V prejšnjem razdelku, posvečenem analizi geometrijskega pomena določenega integrala, smo prejeli številne formule za izračun površine ukrivljen trapez:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x za zvezno in nenegativno funkcijo y = f (x) na intervalu [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x za zvezno in nepozitivno funkcijo y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .
Te formule so uporabne za reševanje preproste naloge. V resnici bomo pogosto morali delati s kompleksnejšimi figurami. V zvezi s tem bomo ta razdelek posvetili analizi algoritmov za izračun površine figur, ki so omejene s funkcijami v eksplicitni obliki, tj. na primer y = f(x) ali x = g(y).
IzrekNaj sta funkciji y = f 1 (x) in y = f 2 (x) definirani in zvezni na intervalu [ a ; b ] in f 1 (x) ≤ f 2 (x) za katero koli vrednost x iz [ a ; b ] . Potem bo formula za izračun površine figure G, omejena s črtami x = a, x = b, y = f 1 (x) in y = f 2 (x), videti kot S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Podobna formula bo veljala za območje figure, omejeno s črtami y = c, y = d, x = g 1 (y) in x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dokaz
Poglejmo si tri primere, za katere bo formula veljavna.
V prvem primeru je ob upoštevanju lastnosti aditivnosti območja vsota območij prvotne figure G in krivolinijskega trapeza G1 enaka površini slike G2. To pomeni, da
Zato je S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Zadnji prehod lahko izvedemo z uporabo tretje lastnosti določenega integrala.
V drugem primeru velja enakost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafična ilustracija bo videti takole:
Če sta obe funkciji nepozitivni, dobimo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafična ilustracija bo videti takole:
Preidimo k obravnavanju splošnega primera, ko y = f 1 (x) in y = f 2 (x) sekata os O x.
Presečišča označimo kot x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Te točke delijo segment [a; b] na n delov x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, kjer je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
torej
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Zadnji prehod lahko naredimo z uporabo pete lastnosti določenega integrala.
Splošni primer ponazorimo na grafu.
Formulo S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lahko štejemo za dokazano.
Zdaj pa preidimo na analizo primerov izračuna območja figur, ki so omejene s črtami y = f (x) in x = g (y).
Obravnavo katerega koli od primerov bomo začeli z izdelavo grafa. Slika nam bo omogočila predstavo kompleksne figure kako združiti več preproste figure. Če vam konstrukcija grafov in likov na njih povzroča težave, lahko med študijem funkcije preučite razdelek o osnovnih elementarnih funkcijah, geometrijski transformaciji grafov funkcij in tudi konstrukcijo grafov.
Primer 1
Določiti je treba površino figure, ki je omejena s parabolo y = - x 2 + 6 x - 5 in ravnimi črtami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
rešitev
Narišimo črte na graf v kartezičnem koordinatnem sistemu.
Na segmentu [ 1 ; 4 ] se graf parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nahaja nad premico y = - 1 3 x - 1 2. V zvezi s tem za odgovor uporabimo formulo, pridobljeno prej, kot tudi metodo izračuna določenega integrala z uporabo Newton-Leibnizove formule:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odgovor: S(G) = 13
Poglejmo bolj zapleten primer.
Primer 2
Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s črtami y = x + 2, y = x, x = 7.
rešitev
IN v tem primeru imamo samo eno premico, vzporedno z osjo x. To je x = 7. To od nas zahteva, da sami poiščemo drugo mejo integracije.
Zgradimo graf in nanj narišimo premice, podane v nalogi naloge.
Če imamo graf pred očmi, zlahka ugotovimo, da bo spodnja meja integracije abscisa točke presečišča grafa premice y = x in polparabole y = x + 2. Za iskanje abscise uporabimo enačbe:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Izkaže se, da je abscisa presečišča x = 2.
