Vida l= f(x), x O n, kje n– veliko naravna števila(ali funkcija naravnega argumenta), označeno l=f(n) oz l 1 ,l 2 ,…, y n,…. Vrednote l 1 ,l 2 ,l 3 ,… se imenujejo prvi, drugi, tretji, ... člani zaporedja.
Na primer za funkcijo l= n 2 lahko zapišemo:
l 1 = 1 2 = 1;
l 2 = 2 2 = 4;
l 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Metode za določanje zaporedij. Zaporedja je mogoče določiti na različne načine, med katerimi so posebej pomembne tri: analitična, deskriptivna in ponavljajoča se.
1. Zaporedje je podano analitično, če je podana njegova formula n th član:
y n=f(n).
Primer. y n= 2n – 1 – zaporedje lihih števil: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Opisno Način določitve številčnega zaporedja je razlaga, iz katerih elementov je zaporedje zgrajeno.
Primer 1. "Vsi členi zaporedja so enaki 1." To pomeni, da govorimo o stacionarnem zaporedju 1, 1, 1, …, 1, ….
Primer 2. »Zaporedje sestavlja vse praštevila v naraščajočem vrstnem redu." Tako je dano zaporedje 2, 3, 5, 7, 11, …. S to metodo določanja zaporedja v v tem primeru težko je odgovoriti, čemu je enak recimo 1000. element zaporedja.
3. Ponavljajoča se metoda podajanja zaporedja je podajanje pravila, ki vam omogoča izračun n-ti člen zaporedja, če so njegovi prejšnji člani znani. Ime ponavljajoča se metoda izhaja iz latinske besede ponavljajoče se- pridi nazaj. Najpogosteje je v takih primerih navedena formula, ki omogoča izražanje nčlen zaporedja skozi prejšnje in določite 1–2 začetna člana zaporedja.
Primer 1. l 1 = 3; y n = y n–1 + 4 če n = 2, 3, 4,….
Tukaj l 1 = 3; l 2 = 3 + 4 = 7;l 3 = 7 + 4 = 11; ….
Vidite lahko, da je zaporedje, pridobljeno v tem primeru, mogoče določiti tudi analitično: y n= 4n – 1.
Primer 2. l 1 = 1; l 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 če n = 3, 4,….
Tukaj: l 1 = 1; l 2 = 1; l 3 = 1 + 1 = 2; l 4 = 1 + 2 = 3; l 5 = 2 + 3 = 5; l 6 = 3 + 5 = 8;
Zaporedje v tem primeru se posebej preučuje v matematiki, ker ima številne zanimive lastnosti in uporabe. Imenuje se Fibonaccijevo zaporedje, poimenovano po italijanskem matematiku iz 13. stoletja. Ponavljajoče se Fibonaccijevo zaporedje je zelo enostavno definirati, analitično pa zelo težko. n Fibonaccijevo število je izraženo preko svoje serijske številke z naslednjo formulo.
Na prvi pogled formula za n Fibonaccijevo število se zdi neverjetno, saj formula, ki podaja samo zaporedje naravnih števil, vsebuje kvadratni koren, lahko pa "ročno" preverite veljavnost te formule za prvih nekaj n.
Lastnosti številskih zaporedij.
Numerično zaporedje je poseben primer številske funkcije, zato se pri zaporedjih upoštevajo tudi številne lastnosti funkcij.
Opredelitev . Naslednje ( y n} se imenuje naraščajoče, če je vsak od njegovih členov (razen prvega) večji od prejšnjega:
l 1 y 2 y 3 y n y n +1
Definicija.Zaporedje ( y n} se imenuje padajoča, če je vsak njen člen (razen prvega) manjši od prejšnjega:
l 1 > l 2 > l 3 > … > y n> y n +1 > … .
Naraščajoče in padajoče zaporedje združujemo pod skupnim pojmom - monotona zaporedja.
Primer 1. l 1 = 1; y n= n 2 – naraščajoče zaporedje.
Tako velja naslednji izrek (značilna lastnost aritmetične progresije). Številsko zaporedje je aritmetično, če in samo če je vsak njegov člen, razen prvega (in zadnjega v primeru končnega zaporedja), enak aritmetični sredini predhodnega in naslednjih členov.
Primer. V kakšni vrednosti xštevilke 3 x + 2, 5x– 4 in 11 x+ 12 tvorijo končno aritmetično progresijo?
Glede na karakteristično lastnost morajo podani izrazi zadostiti razmerju
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Reševanje te enačbe daje x= –5,5. Pri tej vrednosti x podani izrazi 3 x + 2, 5x– 4 in 11 x+ 12 vzemite vrednosti –14,5, –31,5, –48,5. To je aritmetična progresija, njena razlika je –17.
Geometrijsko napredovanje.
Številsko zaporedje, katerega vsi členi so različni od nič in katerega vsak člen, začenši od drugega, dobimo iz prejšnjega člena z množenjem z istim številom q, imenujemo geometrijsko napredovanje, število pa q- imenovalec geometrijskega napredovanja.
Tako je geometrijsko napredovanje številsko zaporedje ( b n), ki ga rekurzivno definirajo razmerja
b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b in q – dane številke, b ≠ 0, q ≠ 0).
Primer 1. 2, 6, 18, 54, ... – naraščajoča geometrijska progresija b = 2, q = 3.
Primer 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrijsko napredovanje b= 2,q= –1.
Primer 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrijsko napredovanje b= 8, q= 1.
