Producto escalar de vectores

Seguimos ocupándonos de los vectores. en la primera lección Vectores para tontos Analizamos el concepto de vector, acciones con vectores, coordenadas vectoriales y los problemas más simples con vectores. Si llegó a esta página por primera vez desde un motor de búsqueda, le recomiendo encarecidamente leer el artículo introductorio anterior, ya que para dominar el material necesita estar familiarizado con los términos y notaciones que uso, tener conocimientos básicos de vectores y Ser capaz de resolver problemas básicos. Esta lección es una continuación lógica del tema, y ​​en él analizaré en detalle tareas típicas que utilizan el producto escalar de vectores. Esta es una actividad MUY IMPORTANTE.. Trate de no saltarse los ejemplos; vienen con una ventaja útil: la práctica le ayudará a consolidar el material que ha cubierto y mejorar en la resolución de problemas comunes de geometría analítica.

Suma de vectores, multiplicación de un vector por un número.... Sería ingenuo pensar que a los matemáticos no se les ha ocurrido otra cosa. Además de las acciones ya comentadas, existen otras operaciones con vectores, a saber: producto escalar de vectores, producto vectorial de vectores Y producto mixto de vectores. El producto escalar de vectores nos resulta familiar en la escuela; los otros dos productos pertenecen tradicionalmente al curso de matemáticas superiores. Los temas son simples, el algoritmo para resolver muchos problemas es sencillo y comprensible. La única cosa. Hay una cantidad decente de información, por lo que no es deseable intentar dominar y resolver TODO A LA VEZ. Esto es especialmente cierto para los tontos; créanme, el autor no quiere en absoluto sentirse como Chikatilo de las matemáticas. Bueno, tampoco de matemáticas, por supuesto =) Los estudiantes más preparados pueden usar los materiales de manera selectiva, en cierto sentido, "obtener" el conocimiento que falta para ti. Seré un Conde Drácula inofensivo =)

Finalmente abramos la puerta y observemos con entusiasmo lo que sucede cuando dos vectores se encuentran….

Definición del producto escalar de vectores.
Propiedades del producto escalar. Tareas típicas

El concepto de producto escalar.

primero sobre ángulo entre vectores. Creo que todos entienden intuitivamente cuál es el ángulo entre vectores, pero por si acaso, un poco más de detalle. Consideremos vectores libres distintos de cero y . Si trazas estos vectores desde un punto arbitrario, obtendrás una imagen que muchos ya han imaginado mentalmente:

Lo admito, aquí describí la situación sólo al nivel de comprensión. Si necesita una definición estricta del ángulo entre vectores, consulte el libro de texto para problemas prácticos. En principio, no la necesitamos. También AQUÍ Y AQUÍ ignoraré los vectores cero en algunos lugares debido a su baja importancia práctica. He hecho una reserva especialmente para los visitantes avanzados del sitio que puedan reprocharme lo teóricamente incompleta de algunas afirmaciones posteriores.

Puede tomar valores de 0 a 180 grados (0 a radianes), inclusive. Analíticamente este hecho escrito como una doble desigualdad: o (en radianes).

En la literatura, el símbolo del ángulo a menudo se omite y se escribe simplemente.

Definición: El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO igual al producto de las longitudes de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos:

Esta es una definición bastante estricta.

Nos centramos en la información esencial:

Designación: el producto escalar se denota por o simplemente.

El resultado de la operación es un NÚMERO: El vector se multiplica por el vector y el resultado es un número. De hecho, si las longitudes de los vectores son números, el coseno de un ángulo es un número, entonces su producto también será un número.

Sólo un par de ejemplos de calentamiento:

Ejemplo 1

Solución: Usamos la fórmula . EN en este caso:

Respuesta:

Los valores del coseno se pueden encontrar en tabla trigonométrica. Recomiendo imprimirlo; será necesario en casi todas las secciones de la torre y será necesario muchas veces.

Desde un punto de vista puramente matemático, el producto escalar no tiene dimensiones, es decir, el resultado, en este caso, es solo un número y listo. Desde el punto de vista de los problemas de física, un producto escalar siempre tiene un determinado significado físico, es decir, tras el resultado se debe indicar una u otra unidad física. Ejemplo canónico En cualquier libro de texto se puede encontrar cómo calcular el trabajo de una fuerza (la fórmula es exactamente un producto escalar). El trabajo de una fuerza se mide en julios, por lo que la respuesta se escribirá de forma bastante específica, por ejemplo, .

Ejemplo 2

encontrar si , y el ángulo entre los vectores es igual a .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta, la respuesta está al final de la lección.

