Navodila
Zapišite dano logaritemski izraz. Če izraz uporablja logaritem 10, je njegov zapis skrajšan in izgleda takole: lg b je decimalni logaritem. Če ima logaritem za osnovo število e, potem zapišite izraz: ln b – naravni logaritem. Razume se, da je rezultat any potenca, na katero je treba dvigniti osnovno število, da dobimo število b.
Pri iskanju vsote dveh funkcij ju preprosto ločite eno za drugo in seštejte rezultate: (u+v)" = u"+v";
Pri iskanju odvoda produkta dveh funkcij je treba odvod prve funkcije pomnožiti z drugo in dodati odvod druge funkcije, pomnožen s prvo funkcijo: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Da bi našli odvod količnika dveh funkcij, je treba od produkta odvoda dividende, pomnoženega s funkcijo delitelja, odšteti produkt odvoda delitelja, pomnoženega s funkcijo dividende, in deliti vse to s funkcijo delitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Če je dano kompleksna funkcija, potem je treba pomnožiti odvod notranje funkcije in odvod zunanje. Naj bo y=u(v(x)), potem je y"(x)=y"(u)*v"(x).
Z uporabo zgornjih rezultatov lahko ločite skoraj vsako funkcijo. Oglejmo si torej nekaj primerov:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Težave so tudi pri izračunu derivata v točki. Naj bo podana funkcija y=e^(x^2+6x+5), vrednost funkcije morate najti v točki x=1.
1) Poiščite odvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Izračunaj vrednost funkcije v dano točko y"(1)=8*e^0=8
Video na temo
Naučite se tabele elementarnih odvodov. To bo znatno prihranilo čas.
Viri:
- derivat konstante
Kakšna je torej razlika med iracionalno in racionalno enačbo? Če je neznana spremenljivka pod znakom kvadratni koren, potem enačba velja za iracionalno.
Navodila
Glavna metoda za reševanje takih enačb je metoda konstruiranja obeh strani enačbe v kvadrat. Vendar. to je naravno, prva stvar, ki jo morate storiti, je, da se znebite znaka. Ta metoda tehnično ni težka, včasih pa lahko povzroči težave. Na primer, enačba je v(2x-5)=v(4x-7). Če kvadrirate obe strani, dobite 2x-5=4x-7. Reševanje takšne enačbe ni težko; x=1. Toda številka 1 ne bo dana enačbe. Zakaj? V enačbo zamenjajte eno namesto vrednosti x. Desna in leva stran bosta vsebovali izraze, ki nimajo smisla, tj. Ta vrednost ni veljavna za kvadratni koren. Zato je 1 tuja korenina in zato ta enačba nima korenin.
Iracionalno enačbo torej rešimo z metodo kvadriranja obeh njenih strani. In po rešitvi enačbe je treba odrezati tuje korenine. Če želite to narediti, zamenjajte najdene korenine v prvotno enačbo.
Razmislite o drugem.
2х+vх-3=0
Seveda je to enačbo mogoče rešiti z uporabo iste enačbe kot prejšnjo. Premaknite spojine enačbe, ki nimajo kvadratnega korena, na desno stran in nato uporabite metodo kvadriranja. reši dobljeno racionalno enačbo in korene. A tudi druga, bolj elegantna. Vnesite novo spremenljivko; vх=y. V skladu s tem boste prejeli enačbo v obliki 2y2+y-3=0. Se pravi običajno kvadratna enačba. Poiščite njene korenine; y1=1 in y2=-3/2. Nato reši dva enačbe vх=1; vх=-3/2. Druga enačba nima korenin; iz prve ugotovimo, da je x=1. Ne pozabite preveriti korenin.
Reševanje identitet je povsem preprosto. Za to je potrebno izvajati enake transformacije, dokler ni dosežen zastavljeni cilj. Tako bo s pomočjo preprostih aritmetičnih operacij zastavljen problem rešen.
Potrebovali boste
- - papir;
- - pero.
Navodila
Najenostavnejša takšna preoblikovanja so algebrska skrajšana množenja (kot so kvadrat vsote (razlika), razlika kvadratov, vsota (razlika), kub vsote (razlika)). Poleg tega obstaja veliko in trigonometrične formule, ki sta v bistvu enaki identiteti.
Dejansko je kvadrat vsote dveh členov enak kvadratu prvega plus dvakratni produkt prvega z drugim in plus kvadrat drugega, to je (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Poenostavite oboje
Splošna načela rešitve
Ponovite iz učbenika matematične analize ali višje matematike, kaj je določen integral. Kot je znano, rešitev določen integral obstaja funkcija, katere odvod daje integrand. Ta funkcija se imenuje antiderivat. Na podlagi tega principa so zgrajeni glavni integrali.Z obliko integranda ugotovi, kateri izmed integralov tabele sodi vanj v tem primeru. Tega ni vedno mogoče takoj ugotoviti. Pogosto postane tabelarična oblika opazna šele po več transformacijah za poenostavitev integranda.
Metoda zamenjave spremenljivke
Če je funkcija integrand trigonometrična funkcija, katerega argument vsebuje nek polinom, nato poskusite uporabiti metodo zamenjave spremenljivke. Da bi to naredili, zamenjajte polinom v argumentu integranda z neko novo spremenljivko. Na podlagi razmerja med novimi in starimi spremenljivkami določite nove meje integracije. Z razlikovanjem tega izraza poiščite nov diferencial v . Torej boste dobili nov videz prejšnjega integrala, ki je blizu ali celo ustreza kateremu koli tabelarnemu.Reševanje integralov druge vrste
Če je integral integral druge vrste, vektorska oblika integranda, potem boste morali uporabiti pravila za prehod iz teh integralov v skalarne. Eno takšnih pravil je relacija Ostrogradsky-Gauss. Ta zakon nam omogoča prehod od rotorskega fluksa določene vektorske funkcije do trojnega integrala glede na divergenco danega vektorskega polja.Zamenjava integracijskih mej
Po najdbi protiizpeljave je treba zamenjati limite integracije. Najprej zamenjajte vrednost zgornje meje v izraz za antiizpeljavo. Dobili boste nekaj številk. Nato od dobljenega števila odštejemo drugo število, dobljeno iz spodnje meje v protiizpeljavo. Če je ena od mej integracije neskončnost, potem je treba pri zamenjavi v antiderivacijsko funkcijo iti do meje in ugotoviti, h čemu teži izraz.Če je integral dvodimenzionalen ali tridimenzionalen, boste morali meje integracije predstaviti geometrijsko, da boste razumeli, kako ovrednotiti integral. V primeru, recimo, tridimenzionalnega integrala, so meje integracije lahko celotne ravnine, ki omejujejo prostornino, ki se integrira.