Opozarjamo vas na dejstvo, da v splošni primer na risbi se premice y = x + 2, y = x sekajo v točki (2; 2), zato se morda zdijo tako podrobni izračuni nepotrebni. To smo prinesli sem podrobna rešitev samo zato, ker jih je več težkih primerih rešitev morda ni tako očitna. To pomeni, da je vedno bolje izračunati koordinate presečišča premic analitično.
Na intervalu [ 2 ; 7] se graf funkcije y = x nahaja nad grafom funkcije y = x + 2. Za izračun površine uporabimo formulo:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odgovor: S (G) = 59 6
Primer 3
Izračunati je treba površino figure, ki je omejena z grafi funkcij y = 1 x in y = - x 2 + 4 x - 2.
rešitev
Narišimo črte na graf.
Določimo meje integracije. Da bi to naredili, določimo koordinate presečišč premic z enačenjem izrazov 1 x in - x 2 + 4 x - 2. Pod pogojem, da x ni nič, postane enakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 enakovredna enačbi tretje stopnje - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celimi koeficienti. Za osvežitev spomina na algoritem za reševanje takih enačb se lahko obrnemo na poglavje "Reševanje kubičnih enačb."
Koren te enačbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Če izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 delimo z binomom x - 1, dobimo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Preostale korene lahko poiščemo iz enačbe x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v kateri je lik G vsebovan nad modro in pod rdečo črto. To nam pomaga določiti območje figure:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primer 4
Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s krivuljami y = x 3, y = - log 2 x + 1 in osjo abscise.
rešitev
Narišimo vse črte na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 dobimo iz grafa y = log 2 x, če ga postavimo simetrično glede na os x in premaknemo za eno enoto navzgor. Enačba osi x je y = 0.
Označimo presečišča črt.
Kot je razvidno iz slike, se grafa funkcij y = x 3 in y = 0 sekata v točki (0; 0). To se zgodi, ker je x = 0 edini pravi koren enačbe x 3 = 0.
x = 2 je edini koren enačbe - log 2 x + 1 = 0, zato se grafa funkcij y = - log 2 x + 1 in y = 0 sekata v točki (2; 0).
x = 1 je edini koren enačbe x 3 = - log 2 x + 1 . Pri tem se grafa funkcij y = x 3 in y = - log 2 x + 1 sekata v točki (1; 1). Zadnja izjava morda ni očitna, vendar enačba x 3 = - log 2 x + 1 ne more imeti več kot enega korena, saj je funkcija y = x 3 strogo naraščajoča, funkcija y = - log 2 x + 1 pa je striktno padajoče.
Nadaljnja rešitev vključuje več možnosti.
Možnost #1
Slika G si lahko predstavljamo kot vsoto dveh ukrivljenih trapezov, ki se nahajata nad osjo x, od katerih se prvi nahaja pod srednja črta na segmentu x ∈ 0; 1, drugi pa je pod rdečo črto na segmentu x ∈ 1; 2. To pomeni, da bo ploščina enaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Možnost št. 2
Slika G je lahko predstavljena kot razlika dveh številk, od katerih se prva nahaja nad osjo x in pod modro črto na segmentu x ∈ 0; 2, drugi pa med rdečo in modro črto na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogoča, da poiščemo območje na naslednji način:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
V tem primeru boste morali za iskanje površine uporabiti formulo v obliki S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Pravzaprav lahko črte, ki omejujejo sliko, predstavimo kot funkcije argumenta y.
Rešimo enačbi y = x 3 in - log 2 x + 1 glede na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Dobimo zahtevano območje:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Primer 5
Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s črtami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
rešitev
Z rdečo črto narišemo črto, ki jo določa funkcija y = x. Premico y = - 1 2 x + 4 narišemo modro, premico y = 2 3 x - 3 pa črno.
Označimo presečišča.