Ángulo entre vectores y valor del producto escalar

En el ejemplo 1 el producto escalar resultó ser positivo y en el ejemplo 2 resultó ser negativo. Averigüemos de qué depende el signo del producto escalar. Veamos nuestra fórmula: . Las longitudes de los vectores distintos de cero son siempre positivas: , por lo que el signo sólo puede depender del valor del coseno.

Nota: Para comprender mejor la información a continuación, es mejor estudiar la gráfica del coseno en el manual. Gráficos de funciones y propiedades.. Observa cómo se comporta el coseno en el segmento.

Como ya se señaló, el ángulo entre los vectores puede variar dentro de , y son posibles los siguientes casos:

1) si esquina entre vectores picante: (de 0 a 90 grados), luego , Y el producto escalar será positivo codirigido, entonces el ángulo entre ellos se considera cero y el producto escalar también será positivo. Desde , la fórmula se simplifica: .

2) si esquina entre vectores desafilado: (de 90 a 180 grados), luego , y en consecuencia, el producto escalar es negativo: . Caso especial: si los vectores direcciones opuestas, entonces se considera el ángulo entre ellos expandido: (180 grados). El producto escalar también es negativo, ya que

Las afirmaciones inversas también son ciertas:

1) Si , entonces el ángulo entre estos vectores es agudo. Alternativamente, los vectores son codireccionales.

2) Si , entonces el ángulo entre estos vectores es obtuso. Alternativamente, los vectores están en direcciones opuestas.

Pero el tercer caso es de particular interés:

3) si esquina entre vectores derecho: (90 grados), luego el producto escalar es cero: . Lo contrario también es cierto: si, entonces. La declaración se puede formular de forma compacta de la siguiente manera: El producto escalar de dos vectores es cero si y sólo si los vectores son ortogonales.. Notación matemática corta:

! Nota : repitamos fundamentos de la lógica matemática: Un icono de consecuencia lógica de doble cara suele leerse "si y sólo si", "si y sólo si". Como puede ver, las flechas están dirigidas en ambas direcciones: "de esto sigue esto, y viceversa, de ahí sigue esto". Por cierto, ¿cuál es la diferencia con el ícono de seguimiento unidireccional? El icono dice sólo eso, que “de esto se sigue esto”, y no es un hecho que sea cierto lo contrario. Por ejemplo: , pero no todos los animales son panteras, por lo que en este caso no puedes utilizar el icono. Al mismo tiempo, en lugar del icono Poder Utilice el icono de un solo lado. Por ejemplo, mientras resolvíamos el problema, descubrimos que concluimos que los vectores son ortogonales: - tal entrada será correcta e incluso más apropiada que .

El tercer caso tiene gran importancia práctica., ya que te permite comprobar si los vectores son ortogonales o no. Resolveremos este problema en la segunda sección de la lección.

Propiedades del producto escalar

Volvamos a la situación cuando dos vectores codirigido. En este caso, el ángulo entre ellos es cero, y la fórmula del producto escalar toma la forma: .

¿Qué pasa si un vector se multiplica por sí mismo? Está claro que el vector está alineado consigo mismo, por lo que utilizamos la fórmula simplificada anterior:

el numero se llama cuadrado escalar vector, y se denotan como .

De este modo, cuadrado escalar vector es igual al cuadrado de la longitud del vector dado:

De esta igualdad podemos obtener una fórmula para calcular la longitud del vector:

Hasta ahora parece poco claro, pero los objetivos de la lección pondrán todo en su lugar. Para resolver los problemas también necesitamos propiedades del producto escalar.

Para vectores arbitrarios y cualquier número, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) – conmutativo o conmutativo Ley del producto escalar.

2) – distribución o distributivo Ley del producto escalar. Simplemente, puedes abrir los corchetes.

3) – asociativo o de asociación Ley del producto escalar. La constante se puede derivar del producto escalar.

A menudo, los estudiantes perciben todo tipo de propiedades (¡que también deben demostrarse!) como basura innecesaria, que sólo es necesario memorizar y olvidar de forma segura inmediatamente después del examen. Parecería que lo importante aquí es que todo el mundo ya sabe desde el primer grado que reordenar los factores no cambia el producto: . Debo advertirles que en matemáticas superiores es fácil estropear las cosas con este enfoque. Así, por ejemplo, la propiedad conmutativa no es cierta para matrices algebraicas. Tampoco es cierto para producto vectorial de vectores. Por lo tanto, como mínimo, es mejor profundizar en las propiedades que encuentre en un curso superior de matemáticas para comprender qué se puede hacer y qué no.

Ejemplo 3

.