Geometrijsko napredovanje je naraščajoče zaporedje, če b 1 > 0, q> 1 in padajoče, če b 1 > 0, 0 q
Ena od očitnih lastnosti geometrijske progresije je, da če je zaporedje geometrijsko napredovanje, potem je tudi zaporedje kvadratov, tj.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrijska progresija, katere prvi člen je enak b 1 2 , imenovalec pa je q 2 .
Formula n- th člen geometrijske progresije ima obliko
b n= b 1 qn– 1 .
Dobite lahko formulo za vsoto členov končne geometrijske progresije.
Naj bo podana končna geometrijska progresija
b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n
naj S n – vsota njegovih članov, tj.
S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.
Sprejeto je, da qšt. 1. Za določitev S n uporabljena je umetna tehnika: izvedene so nekatere geometrijske transformacije izraza S n q.
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .
torej S n q= S n +b n q – b 1 in zato
To je formula z umma n pogoji geometrijske progresije za primer, ko q≠ 1.
pri q= 1 formule ni treba izpeljati posebej; očitno je, da v tem primeru S n= a 1 n.
Progresija se imenuje geometrijska, ker je vsak člen v njej, razen prvega, enak geometrični sredini prejšnjega in naslednjih členov. Dejansko, saj
bn=bn- 1 q;
bn = bn+ 1 /q,
torej, b n 2=bn– 1 bn+ 1 in velja naslednji izrek (značilna lastnost geometrijske progresije):
številsko zaporedje je geometrijsko napredovanje, če in samo če je kvadrat vsakega od njegovih členov, razen prvega (in zadnjega v primeru končnega zaporedja), enak zmnožku prejšnjega in naslednjih členov.
Meja doslednosti.
Naj bo zaporedje ( c n} = {1/n}. To zaporedje se imenuje harmonično, saj je vsak njegov člen, začenši z drugim, harmonična sredina med prejšnjim in naslednjim členom. Povprečje geometrijska števila a in b obstaja številka
V nasprotnem primeru se zaporedje imenuje divergentno.
Na podlagi te definicije je mogoče na primer dokazati obstoj meje A=0 za harmonično zaporedje ( c n} = {1/n). Naj bo ε poljubno majhno pozitivno število. Razlika se upošteva
Ali kaj takega obstaja? n to je za vse n ≥ n neenakost 1 velja /N ? Če vzamemo kot n vsako naravno število večje od 1/ε , potem za vse n ≥ N neenakost 1 velja /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.
Dokazovanje prisotnosti meje za določeno zaporedje je lahko včasih zelo težko. Najpogostejša zaporedja so dobro proučena in navedena v referenčnih knjigah. Obstajajo pomembni izreki, ki vam omogočajo, da sklepate, da ima dano zaporedje mejo (in jo celo izračunate), na podlagi že preučenih zaporedij.
Izrek 1. Če ima zaporedje limit, potem je omejeno.
Izrek 2. Če je zaporedje monotono in omejeno, potem ima limit.
Izrek 3. Če je zaporedje ( a n} ima mejo A, nato zaporedja ( ca n}, {a n+ c) in (| a n|} imeti meje cA, A +c, |A| temu primerno (tukaj c– poljubno število).
Izrek 4. Če so zaporedja ( a n} In ( b n) imajo meje enake A in B pa n + qbn) ima omejitev pA+ qB.
Izrek 5. Če so zaporedja ( a n) In ( b n) imajo meje enake A in B torej zaporedje ( a n b n) ima omejitev AB.
Izrek 6. Če so zaporedja ( a n} In ( b n) imajo meje enake A in B v skladu s tem in poleg tega b n ≠ 0 in B≠ 0, nato zaporedje ( a n / b n) ima omejitev A/B.
Anna Chugainova
Lekcija št. 32 Datum ____________
Algebra
Razred: 9 "B"
Tema: "Številsko zaporedje in načini njegovega dodeljevanja."
Cilj lekcije: Učenci bi morali vedeti, kaj je številsko zaporedje; metode za določanje številskega zaporedja; znati razlikovati med različnimi načini podajanja številskih zaporedij.
Didaktična gradiva: izročki, pomožne opombe.
Tehnični pripomočki za usposabljanje: predstavitev na temo “Številska zaporedja”.
Napredek lekcije.
2. Določanje ciljev lekcije.
Danes se boste v razredu naučili:
Kaj je zaporedje?
Katere vrste zaporedij obstajajo?
Kako je določeno številsko zaporedje?
Naučite se napisati zaporedje z uporabo formule in njenih številnih elementov.
Naučite se poiskati člane zaporedja.
3. Delo na gradivu, ki se preučuje.
3.1. Pripravljalna faza.
Fantje, preizkusimo vaše logične sposobnosti. Navedem nekaj besed, vi pa morate nadaljevati:
– ponedeljek, torek, …
– januar, februar, marec ...;
– Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G,…..(seznam razredov);
–10,11,12,…99;
Iz odgovorov otrok sklepamo, da so zgornje naloge zaporedja, to je nekakšna urejena serija števil ali pojmov, ko je vsako število ali pojem strogo na svojem mestu, in če se člani zamenjajo, bo zaporedje zlomljen (torek, četrtek, ponedeljek je preprosto seznam dni v tednu). Torej, tema lekcije je zaporedje števil.
3.1. Razlaga nove snovi. (Demo material)
Analizirajte odgovore učencev, dajte definicijo številskega zaporedja in pokažite načine dodeljevanja številskih zaporedij.
(Delo z učbenikom, str. 66 – 67)
Definicija 1. Funkcijo y = f(x), xN imenujemo funkcija naravnega argumenta ali številskega zaporedja in jo označimo z: y = f(n) ali y 1, y 2, y 3, ..., y n, .. ali (y n).
