Logaritem pozitivnega števila b na osnovi a (a>0, a ni enako 1) je število c tako, da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Upoštevajte, da je logaritem nepozitivnega števila nedefiniran. Poleg tega mora biti osnova logaritma pozitivno število, ki ni enako 1. Na primer, če kvadriramo -2, dobimo število 4, vendar to ne pomeni, da je osnovni -2 logaritem 4 enak do 2.
Osnovna logaritemska identiteta
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Pomembno je, da je obseg definicije desne in leve strani te formule različen. Leva stran je definirana samo za b>0, a>0 in a ≠ 1. Desna stran je definirana za poljuben b in sploh ni odvisna od a. Tako lahko uporaba osnovne logaritemske "identitete" pri reševanju enačb in neenačb povzroči spremembo OD.
Dve očitni posledici definicije logaritma
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Res je, da pri dvigu števila a na prvo potenco dobimo enako število, pri dvigu na ničelno potenco pa dobimo enoto.
Logaritem produkta in logaritem količnika
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Šolarje bi rad posvaril pred nepremišljeno uporabo teh formul pri reševanju logaritemske enačbe in neenakosti. Pri njihovi uporabi »od leve proti desni« se ODZ zoži, pri prehodu iz vsote ali razlike logaritmov na logaritem produkta ali količnika pa se ODZ razširi.
Dejansko je izraz log a (f (x) g (x)) definiran v dveh primerih: ko sta obe funkciji strogo pozitivni ali ko sta f (x) in g (x) obe manjši od nič.
S pretvorbo tega izraza v vsoto log a f (x) + log a g (x) smo se prisiljeni omejiti le na primer, ko je f(x)>0 in g(x)>0. Obstaja zoženje obsega sprejemljivih vrednosti, kar je kategorično nesprejemljivo, saj lahko povzroči izgubo rešitev. Podoben problem obstaja za formulo (6).
Stopnjo lahko vzamemo iz znaka logaritma
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)In spet bi rad pozval k natančnosti. Razmislite o naslednjem primeru:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Leva stran enakosti je očitno definirana za vse vrednosti f(x), razen nič. Desna stran je samo za f(x)>0! Z odvzemom stopnje logaritmu ponovno zožimo ODZ. Obratni postopek vodi do razširitve območja sprejemljivih vrednosti. Vse te opombe ne veljajo samo za potencijo 2, ampak tudi za katero koli sodo potencijo.
Formula za prehod na novo podlago
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Tisti redki primer, ko se ODZ med transformacijo ne spremeni. Če ste pametno izbrali osnovo c (pozitivno in ni enako 1), je formula za prehod na novo osnovo popolnoma varna.
Če za novo osnovo c izberemo število b, dobimo pomemben poseben primer formule (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Nekaj preprostih primerov z logaritmi
Primer 1. Izračunajte: log2 + log50.
rešitev. log2 + log50 = log100 = 2. Uporabili smo formulo za vsoto logaritmov (5) in definicijo decimalnega logaritma.
Primer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
rešitev. log125/log5 = log 5 125 = 3. Uporabili smo formulo za premik na novo bazo (8).
Tabela formul, povezanih z logaritmi
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
274. Opombe.
A)Če izraz, ki ga želite ovrednotiti, vsebuje vsota oz razlikaštevila, potem jih je treba najti brez pomoči tabel z navadnim seštevanjem ali odštevanjem. Npr.
log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
b)Če znamo logaritmirati izraze, lahko, obratno, z ta rezultat uporaba logaritmov za iskanje izraza, iz katerega je bil dobljen ta rezultat; torej če
dnevnik X= dnevnik a+log b- 3 dnevnika z,
potem je to enostavno razumeti
V) Preden preidemo na obravnavo strukture logaritemskih tabel, bomo navedli nekatere lastnosti decimalnih logaritmov, tj. tiste, pri katerih je za osnovo vzeto število 10 (samo taki logaritmi se uporabljajo za izračune).
Drugo poglavje.
Lastnosti decimalnih logaritmov.
275 . A) Ker je 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 itd., potem je log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 itd.
pomeni, Logaritem celega števila, ki ga predstavlja ena z ničlami, je pozitivno celo število, ki vsebuje toliko enic, kolikor je ničel v predstavitvi števila.
Torej: log 100.000 = 5, dnevnik 1000 000 = 6 itd.
b) Ker
log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, itd.
pomeni, logaritem decimalno, predstavljeno z enoto s predhodnimi ničlami, je negativno celo število, ki vsebuje toliko negativnih enic, kolikor je ničel v predstavitvi ulomka, vključno z 0 celimi števili.
Torej: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6, itd.
V) Vzemimo na primer celo število, ki ni predstavljeno z enico in ničlami. 35 ali na primer celo število z ulomkom. 10.7. Logaritem takšnega števila ne more biti celo število, saj z dvigom 10 na potenco s celim eksponentom (pozitivnim ali negativnim) dobimo 1 z ničlami (za 1 ali pred njo). Predpostavimo zdaj, da je logaritem takega števila nek ulomek a / b . Potem bi bili enakopravni
Toda te enakosti so nemogoče, saj 10A obstajajo 1 z ničlami, medtem ko so stopnje 35b in 10,7b s katerim koli ukrepom b ne more podati 1, ki ji sledijo ničle. To pomeni, da ne moremo dovoliti dnevnik 35 in dnevnik 10.7 so bile enake ulomkom. Toda iz lastnosti logaritemske funkcije vemo (), da ima vsako pozitivno število logaritem; posledično ima vsako od števil 35 in 10,7 svoj logaritem in ker ne more biti ne celo število ne ulomek, je iracionalno število in ga zato ni mogoče natančno izraziti s števili. Iracionalni logaritmi so običajno izraženi približno kot decimalni ulomek z več decimalnimi mesti. Pokliče se celotno število tega ulomka (tudi če bi bilo »0 celih števil«). značilnost, ulomek pa je mantisa logaritma. Če je na primer logaritem 1,5441 , potem je njegova značilnost enaka 1 , in mantisa je 0,5441 .
