Zagotavlja referenčne podatke o eksponentni funkciji - osnovne lastnosti, grafe in formule. Upoštevana so naslednja vprašanja: domena definicije, niz vrednosti, monotonost, inverzna funkcija, izpeljanka, integral, razširitev v potenčne vrste in predstavitev z uporabo kompleksnih števil.
Opredelitev
Eksponentna funkcija
je posplošitev produkta n števil, ki so enaka a:
l (n) = a n = a·a·a···a,
na množico realnih števil x:
l (x) = sekira.
Tukaj je a fiksno realno število, ki se imenuje osnova eksponentne funkcije.
Imenuje se tudi eksponentna funkcija z osnovo a eksponent na osnovo a.
Posplošitev se izvede na naslednji način.
Za naravni x = 1, 2, 3,...
, je eksponentna funkcija zmnožek faktorjev x:
.
Poleg tega ima lastnosti (1,5-8) (), ki izhajajo iz pravil za množenje števil. Na nič in negativne vrednosti cela števila, se eksponentna funkcija določi z uporabo formul (1.9-10). Za delne vrednosti x = m/n racionalnih števil, , se določi s formulo (1.11). Za realne vrednosti je eksponentna funkcija definirana kot omejitev zaporedja:
,
kjer je poljubno zaporedje racionalnih števil, ki konvergira k x: .
S to definicijo je eksponentna funkcija definirana za vse , in izpolnjuje lastnosti (1.5-8), kot za naravni x.
Stroga matematična formulacija definicije eksponentne funkcije in dokaz njenih lastnosti je podan na strani “Definicija in dokaz lastnosti eksponentne funkcije”.
Lastnosti eksponentne funkcije
Eksponentna funkcija y = a x ima naslednje lastnosti na množici realnih števil ():
(1.1)
določeno in neprekinjeno, za , za vse ;
(1.2)
za ≠ 1
ima veliko pomenov;
(1.3)
striktno narašča pri , striktno pada pri ,
je konstantna pri ;
(1.4)
ob ;
ob ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Druge uporabne formule.
.
Formula za pretvorbo v eksponentno funkcijo z drugo eksponentno osnovo:
Ko je b = e, dobimo izraz eksponentne funkcije preko eksponente:
Zasebne vrednote
, , , , .
Slika prikazuje grafe eksponentne funkcije
l (x) = sekira
za štiri vrednosti diplomske osnove: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
in a = 1/8
. 1
Vidi se, da za a > eksponentna funkcija monotono narašča. Čim večja je osnova stopnje a, tem več močna rast 0
< a < 1
eksponentna funkcija monotono pada. Manjši kot je eksponent a, močnejše je zmanjšanje.
Naraščajoče, padajoče
Eksponentna funkcija za je strogo monotona in zato nima ekstremov. Njegove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli.
| y = a x , a > 1 | y = sekira, 0 < a < 1 | |
| Domena definicije | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Razpon vrednosti | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotona | monotono narašča | monotono pada |
| Ničle, y = 0 | št | št |
| Presečišča z ordinatno osjo, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Inverzna funkcija
Inverzna eksponentna funkcija z osnovo a je logaritem na osnovo a.
Če, potem
.
Če, potem
.
Diferenciacija eksponentne funkcije
Za diferenciacijo eksponentne funkcije je treba njeno osnovo zmanjšati na število e, uporabiti tabelo odvodov in pravilo diferenciacije kompleksna funkcija.
Če želite to narediti, morate uporabiti lastnost logaritmov
in formula iz tabele derivatov:
.
Naj bo dana eksponentna funkcija:
.
Prinesemo ga v bazo e:
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij. Če želite to narediti, uvedite spremenljivko
Potem
Iz tabele odvodov imamo (spremenljivko x zamenjamo z z):
.
Ker je konstanta, je odvod z glede na x enak
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije:
.
Odvod eksponentne funkcije
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>
Primer diferenciacije eksponentne funkcije
Poiščite odvod funkcije
y = 3 5 x
rešitev
Izrazimo bazo eksponentne funkcije skozi število e.
3 = e ln 3
Potem
.
Vnesite spremenljivko
.
Potem
Iz tabele derivatov najdemo:
.
Ker 5ln 3 je konstanta, potem je odvod z glede na x enak:
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije imamo:
.
Odgovori
Integral
Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila
Razmislite o funkciji kompleksnega števila z:
f (z) = a z
kjer je z = x + iy; 2 = - 1
.
i
Izrazimo kompleksno konstanto a z modulom r in argumentom φ:
Potem
.
a = r e i φ
φ = φ Argument φ ni enolično definiran. Na splošno,
0 + 2 πn kjer je n celo število. Zato je funkcija f(z)
.
tudi ni jasno. Pogosto se upošteva njegov glavni pomen
.
Razširitev serije
Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.2
Lekcija št.
