Несмотря на то что математика кажется большинству людей наукой сложной, это далеко не так. Многие математические операции довольно легко понять, особенно если знать правила и формулы. Так, зная таблицу умножения, можно быстро перемножать в уме Главное - постоянно тренироваться и не забывать правил умножения. То же самое можно сказать и о делении.
Давайте же разберем деление целых чисел, дробных и отрицательных. Вспомним об основных правилах, приемах и методах.
Операция деления
Начнем, пожалуй, с самого определения и названия чисел, которые участвуют в данной операции. Это значительно облегчит дальнейшее изложение и восприятие информации.
Деление - одна из четырех основных математических операций. Изучение ее начинается еще в начальной школе. Именно тогда детям показывают первый пример деления числа на число, объясняют правила.
В операции участвуют два числа: делимое и делитель. Первое - число, которое делят, второе - на которое делят. Результатом деления является частное.
Имеется несколько обозначений для записи данной операции: «:», «/» и горизонтальная черта - запись в виде дроби, когда вверху находится делимое, а внизу, под чертой - делитель.
Правила
При изучении той или иной математической операции учитель обязан познакомить учеников с основными правилами, которые следует знать. Правда, не всегда они запоминаются так хорошо, как хотелось бы. Именно поэтому мы решили немного освежить в вашей памяти четыре фундаментальных правила.
Основные правила деления чисел, которые стоит помнить всегда:
1. Делить на ноль нельзя. Это правило следует запомнить в первую очередь.
2. Делить ноль можно на любое число, но в итоге всегда будет ноль.
3. Если число поделить на единицу, мы получим то же число.
4. Если число разделить на само себя, мы получим единицу.
Как видите, правила довольно простые и легко запоминаются. Хотя некоторые и могут забывать такое простое правило, как невозможность или же путать с ним деление ноля на число.
на число
Одно из наиболее полезных правил - признак, по которому определяется возможность деления натурального числа на другое без остатка. Так, выделяют признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9, 10. Рассмотрим их подробнее. Они существенно облегчают выполнение операций над числами. Также приведем для каждого правила пример деления числа на число.
Данные правила-признаки довольно широко используются математиками.
Признак делимости на 2
Наиболее простой для запоминания признак. Число, которое оканчивается на четную цифру (2, 4, 6, 8) или 0, всегда делится на два нацело. Довольно просто для запоминания и использования. Так, число 236 оканчивается на четную цифру, а значит, делится на два нацело.
Проверим: 236:2 = 118. Действительно, 236 делится на 2 без остатка.
Данное правило наиболее известно не только взрослым, но и детям.
Признак делимости на 3
Как правильно выполнить деление чисел на 3? Запомнить следующее правило.
Число делится на 3 нацело в том случае, если сумма его цифр кратна трем. Для примера возьмем число 381. Сумма всех цифр будет составлять 12. Данное трем, а значит делится на 3 без остатка.
Также проверим данный пример. 381: 3 = 127, значит все верно.
Признак делимости чисел на 5
Тут также все просто. Разделить на 5 без остатка можно лишь те числа, которые оканчиваются на 5 либо же на 0. Для примера возьмем такие числа, как 705 или же 800. Первое заканчивается на 5, второе - на ноль, следовательно они оба делятся на 5. Это одно из простейших правил, которое позволяет быстро осуществлять деление на однозначное число 5.
Проверим данный признак на таких примерах: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Как видите, признак действует.
Делимость на 6
Если вы хотите узнать, делится ли число на 6, то вам сначала нужно выяснить, делится ли оно на 2, а затем - на 3. Если да, то число можно без остатка разделить на 6. К примеру, число 216 делится и на 2, так как заканчивается на четную цифру, и на 3, так как сумма цифр равна 9.
Проверим: 216:6 = 36. Пример показывает, что данный признак действует.
Делимость на 9
Поговорим также и о том, как осуществить деление чисел на 9. На данное число делятся те сумма цифр которых кратна 9. Аналогично правилу деления на 3. Например, число 918. Сложим все цифры и получим 18 - число, кратное 9. Значит, оно делится на 9 без остатка.
Решим данный пример для проверки: 918:9 = 102.