Solución: Primero, aclaremos la situación con el vector. ¿Qué es esto de todos modos? La suma de vectores es un vector bien definido, que se denota por. Se puede encontrar una interpretación geométrica de acciones con vectores en el artículo. Vectores para tontos. El mismo perejil con un vector es la suma de los vectores y .

Entonces, según la condición, se requiere encontrar el producto escalar. En teoría, necesitas aplicar. fórmula de trabajo , pero el problema es que no conocemos las longitudes de los vectores y el ángulo entre ellos. Pero la condición proporciona parámetros similares para los vectores, por lo que tomaremos una ruta diferente:

(1) Sustituir las expresiones de los vectores.

(2) Abrimos los corchetes de acuerdo con la regla para multiplicar polinomios que se puede encontrar en el artículo; Números complejos o Integrando una función fraccionaria-racional. No me repetiré =) Por cierto, la propiedad distributiva del producto escalar nos permite abrir los paréntesis. Tenemos el derecho.

(3) En el primer y último término escribimos de forma compacta los cuadrados escalares de los vectores: . En el segundo término utilizamos la conmutabilidad del producto escalar: .

(4) Presentamos términos similares: .

(5) En el primer término utilizamos la fórmula del cuadrado escalar, que se mencionó no hace mucho. En el último término, por tanto, ocurre lo mismo: . Ampliamos el segundo término según la fórmula estándar. .

(6) Sustituya estas condiciones , y realice CUIDADOSAMENTE los cálculos finales.

Respuesta:

Significado negativo El producto escalar expresa el hecho de que el ángulo entre los vectores es obtuso.

El problema es típico, aquí tienes un ejemplo para solucionarlo tú mismo:

Ejemplo 4

Encuentre el producto escalar de vectores y si se sabe que .

Ahora otra tarea común, sólo para la nueva fórmula para la longitud de un vector. La notación aquí se superpondrá un poco, así que para mayor claridad la reescribiré con una letra diferente:

Ejemplo 5

Encuentra la longitud del vector si .

Solución será el siguiente:

(1) Proporcionamos la expresión para el vector.

(2) Usamos la fórmula de longitud: , mientras que la expresión completa ve actúa como el vector “ve”.

(3) Usamos la fórmula escolar para el cuadrado de la suma. Observe cómo funciona aquí de una manera curiosa: – de hecho, es el cuadrado de la diferencia, y, de hecho, así es. Quien lo desee puede reordenar los vectores: - Sucede lo mismo, hasta la reordenación de los términos.

(4) Lo que sigue ya nos resulta familiar gracias a los dos problemas anteriores.

Respuesta:

Ya que estamos hablando de longitud, no olvide indicar la dimensión - "unidades".

Ejemplo 6

Encuentra la longitud del vector si .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Seguimos exprimiendo cosas útiles del producto escalar. Miremos nuestra fórmula nuevamente. . Usando la regla de proporción, restablecemos las longitudes de los vectores al denominador del lado izquierdo:

Intercambiemos las piezas:

¿Cuál es el significado de esta fórmula? Si se conocen las longitudes de dos vectores y su producto escalar, entonces podemos calcular el coseno del ángulo entre estos vectores y, en consecuencia, el ángulo mismo.

¿Es un producto escalar un número? Número. ¿Las longitudes de los vectores son números? Números. Esto significa que una fracción también es un número. Y si se conoce el coseno del ángulo: , luego usando función inversa Es fácil encontrar el ángulo en sí: .

Ejemplo 7

Encuentra el ángulo entre los vectores y si se sabe que .

Solución: Usamos la fórmula:

En la etapa final de los cálculos, utilizamos técnica técnica– eliminación de la irracionalidad en el denominador. Para eliminar la irracionalidad, multipliqué el numerador y el denominador por.

Así que si , Eso:

Valores inversos funciones trigonométricas se puede encontrar por tabla trigonométrica. Aunque esto sucede raramente. En los problemas de geometría analítica, es mucho más frecuente que a algún torpe le guste , y el valor del ángulo hay que calcularlo aproximadamente con una calculadora. De hecho, veremos una imagen así más de una vez.

Respuesta:

Nuevamente, no olvide indicar las dimensiones: radianes y grados. Personalmente, para obviamente “resolver todas las preguntas”, prefiero indicar ambas (a menos que la condición, por supuesto, requiera presentar la respuesta solo en radianes o solo en grados).

Ahora puedes hacer frente de forma independiente a una tarea más compleja:

Ejemplo 7*

Se dan las longitudes de los vectores y el ángulo entre ellos. Encuentra el ángulo entre los vectores , .

