Eksponentne enačbe. Bolj zapleteni primeri. Reševanje eksponentnih enačb. Osnove

13.10.2019

Belgorodska državna univerza

ODDELEK algebra, teorija števil in geometrija

Tema: Eksponentne potenčne enačbe in neenačbe.

Diplomsko deloštudentka Fakultete za fiziko in matematiko

Znanstveni mentor:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Uvod			3
*Predmet* *jaz*	Analiza literature o raziskovalni temi.
*Predmet* *II.*	Funkcije in njihove lastnosti, ki se uporabljajo pri reševanju eksponentnih enačb in neenačb.
	*I.1.*	Funkcija moči in njegove lastnosti.
	*I.2.*	Eksponentna funkcija in njene lastnosti.
*Predmet* *III.*	Reševanje eksponentnih potenčnih enačb, algoritem in primeri.
*Predmet* *IV.*	Reševanje eksponentnih neenačb, načrt reševanja in primeri.
*Predmet* V.	Izkušnje pri izvajanju pouka s šolarji na temo: "Reševanje eksponentnih enačb in neenakosti."
V. 1.	Izobraževalno gradivo.
V. 2.	Problemi za samostojno rešitev.
*Zaključek.*	Sklepi in predlogi.
*Seznam uporabljene literature.*
*Aplikacije*

Uvod.

“...veselje videti in razumeti...”

A. Einstein.

V tem delu sem skušal posredovati svoje izkušnje kot učitelj matematike, vsaj do neke mere posredovati svoj odnos do njenega poučevanja - človekovega prizadevanja, v katerem se presenetljivo prepletajo matematična znanost, pedagogika, didaktika, psihologija in celo filozofija.

Imel sem priložnost delati z otroki in diplomanti, z otroki na polih intelektualnega razvoja: s tistimi, ki so bili registrirani pri psihiatru in jih je matematika res zanimala.

Imel sem priložnost rešiti številne metodološke probleme. Poskušal bom govoriti o tistih, ki mi jih je uspelo rešiti. A še več spodletelih in tudi v tistih, ki se zdijo že rešene, se porajajo nova vprašanja.

A še bolj kot sama izkušnja so pomembna učiteljeva razmišljanja in dvomi: zakaj je ravno tako, ta izkušnja?

In poletje je zdaj drugačno, razvoj izobraževanja pa je postal zanimivejši. »Pod Jupitri« danes ni iskanje mitskega optimalnega sistema poučevanja »vseh in vsega«, ampak otroka samega. Potem pa – nujno – učitelj.

IN šolski tečaj algebra in začetek analize, razredi 10 - 11, z opravljanje enotnega državnega izpita na tečaj srednja šola in na sprejemnih izpitih na univerzah so enačbe in neenačbe, ki vsebujejo neznanko v bazi in eksponentih - to so eksponentne enačbe in neenačbe.

V šoli jim posvečajo malo pozornosti, nalog na to temo v učbenikih praktično ni. Vendar se mi zdi, da je obvladovanje metodologije za njihovo reševanje zelo koristno: povečuje miselne in ustvarjalne sposobnosti učencev in pred nami se odpirajo povsem nova obzorja. Pri reševanju problemov učenci pridobivajo prve veščine raziskovalno delo, bogati se njihova matematična kultura, njihove sposobnosti za logično razmišljanje. Šolarji razvijejo takšne osebnostne lastnosti, kot so odločnost, zastavljanje ciljev, neodvisnost, ki jim bodo koristile pri poznejše življenje. Obstaja tudi ponavljanje, razširitev in globoka asimilacija učnega gradiva.

To temo sem začel obravnavati za svojo diplomsko nalogo s pisanjem svoje naloge. V okviru katerega sem poglobljeno preučil in analiziral matematično literaturo na to temo, ugotovil najprimernejšo metodo za reševanje eksponentnih enačb in neenačb.

Leži v tem, da poleg splošno sprejetega pristopa pri reševanju eksponentnih enačb (osnova je večja od 0) in pri reševanju enakih neenačb (osnova je večja od 1 ali večja od 0, vendar manjša od 1) , upoštevani so tudi primeri, ko so baze negativne, enake 0 in 1.

Analiza pisnega izpitne poleštudentov kaže na pomanjkanje pokritosti problematike negativna vrednost argument eksponentne funkcije v šolskih učbenikih jim povzroča vrsto težav in vodi do napak. Težave imajo tudi na stopnji sistematizacije dobljenih rezultatov, kjer se lahko zaradi prehoda na enačbo - posledico ali neenakost - posledico pojavijo tuje korenine. Za odpravo napak uporabljamo test z uporabo izvirne enačbe ali neenačbe in algoritma za reševanje eksponentnih enačb oziroma načrta za reševanje eksponentnih neenačb.

Za uspešno opravljanje zaključnih in sprejemnih izpitov menim, da je treba več pozornosti nameniti reševanju eksponentnih enačb in neenačb pri pouku oziroma dodatno pri izbirnih predmetih in krožkih.

torej tema , moj diplomsko delo je definiran kot sledi: "Enačbe eksponentne moči in neenačbe."

Cilji tega dela so:

1. Analizirajte literaturo o tej temi.

2. Daj popolna analiza reševanje eksponentnih enačb in neenačb.

3. Navedite zadostno število različnih primerov na to temo.

4. Pri razrednih, izbirnih in krožkovnih urah preverite, kako bodo zaznali predlagane metode reševanja eksponentnih enačb in neenačb. Podajte ustrezna priporočila za preučevanje te teme.

Predmet Naše raziskave so namenjene razvoju metodologije za reševanje eksponentnih enačb in neenačb.

Namen in predmet raziskave je zahteval reševanje naslednjih problemov:

1. Preučite literaturo na temo: "Enačbe in neenakosti eksponentne moči."

2. Obvladati tehnike reševanja eksponentnih enačb in neenačb.

3. Izberite gradivo za usposabljanje in razvijte sistem vaj različne ravni na temo: "Reševanje eksponentnih enačb in neenačb."

Med raziskavo diplomskega dela je bilo analiziranih več kot 20 prispevkov o uporabi različnih metod za reševanje eksponentnih enačb in neenačb. Od tu naprej.

Načrt diplomske naloge:

Uvod.

Poglavje I. Analiza literature o raziskovalni temi.

Poglavje II. Funkcije in njihove lastnosti, ki se uporabljajo pri reševanju eksponentnih enačb in neenačb.

II.1. Funkcija moči in njene lastnosti.

II.2. Eksponentna funkcija in njene lastnosti.

Poglavje III. Reševanje eksponentnih potenčnih enačb, algoritem in primeri.

poglavje IV. Reševanje eksponentnih neenačb, načrt reševanja in primeri.

Poglavje V. Izkušnje z vodenjem pouka s šolarji na to temo.

1. Gradivo za usposabljanje.

2.Naloge za samostojno reševanje.

Zaključek. Sklepi in predlogi.

Seznam uporabljene literature.