G) Vzemimo na primer neko celo število ali mešano število. 623 oz 623,57 . Logaritem takega števila je sestavljen iz karakteristike in mantise. Izkazalo se je, da so decimalni logaritmi priročni, da vedno lahko poiščemo njihove značilnosti po eni vrsti števila . Da bi to naredili, preštejemo, koliko števk je v danem celem številu ali v celem delu mešano število, V naših primerih teh številk 3 . Zato je vsaka od številk 623 in 623,57 več kot 100, vendar manj kot 1000; to pomeni, da je logaritem vsakega izmed njih večji dnevnik 100, torej več 2 , vendar manj dnevnik 1000, torej manj 3 (ne pozabite, da ima večje število tudi večji logaritem). torej dnevnik 623 = 2,..., In dnevnik 623,57 = 2,... (pike nadomestijo neznane mantise).
Tako najdemo:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 dnevnik 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 dnevnik 8634 = 3,... |
Naj na splošno dano celo število ali celo število danega mešanega števila vsebuje m številke Ker je najmanjše celo število, ki vsebuje m številke, ja 1 z m - 1 ničle na koncu, nato (kar označuje to številko n) lahko zapišemo neenakosti:
in zato,
m - 1 < log N < m ,
log N = ( m- 1) + pozitivni ulomek.
Značilnost torej logN = m - 1 .
Na ta način vidimo, da značilnost logaritma celega ali mešanega števila vsebuje toliko pozitivnih enot, kolikor števk je v celem delu števila minus ena.
Ko to opazimo, lahko neposredno zapišemo:
dnevnik 7,205 = 0,...; dnevnik 83 = 1,...; dnevnik 720,4 = 2,... itd.
d) Vzemimo nekaj decimalnih ulomkov manjše 1 (tj. imeti 0 celota): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, itd.
Tako je vsak od teh logaritmov vsebovan med dvema negativnima celima številoma, ki se razlikujeta za eno enoto; zato je vsako od njih enako manjšemu od teh negativnih števil, povečanemu za nek pozitivni ulomek. na primer log0,0056= -3 + pozitivni ulomek. Predpostavimo, da je ta ulomek 0,7482. Potem to pomeni:
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
Zneski, kot je npr - 3 + 0,7482 , ki je sestavljen iz negativnega celega števila in pozitivnega decimalnega ulomka, smo se dogovorili, da ga pri logaritemskih izračunih zapišemo skrajšano na naslednji način: 3 ,7482 (To število se glasi: 3 minus, 7482 desettisočink.), torej pred karakteristiko postavijo znak minus, da pokažejo, da se nanaša le na to lastnost, ne pa na mantiso, ki ostaja pozitivna. Tako je iz zgornje tabele razvidno, da
log 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2,....; log 0,0008 = 4 ,....
Naj sploh 
. obstaja decimalni ulomek, v katerem je pred prvo pomembno števko α
stroški m
ničle, vključno z 0 celimi števili. Potem je očitno, da
- m < log A < - (m- 1).
Ker iz dveh celih števil: - m in - (m- 1) manj je - m , To
log A = - m+ pozitivni ulomek,
in zato značilnost log A = - m (s pozitivno mantiso).
torej značilnost logaritma decimalnega ulomka, manjšega od 1, vsebuje toliko negativnih, kolikor ničel je na sliki decimalnega ulomka pred prvo pomembno števko, vključno z nič celimi števili; Mantisa takega logaritma je pozitivna.
e) Pomnožimo neko število n(celo število ali ulomek - ni pomembno) z 10, s 100 s 1000 ..., na splošno z 1 z ničlami. Poglejmo, kako se to spremeni dnevnik N. Ker je logaritem produkta enaka vsoti logaritmi faktorjev, torej
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; itd.
Kdaj naj dnevnik N dodamo neko celo število, potem lahko to število vedno dodamo karakteristiki, ne pa mantisi.
Torej, če je log N = 2,7804, potem je 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 itd.;
ali če je log N = 3,5649, potem je 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 itd.
Ko število pomnožimo z 10, 100, 1000,.., običajno z 1 z ničlami, se mantisa logaritma ne spremeni, značilnost pa se poveča za toliko enot, kolikor je ničel v faktorju .
Podobno, ob upoštevanju, da je logaritem količnika enak logaritmu dividende brez logaritma delitelja, dobimo:
log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;
log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; itd.
Če se strinjamo, da pri odštevanju celega števila od logaritma vedno odštejemo to celo število od karakteristike in pustimo mantiso nespremenjeno, potem lahko rečemo:
Deljenje števila z 1 z ničlami ne spremeni mantise logaritma, vendar se karakteristika zmanjša za toliko enot, kolikor je ničel v delitelju.
276. Posledice. Iz lastnine ( e) lahko izpeljemo naslednji dve posledici:
A) Mantisa logaritma decimalnega števila se ne spremeni, ko jo premaknemo na decimalno vejico , ker je premikanje decimalne vejice enakovredno množenju ali deljenju z 10, 100, 1000 itd. Torej, logaritmi števil:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
razlikujejo le po karakteristikah, ne pa tudi po mantisah (pod pogojem, da so vse mantise pozitivne).
b) Mantise števil, ki imajo enak pomembni del, vendar se razlikujejo le po končnih ničlah, so enake: Tako se logaritmi števil: 23, 230, 2300, 23.000 razlikujejo le po značilnostih.
Komentiraj. Iz navedenih lastnosti decimalnih logaritmov je jasno, da lahko poiščemo značilnosti logaritma celega števila in decimalnega ulomka brez pomoči tabel (v tem je velika priročnost decimalnih logaritmov); posledično je v logaritemskih tabelah postavljena le ena mantisa; poleg tega, ker je iskanje logaritmov ulomkov reducirano na iskanje logaritmov celih števil (logaritem ulomka = logaritem števca brez logaritma imenovalca), so v tabelah postavljene mantise logaritmov samo celih števil.
Tretje poglavje.