Poiščimo presečišča grafov funkcij y = x in y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Preverite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ni rešitev enačbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rešitev enačbe ⇒ (4; 2) presečišče i y = x in y = - 1 2 x + 4
Poiščimo presečišče grafov funkcij y = x in y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Preverite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rešitev enačbe ⇒ (9 ; 3) točka a s y = x in y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rešitve enačbe ni
Poiščimo presečišče premic y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) točka presečišča y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3
Metoda št. 1
Predstavljajmo si ploščino želenega lika kot vsoto ploščin posameznih figur.
Potem je območje figure:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda št. 2
Območje prvotne figure je mogoče predstaviti kot vsoto dveh drugih številk.
Nato rešimo enačbo črte glede na x in šele po tem uporabimo formulo za izračun površine figure.
y = x ⇒ x = y 2 rdeča črta y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 črna črta y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Območje je torej:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kot lahko vidite, so vrednosti enake.
Odgovor: S (G) = 11 3
Rezultati
Da bi našli območje figure, ki je omejeno z danimi črtami, moramo zgraditi črte na ravnini, poiskati njihove presečišča in uporabiti formulo za iskanje območja. V tem razdelku smo preučili najpogostejše različice nalog.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Začnemo obravnavati dejanski postopek izračuna dvojnega integrala in se seznanimo z njegovim geometrijskim pomenom.
Dvojni integral numerično enako površini ploščata figura (regija integracije). to najpreprostejša oblika dvojni integral, ko je funkcija dveh spremenljivk enaka ena: .
Najprej razmislimo o problemu v splošni pogled. Zdaj boste precej presenečeni, kako preprosto je vse v resnici! Izračunajmo površino ravne figure, omejene s črtami. Za določnost predpostavimo, da na segmentu . Površina te figure je številčno enaka:
Upodobimo območje na risbi: 
Izberimo prvi način prečkanja območja: 
Torej: 
In takoj pomembno tehnična tehnika: iterirane integrale je mogoče izračunati ločeno. Najprej notranji integral, nato zunanji integral. Ta metoda Toplo priporočam začetnikom v tej temi.
1) Izračunajmo notranji integral, integracijo pa izvedemo po spremenljivki “y”: 
Nedoločeni integral je tukaj najenostavnejši, nato pa se uporabi banalna Newton-Leibnizova formula, s to razliko, da meje integracije niso števila, ampak funkcije. Najprej smo zamenjali zgornjo mejo v "y" (protiizpeljana funkcija), nato pa spodnjo mejo
2) Rezultat, dobljen v prvem odstavku, je treba nadomestiti v zunanji integral: 
Strnjenejša predstavitev celotne rešitve izgleda takole:
Nastala formula 
- točno tako delovna formula za izračun ploščine ravninske figure z uporabo "navadnega" določenega integrala! Oglejte si lekcijo Izračunavanje ploščine z uporabo določenega integrala, tam je na vsakem koraku!
to je problem izračuna ploščine z uporabo dvojnega integrala ne dosti drugače iz problema iskanja ploščine z uporabo določenega integrala! Pravzaprav gre za isto!
V skladu s tem ne bi smelo biti nobenih težav! Ne bom si ogledoval veliko primerov, saj ste se dejansko že večkrat srečali s to nalogo.
Primer 9
rešitev: Upodobimo območje na risbi: 
Izberimo naslednji vrstni red prečkanja območja: 
Tu in v nadaljevanju se ne bom osredotočal na to, kako prehoditi območje, saj so bile zelo podrobne razlage podane v prvem odstavku.
Torej: 
Kot sem že omenil, je za začetnike bolje, da izračunajo iterirane integrale ločeno, jaz pa se bom držal iste metode:
1) Najprej z uporabo Newton-Leibnizove formule obravnavamo notranji integral: 
2) Rezultat, dobljen v prvem koraku, nadomestimo z zunanjim integralom: 
Točka 2 je pravzaprav iskanje ploščine ravninske figure z uporabo določenega integrala.
odgovor:
To je tako neumna in naivna naloga.