I. poglavje analizira literaturo

Začetna raven

Eksponentne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

pozdravljena Danes se bomo z vami pogovarjali o tem, kako rešiti enačbe, ki so lahko bodisi osnovne (in upam, da bodo po branju tega članka skoraj vse tako za vas), in tiste, ki so običajno dane "za polnjenje". Očitno zato, da končno zaspi. Vendar bom poskušal narediti vse, kar je v moji moči, da zdaj ne boste zašli v težave, ko se soočite s to vrsto enačb. Ne bom več premleval, bom pa takoj odprl mala skrivnost: danes se bomo učili eksponentne enačbe.

Preden preidem na analizo načinov za njihovo rešitev, vam bom takoj orisal vrsto vprašanj (precej majhnih), ki bi jih morali ponoviti, preden hitite napadati to temo. Torej, za najboljše rezultate, prosim ponovi:

Lastnosti in
Rešitev in enačbe

Ponavljajo? neverjetno! Potem vam ne bo težko opaziti, da je koren enačbe število. Ali natančno razumete, kako sem to naredil? Je res? Potem nadaljujemo. Zdaj odgovorite na moje vprašanje, kaj je enako tretji potenci? Imaš popolnoma prav: . Kakšna potenca dvojke je osem? Tako je – tretji! Ker. No, zdaj pa poskusimo rešiti naslednji problem: Naj enkrat pomnožim število samo s seboj in dobim rezultat. Vprašanje je, kolikokrat sem sam pomnožil? To seveda lahko preverite neposredno:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

Potem lahko sklepate, da sem pomnožil s samim seboj. Kako drugače lahko to preverite? Takole: neposredno z definicijo stopnje: . Ampak, priznajte, če bi vprašal, kolikokrat je treba dva pomnožiti s samim seboj, da dobimo, recimo, bi mi rekli: ne bom se zavajal in množil s samim seboj, dokler ne bom moder v obraz. In imel bi popolnoma prav. Ker kako lahko na kratko zapišite vse korake(in kratkost je sestra talenta)

kje - to so isti "krat", ko pomnožiš sama s seboj.

Mislim, da veste (in če ne veste, nujno, zelo nujno ponovite stopnje!), da bo potem moja težava zapisana v obliki:

Kako lahko razumno sklepate, da:

Tako sem neopazno zapisal najpreprostejše eksponentna enačba:

In celo našel sem ga korenina. Se vam ne zdi, da je vse popolnoma nepomembno? Mislim popolnoma enako. Tukaj je še en primer za vas:

Toda kaj narediti? Navsezadnje ga ni mogoče zapisati kot potenco (razumnega) števila. Ne obupajmo in upoštevajmo, da sta obe števili popolnoma izraženi s potenco istega števila. kateri? Desno: . Nato se prvotna enačba pretvori v obliko:

Kje, kot ste že razumeli,. Ne odlašajmo več in zapišimo definicija:

V našem primeru:.

Te enačbe rešimo tako, da jih reduciramo na obliko:

sledi reševanje enačbe

Pravzaprav smo to storili v prejšnjem primeru: dobili smo naslednje: In rešili smo najenostavnejšo enačbo.

Zdi se, da ni nič zapletenega, kajne? Vadimo najprej na najpreprostejših primeri:

Ponovno vidimo, da je treba desno in levo stran enačbe predstaviti kot potenco enega števila. Res je, na levi je to že narejeno, na desni pa je številka. Ampak nič hudega, ker se bo moja enačba čudežno spremenila v tole:

Kaj sem moral uporabiti tukaj? Kakšno pravilo? Pravilo "stopinj v stopinjah" ki se glasi:

Kaj če:

Preden odgovorimo na to vprašanje, izpolnimo naslednjo tabelo:

Zlahka opazimo, da čim manj, tem manjša vrednost, vendar so kljub temu vse te vrednosti večje od nič. IN VEDNO BO TAKO!!! Ista lastnost velja ZA VSAKO BAZO Z KAKRŠNIM KOLI INDIKATORJEM!! (za katero koli in). Kaj lahko potem sklepamo o enačbi? Evo, kaj je: to nima korenin! Tako kot vsaka enačba nima korenin. Zdaj pa vadimo in Rešimo preproste primere:

Preverimo:

1. Tukaj se od vas ne bo zahtevalo nič, razen znanja o lastnostih stopinj (kar sem vas mimogrede prosil, da ponovite!) Praviloma vse vodi do najmanjše baze: , . Potem bo prvotna enačba enakovredna naslednjemu: Vse kar potrebujem je, da uporabim lastnosti potenc: Pri množenju števil z enakimi osnovami se potence seštevajo, pri deljenju pa odštevajo. Potem bom dobil: No, zdaj pa bom mirne vesti prešel iz eksponentne enačbe v linearno: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\konec(poravnaj)

2. Pri drugem primeru moramo biti previdnejši: težava je v tem, da na levi strani nikakor ne moremo prikazati istega števila kot potenco. V tem primeru je včasih koristno predstavljajo števila kot produkt potenc z različnimi osnovami, vendar enakimi eksponenti:

Leva stran enačbe bo videti takole: Kaj nam je to dalo? Evo kaj: Števila z različnimi osnovami, vendar enakimi eksponenti, je mogoče pomnožiti.V tem primeru se baze pomnožijo, vendar se indikator ne spremeni:

V moji situaciji bo to dalo:

\začetek(poravnaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\konec(poravnaj)

Ni slabo, kajne?

3. Ni mi všeč, če imam po nepotrebnem na eni strani enačbe dva izraza, na drugi pa nobenega (včasih je to seveda upravičeno, zdaj pa ni tako). Izraz minus bom premaknil na desno:

Zdaj bom, kot prej, vse zapisal v smislu moči treh:

Dodam stopinje na levi in dobim enakovredno enačbo

Z lahkoto najdete njegov koren:

4. Tako kot v primeru tri je minus člen na desni strani!

Na moji levi je skoraj vse v redu, razen česa? Ja, moti me "napačna diploma" obeh. Ampak to lahko enostavno popravim tako, da napišem: . Eureka - na levi so vse baze različne, vendar so vse stopnje enake! Takoj pomnožimo!

Tukaj je spet vse jasno: (če ne razumete, kako čarobno Dobil sem zadnjo enakost, oddahni si za minuto, zadihaj in še enkrat zelo natančno preberi lastnosti stopnje. Kdo je rekel, da lahko z negativno oceno preskočiš diplomo? No, to pravim, nihče). Zdaj bom dobil:

\začetek(poravnaj)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\konec(poravnaj)

Tukaj je nekaj nalog za vajo, na katere bom podal le odgovore (vendar v »mešani« obliki). Rešite jih, preverite in midva bova nadaljevala z raziskovanjem!

pripravljena odgovori takole:

poljubno število

V redu, v redu, hecal sem se! Tukaj je nekaj skic rešitev (nekatere zelo kratke!)

Se vam ne zdi naključje, da je en ulomek na levi drugi "obrnjen"? Greh bi bil ne izkoristiti tega:

To pravilo se zelo pogosto uporablja pri reševanju eksponentnih enačb, dobro si ga zapomnite!

