IN LOGARITEMSKE FUNKCIJE VIII
§ 179 Osnovne lastnosti eksponentne funkcije
V tem razdelku bomo preučili osnovne lastnosti eksponentne funkcije y = a (1)
x Spomnimo se, da pod A
v formuli (1) mislimo katero koli fiksno pozitivno število, ki ni 1. Lastnost 1.
Domena eksponentne funkcije je množica vseh realnih števil. Spomnimo se, da pod Pravzaprav s pozitivnim Spomnimo se, da pod y = a definirana za poljubno realno število X .
Lastnost 2. Eksponentna funkcija sprejema samo pozitivne vrednosti.
Res, če X > 0, potem je, kot je bilo dokazano v § 176,
Spomnimo se, da pod y = a > 0.
če X <. 0, то
Spomnimo se, da pod y = a =
Kje - X že več kot nič. Zato A - y = a > 0. Ampak potem
Spomnimo se, da pod y = a = > 0.
Končno, kdaj X = 0
Spomnimo se, da pod y = a = 1.
2. lastnost eksponentne funkcije ima preprosto grafično razlago. To je v tem, da se graf te funkcije (glej sliki 246 in 247) nahaja povsem nad osjo abscise.
Nepremičnina 3. če Spomnimo se, da pod >1, kdaj potem X > 0 A y = a > 1, in kdaj X < 0 Spomnimo se, da pod y = a < 1. če Spomnimo se, da pod < 1, тoh, nasprotno, kdaj X > 0 A y = a < 1, in kdaj X < 0 Spomnimo se, da pod y = a > 1.
Ta lastnost eksponentne funkcije omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo. pri Spomnimo se, da pod > 1 (slika 246) krivulj V tem razdelku bomo preučili osnovne lastnosti eksponentne funkcije y = a ki se nahaja nad ravno črto pri = 1 at X > 0 in pod ravno črto pri = 1 at X < 0.
če Spomnimo se, da pod < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые V tem razdelku bomo preučili osnovne lastnosti eksponentne funkcije y = a ki se nahaja pod ravno črto pri = 1 at X > 0 in nad to vrstico pri X < 0.
Naj podamo strog dokaz 3. lastnosti. Pustiti Spomnimo se, da pod > 1 in X - poljubno pozitivno število. Pokažimo to
Spomnimo se, da pod y = a > 1.
Če število X racionalno ( X = m / n ), To Spomnimo se, da pod y = a = Spomnimo se, da pod m/ n = n √a m .
Zaradi Spomnimo se, da pod > 1, torej Spomnimo se, da pod m > 1, vendar je koren števila, večjega od ena, očitno tudi večji od 1.
če X je iracionalno, potem obstajajo pozitivna racionalna števila X" in X" , ki služijo kot decimalni približki števila y = a :
X"< х < х" .
Ampak potem, po definiciji stopnje z iracionalnim eksponentom
Spomnimo se, da pod x" < Spomnimo se, da pod y = a < Spomnimo se, da pod x"" .
Kot je prikazano zgoraj, številka Spomnimo se, da pod x" več kot en. Zato število Spomnimo se, da pod y = a , večji kot Spomnimo se, da pod x" , mora biti tudi večji od 1,
Torej, pokazali smo, da kdaj a >1 in poljubno pozitivno X
Spomnimo se, da pod y = a > 1.
Če število X bil negativen, potem bi imeli
Spomnimo se, da pod y = a =
kjer je številka X bi bilo že pozitivno. Zato A - y = a > 1. Zato,
Spomnimo se, da pod y = a = < 1.
Torej, ko Spomnimo se, da pod > 1 in poljubno negativno y = a
Spomnimo se, da pod y = a < 1.
Primer, ko je 0< Spomnimo se, da pod < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Lastnina 4. Če x = 0, potem ne glede na a Spomnimo se, da pod y = a =1.
To izhaja iz definicije stopinje nič; ničelna potenca katerega koli števila, ki ni nič, je enaka 1. Grafično je ta lastnost izražena v dejstvu, da za katero koli Spomnimo se, da pod krivulja pri = Spomnimo se, da pod y = a (glej sliki 246 in 247) seka os pri v točki z ordinato 1.