Oblikovanje in uporaba štirimestnih tabel.
277. Sistemi logaritmov. Sistem logaritmov je niz logaritmov, izračunanih za več zaporednih celih števil z uporabo iste osnove. Uporabljata se dva sistema: sistem navadnih ali decimalnih logaritmov, pri katerih je število vzeto za osnovo 10 , in sistem tako imenovanih naravnih logaritmov, v katerih je iracionalno število vzeto kot osnova (iz nekaterih razlogov, ki so jasni v drugih vejah matematike) 2,7182818 ... Za izračune se uporabljajo decimalni logaritmi zaradi priročnosti, ki smo jo navedli, ko smo navedli lastnosti takih logaritmov.
Naravni logaritmi se imenujejo tudi Neperov po izumitelju logaritmov, škotskem matematiku Nepera(1550-1617) in decimalni logaritmi - Briggs poimenovan po profesorju Briga(napierjev sodobnik in prijatelj), ki je prvi sestavil tabele teh logaritmov.
278. Pretvarjanje negativnega logaritma v tistega, katerega mantisa je pozitivna, in inverzna transformacija. Videli smo, da so logaritmi števil, manjših od 1, negativni. To pomeni, da so sestavljeni iz negativne karakteristike in negativne mantise. Takšne logaritme lahko vedno transformiramo tako, da je njihova mantisa pozitivna, karakteristika pa ostane negativna. Če želite to narediti, je dovolj, da mantisi dodate pozitivno, karakteristiki pa negativno (kar seveda ne spremeni vrednosti logaritma).
Če imamo na primer logaritem - 2,0873 , potem lahko napišete:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
ali skrajšano:
Nasprotno pa lahko vsak logaritem z negativno karakteristiko in pozitivno mantiso spremenimo v negativno. Če želite to narediti, je dovolj, da pozitivni mantisi dodate negativno, negativni karakteristiki pa pozitivno: torej lahko napišete:
279. Opis štirimestnih tabel. Za rešitev večine praktičnih problemov povsem zadostujejo štirimestne tabele, katerih rokovanje je zelo preprosto. Te tabele (z napisom "logaritmi" na vrhu) so postavljene na koncu te knjige, majhen del (za razlago razporeditve) pa je natisnjen na tej strani. Vsebujejo mantise
Logaritmi.
logaritmi vseh celih števil iz 1 do 9999 vključno, izračunano na štiri decimalna mesta, pri čemer se zadnje od teh mest poveča za 1 v vseh tistih primerih, kjer bi morala biti 5. decimalna vejica 5 ali več kot 5; zato 4-mestne tabele dajejo približne mantise do 1 / 2 desettisoči del (s primanjkljajem ali presežkom).
Ker lahko na podlagi lastnosti decimalnih logaritmov neposredno karakteriziramo logaritem celega števila ali decimalnega ulomka, moramo iz tabel vzeti samo mantise; Hkrati ne smemo pozabiti, da položaj decimalne vejice v decimalnem številu, kot tudi število ničel na koncu števila, ne vplivata na vrednost mantise. Zato pri iskanju mantise po dano številko pri tem številu zavržemo vejico, pa tudi ničle na koncu, če so, in poiščemo mantiso celega števila, ki nastane za tem. Lahko pride do naslednjih primerov.
1) Celo število je sestavljeno iz 3 števk. Recimo, da moramo najti mantiso logaritma števila 536. Prvi dve števki tega števila, tj. 53, se nahajata v tabelah v prvem navpičnem stolpcu na levi (glej tabelo). Ko najdemo številko 53, se pomaknemo od nje vzdolž vodoravne črte v desno, dokler se ta črta ne seka z navpičnim stolpcem, ki poteka skozi eno od številk 0, 1, 2, 3, ... 9, postavljeno na vrhu (in dno) tabele, ki je 3-mestno mesto danega števila, to je v našem primeru števila 6. Na preseku dobimo mantiso 7292 (tj. 0,7292), ki pripada logaritmu števila 536. Podobno , za število 508 najdemo mantiso 0,7059, za število 500 pa 0,6990 itd.
2) Celo število je sestavljeno iz 2 ali 1 številk. Nato temu številu v mislih pripišemo eno ali dve ničli in poiščemo mantiso za tako nastalo trimestno število. Na primer, številu 51 dodamo eno ničlo, iz katere dobimo 510 in poiščemo mantiso 7070; številu 5 pripišemo 2 ničli in poiščemo mantiso 6990 itd.
3) Celo število je izraženo s 4 ciframi. Na primer, poiskati morate mantiso dnevnika 5436. Nato najprej v tabelah najdemo, kot je bilo navedeno, mantiso za število, ki ga predstavljajo prve 3 števke tega števila, tj. za 543 (ta mantisa bo 7348) ; nato se premaknemo od najdene mantise vzdolž vodoravne črte v desno (na desno stran tabele, ki se nahaja za debelo navpično črto), dokler se ne preseka z navpičnim stolpcem, ki poteka skozi eno od številk: 1, 2 3,. .. 9, ki se nahaja na vrhu (in na dnu ) tega dela tabele, ki predstavlja 4. števko danega števila, to je v našem primeru številka 6. Na presečišču najdemo popravek (število 5), ki ga je treba mentalno uporabiti na mantisi 7348, da dobimo mantiso števila 5436; Tako dobimo mantiso 0,7353.
4) Celo število je izraženo s 5 ali več števkami. Nato zavržemo vse števke razen prvih 4 in vzamemo približno štirimestno število ter zadnjo števko tega števila povečamo za 1 v tem številu. primer, ko je zavržena 5. števka števila 5 ali več kot 5. Torej namesto 57842 vzamemo 5784, namesto 30257 vzamemo 3026, namesto 583263 vzamemo 5833 itd. Za to zaokroženo štirimestno število najdemo mantiso, kot je pravkar razloženo.