Danes se bomo naučili reševati najenostavnejše logaritemske enačbe, kjer niso potrebne predhodne transformacije ali izbiranje korenov. Ampak, če se naučiš reševati takšne enačbe, potem bo veliko lažje.
Najenostavnejša logaritemska enačba je enačba oblike log a f (x) = b, kjer sta a, b števili (a > 0, a ≠ 1), f (x) je določena funkcija.
Posebnost vseh logaritemskih enačb je prisotnost spremenljivke x pod znakom logaritma. Če je to enačba, ki je bila prvotno podana v nalogi, se imenuje najenostavnejša. Morebitne druge logaritemske enačbe reduciramo na najpreprostejše s posebnimi transformacijami (glej “Osnovne lastnosti logaritmov”). Vendar je treba upoštevati številne tankosti: lahko se pojavijo dodatni koreni, zato bomo kompleksne logaritemske enačbe obravnavali ločeno.
Kako rešiti take enačbe? Dovolj je, da številko desno od enačaja nadomestimo z logaritmom v isti osnovi kot levo. Potem se lahko znebite znaka logaritma. Dobimo:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Dobili smo običajno enačbo. Njegove korenine so korenine izvirne enačbe.
Jemanje diplom
Pogosto so logaritemske enačbe, ki so navzven videti zapletene in grozeče, rešene dobesedno v nekaj vrsticah brez vključevanja kompleksne formule. Danes si bomo ogledali prav takšne naloge, kjer se od vas zahteva le, da formulo skrbno reducirate na kanonično obliko in se ne zmedete pri iskanju domene definicije logaritmov.
Danes bomo, kot ste verjetno uganili iz naslova, reševali logaritemske enačbe s pomočjo formul za prehod v kanonično obliko. Glavni »trik« te video lekcije bo delo s stopnjami oziroma izpeljava stopnje iz osnove in argumenta. Poglejmo pravilo:
Podobno lahko stopnjo izpeljete iz osnove:
Kot lahko vidimo, če imamo, ko odstranimo stopnjo iz argumenta logaritma, preprosto dodaten faktor spredaj, potem, ko odstranimo stopnjo iz osnove, ne dobimo le faktorja, ampak obrnjen faktor. To si je treba zapomniti.
Končno, najbolj zanimiva stvar. Te formule lahko združimo, potem dobimo:
Seveda se pri teh prehodih pojavljajo določene pasti, povezane z morebitnim širjenjem obsega definicije ali, nasprotno, zoženjem obsega definicije. Presodite sami:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Če je v prvem primeru x lahko katerokoli drugo število kot 0, tj. zahteva x ≠ 0, potem se v drugem primeru zadovoljimo samo z x, ki pa ne samo, da nista enaka, ampak sta strogo večja od 0, ker domena definicija logaritma je, da je argument strogo večji od 0. Zato vas bom spomnil na čudovito formulo iz tečaja algebre 8.-9.
To pomeni, da moramo našo formulo napisati na naslednji način:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Potem ne bo prišlo do zožitve obsega opredelitve.
Vendar v današnji video vadnici ne bo kvadratov. Če pogledate naše naloge, boste videli le korenine. Zato tega pravila ne bomo uporabili, vendar ga morate vseeno upoštevati, da boste ob pravem trenutku, ko vidite kvadratna funkcija v argumentu ali osnovi logaritma si boste zapomnili to pravilo in pravilno izvedli vse transformacije.
Prva enačba je torej:
Da bi rešili to težavo, predlagam, da natančno preučite vsakega od izrazov, ki so prisotni v formuli.
Prepišimo prvi člen kot potenco z racionalnim eksponentom:
Ogledamo si drugi člen: log 3 (1 − x). Tukaj ni treba storiti ničesar, tukaj je že vse spremenjeno.
Končno, 0, 5. Kot sem rekel v prejšnjih lekcijah, pri reševanju logaritemskih enačb in formul zelo priporočam prehod z decimalnih ulomkov na navadne. Naredimo to:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepišimo prvotno formulo ob upoštevanju izhajajočih izrazov:
log 3 (1 − x ) = 1
Zdaj pa preidimo na kanonično obliko:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Predznaka za logaritem se znebimo tako, da argumente izenačimo:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
To je to, rešili smo enačbo. Vendar pa še vedno igrajmo na varno in poiščimo domeno definicije. Če želite to narediti, se vrnimo k izvirni formuli in poglejmo:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Naš koren x = −2 izpolnjuje to zahtevo, zato je x = −2 rešitev prvotne enačbe. Zdaj smo dobili strogo, jasno utemeljitev. To je to, problem rešen.
Gremo k drugi nalogi:
Oglejmo si vsak termin posebej.
Zapišimo prvo:
Prvi termin smo preoblikovali. Delamo z drugim terminom:
Na koncu še zadnji člen, ki je desno od znaka enačaja:
Dobljene izraze nadomestimo namesto izrazov v dobljeni formuli:
log 3 x = 1
Preidimo na kanonično obliko:
log 3 x = log 3 3
Znebimo se znaka za logaritem, izenačimo argumente in dobimo:
x = 3
Še enkrat, da smo na varni strani, se vrnimo k prvotni enačbi in poglejmo. V izvirni formuli je spremenljivka x prisotna samo v argumentu, zato
x > 0
V drugem logaritmu je x pod korenom, vendar spet v argumentu, zato mora biti koren večji od 0, kar pomeni, da mora biti radikalni izraz večji od 0. Pogledamo naš koren x = 3. Očitno je izpolnjuje to zahtevo. Zato je x = 3 rešitev izvirne logaritemske enačbe. To je to, problem rešen.
