Reševanje eksponentnih potenčnih enačb, algoritmov in primerov. Kaj je eksponentna enačba in kako jo rešiti

13.10.2019

Aplikacija

Reševanje vseh vrst enačb na spletu za študente in šolarje za utrjevanje preučenega gradiva na spletu. Enačbe na spletu. Obstajajo algebraične, parametrične, transcendentne, funkcionalne, diferencialne in druge vrste enačb. Nekateri razredi enačb imajo analitične rešitve, ki so priročne, ker ne dajejo le natančna vrednost root, vendar vam omogočajo, da zapišete rešitev v obliki formule, ki lahko vključuje parametre. Analitični izrazi omogočajo ne le izračun korenin, ampak tudi analizo njihovega obstoja in količine glede na vrednosti parametrov, kar je pogosto še bolj pomembno za praktična uporaba, kot specifične vrednosti korenin. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Reševanje enačbe je naloga iskanja takih vrednosti argumentov, pri katerih je ta enakost dosežena. Na možne vrednosti argumentov se lahko naložijo dodatni pogoji (celo število, realno itd.). Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Enačbo lahko rešite na spletu takoj in z visoko natančnostjo rezultata. Argumenti določenih funkcij (včasih imenovani "spremenljivke") se v primeru enačbe imenujejo "neznane". Vrednosti neznank, pri katerih je ta enakost dosežena, se imenujejo rešitve ali korenine podana enačba. Rečeno je, da korenine izpolnjujejo to enačbo. Reševanje enačbe na spletu pomeni iskanje množice vseh njenih rešitev (korenov) ali dokazovanje, da korenin ni. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Enačbe, katerih množice korenin sovpadajo, imenujemo enakovredne ali enake. Enakovredne se štejejo tudi za enačbe, ki nimajo korenin. Enakovrednost enačb ima lastnost simetrije: če je ena enačba enakovredna drugi, potem je druga enačba enakovredna prvi. Enakovrednost enačb ima lastnost tranzitivnosti: če je ena enačba enakovredna drugi, druga pa tretji, potem je prva enačba enakovredna tretji. Ekvivalenčnost enačb nam omogoča, da z njimi izvajamo transformacije, na katerih temeljijo metode za njihovo reševanje. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Spletno mesto vam bo omogočilo reševanje enačbe na spletu. Enačbe, za katere so znane analitične rešitve, vključujejo algebraične enačbe največ četrte stopnje: linearna enačba, kvadratna enačba, kubična enačba in enačba četrte stopnje. Algebraične enačbe višjih stopenj v splošnem primeru nimajo analitične rešitve, čeprav jih je mogoče nekatere zreducirati na enačbe nižjih stopenj. Enačbe, ki vključujejo transcendentne funkcije, imenujemo transcendentne. Med njimi so znane analitične rešitve za nekatere trigonometrične enačbe, od ničel trigonometrične funkcije dobro znan. V splošnem primeru, ko analitične rešitve ni mogoče najti, uporabimo numerične metode. Numerične metode ne dajejo točne rešitve, ampak le omogočajo zožitev intervala, v katerem leži koren, na vnaprej določen. nastavljeno vrednost. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu.. Namesto enačbe na spletu si bomo predstavljali, kako isti izraz tvori linearno razmerje, ne samo vzdolž premice, ampak tudi na sami prevojni točki grafa. Ta metoda je nepogrešljiva v vsakem trenutku študija predmeta. Pogosto se zgodi, da se reševanje enačb približa končni vrednosti z uporabo neskončnih števil in zapisa vektorjev. Začetne podatke je treba preveriti in to je bistvo naloge. V nasprotnem primeru se lokalni pogoj pretvori v formulo. Inverzija vzdolž ravne črte od dano funkcijo, ki ga bo enačbeni kalkulator izračunal brez velike zamude pri izvedbi, bo zamik služil s privilegijem prostora. Govorili bomo o uspešnosti študentov v znanstvenem okolju. Vendar nam bo, tako kot vse zgoraj našteto, pomagalo pri iskanju in ko boste enačbo v celoti rešili, dobljeni odgovor shranilo na konce ravne črte. Premice v prostoru se sekajo v točki in ta točka se imenuje preseka premic. Interval v vrstici je označen, kot je navedeno prej. Najvišje delovno mesto za študij matematike bo objavljeno. Dodeljevanje vrednosti argumenta s parametrično določene površine in reševanje enačbe na spletu bosta lahko orisala načela produktivnega dostopa do funkcije. Möbiusov trak ali neskončnost, kot se imenuje, je videti kot osmica. To je enostranska površina, ne dvostranska. Po načelu, ki je vsem splošno znano, bomo linearne enačbe objektivno sprejeli kot osnovno oznako, kot je na področju raziskovanja. Samo dve vrednosti zaporedno podanih argumentov lahko razkrijeta smer vektorja. Ob predpostavki, da je druga rešitev spletnih enačb veliko več kot samo reševanje, pomeni pridobitev popolne različice invariante kot rezultat. brez celostni pristop dijaki se težko učijo ta material . Kot doslej bo naš priročen in pameten spletni kalkulator enačb za vsak poseben primer pomagal vsem v težkih časih, saj morate samo določiti vhodne parametre in sistem bo sam izračunal odgovor. Preden začnemo vnašati podatke, potrebujemo orodje za vnos, ki ga lahko naredimo brez večjih težav. Število vsake ocene odgovora bo vodilo do kvadratne enačbe do naših sklepov, vendar to ni tako enostavno narediti, ker je lahko dokazati nasprotno. Teorija zaradi svojih značilnosti ni podprta s praktičnim znanjem. Ogled kalkulatorja ulomkov na stopnji objave odgovora v matematiki ni lahka naloga, saj alternativa zapisovanja števila na množico pomaga povečati rast funkcije. Bilo pa bi nekorektno, če ne bi govorili o poučevanju študentov, zato bova povedala vsak toliko, kolikor bo treba narediti. Prej najdena kubična enačba bo upravičeno spadala v domeno definicije in vsebovala prostor numeričnih vrednosti ter simbolnih spremenljivk. Ko se bodo izrek naučili ali si ga zapomnili, se bodo naši učenci izkazali le najbolje in veseli jih bomo. Za razliko od presečišč več polj so naše spletne enačbe opisane z ravnino gibanja z množenjem dveh in treh numeričnih kombiniranih črt. Množica v matematiki ni enolično definirana. Najboljša rešitev je po mnenju študentov popoln posnetek izraza. Kot rečeno v znanstvenem jeziku, abstrakcija simbolnih izrazov ne vstopa v stanje stvari, vendar rešitev enačb daje nedvoumen rezultat v vseh znanih primerih. Trajanje učiteljeve lekcije je odvisno od potreb po tem predlogu. Analiza je pokazala nujnost vseh računalniških tehnik na mnogih področjih in popolnoma jasno je, da je enačbeni kalkulator nepogrešljiv pripomoček v nadarjenih rokah študenta. Lojalen pristop k študiju matematike določa pomen pogledov iz različnih smeri. Identificirati želite enega od ključnih izrekov in rešiti enačbo na tak način, glede na odgovor katerega bo potrebna nadaljnja uporaba. Analitika na tem področju dobiva zagon. Začnimo od začetka in izpeljimo formulo. Ko prebijemo stopnjo povečanja funkcije, bo črta vzdolž tangente na prevojni točki zagotovo vodila do dejstva, da bo reševanje enačbe na spletu eden glavnih vidikov pri izdelavi istega grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristop ima pravico do uporabe, če ta pogoj ni v nasprotju s sklepi študentov. V ozadje je postavljena podnaloga, ki postavi analizo matematičnih pogojev kot linearnih enačb v obstoječo domeno definiranja objekta. Netiranje v smeri ortogonalnosti izniči prednost ene same absolutne vrednosti. Spletno reševanje enačb po modulu daje enako število rešitev, če odprete oklepaje najprej z znakom plus in nato z znakom minus. V tem primeru bo dvakrat več rešitev, rezultat pa bo natančnejši. Stabilen in pravilen spletni kalkulator enačb je uspeh pri doseganju zastavljenega cilja v nalogi, ki jo je zastavil učitelj. Zdi se, da je mogoče izbrati pravo metodo zaradi bistvenih razlik v pogledih velikih znanstvenikov. Nastala kvadratna enačba opisuje krivuljo črt, tako imenovano parabolo, predznak pa bo določal njeno konveksnost v kvadratnem koordinatnem sistemu. Iz enačbe dobimo diskriminanto in same korene po Vietovem izreku. Prvi korak je predstaviti izraz kot pravilen ali nepravilen ulomek in uporabiti kalkulator ulomkov. Glede na to se bo oblikoval načrt naših nadaljnjih izračunov. Matematika s teoretičnim pristopom bo uporabna na vsaki stopnji. Vsekakor bomo rezultat predstavili kot kubično enačbo, saj bomo njene korenine skrili v tem izrazu, da bi poenostavili nalogo študentu na univerzi. Vsaka metoda je dobra, če je primerna za površinsko analizo. Dodatne aritmetične operacije ne bodo povzročile napak pri izračunu. Določi odgovor z dano natančnostjo. Priznajmo si, da z uporabo rešitve enačb iskanje neodvisne spremenljivke dane funkcije ni tako preprosto, še posebej v obdobju preučevanja vzporednih premic v neskončnosti. Glede na izjemo je potreba zelo očitna. Razlika v polariteti je jasna. Iz izkušenj poučevanja na inštitutih se je naučil naš učitelj glavna lekcija, v katerem so enačbe preučevali na spletu v polnem matematičnem smislu. Tu smo govorili o večjih naporih in posebnih veščinah pri uporabi teorije. V prid našim sklepom ne gre gledati skozi prizmo. Do nedavnega je veljalo, da se zaprta množica hitro povečuje nad regijo, kot je, in rešitev enačb je preprosto treba raziskati. Na prvi stopnji nismo upoštevali vsega možne možnosti, vendar je ta pristop bolj upravičen kot kdaj koli prej. Dodatna dejanja z oklepaji opravičujejo nekaj napredkov po ordinatni in abscisni osi, ki jih s prostim očesom ni mogoče spregledati. V smislu obsežnega sorazmernega povečanja funkcije obstaja prevojna točka. Še enkrat bomo dokazali, kako bo potreben pogoj veljal v celotnem intervalu padanja enega ali drugega padajočega položaja vektorja. V omejenem prostoru bomo izbrali spremenljivko iz začetnega bloka našega skripta. Sistem, zgrajen kot osnova vzdolž treh vektorjev, je odgovoren za odsotnost glavnega momenta sile. Vendar pa je kalkulator enačb ustvaril in pomagal najti vse člene sestavljene enačbe, tako nad površino kot vzdolž vzporednih črt. Okoli začetne točke narišimo krog. Tako se bomo začeli premikati navzgor vzdolž presečnih črt, tangenta pa bo opisala krog po vsej njegovi dolžini, kar bo povzročilo krivuljo, imenovano evolventa. Mimogrede, povejmo malo zgodovine o tej krivulji. Dejstvo je, da zgodovinsko gledano v matematiki ni bilo koncepta same matematike čisto razumevanje kot danes. Prej so se vsi znanstveniki ukvarjali z eno skupno nalogo, to je z znanostjo. Pozneje, več stoletij pozneje, ko znanstveni svet polno ogromne količine informacij, je človeštvo še vedno identificiralo številne discipline. Še vedno ostajajo nespremenjeni. Pa vendar znanstveniki po vsem svetu vsako leto