Potem bo izvirna enačba postala taka:

Ko se je to odločil kvadratna enačba, boste dobili te korenine:

2. Druga rešitev: obe strani enačbe delimo z izrazom na levi (ali desni). Če delim s tem, kar je na desni, potem dobim:

Kje (zakaj?!)

3. Sploh se ne želim ponavljati, vse je bilo že toliko "prežvečeno".

4. enakovredna kvadratni enačbi, korenine

5. Morate uporabiti formulo, podano v prvi težavi, potem boste dobili to:

Enačba se je spremenila v trivialno identiteto, ki velja za vse. Potem je odgovor poljubno realno število.

No, zdaj ste vadili reševanje enostavne eksponentne enačbe. Zdaj vam želim dati nekaj primerov iz resničnega življenja, ki vam bodo pomagali razumeti, zakaj so načeloma potrebni. Tukaj bom navedel dva primera. Eden od njih je povsem vsakdanji, drugi pa je bolj znanstvenega kot praktičnega pomena.

Primer 1 (merkantilno) Naj imate rublje, vendar jih želite spremeniti v rublje. Banka vam ponuja, da vam ta denar vzame po letni obrestni meri z mesečno kapitalizacijo obresti (mesečno obračunavanje). Vprašanje je, koliko mesecev morate odpreti depozit, da dosežete zahtevani končni znesek? Precej vsakdanje opravilo, kajne? Kljub temu je njegova rešitev povezana s konstrukcijo ustrezne eksponentne enačbe: Naj - začetni znesek, - končni znesek, - obrestna mera na obdobje, - število obdobij. Nato:

V našem primeru (če je stopnja letna, potem se izračuna na mesec). Zakaj je razdeljen na? Če ne poznate odgovora na to vprašanje, se spomnite teme ""! Potem dobimo to enačbo:

To eksponentno enačbo je mogoče rešiti samo s kalkulatorjem (njegov videz namiguje na to, to pa zahteva znanje logaritmov, s katerimi se bomo seznanili malo kasneje), kar bom naredil: ... Torej, da bi prejeli milijon, bomo morali položiti depozit za en mesec ( ne zelo hitro, kajne?).

Primer 2 (precej znanstven). Kljub njegovi določeni "izolaciji" priporočam, da ste pozorni nanj: redno "zdrsne na enotni državni izpit!! (problem je vzet iz “prave” različice) Pri razpadu radioaktivnega izotopa se njegova masa zmanjšuje po zakonu, kjer je (mg) začetna masa izotopa, (min.) čas, ki preteče od začetni trenutek (min.) je razpolovna doba. V začetnem trenutku je masa izotopa mg. Njegova razpolovna doba je min. Po koliko minutah bo masa izotopa enaka mg? V redu je: samo vzamemo in nadomestimo vse podatke v formulo, ki nam je predlagana:

Oba dela razdelimo na, "v upanju", da bomo na levi dobili nekaj prebavljivega:

Pa imamo veliko srečo! To je na levi strani, potem pa pojdimo na enakovredno enačbo:

Kje je min.

Kot lahko vidite, imajo eksponentne enačbe zelo realne aplikacije v praksi. Zdaj vam želim pokazati še en (preprost) način za reševanje eksponentnih enačb, ki temelji na vzetju skupnega faktorja iz oklepajev in nato združevanju členov. Naj vas ne prestrašijo moje besede, s to metodo ste se srečali že v 7. razredu, ko ste se učili polinome. Na primer, če bi morali izraz faktorizirati:

Združimo: prvi in tretji člen ter drugi in četrti. Jasno je, da sta prvi in tretji razlika kvadratov:

drugi in četrti pa imata skupni faktor tri:

Potem je prvotni izraz enakovreden temu:

Kje izpeljati skupni faktor ni več težko:

torej

Približno tako bomo naredili pri reševanju eksponentnih enačb: poiskali »skupnost« med izrazi in jo vzeli iz oklepajev, potem pa - naj bo karkoli, verjamem, da bomo imeli srečo =)) Na primer:

Na desni še zdaleč ni potenca sedmih (sem preveril!) In na levi - je malo bolje, faktor a lahko seveda "odsekate" od drugega od prvega člena in nato obravnavate s tem, kar imaš, ampak bodimo bolj preudarni s teboj. Nočem se ukvarjati z ulomki, ki neizogibno nastanejo pri "izbiranju", ali ga torej ne bi raje odstranil? Potem ne bom imel nobenih frakcij: kot pravijo, volkovi so siti in ovce varne:

Izračunaj izraz v oklepaju. Čarobno, čarobno se izkaže, da (presenetljivo, čeprav kaj drugega naj pričakujemo?).

Nato obe strani enačbe zmanjšamo za ta faktor. Dobimo: , od.

Tukaj je bolj zapleten primer (precej malo, res):

Kakšen problem! Tukaj nimamo ene skupne točke! Ni povsem jasno, kaj storiti zdaj. Naredimo, kar je v naši moči: najprej premaknite "štirice" na eno stran in "petice" na drugo:

Zdaj pa izločimo "generala" na levi in desni:

Kaj pa zdaj? Kakšna je korist od tako neumne skupine? Na prvi pogled se sploh ne vidi, a poglejmo globlje:

No, zdaj se bomo prepričali, da imamo na levi samo izraz c, na desni pa vse ostalo. Kako naj to naredimo? Takole: obe strani enačbe najprej delite s (tako se znebimo eksponenta na desni), nato pa obe strani delimo s (tako se znebimo številskega faktorja na levi). Končno dobimo:

Neverjetno! Na levi strani imamo izraz, na desni pa preprost izraz. Potem takoj sklepamo, da

Tu je še en primer za potrditev:

Podal bom njegovo kratko rešitev (ne da bi se mučil z razlagami), poskusite sami razumeti vse "tankosti" rešitve.

Sedaj pa še končna utrditev prejetega gradiva. Poskusite sami rešiti naslednje težave. Podal bom le kratka priporočila in nasvete za njihovo reševanje:

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: Kje:
Predstavimo prvi izraz v obliki: , delimo obe strani z in dobimo to
, potem se prvotna enačba preoblikuje v obliko: No, zdaj pa namig - poiščite, kje sva že rešila to enačbo!
Predstavljajte si, kako, kako, ah, no, nato delite obe strani s, tako da dobite najpreprostejšo eksponentno enačbo.
Izvlecite iz oklepaja.
Izvlecite iz oklepaja.

EKSPONENTNE ENAČBE. SREDNJA NIVO

Predvidevam, da po branju prvega članka, ki je govoril o kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešiti, ste obvladali potrebno minimalno znanje, potrebno za reševanje najpreprostejših primerov.

Zdaj si bom ogledal drugo metodo za reševanje eksponentnih enačb, to je

»metoda uvajanja nove spremenljivke« (ali zamenjave). Rešuje večino »težjih« nalog na temo eksponentnih enačb (pa ne samo enačb). Ta metoda je ena najpogosteje uporabljenih v praksi. Najprej priporočam, da se seznanite s temo.