V današnji video vadnici sta dve ključni točki:
1) ne bojte se transformirati logaritmov in še posebej se ne bojte vzeti moči iz znaka logaritma, pri tem pa se spomnite naše osnovne formule: ko odstranite moč iz argumenta, se preprosto vzame brez sprememb kot množitelj, pri jemanju potence iz osnove pa se ta potenca obrne.
2) druga točka je povezana s samo kanonično obliko. Prehod v kanonično obliko smo naredili čisto na koncu transformacije formule logaritemske enačbe. Naj vas spomnim na naslednjo formulo:
a = log b b a
Seveda z izrazom "poljubno število b" mislim na tista števila, ki izpolnjujejo zahteve, ki jih nalaga logaritem, tj.
1 ≠ b > 0
Za tak b in ker osnovo že poznamo, bo ta zahteva samodejno izpolnjena. Ampak za take b - vse, ki zadovoljijo to zahtevo — ta prehod lahko naredimo in uspelo nam bo kanonična oblika, v katerem se lahko znebite znaka za logaritem.
Razširitev domene definicije in dodatnih korenov
V procesu preoblikovanja logaritemskih enačb lahko pride do implicitne razširitve domene definicije. Pogosto učenci tega niti ne opazijo, kar vodi v napake in nepravilne odgovore.
Začnimo z najpreprostejšimi modeli. Najenostavnejša logaritemska enačba je naslednja:
log a f (x) = b
Upoštevajte, da je x prisoten samo v enem argumentu enega logaritma. Kako rešimo take enačbe? Uporabljamo kanonično obliko. Če želite to narediti, si predstavljajte število b = log a a b in naša enačba bo prepisana na naslednji način:
log a f (x) = log a a b
Ta vnos se imenuje kanonična oblika. Na to bi morali zmanjšati vsako logaritemsko enačbo, s katero se boste srečali ne le pri današnji lekciji, ampak tudi pri vsakem samostojnem in preizkusnem delu.
Kako priti do kanonične oblike in kakšne tehnike uporabiti, je stvar prakse. Glavna stvar, ki jo morate razumeti, je, da takoj, ko prejmete takšen zapis, lahko menite, da je težava rešena. Ker je naslednji korak pisanje:
f (x) = a b
Z drugimi besedami, znebimo se znaka za logaritem in preprosto izenačimo argumente.
Zakaj ves ta govor? Dejstvo je, da je kanonična oblika uporabna ne le za najpreprostejše probleme, ampak tudi za vse druge. Predvsem tiste, o katerih se bomo odločili danes. Poglejmo.
Prva naloga:
Kaj je problem s to enačbo? Dejstvo je, da je funkcija v dveh logaritmih hkrati. Težavo lahko zmanjšamo na najpreprostejšo tako, da preprosto odštejemo en logaritem od drugega. Toda težave se pojavijo z območjem definicije: lahko se pojavijo dodatne korenine. Torej samo premaknimo enega od logaritmov v desno:
Ta zapis je veliko bolj podoben kanonični obliki. Obstaja pa še en odtenek: v kanonični obliki morajo biti argumenti enaki. In na levi imamo logaritem z osnovo 3, na desni pa z osnovo 1/3. Ve, da je treba te baze spraviti na isto število. Na primer, spomnimo se, kaj so negativne moči:
In potem bomo kot množitelj uporabili eksponent »−1« zunaj dnevnika:
Upoštevajte: stopinja, ki je bila na dnu, se obrne in spremeni v ulomek. Dobili smo skoraj kanoničen zapis, ko smo se znebili različnih baz, v zameno pa smo dobili faktor "−1" na desni. Vključimo ta faktor v argument tako, da ga spremenimo v potenco:
Seveda, ko smo prejeli kanonično obliko, pogumno prečrtamo znak logaritma in izenačimo argumente. Hkrati naj vas spomnim, da ko se dvigne na moč "−1", se ulomek preprosto obrne - dobi se delež.
Uporabimo osnovno lastnost sorazmerja in ga pomnožimo navzkrižno:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Pred seboj imamo zgornjo kvadratno enačbo, zato jo rešujemo z uporabo Vietovih formul:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
To je to. Ali menite, da je enačba rešena? ne! Za takšno rešitev bomo prejeli 0 točk, ker izvirna enačba vsebuje dva logaritma s spremenljivko x. Zato je treba upoštevati domeno definicije.
In tu se začne zabava. Večina študentov je zmedenih: kaj je domena definicije logaritma? Seveda morajo biti vsi argumenti (imamo dva) večji od nič:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Vsako od teh neenačb je treba rešiti, označiti na premici, presekati in šele nato videti, katere korenine ležijo na presečišču.
Bom iskren: ta tehnika ima pravico do obstoja, je zanesljiva in dobili boste pravilen odgovor, vendar je v njej preveč nepotrebnih korakov. Pojdimo torej še enkrat skozi našo rešitev in poglejmo: kje točno moramo uporabiti obseg? Z drugimi besedami, jasno morate razumeti, kdaj se pojavijo dodatne korenine.
- Na začetku smo imeli dva logaritma. Nato smo enega od njih premaknili v desno, vendar to ni vplivalo na območje definicije.
- Nato bazi odvzamemo potenco, vendar sta še vedno dva logaritma in v vsakem od njiju je spremenljivka x.
- Na koncu prečrtamo znake logaritma in dobimo klasično ulomljeno racionalno enačbo.
Obseg definicije se razširi na zadnjem koraku! Takoj, ko smo prešli na ulomljeno-racionalno enačbo in se znebili logaritmov, so se zahteve za spremenljivko x dramatično spremenile!
Posledično domene definicije ne moremo obravnavati na samem začetku rešitve, ampak šele na omenjenem koraku - pred neposrednim enačenjem argumentov.
Tu je priložnost za optimizacijo. Po eni strani se od nas zahteva, da sta oba argumenta večja od nič. Po drugi strani te argumente še dodatno enačimo. Torej, če je vsaj eden od njih pozitiven, bo tudi drugi pozitiven!