poskušajo dokazati, da je znanost neomejena in da enačbe ne boste rešili, če nimate znanja iz naravoslovja. Morda temu dokončno ne bo mogoče narediti konca. Razmišljanje o tem je tako nesmiselno kot ogrevanje zraka zunaj. Poiščimo interval, pri katerem bo argument, če je njegova vrednost pozitivna, določil modul vrednosti v strmo naraščajoči smeri. Reakcija vam bo pomagala najti vsaj tri rešitve, vendar jih boste morali preveriti. Začnimo z dejstvom, da moramo enačbo rešiti na spletu z uporabo edinstvene storitve našega spletnega mesta. Predstavimo oba dela podana enačba, kliknite na gumb “REŠI” in v samo nekaj sekundah dobite natančen odgovor. V posebnih primerih vzemimo matematično knjigo in še enkrat preverimo svoj odgovor, namreč poglejmo samo odgovor in vse nam bo jasno. Enak projekt za umetni redundančni paralelepiped bo odletel ven. Z njim je paralelogram vzporedne stranice, in razloži številna načela in pristope za preučevanje prostorskega razmerja procesa kopičenja votlega prostora od spodaj navzgor v formulah naravne oblike. Dvoumne linearne enačbe prikazujejo odvisnost želene spremenljivke od naše skupne v tem trenutkučasovno rešitev in morate nekako izpeljati in zmanjšati nepravilni ulomek na netrivialen primer. Na premici označite deset točk in skozi vsako točko narišite krivuljo v dani smeri, s konveksno konico navzgor. Brez večjih težav bo naš kalkulator enačb predstavil izraz v takšni obliki, da bo njegovo preverjanje veljavnosti pravil očitno že na začetku zapisa. Sistem posebnih predstavitev stabilnosti za matematike je na prvem mestu, razen če formula ne določa drugače. Na to bomo odgovorili s podrobno predstavitvijo poročila na temo Izomorfno stanje plastičnega sistema teles in reševanje enačb na spletu bo opisalo gibanje posamezne materialne točke v tem sistemu. Na ravni poglobljene raziskave bo treba podrobneje razjasniti problematiko inverzij vsaj spodnje plasti prostora. Če se dvignemo v delu, kjer je funkcija diskontinuirana, bomo uporabili splošno metodo odličnega raziskovalca, mimogrede, našega rojaka, in v nadaljevanju povedali o obnašanju letala. Zaradi močnih značilnosti analitično opredeljene funkcije uporabljamo spletni kalkulator enačb samo za predvideni namen v okviru izpeljanih meja avtoritete. V nadaljnjem razmišljanju se bomo osredotočili na homogenost same enačbe, to je, da je njena desna stran enaka nič. Še enkrat se prepričajmo, ali je naša odločitev pri matematiki pravilna. Da bi se izognili trivialni rešitvi, bomo nekoliko prilagodili začetne pogoje za problem pogojne stabilnosti sistema. Sestavimo kvadratno enačbo, za katero izpišemo dva vnosa z dobro znano formulo in poiščemo negativne korenine. Če je en koren pet enot večji od drugega in tretjega korena, potem s spremembami glavnega argumenta s tem popačimo začetne pogoje podnaloge. Nekaj nenavadnega v matematiki je po svoji naravi vedno mogoče opisati do najbližje stotinke pozitivnega števila. Kalkulator ulomkov je večkrat boljši od svojih analogov na podobnih virih v najboljšem trenutku obremenitve strežnika. Na površini vektorja hitrosti, ki raste vzdolž ordinatne osi, narišemo sedem črt, upognjenih v nasprotnih smereh. Sorazmernost argumenta dodeljene funkcije je pred odčitki števca obnovitvenega stanja. V matematiki lahko ta pojav predstavimo s kubično enačbo z namišljenimi koeficienti, pa tudi z bipolarno progresijo padajočih črt. Kritične točke temperaturne razlike na več načinov opisujejo proces razgradnje kompleksa frakcijska funkcija z množitelji. Če vam rečejo, da morate rešiti enačbo, ne hitite, da to storite takoj, vsekakor najprej ocenite celoten akcijski načrt in šele nato izberite pravi pristop. Vsekakor bodo koristi. Enostavnost dela je očitna, tako je tudi pri matematiki. Rešite enačbo na spletu. Vse spletne enačbe so določene vrste zapis števil ali parametrov in spremenljivka, ki jo je treba definirati. Izračunajte to spremenljivko, to je, poiščite določene vrednosti ali intervale niza vrednosti, pri katerih bo identiteta držala. Začetni in končni pogoji so neposredno odvisni. Splošna rešitev enačb običajno vključuje nekaj spremenljivk in konstant, z nastavitvijo katerih bomo dobili cele družine rešitev za dano formulacijo problema. Na splošno to upravičuje trud, vložen v povečanje funkcionalnosti prostorske kocke s stranico 100 centimetrov. Teorem ali lemo lahko uporabite na kateri koli stopnji konstruiranja odgovora. Spletno mesto postopoma izdela kalkulator enačb, če je potrebno, na katerem koli intervalu seštevka izdelkov najmanjša vrednost. V polovici primerov je taka krogla votla, ne v večji meri izpolnjuje zahteve za nastavitev vmesnega odgovora. Vsaj na ordinatni osi v smeri padanja vektorske zastopanosti bo to razmerje nedvomno optimalnejše od prejšnjega izraza. Ob uri, ko bo izvedena popolna točkovna analiza linearnih funkcij, bomo pravzaprav združili vsa naša kompleksna števila in bipolarne ravninske prostore. Če v nastali izraz zamenjate spremenljivko, boste enačbo rešili korak za korakom in dali najbolj podroben odgovor z visoko natančnostjo. Še enkrat preverite svoja dejanja pri matematiki v dobri formi s študentove strani. Delež v razmerju ulomkov je zabeležil celovitost rezultata na vseh pomembnih področjih delovanja ničelnega vektorja. Trivialnost se potrdi na koncu izvedenih dejanj. Pri preprosti nalogi učenci morda ne bodo imeli težav, če enačbo rešijo na spletu v najkrajšem možnem času, vendar ne pozabite na vsa različna pravila. Niz podmnožic se seka v območju konvergentnega zapisa. V različnih primerih produkt ni pomotoma faktoriziran. Pri spletnem reševanju enačbe vam bomo pomagali v našem prvem razdelku, ki je namenjen osnovam matematičnih tehnik za pomembne oddelke za študente na univerzah in tehničnih fakultetah. Na odgovore nam ne bo treba čakati nekaj dni, saj je bil postopek najboljše interakcije vektorske analize s sekvenčnim iskanjem rešitev patentiran v začetku prejšnjega stoletja. Izkazalo se je, da prizadevanja za vzpostavitev odnosov z okolico niso bila zaman; očitno je bilo treba najprej nekaj drugega. Več generacij pozneje so znanstveniki po vsem svetu prepričali ljudi, da je matematika kraljica znanosti. Ne glede na to, ali gre za levi ali desni odgovor, je vseeno treba izčrpne izraze zapisati v treh vrsticah, saj bomo v našem primeru zagotovo govorili le o vektorski analizi lastnosti matrike. Nelinearne in linearne enačbe so skupaj z bikvadratnimi enačbami zavzele posebno mesto v naši knjigi o najboljših metodah za izračun tirnice gibanja v prostoru vseh materialnih točk zaprtega sistema. Linearna analiza nam bo pomagala uresničiti idejo pikasti izdelek trije zaporedni vektorji. Na koncu vsakega stavka je naloga lažja z implementacijo optimiziranih numeričnih izjem v prekrivnih prostorih števil, ki se izvajajo. Drugačna sodba ne bo nasprotovala najdenemu odgovoru v prosta oblika trikotnik v krogu. Kot med dvema vektorjema vsebuje zahtevani odstotek rezerve in spletno reševanje enačb pogosto razkrije določen skupni koren enačbe v nasprotju z začetnimi pogoji. Izjema ima vlogo katalizatorja v celotnem neizogibnem procesu iskanja pozitivne rešitve na področju definiranja funkcije. Če ni rečeno, da ne znate uporabljati računalnika, potem je spletni kalkulator enačb ravno pravi za vaše težke probleme. Samo vnesti morate svoje pogojne podatke v pravilni obliki in naš strežnik bo izdal popoln rezultat v najkrajšem možnem času. Eksponentna funkcija raste veliko hitreje kot linearna. O tem pričajo Talmudi pametne knjižnične literature. Izračun bo opravil v v splošnem smislu kot bi to storila podana kvadratna enačba s tremi kompleksnimi koeficienti. Parabola v zgornjem delu polravnine označuje pravokotno vzporedno gibanje vzdolž osi točke. Tukaj velja omeniti potencialno razliko v delovnem prostoru telesa. V zameno za neoptimalen rezultat naš kalkulator ulomkov upravičeno zaseda prvo mesto v matematični oceni pregleda funkcionalnih programov na strani strežnika. Enostavnost uporabe te storitve bodo cenili milijoni uporabnikov interneta. Če ne veste, kako ga uporabljati, vam bomo z veseljem pomagali. Prav tako želimo posebej izpostaviti in izpostaviti kubično enačbo iz številnih osnovnošolskih nalog, ko je treba hitro najti njene korenine in sestaviti graf funkcije na ravnini. Višje stopnje razmnoževanje spada med težke matematične težave na inštitutu in je za njegov študij namenjeno zadostno število ur. Kot vse linearne enačbe tudi naša ni izjema glede na mnoga objektivna pravila, poglejte si spodaj različne točke vizijo, enostavno in zadostno pa bo določiti začetne pogoje. Interval naraščanja sovpada z intervalom konveksnosti funkcije. Reševanje enačb na spletu. Študij teorije temelji na spletnih enačbah iz številnih razdelkov študija glavne discipline. V primeru tega pristopa v negotovih problemih je zelo preprosto predstaviti rešitev enačb v vnaprej določeni obliki in ne samo narediti sklepe, ampak tudi napovedati izid take pozitivne rešitve. Storitev v najboljših tradicijah matematike nam bo pomagala pri učenju predmetnega področja, tako kot je to običajno na vzhodu. V najboljših trenutkih časovnega intervala so bile podobne naloge pomnožene s skupnim faktorjem deset. Obilje množenja več spremenljivk v kalkulatorju enačb se je začelo množiti s kakovostjo in ne s kvantitativnimi spremenljivkami, kot sta masa ali telesna teža. Da bi se izognili primerom neuravnoteženosti materialnega sistema, nam je izpeljava tridimenzionalnega transformatorja na trivialni konvergenci nedegeneriranih matric povsem očitna. Dopolni nalogo in reši enačbo v dane koordinate, saj je rezultat vnaprej neznan, tako kot vse spremenljivke, vključene v postprostorski čas. Vklopljeno kratkoročno premaknite skupni faktor čez oklepaj in delite z največjim skupni delilnik oba dela vnaprej. Izvleček izpod nastale pokrite podmnožice števil na podroben način triintrideset točk zapored v kratkem času. V kolikor je možno, da vsak učenec na spletu reši enačbo na najboljši možni način, za naprej povejmo eno pomembno, a ključno stvar, brez katere bo v prihodnje težko živel. V prejšnjem stoletju je veliki znanstvenik opazil številne vzorce v teoriji matematike. V praksi rezultat ni bil povsem pričakovan vtis dogodkov. Načeloma pa ravno to reševanje enačb na spletu pripomore k boljšemu razumevanju in dojemanju celostnega pristopa k učenju in praktičnemu utrjevanju obravnavane teoretične snovi študentov. To je veliko lažje narediti med študijem.