Tema: Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf. Cilj:
Preverite kakovost obvladovanja pojma "eksponentna funkcija"; razvijati sposobnosti prepoznavanja eksponentne funkcije, uporabe njenih lastnosti in grafov, učiti učence uporabljati analitične in grafične oblike zapisa eksponentne funkcije; zagotoviti delovno okolje v razredu. Oprema:
tabla, plakati Obrazec lekcije
Vrsta lekcije: praktični pouk
Vrsta lekcije: lekcija poučevanja spretnosti in spretnosti
Načrt lekcije
1. Organizacijski trenutek
2. Samostojno delo in preverite domača naloga
3. Reševanje problemov
4. Povzemanje
5. Domača naloga
Napredek lekcije.
1. Organizacijski trenutek :
zdravo Odprite zvezke, zapišite današnji datum in temo lekcije "Eksponentna funkcija". Danes bomo nadaljevali s preučevanjem eksponentne funkcije, njenih lastnosti in grafa.
2. Samostojno delo in preverjanje domače naloge .
Tema: Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf. preveriti kakovost obvladovanja pojma "eksponentna funkcija" in preveriti opravljen teoretični del domače naloge
metoda: testna naloga, frontalna anketa
Za domačo nalogo ste dobili številke iz nalognice in odstavek iz učbenika. Vašega izvajanja števil iz učbenika zdaj ne bomo preverjali, zvezke pa boste oddali ob koncu ure. Zdaj bomo teorijo preizkusili v obliki majhnega testa. Naloga je enaka za vse: dan vam je seznam funkcij, ugotoviti morate, katere so okvirne (podčrtajte jih). In poleg eksponentne funkcije morate napisati, ali narašča ali pada.
Možnost 1 Odgovori B) D) - eksponentno, padajoče | Možnost 2 Odgovori D) - eksponentno, padajoče D) - eksponentno, naraščajoče |
Možnost 3 Odgovori A) - eksponentno, naraščajoče B) - eksponentno, padajoče | Možnost 4 Odgovori A) - eksponentno, padajoče IN) - eksponentno, naraščajoče |
Zdaj pa se skupaj spomnimo, katera funkcija se imenuje eksponentna?
Funkcija oblike , kjer in , se imenuje eksponentna funkcija.
Kakšen je obseg te funkcije?
Vsa realna števila.
Kakšen je obseg eksponentne funkcije?
Vsa pozitivna realna števila.
Zmanjša se, če je osnova potence večja od nič, vendar manjša od ena.
V katerem primeru se eksponentna funkcija zmanjšuje v svojem definicijskem področju?
Narašča, če je osnova potence večja od ena.
3. Reševanje problemov
Tarča: razvijati sposobnosti prepoznavanja eksponentne funkcije, uporabe njenih lastnosti in grafov, naučiti študente uporabljati analitične in grafične oblike zapisa eksponentne funkcije.
Metoda: učiteljeva demonstracija reševanja tipičnih nalog, ustno delo, delo ob tabli, delo v zvezku, pogovor med učiteljem in učenci.
Lastnosti eksponentne funkcije se lahko uporabljajo pri primerjavi dveh ali več števil. Na primer: št. 000. Primerjajte vrednosti in če a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, potem je to precej težko delo: izvleči bi morali kockasti koren od 3 in od 9 ter ju primerjaj. Vemo pa, da se povečuje, to pa pomeni, da ko se argument povečuje, se vrednost funkcije povečuje, to pomeni, da moramo le primerjati vrednosti argumenta in , očitno je, da 
(lahko se prikaže na plakatu, ki prikazuje naraščajočo eksponentno funkcijo). In vedno pri reševanju takih primerov najprej določite osnovo eksponentne funkcije, jo primerjate z 1, določite monotonost in nadaljujete s primerjavo argumentov. Pri padajoči funkciji: ko argument narašča, vrednost funkcije pada, zato spremenimo predznak neenakosti, ko preidemo iz neenakosti argumentov v neenakost funkcij. Nato ustno rešujemo: b) 
- 
IN) 
- 
G) 
- 
- Št. 000. Primerjaj številki: a) in
Zato se funkcija poveča, potem
Zakaj?
Povečanje delovanja in 
Torej se funkcija zmanjšuje 
Obe funkciji naraščata skozi celotno domeno definicije, saj sta eksponentni z bazo moči, večjo od ena.
Kakšen pomen je za tem?
Gradimo grafe:
Katera funkcija se poveča hitreje pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Katera funkcija se hitreje zmanjša pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Na intervalu, katera od funkcij ima višja vrednost na določeni točki?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprej poglejmo obseg definicije teh funkcij. Ali sovpadajo?
Da, domena teh funkcij so vsa realna števila.
Poimenujte obseg vsake od teh funkcij.
Območja teh funkcij sovpadajo: vsa pozitivna realna števila.
Določite vrsto monotonosti vsake funkcije.
Vse tri funkcije padajo skozi celotno definicijsko področje, saj so eksponentne z osnovo potenc, manjših od ena in večjih od nič.