Tako se izkaže, da je zahteva, da se izpolnita dve neenakosti hkrati, pretirana. Dovolj je, da upoštevamo le enega od teh ulomkov. Katero točno? Tisti, ki je preprostejši. Na primer, poglejmo desni ulomek:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
To je tipična ulomna racionalna neenakost, ki jo rešimo z uporabo intervalne metode:
Kako postaviti znake? Vzemimo število, ki je očitno večje od vseh naših korenin. Na primer, 1 milijardo in nadomestimo njen ulomek. Dobimo pozitivno število, tj. desno od korena x = 5 bo znak plus.
Nato se znaki izmenjujejo, ker nikjer ni korenin enakomerne množice. Zanimajo nas intervali, kjer je funkcija pozitivna. Zato je x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Sedaj pa si zapomnimo odgovore: x = 8 in x = 2. Strogo gledano to še nista odgovora, ampak le kandidata za odgovor. Kateri pripada navedenemu nizu? Seveda je x = 8. Vendar nam x = 2 ne ustreza glede na domeno definicije.
Skupaj bo odgovor na prvo logaritemsko enačbo x = 8. Sedaj imamo kompetentno, dobro utemeljeno rešitev, ki upošteva domeno definicije.
Pojdimo k drugi enačbi:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Naj vas spomnim, da če je v enačbi decimalni ulomek, se ga morate znebiti. Z drugimi besedami, zapišimo 0,5 kot navadni ulomek. Takoj opazimo, da je logaritem, ki vsebuje to bazo, enostavno izračunan:
To je zelo pomemben trenutek! Ko imamo stopinje tako v osnovi kot v argumentu, lahko izpeljemo indikatorje teh stopinj z uporabo formule:
Vrnimo se k naši prvotni logaritemski enačbi in jo prepišimo:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Dobili smo dizajn, ki je precej blizu kanonični obliki. Vendar nas zmedejo izrazi in znak minus desno od znaka enačaja. Predstavimo ena kot logaritem na osnovo 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Odštejte logaritme na desni (v tem primeru so njihovi argumenti razdeljeni):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
čudovito Tako smo dobili kanonično obliko! Prečrtamo znake dnevnika in izenačimo argumente:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
To je delež, ki ga je mogoče zlahka rešiti z navzkrižnim množenjem:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Očitno imamo pomanjšano kvadratno enačbo. Lahko ga enostavno rešimo z uporabo Vietovih formul:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Imamo dve korenini. A to niso končni odgovori, ampak le kandidati, saj logaritemska enačba zahteva tudi preverjanje domene definicije.
Opomnim vas: ni treba iskati, kdaj vsak argumentov bo večjih od nič. Dovolj je zahtevati, da je en argument - bodisi x − 9 ali 5/(x − 5) - večji od nič. Razmislite o prvem argumentu:
x − 9 > 0
x > 9
Očitno samo x = 10 izpolnjuje to zahtevo. To je končni odgovor. Celoten problem je rešen.
Še enkrat ključne misli današnje lekcije:
- Takoj ko se spremenljivka x pojavi v več logaritmih, enačba ni več elementarna in je treba izračunati njeno definicijsko področje. V nasprotnem primeru lahko v odgovor enostavno zapišete dodatne korene.
- Delo s samo domeno lahko bistveno poenostavimo, če neenakosti izpišemo ne takoj, ampak točno v trenutku, ko se znebimo znakov dnevnika. Konec koncev, ko so argumenti med seboj enačeni, je dovolj, da zahtevamo, da je samo eden od njih večji od nič.
Seveda sami izbiramo, s katerim argumentom bomo oblikovali neenakost, zato je logično, da izberemo najpreprostejšega. Na primer, v drugi enačbi smo izbrali argument (x − 9), linearno funkcijo, v nasprotju z ulomljenim racionalnim drugim argumentom. Strinjam se, da je reševanje neenačbe x − 9 > 0 veliko lažje kot 5/(x − 5) > 0. Čeprav je rezultat enak.
Ta opomba zelo poenostavi iskanje ODZ, vendar bodite previdni: eno neenakost lahko uporabite namesto dveh samo, če so argumenti natančno so med seboj enake!
Seveda se bo zdaj kdo vprašal: kaj se zgodi drugače? Ja, zgodi se. Na primer, v samem koraku, ko pomnožimo dva argumenta, ki vsebujeta spremenljivko, obstaja nevarnost, da se pojavijo nepotrebni koreni.
Presodite sami: najprej je potrebno, da je vsak od argumentov večji od nič, po množenju pa je dovolj, da je njihov produkt večji od nič. Posledično je zgrešen primer, ko je vsak od teh ulomkov negativen.
Če torej šele začenjate razumeti zapletene logaritemske enačbe, v nobenem primeru ne množite logaritmov, ki vsebujejo spremenljivko x - to bo prepogosto povzročilo pojav dodatnih korenin. Bolje je narediti en dodaten korak, premakniti en izraz na drugo stran in ustvariti kanonično obliko.
No, kaj storiti, če ne morete brez množenja takih logaritmov, bomo razpravljali v naslednji video lekciji :)
Še enkrat o potencah v enačbi
Danes bomo preučili precej spolzko temo v zvezi z logaritemskimi enačbami, ali natančneje, odvzemom potenc iz argumentov in osnov logaritmov.
Rekel bi celo, da bomo govorili o odstranitvi sodih potenc, saj je pri sodih potencah največ težav pri reševanju pravih logaritemskih enačb.
Začnimo s kanonično obliko. Recimo, da imamo enačbo oblike log a f (x) = b. V tem primeru prepišemo število b s formulo b = log a a b . Izkazalo se je naslednje:
log a f (x) = log a a b
Nato izenačimo argumente:
f (x) = a b
Predzadnja formula se imenuje kanonična oblika. Na to skušajo zreducirati vsako logaritemsko enačbo, pa naj bo na prvi pogled še tako zapletena in strašljiva.