Ta lekcija je namenjena tistim, ki se šele začenjajo učiti eksponentnih enačb. Kot vedno, začnimo z definicijo in preprostimi primeri.

Če berete to lekcijo, potem sumim, da že vsaj minimalno razumete najpreprostejše enačbe - linearne in kvadratne: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Sposobnost reševanja takšnih konstrukcij je nujno potrebna, da se ne "zataknemo" v temi, o kateri bomo zdaj razpravljali.

Torej, eksponentne enačbe. Naj vam navedem nekaj primerov:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Nekateri se vam morda zdijo bolj zapleteni, drugi pa so, nasprotno, preveč preprosti. Vsem pa je skupna ena pomembna lastnost: njihov zapis vsebuje eksponentno funkcijo $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Torej, predstavimo definicijo:

Eksponentna enačba je vsaka enačba, ki vsebuje eksponentno funkcijo, tj. izraz v obliki $((a)^(x))$. Poleg navedene funkcije lahko takšne enačbe vsebujejo tudi druge algebraične konstrukcije - polinome, korenine, trigonometrijo, logaritme itd.

OK potem. Razvrstili smo definicijo. Zdaj se postavlja vprašanje: kako rešiti vso to sranje? Odgovor je hkrati preprost in zapleten.

Začnimo z dobro novico: iz mojih izkušenj pri poučevanju številnih učencev lahko rečem, da večina od njih veliko lažje najde eksponentne enačbe kot iste logaritme, še bolj pa trigonometrijo.

Vendar obstaja slaba novica: včasih sestavljavce nalog za najrazličnejše učbenike in izpite zadene »navdih« in njihovi od mamil vneti možgani začnejo proizvajati tako brutalne enačbe, da njihovo reševanje postane problematično ne le za študente – tudi za mnoge učitelje. nasedati pri takšnih težavah.

Vendar, da ne govorimo o žalostnih stvareh. Pa se vrnimo k tistim trem enačbam, ki so bile podane na samem začetku zgodbe. Poskusimo rešiti vsakega od njih.