Kot ste razumeli že iz imena, je bistvo te metode vpeljati takšno spremembo spremenljivke, da se bo vaša eksponentna enačba čudežno spremenila v tisto, ki jo boste zlahka rešili. Vse, kar vam po rešitvi te zelo »poenostavljene enačbe« preostane, je, da naredite »obratno zamenjavo«: torej vrnitev od zamenjanega k zamenjanemu. Ponazorimo, kar smo pravkar povedali, z zelo preprostim primerom:

Primer 1:

Ta enačba je rešena s pomočjo »preproste zamenjave«, kot jo matematiki omalovažujoče imenujejo. Pravzaprav je zamenjava tukaj najbolj očitna. To je treba samo videti

Potem se bo prvotna enačba spremenila v tole:

Če si dodatno predstavljamo, kako, potem je popolnoma jasno, kaj je treba zamenjati: seveda, . Kaj potem postane prvotna enačba? Evo kaj:

Njegove korenine zlahka najdete sami: . Kaj naj storimo zdaj? Čas je, da se vrnemo k prvotni spremenljivki. Kaj sem pozabil omeniti? Namreč: pri zamenjavi določene stopnje z novo spremenljivko (torej pri zamenjavi vrste) me bo zanimalo samo pozitivne korenine! Zakaj, si zlahka odgovorite sami. Tako vas in mene ne zanima, vendar je drugi koren povsem primeren za nas:

Od kod potem.

odgovor:

Kot lahko vidite, je v prejšnjem primeru zamenjava samo prosila za naše roke. Na žalost ni vedno tako. Vendar ne preidimo naravnost na žalostno, ampak vadimo še en primer z dokaj preprosto zamenjavo

Primer 2.

Jasno je, da bomo najverjetneje morali opraviti zamenjavo (to je najmanjša izmed potenc, ki jih vsebuje naša enačba), vendar je treba pred uvedbo zamenjave našo enačbo nanjo »pripraviti«, in sicer: , . Potem lahko zamenjate, kot rezultat dobim naslednji izraz:

Oh groza: kubična enačba z naravnost groznimi formulami za njeno reševanje (no, če govorimo splošni pogled). A ne obupajmo takoj, ampak premislimo, kaj bi morali narediti. Predlagal bom goljufanje: vemo, da moramo dobiti »lep« odgovor, da ga dobimo v obliki neke moči tri (zakaj bi bilo to, kajne?). Poskusimo uganiti vsaj en koren naše enačbe (ugibati bom začel s potencami tri).

Prva ugibanja. Ni koren. Žal in ah ...

.
Leva stran je enaka.
Desna stran:!
Jejte! Uganil prvi koren. Zdaj bodo stvari lažje!

Ali poznate shemo delitve "kota"? Seveda ga imaš, uporabiš ga, ko eno število deliš z drugim. Toda malo ljudi ve, da je enako mogoče storiti s polinomi. Obstaja en čudovit izrek:

Če uporabim mojo situacijo, mi to pove, da je deljivo brez ostanka z. Kako poteka delitev? Evo kako:

Pogledam, s katerim monomom bi moral pomnožiti, da dobim Clearly, nato pa:

Od dobljenega izraza odštejem, dobim:

Zdaj, s čim moram pomnožiti, da dobim? Jasno je, da bom dobil:

in ponovno odštejte dobljeni izraz od preostalega:

No, zadnji korak je množenje in odštevanje od preostalega izraza:

Hura, delitve je konec! Kaj smo si nabrali zasebno? Seveda:.

Nato smo dobili naslednjo razširitev prvotnega polinoma:

Rešimo drugo enačbo:

Ima korenine:

Nato izvirna enačba:

ima tri korenine:

Zadnji koren bomo seveda zavrgli, saj je manjši od nič. In prva dva po obratni zamenjavi nam bosta dala dva korena:

Odgovor: ..

S tem primerom vas sploh nisem želel prestrašiti, ampak je bil moj cilj pokazati, da je kljub temu, da smo imeli dokaj preprosto zamenjavo, vendarle pripeljala do precej zapletene enačbe, katere rešitev je od nas zahtevala nekaj posebnega znanja. No, nihče ni imun pred tem. Toda zamenjava v v tem primeru je bilo precej očitno.

Tukaj je primer z nekoliko manj očitno zamenjavo:

Sploh ni jasno, kaj naj storimo: težava je v tem, da sta v naši enačbi dve različni bazi in ene baze ni mogoče dobiti iz druge tako, da jo dvignemo na katero koli (seveda razumno) potenco. Vendar, kaj vidimo? Obe bazi se razlikujeta le v predznaku, njun produkt pa je razlika kvadratov enaka ena:

definicija:

Tako so števila, ki so osnove v našem primeru, konjugirana.

V tem primeru bi bil pameten korak Pomnožite obe strani enačbe s konjugiranim številom.

Na primer, on, potem bo leva stran enačbe enaka in desna. Če naredimo zamenjavo, bo naša prvotna enačba postala taka:

njegove korenine torej in če se tega spomnimo, to razumemo.

Odgovor: , .

Nadomestna metoda praviloma zadostuje za rešitev večine »šolskih« eksponentnih enačb. Naslednje naloge so vzete iz enotnega državnega izpita C1 ( povečana raven kompleksnost). Ste že dovolj pismeni, da te primere rešite sami. Dam samo zahtevano zamenjavo.

Reši enačbo:
Poiščite korenine enačbe:
Reši enačbo: . Poiščite vse korene te enačbe, ki pripadajo segmentu:

Zdaj pa še nekaj kratkih pojasnil in odgovorov:

Tukaj je dovolj, da ugotovimo, da ... Potem bo prvotna enačba enakovredna tej: To enačbo je mogoče rešiti z zamenjavo Nadaljnje izračune naredite sami. Na koncu se bo vaša naloga zmanjšala na reševanje preprostih trigonometričnih problemov (odvisno od sinusa ali kosinusa). Rešitve podobnih primerov si bomo ogledali v drugih razdelkih.
Tukaj lahko celo storite brez zamenjave: samo premaknite subtrahend v desno in predstavite obe bazi s potencami dvojke: , nato pa pojdite naravnost na kvadratno enačbo.
Tudi tretja enačba je rešena precej standardno: predstavljajmo si, kako. Nato z zamenjavo dobimo kvadratno enačbo: potem,
Saj že veste, kaj je logaritem, kajne? ne? Potem pa nujno preberi temo!

Prvi koren očitno ne pripada segmentu, drugi pa je nejasen! A izvedeli bomo zelo kmalu! Ker torej (to je lastnost logaritma!) Primerjajmo:

Odštejemo z obeh strani, potem dobimo:

Levo stran lahko predstavimo kot:

pomnoži obe strani z:

potem lahko pomnožimo s

Nato primerjajte:

od takrat:

Potem drugi koren pripada zahtevanemu intervalu

odgovor:

Kot vidite, izbira korenin eksponentnih enačb zahteva dokaj globoko poznavanje lastnosti logaritmov, zato vam svetujem, da ste pri reševanju eksponentnih enačb čim bolj previdni. Kot razumete, je v matematiki vse med seboj povezano! Kot je rekel moj učitelj matematike: "matematike, tako kot zgodovine, ni mogoče brati čez noč."