Pa poskusimo. Začnimo s prvo nalogo:
Predhodna opomba: kot sem rekel, vse decimalke v logaritemski enačbi jo je bolje pretvoriti v navadne:
0,5 = 5/10 = 1/2
Ponovno napišimo našo enačbo ob upoštevanju tega dejstva. Upoštevajte, da sta tako 1/1000 kot 100 potenci števila deset, nato pa izločimo potence, kjerkoli so: iz argumentov in celo iz baze logaritmov:
In tukaj ima veliko študentov vprašanje: "Od kod je prišel modul na desni?" Dejansko, zakaj ne bi preprosto zapisali (x − 1)? Seveda bomo zdaj zapisali (x − 1), vendar nam upoštevanje domene definicije daje pravico do takega zapisa. Navsezadnje drug logaritem že vsebuje (x − 1) in ta izraz mora biti večji od nič.
Toda ko odstranimo kvadrat z osnove logaritma, moramo pustiti točno modul na osnovi. Naj pojasnim zakaj.
Dejstvo je, da je z matematičnega vidika pridobivanje diplome enako pridobivanju korena. Zlasti, ko kvadriramo izraz (x − 1) 2, v bistvu vzamemo drugi koren. Toda kvadratni koren ni nič drugega kot modul. Točno tako modul, ker tudi če je izraz x − 1 negativen, bo pri kvadriranju "minus" še vedno izgorel. Nadaljnja ekstrakcija korena nam bo dala pozitivno število - brez minusov.
Na splošno, da bi se izognili žaljivim napakam, si zapomnite enkrat za vselej:
Koren sode potence katere koli funkcije, ki je dvignjena na isto potenco, ni enak funkciji sami, ampak njenemu modulu:
Vrnimo se k naši logaritemski enačbi. Ko sem govoril o modulu, sem trdil, da ga lahko neboleče odstranimo. To je res. Zdaj bom pojasnil, zakaj. Strogo gledano smo morali razmisliti o dveh možnostih:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Vsako od teh možnosti bi bilo treba obravnavati. Vendar obstaja ena zanka: prvotna formula že vsebuje funkcijo (x − 1) brez modula. In po domeni definicije logaritmov imamo pravico takoj zapisati, da je x − 1 > 0.
Ta zahteva mora biti izpolnjena ne glede na morebitne module in druge transformacije, ki jih izvajamo v procesu rešitve. Zato nima smisla razmišljati o drugi možnosti - nikoli se ne bo pojavila. Tudi če pri reševanju te veje neenakosti dobimo nekaj števil, še vedno ne bodo vključena v končni odgovor.
Zdaj smo dobesedno en korak stran od kanonične oblike logaritemske enačbe. Enoto predstavimo takole:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Poleg tega v argument vnesemo faktor −4, ki je na desni:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Pred nami je kanonična oblika logaritemske enačbe. Znebimo se znaka logaritma:
10 −4 = x − 1
Ker pa je bila osnova funkcija (in ne praštevilo), dodatno zahtevamo, da je ta funkcija večja od nič in ne enaka ena. Nastali sistem bo:
Ker je zahteva x − 1 > 0 samodejno izpolnjena (navsezadnje je x − 1 = 10 −4), lahko eno od neenakosti izbrišemo iz našega sistema. Drugi pogoj lahko tudi prečrtamo, ker je x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
To je edini koren, ki samodejno zadošča vsem zahtevam domene definicije logaritma (vendar so bile vse zahteve izločene kot očitno izpolnjene v pogojih našega problema).
Torej druga enačba:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Kako se ta enačba bistveno razlikuje od prejšnje? Pa čeprav samo zato, ker osnovi logaritmov - 3x in 9x - nista naravni moči druga druge. Zato prehod, ki smo ga uporabili v prejšnji rešitvi, ni mogoč.
Znebimo se vsaj diplom. V našem primeru je edina stopnja v drugem argumentu:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Predznak modula pa lahko odstranimo, ker je v osnovi tudi spremenljivka x, tj. x > 0 ⇒ |x| = x. Prepišimo našo logaritemsko enačbo:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Dobili smo logaritme, pri katerih so argumenti enaki, baze pa različne. Kaj storiti naprej? Tukaj je veliko možnosti, vendar bomo upoštevali le dve izmed njih, ki sta najbolj logični, in kar je najpomembnejše, to so hitre in razumljive tehnike za večino študentov.
Prvo možnost smo že obravnavali: v kakršni koli nejasni situaciji pretvorite logaritme s spremenljivo bazo v neko konstantno bazo. Na primer do dvojke. Formula prehoda je preprosta:
Seveda bi morala biti vloga spremenljivke c normalno število: 1 ≠ c > 0. Naj bo v našem primeru c = 2. Sedaj imamo pred seboj navadno ulomljeno racionalno enačbo. Zberemo vse elemente na levi:
Očitno je bolje odstraniti faktor log 2 x, saj je prisoten tako v prvi kot v drugi frakciji.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Vsak dnevnik razdelimo na dva izraza:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Prepišimo obe strani enakosti ob upoštevanju teh dejstev:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Zdaj ostane le še vnesti dvojko pod znak logaritma (pretvorila se bo v potenco: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Pred nami je klasična kanonična oblika, znebimo se znaka za logaritem in dobimo:
Kot je bilo pričakovano, se je izkazalo, da je ta koren večji od nič. Ostaja še preveriti domeno definicije. Poglejmo razloge:
Toda koren x = 9 izpolnjuje te zahteve. Zato je končna odločitev.
Zaključek te rešitve je preprost: ne bojte se dolgih izračunov! Samo na začetku smo naključno izbrali novo bazo - in to je bistveno zapletlo postopek.
Potem pa se pojavi vprašanje: kaj je osnova optimalen? O tem bom govoril v drugi metodi.
Vrnimo se k prvotni enačbi:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Zdaj pa malo razmislimo: katera številka ali funkcija bi bila optimalna osnova? To je očitno najboljša možnost tam bo c = x - kar je že v argumentih. V tem primeru bo formula log a b = log c b /log c a imela obliko:
Z drugimi besedami, izraz je preprosto obrnjen. V tem primeru argument in osnova zamenjata mesti.