IN v tem primeru neodvisna spremenljivka je naravno število.
Najpogosteje bomo zaporedja označili na naslednji način: ( A n), (b n), (z n), itd.
Definicija 2. Člani zaporedja.
Elemente, ki tvorijo zaporedje, imenujemo člani zaporedja.
Novi pojmi: prejšnji in naslednji člen zaporedja,
A 1 … A str. (1. in n. člen zaporedja)
Metode za podajanje številskega zaporedja.
Analitična metoda.
katera koli n-ti element zaporedja je mogoče določiti s formulo (demonstracijski material).
Raziščite primere
Primer 1. Zaporedje sodih števil: y = 2n.
Primer 2. Zaporedje kvadrata naravnih števil: y = n 2 ;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ... .
Primer 3. Stacionarno zaporedje: y = C;
C, C, C, ..., C, ... .
Poseben primer: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Primer 4. Zaporedje y = 2 n ;
2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ... .
Verbalna metoda.
Pravila za določanje zaporedja so opisana z besedami, brez podajanja formul ali kadar med elementi zaporedja ni vzorca.
Primer 1: Približki številπ.
Primer 2. Zaporedje praštevil: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Primer 3. Zaporedje števil, deljivo s 5.
Primer 2. Poljubna množica števil: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Primer 3. Zaporedje sodih števil 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .
Ponavljajoča se metoda.
Ponavljajoča se metoda je določitev pravila, ki vam omogoča izračun n-ti izraz zaporedje, če je navedenih prvih nekaj članov (vsaj en prvi člen) in formulo, ki omogoča izračun naslednjega člana iz prejšnjih členov. Izraz ponavljajoče se izvira iz latinske besede ponavljajoče se , kar pomeni pridi nazaj . Pri računanju členov zaporedja z uporabo tega pravila se zdi, kot da se ves čas vračamo nazaj in izračunavamo naslednji člen na podlagi prejšnjega. Posebnost te metode je, da morate za določitev na primer 100. člena zaporedja najprej določiti vseh prejšnjih 99 členov.
Primer 1 . a 1 =a, a n+1 =a n +0,7. Naj bo 1 =5, potem bo zaporedje videti takole: 5; 5,7; 6,4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .
Primer 2. b 1 = b, b n +1 = ½ b n. Naj bo b 1 =23, potem bo zaporedje videti takole: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
Primer 3. Fibonaccijevo zaporedje. To zaporedje je enostavno podati rekurzivno: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1, če je n=3, 4, 5, 6, ... . Videti bo takole:
1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (nčlen tega zaporedja enaka vsoti dva prejšnja člana)
Težko je analitično definirati Fibonaccijevo zaporedje, vendar je možno. Formula, s katero se določi kateri koli element tega zaporedja, izgleda takole:
Italijanski trgovec Leonardo iz Pise (1180-1240), bolj znan pod vzdevkom Fibonacci, je bil pomemben matematik srednjega veka. S pomočjo tega zaporedja je Fibonacci določil število φ (fi); φ=1,618033989.
Grafična metoda
Člani zaporedja so lahko predstavljeni s pikami na koordinatna ravnina. V ta namen se število nariše vzdolž vodoravne osi, vrednost ustreznega člana zaporedja pa se nariše vzdolž navpične osi.
Za utrjevanje metod dodeljevanja navedite več primerov zaporedij, ki so določena ustno, analitično ali ponavljajoče.
Vrste številskih zaporedij
(Vrste sekvenc se vadijo z uporabo spodaj navedenih sekvenc).
Delo z učbenikom, str. 69-70
1) Naraščajoče - če je vsak izraz manjši od naslednjega, tj. a n a n +1.
2) padajoče – če je vsak člen večji od naslednjega, tj. a n a n +1 .
3) Neskončno.
4) Končno.
5) Izmenični znak.
6) Konstantna (stacionarna).
Naraščajoče ali padajoče zaporedje se imenuje monotono.
–1; 2; –3; 4; –5; …
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
Delo z učbenikom: naredimo ustno št. 150, 159 str. 71, 72
3.2. Utrjevanje nove snovi. Reševanje problemov.
Za utrditev znanja so primeri izbrani glede na stopnjo pripravljenosti študentov.
Primer 1. Ustvarite možno formulo za n-ti element zaporedja (y n):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
rešitev.
a) To je zaporedje lihih števil. Analitično je to zaporedje mogoče podati s formulo y = 2n+1.
b) To je številsko zaporedje, v katerem je naslednji element večji od prejšnjega za 4. Analitično lahko to zaporedje podamo s formulo y = 4n.
Primer 2. Zapišite prvih deset elementov zaporedja, ki se ponavlja: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, če je n = 3, 4, 5, 6, ....
rešitev.
Vsak naslednji element tega zaporedja je enak vsoti prejšnjih dveh elementov.
Primer 3. Zaporedje (y n) je podano ponavljajoče se: y 1 =1, y 2 =2, y n =5y n -1 - 6y n -2. Analitično opredelite to zaporedje.
rešitev.
Poiščimo prvih nekaj elementov zaporedja.
y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;
y 4 =5y 3 -6y 2 =20-12=8;
y 5 =5y 4 -6y 3 =40-24=16;
y 6 =5y 5 -6y 4 =80-48=32;
y 7 =5y 6 -6y 5 =160-96=64.
Dobimo zaporedje: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., kar je mogoče predstaviti kot
2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .
n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .
Z analizo zaporedja dobimo naslednji vzorec: y = 2 n -1 .
Primer 4. Podano je zaporedje y n =24n+36-5n 2 .
a) Koliko pozitivnih članov ima?
b) Poiščite največji element zaporedja.
c) Ali je v tem zaporedju najmanjši element?
To številsko zaporedje je funkcija oblike y = -5x 2 +24x+36, kjer je x
a) Poiščite vrednosti funkcije, pri katerih je -5x 2 +24x+360. Rešimo enačbo -5x 2 +24x+36=0.
D = b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.
Enačbo za simetrijsko os parabole y = -5x 2 +24x+36 lahko poiščemo s formulo x=, dobimo: x=2,4.
Neenakost -5x 2 +24x+360 velja za -1.2 V tem intervalu je pet naravnih števil (1, 2, 3, 4, 5). To pomeni, da je v danem zaporedju pet pozitivnih elementov zaporedja.
b) Največji element zaporedja je določen z izbirno metodo in je enak y 2 =64.
V) Najmanjši elementšt.
3.4.Naloge za samostojno delo
2. Določite aritmetično operacijo, s katero iz dveh skrajnih števil dobimo povprečje, in namesto znaka * vstavimo manjkajoče število: ,3104,62,51043,60,94 1,7*4,43,1*37,2*0, 8
3. Učenci so reševali nalogo, v kateri so morali poiskati manjkajoča števila. Dobili so različne odgovore. Poiščite pravila, po katerih so fantje polnili celice. Naloga Odgovor 1 Odgovor
Opredelitev številskega zaporedja Pravijo, da je številsko zaporedje dano, če je po nekem zakonu vsako naravno število (številka mesta) enolično določeno. določeno število(člen zaporedja). IN splošni pogled prikazano ujemanje je mogoče prikazati na naslednji način: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Število n je n-ti člen zaporedja . Celotno zaporedje je običajno označeno z (y n).
Analitična metoda podajanja številskih zaporedij Zaporedje je analitično podano, če je navedena formula n-tega člena. Na primer, 1) y n= n 2 – analitična naloga zaporedja 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – konstantno (stacionarno) zaporedje 2) y n= 2 n – analitična naloga zaporedja 2, 4 , 8, 16, ... Reši 585
Ponavljajoča se metoda določanja številskih zaporedij Ponavljajoča se metoda določanja zaporedja je navesti pravilo, ki vam omogoča izračun n-tega člena, če so znani njegovi prejšnji člani 1) aritmetično napredovanje je podano s ponavljajočimi se razmerji a 1 =a, a n+ 1 =a n + d 2 ) geometrijska progresija – b 1 =b, b n+1 =b n * q
Pritrditev 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)
Omejeno od zgoraj Zaporedje (y n) imenujemo omejeno od zgoraj, če vsi njegovi členi niso večji od določenega števila. Z drugimi besedami, zaporedje (y n) je omejeno navzgor, če obstaja število M tako, da za kateri koli n velja neenakost y n M je zgornja meja zaporedja. Na primer, -1, -4, -9, -. 16, ..., -n 2, ...
Omejeno od spodaj Zaporedje (y n) imenujemo omejeno od spodaj, če so vsi njegovi členi vsaj določeno število. Z drugimi besedami, zaporedje (y n) je omejeno od zgoraj, če obstaja število m tako, da za vsak n velja neenakost y n m. m – spodnja meja zaporedja Na primer 1, 4, 9, 16, …, n 2, …
Omejenost zaporedja Zaporedje (y n) imenujemo omejeno, če je mogoče določiti dve števili A in B, med katerima ležijo vsi členi zaporedja. Neenakost Ay n B A je spodnja meja, B je zgornja meja. Na primer, 1 je zgornja meja, 0 je spodnja meja
Padajoče zaporedje Zaporedje se imenuje padajoče, če je vsak člen manjši od prejšnjega: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primer, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primer,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primer,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primer," title="Padajoče zaporedje Zaporedje se imenuje padajoče, če je vsak član manjši od prejšnjega: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n >... Na primer,">
title="Padajoče zaporedje Zaporedje se imenuje padajoče, če je vsak člen manjši od prejšnjega: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primer,">
!}
23
Testno delo 1. možnost 2. možnost 1. Številsko zaporedje je podano s formulo a) Izračunajte prve štiri člene tega zaporedja b) Ali je število člen zaporedja? b) Ali je število 12,25 člen zaporedja? 2. Ustvarite formulo za th člen zaporedja 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…
Tema: Številsko zaporedje in načini njegovega nastavljanja
Glavni cilji in cilji lekcije
Vzgojna: učencem pojasni pomen zaporedja pojmov, n-ti člen zaporedja; predstaviti metode določanja zaporedja.
Razvojni: razvoj samostojnosti, medsebojna pomoč pri delu v skupini, inteligenca.
Izobraževalni: spodbujanje aktivnosti in natančnosti, sposobnost vedno videti dobro, vzbujanje ljubezni in zanimanja za temo
Pričakovani rezultati obvladovanja teme
Pri pouku bodo pridobili nova znanja o številskih zaporedjih in njihovem dodeljevanju. Naučili se bodo poiskati pravo rešitev, izdelati algoritem rešitve in ga uporabiti pri reševanju problemov. Z raziskavo bodo odkrili nekatere njihove lastnosti. Vse delo spremljajo diapozitivi.
Univerzalne izobraževalne dejavnosti, katerih oblikovanje je usmerjeno v izobraževalni proces: sposobnost dela v skupini, razvoj logično razmišljanje, sposobnost analiziranja, raziskovanja, sklepanja, zagovarjanja svojega stališča. Naučite se veščin komunikacije in sodelovanja. Uporaba teh tehnologij prispeva k razvoju univerzalnih metod dejavnosti in izkušenj med učenci ustvarjalna dejavnost, kompetence, komunikacijske sposobnosti.