Lastnina 5. pri Spomnimo se, da pod >1 eksponentna funkcija = Spomnimo se, da pod y = a monotono narašča in za a < 1 - monotono padajo.
Ta lastnost omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo.
pri Spomnimo se, da pod > 1 (slika 246) krivulja pri = Spomnimo se, da pod y = a z rastjo X dviguje vse višje in ko Spomnimo se, da pod < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Naj podamo strog dokaz 5. lastnosti.
Pustiti Spomnimo se, da pod > 1 in X 2 > X 1. Pokažimo to
Spomnimo se, da pod x 2 > Spomnimo se, da pod x 1
Zaradi X 2 > X 1., potem X 2 = X 1 + d , Kje d - neko pozitivno število. Zato
Spomnimo se, da pod x 2 - Spomnimo se, da pod x 1 = Spomnimo se, da pod x 1 + d - Spomnimo se, da pod x 1 = Spomnimo se, da pod x 1 (Spomnimo se, da pod d - 1)
Z 2. lastnostjo eksponentne funkcije Spomnimo se, da pod x 1 > 0. Ker d > 0, potem pa po 3. lastnosti eksponentne funkcije Spomnimo se, da pod d > 1. Oba dejavnika v izdelku Spomnimo se, da pod x 1 (Spomnimo se, da pod d - 1) so pozitivni, zato je ta izdelek sam pozitiven. pomeni, Spomnimo se, da pod x 2 - Spomnimo se, da pod x 1 > 0 oz Spomnimo se, da pod x 2 > Spomnimo se, da pod x 1, kar je bilo treba dokazati.
Torej, kdaj a > 1 funkcija pri = Spomnimo se, da pod y = a monotono narašča. Podobno je dokazano, da ko Spomnimo se, da pod < 1 функция pri = Spomnimo se, da pod y = a se monotono zmanjšuje.
Posledica. Če sta dve potenci istega pozitivnega števila, ki ni 1, enaki, sta njuna eksponenta enaka.
Z drugimi besedami, če
Spomnimo se, da pod b = Spomnimo se, da pod c (Spomnimo se, da pod > 0 in Spomnimo se, da pod =/= 1),
b = c .
Dejansko, če številke b in z niso bili enaki, potem zaradi monotonosti funkcije pri = Spomnimo se, da pod y = a večji od njih bi ustrezal Spomnimo se, da pod >1 večji in kdaj Spomnimo se, da pod < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или Spomnimo se, da pod b > Spomnimo se, da pod c , oz Spomnimo se, da pod b < Spomnimo se, da pod c . Oboje je v nasprotju s pogojem Spomnimo se, da pod b = Spomnimo se, da pod c . Ostaja še to priznati b = c .
Lastnina 6. Če > 1, nato z neomejenim povečanjem argumenta X (X -> ∞ ) funkcijske vrednosti pri = Spomnimo se, da pod y = a tudi rastejo v nedogled (pri -> ∞ ). Ko se argument neomejeno zmanjša X (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije se nagibajo k ničli, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0).
Ob upoštevanju monotonosti zgoraj dokazane funkcije pri = Spomnimo se, da pod y = a , lahko rečemo, da je v obravnavanem primeru funkcija pri = Spomnimo se, da pod y = a monotono narašča od 0 do ∞ .
če 0 <A < 1, potem z neomejenim povečanjem argumenta x (x -> ∞) se vrednosti funkcije y = a x nagibajo k ničli, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0). Ko se argument x neomejeno zmanjšuje (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije rastejo neomejeno (pri -> ∞ ).
Zaradi monotonosti funkcije y = a x lahko rečemo, da v tem primeru funkcija pri = Spomnimo se, da pod y = a monotono pada od ∞ na 0.
6. lastnost eksponentne funkcije je jasno prikazana na slikah 246 in 247. Ne bomo je strogo dokazovali.
Vse, kar moramo storiti, je določiti obseg variacije eksponentne funkcije y = a x (Spomnimo se, da pod > 0, Spomnimo se, da pod =/= 1).