Praviloma vse Težava pri reševanju nalog C1 je ravno izbira korenin enačbe. Vadimo še z enim primerom:

Jasno je, da se sama enačba reši povsem preprosto. Z zamenjavo zmanjšamo prvotno enačbo na naslednje:

Najprej si oglejmo prvi koren. Primerjajmo in: od takrat. (lastnost logaritemske funkcije, at). Potem je jasno, da prvi koren ne pripada našemu intervalu. Zdaj drugi koren: . Jasno je, da (ker funkcija pri narašča). Ostaja še primerjava in...

saj torej hkrati. Tako lahko »zabijem klin« med in. Ta klin je številka. Prvi izraz je manjši, drugi pa večji. Potem je drugi izraz večji od prvega in koren pripada intervalu.

Odgovor: .

Nazadnje si poglejmo še en primer enačbe, kjer je zamenjava precej nestandardna:

Začnimo takoj s tem, kaj je mogoče storiti in kaj - načeloma je mogoče storiti, vendar je bolje, da tega ne storite. Vse si lahko predstavljate skozi moči tri, dve in šest. Kaj bo to vodilo? To ne bo vodilo do ničesar: zmešnjava stopinj, od katerih se bo nekaterih precej težko znebiti. Kaj je potem potrebno? Upoštevajmo, da a In kaj nam bo to dalo? In dejstvo, da lahko zmanjšamo odločitev ta primer Za rešitev je dovolj preprosta eksponentna enačba! Najprej zapišimo našo enačbo kot:

Zdaj delimo obe strani dobljene enačbe z:

Eureka! Zdaj lahko zamenjamo, dobimo:

No, zdaj ste vi na vrsti, da rešite zgledne naloge in dal jih bom samo kratki komentarji da ne zaideš prava pot! vso srečo!

1. Najtežji! Tukaj je tako težko videti zamenjavo! Toda kljub temu je ta primer mogoče popolnoma rešiti z uporabo izpust polni kvadrat . Za rešitev je dovolj upoštevati, da:

Potem je tukaj vaša zamenjava:

(Upoštevajte, da tukaj med našo zamenjavo ne moremo zavreči negativnega korena!!! Kaj mislite, zakaj?)

Če želite zdaj rešiti primer, morate rešiti samo dve enačbi:

Oboje je mogoče rešiti s "standardno zamenjavo" (toda drugo v enem primeru!)

2. Upoštevajte to in zamenjajte.

3. Število razgradi na soproste faktorje in dobljeni izraz poenostavi.

4. Števec in imenovalec ulomka delite z (ali, če želite) in opravite zamenjavo oz.

5. Upoštevajte, da sta števili in konjugirani.

EKSPONENTNE ENAČBE. NAPREDNA STOPNJA

Poleg tega poglejmo še en način - reševanje eksponentnih enačb z logaritemsko metodo. Ne morem reči, da je reševanje eksponentnih enačb s to metodo zelo priljubljeno, vendar nas le v nekaterih primerih lahko pripelje do prava odločitev naša enačba. Še posebej pogosto se uporablja za reševanje t.i. mešane enačbe": torej tiste, kjer se pojavljajo funkcije različnih vrst.

Na primer, enačba oblike:

v splošnem primeru jo je mogoče rešiti le z logaritmiranjem obeh strani (na primer na osnovo), pri čemer se bo prvotna enačba spremenila v naslednje:

Poglejmo si naslednji primer:

Jasno je, da nas glede na ODZ logaritemske funkcije zanima samo. Vendar to ne izhaja le iz ODZ logaritma, ampak še iz enega razloga. Mislim, da vam ne bo težko uganiti, kateri je.

Vzemimo logaritem obeh strani naše enačbe k osnovi:

Kot vidite, nas je logaritem naše prvotne enačbe hitro pripeljal do pravilnega (in čudovitega!) odgovora. Vadimo še z enim primerom:

Tudi tukaj ni nič narobe: vzemimo logaritem obeh strani enačbe k osnovi, potem dobimo:

Naredimo zamenjavo:

Vendar smo nekaj zamudili! Ste opazili, kje sem naredil napako? Konec koncev, potem:

ki ne izpolnjuje zahteve (pomislite, od kod prihaja!)

odgovor:

Poskusite zapisati rešitev spodnjih eksponentnih enačb:

Zdaj primerjajte svojo odločitev s tem:

1. Logaritmirajmo obe strani na osnovo, pri čemer upoštevamo, da:

(drugi koren za nas ni primeren zaradi zamenjave)

2. Logaritem na osnovo:

Pretvorimo dobljeni izraz v naslednjo obliko:

EKSPONENTNE ENAČBE. KRATEK OPIS IN OSNOVNE FORMULE

Eksponentna enačba

Enačba oblike:

klical najenostavnejša eksponentna enačba.

Lastnosti stopinj

Pristopi k rešitvi

Redukcija na isto osnovo
Redukcija na isti eksponent
Spremenljiva zamenjava
Poenostavitev izraza in uporaba enega od zgornjih.

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Človek je enačbe uporabljal že v pradavnini, od takrat pa se je njihova uporaba le še povečala. Potenčne ali eksponentne enačbe so enačbe, v katerih so spremenljivke na potencah, osnova pa je število. Na primer:

Reševanje eksponentne enačbe je sestavljeno iz dveh dokaj preprostih korakov:

1. Preveriti morate, ali sta osnovi enačbe na desni in levi enaki. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.

2. Ko osnovi postaneta enaki, izenačimo stopnje in rešimo nastalo novo enačbo.

Recimo, da imamo eksponentno enačbo naslednje oblike:

Začetek rešitve podana enačba stroški iz analize podlage. Osnovi sta različni – 2 in 4, vendar za rešitev potrebujemo, da sta enaki, zato transformiramo 4 z naslednjo formulo -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Prvotni enačbi dodamo:

Vzemimo iz oklepaja \

Izrazimo \

Ker sta stopnji enaki, ju zavržemo:

Odgovor: \

Kje lahko rešim eksponentno enačbo s spletnim reševalcem?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da rešite enačbo na spletu koli kompleksnost v nekaj sekundah. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite reševati enačbo na naši spletni strani. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

Ta lekcija je namenjena tistim, ki se šele začenjajo učiti eksponentnih enačb. Kot vedno, začnimo z definicijo in preprostimi primeri.

Če berete to lekcijo, potem sumim, da že vsaj minimalno razumete najpreprostejše enačbe - linearne in kvadratne: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Sposobnost reševanja takšnih konstrukcij je nujno potrebna, da se ne "zataknemo" v temi, o kateri bomo zdaj razpravljali.

Torej, eksponentne enačbe. Naj vam navedem nekaj primerov:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Nekateri se vam morda zdijo bolj zapleteni, drugi pa so, nasprotno, preveč preprosti. Vsem pa je skupna ena pomembna lastnost: njihov zapis vsebuje eksponentno funkcijo $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Tako predstavimo definicijo:

Eksponentna enačba je vsaka enačba, ki vsebuje eksponentno funkcijo, tj. izraz v obliki $((a)^(x))$. Poleg navedene funkcije lahko takšne enačbe vsebujejo tudi druge algebraične konstrukcije - polinome, korene, trigonometrijo, logaritme itd.