Ta formula je zelo uporabna in se zelo pogosto uporablja pri reševanju kompleksnih logaritemskih enačb. Vendar pa obstaja ena zelo resna past pri uporabi te formule. Če zamenjamo spremenljivko x namesto osnove, se ji naložijo omejitve, ki prej niso bile upoštevane:
V prvotni enačbi te omejitve ni bilo. Zato bi morali posebej preveriti primer, ko je x = 1. To vrednost nadomestimo v našo enačbo:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Dobimo pravilno številsko enakost. Zato je x = 1 koren. Povsem enak koren smo našli v prejšnji metodi na samem začetku rešitve.
Toda zdaj, ko smo ločeno obravnavali ta poseben primer, varno domnevamo, da je x ≠ 1. Potem bo naša logaritemska enačba prepisana v naslednji obliki:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Oba logaritma razširimo z isto formulo kot prej. Upoštevajte, da je log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Tako smo prišli do kanonične oblike:
log x 9 = log x x 1
x=9
Dobili smo drugo korenino. Zadovoljuje zahtevo x ≠ 1. Zato je x = 9 skupaj z x = 1 končni odgovor.
Kot lahko vidite, se je obseg izračunov nekoliko zmanjšal. Toda pri reševanju prave logaritemske enačbe bo število korakov precej manjše tudi zato, ker vam ni treba vsakega koraka opisati tako podrobno.
Ključno pravilo današnje lekcije je naslednje: če problem vsebuje sodo stopnjo, iz katere je izluščen koren iste stopnje, bo rezultat modul. Vendar pa je ta modul mogoče odstraniti, če ste pozorni na domeno definicije logaritmov.
A pozor: po tej lekciji večina učencev misli, da vse razume. Toda pri reševanju resničnih problemov ne morejo reproducirati celotne logične verige. Posledično dobi enačba nepotrebne korenine in odgovor se izkaže za napačnega.
Algebra 11. razred
Tema: “Metode reševanja logaritemskih enačb”
Cilji lekcije:
vzgojno: oblikovanje znanja o na različne načine reševanje logaritemskih enačb, sposobnost njihove uporabe v vsaki specifični situaciji in izbira poljubne metode za reševanje;
razvijanje: razvijanje sposobnosti opazovanja, primerjanja, uporabe znanja v novi situaciji, prepoznavanja vzorcev, posploševanja; razvijanje veščin medsebojnega nadzora in samokontrole;
vzgojno: negovanje odgovornega odnosa do vzgojno-izobraževalnega dela, pozornega dojemanja snovi pri pouku, skrbnega zapisovanja.
Vrsta lekcije: lekcija uvajanja nove snovi.
"Izum logaritmov je astronomu zmanjšal delo, vendar mu je podaljšal življenje."
Francoski matematik in astronom P.S. Laplace
Napredek lekcije
I. Postavitev cilja lekcije
Preučevanje definicije logaritma, lastnosti logaritmov in logaritemske funkcije nam bo omogočilo reševanje logaritemskih enačb. Vse logaritemske enačbe, ne glede na to, kako kompleksne so, se rešujejo z enotnimi algoritmi. Te algoritme si bomo ogledali v današnji lekciji. Ni jih veliko. Če jih obvladate, bo vsaka enačba z logaritmi izvedljiva za vsakega od vas.
Zapišite temo lekcije v svoj zvezek: "Metode za reševanje logaritemskih enačb." Vse vabim k sodelovanju.
II. Posodabljanje referenčnega znanja
Pripravimo se na preučevanje teme lekcije. Vsako nalogo rešite in zapišete odgovor, pogoja vam ni treba napisati. Delo v parih.
1) Za katere vrednosti x je funkcija smiselna:
(Odgovori se preverijo za vsak diapozitiv in napake se razvrstijo)
2) Ali grafa funkcij sovpadata?
3) Enačbe prepiši kot logaritemske enačbe:
4) Zapišite števila kot logaritme z osnovo 2:
5) Izračunaj:
6) Poskusite obnoviti ali dopolniti manjkajoče elemente v teh enačbah.
III. Uvod v novo gradivo
Na zaslonu se prikaže naslednja izjava:
"Enačba je zlati ključ, ki odpira vse matematične sezame."
Sodobni poljski matematik S. Kowal
Poskusite oblikovati definicijo logaritemske enačbe. (Enačba, ki vsebuje neznanko pod znakom logaritma).
Razmislimo najpreprostejša logaritemska enačba:dnevnikAx = b(kjer je a>0, a ≠ 1). Ker logaritemska funkcija narašča (ali pada) na množici pozitivnih števil in zavzema vse realne vrednosti, potem iz korenskega izreka sledi, da ima ta enačba za kateri koli b, in samo eno, rešitev, in to pozitivno.
Zapomnite si definicijo logaritma. (Logaritem števila x na osnovo a je pokazatelj potence, na katero je treba osnovo a dvigniti, da dobimo število x). Iz definicije logaritma takoj sledi, da AV je taka rešitev.
Zapiši naslov: Metode reševanja logaritemskih enačb
1. Po definiciji logaritma.
Tako se rešujejo najpreprostejše enačbe oblike.
Razmislimo št. 514(a)): Reši enačbo
Kako predlagate rešitev? (Po definiciji logaritma)
rešitev. , torej 2x - 4 = 4; x = 4.
V tej nalogi je 2x - 4 > 0, saj > 0, tako da se ne morejo pojaviti nobeni tuji koreni in ni potrebe po preverjanju. Pogoja 2x - 4 > 0 v tej nalogi ni treba izpisati.
2. Potenciranje(prehod iz logaritma danega izraza v ta izraz sam).
Razmislimo št. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Katero lastnost ste opazili? (Osnove so enake in logaritma obeh izrazov so enaki.) Kaj se lahko naredi? (Potencirajte).
Upoštevati je treba, da je vsaka rešitev vsebovana med vsemi x, za katere so logaritemski izrazi pozitivni.