Po teh navodilih poiščimo na primer logaritme naslednjih števil:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Najprej, ne da bi se zaenkrat obrnili na tabele, bomo zapisali samo značilnosti in pustili prostor za mantise, ki jih bomo zapisali za:
log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....
dnevnik 804,7 = 2,.... dnevnik 7,2634 = 0,....
log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....
log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;
log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;
log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.
280. Opomba. V nekaterih štirimestnih tabelah (na primer v tabelah V. Lorčenko in N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenščikova) popravki za 4. števko te številke niso vneseni. Ko imate opravka s takšnimi tabelami, morate te popravke najti s preprostim izračunom, ki ga je mogoče izvesti na podlagi naslednja resnica: če števila presegajo 100 in so razlike med njimi manjše od 1, se lahko brez občutljive napake domneva, da razlike med logaritmi so sorazmerne z razlikami med ustreznimi števili . Recimo, da morate najti mantiso, ki ustreza številu 5367. Ta mantisa je seveda enaka številu 536,7. V tabelah za število 536 najdemo mantiso 7292. Če primerjamo to mantiso z mantiso 7300, ki meji na desno in ustreza številu 537, opazimo, da če se število 536 poveča za 1, se bo njegova mantisa povečala za 8 deset. -tisočin (8 je t.i razlika v tabeli med dvema sosednjima mantisama); če se število 536 poveča za 0,7, se njegova mantisa ne bo povečala za 8 desettisočink, ampak za nekaj manjšega števila X deset tisočink, ki morajo glede na predpostavljeno sorazmernost zadostiti razmerjem:
X :8 = 0,7:1; kjer X = 8 07 = 5,6,
ki je zaokrožen na 6 desettisočink. To pomeni, da bo mantisa za število 536,7 (in torej za število 5367): 7292 + 6 = 7298.
Upoštevajte, da se kliče iskanje vmesnega števila iz dveh sosednjih števil v tabelah interpolacija. Tukaj opisana interpolacija se imenuje sorazmerno, saj temelji na predpostavki, da je sprememba logaritma sorazmerna s spremembo števila. Imenuje se tudi linearna, saj predpostavlja, da je grafično sprememba logaritemske funkcije izražena z ravno črto.
281. Meja napake približnega logaritma.Če je število, katerega iskani logaritem je natančno število, potem lahko vzamemo mejo napake njegovega logaritma, ki jo najdemo v 4-mestnih tabelah, kot smo rekli v 1 / 2 desettisoči del. Če ta številka ni točna, moramo k tej meji napake dodati še mejo druge napake, ki je posledica netočnosti samega števila. Dokazano je (ta dokaz izpuščamo), da lahko takšno mejo štejemo za produkt
a(d +1) deset tisočakov,
v katerem A je meja napake za najbolj nenatančno število, ob predpostavki, da njegov celi del vsebuje 3 števke, a d tabelarična razlika mantis, ki ustreza dvema zaporednima trimestnima številoma, med katerima leži podano nenatančno število. Tako bo meja končne napake logaritma izražena s formulo:
1 / 2 + a(d +1) deset tisočakov
Primer. Najdi dnevnik π , ob za π približna številka 3,14, natančno do 1 / 2 stotinka.
S premikom vejice za 3. števko v številu 3.14, šteto od leve, dobimo trimestno število 314, natančno 1 / 2 enote; To pomeni, da je meja napake za netočno število, torej tisto, kar smo označili s črko A , obstaja 1 / 2 Iz tabel ugotovimo:
log 3,14 = 0,4969.
Razlika v tabeli d med mantisama števil 314 in 315 je enako 14, zato bo napaka ugotovljenega logaritma manjša
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 desettisočink.
Ker za logaritem 0,4969 ne vemo, ali je pomanjkljiv ali previsok, lahko le zagotovimo, da je točen logaritem π leži med 0,4969 - 0,0008 in 0,4969 + 0,0008, tj. 0,4961< log π < 0,4977.
282. Poišči število z danim logaritmom. Za iskanje števila z danim logaritmom lahko uporabimo iste tabele za iskanje mantis danih števil; vendar je bolj priročno uporabiti druge tabele, ki vsebujejo tako imenovane antilogaritme, tj. številke, ki ustrezajo tem mantisam. Te tabele, označene z napisom na vrhu "antilogaritmi", so postavljene na koncu te knjige za tabelami logaritmov; njihov majhen del je na tej strani (za razlago).
Recimo, da imate 4-mestno mantiso 2863 (ne posvečamo pozornosti karakteristiki) in morate najti ustrezno celo število. Potem, ko imate tabele antilogaritmov, jih morate uporabiti na povsem enak način, kot je bilo prej razloženo, da bi našli mantiso za dano število, in sicer: najdemo prvi 2 števki mantise v prvem stolpcu na levi. Nato se premaknemo od teh številk vzdolž vodoravne črte v desno, dokler se ne preseka z navpičnim stolpcem, ki prihaja iz 3. števke mantise, ki jo je treba iskati v zgornji vrstici (ali spodaj). Na presečišču najdemo štirimestno številko 1932, ki ustreza mantisi 286. Nato se od te številke pomaknemo naprej po vodoravni črti v desno do presečišča z navpičnim stolpcem, ki prihaja iz 4. števke mantise, ki mora najdemo na vrhu (ali dnu) med tam postavljenimi številkami 1, 2, 3,... 9. Na presečišču najdemo popravek 1, ki ga je treba (v mislih) uporabiti na številki 1032, ki je bila prej najdena v vrstnem redu. da dobimo številko, ki ustreza mantisi 2863.
Tako bo številka 1933. Po tem, upoštevajte značilnosti, morate v številki 1933 postaviti zasedeno na ustrezno mesto. Na primer:
če dnevnik x = 3,2863, torej X = 1933,
„ dnevnik x = 1,2863, „ X = 19,33,
, dnevnik x = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ dnevnik x = 2 ,2863, „ X = 0,01933
Tukaj je več primerov:
dnevnik x = 0,2287, X = 1,693,
dnevnik x = 1 ,7635, X = 0,5801,
dnevnik x = 3,5029, X = 3184,
dnevnik x = 2 ,0436, X = 0,01106.