OK potem. Razvrstili smo definicijo. Zdaj se postavlja vprašanje: kako rešiti vso to sranje? Odgovor je hkrati preprost in zapleten.

Začnimo z dobro novico: iz mojih izkušenj pri poučevanju številnih učencev lahko rečem, da večina od njih veliko lažje najde eksponentne enačbe kot iste logaritme, še bolj pa trigonometrijo.

Vendar obstaja slaba novica: včasih sestavljavce nalog za najrazličnejše učbenike in izpite zadene »navdih« in njihovi od mamil vneti možgani začnejo proizvajati tako brutalne enačbe, da njihovo reševanje postane problematično ne le za študente – tudi za mnoge učitelje. nasedati pri takšnih težavah.

Vendar, da ne govorimo o žalostnih stvareh. Pa se vrnimo k tistim trem enačbam, ki so bile podane na samem začetku zgodbe. Poskusimo rešiti vsakega od njih.

Prva enačba: $((2)^(x))=4$. No, na kakšno potenco morate dvigniti število 2, da dobite število 4? Verjetno drugo? Navsezadnje je $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - in dobili smo pravilno numerično enakost, tj. res $x=2$. No, hvala, Cap, ampak ta enačba je bila tako preprosta, da bi jo lahko rešila celo moja mačka :)

Poglejmo naslednjo enačbo:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Toda tukaj je malo bolj zapleteno. Mnogi učenci vedo, da je $((5)^(2))=25$ tabela množenja. Nekateri tudi sumijo, da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ v bistvu definicija negativnih potenc (podobno formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Končno le nekaj izbranih spozna, da je ta dejstva mogoče združiti in prinesti naslednji rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Tako bo naša prvotna enačba prepisana na naslednji način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\desna puščica ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ampak to je že povsem rešljivo! Na levi v enačbi je eksponentna funkcija, na desni v enačbi je eksponentna funkcija, razen njih ni nikjer ničesar drugega. Zato lahko "zavržemo" baze in neumno enačimo kazalnike:

Dobili smo najpreprostejšo linearno enačbo, ki jo lahko vsak učenec reši v le nekaj vrsticah. V redu, v štirih vrsticah:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Če ne razumete, kaj se je dogajalo v zadnjih štirih vrsticah, se vrnite na temo " linearne enačbe« in ponovi. Ker je brez jasnega razumevanja te teme prezgodaj, da bi se lotili eksponentnih enačb.

\[((9)^(x))=-3\]

Torej, kako lahko to rešimo? Prva misel: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, zato lahko izvirno enačbo prepišemo takole:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Potem se spomnimo, da se pri dvigovanju potence na potenco eksponenti pomnožijo:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=((3)^(2x))\Desna puščica ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

In za takšno odločitev bomo prejeli pošteno zasluženo dvojko. Kajti s pokemonsko ravnodušnostjo smo znak minus pred trojko poslali na potenco prav te trojke. Ampak tega ne morete storiti. In tukaj je razlog. Oglejte si različne moči treh:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Pri sestavljanju te tablice nisem ničesar sprevrgel: pogledal sem pozitivne potence, negativne in celo ulomke ... no, kje je tukaj vsaj eno negativno število? Odšel je! In ne more biti, ker eksponentna funkcija $y=((a)^(x))$, prvič, vedno zavzema samo pozitivne vrednosti (ne glede na to, koliko je ena pomnožena ali deljena z dvema, bo še vedno pozitivno število), in drugič, osnova takšne funkcije - število $a$ - je po definiciji pozitivno število!

No, kako potem rešiti enačbo $((9)^(x))=-3$? Ampak nikakor: ni korenin. In v tem smislu so eksponentne enačbe zelo podobne kvadratnim enačbam - morda tudi ni korenin. Če pa je v kvadratnih enačbah število korenin določeno z diskriminantom (pozitivna diskriminanta - 2 korena, negativna - brez korenin), potem je v eksponentnih enačbah vse odvisno od tega, kaj je desno od znaka enakovrednosti.

Zato oblikujmo ključni sklep: najenostavnejša eksponentna enačba oblike $((a)^(x))=b$ ima koren takrat in samo, če je $b>0$. Če poznate to preprosto dejstvo, lahko zlahka ugotovite, ali ima predlagana enačba korenine ali ne. Tisti. Ali se ga sploh splača reševati ali takoj zapisati, da ni korenin.

To znanje nam bo velikokrat v pomoč, ko se bomo morali več odločati kompleksne naloge. Za zdaj dovolj besedil - čas je, da preučimo osnovni algoritem za reševanje eksponentnih enačb.

Kako rešiti eksponentne enačbe

Torej, formulirajmo problem. Rešiti je treba eksponentno enačbo:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Po “naivnem” algoritmu, ki smo ga uporabili prej, je treba število $b$ predstaviti kot potenco števila $a$:

Poleg tega, če je namesto spremenljivke $x$ kateri koli izraz, bomo dobili novo enačbo, ki jo je že mogoče rešiti. Na primer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Desna puščica ((3)^(-x))=((3)^(4))\Desna puščica -x=4\Desna puščica x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Desna puščica ((5)^(2x))=((5)^(3))\Desna puščica 2x=3\Desna puščica x=\frac(3)( 2). \\\konec(poravnaj)\]

In nenavadno je, da ta shema deluje v približno 90% primerov. Kaj pa preostalih 10%? Preostalih 10% so rahlo "shizofrene" eksponentne enačbe oblike:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

No, na kakšno potenco morate dvigniti 2, da dobite 3? prvi? Ampak ne: $((2)^(1))=2$ ni dovolj. drugič? Tudi ne: $((2)^(2))=4$ je preveč. Katerega potem?

Poznavalci so verjetno že uganili: v takih primerih, ko ni mogoče rešiti "lepo", pride v poštev "težka artilerija" - logaritmi. Naj vas spomnim, da lahko z uporabo logaritmov vsako pozitivno število predstavimo kot potenco katerega koli drugega pozitivnega števila (razen enega):

Se spomnite te formule? Ko svojim učencem govorim o logaritmih, vedno opozarjam: ta formula (je tudi glavna logaritemska identiteta ali, če hočete, definicija logaritma) vas bo preganjala zelo dolgo in se "pojavila" v večini nepričakovana mesta. Pa se je pojavila. Poglejmo našo enačbo in to formulo:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Če predpostavimo, da je $a=3$ naše prvotno število na desni in je $b=2$ sama osnova eksponentne funkcije, na katero tako želimo reducirati desno stran, dobimo naslednje:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Desna puščica ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Desna puščica x=( (\log )_(2))3. \\\konec(poravnaj)\]

Prejeli smo nekoliko čuden odgovor: $x=((\log )_(2))3$. Pri kakšni drugi nalogi bi ob takem odgovoru marsikdo podvomil in bi svojo rešitev začel še enkrat preverjati: kaj pa če se je nekje prikradla napaka? Hitro vas prosim: tukaj ni nobene napake in logaritmi v koreninah eksponentnih enačb so povsem tipična situacija. Tako da se navadi :)

Zdaj pa analogno rešimo preostali dve enačbi:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Desna puščica ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Desna puščica 2x=( (\log )_(4))11\desna puščica x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\konec(poravnaj)\]

To je to! Mimogrede, zadnji odgovor je mogoče zapisati drugače:

Argumentu logaritma smo uvedli množitelj. Toda nihče nam ne preprečuje, da bi temu faktorju dodali osnovo:

Poleg tega so vse tri možnosti pravilne - preprosto je različne oblike zapisov z isto številko. Katerega boste izbrali in zapisali v to rešitev, se odločite sami.