Prva enačba: $((2)^(x))=4$. No, na kakšno potenco morate dvigniti število 2, da dobite število 4? Verjetno drugo? Navsezadnje je $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - in dobili smo pravilno numerično enakost, tj. res $x=2$. No, hvala, Cap, ampak ta enačba je bila tako preprosta, da bi jo lahko rešila celo moja mačka :)

Poglejmo naslednjo enačbo:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Toda tukaj je malo bolj zapleteno. Mnogi učenci vedo, da je $((5)^(2))=25$ tabela množenja. Nekateri tudi sumijo, da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ v bistvu definicija negativnih potenc (podobno formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Končno se le nekaj izbranih zaveda, da je ta dejstva mogoče združiti in prinesti naslednji rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Tako bo naša prvotna enačba prepisana na naslednji način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\desna puščica ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ampak to je že povsem rešljivo! Na levi v enačbi je eksponentna funkcija, na desni v enačbi je eksponentna funkcija, razen njih ni nikjer ničesar drugega. Zato lahko "zavržemo" baze in neumno enačimo kazalnike:

Dobili smo najpreprostejšo linearno enačbo, ki jo lahko vsak učenec reši v le nekaj vrsticah. V redu, v štirih vrsticah:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Če ne razumete, kaj se je zgodilo v zadnjih štirih vrsticah, se vrnite na temo "linearne enačbe" in jo ponovite. Ker je brez jasnega razumevanja te teme prezgodaj, da bi se lotili eksponentnih enačb.

\[((9)^(x))=-3\]

Torej, kako lahko to rešimo? Prva misel: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, zato lahko izvirno enačbo prepišemo takole:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Potem se spomnimo, da se pri dvigovanju potence na potenco eksponenti pomnožijo:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=((3)^(2x))\Desna puščica ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

In za takšno odločitev bomo prejeli pošteno zasluženo dvojko. Kajti s pokemonsko ravnodušnostjo smo znak minus pred trojko poslali na potenco prav te trojke. Ampak tega ne morete storiti. In tukaj je razlog. Oglejte si različne moči treh:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Pri sestavljanju te tablice nisem ničesar sprevrgel: pogledal sem pozitivne potence, negativne in celo ulomke ... no, kje je tukaj vsaj eno negativno število? Odšel je! In ne more biti, ker eksponentna funkcija $y=((a)^(x))$, prvič, vedno zavzema samo pozitivne vrednosti (ne glede na to, koliko je ena pomnožena ali deljena z dvema, bo še vedno pozitivno število), in drugič, osnova takšne funkcije - število $a$ - je po definiciji pozitivno število!

No, kako potem rešiti enačbo $((9)^(x))=-3$? Ampak nikakor: ni korenin. In v tem smislu so eksponentne enačbe zelo podobne kvadratnim enačbam - morda tudi ni korenin. Če pa je v kvadratnih enačbah število korenin določeno z diskriminantom (pozitivna diskriminanta - 2 korena, negativna - brez korenin), potem je v eksponentnih enačbah vse odvisno od tega, kaj je desno od znaka enakovrednosti.

Zato oblikujmo ključni sklep: najenostavnejša eksponentna enačba oblike $((a)^(x))=b$ ima koren takrat in samo, če je $b>0$. Če poznate to preprosto dejstvo, lahko zlahka ugotovite, ali ima predlagana enačba korenine ali ne. Tisti. Ali se ga sploh splača reševati ali takoj zapisati, da ni korenin.

To znanje nam bo velikokrat v pomoč, ko se bomo morali več odločati kompleksne naloge. Za zdaj dovolj besedil - čas je, da preučimo osnovni algoritem za reševanje eksponentnih enačb.

Kako rešiti eksponentne enačbe

Torej, formulirajmo problem. Treba je rešiti eksponentno enačbo:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Po “naivnem” algoritmu, ki smo ga uporabili prej, je treba število $b$ predstaviti kot potenco števila $a$:

Poleg tega, če je namesto spremenljivke $x$ kateri koli izraz, bomo dobili novo enačbo, ki jo je že mogoče rešiti. Na primer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Desna puščica ((3)^(-x))=((3)^(4))\Desna puščica -x=4\Desna puščica x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Desna puščica ((5)^(2x))=((5)^(3))\Desna puščica 2x=3\Desna puščica x=\frac(3)( 2). \\\konec(poravnaj)\]

In nenavadno je, da ta shema deluje v približno 90% primerov. Kaj pa preostalih 10%? Preostalih 10% so rahlo "shizofrene" eksponentne enačbe oblike:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

No, na kakšno potenco morate dvigniti 2, da dobite 3? prvi? Ampak ne: $((2)^(1))=2$ ni dovolj. drugič? Tudi ne: $((2)^(2))=4$ je preveč. Katerega potem?

Poznavalci so verjetno že uganili: v takih primerih, ko ni mogoče rešiti "lepo", pride v poštev "težka artilerija" - logaritmi. Naj vas spomnim, da lahko z uporabo logaritmov vsako pozitivno število predstavimo kot potenco katerega koli drugega pozitivnega števila (razen enega):

Se spomnite te formule? Ko svojim učencem govorim o logaritmih, vedno opozarjam: ta formula (je tudi glavna logaritemska identiteta ali, če hočete, definicija logaritma) vas bo preganjala zelo dolgo in se "pojavila" v večini nepričakovana mesta. Pa se je pojavila. Poglejmo našo enačbo in to formulo:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Če predpostavimo, da je $a=3$ naše prvotno število na desni in je $b=2$ sama osnova eksponentne funkcije, na katero tako želimo reducirati desno stran, dobimo naslednje:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Desna puščica ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Desna puščica x=( (\log )_(2))3. \\\konec(poravnaj)\]

Prejeli smo nekoliko čuden odgovor: $x=((\log )_(2))3$. Pri kakšni drugi nalogi bi ob takšnem odgovoru marsikdo podvomil in svojo rešitev začel še enkrat preverjati: kaj pa, če se je nekje prikradla napaka? Hitro vas prosim: tukaj ni nobene napake in logaritmi v koreninah eksponentnih enačb so povsem tipična situacija. Tako da se navadi :)

Zdaj pa analogno rešimo preostali dve enačbi:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Desna puščica ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Desna puščica 2x=( (\log )_(4))11\desna puščica x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\konec(poravnaj)\]

To je to! Mimogrede, zadnji odgovor je mogoče zapisati drugače:

Argumentu logaritma smo uvedli množitelj. Toda nihče nam ne preprečuje, da bi temu faktorju dodali osnovo:

Poleg tega so vse tri možnosti pravilne - preprosto je različne oblike zapisov z isto številko. Katerega boste izbrali in zapisali v to rešitev, se odločite sami.

Tako smo se naučili reševati poljubne eksponentne enačbe oblike $((a)^(x))=b$, kjer sta števili $a$ in $b$ strogo pozitivni. Vendar pa je kruta realnost našega sveta taka preproste naloge boste srečali zelo, zelo redko. Pogosteje boste naleteli na nekaj takega:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

Torej, kako lahko to rešimo? Je to sploh mogoče rešiti? In če da, kako?

Ne bom paničen. Vse te enačbe je mogoče hitro in enostavno reducirati na preproste formule ki smo jih že upoštevali. Zapomniti si morate le nekaj trikov iz tečaja algebre. In seveda ni pravil za delo z diplomami. Povedal vam bom o vsem tem. :)

Pretvorba eksponentnih enačb

Prva stvar, ki si jo morate zapomniti: vsako eksponentno enačbo, ne glede na to, kako zapletena je, je tako ali drugače treba zmanjšati na najpreprostejše enačbe - tiste, ki smo jih že obravnavali in jih znamo rešiti. Z drugimi besedami, shema za reševanje katere koli eksponentne enačbe izgleda takole:

Zapišite prvotno enačbo. Na primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Naredi nekaj čudnega. Ali celo kakšno sranje, imenovano "pretvori enačbo";
Na izhodu dobite najpreprostejše izraze v obliki $((4)^(x))=4$ ali kaj podobnega. Poleg tega lahko ena začetna enačba poda več takih izrazov hkrati.

S prvo točko je vse jasno - celo moja mačka zna napisati enačbo na list papirja. Tudi tretja točka se zdi bolj ali manj jasna - zgoraj smo rešili že cel kup takih enačb.

Kaj pa druga točka? Kakšne preobrazbe? Pretvoriti kaj v kaj? In kako?

