Priročno za določanje določene vrednosti neodvisne spremenljivke x (argument) in izračun ustrezne vrednosti odvisne spremenljivke y. Na primer, če je podana funkcija y = x 2, tj. f(x) = x 2, potem za x = 1 dobimo y = 1 2 = 1; Na kratko se zapiše takole: f(1) = 1. Za x = 2 dobimo f(2) = 2 2 = 4, to je y = 4; za x = - 3 dobimo f(- 3) = (- 3) 2 = 9, tj. y = 9 itd.
Že v 7. razredu sva začela razumevati, da je v enakosti y = f(x) desna stran, tj. izraz f(x) ni omejen na štiri zgoraj navedene primere (C, kx, kx + m, x 2).
Na primer, srečali smo se že s funkcijami po delih, tj. funkcije, podan z različnimi formulami v različnih intervalih. Tukaj je ena taka funkcija: y = f(x), kjer je
Se spomnite, kako narisati graf takšne funkcije? Najprej morate sestaviti parabolo y = x 2 in vzeti njen del pri x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (slika 2). In končno, oba izbrana dela morate združiti v eno risbo, torej graditi na enem koordinatna ravnina(glej sliko 3).
Zdaj je naša naloga naslednja: dopolniti zalogo preučenih funkcij. IN resnično življenje Obstajajo procesi, ki jih opisujejo različni matematični modeli oblike y = f(x), ne samo tisti, ki smo jih našteli zgoraj. V tem razdelku bomo obravnavali funkcijo y = kx 2, kjer je koeficient k je katero koli število, ki ni nič.
Pravzaprav vam je funkcija y = kx 2 v enem primeru malo znana. Poglejte: če je k = 1, potem dobimo y = x 2; To funkcijo ste preučevali v 7. razredu in se verjetno spomnite, da je njen graf parabola (slika 1). Pogovorimo se, kaj se zgodi pri drugih vrednostih koeficienta k.
Razmislite o dveh funkcijah: y = 2x 2 in y = 0,5x 2. Naredimo tabelo vrednosti za prvo funkcijo y = 2x 2:
Zgradimo točke (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) na koordinatna ravnina(slika 4); začrtajo določeno črto, jo narišimo (slika 5).
Naredimo tabelo vrednosti za drugo funkcijo y = 0,5x 2:
Konstruirajmo točke (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) na koordinatni ravnini (slika 6); začrtajo določeno črto, narišimo jo (slika 7)
.
Točke, prikazane na sl. 4 in 6 se včasih imenujeta kontrolni točki za graf ustrezne funkcije.
Primerjaj slike 1, 5 in 7. Ali ni res, da so si narisane črte podobne? Vsaka od njih se imenuje parabola; v tem primeru se točka (0; 0) imenuje vrh parabole, os y pa je simetrijska os parabole. Od vrednosti koeficienta k je odvisna "hitrost gibanja" vej parabole ali, kot pravijo tudi, "stopnja strmine" parabole. To je jasno vidno na sl. 8, kjer se vse tri zgoraj konstruirane parabole nahajajo na isti koordinatni ravnini.
Povsem enako je s katero koli drugo funkcijo oblike y = kx 2, kjer je k > 0. Njen graf je parabola z vrhom na začetku koordinate, so veje parabole usmerjene navzgor in čim strmeje, večji je koeficient k. Y-os je simetrijska os parabole. Mimogrede, matematiki zaradi jedrnatosti pogosto rečejo "parabola y = kx 2" namesto dolge fraze "parabola, ki služi kot graf funkcije y = kx 2" in namesto izraza "simetrična os parabola« uporabljajo izraz »os parabole«.
Ali opazite, da obstaja analogija s funkcijo y = kx? Če je k > 0, potem je graf funkcije y = kx premica, ki poteka skozi izhodišče koordinat (ne pozabite, rekli smo na kratko: premica y = kx), in tudi tukaj je "stopnja strmine" premica je odvisna od vrednosti koeficienta k. To je jasno vidno na sl. 9, kjer so upodobljeni v enem koordinatnem sistemu grafika linearne funkcije y = kx za tri vrednosti koeficienta
Vrnimo se k funkciji y = kx 2. Ugotovimo, kako stojijo stvari v primeru negativnega koeficienta ft. Zgradimo na primer graf funkcije
y = - x 2 (tu je k = - 1). Ustvarimo tabelo vrednosti:
Označite točke (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) na koordinatni ravnini (slika 10); začrtajo določeno črto, jo narišimo (slika 11). To je parabola z vrhom v točki (0; 0), os y je simetrijska os, vendar za razliko od primera, ko je k > 0, so tokrat veje parabole usmerjene navzdol. Pri drugih je podobna situacija negativne vrednosti koeficient k.
Torej je graf funkcije parabola z vrhom v izhodišču; os y je os parabole; veje parabole so usmerjene navzgor pri k>0 u navzdol pri k<0.
Upoštevajte tudi, da se parabola y = kx 2 dotika osi x v točki (0; 0), to pomeni, da ena veja parabole gladko prehaja v drugo, kot da pritiska na os x.
Če je zgrajen v enem koordinatnem sistemu funkcijski grafi y = x 2 in y = - x2, potem je enostavno videti, da sta ti paraboli simetrični druga drugi glede na os x, kar je jasno vidno na sl. 12. Na enak način sta paraboli y = 2x 2 in y = - 2x 2 medsebojno simetrični glede na os x (ne bodite leni, sestavite jih
dve paraboli v istem koordinatnem sistemu in se prepričaj, da trditev drži).
Na splošno velja, da je graf funkcije y = - f(x) simetričen grafu funkcije y = f(x) glede na os x.
Lastnosti funkcije y = kx 2 za k > 0
Pri opisovanju lastnosti te funkcije se bomo zanašali na njen geometrijski model - parabolo (slika 13).
1. Ker je za katero koli vrednost x mogoče izračunati ustrezno vrednost y z uporabo formule y = kx 2, je funkcija definirana v kateri koli točki x (za katero koli vrednost argumenta x). Na kratko se zapiše takole: domena definicije funkcije je (-oo, +oo), torej celotna koordinatna premica.
2. y = 0 pri x = 0; y > O pri . To je razvidno tudi iz grafa funkcije (v celoti se nahaja nad osjo x), vendar se lahko utemelji brez pomoči grafa: če
Potem je kx 2 > O kot produkt dveh pozitivnih števil k in x 2 .
3. y = kx 2 - zvezna funkcija. Spomnimo se, da trenutno ta izraz obravnavamo kot sinonim za stavek "graf funkcije je polna črta, ki jo je mogoče narisati, ne da bi dvignili svinčnik s papirja." V višjih razredih bo podana natančnejša matematična razlaga pojma kontinuitete funkcije, ki se ne opira na geometrijsko ilustracijo.
4.y/ naim = 0 (doseženo pri x = 0); nai6 ne obstaja.
Naj vas spomnimo, da (/ime je najmanjša vrednost funkcije in Unaib. - največja vrednost funkcije na danem intervalu; če interval ni naveden, potem unaim- in y naib, - najmanjši in najvišjo vrednost funkcije v domeni definicije.
5. Funkcija y = kx 2 narašča pri x > O in pada pri x< 0.
Spomnimo se, da smo se pri predmetu algebre v 7. razredu dogovorili, da imenujemo funkcijo, katere graf na obravnavanem intervalu gre od leve proti desni kot "navzgor", narašča in funkcijo, katerega graf v obravnavanem intervalu gre od leve proti desni, kot da se »navzdol« zmanjšuje. Natančneje lahko rečemo tole: rečemo, da funkcija y = f (x) narašča na intervalu X, če na tem intervalu višja vrednost argument ustreza večji vrednosti funkcije; za funkcijo y = f (x) pravimo, da pada na intervalu X, če na tem intervalu večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.
V učbeniku Algebra 7 smo postopek naštevanja lastnosti funkcije poimenovali branje grafa. Proces branja grafa bo postopoma postal bogatejši in zanimivejši, ko bomo spoznavali nove lastnosti funkcij. O petih zgoraj navedenih lastnostih smo razpravljali v 7. razredu za funkcije, ki smo jih tam preučevali. Dodajmo eno novo lastnost.
Funkcija y = f(x) se imenuje spodaj omejena, če so vse vrednosti funkcije večje od določenega števila. Geometrijsko to pomeni, da se graf funkcije nahaja nad določeno neposredno, vzporedno z osjo x.
Zdaj poglejte: graf funkcije y = kx 2 se nahaja nad ravno črto y = - 1 (ali y = - 2, ni pomembno) - prikazano je na sl. 13. To pomeni, da je y - kx2 (k > 0) funkcija, omejena od spodaj.