Tako smo se naučili reševati poljubne eksponentne enačbe oblike $((a)^(x))=b$, kjer sta števili $a$ in $b$ strogo pozitivni. Vendar pa je kruta realnost našega sveta taka preproste naloge boste srečali zelo, zelo redko. Pogosteje boste naleteli na nekaj takega:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

Torej, kako lahko to rešimo? Je to sploh mogoče rešiti? In če da, kako?

Ne bom paničen. Vse te enačbe je mogoče hitro in enostavno reducirati na preproste formule ki smo jih že upoštevali. Zapomniti si morate le nekaj trikov iz tečaja algebre. In seveda ni pravil za delo z diplomami. Povedal vam bom o vsem tem. :)

Pretvorba eksponentnih enačb

Prva stvar, ki si jo morate zapomniti: vsako eksponentno enačbo, ne glede na to, kako zapletena je, je tako ali drugače treba zmanjšati na najpreprostejše enačbe - tiste, ki smo jih že obravnavali in jih znamo rešiti. Z drugimi besedami, shema za reševanje katere koli eksponentne enačbe izgleda takole:

Zapišite prvotno enačbo. Na primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Naredi nekaj čudnega. Ali celo kakšno sranje, imenovano "pretvori enačbo";
Na izhodu dobite najpreprostejše izraze v obliki $((4)^(x))=4$ ali kaj podobnega. Poleg tega lahko ena začetna enačba poda več takih izrazov hkrati.

S prvo točko je vse jasno - celo moja mačka zna napisati enačbo na list papirja. Tudi tretja točka se zdi bolj ali manj jasna - zgoraj smo rešili že cel kup takih enačb.

Kaj pa druga točka? Kakšne preobrazbe? Pretvoriti kaj v kaj? In kako?

No, poglejmo. Najprej bi rad opozoril na naslednje. Vse eksponentne enačbe so razdeljene v dve vrsti:

Enačba je sestavljena iz eksponentnih funkcij z isto bazo. Primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formula vsebuje eksponentne funkcije z različnimi razlogi. Primeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ in $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.

Začnimo z enačbami prve vrste – te so najlažje rešljive. In pri njihovem reševanju nam bo pomagala takšna tehnika, kot je poudarjanje stabilnih izrazov.

Izolacija stabilnega izraza

Poglejmo še enkrat to enačbo:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Kaj vidimo? Štirje so povišani na različne stopnje. Toda vse te stopnje - enostavne vsote spremenljivko $x$ z drugimi števili. Zato se je treba spomniti pravil za delo z diplomami:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\konec(poravnaj)\]

Preprosto povedano, seštevanje je mogoče pretvoriti v produkt potenc, odštevanje pa zlahka pretvoriti v deljenje. Poskusimo te formule uporabiti za stopinje iz naše enačbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\konec(poravnaj)\]

Prepišimo prvotno enačbo ob upoštevanju tega dejstva in nato zberimo vse člene na levi:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\konec(poravnaj)\]

Prvi štirje členi vsebujejo element $((4)^(x))$ - vzemimo ga iz oklepaja:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \desno)=-11. \\\konec(poravnaj)\]

Ostaja še deliti obe strani enačbe z ulomkom $-\frac(11)(4)$, tj. v bistvu pomnožite z obrnjenim ulomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobimo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\konec(poravnaj)\]

To je to! Prvotno enačbo smo zreducirali na najpreprostejšo obliko in dobili končni odgovor.

Hkrati smo v procesu reševanja odkrili (in ga celo vzeli iz oklepaja) skupni faktor $((4)^(x))$ - to je stabilen izraz. Lahko jo označite kot novo spremenljivko ali pa jo preprosto natančno izrazite in dobite odgovor. V vsakem primeru je ključno načelo rešitve naslednje:

V izvirni enačbi poiščite stabilen izraz, ki vsebuje spremenljivko, ki jo zlahka ločite od vseh eksponentnih funkcij.

Dobra novica je, da skoraj vsaka eksponentna enačba omogoča izolacijo tako stabilnega izraza.

Toda slaba novica je, da so lahko ti izrazi precej zapleteni in jih je zelo težko prepoznati. Pa poglejmo še en problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Morda bo kdo zdaj imel vprašanje: "Paša, ali si kamenjen? Tu so različne baze – 5 in 0,2.” Toda poskusimo pretvoriti moč v osnovo 0,2. Na primer, znebimo se decimalnega ulomka tako, da ga zmanjšamo na navadnega:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(2)(10 ) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)) )\]

Kot vidite, se je številka 5 vseeno pojavila, čeprav v imenovalcu. Hkrati je bil kazalnik prepisan kot negativen. In zdaj se spomnimo enega od najpomembnejša pravila delo z diplomami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Desna puščica ((\levo(\frac(1)(5) \desno))^( -\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(5)(1) \desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tukaj sem seveda malo ležal. Ker je za popolno razumevanje morala biti formula za odpravo negativnih indikatorjev zapisana takole:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\levo(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \desno)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Po drugi strani pa nam nič ni preprečilo delati samo z ulomki:

\[((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(((5)^(-1)) \ desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((5)^(\levo(-1 \desno)\cdot \levo(-\levo(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Toda v tem primeru morate biti sposobni dvigniti moč na drugo moč (naj vas spomnim: v tem primeru se indikatorji seštejejo). Vendar mi ni bilo treba "obrniti" ulomkov - morda bo to komu lažje :).

V vsakem primeru bo prvotna eksponentna enačba prepisana kot:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\konec(poravnaj)\]

Tako se izkaže, da je prvotno enačbo mogoče rešiti še preprosteje kot prej obravnavano: tukaj vam sploh ni treba izbrati stabilnega izraza - vse se je zmanjšalo samo po sebi. Zapomniti si moramo le, da je $1=((5)^(0))$, iz katerega dobimo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\konec(poravnaj)\]

To je rešitev! Dobili smo končni odgovor: $x=-2$. Hkrati bi rad opozoril na eno tehniko, ki nam je močno poenostavila vse izračune:

V eksponentnih enačbah se znebite decimalke, jih pretvorite v običajne. To vam bo omogočilo, da vidite enake osnove stopinj in močno poenostavite rešitev.

Pojdimo zdaj k bolj zapletenim enačbam, v katerih obstajajo različne baze, ki jih ena na drugo sploh ni mogoče reducirati s potenci.