Rešitev: ODZ:
X2+8>0 je nepotrebna neenakost
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
Potenciramo izvirno enačbo
dobimo enačbo x2+8= 8x+8
Rešimo: x2-8x=0
Odgovor: 0; 8
IN splošni pogled prehod na enakovredni sistem:
Enačba
(Sistem vsebuje redundantni pogoj - ene od neenakosti ni treba upoštevati).
Vprašanje za razred: Katera od teh treh rešitev vam je bila najbolj všeč? (Razprava o metodah).
Imate pravico, da se odločite na kateri koli način.
3. Uvedba nove spremenljivke.
Razmislimo št. 520(g). .
Kaj ste opazili? (To je kvadratna enačba glede na log3x) Kakšni predlogi? (Uvedite novo spremenljivko)
rešitev. ODZ: x > 0.
Naj , potem ima enačba obliko:. Diskriminanta D > 0. Korenine po Vietovem izreku:.
Pa se vrnimo k zamenjavi: oz.
Po rešitvi najpreprostejših logaritemskih enačb dobimo:
Odgovor: 27;
4. Logaritemirajte obe strani enačbe.
Reši enačbo:.
Rešitev: ODZ: x>0, vzemite logaritem obeh strani enačbe na osnovi 10:
Uporabimo lastnost logaritma potence:
(logx + 3) logx = 4
Naj bo logx = y, potem je (y + 3)y = 4
, (D > 0) korenine po Vietovem izreku: y1 = -4 in y2 = 1.
Vrnimo se k zamenjavi, dobimo: lgx = -4,; lgx = 1, .
Odgovor: 0,0001; 10.
5. Zmanjšanje na eno bazo.
št. 523(c). Reši enačbo:
Rešitev: ODZ: x>0. Pojdimo na bazo 3.
6. Funkcionalno-grafična metoda.
№ 509(d). Grafično reši enačbo: = 3 - x.
Kako predlagate rešitev? (Zgradite grafa dveh funkcij y = log2x in y = 3 - x z uporabo točk in poiščite absciso presečišč grafov).
Oglejte si svojo rešitev na prosojnici.
Obstaja način, kako se izogniti izdelavi grafov . To je naslednje : če ena od funkcij y = f(x) poveča, drugo pa y = g(x) pada na intervalu X, nato enačba f(x)= g(x) ima največ en koren na intervalu X.
Če obstaja koren, potem ga je mogoče uganiti.
V našem primeru funkcija narašča za x>0, funkcija y = 3 - x pa pada za vse vrednosti x, tudi za x>0, kar pomeni, da enačba nima več kot en koren. Upoštevajte, da se pri x = 2 enačba spremeni v pravo enakost, saj .
»Pravilne uporabe metod se je mogoče naučiti
samo tako, da jih nanesete na različni primeri».
Danski zgodovinar matematike G. G. Zeiten
jazV. domača naloga
Str. 39 upoštevajte primer 3, rešite št. 514(b), št. 529(b), št. 520(b), št. 523(b)
V. Povzetek lekcije
Katere metode reševanja logaritemskih enačb smo si ogledali pri pouku?
V naslednjih lekcijah si bomo ogledali bolj zapletene enačbe. Za njihovo reševanje bodo koristne preučene metode.
Zadnji prikazan diapozitiv:
»Kaj je več kot vse na svetu?
Vesolje.
Kaj je najbolj pametno?
Čas.
Kaj je najboljši del?
Doseži, kar želiš."
Thales
Vsakemu želim, da doseže tisto, kar želi. Zahvaljujemo se vam za sodelovanje in razumevanje.
Vsi vedo, zakaj je potrebna matematika. Vendar pa veliko ljudi potrebuje pomoč pri odločitvi matematične težave in enačbe. Preden vam povemo, kako rešiti logaritemske enačbe, morate razumeti, kaj so. Enačbe, ki vsebujejo neznanko na osnovi logaritma ali pod njegovim znakom, imenujemo logaritemske enačbe. Enačbe, ki imajo obliko: logaX = b, ali tiste, ki jih je možno reducirati na to obliko, veljajo za najenostavnejše logaritemske enačbe.
Prava odločitev
Za prava odločitev takšne enačbe si je treba zapomniti lastnosti katere koli logaritemske funkcije:
- niz realnih števil (razpon)
- množica pozitivnih števil (domena)
- v primeru, ko je "a" večje od 1, logaritemska funkcija striktno narašča; če je manj, logaritemska funkcija pada
- pri podanih parametrih: loga "a" je enak 1, loga 1 pa je enak nič, morate upoštevati, da "a" ne bo enak 1 in bo večji od 0.
Pravilna rešitev logaritemskih enačb je neposredno odvisna od razumevanja samega logaritma. Vzemimo primer: 5x=11. X je število, na katerega je treba povečati 5, da dobimo 11. To število imenujemo logaritem od 11 na osnovo 5 in ga zapišemo takole: x = log511. Tako smo lahko rešili eksponentno enačbo: 5x=11 in dobili odgovor: x=log511.
Logaritemske enačbe
Enačba, ki ima logaritme, se imenuje logaritemska enačba. V tej enačbi se neznane spremenljivke in izrazi z njimi nahajajo znotraj samih logaritmov. In nikjer drugje! Primeri logaritemskih enačb: log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), log3(x+3)+20=15log(x+5) itd. Ne pozabite, da so lahko različni izrazi z x samo znotraj danega logaritma.
Znebite se logaritmov
Metode za reševanje logaritemskih enačb se uporabljajo v skladu s problemom, sam proces reševanja kot celote pa je zelo težka naloga. Začnimo z osnovnimi enačbami. Najenostavnejše logaritemske enačbe imajo naslednjo obliko:
- logx-21=11
- log5 (70x-1)=2
- log5x=25
Reševanje logaritemske enačbe vključuje premik od enačbe z logaritmi k enačbi, v kateri jih ni. In v najpreprostejših enačbah je to mogoče narediti v enem koraku. Zaradi tega se imenujejo praživali. Na primer, rešiti moramo naslednjo enačbo: log5x = log52. Za to ne potrebujemo posebnega znanja. IN v tem primeru znebiti se moramo logaritmov, ki nam kvarijo celotno sliko. Odstranimo logaritme in dobimo: x=2. Zato je v prihodnje potrebno odstraniti nepotrebne logaritme, če je to mogoče. Konec koncev je ravno to zaporedje tisto, ki vam omogoča, da se odločite logaritemske neenakosti in enačbe. V matematiki se takšna dejanja običajno imenujejo potenciranje. Toda znebiti se logaritmov na ta način ima svoja pravila. Če logaritmi nimajo koeficientov (to pomeni, da so določeni sami) in tudi če imajo enako številsko osnovo, se lahko logaritmi odstranijo.