No, poglejmo. Najprej bi rad opozoril na naslednje. Vse eksponentne enačbe so razdeljene v dve vrsti:

Enačba je sestavljena iz eksponentnih funkcij z isto bazo. Primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formula vsebuje eksponentne funkcije z različnimi razlogi. Primeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ in $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.

Začnimo z enačbami prve vrste – te so najlažje rešljive. In pri njihovem reševanju nam bo pomagala takšna tehnika, kot je poudarjanje stabilnih izrazov.

Izolacija stabilnega izraza

Poglejmo še enkrat to enačbo:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Kaj vidimo? Štirje so povišani na različne stopnje. Toda vse te potence so preproste vsote spremenljivke $x$ z drugimi števili. Zato se je treba spomniti pravil za delo z diplomami:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\konec(poravnaj)\]

Preprosto povedano, seštevanje je mogoče pretvoriti v produkt potenc, odštevanje pa zlahka pretvoriti v deljenje. Poskusimo te formule uporabiti za stopinje iz naše enačbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\konec(poravnaj)\]

Prepišimo prvotno enačbo ob upoštevanju tega dejstva in nato zberimo vse člene na levi:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\konec(poravnaj)\]

Prvi štirje členi vsebujejo element $((4)^(x))$ - vzemimo ga iz oklepaja:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \desno)=-11. \\\konec(poravnaj)\]

Ostaja še deliti obe strani enačbe z ulomkom $-\frac(11)(4)$, tj. v bistvu pomnožite z obrnjenim ulomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobimo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\konec(poravnaj)\]

To je to! Prvotno enačbo smo zreducirali na najpreprostejšo obliko in dobili končni odgovor.

Hkrati smo v procesu reševanja odkrili (in ga celo vzeli iz oklepaja) skupni faktor $((4)^(x))$ - to je stabilen izraz. Lahko jo označite kot novo spremenljivko ali pa jo preprosto natančno izrazite in dobite odgovor. V vsakem primeru je ključno načelo rešitve naslednje:

V izvirni enačbi poiščite stabilen izraz, ki vsebuje spremenljivko, ki jo je zlahka ločiti od vseh eksponentnih funkcij.

Dobra novica je, da skoraj vsaka eksponentna enačba omogoča izolacijo tako stabilnega izraza.

Toda slaba novica je, da so lahko ti izrazi precej zapleteni in jih je zelo težko prepoznati. Pa poglejmo še en problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Morda ima kdo zdaj vprašanje: "Paša, ali si kamenjan?" Tu so različne baze – 5 in 0,2.” Toda poskusimo pretvoriti moč v osnovo 0,2. Na primer, znebimo se decimalno, ki ga pripelje na običajno:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(2)(10 ) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)) )\]

Kot vidite, se je številka 5 vseeno pojavila, čeprav v imenovalcu. Hkrati je bil kazalnik prepisan kot negativen. In zdaj se spomnimo enega od najpomembnejša pravila delo z diplomami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Desna puščica ((\levo(\frac(1)(5) \desno))^( -\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(5)(1) \desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tukaj sem seveda malo ležal. Ker je za popolno razumevanje morala biti formula za odpravo negativnih indikatorjev zapisana takole:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\levo(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \desno)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Po drugi strani pa nam nič ni preprečilo delati samo z ulomki:

\[((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(((5)^(-1)) \ desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((5)^(\levo(-1 \desno)\cdot \levo(-\levo(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Toda v tem primeru morate biti sposobni dvigniti moč na drugo moč (naj vas spomnim: v tem primeru se indikatorji seštejejo). Vendar mi ni bilo treba "obrniti" ulomkov - morda bo komu lažje :).

V vsakem primeru bo prvotna eksponentna enačba prepisana kot:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\konec(poravnaj)\]

Tako se izkaže, da je prvotno enačbo mogoče rešiti še preprosteje kot prej obravnavano: tukaj vam sploh ni treba izbrati stabilnega izraza - vse se je zmanjšalo samo po sebi. Zapomniti si moramo le, da je $1=((5)^(0))$, iz katerega dobimo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\konec(poravnaj)\]

To je rešitev! Dobili smo končni odgovor: $x=-2$. Hkrati bi rad opozoril na eno tehniko, ki nam je močno poenostavila vse izračune:

V eksponentnih enačbah se obvezno znebite decimalnih ulomkov in jih pretvorite v navadne. To vam bo omogočilo, da vidite enake osnove stopinj in močno poenostavite rešitev.

Pojdimo zdaj k bolj zapletenim enačbam, v katerih obstajajo različne baze, ki jih ena na drugo sploh ni mogoče reducirati s potenci.

Uporaba lastnosti stopinj

Naj vas spomnim, da imamo še dve posebej ostri enačbi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

Glavna težava pri tem je, da ni jasno, kaj dati in na kakšni podlagi. Kje so stabilni izrazi? Kje so enaki razlogi? Nič od tega ni.

Toda poskusimo iti drugače. Če ni pripravljenih enakih baz, jih lahko poskusite najti tako, da faktorizirate obstoječe baze.

Začnimo s prvo enačbo:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\desna puščica ((21)^(3x))=((\levo(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\konec(poravnaj)\]

Lahko pa storite nasprotno - naredite številko 21 iz številk 7 in 3. To je še posebej enostavno narediti na levi, saj sta indikatorja obeh stopinj enaka:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\konec(poravnaj)\]

To je to! Eksponent ste vzeli zunaj produkta in takoj dobili lepo enačbo, ki jo je mogoče rešiti v nekaj vrsticah.

Zdaj pa poglejmo drugo enačbo. Tukaj je vse veliko bolj zapleteno:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\levo(\frac(27)(10) \desno))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

IN v tem primeru izkazalo se je, da so ulomki nezmanjšani, toda če je mogoče nekaj zmanjšati, se prepričajte, da to zmanjšate. Pogosto se bodo pojavili zanimivi razlogi, s katerimi že lahko delate.

Na žalost se nam ni pokazalo nič posebnega. Toda vidimo, da sta eksponenta na levi v produktu nasprotna:

Naj vas spomnim: da se znebite znaka minus v indikatorju, morate samo "obrniti" ulomek. No, prepišimo prvotno enačbo:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\levo(100\cdot \frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\levo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\konec(poravnaj)\]

V drugi vrstici smo preprosto vzeli skupni eksponent iz produkta iz oklepaja v skladu s pravilom $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, v zadnjem pa so število 100 preprosto pomnožili z ulomkom.

Upoštevajte, da sta številki na levi (na dnu) in na desni nekoliko podobni. kako Ja, očitno je: gre za potence istega števila! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Tako bo naša enačba prepisana na naslednji način:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\levo(((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3)) \desno))^(x-1))=((\levo(\frac(10) )(3) \desno))^(3\levo(x-1 \desno)))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3x-3))\]

V tem primeru lahko na desni strani dobite tudi diplomo z isto osnovo, za katero je dovolj, da preprosto "obrnete" ulomek:

\[((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(-2))\]

Naša enačba bo končno dobila obliko:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\konec(poravnaj)\]

To je rešitev. Njegova glavna ideja se spušča v to, da tudi z različnimi bazami poskušamo te baze z zvijačo ali zvijačo zreducirati na isto stvar. Pri tem nam pomagajo elementarne transformacije enačb in pravila za delo s potencami.

Toda kakšna pravila in kdaj uporabiti? Kako razumete, da morate v eni enačbi obe strani deliti z nečim, v drugi pa faktorizirati osnovo eksponentne funkcije?

Odgovor na to vprašanje bo prišel z izkušnjami. Najprej se preizkusite preproste enačbe, nato pa postopoma zapletajte naloge - in zelo kmalu bodo vaše spretnosti zadostovale za reševanje katere koli eksponentne enačbe iz istega enotnega državnega izpita ali katerega koli neodvisnega/testnega dela.

Da bi vam pomagal pri tej težki nalogi, predlagam, da z mojega spletnega mesta prenesete nabor enačb, da jo boste rešili sami. Vse enačbe imajo odgovore, zato se lahko vedno preizkusite.

Kaj je eksponentna enačba? Primeri.

Torej, eksponentna enačba ... Nov edinstven eksponat na naši splošni razstavi najrazličnejših enačb!) Kot se skoraj vedno zgodi, je ključna beseda vsakega novega matematičnega izraza ustrezni pridevnik, ki ga označuje. Tako je tukaj. Ključna beseda v izrazu "eksponentna enačba" je beseda "indikativno". Kaj to pomeni? Ta beseda pomeni, da je neznanka (x) locirana v smislu katere koli stopnje. In samo tam! To je izjemno pomembno.

Na primer te preproste enačbe:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ali celo te pošasti:

2 sin x = 0,5

Takoj bodite pozorni na eno pomembno stvar: razlogov stopinj (spodaj) – samo številke. Ampak v indikatorji stopnje (zgoraj) - široka paleta izrazov z X. Absolutno vse.) Vse je odvisno od specifične enačbe. Če se nenadoma pojavi x nekje drugje v enačbi, poleg indikatorja (recimo 3 x = 18 + x 2), potem bo taka enačba že enačba mešani tip. Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za reševanje. Zato v to lekcijo jih ne bomo upoštevali. Na veselje učencev.) Tukaj bomo obravnavali le eksponentne enačbe v njihovi »čisti« obliki.

Na splošno ni mogoče jasno rešiti vseh in ne vedno niti čistih eksponentnih enačb. Toda med vsem bogatim izborom eksponentnih enačb obstajajo določene vrste, ki jih je mogoče in bi jih bilo treba rešiti. Te vrste enačb bomo obravnavali. In zagotovo bomo rešili primere.) Zato se udobno namestimo in gremo! Tako kot v računalniških streljačinah bo naše potovanje potekalo skozi stopnje.) Od osnovnega do preprostega, od preprostega do srednjega in od srednjega do zapletenega. Na poti vas bo čakal tudi skrivni nivo - tehnike in metode za reševanje nestandardnih primerov. Tiste, o katerih ne boste brali v večini šolskih učbenikov ... No, in na koncu vas seveda čaka končni šef v obliki domače naloge.)

Stopnja 0. Katera je najenostavnejša eksponentna enačba? Reševanje preprostih eksponentnih enačb.

Najprej si poglejmo nekaj odkritih osnovnih stvari. Nekje je treba začeti, kajne? Na primer, ta enačba:

2 x = 2 2

Tudi brez kakršnih koli teorij je po preprosti logiki in zdravi pameti jasno, da je x = 2. Druge poti ni, kajne? Noben drug pomen X ni primeren ... Zdaj pa posvetimo pozornost zapisnik odločitve ta kul eksponentna enačba:

2 x = 2 2

X = 2

Kaj se nam je zgodilo? In zgodilo se je naslednje. Pravzaprav smo ga vzeli in ... preprosto vrgli ven iste baze (dvojke)! Popolnoma vržen ven. In dobra novica je, da smo zadeli v biko!

Da, res, če sta v eksponentni enačbi leva in desna enakaštevila v poljubnih potencah, potem lahko ta števila zavržemo in preprosto enačimo eksponente. Matematika omogoča.) In potem lahko ločeno delate z indikatorji in rešite veliko preprostejšo enačbo. Super, kajne?

Tukaj je ključna ideja za rešitev katere koli (da, točno katere koli!) eksponentne enačbe: z uporabo identičnih transformacij je treba zagotoviti, da sta leva in desna stran enačbe enaka osnovna števila v različnih potencah. In potem lahko varno odstraniš iste osnove in izenačiš eksponente. In delajte s preprostejšo enačbo.

Zdaj pa se spomnimo železnega pravila: mogoče je odstraniti enake baze, če in samo če sta osnovni števili na levi in desni strani enačbe v čudoviti izolaciji.

Kaj to pomeni, v čudoviti izolaciji? To pomeni brez sosedov in koeficientov. Naj pojasnim.

Na primer, v enačbi

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trojk ni mogoče odstraniti! Zakaj? Ker na levici nimamo le osamljene trojke do stopinje, ampak delo 3·3 x-5 . Dodatni trije motijo: koeficient, razumete.)

Enako lahko rečemo za enačbo

5 3 x = 5 2 x +5 x

Tudi tukaj so vse podlage enake – pet. Toda na desni nimamo ene same potence petice: obstaja vsota potenc!

Skratka, enake baze imamo pravico odstraniti le, če je naša eksponentna enačba videti tako in samo tako:

af (x) = a g (x)

Ta vrsta eksponentne enačbe se imenuje najbolj preprosta. Ali, znanstveno, kanoničen . In ne glede na to, kakšno zvito enačbo imamo pred sabo, jo bomo tako ali drugače zreducirali na točno to najenostavnejšo (kanonično) obliko. Ali pa v nekaterih primerih celota enačbe te vrste. Potem lahko našo najpreprostejšo enačbo zapišemo kot splošni pogled prepiši takole:

F(x) = g(x)

To je vse. To bi bila enakovredna pretvorba. V tem primeru sta lahko f(x) in g(x) popolnoma katera koli izraza z x. Karkoli že.

Morda se bo kakšen posebej vedoželjen učenec vprašal: zakaj zaboga tako enostavno in preprosto zavržemo iste osnove na levi in desni ter enačimo eksponente? Intuicija je intuicija, a kaj, če se v neki enačbi in iz nekega razloga ta pristop izkaže za napačnega? Ali je vedno zakonito zavrniti iste razloge? Na žalost za strog matematični odgovor na to zanimivo vprašanje morate se precej globoko in resno potopiti v splošno teorijo strukture in obnašanja funkcij. In še malo bolj konkretno – v fenomenu stroga monotonija.Še posebej stroga monotonija eksponentna funkcijal= a x. Ker je eksponentna funkcija in njene lastnosti osnova rešitve eksponentnih enačb, da.) Podroben odgovor na to vprašanje bo podan v ločeni posebni lekciji, namenjeni reševanju kompleksnih nestandardnih enačb z uporabo monotonosti različnih funkcij.)

Če bi zdaj podrobno razložili to točko, bi povprečnemu študentu samo razstrelili glave in ga pred časom prestrašili s suhoparno in težko teorijo. Tega ne bom naredil.) Ker je naša glavna naloga trenutno naučite se reševati eksponentne enačbe! Tisti najbolj preprosti! Zatorej še ne skrbimo in pogumno vrzimo iste razloge. to Lahko, verjemite mi na besedo!) In potem rešimo ekvivalentno enačbo f(x) = g(x). Praviloma enostavnejša od prvotne eksponentne.

Seveda se predpostavlja, da ljudje že znajo rešiti vsaj , in enačbe brez x-jev v eksponentih.) Za tiste, ki še vedno ne vedo, kako, lahko zaprete to stran, sledite ustreznim povezavam in izpolnite stare vrzeli. Sicer ti bo težko, ja...

Ne govorim o iracionalnih, trigonometričnih in drugih brutalnih enačbah, ki lahko nastanejo tudi v procesu odpravljanja temeljev. Toda ne bodite prestrašeni, za zdaj ne bomo upoštevali odkrite krutosti v smislu stopinj: prezgodaj je. Učili se bomo samo na najpreprostejših enačbah.)

Zdaj pa si poglejmo enačbe, ki zahtevajo nekaj dodatnega truda, da jih zmanjšamo na najpreprostejše. Za razlikovanje jih poimenujmo preproste eksponentne enačbe. Torej pojdimo na naslednjo stopnjo!

1. stopnja. Preproste eksponentne enačbe. Prepoznajmo stopinje! Naravni indikatorji.

Ključna pravila pri reševanju katere koli eksponentne enačbe so pravila za ravnanje z diplomami. Brez tega znanja in spretnosti nič ne bo šlo. žal Torej, če imate težave z diplomami, ste najprej dobrodošli. Poleg tega bomo potrebovali tudi. Te transformacije (dve izmed njih!) so osnova za reševanje vseh matematičnih enačb na splošno. Pa ne samo demonstrativne. Torej, kdor je pozabil, naj si ogleda tudi povezavo: ne dam jih kar tako.

Toda samo operacije s pooblastili in transformacije identitete niso dovolj. Potrebna sta tudi osebno opazovanje in iznajdljivost. Potrebujemo iste razloge, kajne? Zato preučimo primer in jih iščemo v eksplicitni ali prikriti obliki!