Zanimiv primer samostojne rešitve:
Primer 10
Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, ki jo omejujejo črte , ,
Približen vzorec dodelava rešitve ob koncu učne ure.
V primerih 9-10 je veliko bolj donosno uporabiti prvo metodo prečkanja območja; radovedni bralci lahko mimogrede spremenijo vrstni red prečkanja in izračunajo površine z drugo metodo. Če se ne zmotite, boste seveda dobili enake vrednosti površine.
Toda v nekaterih primerih je druga metoda prečkanja območja učinkovitejša in na koncu tečaja za mlade piflarje si poglejmo še nekaj primerov na to temo:
Primer 11
Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, omejene s črtami,
rešitev: Veselimo se dveh parabol s prirobnico, ki ležita na boku. Ni se treba smejati, podobne stvari se pogosto pojavljajo v več integralih.
Kako je najlažje narediti risbo?
Predstavljajmo si parabolo v obliki dveh funkcij:
– zgornja veja in – spodnja veja.
Podobno si predstavljajte parabolo v obliki zgornje in spodnje 
veje.
Nato sledi točkovno risanje grafov, kar ima za posledico tako bizarno sliko: 
Izračunamo površino figure z uporabo dvojnega integrala po formuli:
Kaj se zgodi, če izberemo prvi način prečkanja območja? Najprej bo treba to območje razdeliti na dva dela. In drugič, opazili bomo to žalostno sliko: 
. Integrali seveda niso super zapletene ravni, ampak ... obstaja star matematični rek: kdor je blizu svojih korenin, ne potrebuje preizkusa.
Zato iz nesporazuma, podanega v pogoju, izražamo inverzne funkcije: 
Inverzne funkcije V v tem primeru imajo to prednost, da določijo celotno parabolo naenkrat brez listov, želodov, vej in korenin.
Po drugi metodi bo prečkanje območja naslednje: 
Torej: 
Kot pravijo, občutite razliko.
1) Ukvarjamo se z notranjim integralom:
Rezultat nadomestimo v zunanji integral:
Integracija nad spremenljivko "y" ne bi smela povzročati zmede; če bi obstajala črka "zy", bi bilo super integrirati čez njo. Čeprav je kdo prebral drugi odstavek lekcije Kako izračunati prostornino vrtilnega telesa, pri integraciji po metodi »Y« ne doživlja več niti najmanjše nerodnosti.
Bodite pozorni tudi na prvi korak: integrand je sod, interval integracije pa je simetričen okoli ničle. Zato lahko segment prepolovimo, rezultat pa podvojimo. Ta tehnika podrobno komentiral v lekciji Učinkovite metode izračun določenega integrala.
Kaj dodati…. Vse!
odgovor:
Če želite preizkusiti svojo integracijsko tehniko, lahko poskusite izračunati . Odgovor bi moral biti popolnoma enak.
Primer 12
Z dvojnim integralom izračunajte ploščino ravninske figure, omejene s črtami 
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Zanimivo je, da če poskusite uporabiti prvi način prečenja območja, figure ne bo treba več razdeliti na dva, temveč na tri dele! In v skladu s tem dobimo tri pare ponovljenih integralov. Včasih se zgodi.
Mojstrski razred se je končal in čas je, da preidemo na velemojstrsko raven - Kako izračunati dvojni integral? Primeri rešitev. V drugem članku bom poskušal ne biti tako manialen =)
Želim ti uspeh!
Rešitve in odgovori:
Primer 2:rešitev:
Narisujmo območje na risbi:
Izberimo naslednji vrstni red prečkanja območja:
Torej: 
Pojdimo k inverznim funkcijam:
Torej: 
odgovor:
Primer 4:rešitev:
Pojdimo k neposrednim funkcijam:
Naredimo risbo:
Spremenimo vrstni red prečkanja območja:
odgovor:
Problem 1(o izračunu površine ukrivljenega trapeza).
V kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu xOy je podana figura (glej sliko), omejena z osjo x, ravne črte x = a, x = b (a s krivočrtnim trapezom. Potrebno je izračunati površino krivulje trapez.
rešitev. Geometrija nam daje recepte za izračun ploščin mnogokotnikov in nekaterih delov kroga (sektor, segment). Z uporabo geometrijskih premislekov lahko najdemo le približno vrednost zahtevane površine, pri čemer sklepamo na naslednji način.
Razdelimo segment [a; b] (osnova ukrivljenega trapeza) na n enakih delov; ta razdelitev se izvede z uporabo točk x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Skozi te točke narišimo ravne črte, vzporedne z osjo y. Nato bo dani krivuljasti trapez razdeljen na n delov, na n ozkih stolpcev. Površina celotnega trapeza je enaka vsoti površin stebrov.
Oglejmo si k-ti stolpec ločeno, tj. ukrivljen trapez, katerega osnova je segment. Zamenjajmo ga s pravokotnikom z enako osnovo in višino, enako f(x k) (glej sliko). Ploščina pravokotnika je enaka \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kjer je \(\Delta x_k \) dolžina segmenta; Naravno je, da dobljeni produkt štejemo za približno vrednost površine k-tega stolpca. 
Če zdaj storimo enako z vsemi ostalimi stolpci, pridemo do naslednjega rezultata: ploščina S danega krivočrtnega trapeza je približno enaka ploščini S n stopničaste figure, sestavljene iz n pravokotnikov (glej sliko):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tu zaradi enotnosti zapisa predpostavimo, da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dolžina segmenta, \(\Delta x_1 \) - dolžina segmenta itd.; v tem primeru, kot smo se dogovorili zgoraj, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Torej, \(S \približno S_n \), in ta približna enakost je natančnejša, čim večje je n.
Po definiciji se domneva, da je zahtevana površina krivolinijskega trapeza enaka meji zaporedja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problem 2(o premikanju točke)
Premika se v ravni črti materialna točka. Odvisnost hitrosti od časa izrazimo s formulo v = v(t). Poiščite gibanje točke v časovnem obdobju [a; b].
rešitev.Če bi bilo gibanje enakomerno, bi se problem rešil zelo preprosto: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neenakomerno gibanje morate uporabiti iste ideje, na katerih je temeljila rešitev prejšnjega problema.
1) Časovni interval [a; b] na n enakih delov.
2) Upoštevajte časovno obdobje in predpostavite, da je bila v tem časovnem obdobju hitrost konstantna, enaka kot v času t k. Torej predpostavimo, da je v = v(t k).
3) Poiščimo približno vrednost gibanja točke v določenem časovnem obdobju, to približno vrednost bomo označili s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Poiščite približno vrednost pomika s:
\(s \približno S_n \) kjer
\(S_n = s_0 + \pike + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pike + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Zahtevani premik je enak meji zaporedja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Naj povzamemo. Rešitve različnih problemov so bile reducirane na isti matematični model. Številni problemi z različnih področij znanosti in tehnologije vodijo v procesu reševanja do istega modela. To pomeni, da je treba ta matematični model posebej preučiti.
Pojem določenega integrala
Podajmo matematični opis modela, ki je bil zgrajen v treh obravnavanih problemih za funkcijo y = f(x), zvezno (vendar ne nujno nenegativno, kot je bilo predpostavljeno v obravnavanih problemih) na intervalu [a; b]:
1) razdelite segment [a; b] na n enakih delov;
2) sestavite vsoto $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Med matematično analizo je bilo dokazano, da ta meja obstaja v primeru zvezne (ali delno zvezne) funkcije. Imenuje se določen integral funkcije y = f(x) po segmentu [a; b] in označeno kot sledi:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Števili a in b imenujemo meji integracije (spodnja oziroma zgornja).
Vrnimo se k zgoraj obravnavanim nalogam. Definicijo območja, podano v nalogi 1, lahko zdaj prepišemo na naslednji način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tukaj je S območje ukrivljenega trapeza, prikazanega na zgornji sliki. To je geometrijski pomen določen integral.