Ne pozabite, da nam po izločitvi logaritmov ostane poenostavljena enačba. Rešimo še en primer:
log9 (5x-4)-log9x. Potenciramo in dobimo:
- 5x-4=x
- 5x=x+4
Kot lahko vidite, z odstranitvijo logaritmov dobimo običajno enačbo, ki je ni več težko rešiti. Zdaj lahko nadaljujete na več zapleteni primeri: log9 (60x-1)=2. Sklicevati se moramo na logaritem (število, na katerega je osnova dvignjena, v našem primeru 9), da dobimo sublogaritemski izraz (60x-1). Naš logaritem je enak 2. Torej: 92 = 60x-1. Logaritma ni več. Rešimo nastalo enačbo: 60x-1=59, x = 1.
Ta primer smo rešili glede na pomen logaritma. Upoštevati je treba, da lahko iz katere koli številke sestavite logaritem zahtevane oblike. Ta metoda je zelo uporabna pri reševanju neenačb in logaritemskih enačb. Če morate najti koren v enačbi, poglejmo, kako je to mogoče storiti: log5(18 – x) = log55
Če imata v naši enačbi obe strani enačbe logaritma z isto osnovo, potem lahko enačimo izraze, ki se pojavljajo pod znaki naših logaritmov. Odstranimo skupno osnovo: log5. Dobimo preprosto enačbo: 18 – x = 5, x = 13.
Pravzaprav reševanje logaritemskih enačb ni tako težko. Tudi ob upoštevanju dejstva, da se lastnosti logaritemskih enačb lahko bistveno razlikujejo, vseeno ni nerešljivih nalog. Potrebno je poznati lastnosti samega logaritma in jih znati pravilno uporabiti. Ni treba hiteti: spomnimo se zgornjih navodil in začnemo reševati naloge. V nobenem primeru se ni treba bati kompleksna enačba, imate vse potrebno znanje in vire, da se zlahka spopadete s katerim koli od njih.
Vklopljeno to lekcijo Ponovili bomo osnovna teoretična dejstva o logaritmih in razmislili o reševanju najenostavnejših logaritemskih enačb.
Spomnimo se osrednje definicije - definicije logaritma. Povezano je z odločitvijo eksponentna enačba. Ta enačba ima en sam koren, se imenuje logaritem od b na osnovo a:
definicija:
Logaritem od b na osnovo a je eksponent, na katerega je treba dvigniti osnovo a, da dobimo b.
Naj vas spomnimo osnovna logaritemska identiteta.
Izraz (izraz 1) je koren enačbe (izraz 2). Zamenjajte vrednost x iz izraza 1 namesto x v izraz 2 in pridobite glavno logaritemsko identiteto:
Tako vidimo, da je vsaka vrednost povezana z vrednostjo. B označimo z x(), c z y in tako dobimo logaritemsko funkcijo:
Na primer: 
Spomnimo se osnovnih lastnosti logaritemske funkcije.
Bodimo še enkrat pozorni, saj je pod logaritmom lahko strogo pozitiven izraz, kot osnova logaritma.
riž. 1. Graf logaritemske funkcije v različnih bazah
Graf funkcije pri je prikazan črno. riž. 1. Če se argument poveča od nič do neskončnosti, se funkcija poveča od minus do plus neskončnosti.
Graf funkcije pri je prikazan rdeče. riž. 1.
Lastnosti te funkcije:
Področje uporabe: ;
Razpon vrednosti: ;
Funkcija je monotona v celotnem območju definicije. Ko se monotono (strogo) poveča, višja vrednost argument ustreza večji vrednosti funkcije. Ko monotono (strogo) pada, večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.
Lastnosti logaritemske funkcije so ključ do reševanja različnih logaritemskih enačb.
Razmislimo o najpreprostejši logaritemski enačbi; vse druge logaritemske enačbe so praviloma reducirane na to obliko.
Ker so osnove logaritmov in logaritmi sami enaki, so enake tudi funkcije pod logaritmom, vendar ne smemo mimo domene definicije. Pod logaritmom se lahko pojavi samo pozitivno število, imamo:
Ugotovili smo, da sta funkciji f in g enaki, zato je za skladnost z ODZ dovolj, da izberemo katerokoli neenakost.
Tako imamo mešani sistem, v katerem obstajata enačba in neenakost:
Praviloma ni treba rešiti neenačbe, dovolj je, da rešimo enačbo in nadomestimo najdene korene v neenačbi ter tako izvedemo preverjanje.
Oblikujmo metodo za reševanje najpreprostejših logaritemskih enačb:
Izenačiti osnove logaritmov;
Izenačiti sublogaritemske funkcije;
Izvedite preverjanje.
Poglejmo konkretne primere.
Primer 1 - reši enačbo:
Osnove logaritmov so na začetku enake, imamo pravico enačiti sublogaritemske izraze, ne pozabimo na ODZ, izberemo prvi logaritem, da sestavimo neenakost:
Primer 2 - reši enačbo:
Ta enačba se od prejšnje razlikuje po tem, da so osnove logaritmov manjše od ena, vendar to na noben način ne vpliva na rešitev:
Poiščimo koren in ga nadomestimo v neenakost:
Dobili smo napačno neenakost, kar pomeni, da najdeni koren ne zadošča ODZ.
Primer 3 - reši enačbo:
Osnove logaritmov so na začetku enake, imamo pravico enačiti sublogaritemske izraze, ne pozabimo na ODZ, izberemo drugi logaritem, da sestavimo neenakost:
Poiščimo koren in ga nadomestimo v neenakost:
Očitno samo prvi koren izpolnjuje DD.