Ključne ideje za lekcijo
Novi pristopi k poučevanju in učenju
- trening dialoga
- učenje, kako se učiti
Ocenjevanje za učenje in ocenjevanje učenja
Poučevanje kritičnega mišljenja
Izobraževanje nadarjenih in nadarjenih otrok
Vrsta lekcije
Študij nova tema
Učne metode
Vizualno (predstavitev), besedno (pogovor, razlaga, dialog), praktično.
Oblike organiziranosti izobraževalne dejavnostištudij
čelni; skupina; parna soba; posameznika.
Uporabljene interaktivne metode poučevanja
Medsebojno ocenjevanje, samoocenjevanje, Skupinsko delo, individualno delo,
Ocene za učenje, IKT, Diferencirano učenje
Uporaba modulov
Poučevanje, kako se učiti, Poučevanje kritičnega mišljenja, Ocenjevanje za učenje, Uporaba IKT pri poučevanju in učenju, Poučevanje nadarjenih in nadarjenih otrok
Oprema in materiali
Učbenik, interaktivna tabla, grafoskop, predstavitev, markerji, wattmat A3, ravnilo, barvni svinčniki, nalepke, emotikoni
Koraki lekcije
NAPREDEK POUKA
Predvideni rezultati
Ustvarjanje okolja za sodelovanje
Organizacijski trenutek
(Sprejemanje učencev, prepoznavanje odsotnih, preverjanje pripravljenosti učencev na pouk, organiziranje pozornosti).
Razdelitev v skupine.
Uvodne besede učitelji
Parabola "Vse je v tvojih rokah"
Nekoč je v enem mestu živel velik modrec. Slava o njegovi modrosti se je razširila daleč okoli njega domači kraj, ljudje od daleč prihajali k njemu po nasvet. Toda v mestu je bil človek, ki je bil ljubosumen na njegovo slavo. Nekoč je prišel na travnik, ujel metulja, ga posadil med sklenjene dlani in pomislil: »Naj grem k modrecu in ga vprašam: povej mi, o najmodrejši, kateri metulj je v mojih rokah – živ ali mrtev? Če reče mrtev, bom odprl dlani, metulj bo odletel, če reče živ, bom zaprl dlani in metulj bo umrl. Potem bodo vsi razumeli, kdo od naju je pametnejši.« Tako se je vse zgodilo. Nevoščljivec je prišel v mesto in vprašal modreca: "Povej mi, o najmodrejši, kateri metulj je v mojih rokah - živ ali mrtev?" Potem modrec, kdo je bil v resnici pametna oseba, rekel: "Vse je v tvojih rokah"
Popolna pripravljenost učilnice in učne opreme za delo; hitro vključitev razreda v poslovni ritem, organiziranje pozornosti vseh učencev
Skupaj z učenci bomo jasno in nedvoumno oblikovali namen pouka in vzgojne cilje pouka.
Glavni del lekcije
Priprava študentov na aktivno, zavestno učenje.
Kateri dogodki v našem življenju se zgodijo zaporedoma? Navedite primere takih pojavov in dogodkov.
Študent odgovori:
dnevi v tednu,
imena mesecev,
starost osebe,
številka bančnega računa,
pride do zaporedne menjave dneva in noči,
avto pospeši zaporedno, hiše na ulici so oštevilčene zaporedno itd.
Naloga za skupine:
Delo v skupinah, diferenciran pristop
Vsaka skupina dobi svojo nalogo. Po opravljenem se vsaka skupina javi razredu, začnejo učenci 1. skupine.
Naloga za skupine:
Učenci naj poiščejo vzorce in jih pokažejo s puščico.
Naloga za učence 1. in 2. skupine:
1. skupina:
V naraščajočem vrstnem redu pozitivno liha števila
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6
V padajočem vrstnem redu pravilni ulomki s števcem enakim 1
5; 10; 15; 20; 25;
V naraščajočem vrstnem redu pozitivna števila, ki so večkratniki števila 5
1; 3; 5; 7; 9;
2. skupina: poiščite vzorce
6; 8; 16; 18; 36;
Povečaj za 3
10; 19; 37; 73; 145;
Izmenično 2-kratno in 2-kratno povečavo
1; 4; 7; 10; 13;
Povečajte za 2-krat in zmanjšajte za 1-krat
1. skupina odgovarja:
V naraščajočem vrstnem redu pozitivna liha števila (1; 3; 5; 7; 9;)
V padajočem vrstnem redu pravilni ulomki s števcem enakim 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6)
V naraščajočem vrstnem redu pozitivna števila, ki so večkratniki 5 (5; 10; 15; 20; 25;)
Odgovori 2 skupin:
1; 4; 7; 10; 13; (Povečaj za 3)
10; 19; 37; 73; 145; (Povečaj za 2 in zmanjšaj za 1)
6; 8; 16; 18; 36; (Izmenično 2x povečava in 2x povečava)
Učenje nove snovi
- Kaj razumete pod besedo celo?
- Povej mi primer?
- Zdaj povejte več sodih števil zapored
- Povej nam zdaj o lihih številih?
- poimenovati zaporedna nesoda števila
BRAVO!
Števila, ki tvorijo zaporedje, se imenujejo prvi, drugi, tretji itd., n-ti člen zaporedja.
Člani zaporedja so označeni na naslednji način:
a1; a2; a3; a4; ан;
Zaporedja so lahko končna ali neskončna, naraščajoča ali padajoča.
Delo na flipchartu
xn=3n+2, torej
x5=3,5+2=17;
x45=3,45+2=137.