Na primer, ta enačba:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Prvi pogled na razlogov. So ... drugačni! Tri in sedemindvajset. Vendar je prezgodaj za paniko in obup. Čas je, da se tega spomnimo

27 = 3 3

Števili 3 in 27 sta sorodnici po stopnji! In bližnjih.) Zato imamo vso pravico napisati:

27 x +2 = (3 3) x +2

Zdaj pa povežimo svoje znanje o dejanja s stopnjami(in opozoril sem te!). Obstaja zelo uporabna formula:

(a m) n = a mn

Če ga zdaj spravite v akcijo, se obnese odlično:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Izvirni primer zdaj izgleda takole:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Super, osnove stopinj so se izravnale. To smo želeli. Polovica bitke je narejena.) Zdaj zaženemo osnovno transformacijo identitete - premaknite 3 3(x +2) v desno. Nihče ni preklical osnovnih matematičnih operacij, ja.) Dobimo:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Kaj nam daje ta vrsta enačbe? In dejstvo, da je zdaj naša enačba zmanjšana v kanonično obliko: na levi in desni sta enaki števili (trojki) v potencah. Še več, oba trije so v čudoviti izolaciji. Prosto odstranite trojčke in pridobite:

2x = 3(x+2)

Rešimo to in dobimo:

X = -6

To je vse. To je pravilen odgovor.)

Zdaj pa razmislimo o rešitvi. Kaj nas je v tem primeru rešilo? Rešilo nas je znanje o moči treh. Kako natančno? mi ugotovljenoštevilka 27 vsebuje šifrirano trojko! Ta trik (šifriranje iste baze pod različne številke) je ena najbolj priljubljenih v eksponentnih enačbah! Razen če je najbolj popularen. Da, in mimogrede na enak način. Zato sta opazovanje in sposobnost prepoznavanja potenc drugih števil v številih tako pomembna v eksponentnih enačbah!

Praktični nasvet:

Poznati morate moči priljubljenih številk. V obraz!

Seveda lahko vsak dvigne dve na sedmo ali tri na peto potenco. Ne v mislih, ampak vsaj v osnutku. Toda v eksponentnih enačbah veliko pogosteje ni treba dvigniti na potenco, ampak, nasprotno, ugotoviti, katero število in na kakšno moč se skriva za številom, recimo 128 ali 243. In to je bolj zapleteno kot preprosto vzgojo, se boste strinjali. Občutite razliko, kot pravijo!

Ker bo sposobnost osebnega prepoznavanja diplom uporabna ne samo na tej stopnji, ampak tudi na naslednjih, je tukaj majhna naloga za vas:

Ugotovite, katere potence in katera števila so števila:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (seveda naključno):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

ja, ja! Naj vas ne preseneti, da je odgovorov več kot nalog. Na primer, 2 8, 4 4 in 16 2 so vsi 256.

2. stopnja. Preproste eksponentne enačbe. Prepoznajmo stopinje! Negativni in delni kazalniki.

Na tej stopnji že v največji možni meri uporabljamo svoje znanje o diplomah. V ta fascinanten proces namreč vključimo negativne in delne indikatorje! ja, ja! Povečati moramo svojo moč, kajne?

Na primer, ta strašna enačba:

Spet je prvi pogled na temelje. Razlogi so različni! In tokrat si nista niti približno podobna! 5 in 0,04... In za odpravo baz so potrebne iste... Kaj storiti?

V redu je! Pravzaprav je vse enako, le povezava med petico in 0,04 je vizualno slabo vidna. Kako lahko pridemo ven? Preidimo k številu 0,04 kot navadnemu ulomku! In potem, vidite, vse se bo izšlo.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Izkazalo se je, da je 0,04 1/25! No, kdo bi si mislil!)

Kako torej? Je zdaj lažje videti povezavo med številkama 5 in 1/25? to je to...

In zdaj po pravilih dejanj z diplomami negativni indikator Lahko pišete z mirno roko:

To je super. Tako smo prišli do iste baze - pet. Sedaj nadomestimo neprijetno številko 0,04 v enačbi s 5 -2 in dobimo:

Spet po pravilih delovanja z diplomami lahko zdaj zapišemo:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Za vsak slučaj vas spomnim (če kdo ne ve). osnovna pravila dejanja s pooblastili veljajo za katerikoli indikatorji! Vključno z negativnimi.) Torej, lahko vzamete in pomnožite indikatorje (-2) in (x-1) v skladu z ustreznim pravilom. Naša enačba postaja vse boljša:

Vse! Razen osamljenih petic v pooblastilih na levi in desni ni ničesar drugega. Enačba je reducirana na kanonično obliko. In potem - po narebričeni stezi. Odstranimo petice in izenačimo kazalnike:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Primer je skoraj rešen. Ostala je samo osnovnošolska matematika - odprite (pravilno!) oklepaje in zberite vse na levi:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Rešimo to in dobimo dva korena:

x 1 = 1; x 2 = 3

To je vse.)

Zdaj pa razmislimo še enkrat. IN v tem primeru spet smo morali prepoznati isto število v različnih stopnjah! Namreč videti šifrirano petico v številu 0,04. In tokrat - v negativna stopnja! Kako nam je to uspelo? Takoj - nikakor. Toda po prehodu z decimalnega ulomka 0,04 na navadni ulomek 1/25 je vse postalo jasno! In potem je šla celotna odločitev kot po maslu.)

Zato še en zeleni praktični nasvet.

Če eksponentna enačba vsebuje decimalne ulomke, potem preidemo od decimalnih k navadnim ulomkom. IN navadni ulomki Veliko lažje je prepoznati moči mnogih priljubljenih števil! Po prepoznavanju preidemo z ulomkov na potence z negativnimi eksponenti.

Upoštevajte, da se ta trik zelo, zelo pogosto pojavlja v eksponentnih enačbah! Ampak oseba ni v temi. Pogleda na primer števili 32 in 0,125 in se razburi. Ne da bi vedel, je to eno in isto dvoje, le v različnih stopnjah ... Ampak ti že veš!)

Reši enačbo:

noter! Videti je kot tiha groza... Vendar videz vara. To je najpreprostejša eksponentna enačba, kljub zastrašujoči videz. In zdaj vam ga bom pokazal.)

Najprej si poglejmo vse številke v bazah in koeficientih. Seveda so drugačni, ja. A vseeno bomo tvegali in jih skušali uresničiti enaka! Poskusimo priti do isto število v različnih potencah. Še več, po možnosti so številke čim manjše. Torej, začnimo z dekodiranjem!

No, s štirimi je vse takoj jasno - to je 2 2. Torej, to je že nekaj.)

Z delčkom 0,25 - še vedno ni jasno. Treba preveriti. Uporabimo praktičen nasvet - premaknite se z decimalnega ulomka na navadni ulomek:

0,25 = 25/100 = 1/4

Že veliko bolje. Ker je zdaj jasno razvidno, da je 1/4 2 -2. Odlično, število 0,25 je tudi podobno dve.)

Zaenkrat gre dobro. Toda najhujša številka od vseh ostaja - kvadratni koren iz dva! Kaj storiti s to papriko? Ali ga je mogoče predstaviti tudi kot potenco dvojke? In kdo ve ...

Pa se spet potopimo v našo zakladnico znanja o diplomah! Tokrat še dodatno povezujemo svoje znanje o koreninah. Iz tečaja 9. razreda bi se morali ti in jaz naučiti, da lahko vsak koren, če želimo, vedno spremenimo v stopnjo z delnim indikatorjem.

takole:

V našem primeru:

Vau! Izkaže se, da je kvadratni koren iz dva 2 1/2. To je to!

To je super! Vse naše neprijetne številke so se dejansko izkazale za šifrirano dvojko.) Ne trdim, nekje zelo sofisticirano šifrirano. Izboljšujemo pa tudi svojo strokovnost pri reševanju takšnih šifer! In potem je že vse očitno. V naši enačbi zamenjamo števila 4, 0,25 in koren iz dve s potencami dvojke:

Vse! Osnove vseh stopinj v primeru so postale enake - dve. In zdaj se uporabljajo standardna dejanja s stopnjami:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Za levo stran dobite:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Za desno stran bo:

In zdaj je naša zlobna enačba videti takole:

Za tiste, ki še niste natančno ugotovili, kako je nastala ta enačba, potem vprašanje tukaj ne gre za eksponentne enačbe. Vprašanje je o dejanjih z diplomami. Prosila sem vas, da nujno ponovite tistim, ki imate težave!

Tukaj je ciljna črta! Prejeto kanoničnega pogleda eksponentna enačba! Kako torej? Sem vas prepričal, da ni vse tako strašno? ;) Odstranimo dvojke in izenačimo indikatorje:

Vse kar ostane je rešiti to linearno enačbo. kako S pomočjo enakih transformacij, seveda.) Odločite se, kaj se dogaja! Pomnožite obe strani z dva (da odstranite ulomek 3/2), premaknite člene z X na levo, brez X na desno, prinesite podobne, preštejte - in srečni boste!

Vse bi moralo izpasti lepo:

X=4

Zdaj pa še enkrat razmislimo o rešitvi. V tem primeru nam je pomagal prehod iz kvadratni koren Za stopnje s eksponentom 1/2. Še več, le tako zvita preobrazba nam je pomagala doseči povsod isto bazo(dva), kar je rešilo situacijo! In če ne bi bilo tako, potem bi imeli vse možnosti, da za vedno zmrznemo in se nikoli ne bi spopadli s tem primerom, ja ...

Zato ne zanemarimo naslednjih praktičnih nasvetov:

Če eksponentna enačba vsebuje korene, potem prehajamo od korenov na potence z delnimi eksponenti. Zelo pogosto šele taka transformacija razjasni nadaljnjo situacijo.

Seveda so negativne in delne potence že veliko bolj zapletene kot naravne. Vsaj z vidika vizualna percepcija predvsem pa prepoznavanje z desne proti levi!

Jasno je, da neposredno povišanje, na primer, dve na potenco -3 ali štiri na potenco -3/2 ni tako velik problem. Za poznavalce.)

Ampak pojdi, na primer, takoj spoznal, da

0,125 = 2 -3

Tukaj vladata samo praksa in bogate izkušnje, ja. In seveda jasno idejo, Kaj je negativna in delna stopnja? In tudi - praktičen nasvet! Ja, ja, tisti isti zelena.) Upam, da ti bodo vseeno pomagali pri lažjem krmarjenju v vsej pestri raznolikosti diplom in bistveno povečali tvoje možnosti za uspeh! Zato jih ne zanemarjajmo. Nisem zaman zelena včasih pišem.)

Če pa se spoznate tudi s tako eksotičnimi potenci, kot so negativne in frakcijske, se bodo vaše zmožnosti pri reševanju eksponentnih enačb izjemno razširile in kos boste skoraj vsaki vrsti eksponentnih enačb. No, če ne nobena, pa 80 odstotkov vseh eksponentnih enačb – zagotovo! Ja, ja, ne hecam se!

Tako je naš prvi del uvoda v eksponentne enačbe prišel do logičnega zaključka. In kot vmesno vadbo tradicionalno predlagam malo samorefleksije.)

Naloga 1.

Da moje besede o dešifriranju negativnih in ulomkov ne bodo zaman, predlagam malo igro!

Izrazite števila kot potence dvojke:

Odgovori (v neredu):

Je uspelo? odlično! Nato opravimo bojno nalogo - rešimo najpreprostejše in najpreprostejše eksponentne enačbe!

Naloga 2.

Rešite enačbe (vsi odgovori so zmešnjava!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

odgovori:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Je uspelo? Dejansko je veliko bolj preprosto!

Nato rešimo naslednjo igro:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

odgovori:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

In ti primeri so še eni? odlično! Rasteš! Potem je tukaj še nekaj primerov, ki jih lahko prigriznete:

odgovori:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

In ali je to odločeno? No, spoštovanje! Snamem klobuk.) To pomeni, da lekcija ni bila zaman, začetno raven reševanja eksponentnih enačb pa lahko štejemo za uspešno obvladano. Pred nami so naslednje ravni in še več kompleksne enačbe! In nove tehnike in pristopi. In nestandardni primeri. In nova presenečenja.) Vse to je v naslednji lekciji!

Je šlo kaj narobe? To pomeni, da so najverjetneje težave v. Ali pa v. Ali oboje naenkrat. Tukaj sem brez moči. Lahko noter še enkrat Predlagam lahko samo eno stvar - ne bodite leni in sledite povezavam.)

Nadaljevanje.)

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Človek je enačbe uporabljal že v pradavnini, od takrat pa se je njihova uporaba le še povečala. Potenčne ali eksponentne enačbe so enačbe, v katerih so spremenljivke na potencah, osnova pa je število. Na primer:

Reševanje eksponentne enačbe je sestavljeno iz dveh dokaj preprostih korakov:

1. Preveriti morate, ali sta osnovi enačbe na desni in levi enaki. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.

2. Ko osnovi postaneta enaki, izenačimo stopnje in rešimo nastalo novo enačbo.

Recimo, da imamo eksponentno enačbo naslednje oblike:

Rešitev te enačbe je vredno začeti z analizo osnove. Osnovi sta različni – 2 in 4, vendar za rešitev potrebujemo, da sta enaki, zato transformiramo 4 z naslednjo formulo -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Prvotni enačbi dodamo:

Vzemimo iz oklepaja \

Izrazimo \

Ker sta stopnji enaki, ju zavržemo:

Odgovor: \

Kje lahko rešim eksponentno enačbo s spletnim reševalcem?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da rešite enačbo na spletu koli zapletenost v nekaj sekundah. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite reševati enačbo na naši spletni strani. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

V tej lekciji si bomo ogledali reševanje kompleksnejših eksponentnih enačb in se spomnili osnovnih teoretičnih principov v zvezi z eksponentno funkcijo.

1. Definicija in lastnosti eksponentne funkcije, metode reševanja najenostavnejših eksponentnih enačb

Spomnimo se definicije in osnovnih lastnosti eksponentne funkcije. Na teh lastnostih temelji rešitev vseh eksponentnih enačb in neenačb.

Eksponentna funkcija je funkcija oblike , kjer je osnova stopnja in tukaj je x neodvisna spremenljivka, argument; y je odvisna spremenljivka, funkcija.

riž. 1. Graf eksponentne funkcije

Graf prikazuje naraščajoče in padajoče eksponente, ki ponazarjajo eksponentno funkcijo z osnovo večjo od ena in manjšo od ena, vendar večjo od nič.

Obe krivulji potekata skozi točko (0;1)

Lastnosti eksponentne funkcije:

Področje uporabe: ;

Razpon vrednosti: ;

Funkcija je monotona, narašča z, pada z.

Monotona funkcija sprejme vsako svojo vrednost z eno samo vrednostjo argumenta.

Ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija poveča od vključno nič do plus neskončnosti. Nasprotno, ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija zmanjša od neskončnosti do nič, ne vključno.

2. Reševanje standardnih eksponentnih enačb

Naj vas spomnimo, kako rešiti najenostavnejše eksponentne enačbe. Njihova rešitev temelji na monotonosti eksponentne funkcije. Skoraj vse kompleksne eksponentne enačbe je mogoče reducirati na takšne enačbe.

Enakost eksponentov z enakimi bazami je posledica lastnosti eksponentne funkcije, in sicer njene monotonosti.

Metoda rešitve:

Izenači stopinjske osnove;

Izenačite eksponente.

Pojdimo k obravnavanju bolj zapletenih eksponentnih enačb; naš cilj je reducirati vsako od njih na najpreprostejšo.

Znebimo se korena na levi strani in pripeljemo stopinje na isto osnovo:

Da bi kompleksno eksponentno enačbo zmanjšali na njeno najpreprostejšo, se pogosto uporablja zamenjava spremenljivk.

Uporabimo lastnost moči:

Uvajamo zamenjavo. Naj bo potem

Pomnožimo dobljeno enačbo z dve in premaknimo vse člene na levo stran:

Prvi koren ne zadošča obsegu vrednosti y, zato ga zavržemo. Dobimo:

Zmanjšajmo stopinje na isti indikator:

Predstavimo zamenjavo:

Naj bo potem . S takšno zamenjavo je očitno, da y zavzame strogo pozitivne vrednosti. Dobimo:

Če znamo rešiti takšne kvadratne enačbe, lahko zapišemo odgovor:

Da bi se prepričali, ali so korenine pravilno najdene, lahko preverite z uporabo Vietovega izreka, tj. poiščete vsoto korenin in njihov produkt ter ju primerjate z ustreznimi koeficienti enačbe.

Dobimo:

3. Metodologija reševanja homogenih eksponentnih enačb druge stopnje

Preučimo naslednje pomembna vrsta eksponentne enačbe:

Enačbe te vrste se imenujejo homogene druge stopnje glede na funkciji f in g. Na levi strani je kvadratni trinom glede na f s parametrom g ali kvadratni trinom glede na g s parametrom f.

Metoda rešitve:

To enačbo je mogoče rešiti kot kvadratno enačbo, vendar je lažje narediti drugače. Upoštevati je treba dva primera:

V prvem primeru dobimo

V drugem primeru imamo pravico deliti z najvišjo stopnjo in dobiti: