Površina stožca (ali preprosto površina stožca) je enaka vsoti površin baze in stranske površine.
Površina stranske površine stožca se izračuna po formuli: S = πR l, kjer je R polmer osnove stožca in l- oblikovanje stožca.
Ker je površina osnove stožca enaka πR 2 (kot površina kroga), potem je površina polna površina stožec bo enak: πR 2 + πR l= πR(R+ l).
Pridobitev formule za površino stranske površine stožca je mogoče razložiti z naslednjim sklepanjem. Naj risba prikazuje razvitost stranske ploskve stožca. Razdelimo lok AB na možne večje število enake dele in vse delilne točke povežite s središčem loka, sosednje pa med seboj s tetivami.
Dobimo serijo enaki trikotniki. Površina vsakega trikotnika je ah / 2 kje A- dolžina osnove trikotnika, a h- njegova višina.
Vsota ploščin vseh trikotnikov bo: ah / 2 n = anh / 2 kje n- število trikotnikov.
pri veliko število delitev, se vsota površin trikotnikov zelo približa območju razvoja, tj. območju stranske površine stožca. Vsota osnov trikotnikov, tj. an, se zelo približa dolžini loka AB, tj. obodu osnove stožca. Višina vsakega trikotnika se zelo približa polmeru loka, tj. generatrisi stožca.
Če zanemarimo manjše razlike v velikostih teh količin, dobimo formulo za površino stranske površine stožca (S):
S=C l / 2, kjer je C obseg baze stožca, l- oblikovanje stožca.
Če vemo, da je C = 2πR, kjer je R polmer kroga osnove stožca, dobimo: S = πR l.
Opomba. V formuli S = C l / 2 obstaja predznak natančne, ne približne enakosti, čeprav bi lahko na podlagi zgornjega razmišljanja to enakost šteli za približno. Ampak v srednji šoli srednja šola dokazano je enakost
S=C l / 2 je natančen, ne približen.
Izrek. Stranska površina stožca je enaka zmnožku obsega osnove in polovice generatrise.
Zapišimo v stožec (sl.) nekaj pravilna piramida in označimo s črkami r in lštevilke, ki izražajo dolžine oboda baze in apotem te piramide.
Potem bo njegova stranska površina izražena z zmnožkom 1/2 r l .
Predpostavimo zdaj, da število stranic mnogokotnika, včrtanega v osnovo, neomejeno narašča. Nato obod r bo težil k meji, vzeti kot dolžina C osnovnega obsega, in apotem l bo imel kot mejo generatriko stožca (ker ΔSAK sledi, da je SA - SK
1 / 2 r l, bo težila k meji 1/2 C
L. Ta meja je vzeta kot velikost stranske površine stožca. Po določitvi stransko površino stožec s črko S, lahko zapišemo:
S = 1/2 C L = C 1/2 L
Posledice.
1) Ker je C = 2 π
R, potem je stranska površina stožca izražena s formulo:
S = 1/2 2π R L= π R.L.
2) Polno površino stožca dobimo, če dodamo stransko površino na površino baze; torej, če celotno površino označimo s T, bomo imeli:
T= π RL+ π R2= π R(L+R)
Izrek. Stranska površina prisekanega stožca je enaka zmnožku polovice vsote dolžin krogov baz in generatorja.
Zapišimo v prisekan stožec (sl.) nekaj pravilnega prisekana piramida in označimo s črkami r, r 1 in lštevila, ki v enakih linearnih enotah izražajo dolžine obodov spodnje in zgornje baze ter apotem te piramide.
Potem je stranska površina včrtane piramide enaka 1/2 ( p + str 1) l
Z neomejenim povečanjem števila stranskih ploskev včrtane piramide se obodi r in r 1 se nagibajo k mejam, vzetim kot dolžini C in C 1 osnovnih krogov in apotem l ima kot limit generator L prisekanega stožca. Posledično se velikost stranske ploskve včrtane piramide nagiba k meji, ki je enaka (C + C 1) L. To mejo vzamemo kot velikost bočne ploskve prisekanega stožca. Če označimo stransko površino prisekanega stožca s črko S, imamo:
S = 1/2 (C + C 1) L
Posledice.
1) Če R in R 1 pomenita polmera krogov spodnje in zgornje baze, potem bo stranska površina prisekanega stožca:
S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Če je v trapezu OO 1 A 1 A (sl.), iz vrtenja katerega dobimo prisekan stožec, narišemo srednja črta BC, potem dobimo:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2VS.
torej
S=2 π BC L,
tj. stranska ploskev prisekanega stožca je enaka zmnožku obsega središča in generatrise.
3) Skupna površina T prisekanega stožca bo izražena kot sledi:
T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
Nazaj Naprej
Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.
Vrsta lekcije: pouk učenja nove snovi z elementi problemsko razvojne metode poučevanja.
Cilji lekcije:
- izobraževalni:
- seznanitev z novimi matematični koncept;
- oblikovanje novih centrov za usposabljanje;
- oblikovanje praktičnih veščin reševanja problemov.
- razvoj:
- razvoj samostojnega mišljenja učencev;
- razvoj veščin pravilen govoršolarji.
- izobraževalni:
- razvijanje veščin timskega dela.
Oprema za pouk: magnetna tabla, računalnik, platno, multimedijski projektor, model stožca, predstavitev lekcije, izročki.
Cilji lekcije (za študente):
- se seznanijo z novim geometrijskim pojmom – stožec;
- izpeljati formulo za izračun površine stožca;
- naučijo se uporabljati pridobljeno znanje pri reševanju praktičnih problemov.
Napredek lekcije
stopnja I. Organizacijski.
Vračanje zvezkov od doma testno delo na obravnavano temo.
Učenci so vabljeni, da z reševanjem uganke ugotovijo temo prihajajoče lekcije (diapozitiv 1):
Slika 1.
Najava teme in ciljev lekcije študentom (diapozitiv 2).
Stopnja II. Razlaga nove snovi.
1) Predavanje učitelja.
Na tabli je tabela s sliko stožca. Nov material je razloženo ob programskem gradivu “Stereometrija”. Na zaslonu se prikaže tridimenzionalna slika stožca. Učitelj poda definicijo stožca in govori o njegovih elementih. (slide 3). Rečeno je, da je stožec telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika glede na krak. (diapozitiva 4, 5). Prikaže se slika skenirane stranske površine stožca. (diapozitiv 6)
2) Praktično delo.
Posodabljanje osnovnega znanja: ponovimo formule za izračun ploščine kroga, ploščine sektorja, dolžine kroga, dolžine krožnega loka. (diapozitivi 7–10)
Razred je razdeljen v skupine. Vsaka skupina prejme sken stranske površine stožca, izrezanega iz papirja (sektor kroga s pripisano številko). Učenci opravijo potrebne meritve in izračunajo površino nastalega sektorja. Na zaslonu se prikažejo navodila za izvedbo dela, vprašanja - navedbe problemov (prosojnice 11–14). Predstavnik vsake skupine zapiše rezultate izračuna v tabelo, pripravljeno na tabli. Udeleženci v vsaki skupini zlepijo model stožca po vzorcu, ki ga imajo. (diapozitiv 15)
3) Postavitev in rešitev problema.
Kako izračunati stransko površino stožca, če sta znana le polmer osnove in dolžina generatrixa stožca? (diapozitiv 16)
Vsaka skupina opravi potrebne meritve in poskuša iz razpoložljivih podatkov izpeljati formulo za izračun zahtevane površine. Pri tem delu morajo učenci opaziti, da je obseg osnove stožca enak dolžini loka sektorja - razvitosti stranske površine tega stožca. (prosojnice 17–21) Z uporabo potrebnih formul se izpelje želena formula. Argumenti učencev bi morali izgledati nekako takole:
Polmer pometanja sektorja je enak l, stopenjska mera loki – φ. Območje sektorja se izračuna po formuli: dolžina loka, ki omejuje ta sektor, je enaka polmeru osnove stožca R. Dolžina kroga, ki leži na dnu stožca, je C = 2πR . Upoštevajte, da ker je površina stranske površine stožca enaka razvojni površini njegove stranske površine, potem
Torej, površina stranske površine stožca se izračuna po formuli S BOD = πRl.
Po izračunu površine stranske površine modela stožca z neodvisno izpeljano formulo predstavnik vsake skupine zapiše rezultat izračunov v tabelo na tabli v skladu s številkami modela. Rezultati izračuna v vsaki vrstici morajo biti enaki. Na podlagi tega učitelj ugotovi pravilnost zaključkov posamezne skupine. Tabela z rezultati bi morala izgledati takole:
|
Model št. |
I naloga |
II naloga |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Parametri modela:
- l=12 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =170°
- l=14 cm, φ =110°
Približevanje izračunov je povezano z merilnimi napakami.
Po preverjanju rezultatov se na zaslonu prikaže izpis formul za površine stranskih in skupnih površin stožca (prosojnice 22–26), učenci si zapisujejo v zvezke.
Stopnja III. Utrjevanje preučenega gradiva.
1) Študentom so na voljo naloge za ustno reševanje na že pripravljenih risbah.
Poiščite ploščine celih ploskev stožcev, prikazanih na slikah (prosojnice 27–32).
2) Vprašanje: Ali so površine stožcev, ki nastanejo z vrtenjem enega pravokotnega trikotnika okoli različnih strani, enake? Učenci pripravijo hipotezo in jo preizkusijo. Hipotezo preverja z reševanjem nalog in jo učenec zapiše na tablo.
podano:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – vrtilna telesa.
Najdi: S PPK 1, S PPK 2.
Slika 5. (slide 33)
rešitev:
1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Če je S PPK 1 = S PPK 2, potem a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Ker a, b, c – pozitivna števila (dolžine stranic trikotnika), enakost velja le, če a =b.
Zaključek: Ploščini dveh stožcev sta enaki le, če sta stranici trikotnika enaki. (slide 34)
3) Reševanje naloge iz učbenika: št. 565.
Faza IV. Povzetek lekcije.
domača naloga: odstavka 55, 56; št. 548, št. 561. (slide 35)
Objava dodeljenih ocen.
Zaključki med lekcijo, ponovitev glavnih informacij, prejetih med lekcijo.
Literatura (slide 36)
- Geometrija 10–11 razredov – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., „Prosveščenie“, 2008.
- "Matematične uganke in šarade" - N.V. Udaltsova, knjižnica "Prvi september", serija "MATEMATIKA", številka 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Vemo, kaj je stožec, poskusimo najti njegovo površino. Zakaj morate rešiti tako težavo? Na primer, morate razumeti, koliko testa bo šlo za izdelavo vafeljskega korneta? Ali koliko opek je potrebnih za izdelavo opečne grajske strehe?
Merjenje bočne površine stožca preprosto ni mogoče. Toda predstavljajmo si isti rog, ovit v blago. Če želite najti površino kosa blaga, ga morate razrezati in položiti na mizo. Se bo izšlo ravna figura, lahko najdemo njegovo območje.
riž. 1. Odsek stožca vzdolž generatrike
Enako storimo s stožcem. "Odrežemo" njegovo stransko površino vzdolž poljubne generatrise, na primer (glej sliko 1).
Zdaj "odvijmo" stransko površino na ravnino. Dobimo sektor. Središče tega sektorja je vrh stožca, polmer sektorja je enak generatrisi stožca, dolžina njegovega loka pa sovpada z obsegom osnove stožca. Takšen sektor se imenuje razvoj stranske površine stožca (glej sliko 2).
riž. 2. Razvoj stranske površine
riž. 3. Merjenje kota v radianih
Poskusimo poiskati območje sektorja z uporabo razpoložljivih podatkov. Najprej uvedemo zapis: naj bo kot na vrhu sektorja v radianih (glej sliko 3).
V težavah se bomo morali pogosto ukvarjati s kotom na vrhu zamaha. Za zdaj poskusimo odgovoriti na vprašanje: ali se ta kot ne more izkazati za več kot 360 stopinj? Se pravi, ali se ne bi izkazalo, da bi se pometanje prekrivalo? seveda ne. Dokažimo to matematično. Pustite, da se skeniranje "superponira" nase. To pomeni, da je dolžina pometnega loka večja od dolžine kroga polmera . Toda, kot že omenjeno, je dolžina pometnega loka dolžina kroga polmera . In polmer osnove stožca je seveda manjši od na primer generatrise, ker je krak pravokotnega trikotnika manjši od hipotenuze
Potem se spomnimo dveh formul iz tečaja planimetrije: dolžina loka. Območje sektorja: .
V našem primeru vlogo igra generator , dolžina loka pa je enaka obsegu osnove stožca, tj. Imamo:
Končno dobimo: .
Skupaj s stransko površino je mogoče najti tudi skupno površino. Da bi to naredili, je treba površino baze dodati površini stranske površine. Toda osnova je krog polmera, katerega površina je po formuli enaka .
Končno imamo: , kjer je polmer osnove valja, je generatrisa.
Rešimo nekaj nalog z uporabo danih formul.
riž. 4. Zahtevani kot
Primer 1. Razvoj stranske površine stožca je sektor s kotom na vrhu. Poiščite ta kot, če je višina stožca 4 cm in polmer osnove 3 cm (glej sliko 4).
riž. 5. Pravokotni trikotnik, ki tvori stožec
S prvim dejanjem po Pitagorovem izreku najdemo generator: 5 cm (glej sliko 5). Naprej, to vemo .
Primer 2. Površina osnega prereza stožca je enaka , višina je enaka . Poiščite skupno površino (glej sliko 6).
Vrtilna telesa, ki jih preučujejo v šoli, so valj, stožec in krogla.
Če morate v nalogi na enotnem državnem izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle, menite, da ste srečni.
Uporabite formule za prostornino in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši tabeli. Naučite se na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.
Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.
2. Kolikokrat je prostornina stožca opisana okoli pravilne štirikotna piramida, je večja od prostornine stožca, včrtanega v to piramido?
Preprosto je - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga krat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Zato bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.
Še ena pomembna točka. Ne pozabite, da je v nalogah dela B Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki je odgovor zapisan kot celo število ali končno število decimalno. Zato v vašem odgovoru v delu B ne sme biti nobenega ali. Tudi približne vrednosti števila ni treba zamenjati! Vsekakor se mora skrčiti! V ta namen je v nekaterih težavah naloga oblikovana, na primer, kot sledi: "Poiščite površino stranske površine valja, deljeno s."
Kje drugje se uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v nalogi C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.
Tukaj so težave s stožci, stanje je povezano z njegovo površino. Zlasti pri nekaterih težavah gre za vprašanje spreminjanja območja pri povečanju (zmanjšanju) višine stožca ali polmera njegove osnove. Teorija za reševanje problemov v. Razmislimo o naslednjih nalogah:
27135. Obseg osnove stožca je 3, generator je 2. Poiščite površino stranske površine stožca.
Bočna površina stožca je enaka:
Zamenjava podatkov:
75697. Kolikokrat se bo povečala površina stranske površine stožca, če se njegova generatrisa poveča za 36-krat, polmer osnove pa ostane enak?
Bočna površina stožca:
Generatris se poveča 36-krat. Polmer ostaja enak, kar pomeni, da se obseg baze ni spremenil.
To pomeni, da bo bočna površina spremenjenega stožca imela obliko:
Tako se bo povečal za 36-krat.
*Odnos je premočrten, zato je to težavo enostavno ustno rešiti.
27137. Kolikokrat se bo površina stranske površine stožca zmanjšala, če se polmer njegove osnove zmanjša za 1,5-krat?
Bočna površina stožca je enaka:
Polmer se zmanjša za 1,5-krat, to je:
Ugotovljeno je bilo, da se je stranska površina zmanjšala za 1,5-krat.
27159. Višina stožca je 6, generator je 10. Poiščite površino njegove celotne površine, deljeno s Pi.
Celotna površina stožca:
Najti morate polmer:
Višina in generatrisa sta znani, s pomočjo Pitagorovega izreka izračunamo polmer:
Torej:
Rezultat delite s pi in zapišite odgovor.
76299. Skupna površina stožca je 108. Vzporedno z dnom stožca je narisan odsek, ki deli višino na polovico. Poiščite celotno površino odrezanega stožca.
Odsek poteka skozi sredino višine vzporedno z vznožjem. To pomeni, da bosta polmer osnove in generatrisa odrezanega stožca 2-krat manjša od polmera in generatrise prvotnega stožca. Zapišimo površino odrezanega stožca:
Ugotovili smo, da bo 4-krat manjša od površine izvirnika, to je 108:4 = 27.
*Ker sta izvirni in odrezani stožec podobna telesa, je bilo mogoče uporabiti tudi lastnost podobnosti:
27167. Polmer osnove stožca je 3, višina pa 4. Poiščite celotno površino stožca, deljeno s Pi.
Formula za celotno površino stožca:
Polmer je znan, treba je najti generatriko. 
Po Pitagorovem izreku:
Torej:
Rezultat delite s pi in zapišite odgovor.
Naloga. Površina stranske površine stožca je štirikrat večja od površine baze. Najdi nekaj enako kosinusu kot med generatriso stožca in ravnino baze.
Območje dna stožca je: 
To pomeni, da bo kosinus enak:
Odgovor: 0,25
Odločite se sami:
27136. Kolikokrat se bo povečala površina stranske površine stožca, če se njegova generatrisa poveča za 3-krat?
27160. Površina stranske površine stožca je dvakrat večja od površine osnove. Poiščite kot med generatriko stožca in ravnino baze. Podajte svoj odgovor v stopinjah. .
27161. Skupna površina stožca je 12. Vzporedno z dnom stožca je narisan odsek, ki deli višino na polovico. Poiščite celotno površino odrezanega stožca.
To je vse. Vso srečo!
Lep pozdrav Aleksander.
*Deli informacije o spletnem mestu s prijatelji prek družbenih omrežij.