Definicija premika s točke, ki se premika premočrtno s hitrostjo v = v(t) v časovnem obdobju od t = a do t = b, podana v 2. nalogi, se lahko prepiše na naslednji način:
Newton-Leibnizova formula
Najprej si odgovorimo na vprašanje: kakšna je povezava med določenim integralom in protiodvodom?
Odgovor lahko najdete v nalogi 2. Po eni strani se premik s točke, ki se premika premočrtno s hitrostjo v = v(t) v časovnem obdobju od t = a do t = b, izračuna z formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Po drugi strani pa je koordinata gibljive točke antiderivacija za hitrost - označimo jo s(t); To pomeni, da je premik s izražen s formulo s = s(b) - s(a). Kot rezultat dobimo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kjer je s(t) antiizpeljava v(t).
Med matematično analizo je bil dokazan naslednji izrek.
Izrek. Če je funkcija y = f(x) zvezna na intervalu [a; b], potem je formula veljavna
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kjer je F(x) protiodvod od f(x).
Dana formula se običajno imenuje Newton-Leibnizova formula v čast angleškemu fiziku Isaacu Newtonu (1643-1727) in nemškemu filozofu Gottfriedu Leibnizu (1646-1716), ki sta ga prejela neodvisno drug od drugega in skoraj sočasno.
V praksi namesto zapisa F(b) - F(a) uporabljajo zapis \(\levo. F(x)\desno|_a^b \) (včasih se imenuje dvojna zamenjava) in v skladu s tem prepišite Newton-Leibnizovo formulo v tej obliki:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \levo. F(x)\desno|_a^b \)
Pri izračunu določenega integrala najprej poiščite protiodvod, nato pa izvedite dvojno zamenjavo.
Na podlagi Newton-Leibnizove formule lahko dobimo dve lastnosti določenega integrala.
Lastnost 1. Integral vsote funkcij enaka vsoti integrali:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Lastnost 2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Računanje ploščin ravninskih likov z uporabo določenega integrala
Z uporabo integrala lahko izračunate površine ne samo krivuljnih trapezov, ampak tudi ravnih likov več kompleksen tip, na primer prikazano na sliki. Lik P je omejen z ravnimi črtami x = a, x = b in grafi zveznih funkcij y = f(x), y = g(x), ter na odseku [a; b] velja neenakost \(g(x) \leq f(x) \). Za izračun površine S takšne figure bomo postopali na naslednji način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\meje_a^b f(x) dx - \int\meje_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Torej, območje S figure, omejene z ravnimi črtami x = a, x = b in grafi funkcij y = f(x), y = g(x), zveznimi na segmentu in tako, da za vsak x iz segmenta [a; b] je izpolnjena neenakost \(g(x) \leq f(x) \), izračunana po formuli
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Tabela nedoločenih integralov (antiodvodov) nekaterih funkcij
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S postavitvijo tovrstnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s poučevanjem določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijsko interpretacijo pridobljenega znanja v praksi.
Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:
- Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
- Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znane Newton-Leibnizove formule;
- Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumete, kako bo bolj priročno izvesti integracijo v enem ali drugem primeru? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
- No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.
Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:
1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Ime te funkcije podpišemo s svinčnikom nad vsakim grafom. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.
2. Če meje integracije niso eksplicitno določene, potem poiščemo presečišča grafov med seboj in preverimo, ali naša grafična rešitev sovpada z analitično.
3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so razporejeni funkcijski grafi, obstajajo različni pristopi k iskanju območja figure. Razmislimo različni primeri o iskanju območja figure z uporabo integralov.
3.1. Najbolj klasična in preprosta različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? to ravna figura, omejeno z osjo x (y = 0), naravnost x = a, x = b in katera koli krivulja, zvezna na intervalu od a prej b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli:
Primer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 – 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OH, je nenegativno, ker vse točke te parabole imajo pozitivne vrednosti. Naprej, glede na ravne črte x = 1 in x = 3, ki potekajo vzporedno z osjo OU, sta mejni črti slike na levi in desni strani. No y = 0, je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nato rešimo z uporabo Newton-Leibnizove formule.
3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni Newton-Leibnizovi formuli je dodan minus. Kako rešiti takšno težavo, bomo razmislili spodaj.
Primer 2 . Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izvira iz os OH, naravnost x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno sliko od zgoraj. Neposredno x = -4 in x = -1 to so meje, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da dano funkcijo ni pozitiven in še vedno neprekinjen v intervalu [-4; -1] . Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-ov, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.
Članek ni dokončan.
V tem članku se boste naučili, kako z integralnimi izračuni najti območje figure, omejene s črtami. S postavitvijo tovrstnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko smo ravno zaključili s poučevanjem določenih integralov in je čas, da začnemo geometrijsko interpretacijo pridobljenega znanja v praksi.
Torej, kaj je potrebno za uspešno rešitev problema iskanja območja figure z uporabo integralov:
- Sposobnost izdelave kompetentnih risb;
- Sposobnost reševanja določenega integrala z uporabo znane Newton-Leibnizove formule;
- Sposobnost "videti" bolj donosno možnost rešitve - tj. razumete, kako bo bolj priročno izvesti integracijo v enem ali drugem primeru? Vzdolž osi x (OX) ali osi y (OY)?
- No, kje bi bili brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.
Algoritem za rešitev problema izračuna površine figure, omejene s črtami:
1. Gradimo risbo. Priporočljivo je, da to naredite na karirastem listu papirja v velikem merilu. Ime te funkcije podpišemo s svinčnikom nad vsakim grafom. Podpisovanje grafov se izvaja izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešujemo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti omejitev delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.
2. Če meje integracije niso eksplicitno določene, potem poiščemo presečišča grafov med seboj in preverimo, ali naša grafična rešitev sovpada z analitično.
3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako so razporejeni funkcijski grafi, obstajajo različni pristopi k iskanju območja figure. Oglejmo si različne primere iskanja območja figure z uporabo integralov.
3.1. Najbolj klasična in preprosta različica problema je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je ukrivljeni trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y = 0), naravnost x = a, x = b in katera koli krivulja, zvezna na intervalu od a prej b. Poleg tega je ta številka nenegativna in ni pod osjo x. V tem primeru je površina krivuljnega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po Newton-Leibnizovi formuli:
Primer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
S katerimi črtami je lik omejen? Imamo parabolo y = x2 – 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OH, je nenegativno, ker vse točke te parabole imajo pozitivne vrednosti. Naprej, glede na ravne črte x = 1 in x = 3, ki potekajo vzporedno z osjo OU, sta mejni črti slike na levi in desni strani. No y = 0, je tudi os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je zasenčena, kot je razvidno iz slike na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer ukrivljenega trapeza, ki ga nato rešimo z uporabo Newton-Leibnizove formule.
3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 smo preučili primer, ko se ukrivljeni trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni Newton-Leibnizovi formuli je dodan minus. Kako rešiti takšno težavo, bomo razmislili spodaj.
Primer 2 . Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tem primeru imamo parabolo y = x2 + 6x + 2, ki izvira iz os OH, naravnost x = -4, x = -1, y = 0. Tukaj y = 0 omejuje želeno sliko od zgoraj. Neposredno x = -4 in x = -1 to so meje, znotraj katerih bo izračunan določeni integral. Načelo reševanja problema iskanja območja figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da dana funkcija ni pozitivna in je tudi zvezna na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš, da ni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima lik, ki leži znotraj danih x-ov, izključno “negativne” koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Območje slike iščemo po formuli Newton-Leibniz, le z znakom minus na začetku.
Članek ni dokončan.