Katera posebna točka obstaja na grafu eksponentne funkcije?
Kakšen pomen je za tem?
Ne glede na osnovo stopnje eksponentne funkcije, če eksponent vsebuje 0, potem je vrednost te funkcije 1.
Gradimo grafe:
Analizirajmo grafe. Koliko presečišč imata grafa funkcij?
Katera funkcija se hitreje zmanjša pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Katera funkcija se poveča hitreje pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?
Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?
Zakaj imajo eksponentne funkcije z različnimi bazami samo eno presečišče?
Eksponentne funkcije so strogo monotone v celotnem območju definiranja, zato se lahko sekajo le v eni točki.
Naslednja naloga se bo osredotočila na uporabo te lastnosti. Št. 000. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost dano funkcijo na danem intervalu a) . Spomnimo se, da strogo monotona funkcija zavzame najmanjšo in največjo vrednost na koncu danega segmenta. In če se funkcija povečuje, potem je najvišjo vrednost bo na desnem koncu odseka, najmanjši pa na levem koncu odseka (prikaz na plakatu na primeru eksponentne funkcije). Če je funkcija padajoča, bo njena največja vrednost na levem koncu odseka, najmanjša pa na desnem koncu odseka (prikaz na plakatu na primeru eksponentne funkcije). Funkcija narašča, ker bo zato najmanjša vrednost funkcije v točki https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Točke b) 
, V) 
d) sami rešite zvezke, ustno jih bomo preverili.
Učenci nalogo rešijo v zvezkih
|
Zmanjševanje funkcije
|
Zmanjševanje funkcije
|
Povečanje funkcije
|
največja vrednost funkcije na segmentu
najmanjša vrednost funkcije na segmentu
najmanjša vrednost funkcije na segmentu
največja vrednost funkcije na segmentu- št. 000. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost dane funkcije na danem intervalu a) 
. Ta naloga je skoraj enaka prejšnji. Toda tukaj ni dano odsek, ampak žarek. Vemo, da funkcija narašča in nima niti največje niti najmanjše vrednosti na celotni številski premici https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, in teži k , tj. na žarku funkcija pri teži k 0, vendar nima lastne najnižjo vrednost, največjo vrednost pa ima v točki 
. Točke b) 
, V) 
, G) 
Sami rešite zvezke, ustno jih bomo preverili.
Večinska odločitev matematične težave je nekako povezana s pretvorbo numeričnih, algebrskih ali funkcionalnih izrazov. Navedeno velja predvsem za odločitev. V različicah enotnega državnega izpita iz matematike ta vrsta problema vključuje zlasti nalogo C3. Naučiti se reševati naloge C3 ni pomembno le zaradi uspeha opravljanje enotnega državnega izpita, ampak tudi zato, ker bo ta veščina uporabna pri učenju matematike v srednji šoli.
Ko opravljate naloge C3, se morate odločiti različne vrste enačbe in neenačbe. Med njimi so racionalni, iracionalni, eksponentni, logaritmični, trigonometrični, ki vsebujejo module (absolutne vrednosti), pa tudi kombinirani. Ta članek obravnava glavne vrste eksponentnih enačb in neenačb ter različne metode za njihovo reševanje. Preberite o reševanju drugih vrst enačb in neenačb v razdelku »« v člankih, posvečenih metodam reševanja problemov C3 iz Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki.
Preden začnemo analizirati specifične eksponentne enačbe in neenačbe, kot mentorica matematike predlagam, da obnovite nekaj teoretičnega gradiva, ki ga bomo potrebovali.
Eksponentna funkcija
Kaj je eksponentna funkcija?
Funkcija obrazca l = a x, Kje a> 0 in a≠ 1 se imenuje eksponentna funkcija.
Osnovno lastnosti eksponentne funkcije l = a x:
Graf eksponentne funkcije
Graf eksponentne funkcije je eksponent:
Grafi eksponentnih funkcij (eksponenti)
Reševanje eksponentnih enačb
Indikativno imenujemo enačbe, v katerih se neznana spremenljivka nahaja le v eksponentih nekaterih potenc.
Rešiti eksponentne enačbe poznati in znati morate uporabiti naslednji preprost izrek:
1. izrek. Eksponentna enačba a f(x) = a g(x) (Kje a > 0, a≠ 1) je enakovredna enačbi f(x) = g(x).
Poleg tega si je koristno zapomniti osnovne formule in operacije s stopnjami:
Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}
Primer 1. Reši enačbo:
rešitev: Uporabljamo zgornje formule in zamenjavo:
Enačba potem postane:
Diskriminator prejetega kvadratna enačba pozitivno:
Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}
To pomeni, da podana enačba ima dve korenini. Najdemo jih:
Če preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:
Druga enačba je brez korenov, saj je eksponentna funkcija strogo pozitivna skozi celotno domeno definicije. Rešimo drugo:
Ob upoštevanju povedanega v izreku 1 preidemo na ekvivalentno enačbo: x= 3. To bo odgovor na nalogo.
odgovor: x = 3.