Ponavljajoča se metoda
Formula, ki izraža katerega koli člana zaporedja, začenši od nekaterih, preko prejšnjih (enega ali več), se imenuje ponavljajoča se (iz latinske besede recurro - vrnitev).
Na primer zaporedje, ki ga določa pravilo
a1=1; an+1= an+3
lahko zapišemo z elipso:
1; 4; 7; 10; 13;
Fizična vadba 1,2,3,4,5,6,7, ...
4. Utrjevanje preučenega gradiva (delo v paru, diferenciran pristop)
Vsaka skupina prejme individualna naloga ki jih izvajajo samostojno. Pri reševanju nalog se otroci pogovorijo o rešitvi in jo zapišejo v zvezek.
Dana zaporedja:
аn=n4 ; аn=(-1)nn2 ; аn=n +4; аn=-n-4; аn=2n -5; аn=3n -1.
Naloga za učence 1. skupine: Zaporedja so podana s formulami. Vpiši manjkajoče člene zaporedja:
1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25;
5; ___; ___; ___; 9;
___; -6; ___; ___ ; -9;
___; ___; 3; 11; ___;
2; 8; ___; ___; ___;
Vaja:
Zapišite prvih pet členov zaporedja, ki ga daje formula njegovega n-tega člena.
Naloga za študente skupine:
Ugotovi, katera števila so členi teh zaporedij in izpolni tabelo.
Pozitivna in negativna števila
Pozitivna števila
Negativne številke
Delo z učbeniki št. 148, št. 151
Testno delo
1. Zaporedje je podano s formulo an=5n+2. Čemu je enak njegov tretji člen?
a) 3 b) 17 c) 12 d) 22
2. Zapišite prvih 5 členov zaporedja, podanega s formulo an=n-3
a) -3,-2,-1,0,1 b) -2,-1,0,1,2
c) 0,-2,-4,-16,-50 d) 1,2,3,4,5
3. Poiščite vsoto prvih 6 členov številskega zaporedja: 2,4,6,8,
a) 66 b) 36 c) 32 d) 42
4. Katero od naslednjih zaporedij je neskončno padajoče:
a) b) 2,4,6,8,
c) d)
Odgovori: 1) b 2) b 3) d 4) d
Živa komunikacija z učiteljem
Učenci najdejo odgovore na zastavljena vprašanja.
Učenci se naučijo analizirati in sklepati.
Oblikuje se znanje, kako rešiti sistem neenačb z eno spremenljivko
Pravilni odgovori v procesu dialoga, komunikacije, študentske dejavnosti
Učenci opravijo nalogo
Rešite sami, preverite na prosojnicah.
Ne bodo se bali napak, vse bo jasno na diapozitivih.
www. Bilimland.kz
Učenci se posvetujejo, delo v skupini, posvetovanje z učiteljem, nadarjeni otroci
Učenci v parih se posvetujejo in poiščejo pravilne rešitve naloge.
Učenci ocenijo delo druge skupine in jo ocenijo. Rezultati kažejo, da je preučevana snov osvojena.
Reproduktivna dejavnost študenta je predvsem aktivnost študenta, ki se reproducira po določenem algoritmu, kar vodi do želenega rezultata.
Odsev
Če povzamem
Torej, pogledali smo koncept zaporedja in kako ga definirati.
Navedite primere številskega zaporedja: končno in neskončno.
Katere načine določanja zaporedja poznate?
Katera formula se imenuje ponavljajoča se?
Povzemite lekcijo in zabeležite najbolj aktivne učence. Zahvala učencem za njihovo delo pri pouku.
Učenci lepijo zapiske na nalepke,
o tem, kaj so se naučili
kaj novega so se naučili?
kako si razumel lekcijo?
ti je bila lekcija všeč?
kako so se počutili pri pouku.
domača naloga.
9 №150, №152
Pravilni odgovori med dialogom, dejavnost učencev
Pri domačih nalogah ne bo težav
regija Atyrau
Okrožje Indersky
Vas Esbol
šola poimenovana po Žambilu
učiteljica matematike
najvišja kategorija,
certificirani učitelj
I napredna stopnja
Iskakova Svetlana Slambekovna
| Lekcija št. 32 ALGEBRA | Učiteljica matematike prve kategorije Olga Viktorovna Gaun. Vzhodnokazahstanska regija Glubokovsky okrožje KSU "Cheremshanskaya" srednja šola» |
| Zadeva: Številčno zaporedje in metode za njegovo določanje |
|
| Glavni cilji in cilji lekcije | Izobraževalni: Učencem razloži pomen pojmov "zaporedje", "n-ti član zaporedja"; predstaviti metode določanja zaporedja. Razvojni I: razvoj sposobnosti logičnega mišljenja; razvoj računalniških veščin; kulturni razvoj ustni govor, razvoj komunikacije in sodelovanja.Poučna : vzgoja opazovanja, vzgajanje ljubezni in zanimanja za predmet. |
| Pričakovani rezultati obvladovanja teme | Pri pouku bodo pridobili nova znanja o številskih zaporedjih in njihovem dodeljevanju. Naučili se bodo poiskati pravo rešitev, izdelati algoritem rešitve in ga uporabiti pri reševanju problemov. Z raziskavo bodo odkrili nekatere njihove lastnosti. Vse delo spremljajo diapozitivi. Uporaba IKT bo omogočila izvedbo živahnega pouka, dokončanje velike količine dela, otroci pa bodo imeli iskreno zanimanje in čustveno dojemanje. Nadarjeni učenci bodo predstavili Fibonaccijeva števila in zlati rez. Univerzalne izobraževalne dejavnosti, katerih oblikovanje je usmerjeno v izobraževalni proces: sposobnost dela v parih, razvijanje logičnega mišljenja, sposobnost analiziranja, raziskovanja, sklepanja, zagovarjanja svojega stališča. Naučite se veščin komunikacije in sodelovanja. Uporaba teh tehnologij prispeva k razvoju univerzalnih metod dejavnosti študentov, ustvarjalnih izkušenj, kompetenc in komunikacijskih veščin. |
| Ključne ideje za lekcijo | Novi pristopi k poučevanju in učenju Trening dialoga Učenje, kako se učiti Poučevanje kritičnega mišljenja Izobraževanje nadarjenih in nadarjenih otrok |
| Vrsta lekcije | Učenje nove teme |
| Učne metode | Vizualno (predstavitev), besedno (pogovor, razlaga, dialog), praktično. |
| Oblike organizacije izobraževalnih dejavnosti študentov | čelni; parna soba; posameznika. |
NAPREDEK POUKA
Organizacijski trenutek
(Sprejemanje učencev, prepoznavanje odsotnih, preverjanje pripravljenosti učencev na pouk, organiziranje pozornosti).
Motivacija za pouk.
»Številke vladajo svetu,« so rekli starogrški znanstveniki. "Vse je številka." Po njihovem filozofskem svetovnem nazoru števila ne urejajo le mere in teže, temveč tudi pojave, ki se dogajajo v naravi, in so bistvo harmonije, ki vlada v svetu. Danes bomo pri pouku nadaljevali z delom s števili.
Uvod v temo, učenje nove snovi.
Preizkusimo vaše logične sposobnosti. Navedem nekaj besed, vi pa morate nadaljevati:
–ponedeljek, torek,…..
– januar, februar, marec ...;
– Alijev, Gordejeva, Gribačeva ... (razredni seznam);
–10,11,12,…99;
Zaključek: To so zaporedja, torej neke urejene serije števil ali pojmov, ko vsako število ali koncept stoji strogo na svojem mestu. Torej, tema lekcije je doslednost.
Danes bomopogovor o vrstah in sestavnih delih številskih zaporedij ter načinih njihovega prirejanja.Zaporedja bomo označili takole: (аn), (bn), (сn) itd.
In zdaj vam ponujam prvo nalogo: pred vami je nekaj številskih zaporedij in besedni opis teh zaporedij. Najti morate vzorec vsake vrstice in ga povezati z opisom. (prikaži s puščico)(medsebojno preverjanje)
Serije, ki smo jih obravnavali, so primerištevilska zaporedja .
Elementi, ki tvorijo zaporedje, se imenujejočlani zaporedja
inse imenujejo prvi, drugi, tretji,...n- številski členi zaporedja. Člani zaporedja so označeni na naslednji način:A
1
; A
2
; A
3
; A
4
; … A
n
; kje
n
- številka
, pod katero dano številko je v zaporedju.
Naslednja zaporedja so posneta na zaslonu:
(
S pomočjo navedenih zaporedij se izdela notna oblika zaporednega člena a
n
, ter koncepte prejšnjih in naslednjih izrazov
)
.
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16
,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .
Ime a 1 za vsako zaporedje in 3 itd. Ali lahko nadaljujete vsako od teh vrstic? Kaj morate vedeti za to?
Oglejmo si še nekaj konceptov, kot jenaslednje in prejšnje .
(na primer za a 5…, in za a n ?) - snemanje na prosojnicia n +1, a n -1
Vrste sekvenc
(
Z uporabo zgoraj naštetih zaporedij se razvija spretnost prepoznavanja vrst zaporedij.
)
1) Naraščajoče - če je vsak izraz manjši od naslednjega, tj.a
n
<
a
n
+1.
2) padajoče – če je vsak člen večji od naslednjega, tj.a
n
>
a
n
+1
.
3) Neskončno
4) Končno
5) Izmenično
6) Konstantno (stacionarno)
Poskusite definirativsako vrsto in označite vsako od predlaganih zaporedij.
Ustne naloge
Ime v zaporedju 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) členov a 1 ; A 4 ; A 10 ; A n ;
Ali je zaporedje štirimestnih števil končno? (Da)
Poimenujte njenega prvega in zadnjega člana. (Odgovor: 1000; 9999)
Ali je zaporedje zapisovanja številk 2; 4; 7; 1; -21; -15; ...? (ne, ker je nemogoče odkriti vzorec iz prvih šestih izrazov)
Fizična pavza (povezano tudi s temo današnje lekcije: zvezdnato nebo, planeti sončnega sistema ... kakšna je povezava?)
Metode za določanje zaporedij
1) verbalno - nastavitev zaporedja z opisom;
2) analitično - formulan
- član;
3) grafični – z uporabo grafa;
4) ponavljajoče se - kateri koli član zaporedja, ki se začne od določene točke, je izražen glede na prejšnje
Danes si bomo v lekciji ogledali prvi dve metodi. Torej,verbalno
način. Morda bo kdo od vas poskušal postaviti kakšno zaporedje?
(Na primer:Sestavite zaporedje lihih naravnih števil
. Opišite to zaporedje: naraščajoče, neskončno)
Analitično
metoda: z uporabo formule za n-ti člen zaporedja.
Splošna formula za člen vam omogoča, da izračunate člen zaporedja s poljubnim številom. Na primer, če x n =3n+2, torej
X 1 =3*1+2=5;
X 2 =3*2+2=8
X 5 =3 . 5+2=17;
X 45 =3 . 45+2=137 itd. Kaj je torej prednostanalitično veliko prejverbalno ?
In ponujam vam naslednjo nalogo: podane so formule za določanje nekaterih zaporedij in sama zaporedja, oblikovana po teh formulah. V teh zaporedjih manjka nekaj izrazov. Vaša nalogadelo v parih , izpolnite prazna mesta.
Samotestiranje (pravilni odgovor se prikaže na prosojnici)
Učinkovitost ustvarjalni projekt"Fibonaccijeva števila" (vnaprejšnja naloga )
Danes se bomo seznanili s slavnim zaporedjem:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Slide) Vsako število, začenši s tretjim, je enako vsoti prejšnjih dveh. Ta vrsta naravnih števil, ki ima svojo zgodovinsko ime– Fibonaccijeva serija ima svojo logiko in lepoto. Leonardo Fibonacci (1180-1240). Ugledni italijanski matematik, avtor knjige Abakus. Ta knjiga je več stoletij ostala glavno skladišče informacij o aritmetiki in algebri. Skozi dela L. Fibonaccija je celotna Evropa obvladala arabske številke, sistem štetja, pa tudi praktično geometrijo. Ostali so namizni učbeniki skoraj do Descartesove dobe (in to je že 17. stoletje!).
Gledanje videa.
Verjetno ne razumete povsem, kakšna je povezava med spiralo in Fibonaccijevim nizom. Torej vam bom pokazal, kako se je izkazalo .
Če zgradimo dva kvadrata drug ob drugem s stranico 1, nato na večji stranici, ki je enaka 2, drugi, nato na večji strani, ki je enaka 3, še en kvadrat ad infinitum ... Potem v vsakem kvadratu, začenši z manjšim, postavimo zgradimo četrtino loka, dobili bomo spiralo, o kateri govorimo v filmu.
pravzaprav praktična uporaba znanje, pridobljeno v tej lekciji v resnično življenje dovolj velik. Pred vami je več nalog z različnih znanstvenih področij.
Naloga 1.
16, 15, 18, … (17, 20, 19)
1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)
33, 31, 32, … (30, 31, 29)
Naloga 2.
(Na tablo so zapisani odgovori učencev: 500, 530, 560, 590, 620).
Naloga 3.
Naloga 4. Vsak dan lahko vsaka oseba z gripo okuži 4 osebe okoli sebe. Čez koliko dni bodo vsi učenci naše šole (300 ljudi) zboleli? (Po 4 dneh).
Problem 5
. Koliko bakterij piščančje kolere se bo pojavilo v 10 urah, če se ena bakterija vsako uro razdeli na pol?
Problem 6
. Potek zračnih kopeli se prvi dan začne s 15 minutami in vsak naslednji dan poveča čas tega postopka za 10 minut. Koliko dni je treba izvajati zračne kopeli v navedenem načinu, da dosežete njihovo največje trajanje 1 uro 45 minut? (
10)
Problem 7 . Pri prostem padu telo v prvi sekundi prepotuje 4,8 m, v vsaki naslednji sekundi pa še 9,8 m več. Poiščite globino jaška, če prosto padajoče telo doseže dno 5 s po začetku padanja.
Problem 8 . Državljan K. je zapustil oporoko. Prvi mesec je porabil 1000 dolarjev, vsak naslednji mesec pa 500 dolarjev več. Koliko denarja je bilo zapuščeno državljanu K., če zadošča za 1 leto udobnega življenja? (45000)
Preučevanje naslednjih tem v tem poglavju »Napredovanje« nam bo omogočilo hitro in brez napak reševanje takšnih težav.
Domača naloga: str.66 št. 151, 156, 157
Ustvarjalna naloga: sporočilo o Pascalovem trikotniku
Če povzamem. Odsev. (ocena »prirastka« znanja in doseganja ciljev)
Kaj je bil namen današnje lekcije?
Ali je bil cilj dosežen?
Nadaljuj izjavo
nisem vedel...
Zdaj vem ...
Problemi praktične uporabe lastnosti zaporedij (progresij)
Naloga 1. Nadaljujte z zaporedjem številk:
16, 15, 18, …
1, 2, 2, 4, 8, …
33, 31, 32, …
Naloga 2. V skladišču je 500 ton premoga, vsak dan ga dostavijo 30 ton. Koliko premoga bo v skladišču 1 dan? 2. dan? 3. dan? 4. dan? 5. dan?
Naloga 3. Avto, ki se je gibal s hitrostjo 1 m/s, je vsako naslednjo sekundo spremenil svojo hitrost za 0,6 m/s. Kakšno hitrost bo imel po 10 sekundah?
Problem 4 . Vsak dan lahko vsaka oseba z gripo okuži 4 osebe okoli sebe. Čez koliko dni bodo vsi učenci naše šole (300 ljudi) zboleli?
Naloga 5. Koliko bakterij piščančje kolere se bo pojavilo v 10 urah, če se ena bakterija vsako uro razdeli na pol?
Naloga 6. Potek zračnih kopeli se prvi dan začne s 15 minutami in vsak naslednji dan poveča čas tega postopka za 10 minut. Koliko dni je treba izvajati zračne kopeli v navedenem načinu, da dosežete njihovo največje trajanje 1 uro 45 minut?
Naloga 7. Pri prostem padu telo v prvi sekundi prepotuje 4,8 m, v vsaki naslednji sekundi pa še 9,8 m več. Poiščite globino jaška, če prosto padajoče telo doseže dno 5 s po začetku padanja.
Naloga 8. Državljan K. je zapustil oporoko. Prvi mesec je porabil 1000 dolarjev, vsak naslednji mesec pa 500 dolarjev več. Koliko denarja je bilo zapuščeno državljanu K., če zadošča za 1 leto udobnega življenja?