Če mantisa vsebuje 5 ali več števk, potem vzamemo le prve 4 števke, ostale pa zavržemo (in povečamo 4. števko za 1, če ima 5. števko pet ali več). Na primer, namesto mantise 35478 vzamemo 3548, namesto 47562 vzamemo 4756.
283. Opomba. Popravek za 4. in naslednje števke mantise je mogoče najti tudi z interpolacijo. Torej, če je mantisa 84357, potem, ko smo našli število 6966, ki ustreza mantisi 843, lahko nadalje razmišljamo takole: če se mantisa poveča za 1 (tisočinko), tj. naredi 844, potem je število, kot razvidno iz tabel, se bo povečalo za 16 enot; če se mantisa ne poveča za 1 (tisočinko), temveč za 0,57 (tisočinko), se bo število povečalo za X enote, in X mora zadostiti razmerjem:
X : 16 = 0,57 : 1, od koder je x = 16 0,57 = 9,12.
To pomeni, da bo zahtevano število 6966+ 9,12 = 6975,12 ali (omejeno na samo štiri števke) 6975.
284. Omejitev napake najdenega števila. Dokazano je, da v primeru, ko je v najdenem številu vejica za 3. števko z leve, to je, ko je značilnost logaritma 2, lahko vsoto vzamemo kot mejo napake.
kje A je meja napake logaritma (izraženega v desettisočinkah), s katerim je bilo število ugotovljeno, in d - razlika med mantisama dveh trimestnih zaporednih števil, med katerima leži najdeno število (z vejico za 3. števko z leve). Če značilnost ni 2, ampak kakšna druga, bo treba v najdenem številu vejico premakniti v levo ali desno, tj. Število deliti ali pomnožiti z neko potenco 10. V tem primeru je napaka rezultat bo tudi deljen ali pomnožen z enako potenco 10.
Recimo, da iščemo število z uporabo logaritma 1,5950 , za katerega je znano, da je natančen do 3 desettisočink; to pomeni takrat A = 3 . Število, ki ustreza temu logaritmu, najdeno iz tabele antilogaritmov, je 39,36 . Če premaknemo vejico za 3. števko z leve, imamo številko 393,6 , ki sestoji med 393 in 394 . Iz tabel logaritmov vidimo, da je razlika med mantisama, ki ustrezata tema dvema številoma 11 deset tisočakov; Pomeni d = 11 . Napaka števila 393,6 bo manjša
To pomeni, da je napaka v št 39,36 bo manj 0,05 .
285. Operacije z logaritmi z negativnimi značilnostmi. Seštevanje in odštevanje logaritmov ne predstavlja nobenih težav, kot je razvidno iz naslednje primere:
Prav tako ni težav pri množenju logaritma s pozitivnim številom, na primer:
V zadnjem primeru se pozitivna mantisa ločeno pomnoži s 34, torej negativna lastnost pri 34.
Če logaritem negativne karakteristike in pozitivne mantise pomnožimo z negativnim številom, potem postopamo na dva načina: ali dani logaritem najprej spremenimo v negativno ali pa mantiso in karakteristiko pomnožimo ločeno in rezultate združimo, npr. :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Pri delitvi lahko pride do dveh primerov: 1) negativna značilnost je razdeljena in 2) ni deljivo z deliteljem. V prvem primeru sta karakteristika in mantisa ločeni:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
V drugem primeru se karakteristiki doda toliko negativnih enot, da se dobljeno število deli z deliteljem; mantisi dodamo enako število pozitivnih enot:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
To preobrazbo je treba izvesti v mislih, zato dejanje poteka takole:
286. Zamenjava odštetih logaritmov s členi. Pri računanju nekega kompleksnega izraza z uporabo logaritmov morate nekatere logaritme sešteti in druge odšteti; v tem primeru na običajen način izvajanja dejanj ločeno poiščejo vsoto seštetih logaritmov, nato vsoto odštetih in od prve vsote odštejejo drugo. Na primer, če imamo:
dnevnik X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
potem bo običajna izvedba dejanj izgledala takole:
Vendar pa je mogoče odštevanje nadomestiti s seštevanjem. Torej:
Zdaj lahko izračun uredite takole:
287. Primeri izračunov.
Primer 1. Oceni izraz:
če A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 in D = 7,246.
Vzemimo logaritem tega izraza:
dnevnik X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Zdaj, da bi se izognili nepotrebni izgubi časa in zmanjšali možnost napak, bomo najprej uredili vse izračune, ne da bi jih zaenkrat izvajali in torej brez sklicevanja na tabele:
Po tem vzamemo tabele in na preostale nanesemo logaritme prosta mesta:
Omejitev napak. Najprej poiščimo mejo napake števila x 1 = 194,5 , enako:
Torej, najprej morate najti A , tj. meja napake približnega logaritma, izražena v desettisočinkah. Predpostavimo, da te številke A, B, C in D vsi so točni. Potem bodo napake v posameznih logaritmih naslednje (v desettisočinkah):
V logA.......... 1 / 2
V 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 dodano, ker smo pri deljenju s 3 logaritmi 1,9146 količnik zaokrožili tako, da smo zavrgli njegovo 5. števko, in zato naredili še manjšo napako 1 / 2 desettisoč).
Zdaj najdemo mejo napake logaritma:
A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (desettisočinke).
Določimo še d . Ker x 1 = 194,5 , nato pa 2 zaporedni celi števili, med katerimi leži x 1 bo 194 in 195 . Razlika v tabeli d med mantisama, ki ustrezata tem številom, je enako 22 . To pomeni, da je meja napake števila x 1 Obstaja:
Ker x = x 1 : 10, potem je meja napake v številu x enako 0,3:10 = 0,03 . Tako je številka, ki smo jo našli 19,45 se od točnega števila razlikuje za manj kot 0,03 . Ker ne vemo, ali je bil naš približek ugotovljen s primanjkljajem ali s presežkom, lahko zagotovimo le, da
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , tj.
19,48 > X > 19,42 ,
in torej, če sprejmemo X =19,4 , potem bomo imeli aproksimacijo s pomanjkljivostjo z natančnostjo do 0,1.
Primer 2. Izračunajte:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Ker negativna števila nimajo logaritmov, najprej ugotovimo:
X" = (2,31) 3 5 √72
z razgradnjo:
dnevnik X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
Po izračunu se izkaže:
X" = 28,99 ;
torej,
x = - 28,99 .
Primer 3. Izračunajte:
Zveznega logaritmiranja tukaj ne moremo uporabiti, ker je predznak korena c u m m a. IN podobnih primerih izračunajte formulo po delih.
Najprej najdemo n = 5 √8 , Potem n 1 = 4 √3 ; nato s preprostim seštevanjem določimo n+ n 1 , in na koncu izračunamo 3 √n+ n 1 ; izkaže se:
N = 1,514, n 1 = 1,316 ; n+ n 1 = 2,830 .
dnevnik x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 dnevnik 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
Četrto poglavje.
Eksponentne in logaritemske enačbe.
288. Eksponentne enačbe so tiste, v katerih je neznanka vključena v eksponent in logaritemski- tiste, pri katerih neznanka vpisuje pod znak dnevnik. Takšne enačbe so lahko rešljive le v posebnih primerih, pri čemer se je treba zanašati na lastnosti logaritmov in na načelo, da če sta števili enaki, so tudi njihovi logaritmi enaki, in obratno, če sta logaritma enaka, potem ustrezni številke so enake.
Primer 1. Reši enačbo: 2 x = 1024 .
Logaritmirajmo obe strani enačbe:
Primer 2. Reši enačbo: a 2x - a x = 1 . Postavljanje a x = pri , dobimo kvadratna enačba:
l 2 - pri - 1 = 0 ,
Ker 1-√5 < 0 , potem je zadnja enačba nemogoča (funkcija a x vedno obstaja pozitivno število), prvo pa daje:
Primer 3. Reši enačbo:
dnevnik( a + x) + dnevnik ( b + x) = dnevnik ( c + x) .
Enačbo lahko zapišemo takole:
dnevnik [( a + x) (b + x)] = dnevnik ( c + x) .
Iz enakosti logaritmov sklepamo, da sta števili enaki:
(a + x) (b + x) = c + x .
To je kvadratna enačba, katere rešitev ni težavna.
peto poglavje.
Obrestne obresti, terminska plačila in terminska plačila.
289. Osnovni problem obrestnih obresti. V koliko se bo spremenil kapital? A rubljev, glede na rast pri r obrestne mere, po t leta ( t - celo število)?
Pravijo, da se kapital plača po obrestnih obrestnih merah, če se upoštevajo tako imenovane »obresti na obresti«, to je, če se obresti na kapital ob koncu vsakega leta dodajo kapitalu, da se poveča z obrestmi v naslednjih letih.
Vsak rubelj oddanega kapitala r %, bo prinesel dobiček v enem letu str / 100 rubljev, zato se bo vsak rubelj kapitala v enem letu spremenil v 1 + str / 100 rubljev (na primer, če je kapital dan na 5 %, potem se bo vsak njegov rubelj v enem letu spremenil v 1 + 5 / 100 , torej v 1,05 rubelj).
Za kratkost, označuje ulomek str / 100 z eno črko npr. r , lahko rečemo, da se bo vsak rubelj kapitala v enem letu spremenil v 1 + r rubljev; torej, A rubljev bodo vrnjeni v 1 letu A (1 + r ) drgnite. Po drugem letu, torej 2 letih od začetka rasti, vsak rubelj teh A (1 + r ) drgnite. se bo ponovno obrnil 1 + r rub.; To pomeni, da se bo ves kapital spremenil v A (1 + r ) 2 drgnite. Na enak način ugotovimo, da bo po treh letih kapital A (1 + r ) 3 , čez štiri leta bo A (1 + r ) 4 ,... na splošno skozi t leta, če t je celo število, se bo spremenilo v A (1 + r ) t drgnite. Tako, označevanje z A končni kapital, bomo imeli naslednjo formulo za obrestne obresti:
A = A (1 + r ) t kje r = str / 100 .
Primer. Naj a =2.300 rub., str = 4, t=20 leta; potem formula daje:
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2300 (1,04) 20.
Za izračun A, uporabljamo logaritme:
dnevnik a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.
A = 5031 rubelj.
Komentiraj. V tem primeru smo morali dnevnik 1.04 pomnožite z 20 . Od števila 0,0170 obstaja približna vrednost dnevnik 1.04 do 1 / 2 desettisočinski del, potem zmnožek tega števila s 20 zagotovo bo samo do 1 / 2 20, torej do 10 desettisočink = 1 tisočinka. Skupaj torej 3,7017 Ne moremo jamčiti ne samo za število deset tisočink, ampak tudi za število tisočink. Da bi dosegli večjo natančnost v takih primerih, je bolje za številko 1 + r vzemite logaritme ne 4-mestne, ampak s veliko številoštevilke, npr. 7-mestno. V ta namen predstavljamo majhno tabelo, v kateri so izpisani 7-mestni logaritmi za najpogostejše vrednosti r .
290. Glavna naloga je za nujna plačila. Nekdo je vzel A rubljev na r % s pogojem poplačila dolga skupaj z pripadajočimi obrestmi v t let, pri čemer plačajo enak znesek ob koncu vsakega leta. Kakšen naj bo ta znesek?
vsota x , ki se pod takšnimi pogoji plača letno, se imenuje nujno plačilo. Ponovno označimo s črko r letni obrestni denar od 1 rub., tj. št str / 100 . Nato do konca prvega leta dolg A poveča na A (1 + r ), osnovno plačilo X stalo bo rubljev A (1 + r )-X .
Do konca drugega leta se bo vsak rubelj tega zneska spet spremenil v 1 + r rubljev, zato bo dolg [ A (1 + r )-X ](1 + r ) = A (1 + r ) 2 - x (1 + r ), in za plačilo x rubljev bo: A (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . Na enak način bomo poskrbeli, da bo do konca 3. leta dolg
A (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,
in na splošno in konec t leto se bo izkazalo:
A (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , oz
A (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]
Polinom v oklepajih predstavlja vsoto členov geometrijske progresije; ki ima prvega člana 1 , zadnji ( 1 + r ) t -1, in imenovalec ( 1 + r ). Z uporabo formule za vsoto členov geometrijske progresije (oddelek 10, poglavje 3, § 249) najdemo:
in višino dolga po t -to plačilo bo:
Po pogojih problema je dolg na koncu t -to leto mora biti enako 0 ; Zato:
kjer
Pri izračunu tega nujne plačilne formule z uporabo logaritmov moramo najprej poiskati pomožno število n = (1 + r ) t z logaritmom: log N= t log(1+ r) ; ob ugotovitvi n, od tega odštejemo 1, potem dobimo imenovalec formule za X, po katerem najdemo s sekundarnim logaritmom:
dnevnik X= dnevnik a+ log N + log r - log (N - 1).
291. Glavna naloga za terminske prispevke. Enak znesek nekdo položi na banko na začetku vsakega leta. A drgnite. Določite, kakšen kapital se bo oblikoval iz teh vložkov pozneje t let, če plača banka r obrestne mere.
Določil r letni obrestni denar od 1 rublja, tj. str / 100 , razmišljamo takole: do konca prvega leta bo kapital A (1 + r );
na začetku 2. leta bo temu znesku prištet A rubljev; to pomeni, da bo v tem času kapital A (1 + r ) + a . Do konca 2. letnika bo A (1 + r ) 2 + a (1 + r );
na začetku 3. letnika se ponovno vpiše A rubljev; to pomeni, da bo v tem času kapital A (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + A ; do konca 3. bo A (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Če nadaljujemo s temi argumenti, ugotovimo, da na koncu t leto zahtevanega kapitala A bo:
To je formula za terminske prispevke, plačane na začetku vsakega leta.
Isto formulo lahko dobimo z naslednjim sklepanjem: polog za A rubljev, ko ste v banki t let, se bo po formuli obrestne obresti spremenila v A (1 + r ) t drgnite. Drugi obrok, biti na banki eno leto manj, t.j. t - 1 leta, kontakt A (1 + r ) t- 1 drgnite. Enako bo dal tretji obrok A (1 + r ) t-2 itd., in končno bo šel zadnji obrok, ki je bil na banki le 1 leto A (1 + r ) drgnite. To pomeni končni kapital A drgnite. bo:
A= A (1 + r ) t + A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ),
ki po poenostavitvi daje zgornjo formulo.
Pri izračunu z uporabo logaritmov te formule morate postopati na enak način kot pri izračunu formule za nujna plačila, to je, da najprej poiščete število N = ( 1 + r ) t s svojim logaritmom: log N= t dnevnik(1 + r ), nato številko N- 1 in nato vzemite logaritem formule:
dnevnik A = dnevnik a+log(1+ r) + log (N - 1) - 1ogr
Komentiraj.Če nujni prispevek k A drgnite. ni bilo izvedeno na začetku, ampak na koncu vsakega leta (kot je na primer izvršeno nujno plačilo X poplačati dolg), potem pa, razmišljajoč podobno kot prejšnje, ugotovimo, da do konca t leto zahtevanega kapitala A" drgnite. bo (vključno z zadnjim obrokom A rub., brez obresti):
A"= A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ) + A
kar je enako:
tj. A" konča v ( 1 + r ) krat manj A, kar je bilo pričakovati, saj vsak rubelj kapitala A" leži v banki eno leto manj od ustreznega rublja kapitala A.
Navodila
Zapišite dani logaritemski izraz. Če izraz uporablja logaritem 10, je njegov zapis skrajšan in izgleda takole: lg b je decimalni logaritem. Če ima logaritem za osnovo število e, potem zapišite izraz: ln b – naravni logaritem. Razume se, da je rezultat any potenca, na katero je treba dvigniti osnovno število, da dobimo število b.
Pri iskanju vsote dveh funkcij ju preprosto ločite eno za drugo in seštejte rezultate: (u+v)" = u"+v";
Pri iskanju odvoda produkta dveh funkcij je treba odvod prve funkcije pomnožiti z drugo in dodati odvod druge funkcije, pomnožen s prvo funkcijo: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Da bi našli odvod količnika dveh funkcij, je treba od produkta odvoda dividende, pomnoženega s funkcijo delitelja, odšteti produkt odvoda delitelja, pomnoženega s funkcijo dividende, in deliti vse to s funkcijo delitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Če je dano kompleksna funkcija, potem je treba pomnožiti odvod notranje funkcije in odvod zunanje. Naj bo y=u(v(x)), potem je y"(x)=y"(u)*v"(x).
Z uporabo zgornjih rezultatov lahko ločite skoraj vsako funkcijo. Oglejmo si torej nekaj primerov:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Težave so tudi pri izračunu izpeljanke v točki. Naj bo podana funkcija y=e^(x^2+6x+5), vrednost funkcije morate najti v točki x=1.
1) Poiščite odvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Izračunaj vrednost funkcije v dano točko y"(1)=8*e^0=8
Video na temo
Naučite se tabele elementarnih odvodov. To bo znatno prihranilo čas.
Viri:
- derivat konstante
Kakšna je torej razlika med iracionalno in racionalno enačbo? Če je neznana spremenljivka pod znakom kvadratni koren, potem enačba velja za iracionalno.
Navodila
Glavna metoda za reševanje takih enačb je metoda konstruiranja obeh strani enačbe v kvadrat. Vendar. to je naravno, prva stvar, ki jo morate storiti, je, da se znebite znaka. Ta metoda tehnično ni težka, včasih pa lahko povzroči težave. Na primer, enačba je v(2x-5)=v(4x-7). Če kvadrirate obe strani, dobite 2x-5=4x-7. Reševanje takšne enačbe ni težko; x=1. Toda številka 1 ne bo dana enačbe. Zakaj? V enačbo zamenjajte eno namesto vrednosti x. Desna in leva stran bosta vsebovali izraze, ki nimajo smisla, tj. Ta vrednost ni veljavna za kvadratni koren. Zato je 1 tuj koren in torej podana enačba nima korenin.