Uporaba lastnosti stopinj

Naj vas spomnim, da imamo še dve posebej ostri enačbi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

Glavna težava pri tem je, da ni jasno, kaj dati in na kakšni podlagi. Kje so stabilni izrazi? Kje so enaki razlogi? Nič od tega ni.

Toda poskusimo iti drugače. Če ni pripravljenih enake podlage, jih lahko poskusite najti tako, da faktorizirate obstoječe baze.

Začnimo s prvo enačbo:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\desna puščica ((21)^(3x))=((\levo(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\konec(poravnaj)\]

Lahko pa storite nasprotno - naredite številko 21 iz številk 7 in 3. To je še posebej enostavno narediti na levi, saj sta indikatorja obeh stopinj enaka:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\konec(poravnaj)\]

To je to! Eksponent ste vzeli zunaj produkta in takoj dobili lepo enačbo, ki jo je mogoče rešiti v nekaj vrsticah.

Zdaj pa poglejmo drugo enačbo. Tukaj je vse veliko bolj zapleteno:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\levo(\frac(27)(10) \desno))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

V tem primeru se je izkazalo, da so ulomki nezmanjšani, če pa je mogoče nekaj zmanjšati, se prepričajte, da to zmanjšate. Pogosto se bodo pojavili zanimivi razlogi, s katerimi že lahko delate.

Na žalost se nam ni pokazalo nič posebnega. Toda vidimo, da sta eksponenta na levi v produktu nasprotna:

Naj vas spomnim: da se znebite znaka minus v indikatorju, morate samo "obrniti" ulomek. No, prepišimo prvotno enačbo:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\levo(100\cdot \frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\levo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\konec(poravnaj)\]

V drugi vrstici smo preprosto vzeli skupni eksponent iz produkta iz oklepaja v skladu s pravilom $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, v zadnjem pa so število 100 preprosto pomnožili z ulomkom.

Upoštevajte, da sta številki na levi (na dnu) in na desni nekoliko podobni. kako Ja, očitno je: gre za potence istega števila! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Tako bo naša enačba prepisana na naslednji način:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\levo(((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3)) \desno))^(x-1))=((\levo(\frac(10) )(3) \desno))^(3\levo(x-1 \desno)))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3x-3))\]

V tem primeru lahko na desni strani dobite tudi diplomo z isto osnovo, za katero je dovolj, da preprosto "obrnete" ulomek:

\[((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(-2))\]

Naša enačba bo končno dobila obliko:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\konec(poravnaj)\]

To je rešitev. Njegova glavna ideja se spušča v to, da tudi z različnimi bazami poskušamo te baze z zvijačo ali zvijačo zreducirati na isto stvar. Pri tem nam pomagajo elementarne transformacije enačb in pravila za delo s potencami.

Toda kakšna pravila in kdaj uporabiti? Kako razumete, da morate v eni enačbi obe strani deliti z nečim, v drugi pa faktorizirati osnovo eksponentne funkcije?

Odgovor na to vprašanje bo prišel z izkušnjami. Najprej se preizkusite preproste enačbe, nato pa postopoma zapletajte naloge - in zelo kmalu bodo vaše spretnosti zadostovale za reševanje katere koli eksponentne enačbe iz istega enotnega državnega izpita ali katerega koli neodvisnega/testnega dela.

In da vam pomagam pri tej težki nalogi, predlagam, da z mojega spletnega mesta prenesete nabor enačb, da jo rešite sami. Vse enačbe imajo odgovore, zato se lahko vedno preizkusite.

Vklopljeno to lekcijo Ogledali si bomo reševanje zahtevnejših eksponentnih enačb in se spomnili osnovnih teoretičnih principov glede eksponentne funkcije.

1. Definicija in lastnosti eksponentne funkcije, metode reševanja najenostavnejših eksponentnih enačb

Spomnimo se definicije in osnovnih lastnosti eksponentne funkcije. Na teh lastnostih temelji rešitev vseh eksponentnih enačb in neenačb.

Eksponentna funkcija je funkcija oblike , kjer je osnova stopnja in tukaj je x neodvisna spremenljivka, argument; y je odvisna spremenljivka, funkcija.

riž. 1. Graf eksponentne funkcije

Graf prikazuje naraščajoče in padajoče eksponente, ki ponazarjajo eksponentno funkcijo z osnovo večjo od ena in manjšo od ena, vendar večjo od nič.

Obe krivulji potekata skozi točko (0;1)

Lastnosti eksponentne funkcije:

Področje uporabe: ;

Razpon vrednosti: ;

Funkcija je monotona, narašča z, pada z.

Monotona funkcija sprejme vsako svojo vrednost z eno samo vrednostjo argumenta.

Ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija poveča od vključno nič do plus neskončnosti. Nasprotno, ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija zmanjša od neskončnosti do nič, ne vključno.

2. Reševanje standardnih eksponentnih enačb

Naj vas spomnimo, kako rešiti najenostavnejše eksponentne enačbe. Njihova rešitev temelji na monotonosti eksponentne funkcije. Skoraj vse kompleksne eksponentne enačbe je mogoče reducirati na takšne enačbe.

Enakost eksponentov z enakimi bazami je posledica lastnosti eksponentne funkcije, in sicer njene monotonosti.

Metoda rešitve:

Izenači stopinjske osnove;

Izenačite eksponente.

Pojdimo k obravnavanju bolj zapletenih eksponentnih enačb; naš cilj je reducirati vsako od njih na najpreprostejšo.

Znebimo se korena na levi strani in pripeljemo stopinje na isto osnovo:

Da bi zmanjšali kompleksno eksponentno enačbo na njeno najpreprostejšo, se pogosto uporablja zamenjava spremenljivk.

Uporabimo lastnost moči:

Uvajamo zamenjavo. Naj bo potem. S takšno zamenjavo je očitno, da y zavzame strogo pozitivne vrednosti. Dobimo:

Pomnožimo dobljeno enačbo z dve in premaknimo vse člene na levo stran:

Prvi koren ne zadošča obsegu vrednosti y, zato ga zavržemo. Dobimo:

Zmanjšajmo stopinje na isti indikator:

Predstavimo zamenjavo:

Naj bo potem . S takšno zamenjavo je očitno, da y zavzame strogo pozitivne vrednosti. Dobimo:

Če znamo rešiti takšne kvadratne enačbe, lahko zapišemo odgovor:

Da bi se prepričali, ali so korenine pravilno najdene, lahko preverite z uporabo Vietovega izreka, tj. poiščete vsoto korenin in njihov produkt ter ju primerjate z ustreznimi koeficienti enačbe.

Dobimo:

3. Metodologija reševanja homogenih eksponentnih enačb druge stopnje

Preučimo naslednje pomembna vrsta eksponentne enačbe:

Enačbe te vrste se imenujejo homogene druge stopnje glede na funkciji f in g. Na levi strani je kvadratni trinom glede na f s parametrom g ali kvadratni trinom glede na g s parametrom f.

Metoda rešitve:

To enačbo je mogoče rešiti kot kvadratno enačbo, vendar je lažje narediti drugače. Upoštevati je treba dva primera:

V prvem primeru dobimo

V drugem primeru imamo pravico deliti z najvišjo stopnjo in dobiti: