Sposobnost izračuna prostornine prostorskih figur je pomembna pri reševanju številnih praktičnih problemov v geometriji. Ena najpogostejših figur je piramida. V tem članku bomo obravnavali tako polne kot prisekane piramide.

Piramida kot tridimenzionalna figura

Vsi vedo za Egipčanske piramide, tako da ima dobro predstavo, o kakšni postavi bomo govorili. Vendar so egipčanske kamnite strukture le poseben primer velikega razreda piramid.

Obravnavani geometrijski objekt v splošnem primeru je poligonalna osnova, katere vsaka točka je povezana z določeno točko v prostoru, ki ne pripada ravnini baze. Ta definicija ima za posledico lik, sestavljen iz enega n-kotnika in n trikotnikov.

Vsaka piramida je sestavljena iz n+1 ploskev, 2*n robov in n+1 oglišč. Ker je zadevna figura popoln polieder, se število označenih elementov drži Eulerjeve enakosti:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon, ki se nahaja na dnu, daje ime piramidi, na primer trikotna, peterokotna itd. Niz piramid z različnimi osnovami je prikazan na spodnji fotografiji.

Točka, v kateri se povezuje n trikotnikov figure, se imenuje vrh piramide. Če je navpičnica spuščena z nje na podlago in jo seka v geometrijskem središču, se bo takšna figura imenovala ravna črta. Če ta pogoj ni izpolnjen, se pojavi nagnjena piramida.

Ravni lik, katerega osnovo tvori enakostranični (enakokotni) n-kotnik, imenujemo pravilni.

Formula za prostornino piramide

Za izračun prostornine piramide bomo uporabili integralni račun. Da bi to naredili, lik razdelimo tako, da ravnine, vzporedne z osnovo, razrežemo na neskončno število tankih plasti. Spodnja slika prikazuje štirikotno piramido višine h in stranice dolžine L, pri kateri štirikotnik označuje tanko plast preseka.

Površino vsake takšne plasti je mogoče izračunati po formuli:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Tukaj je A 0 območje baze, z je vrednost navpične koordinate. Vidimo lahko, da če je z = 0, potem formula daje vrednost A 0.

Če želite dobiti formulo za prostornino piramide, morate izračunati integral po celotni višini figure, to je:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Če zamenjamo odvisnost A(z) in izračunamo antiizpeljavo, pridemo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Dobili smo formulo za prostornino piramide. Če želite najti vrednost V, samo pomnožite višino figure s površino osnove in nato rezultat delite s tri.

Upoštevajte, da je dobljeni izraz veljaven za izračun prostornine piramide katere koli vrste. To pomeni, da je lahko nagnjen, njegova osnova pa je lahko poljuben n-kotnik.

in njegovo prostornino

Splošno formulo za prostornino, pridobljeno v zgornjem odstavku, je mogoče izboljšati v primeru piramide z pravi razlog. Površina takšne baze se izračuna po naslednji formuli:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Tukaj je L dolžina stranice pravilnega mnogokotnika z n oglišči. Simbol pi je število pi.

Če nadomestimo izraz za A 0 v splošno formulo, dobimo prostornino redna piramida:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primer, za trikotno piramido ta formula povzroči naslednji izraz:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Za desnico štirikotna piramida Formula volumna ima obliko:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *v.

Določanje prostornine pravilnih piramid zahteva poznavanje stranice njihove osnove in višine figure.

Prisekana piramida

Predpostavimo, da smo vzeli poljubno piramido in ji odrezali del stranske ploskve, ki vsebuje vrh. Preostala figura se imenuje prisekana piramida. Sestavljen je že iz dveh n-kotnih osnov in n trapezov, ki ju povezujejo. Če je bila rezalna ravnina vzporedna z vznožjem figure, potem nastane prisekana piramida s podobnimi vzporednimi osnovami. To pomeni, da lahko dolžine strani enega od njih dobimo tako, da dolžine drugega pomnožimo z določenim koeficientom k.

Na zgornji sliki je prikazan prisekan pravilni. Vidi se, da njegovo zgornjo osnovo, tako kot spodnjo, tvori pravilni šesterokotnik.

Formula, ki jo je mogoče izpeljati z uporabo integralnega računa, podobnega zgornjemu, je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Kjer sta A 0 in A 1 ploščini spodnje (velike) oziroma zgornje (majhne) baze. Spremenljivka h označuje višino prisekane piramide.

Prostornina Keopsove piramide

Zanimivo je rešiti problem določanja prostornine, ki jo največja egiptovska piramida vsebuje v sebi.

Leta 1984 sta britanska egiptologa Mark Lehner in Jon Goodman ugotovila točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova prvotna višina je bila 146,50 metra (trenutno približno 137 metrov). Povprečna dolžina vsake od štirih strani konstrukcije je bila 230,363 metra. Osnova piramide je kvadratna z visoko natančnostjo.

S podanimi številkami določimo prostornino tega kamnitega velikana. Ker je piramida pravilna štirikotna, potem zanjo velja formula:

Če zamenjamo številke, dobimo:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Prostornina Keopsove piramide je skoraj 2,6 milijona m3. Za primerjavo omenimo, da ima olimpijski bazen prostornino 2,5 tisoč m 3. To pomeni, da boste zapolnili celotno Keopsovo piramido potrebovali več kot 1000 takih bazenov!

Piramida. Prisekana piramida

Piramida je polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik ( osnova ), vse ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranski obrazi ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njena osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče baze (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, pri kateri so vsi robovi enaki tetraeder .

Bočno rebro piramide je stran stranske ploskve, ki ne pripada osnovi Višina Piramida je razdalja od njenega vrha do ravnine baze. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je narisana iz vrha, se imenuje apotema . Diagonalni odsek se imenuje odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Bočna površina piramida je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Območje polna površina se imenuje vsota ploščin vseh stranskih ploskev in osnove.

Izreki

1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

2. Če imajo v piramidi vsi stranski robovi enake dolžine, potem se vrh piramide projicira v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

3. Če so vse ploskve v piramidi enako nagnjene na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, včrtanega v osnovi.

Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:

kje V- volumen;

S osnova– osnovna površina;

H– višina piramide.

Za pravilno piramido so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

h a– apotem;

H- višina;

S poln

S stran

S osnova– osnovna površina;

V– prostornina pravilne piramide.

Prisekana piramida imenovan del piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna prisekana piramida imenujemo del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide.

Razlogi prisekana piramida – podobni poligoni. Stranski obrazi – trapezi. Višina prisekane piramide je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala prisekana piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek je odsek prisekane piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Za prisekano piramido veljajo naslednje formule:

(4)

kje S 1 , S 2 – območja zgornje in spodnje baze;

S poln– skupna površina;

S stran– bočna površina;

H- višina;

V– prostornina prisekane piramide.

Za pravilno prisekano piramido je pravilna formula:

kje str 1 , str 2 – obodi baz;

h a– apotem pravilne prisekane piramide.

Primer 1. V desni trikotna piramida diedrski kot pri dnu je 60º. Poiščite tangens naklonskega kota stransko rebro na osnovno ravnino.

rešitev. Naredimo risbo (slika 18).

Piramida je pravilna, kar pomeni na dnu enakostranični trikotnik in vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino baze. Linearni kot je kot a med dvema navpičnicama: itd. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in včrtanega kroga trikotnika ABC). Kot naklona stranskega roba (npr S.B.) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebro S.B. ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge SO in O.B.. Naj dolžina segmenta BD enako 3 A. Pika O segment BD je razdeljen na dele: in Od najdemo SO: Od najdemo:

odgovor:

Primer 2. Poiščite prostornino pravilne prisekane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov enaki cm in cm, njena višina pa je 4 cm.

rešitev. Za iskanje prostornine prisekane piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranice osnov so enake 2 cm oziroma 8 cm. To pomeni, da so površine osnov in Če vse podatke nadomestimo v formulo, izračunamo prostornino prirezane piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnove so 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

rešitev. Naredimo risbo (slika 19).

Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Če želite izračunati površino trapeza, morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane glede na stanje, le višina ostaja neznanka. Kje jo bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje baze, A 1 D– pravokotno od A 1 na AC. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE Naredimo dodatno risbo, ki prikazuje pogled od zgoraj (slika 20). Pika O– projekcija središč zgornje in spodnje baze. ker (glej sliko 20) in Po drugi strani OK– krogu včrtan polmer in OM– polmer vpisan v krog:

MK = DE.

Po Pitagorovem izreku iz

Območje stranskega obraza:

odgovor:

Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove A in b (a> b). Vsak stranski rob tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite celotno površino piramide.

rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enaka vsoti površin in ploščine trapeza ABCD.

Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene na ravnino osnove, potem je oglišče projicirano v središče kroga, včrtanega v osnovi. Pika O– verteksna projekcija S na dnu piramide. Trikotnik SOD je pravokotna projekcija trikotnika CSD na ravnino baze. Po izreku o območju pravokotne projekcije ravna figura dobimo:

Enako pomeni Tako se je problem zmanjšal na iskanje območja trapeza ABCD. Narišimo trapez ABCD ločeno (slika 22). Pika O– središče kroga, včrtanega v trapez.

Ker je krog lahko včrtan v trapez, potem ali Iz Pitagorovega izreka imamo

• 09.10.2014

  Predojačevalnik, prikazan na sliki, je zasnovan za uporabo s 4 vrstami zvočnih virov, na primer mikrofon, CD predvajalnik, radio itd. V tem primeru ima predojačevalnik en vhod, ki lahko spremeni občutljivost od 50 mV do 500 mV. izhodna napetost ojačevalnika 1000mV. Povezovanje različnih virov signal pri preklopu stikala SA1 vedno dobimo ...

• 20.09.2014

  Napajalnik je zasnovan za obremenitev 15…20 W. Vir je izdelan po vezju enocikličnega impulznega visokofrekvenčnega pretvornika. Tranzistor se uporablja za sestavljanje samooscilatorja, ki deluje na frekvenci 20…40 kHz. Frekvenca se prilagaja s kapacitivnostjo C5. Elementi VD5, VD6 in C6 tvorijo zagonsko vezje oscilatorja. V sekundarnem vezju po mostičnem usmerniku je na mikrovezju običajen linearni stabilizator, ki vam omogoča ...

• 28.09.2014

  Na sliki je prikazan generator na osnovi mikrovezja K174XA11, katerega frekvenco nadzira napetost. S spreminjanjem kapacitivnosti C1 od 560 do 4700 pF lahko dosežemo širok razpon frekvenc, frekvenco pa nastavljamo s spreminjanjem upora R4. Tako je na primer avtor ugotovil, da je pri C1 = 560pF frekvenco generatorja mogoče spremeniti z uporabo R4 s 600Hz na 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Enota je zasnovana za napajanje močnega ULF, zasnovana je za izhodno napetost ±27V in obremenitev do 3A na vsaki roki. Napajanje je bipolarno, izdelano na kompletnih kompozitnih tranzistorjih KT825-KT827. Oba kraka stabilizatorja sta narejena po istem vezju, vendar je v drugem kraku (ni prikazan) spremenjena polarnost kondenzatorjev in uporabljeni tranzistorji drugega tipa...