Zgoraj smo dokazali, da funkcija y = a x ima samo pozitivne vrednosti in bodisi monotono narašča od 0 do ∞ (pri Spomnimo se, da pod > 1) ali monotono pada od ∞ na 0 (na 0< Spomnimo se, da pod <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x So kakšni preskoki pri menjavi? Ali ima kakšne pozitivne vrednosti? To vprašanje je pozitivno rešeno. če Spomnimo se, da pod > 0 in Spomnimo se, da pod =/= 1, potem karkoli že je pozitivno število pri 0 se zagotovo najde X 0, tako da
Spomnimo se, da pod x 0 = pri 0 .
(Zaradi monotonosti funkcije y = a x določeno vrednost X 0 bo seveda edini.)
Dokazovanje tega dejstva presega obseg našega programa. Njegova geometrijska razlaga je, da za vsako pozitivno vrednost pri 0 funkcijski graf y = a x se bo zagotovo sekala z ravno črto pri = pri 0 in poleg tega le v eni točki (slika 248).
Iz tega lahko potegnemo naslednji sklep, ki ga oblikujemo kot lastnost 7.
Lastnina 7. Območje spremembe eksponentne funkcije y = a x (Spomnimo se, da pod > 0, Spomnimo se, da pod =/= 1)je množica vseh pozitivnih števil.
vaje
1368. Poiščite domene definicije naslednjih funkcij:
1369. Katero od teh števil je večje od 1 in katero manjše od 1:
1370. Na podlagi katere lastnosti eksponentne funkcije lahko trdimo, da
a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2
1371. Katero število je večje:
A) π - √3 ali (1/ π ) - √3 ; c) (2 / 3) 1 + √6 ali (2 / 3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 ali ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 ali (√3) √3 - 2 ?
1372. Ali sta neenačbi enakovredni:
1373. Kaj lahko rečemo o številkah X in pri , Če a x = in y , Kje Spomnimo se, da pod - dano pozitivno število?
1374. 1) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2x označite:
2) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2 | x| označite:
A) najvišjo vrednost; b) najmanjšo vrednost?
Koncentracija pozornosti:
Opredelitev. funkcija vrsta se imenuje eksponentna funkcija .
Komentiraj. Izključitev iz osnovnih vrednosti aštevilke 0; 1 in negativne vrednosti a pojasnjujejo naslednje okoliščine:
Sam analitični izraz a x v teh primerih ohrani svoj pomen in se lahko uporablja pri reševanju problemov. Na primer za izraz x y pika x = 1; l = 1 je v območju sprejemljivih vrednosti.
Zgradite grafe funkcij: in.
 |
 |
| Graf eksponentne funkcije | |
| y= a y = a, a > 1 | y= a y = a , 0< a < 1 |
 |
 |
Lastnosti eksponentne funkcije
| Lastnosti eksponentne funkcije | y= a y = a, a > 1 | y= a y = a , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Obseg funkcij | ||
| 3. Intervali primerjave z enoto | pri y = a> 0, a y = a > 1 | pri y = a > 0, 0< a y = a < 1 |
| pri y = a < 0, 0< a y = a < 1 | pri y = a < 0, a y = a > 1 | |
| 4. Sodo, liho. | Funkcija ni niti soda niti liha (funkcija splošne oblike). | |
| 5. Monotonost. | monotono narašča za R | monotono zmanjša za R |
| 6. Ekstremi. | Eksponentna funkcija nima ekstremov. | |
| 7.Asimptota | O-os x je horizontalna asimptota. | |
| 8. Za vse realne vrednosti y = a in l; |  |
|
Ko je tabela izpolnjena, se naloge rešujejo vzporedno z izpolnjevanjem.
Naloga št. 1. (Iskati domeno definicije funkcije).
Katere vrednosti argumentov so veljavne za funkcije:
Naloga št. 2. (Iskati obseg vrednosti funkcije).
Slika prikazuje graf funkcije. Določite domeno definicije in obseg vrednosti funkcije:
 |
 |
 |
 |
Naloga št. 3. (Označiti intervale primerjave z enim).
Primerjajte vsako od naslednjih moči z eno:
Naloga št. 4. (Preučevanje funkcije za monotonost).
Primerjajte realna števila po velikosti m in nče:
Naloga št. 5. (Preučevanje funkcije za monotonost).
Naredite sklep glede osnove a, Če:
y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x
Kako so med seboj povezani grafi eksponentnih funkcij za x > 0, x = 0, x< 0?
ena koordinatna ravnina so bili zgrajeni grafi funkcij:
y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.
Kako so med seboj povezani grafi eksponentnih funkcij za x > 0, x = 0, x< 0?
| številka
ena najpomembnejših konstant v matematiki. Po definiciji je enaka meji zaporedja
z neomejenim
povečanje n
. Imenovanje e vneseno
Leonard Euler
leta 1736. Izračunal je prvih 23 števk tega števila v decimalnem zapisu, samo število pa je bilo po Napierju poimenovano »število, ki ni Pierre«. Imenovanještevilka igra posebno vlogo v matematični analizi. Eksponentna funkcija Imenovanje, imenovan eksponent in je določen y = e x. Prvi znaki številke Imenovanje enostavno zapomniti: dva, vejica, sedem, leto rojstva Leva Tolstoja - dvakrat, petinštirideset, devetdeset, petinštirideset. |
 |
Domača naloga:
Kolmogorov odstavek 35; št. 445-447; 451; 453.
Ponovite algoritem za gradnjo grafov funkcij, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula.
1. Eksponentna funkcija je funkcija oblike y(x) = a x, odvisna od eksponenta x, s konstantno vrednostjo osnove stopnje a, kjer je a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množica realnih števil).
Razmislimo graf funkcije, če baza ne izpolnjuje pogoja: a>0
a) a< 0
Če< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Če je a = 0, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 0
c) a =1
Če je a = 1, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 1
Funkcijska domena (DOF) Razpon dovoljenih funkcijskih vrednosti (APV) 3. Ničle funkcije (y = 0) 4. Presečišča z ordinatno osjo oy (x = 0) 5. Naraščajoče, padajoče funkcije Če , potem funkcija f(x) narašča 6. Soda, liha funkcija Funkcija y = ni simetrična glede na os 0y in glede na izhodišče, zato ni niti soda niti liha. (Splošna funkcija) 7. Funkcija y = nima ekstremov 8. Lastnosti stopnje z realnim eksponentom: Naj bo a > 0; a≠1 Potem za xϵR; yϵR: Lastnosti stopnje monotonosti: če, potem Če je a> 0, potem . 9. Relativni položaj funkcije Čim večja je osnova a, tem bližje osema x in oy a > 1, a = 20 Primer 1. Poiščimo vrednost izraza za različne racionalne vrednosti spremenljivke x=2; 0; -3; - Ne glede na to, katero število zamenjamo za spremenljivko x, lahko vedno najdemo vrednost tega izraza. To pomeni, da obravnavamo eksponentno funkcijo (E je enako tri na potenco x), definirano na množici racionalnih števil: . Zgradimo graf te funkcije tako, da sestavimo tabelo njenih vrednosti. Narišimo gladko črto, ki poteka skozi te točke (slika 1) S pomočjo grafa te funkcije razmislimo o njenih lastnostih: 3. Poveča se po celotnem območju definicije. 8. Funkcija je konveksna navzdol. Če sestavimo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu; y=(y je enako dva na potenco x, y je enako pet na potenco x, y je enako sedem na potenco x), potem lahko vidite, da imata enake lastnosti kot y= (y je enako tri na potenco x) (slika .2), kar pomeni, da bodo imele vse funkcije oblike y = (a je enako a na potenco x za večje od ena) take lastnosti Narišimo funkcijo: 1. Sestavljanje tabele njegovih vrednosti. Dobljene točke označimo na koordinatni ravnini. Narišimo gladko črto, ki poteka skozi te točke (slika 3). Z grafom te funkcije navedemo njene lastnosti: 1. Definicijsko področje je množica vseh realnih števil. 2. Ni niti sodo niti liho. 3.Zmanjša se po celotnem področju definicije. 4. Nima niti največje niti najmanjše vrednosti. 5.Omejeno spodaj, vendar ne omejeno zgoraj. 6. Kontinuirano skozi celotno domeno definicije. 7. obseg vrednosti od nič do plus neskončnosti. 8. Funkcija je konveksna navzdol. Podobno, če sestavimo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu; y = (y je enako eni polovici na potenco x, y je enako eni petini na potenco x, y je enako eni sedmini na potenco x), potem lahko opazite, da imajo enake lastnosti kot y = (y je enak eni tretjini na potenco x (slika 4), to je vse funkcije oblike y = (y je enak ena deljeno z a na potenco x, pri čemer večja od nič, vendar manjša od ena) bo imela takšne lastnosti. Izdelajmo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu To pomeni, da bodo tudi grafi funkcij y=y= simetrični (y je enak a na x potenco in y je enak ena deljeno z a na x potenco) za isto vrednost a. Povzemimo povedano z opredelitvijo eksponentne funkcije in navedbo njenih glavnih lastnosti: definicija: Funkcijo oblike y=, kjer je (a enako a na potenco x, kjer je a pozitiven in različen od ena), imenujemo eksponentna funkcija. Zapomniti si je treba razlike med eksponentno funkcijo y= in potenčno funkcijo y=, a=2,3,4,…. tako zvočno kot vizualno. Eksponentna funkcija X je diploma in funkcija moči X je osnova. Primer 1: Rešite enačbo (tri na potenco x je enako devet) (Y je enako tri na potenco X in Y je enako devet) Sl. 7 Upoštevajte, da imata eno skupno točko M (2;9) (em s koordinatama dve; devet), kar pomeni, da bo abscisa točke koren podana enačba. To pomeni, da ima enačba en sam koren x = 2. Primer 2: Reši enačbo V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y= (y je enak pet na potenco x in y je enak ena petindvajseta) sl. 8. Grafa se sekata v eni točki T (-2; (te s koordinatami minus dva; ena petindvajseta). To pomeni, da je koren enačbe x = -2 (število minus dva). Primer 3: Rešite neenačbo V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y= (Y je enako tri na potenco X in Y je enako sedemindvajset). Slika 9 Graf funkcije se nahaja nad grafom funkcije y=at x Zato je rešitev neenačbe interval (od minus neskončnosti do tri) Primer 4: Rešite neenačbo V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y= (y je enak eni četrtini na potenco x in y je enak šestnajst). (Slika 10). Grafa se sekata v eni točki K (-2;16). To pomeni, da je rešitev neenačbe interval (-2; (od minus dva do plus neskončnost), saj se graf funkcije y= nahaja pod grafom funkcije pri x Naše razmišljanje nam omogoča, da preverimo veljavnost naslednjih izrekov: Tema 1: Če je res, če in samo če je m=n. Izrek 2: Če velja, če in samo če, neenakost velja, če in samo če (slika *) Izrek 4: Če je resnična, če in samo če (sl.**), je neenakost resnična, če in samo če. Izrek 3: Če je resnična, če in samo če je m=n. Primer 5: Graf funkcije y= Spremenimo funkcijo z uporabo lastnosti stopnje y= Konstruirajmo dodatni koordinatni sistem in v nov sistem koordinate, bomo zgradili graf funkcije y = (y je enak dva na potenco x) sl. 11. Primer 6: Reši enačbo V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y= (Y je enako sedem na potenco X in Y je enako osem minus X) Sl. 12. Grafa se sekata v eni točki E (1; (e s koordinatami ena; sedem). To pomeni, da je koren enačbe x = 1 (x enak ena). Primer 7: Reši neenačbo V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y= (Y je enako eni četrtini na potenco X in Y je enako X plus pet). Graf funkcije y=se nahaja pod grafom funkcije y=x+5, kadar je rešitev neenačbe interval x (od minus ena do plus neskončnost).
2. Oglejmo si podrobneje eksponentno funkcijo:
0
Če , potem funkcija f(x) pada
Funkcija y= , pri 0
To izhaja iz lastnosti monotonosti potence z realnim eksponentom.
b> 0; b≠1
Na primer:
Eksponentna funkcija je zvezna v kateri koli točki ϵ R.
Če je a0, ima eksponentna funkcija obliko, ki je blizu y = 0.
Če je a1, potem dlje od osi ox in oy in graf dobi obliko, ki je blizu funkciji y = 1.
Zgradite graf za y =