Iracionalno enačbo torej rešimo z metodo kvadriranja obeh njenih strani. In po rešitvi enačbe je treba odrezati tuje korenine. Če želite to narediti, zamenjajte najdene korenine v prvotno enačbo.
Razmislite o drugem.
2х+vх-3=0
Seveda je to enačbo mogoče rešiti z uporabo iste enačbe kot prejšnjo. Premaknite spojine enačbe, ki nimajo kvadratnega korena, na desno stran in nato uporabite metodo kvadriranja. reši dobljeno racionalno enačbo in korene. A tudi druga, bolj elegantna. Vnesite novo spremenljivko; vх=y. V skladu s tem boste prejeli enačbo v obliki 2y2+y-3=0. To je navadna kvadratna enačba. Poiščite njene korenine; y1=1 in y2=-3/2. Nato reši dva enačbe vх=1; vх=-3/2. Druga enačba nima korenin; iz prve ugotovimo, da je x=1. Ne pozabite preveriti korenin.
Reševanje identitet je povsem preprosto. Za to je potrebno izvajati enake transformacije, dokler ni dosežen zastavljeni cilj. Tako bo s pomočjo preprostih aritmetičnih operacij zastavljen problem rešen.
Potrebovali boste
- - papir;
- - pero.
Navodila
Najenostavnejša takšna preoblikovanja so algebrska skrajšana množenja (kot so kvadrat vsote (razlika), razlika kvadratov, vsota (razlika), kub vsote (razlika)). Poleg tega obstaja veliko in trigonometrične formule, ki sta v bistvu enaki identiteti.
Dejansko je kvadrat vsote dveh členov enak kvadratu prvega plus dvakratni produkt prvega z drugim in plus kvadrat drugega, to je (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Poenostavite oboje
Splošna načela rešitve
Ponovite iz učbenika matematične analize ali višje matematike, kaj je določen integral. Kot je znano, rešitev določen integral obstaja funkcija, katere odvod daje integrand. Ta funkcija se imenuje antiderivat. Na podlagi tega principa so zgrajeni glavni integrali.Z obliko integranda ugotovi, kateri izmed integralov tabele sodi vanj v tem primeru. Tega ni vedno mogoče takoj ugotoviti. Pogosto postane tabelarična oblika opazna šele po več transformacijah za poenostavitev integranda.
Metoda zamenjave spremenljivke
Če je funkcija integrand trigonometrična funkcija, katerega argument vsebuje nek polinom, nato poskusite uporabiti metodo zamenjave spremenljivke. Da bi to naredili, zamenjajte polinom v argumentu integranda z neko novo spremenljivko. Na podlagi razmerja med novimi in starimi spremenljivkami določite nove meje integracije. Z razlikovanjem tega izraza poiščite nov diferencial v . Torej boste dobili nov videz prejšnjega integrala, ki je blizu ali celo ustreza kateremu koli tabelarnemu.Reševanje integralov druge vrste
Če je integral integral druge vrste, vektorska oblika integranda, potem boste morali uporabiti pravila za prehod iz teh integralov v skalarne. Eno takšnih pravil je relacija Ostrogradsky-Gauss. Ta zakon nam omogoča prehod od rotorskega fluksa določene vektorske funkcije do trojnega integrala glede na divergenco danega vektorskega polja.Zamenjava integracijskih mej
Po najdbi protiizpeljave je treba zamenjati limite integracije. Najprej zamenjajte vrednost zgornje meje v izraz za antiizpeljavo. Dobili boste nekaj številk. Nato od dobljenega števila odštejemo drugo število, dobljeno iz spodnje meje v protiizpeljavo. Če je ena od mej integracije neskončnost, potem je treba pri zamenjavi v antiderivacijsko funkcijo iti do meje in ugotoviti, h čemu teži izraz.Če je integral dvodimenzionalen ali tridimenzionalen, boste morali meje integracije predstaviti geometrijsko, da boste razumeli, kako ovrednotiti integral. V primeru, recimo, tridimenzionalnega integrala, so meje integracije lahko celotne ravnine, ki omejujejo prostornino, ki se integrira.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno, v skladu z zakonom, sodni postopek, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih poizvedb ali zahtev od vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
Logaritemski izrazi, reševanje primerov. V tem članku si bomo ogledali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja pomena izraza. Upoštevati je treba, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in da je razumevanje njegovega pomena izjemno pomembno. Kar se tiče enotnega državnega izpita, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, pri uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s študijem funkcij.
Za razumevanje samega pomena logaritma navedimo primere:
Osnovna logaritemska identiteta:
Lastnosti logaritmov, ki si jih moramo vedno zapomniti:
*Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.
* * *
*Logaritem količnika (ulomka) je enak razliki med logaritmi faktorjev.
* * *
*Logaritem eksponenta je enak produktu eksponenta in logaritma njegove osnove.
* * *
*Prehod na novo podlago
* * *
Več nepremičnin:
* * *
Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.
Naštejmo jih nekaj:
Bistvo te lastnosti je, da ko se števec prenese na imenovalec in obratno, se znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:
Posledica te lastnosti:
* * *
Pri povišanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.
* * *
Kot ste videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je, da potrebujete dobro prakso, ki vam daje določeno spretnost. Seveda je potrebno poznavanje formul. Če spretnost pretvorbe osnovnih logaritmov ni bila razvita, potem lahko pri reševanju preprostih nalog zlahka naredite napako.
Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa nadaljujte s kompleksnejšimi. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "grdi" logaritmi; ti ne bodo prikazani na enotnem državnem izpitu, vendar so zanimivi, ne zamudite jih!
To je vse! Vso srečo!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.