Poleg spodaj omejenih funkcij se upoštevajo tudi zgoraj omejene funkcije. Za funkcijo y - f(x) pravimo, da je omejena od zgoraj, če so vse vrednosti funkcije manjše od določenega števila. Geometrijsko to pomeni, da se graf funkcije nahaja pod neko ravno črto, vzporedno z osjo x.
Ali obstaja taka premica za parabolo y = kx 2, kjer je k > 0? št. To pomeni, da funkcija ni omejena navzgor.
Tako imamo še eno lastnost, dodajmo jo petim zgoraj naštetim.
6. Funkcija y = kx 2 (k > 0) je omejena spodaj in ni omejena zgoraj.
Lastnosti funkcije y = kx 2 pri k< 0
Pri opisovanju lastnosti te funkcije se opiramo na njeno geometrijo model- parabola (slika 14).
1. Domena definicije funkcije je (-oo, +oo).
2. y = 0 pri x = 0; pri< 0 при .
Z.y = kx 2 - zvezna funkcija.
4. y nai6 = 0 (doseženo pri x = 0), unaim ne obstaja.
5. Funkcija narašča kot x< 0, убывает при х > 0.
6. Funkcija je omejena od zgoraj in ni omejena od spodaj.
Razložimo zadnjo lastnost: obstaja premica, ki je vzporedna z osjo x (npr. y = 1, narisana je na sliki 14), tako da celotna parabola leži pod to premico; to pomeni, da je funkcija zgoraj omejena. Po drugi strani pa je nemogoče narisati premico, vzporedno z osjo x, tako da bi bila celotna parabola nad to premico; to pomeni, da funkcija spodaj ni omejena.
Vrstni red potez, uporabljen zgoraj pri naštevanju lastnosti funkcije, ni zakon, dokler se je razvila kronološko na ta način.
Bolj ali manj določen vrstni red potez bomo razvili postopoma in ga poenotili pri predmetu algebra v 9. razredu.
Primer 1. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije y = 2x 2 na segmentu: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].
a) Zgradimo graf funkcije y = 2x2 in označimo njen del na odseku (slika 15). Ugotavljamo, da 1/ime. = 0 (doseženo pri x = 0) in y max = 8 (doseženo pri x = 2).
b) Zgradimo graf funkcije y = 2x2 in označimo njen del na odseku [- 2, - 1] (slika 16). Upoštevamo, da je 2/max = 2 (doseženo pri x = - 1) in y max = 8 (doseženo pri x = - 2).
c) Zgradimo graf funkcije y = 2x2 in označimo njen del na odseku [- 1, 1.5] (slika 17). Opazimo, da je unanm = 0 (dosežen pri x = 0), y pa je najbolj dosežen v točki x = 1,5; Izračunajmo to vrednost: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Torej, y max =4,5.
Primer 2. Reši enačbo - x 2 = 2x - 3.
rešitev. V učbeniku "Algebra-7" smo razvili algoritem grafične rešitve enačb, spomnimo se.
Za grafično rešitev enačbe f(x) = g (x) potrebujete:
1) upoštevajte dve funkciji y = -x 2 in y = 2x -3;
2) sestavite graf funkcije i/ = / (x);
3) zgradite graf funkcije y = g (x);
4) poiščite presečišča zgrajenih grafov; abscis-
Sistemi teh točk so koreni enačbe f(x) = g (x).
Uporabimo ta algoritem za podana enačba.
1) Razmislite o dveh funkcijah: y = - x2 in y = 2x - 3.
2) Sestavimo parabolo - graf funkcije y = - x 2 (slika 18).
3) Zgradimo graf funkcije y = 2x - 3. To je ravna črta, za izgradnjo je dovolj, da na grafu najdemo poljubni dve točki. Če je x = 0, potem je y = - 3; če je x = 1, potem je y = -1. Tako smo našli dve točki (0; -3) in (1; -1). Premica, ki poteka skozi ti dve točki (graf funkcije y = 2x - 3), je prikazana na isti risbi (glej sliko 18).
4) Po risbi ugotovimo, da se premica in parabola sekata v dveh točkah A(1; -1) in B(-3; -9). pomeni, podana enačba ima dva korena: 1 in - 3 - to sta abscisi točk A in B.
Odgovor: 1,-3.
Komentiraj. Grafičnim ilustracijam seveda ne morete slepo zaupati. Mogoče se nam samo zdi, da ima točka A koordinate (1; - 1), v resnici pa so drugačne, na primer (0,98; - 1,01)?