Primer 2. Reši enačbo:
rešitev: Enačba nima omejitev glede obsega dovoljenih vrednosti, saj je radikalni izraz smiseln za vsako vrednost x(eksponentna funkcija l = 9 4 -x pozitivno in ni enako nič).
Enačbo rešimo z ekvivalentnimi transformacijami po pravilih množenja in deljenja potenc:
Zadnji prehod je bil izveden v skladu s teoremom 1.
odgovor:x= 6.
Primer 3. Reši enačbo:
rešitev: obe strani prvotne enačbe lahko delimo z 0,2 x . Ta prehod bo enakovreden, saj je ta izraz večji od nič za katero koli vrednost x(eksponentna funkcija je strogo pozitivna v svoji definicijski domeni). Nato ima enačba obliko:
odgovor: x = 0.
Primer 4. Reši enačbo:
rešitev: enačbo poenostavimo na elementarno z ekvivalentnimi transformacijami z uporabo pravil deljenja in množenja potenc, navedenih na začetku članka:
Obe strani enačbe delimo s 4 x, kot v prejšnjem primeru, je enakovredna transformacija, saj ta izraz ni enak nič za nobeno vrednost x.
odgovor: x = 0.
Primer 5. Reši enačbo:
rešitev: funkcijo l = 3x, ki stoji na levi strani enačbe, narašča. funkcija l = —x-2/3 na desni strani enačbe se zmanjšuje. To pomeni, da če se grafi teh funkcij sekajo, potem največ ena točka. IN v tem primeru ni težko uganiti, da se grafa sekata v točki x= -1. Drugih korenin ne bo.
odgovor: x = -1.
Primer 6. Reši enačbo:
rešitev: enačbo poenostavimo z ekvivalentnimi transformacijami, pri čemer povsod upoštevamo, da je eksponentna funkcija strogo večja od nič za vsako vrednost x in z uporabo pravil za izračun zmnožka in kvocienta potenc, podanih na začetku članka:
odgovor: x = 2.
Reševanje eksponentnih neenačb
Indikativno imenujemo neenačbe, v katerih je neznana spremenljivka vsebovana samo v eksponentih nekaterih potenc.
Rešiti eksponentne neenakosti potrebno je poznavanje naslednjega izreka:
2. izrek.če a> 1, potem neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti istega pomena: f(x) > g(x). Če je 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti nasprotnega pomena: f(x) < g(x).
Primer 7. Reši neenačbo:
rešitev: Predstavimo izvirno neenakost v obliki:
Delimo obe strani te neenakosti s 3 2 x, v tem primeru (zaradi pozitivnosti funkcije l= 3 2x) znak neenakosti se ne spremeni:
Uporabimo zamenjavo:
Potem bo neenakost v obliki:
Torej je rešitev neenakosti interval:
če preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:
Leva neenakost je zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije samodejno izpolnjena. Z dobro znano lastnostjo logaritma preidemo na ekvivalentno neenakost:
Ker je osnova stopnje število, večje od ena, je enakovreden (po izreku 2) prehod na naslednjo neenakost:
Torej, končno smo dobili odgovor:
Primer 8. Reši neenačbo:
rešitev: Z uporabo lastnosti množenja in deljenja potenc neenakost prepišemo v obliki:
Predstavimo novo spremenljivko:
Ob upoštevanju te zamenjave ima neenakost obliko:
Če pomnožimo števec in imenovalec ulomka s 7, dobimo naslednjo enakovredno neenakost:
Torej je neenakost izpolnjena naslednje vrednosti spremenljivka t:
Potem, ko preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:
Ker je osnova stopnje tukaj večja od ena, bo prehod na neenakost enakovreden (po izreku 2):
Končno dobimo odgovor:
Primer 9. Reši neenačbo:
rešitev:
Obe strani neenakosti delimo z izrazom:
Vedno je večja od nič (zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije), zato predznaka neenakosti ni treba spreminjati. Dobimo:
t, ki se nahaja v intervalu:
Če nadaljujemo z obratno zamenjavo, ugotovimo, da se prvotna neenakost razdeli na dva primera:
Prva neenačba zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije nima rešitev. Rešimo drugo:
Primer 10. Reši neenačbo:
rešitev:
Veje parabole l = 2x+2-x 2 je usmerjena navzdol, zato je od zgoraj omejena z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:
Veje parabole l = x 2 -2x+2 v indikatorju je usmerjen navzgor, kar pomeni, da je od spodaj omejen z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:
Hkrati se izkaže, da je funkcija omejena tudi od spodaj l = 3 x 2 -2x+2, kar je na desni strani enačbe. Svojo najmanjšo vrednost doseže na isti točki kot parabola v eksponentu in ta vrednost je 3 1 = 3. Torej je prvotna neenakost lahko resnična le, če funkcija na levi in funkcija na desni prevzameta vrednost , enako 3 (sečišče obsegov vrednosti teh funkcij je samo to število). Ta pogoj je izpolnjen v eni sami točki x = 1.
odgovor: x= 1.