Делимость на 10
Последний признак, который стоит знать. На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0. Данную закономерность довольно просто и легко запомнить. Так, 500:10 = 50.
Вот и все основные признаки. Запомнив их, вы сможете облегчить себе жизнь. Конечно, есть и другие числа, для которых существуют признаки делимости, но мы с вами выделили лишь основные из них.
Таблица деления
В математике существует не только таблица умножения, но и таблица деления. Выучив ее, можно с легкостью выполнять операции. По сути, таблица деления представляет собой таблицу умножения наоборот. Составить ее самостоятельно не представляет труда. Для этого следует переписать каждую строку из таблицы умножения таким образом:
1. Ставим произведение числа на первое место.
2. Ставим знак деления и записываем второй множитель из таблицы.
3. После знака равенства записываем первый множитель.
Например, возьмем следующую строку из таблицы умножения: 2*3= 6. Теперь перепишим ее согласно алгоритму и получим: 6 ÷ 3 = 2.
Довольно часто детей просят самостоятельно составить таблицу, таким образом развивая их память и внимание.
Если же у вас нет времени на ее написание, то можете воспользоваться представленной в статье.
Виды деления
Поговорим немного о видах деления.
Начнем с того, что можно выделить деление целых чисел и дробных. При этом в первом случае можно говорить об операциях с целыми числами и десятичными дробями, а во втором - только о дробных числах. При этом дробным может являться как делимое или делитель, так и оба одновременно. связано с тем, что операции над дробями отличаются от операций с целыми числами.
Исходя из чисел, которые участвуют в операции, можно выделить два вида деления: на однозначные числа и на многозначные. Наиболее простым считается деление на однозначное число. Здесь вам не нужно будет проводить громоздкие вычисления. К тому же хорошо может помочь таблица деления. Делить же на другие - двух-, трехзначные числа - тяжелее.
Рассмотрим примеры для данных видов деления:
14:7 = 2 (деление на однозначное число).
240:12 = 20 (деление на двузначное число).
45387: 123 = 369 (деление на трехзначное число).
Последним можно выделить деление, в котором участвуют положительные и отрицательные числа. При работе с последними следует знать правила, по которым происходит присвоение результату положительного или отрицательного значения.
При делении чисел с разными знаками (делимое - число положительное, делитель - отрицательное, или наоборот) мы получаем отрицательное число. При делении чисел с одним знаком (и делимое, и делитель - положительные или же наоборот) - получаем число положительное.
Рассмотрим для наглядности следующие примеры:
Деление дробей
Итак, мы с вами разобрали основные правила, привели пример деления числа на число, теперь поговорим о том, как правильно выполнять эти же операции с дробями.
Несмотря на то что деление дробей поначалу кажется довольно тяжелым делом, в действительности работать с ними не так уж и трудно. Деление дроби выполняется практически так же, как и умножение, но с одним отличием.
Для того чтобы разделить дробь, следует сначала умножить числитель делимого на знаменатель делителя и зафиксировать полученный результат в виде числителя частного. Затем умножить знаменатель делимого на числитель делителя и записать результат как знаменатель частного.
Можно сделать и проще. Переписать дробь делителя, поменяв местами числитель со знаменателем, а затем перемножить полученные числа.
Например, разделим две дроби: 4/5:3/9. Для начала перевернем делитель, получим 9/3. Теперь перемножим дроби: 4/5 * 9/3 = 36/15.
Как видите, все довольно легко и не сложнее, чем деление на однозначное число. Примеры на решаются просто, если не забывать данное правило.
Выводы
Деление - одна из математических операций, которые каждый ребенок изучает еще в начальной школе. Есть определенные правила, которые следует знать, приемы, облегчающие выполнение данной операции. Деление бывает с остатком и без, бывает деление отрицательных и дробных чисел.
Запомнить особенности данной математической операции довольно легко. Мы с вами разобрали наиболее важные моменты, рассмотрели не один пример деления числа на число, даже поговорили о том, как работать с дробными числами.
Если вы хотите улучшить свое знание математики, советуем вам запомнить эти несложные правила. Кроме того, можем посоветовать вам развивать память и навыки счета в уме, выполняя математические диктанты или просто пытаясь высчитать устно частное двух случайных чисел. Поверьте, эти навыки никогда не будут лишними.
«Отношения и пропорции» - Творческий проект. Крайние. Свойства прямой пропорциональной зависимости. «Золотое сечение» в искусстве. Математической моделью прямой пропорциональной зависимости величин х и у является формула у = кх. Золотое сечение. Разрушен в 1687; частично восстановлен. Возникновение учений об отношениях и пропорциях.
«Задачи на отношения» - «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.» Н.Жуковский. 2способ: алгебраический Пусть х –коэффициент пропорциональности чисел. Каждый человек рождается внутренне не свободным. Творческое задание: где применяется пропорция (на неделю). Общество использует отношение, общество использует математику.
«Задачи на прямую и обратную пропорциональность» - Почему в городе существуют ограничения на скорость движения транспорта. В задачах тех ищи удачи, где получить рискуешь сдачи. По какой стороне должен двигаться пешеход по загородной дороге. Прямая и обратная пропорциональность. Трудность задач повышаем, решенье найти приглашаем. Какой пропорциональной зависимостью являются величины.
«Пропорции 6 класс» - Основное свойство пропорции. Средние члены. В математике – равенство двух отношений Пропорция (лат. proportio) - соразмерность. Составьте верные пропорции 1, 3, 5, 15. Полученные равенства называются пропорцией. Крайние члены. С, b - средние члены. Пропорция (этимологический словарь). А, d - крайние члены.
«Математика 6 класс отношения» - Решение упражнений: Египтяне использовали золотое сечение при строительстве пирамид. Аристотель. В чем состоит основное свойство отношения? Чем занимаются математики, как не порядком и отношением? Отношение. А и т – крайние члены пропорции в и п - средние члены пропорции. Что называют отношением двух чисел?
«Прямая и обратная пропорциональные зависимости» - Примеры прямо пропорциональных величин. Значения величины. Пропорциональные зависимости. Произведение. Частное величин. Составим пропорцию. Отношение любых двух значений. Найдём неизвестный член пропорции. Характеристическое свойство обратно пропорциональных величин. Проверьте себя. Определение обратно пропорциональных величин.
Всего в теме 26 презентаций
Деление является одним из четырех самых распространенных арифметических действий. Редко встречаются комплексные расчеты, которые могут обойтись без него. Программа Excel имеет широкий функционал по использованию данного арифметического действия. Давайте выясним, какими способами можно выполнить деление в Экселе.
В Microsoft Excel деление можно произвести как при помощи формул, так и используя функции. Делимым и делителем при этом выступают числа и адреса ячеек.
Способ 1: деление числа на число
Лист Эксель можно использовать как своеобразный калькулятор, просто деля одно число на другое. Знаком деления выступает слеш (обратная черта) – «/» .
После этого Эксель рассчитает формулу и в указанную ячейку выведет результат вычислений.
Если вычисление производится с несколькими знаками, то очередность их выполнения производится программой согласно законам математики. То есть, прежде всего, выполняется деление и умножение, а уже потом – сложение и вычитание.
Как известно, деление на 0 является некорректным действием. Поэтому при такой попытке совершить подобный расчет в Экселе в ячейке появится результат «#ДЕЛ/0!» .
Способ 2: деление содержимого ячеек
Также в Excel можно делить данные, находящиеся в ячейках.
Можно также комбинировать, в качестве делимого или делителя используя одновременно и адреса ячеек и статические числа.
Способ 3: деление столбца на столбец
Для расчета в таблицах часто требуется значения одного столбца разделить на данные второй колонки. Конечно, можно делить значение каждой ячейки тем способом, который указан выше, но можно эту процедуру сделать гораздо быстрее.
Как видим, после этого действия будет полностью выполнена процедура деления одного столбца на второй, а результат выведен в отдельной колонке. Дело в том, что посредством маркера заполнения производится копирование формулы в нижние ячейки. Но, с учетом того, что по умолчанию все ссылки относительные, а не абсолютные, то в формуле по мере перемещения вниз происходит изменение адресов ячеек относительно первоначальных координат. А именно это нам и нужно для конкретного случая.
Способ 4: деление столбца на константу
Бывают случаи, когда нужно разделить столбец на одно и то же постоянное число – константу, и вывести сумму деления в отдельную колонку.
Как видим, на этот раз деление тоже выполнено корректно. В этом случае при копировании данных маркером заполнения ссылки опять оставались относительными. Адрес делимого для каждой строки автоматически изменялся. А вот делитель является в данном случае постоянным числом, а значит, свойство относительности на него не распространяется. Таким образом, мы разделили содержимое ячеек столбца на константу.
Способ 5: деление столбца на ячейку
Но, что делать, если нужно разделить столбец на содержимое одной ячейки. Ведь по принципу относительности ссылок координаты делимого и делителя будут смещаться. Нам же нужно сделать адрес ячейки с делителем фиксированным.
После этого результат по всему столбцу готов. Как видим, в данном случае произошло деление колонки на ячейку с фиксированным адресом.
Способ 6: функция ЧАСТНОЕ
Деление в Экселе можно также выполнить при помощи специальной функции, которая называется ЧАСТНОЕ . Особенность этой функции состоит в том, что она делит, но без остатка. То есть, при использовании данного способа деления итогом всегда будет целое число. При этом, округление производится не по общепринятым математическим правилам к ближайшему целому, а к меньшему по модулю. То есть, число 5,8 функция округлит не до 6, а до 5.
Посмотрим применение данной функции на примере.
После этих действий функция ЧАСТНОЕ производит обработку данных и выдает ответ в ячейку, которая была указана в первом шаге данного способа деления.
Эту функцию можно также ввести вручную без использования Мастера. Её синтаксис выглядит следующим образом:
ЧАСТНОЕ(числитель;знаменатель)
Как видим, основным способом деления в программе Microsoft Office является использование формул. Символом деления в них является слеш – «/» . В то же время, для определенных целей можно использовать в процессе деления функцию ЧАСТНОЕ . Но, нужно учесть, что при расчете таким способом разность получается без остатка, целым числом. При этом округление производится не по общепринятым нормам, а к меньшему по модулю целому числу.
Урок № 9 (15.09.16)
Предмет: математика, 6-Б кл .
Тема урока: Деление чисел в данном отношении. Решение упражнений (2 -й урок в теме)
Тип урока:Урок применения знаний
Цели урока для учителя:
1. Создать условия для отработки навыка деления числа в данном отношении (предметная)
2. Развивать умения анализа и сравнения методов решения схожих типов задач (интеллектуальные умения)
3. Формировать умения определения целей деятельности и составления плана действий (организационные умения)
4. Учить доносить свою позицию до других и принимать чужие позиции (коммуникативные умения)
5.
Проверить уровень усвоения темы
Предметные умения:
Выполнять все действия с натуральными и дробными числами. Создавать математические модели решаемых задач: схема, выражение. Решать текстовые задачи с условием отношения величин.
Организационные умения:
Определять и формулировать цели деятельности
Составлять план по решению проблемы
Действовать согласно намеченному плану
Соотносить результат своей деятельности с поставленной целью
Организовывать самостоятельную деятельность по выбору и решению задач
Интеллектуальные умения:
Ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания
Выдвигать гипотезы решения проблемы
Коммуникативные умения:
Отрабатывать приемы монологической и диалогической речи
Оценочные умения:
Сравнивать самостоятельно полученные результаты с предъявленным образцом
Обязательный минимум содержания:
Понятия, правила, закономерности:
алгоритм деления величины в заданном отношении
Предметные умения:
Делить величину в заданном отношении нескольких чисел, решать текстовые задачи с заданным отношением величин,
Ход урока:
Время:2 минуты
Организационный момент. Приветствие, определение отсутствующих.
Актуализация знаний.
9 минут
Ученики (ожидаемые действия)
УУД
Здравствуйте, ребята! Откройте, пожалуйста, ваши тетради, запишите число – сегодня 15 сентября 2016 г. Сядьте поудобнее и давайте вспомнить, о чем мы с вами говорили на прошлом уроке и какие задания научились делать?
Возникли ли у вас вопросы при решении домашнего задания? (Если «да» , то вызываю к доске, желающего показать решение, если «нет» - идем дальше)
Давайте посмотрим как вы научились делать те задачи, о которых вы сейчас говорили.
А мы с вами постараемся ответить на следующие вопросы:
Что называется отношением?
Прочитайте отношения: 15:6; 3:5; 5/7; ½: ¾ ; 0,5: 0,3
Какие из записанных отношений на ваш взгляд можно упростить? Упростите
А теперь рассмотрим решения на доске
Если в ходе решения возникли ошибки при использовании алгоритма – еще раз его проговариваем, обращаем внимание на наличие на доске опоры с алгоритмом
Возможные ответы:
Научились решать задачи и примеры на деление чисел в данном отношении.
1 человек записывает на доску решение домашней задачи
1 ученик работает самостоятельно у доски
Все учащиеся отвечают на вопросы, выполняют задания устно, если необходимо вычисления делают в тетрадях
Учащиеся читают задачу и рассказывают ее решение, класс вносит замечания, оценивает работу
Возможные ответы:
Регулятивные: осознать уровень и качество усвоения материала.
Коммуникативные: выражение своих мыслей.
Познавательные: осознанное построение речевого высказывания, подведение под понятие.
Изучение нового материала
10 минут
Действия учителя (содержание диалога)
Ученики (ожидаемые действия)
Средства обучения
Создание проблемной ситуации
А теперь, пожалуйста разделите число 120 в следующих отношениях: а) 1:5; б) 1/3:2/3; в) 3:2:5
Выполняют задание а), дают пояснения к выполнению. (100,20) (40,80) (36,24,60).
Выполняют задание б) с помощью учителя, ставят акцент на необходимости предварительно упростить отношение.
Испытывают затруднение при выполнении в) все или многие учащиеся
Регулятивные: целеполагание
Коммукативные: постановка вопросов
Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели
Формулирование
проблемы
(темы и целей урока)
Какой у вас возник вопрос при выполнении этого задания? Попробуйте определить свои затруднения одним предложением
Формулируют затруднения в форме вопросов
Определяют тему, редактируют ее при помощи учителя, записывают в тетрадь
Определяют цели:
Составить алгоритм, как разделить число в отношении содержащем более двух членов
Научиться использовать правило для решения задач
Регулятивные: формулировать и удерживать учебную задачу;
Коммуникативные: умение выражать свои мысли;
Познавательные:
подведение под правило;
Формулирование
нового знания
Мы с вами разделили число в заданном отношении.
Делают вывод:
чтобы разделить число в данном отношении нужно разделить это число на сумму членов отношения и результат умножить на каждый член отношения.
Регулятивные:
выделять то, что усвоено и что нужно усвоить.
Коммуникативные:
умение выражать свои мысли, аргументация.
Закрепление нового материала
20 минут
Действия учителя (содержание диалога)
Ученики (ожидаемые действия)
Применение нового знания
Решим несколько задач на деление числа в заданном отношении.
Разделите:
Число 42 в отношении 5:2
Число 28 в отношении 2:5:1
Число 27 в отношении 0,2:0,3:0,4
(работаем над проверкой второго ответа через сложение полученных величин)
Решаем задачи с контролем у доски:
№ 40, 43*.
Работают в парах, самопроверка по образцу.
Находят ошибку в предъявленных ответах, доказывают свою правоту двумя способами
По желанию у доски, класс работает самостоятельно, контролирует решение
Регулятивные:
составлять план и последовательность действий;
Коммуникативные:
воспринимать текст с учетом поставленной учебной задачи, находить в тексте информацию, необходимую для решения.
Познавательные: выдвигать гипотезы решения проблемы
Итог урока
4 минуты
Действия учителя (содержание диалога)
Ученики (ожидаемые действия)
Рефлексия
Отвечают на вопросы, аргументируя свой ответ
Познавательные: рефлексия способов и условий действия, адекватное понимание причин успеха и неудач, контроль и оценка процесса и результатов деятельности
П 1.3, № 44 (а,б,г).
записывают в дневник, просматривают в учебнике