Zato je vedno koristno, da se preverite. Torej, v obravnavanem primeru se morate prepričati, da točka A(1; -1) pripada paraboli y = - x 2 (to je enostavno - samo nadomestite koordinate točke A v formulo y = - x 2 ; dobimo - 1 = - 1 2 - pravilna numerična enakost) in premico y = 2x - 3 (in to je enostavno - samo koordinate točke A nadomestimo v formulo y = 2x - 3; dobimo - 1 = 2-3 - pravilna številčna enakost). Enako je treba storiti za točko 8. To preverjanje pokaže, da so v obravnavani enačbi grafična opazovanja privedla do pravilnega rezultata.
Primer 3. Rešite sistem
rešitev. Pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko y = - x 2. Graf te funkcije je parabola, prikazana na sl. 18.
Pretvorimo drugo enačbo sistema v obliko y = 2x - 3. Graf te funkcije je ravna črta, prikazana na sl. 18.
Parabola in premica se sekata v točkah A (1; -1) in B (- 3; - 9). Koordinate teh točk služijo kot rešitve danega sistema enačb.
Odgovor: (1; -1), (-3; -9).
Primer 4. Dana funkcija y - f (x), kjer
Zahtevano:
a) izračunajte f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);
b) zgraditi graf funkcije;
c) z grafom naštej lastnosti funkcije.
a) Vrednost x = - 4 izpolnjuje pogoj - zato mora biti f(-4) izračunana z uporabo prve vrstice specifikacije funkcije. Imamo f(x) = - 0,5x2, kar pomeni f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
Podobno najdemo:
f(-2) = -0,5 .
(-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 .
0 2 = 0.
Vrednost izpolnjuje pogoj, zato jo je treba izračunati z uporabo druge vrstice specifikacije funkcije. Imamo f(x) = x + 1, kar pomeni 
Vrednost x = 1,5 izpolnjuje pogoj 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Podobno dobimo f(2)= 2 .
2 2 =8.
Vrednost x = 3 ne izpolnjuje nobenega od treh pogojev za določitev funkcije, zato je f(3) v v tem primeru ni mogoče izračunati, točka x = 3 ne spada v domeno definicije funkcije. Naloga izračuna f(3) ni pravilna.
b) Graf bomo zgradili po delih. Najprej sestavimo parabolo y = -0,5x 2 in izberimo njen del na segmentu [-4, 0] (slika 19). Nato sestavimo premico y = x + 1 u. Izberimo njen del na polintervalu (0, 1] (slika 20). Nato bomo zgradili parabolo y = 2x2 in izbrali njen del na polintervalu (1, 2] (slika 21).
Nazadnje bomo upodobili vse tri »kose« v enem koordinatnem sistemu; dobimo graf funkcije y = f(x) (slika 22).
c) Naštejmo lastnosti funkcije ali, kot smo se dogovorili, preberimo graf.
1. Domena definicije funkcije je odsek [-4, 2].
2. y = 0 pri x = 0; y > 0 pri 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.
3. Funkcija je podvržena diskontinuiteti pri x = 0.
4. Funkcija narašča na segmentu [-4, 2].
5. Funkcija je omejena tako od spodaj kot od zgoraj.
6. y max = -8 (doseženo pri x = -4); y večina6. = 8 (doseženo pri x = 2).
Primer 5. Podana je funkcija y = f(x), kjer je f(x) = 3x 2. Najdi.
Klicana je funkcija oblike where kvadratna funkcija.
Graf kvadratne funkcije – parabola.
Razmislimo o primerih:
I CASE, KLASIČNA PARABOLA
to je , ,
Za konstrukcijo izpolnite tabelo tako, da vrednosti x nadomestite v formulo:
Označite točke (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatni ravnini (manjši korak kot vzamemo vrednosti x (v tem primeru korak 1) in več vrednosti x vzamemo, bolj gladka bo krivulja), dobimo parabolo:
Preprosto je videti, da če vzamemo primer , , , torej dobimo parabolo, ki je simetrična glede na os (oh). To je enostavno preveriti tako, da izpolnite podobno tabelo:
II PRIMER, "a" JE RAZLIČEN OD ENOTE
Kaj se bo zgodilo, če vzamemo , , ? Kako se bo spremenilo obnašanje parabole? Z naslovom="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Na prvi sliki (glej zgoraj) je jasno razvidno, da so bile točke iz tabele za parabolo (1;1), (-1;1) transformirane v točke (1;4), (1;-4), to pomeni, da se pri enakih vrednostih ordinata vsake točke pomnoži s 4. To se bo zgodilo z vsemi ključnimi točkami prvotne tabele. Podobno razmišljamo v primerih slik 2 in 3.
In ko parabola "postane širša" od parabole:
Naj povzamemo:
1)Predznak koeficienta določa smer vej. Z naslovom="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absolutna vrednost koeficient (modul) je odgovoren za "širjenje" in "stiskanje" parabole. Večji kot je , ožja je parabola, manjši kot je |a|, širša je parabola.
III PRIMER, PRIKAZE SE "C".
Zdaj pa uvedimo v igro (to je, upoštevajte primer, ko), bomo obravnavali parabole oblike . Ni težko uganiti (vedno se lahko obrnete na tabelo), da se bo parabola premaknila navzgor ali navzdol vzdolž osi glede na znak:
IV PRIMER, PRIKAŽE se "b".
Kdaj se bo parabola »odtrgala« od osi in končno »hodila« po celotni koordinatni ravnini? Kdaj ne bo več enak?
Tukaj potrebujemo za sestavo parabole formula za izračun oglišča: , .
Tako bomo na tej točki (kot na točki (0;0) novega koordinatnega sistema) zgradili parabolo, kar že lahko naredimo. Če imamo opravka s primerom, potem od vrha postavimo en segment enote v desno, enega navzgor, - nastala točka je naša (podobno, korak v levo, korak navzgor je naša točka); če imamo na primer opravka, potem od vrha postavimo en segment enote v desno, dva - navzgor itd.
Na primer, vrh parabole:
Glavna stvar, ki jo je treba razumeti, je, da bomo na tej točki zgradili parabolo po vzorcu parabole, ker v našem primeru.
Pri konstruiranju parabole po najdenih koordinatah oglišča zeloPrimerno je upoštevati naslednje točke:
1) parabola bo zagotovo šel skozi točko . Če nadomestimo x=0 v formulo, dobimo, da . To pomeni, da je ordinata presečišča parabole z osjo (oy) . V našem primeru (zgoraj) parabola seka ordinato v točki , saj .
2) simetrična os parabole je ravna črta, zato bodo vse točke parabole simetrične glede nanjo. V našem primeru takoj vzamemo točko (0; -2) in jo zgradimo simetrično glede na simetrično os parabole, dobimo točko (4; -2), skozi katero bo parabola potekala.
3) Z enačenjem , ugotovimo presečišča parabole z osjo (oh). Da bi to naredili, rešimo enačbo. Glede na diskriminanto bomo dobili enega (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V prejšnjem primeru naš koren diskriminanta pri konstruiranju ni celo število, nima smisla iskati korenin, vendar jasno vidimo, da bomo imeli dve presečni točki z osjo (oh) (od title="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Torej, rešimo to
Algoritem za konstrukcijo parabole, če je podana v obliki
1) določi smer vej (a>0 – gor, a<0 – вниз)
2) poiščemo koordinate vrha parabole po formuli , .
3) najdemo točko presečišča parabole z osjo (oy) z uporabo prostega izraza, zgradimo točko, ki je simetrična na to točko glede na os simetrije parabole (opozoriti je treba, da se zgodi, da je nedonosno označiti to točka, na primer, ker je vrednost velika ... to točko preskočimo ...)
4) V najdeni točki - oglišču parabole (kot v točki (0;0) novega koordinatnega sistema) sestavimo parabolo. If title="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Presečišča parabole z osjo (oy) poiščemo (če še niso »priplavale«) tako, da rešimo enačbo
Primer 1
Primer 2
Opomba 1.Če nam je parabola na začetku podana v obliki , kjer je nekaj števil (npr. ), potem jo bomo še lažje sestavili, saj smo že dobili koordinate oglišča . Zakaj?
Vzemimo kvadratni trinom in poudarite v njem popoln kvadrat: Poglej, tole imamo, . Vi in jaz smo prej imenovali vrh parabole, to je zdaj,.
Na primer,. Označimo vrh parabole na ravnini, razumemo, da so veje usmerjene navzdol, parabola je razširjena (glede na ). Se pravi, izvajamo 1. točko; 3; 4; 5 iz algoritma za konstrukcijo parabole (glej zgoraj).
Opomba 2.Če je parabola podana v podobni obliki (torej predstavljena kot produkt dveh linearnih faktorjev), potem takoj vidimo presečišča parabole z osjo (ox). V tem primeru – (0;0) in (4;0). Za ostalo delujemo v skladu z algoritmom in odpiramo oklepaje.