Da bi se naučil odločati eksponentne enačbe in neenakosti v njihovem reševanju se je treba nenehno uriti. Pri tej težki nalogi vam lahko pomagajo različne stvari. metodološki priročniki, naloge za osnovno matematiko, zbirke tekmovalnih nalog, pouk matematike v šoli, pa tudi individualne ure s strokovnim mentorjem. Iskreno vam želim uspešno pripravo in odlične rezultate na izpitu.
Sergej Valerievič
P.S. Dragi gostje! Prosimo, da v komentarjih ne pišete prošenj za rešitev vaših enačb. Na žalost nimam čisto nič časa za to. Takšna sporočila bodo izbrisana. Preberite članek. Morda boste v njej našli odgovore na vprašanja, ki vam niso omogočila, da bi sami rešili svojo nalogo.
Eksponentna funkcija
Funkcija oblike y = a x , kjer je a večji od nič in a ni enak ena, se imenuje eksponentna funkcija. Osnovne lastnosti eksponentne funkcije:
1. Definicijsko področje eksponentne funkcije bo množica realnih števil.
2. Razpon vrednosti eksponentne funkcije bo niz vseh pozitivnih realnih števil. Včasih je ta niz zaradi kratkosti označen kot R+.
3. Če je v eksponentni funkciji baza a večja od ena, potem bo funkcija naraščajoča na celotnem področju definicije. Če je v eksponentni funkciji za osnovo a izpolnjen naslednji pogoj 0
4. Veljavne bodo vse osnovne lastnosti diplom. Glavne lastnosti stopinj so predstavljene z naslednjimi enačbami:
a x *a l = a (x+y) ;
(a x )/(a l ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a l );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x ) l = a (x * y) .
Te enakosti bodo veljavne za vse realne vrednosti x in y.
5. Graf eksponentne funkcije vedno poteka skozi točko s koordinatami (0;1)
6. Glede na to, ali eksponentna funkcija narašča ali pada, bo njen graf imel eno od dveh oblik.
Naslednja slika prikazuje graf naraščajoče eksponentne funkcije: a>0.
Naslednja slika prikazuje graf padajoče eksponentne funkcije: 0
Tako graf naraščajoče eksponentne funkcije kot tudi graf padajoče eksponentne funkcije gresta po lastnosti, opisani v petem odstavku, skozi točko (0;1).
7. Eksponentna funkcija nima točk ekstrema, z drugimi besedami, nima točke minimuma in maksimuma funkcije. Če upoštevamo funkcijo na katerem koli specifičnem segmentu, bo funkcija prevzela najmanjšo in največjo vrednost na koncu tega intervala.
8. Funkcija ni soda ali liha. Eksponentna funkcija je funkcija splošni pogled. To je razvidno iz grafov, nobeden od njih ni simetričen ne glede na os Oy ne glede na izhodišče koordinat.
Logaritem
Logaritmi so vedno veljali za težko temo šolski tečaj matematika. Obstaja veliko različnih definicij logaritma, vendar iz nekega razloga večina učbenikov uporablja najbolj zapleteno in neuspešno od njih.
Logaritem bomo definirali preprosto in jasno. Če želite to narediti, ustvarimo tabelo:
Torej, imamo moči dvojke. Če vzamete številko iz spodnje vrstice, zlahka najdete moč, na katero boste morali dvigniti dve, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dvigniti dve na četrto potenco. In da bi dobili 64, morate dve dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.
In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:
Opredelitev
Logaritem za osnovo a argumenta x je potenca, na katero je treba število dvigniti a da dobim številko x.
Imenovanje
log a x = b
kjer je a osnova, x je argument, b - pravzaprav čemu je enak logaritem.
Na primer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritem z osnovo 2 od 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Z enakim uspehom zapišite 2 64 = 6, saj je 2 6 = 64.
Imenuje se operacija iskanja logaritma števila na dano osnovologaritem . Torej, dodajmo k naši tabeli nova vrstica:
Na žalost ni vseh logaritmov mogoče izračunati tako preprosto. Na primer, poskusite najti log 2 5. Števila 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na intervalu. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем več diplome dvojke, večje je število.
Takšna števila imenujemo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko pišemo ad infinitum in se nikoli ne ponavljajo. Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, ga je bolje pustiti tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnova in argument). Marsikdo sprva zamenjuje, kje je osnova in kje argument. Da ne bi prišlo do nadležnih nesporazumov, samo poglejte sliko:
Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Ne pozabite: logaritem je potenca , v katerega je treba vgraditi osnovo, da dobimo argument. To je baza, ki je dvignjena na potenco - na sliki je označena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! Svojim učencem povem to čudovito pravilo že na prvi lekciji - in ne pride do zmede.
Ugotovili smo definicijo - ostalo je le, da se naučimo šteti logaritme, tj. znebite se znaka "hlod". Za začetek ugotavljamo, da Iz definicije sledi dvoje pomembna dejstva:
Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz definicije stopnje z racionalnim eksponentom, na katerega se reducira definicija logaritma.
Osnova mora biti drugačna od ene, saj eno v kateri koli meri še vedno ostaja eno. Zaradi tega je vprašanje, »na kakšno moč se je treba povzdigniti, da dobiš dva«, nesmiselno. Te diplome ni!
Takšne omejitve se imenujejo razpon sprejemljivih vrednosti(ODZ). Izkazalo se je, da je logaritmov ODZ videti takole: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Upoštevajte to brez omejitev števila b (logaritemska vrednost) se ne prekriva. Na primer, logaritem je lahko negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1.
Vendar pa zdaj obravnavamo le numerične izraze, kjer ni potrebno poznati VA logaritma. Vse omejitve so avtorji problemov že upoštevali. Ko pa pridejo v poštev logaritemske enačbe in neenakosti, bodo zahteve DL postale obvezne. Navsezadnje lahko osnova in argument vsebujeta zelo močne konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.
zdaj upoštevajte splošno shema za računanje logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:
Navedite razlog a in argument x v obliki potence z najmanjšo možno osnovo, večjo od ena. Spotoma se je bolje znebiti decimalk;
Reši glede na spremenljivko b enačba: x = a b ;
Dobljeno število b bo odgovor.
To je to! Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, bo to vidno že v prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Enako z decimalke: če jih takoj pretvoriš v običajne, bo veliko manj napak.
Poglejmo, kako ta shema deluje naprej konkretni primeri:
Izračunajte logaritem: log 5 25
Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco števila pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Sestavimo in rešimo enačbo:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Prejeli smo odgovor: 2.
Izračunajte logaritem:
Predstavljajmo si bazo in argument kot potenco števila tri: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Sestavimo in rešimo enačbo:
Dobili smo odgovor: −4.
−4
Izračunaj logaritem: log 4 64
Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Sestavimo in rešimo enačbo:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Prejeli smo odgovor: 3.
Izračunajte logaritem: log 16 1
Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Sestavimo in rešimo enačbo:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Prejeli smo odgovor: 0.
Izračunaj logaritem: log 7 14
Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco števila sedem: 7 = 7 1 ; 14 ni mogoče predstaviti kot potenco števila sedem, saj je 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prejšnjega odstavka sledi, da logaritem ne šteje;
Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.
dnevnik 7 14
Majhna opomba k zadnjemu primeru. Kako ste lahko prepričani, da število ni natančna potenca drugega števila? Zelo preprosto je – samo razdelite ga na glavni dejavniki. Če ima razširitev vsaj dva različna faktorja, število ni natančna potenca.
Ugotovi, ali so števila točne potence: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - natančna stopnja, ker obstaja samo en množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ni natančna potenca, saj sta faktorja dva: 3 in 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - natančna stopnja;
35 = 7 · 5 - spet ni natančna potenca;
14 = 7 · 2 - spet ni natančna stopnja;
8, 81 - natančna stopnja; 48, 35, 14 - št.
Naj še opozorimo, da smo sami praštevila so vedno natančne stopnje zase.
Decimalni logaritem
Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in simbol.
Opredelitev
Decimalni logaritem iz argumenta x je logaritem z osnovo 10, tj. potenco, na katero je treba dvigniti število 10, da dobimo število x.
Imenovanje
lg x
Na primer, dnevnik 10 = 1; dnevnik 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.
Ko se odslej v učbeniku pojavi stavek, kot je »Najdi lg 0,01«, vedite: to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Vendar, če niste seznanjeni s tem zapisom, ga lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x
Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalne logaritme.
Naravni logaritem
Obstaja še en logaritem, ki ima svojo oznako. Na nek način je celo pomembnejši od decimalke. Govorimo o naravnem logaritmu.
Opredelitev
Naravni logaritem iz argumenta x je logaritem na osnovi e , tj. potenco, na katero je treba število dvigniti e da dobim številko x.
Imenovanje
v x
Marsikdo se bo vprašal: kaj je število e? To je iracionalno število, njegovo natančna vrednost nemogoče najti in zabeležiti. Navedel bom le prve številke:
e = 2,718281828459...
Ne bomo se spuščali v podrobnosti o tem, kaj je ta številka in zakaj je potrebna. Samo zapomnite si, da e - osnova naravnega logaritma:
ln x = log e x
Tako je ln e = 1; ln e 2 = 2; V 16 = 16 - itd. Po drugi strani pa je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila iracionalen. Razen seveda enega: ln 1 = 0.
Za naravni logaritmi veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.
Osnovne lastnosti logaritmov
Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso čisto navadna števila, imajo svoja pravila, ki jim rečemo osnovne lastnosti.
Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.
Seštevanje in odštevanje logaritmov
Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in log a y . Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:
dnevnik a x +log a y =log a ( x · l );
dnevnik a x − dnevnik a y =log a ( x : l ).
Torej, vsota logaritmov je enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je ista podlaga. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!
Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz tudi če njegovi posamezni deli niso šteti (glej lekcijo “ "). Oglejte si primere in si oglejte:
Poiščite vrednost izraza: log 6 4 + log 6 9.
Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Poišči vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.
Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Poišči vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.
Osnove so spet enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi so zgrajeni na tem dejstvu testi. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).
Ekstrakcija eksponenta iz logaritma
Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem eksponent te stopnje lahko vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:
Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.
seveda Vsa ta pravila so smiselna, če upoštevamo ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.
Poišči vrednost izraza: log 7 49 6 .
Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Poiščite pomen izraza:
Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:
Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Vse do samega zadnji trenutek delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.
Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.
Prehod na novo podlago
Ko sem govoril o pravilih seštevanja in odštevanja logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?
Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:
Izrek
Naj bo dan logaritem a x . Potem za poljubno število c tako, da je c > 0 in c ≠ 1 velja enakost:
Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:
Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.
Te formule redko najdemo v običajnih številski izrazi. Kako priročni so, je mogoče oceniti le z odločitvijo logaritemske enačbe in neenakosti.
Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:
Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.
Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:
Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.
Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.
Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:
Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:
Osnovna logaritemska identiteta
Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:
V prvem primeru številka n postane pokazatelj stopnje veljave v argumentu. številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je le logaritemska vrednost.
Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje:osnovna logaritemska identiteta.
Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se ob njem zatakne.
Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.
Naloga
Poiščite pomen izraza:
rešitev
Upoštevajte, da je dnevnik 25 64 = dnevnik 5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Upoštevanje pravil za množenje potenc s enaka osnova, dobimo:
200
Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)
Logaritemska enota in logaritemska ničla
Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.
log a a = 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na poljubno osnovo a iz te baze je enako ena.
log a 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica definicije.
To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi!
EKSPONENTARNE IN LOGARITEMSKE FUNKCIJE VIII
§ 179 Osnovne lastnosti eksponentne funkcije
V tem razdelku bomo preučili osnovne lastnosti eksponentne funkcije
y = a x (1)
Spomnimo se, da pod A v formuli (1) mislimo katero koli fiksno pozitivno število, ki ni 1.
Lastnost 1. Domena eksponentne funkcije je množica vseh realnih števil.
Pravzaprav s pozitivnim A izražanje A x definirana za poljubno realno število X .
Lastnost 2. Eksponentna funkcija sprejema samo pozitivne vrednosti.
Res, če X > 0, potem je, kot je bilo dokazano v § 176,
A x > 0.
če X <. 0, то
A x =
kje - X že več kot nič. zato A - x > 0. Ampak potem
A x = > 0.
Končno, kdaj X = 0
A x = 1.
2. lastnost eksponentne funkcije ima preprosto grafično razlago. To je v tem, da se graf te funkcije (glej sliki 246 in 247) nahaja povsem nad osjo abscise.
Nepremičnina 3. če A >1, takrat ko X > 0 A x > 1, in kdaj X < 0 A x < 1. če A < 1, тoh, nasprotno, kdaj X > 0 A x < 1, in kdaj X < 0 A x > 1.
Ta lastnost eksponentne funkcije omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo. pri A > 1 (slika 246) krivulj y = a x ki se nahaja nad ravno črto pri = 1 at X > 0 in pod ravno črto pri = 1 at X < 0.
če A < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x ki se nahaja pod ravno črto pri = 1 at X > 0 in nad to premico pri X < 0.
Naj podamo strog dokaz 3. lastnosti. Naj A > 1 in X - poljubno pozitivno število. Pokažimo to
A x > 1.
Če število X racionalno ( X = m / n ), To A x = A m/ n = n √a m .
Ker A > 1, torej A m > 1, vendar je koren števila, večjega od ena, očitno tudi večji od 1.
če X je iracionalno, potem obstajajo pozitivna racionalna števila X" in X" , ki služijo kot decimalni približki števila x :
X"< х < х" .
Ampak potem, po definiciji stopnje z iracionalnim eksponentom
A x" < A x < A x"" .
Kot je prikazano zgoraj, številka A x" več kot enega. Zato število A x , večji od A x" , mora biti tudi večji od 1,
Torej, pokazali smo, da kdaj a >1 in poljubno pozitivno X
A x > 1.
Če število X bil negativen, potem bi imeli
A x =
kjer je številka X bi bilo že pozitivno. zato A - x > 1. Zato,
A x = < 1.
Torej, ko A > 1 in poljubno negativno x
A x < 1.
Primer, ko je 0< A < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Lastnina 4. Če x = 0, potem ne glede na a A x =1.
To izhaja iz definicije stopinje nič; ničelna potenca katerega koli števila, ki ni nič, je enaka 1. Grafično je ta lastnost izražena v dejstvu, da za katero koli A krivulja pri = A x (glej sliki 246 in 247) seka os pri v točki z ordinato 1.
Lastnina 5. pri A >1 eksponentna funkcija = A x monotono narašča in za a < 1 - monotono padajo.
Ta lastnost omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo.
pri A > 1 (slika 246) krivulja pri = A x z rastjo X dviguje vse višje in ko A < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Naj podamo strog dokaz 5. lastnosti.
Naj A > 1 in X 2 > X 1. Pokažimo to
A x 2 > A x 1
Ker X 2 > X 1., potem X 2 = X 1 + d , Kje d - neko pozitivno število. zato
A x 2 - A x 1 = A x 1 + d - A x 1 = A x 1 (A d - 1)
Z 2. lastnostjo eksponentne funkcije A x 1 > 0. Ker d > 0, potem s 3. lastnostjo eksponentne funkcije A d > 1. Oba dejavnika v izdelku A x 1 (A d - 1) so pozitivni, zato je ta izdelek sam pozitiven. pomeni, A x 2 - A x 1 > 0 oz A x 2 > A x 1, kar je bilo treba dokazati.
Torej, kdaj a > 1 funkcija pri = A x monotono narašča. Podobno je dokazano, da ko A < 1 функция pri = A x se monotono zmanjšuje.
Posledica. Če sta dve potenci istega pozitivnega števila, ki ni 1, enaki, sta njuna eksponenta enaka.
Z drugimi besedami, če
A b = A c (A > 0 in A =/= 1),
b = c .
Dejansko, če številke b in z niso bili enaki, potem zaradi monotonosti funkcije pri = A x večji od njih bi ustrezal A >1 večji in kdaj A < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или A b > A c , oz A b < A c . Oboje je v nasprotju s pogojem A b = A c . Ostaja še to priznati b = c .
Lastnina 6. Če a > 1, nato z neomejenim povečanjem argumenta X (X -> ∞ ) funkcijske vrednosti pri = A x tudi rastejo v nedogled (pri -> ∞ ). Ko se argument neomejeno zmanjša X (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije se nagibajo k ničli, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0).
Ob upoštevanju monotonosti zgoraj dokazane funkcije pri = A x , lahko rečemo, da je v obravnavanem primeru funkcija pri = A x monotono narašča od 0 do ∞ .
če 0 <A < 1, potem z neomejenim povečanjem argumenta x (x -> ∞) se vrednosti funkcije y = a x nagibajo k ničli, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0). Ko se argument x neomejeno zmanjšuje (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije rastejo neomejeno (pri -> ∞ ).
Zaradi monotonosti funkcije y = a x lahko rečemo, da v tem primeru funkcija pri = A x monotono pada od ∞ na 0.
6. lastnost eksponentne funkcije je jasno prikazana na slikah 246 in 247. Ne bomo je strogo dokazovali.
Vse, kar moramo storiti, je določiti obseg variacije eksponentne funkcije y = a x (A > 0, A =/= 1).
Zgoraj smo dokazali, da funkcija y = a x ima samo pozitivne vrednosti in bodisi monotono narašča od 0 do ∞ (pri A > 1) ali monotono pada od ∞ na 0 (na 0< A <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x So kakšni preskoki pri menjavi? Ali ima kakšne pozitivne vrednosti? To vprašanje je pozitivno rešeno. če A > 0 in A =/= 1, potem karkoli že je pozitivno število pri 0 se zagotovo najde X 0, tako da
A x 0 = pri 0 .
(Zaradi monotonosti funkcije y = a x določeno vrednost X 0 bo seveda edini.)
Dokazovanje tega dejstva presega obseg našega programa. Njegova geometrijska razlaga je, da za vsako pozitivno vrednost pri 0 funkcijski graf y = a x se bo zagotovo sekala z ravno črto pri = pri 0 in poleg tega le v eni točki (slika 248).
Iz tega lahko potegnemo naslednji sklep, ki ga oblikujemo kot lastnost 7.
Lastnina 7. Območje spremembe eksponentne funkcije y = a x (A > 0, A =/= 1)je množica vseh pozitivnih števil.
vaje
1368. Poiščite domene definicije naslednjih funkcij:
1369. Katero od teh števil je večje od 1 in katero manjše od 1:
1370. Na podlagi katere lastnosti eksponentne funkcije lahko trdimo, da
a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2
1371. Katero število je večje:
A) π - √3 ali (1/ π ) - √3 ; c) (2 / 3) 1 + √6 ali (2 / 3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 ali ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 ali (√3) √3 - 2 ?
1372. Ali sta neenačbi enakovredni:
1373. Kaj lahko rečemo o številkah X in pri , Če a x = in y , Kje A - dano pozitivno število?
1374. 1) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2x označite:
2) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2 | x| označite:
a) največja vrednost; b) najmanjšo vrednost?