La tarea no es tan difícil sino que consta de varios pasos.
Veamos el algoritmo de solución:

1) Según la condición, necesitas encontrar el ángulo entre los vectores y, por lo que necesitas usar la fórmula .

2) Encuentre el producto escalar (ver Ejemplos No. 3, 4).

3) Encuentre la longitud del vector y la longitud del vector (ver Ejemplos No. 5, 6).

4) El final de la solución coincide con el Ejemplo No. 7: conocemos el número , lo que significa que es fácil encontrar el ángulo en sí:

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

La segunda sección de la lección está dedicada al mismo producto escalar. Coordenadas. Será incluso más fácil que en la primera parte.

Producto escalar de vectores,
dado por coordenadas en base ortonormal

Respuesta:

No hace falta decir que tratar con coordenadas es mucho más agradable.

Ejemplo 14

Encuentre el producto escalar de vectores y si

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Aquí puedes usar la asociatividad de la operación, es decir, no contar, sino tomar inmediatamente el triple fuera del producto escalar y multiplicarlo por el último. La solución y la respuesta están al final de la lección.

Al final del párrafo, un ejemplo provocativo sobre cómo calcular la longitud de un vector:

Ejemplo 15

Encuentra las longitudes de los vectores. , Si

Solución: El método de la sección anterior se sugiere nuevamente: pero hay otra manera:

Encontremos el vector:

Y su longitud según la fórmula trivial. :

¡El producto escalar no es relevante aquí en absoluto!

Tampoco es útil al calcular la longitud de un vector:
Detener. ¿No deberíamos aprovechar la propiedad obvia de la longitud del vector? ¿Qué puedes decir sobre la longitud del vector? este vector 5 veces más largo que el vector. La dirección es opuesta, pero esto no importa, porque estamos hablando de longitud. Obviamente, la longitud del vector es igual al producto. módulo números por longitud de vector:
– el signo del módulo “se come” el posible menos del número.

De este modo:

Respuesta:

Fórmula para el coseno del ángulo entre vectores que se especifican mediante coordenadas

ahora tenemos información completa, de modo que la fórmula previamente derivada para el coseno del ángulo entre vectores expresar a través de coordenadas vectoriales:

Coseno del ángulo entre vectores planos. y , especificado en base ortonormal , expresado por la fórmula:
.

Coseno del ángulo entre vectores espaciales., especificado en forma ortonormal, expresado por la fórmula:

Ejemplo 16

Dados tres vértices de un triángulo. Encuentra (ángulo del vértice).

Solución: Según las condiciones, no se requiere el dibujo, pero aún así:

El ángulo requerido está marcado con un arco verde. Recordemos inmediatamente la designación de la escuela para un ángulo: – Atención especial en promedio letra: este es el vértice del ángulo que necesitamos. Para mayor brevedad, también puedes escribir simplemente .

Del dibujo se desprende claramente que el ángulo del triángulo coincide con el ángulo entre los vectores y, en otras palabras: .

Es recomendable aprender a realizar el análisis mentalmente.

Encontremos los vectores:

Calculemos el producto escalar:

Y las longitudes de los vectores:

Coseno de ángulo:

Este es exactamente el orden para completar la tarea que recomiendo para los tontos. Los lectores más avanzados pueden escribir los cálculos “en una línea”:

A continuación se muestra un ejemplo de un valor de coseno "malo". El valor resultante no es definitivo, por lo que no tiene mucho sentido deshacerse de la irracionalidad en el denominador.

Encontremos el ángulo en sí:

Si nos fijamos en el dibujo, el resultado es bastante plausible. Para comprobarlo, el ángulo también se puede medir con un transportador. No dañes la cubierta del monitor =)

Respuesta:

En la respuesta no olvidamos que preguntó sobre el ángulo de un triángulo(y no sobre el ángulo entre los vectores), no olvides indicar la respuesta exacta: y el valor aproximado del ángulo: , encontrado usando una calculadora.

Quienes hayan disfrutado del proceso podrán calcular los ángulos y comprobar la validez de la igualdad canónica.

Ejemplo 17

Un triángulo está definido en el espacio por las coordenadas de sus vértices. Encuentra el ángulo entre los lados y

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Se dedicará una breve sección final a las proyecciones, que también involucran un producto escalar:

Proyección de un vector sobre un vector. Proyección de un vector sobre ejes de coordenadas.
Cosenos de dirección de un vector

Considere los vectores y:

Proyectemos el vector sobre el vector; para hacer esto, omitimos desde el principio y el final del vector; perpendiculares a vector (verde líneas punteadas). Imagine que los rayos de luz caen perpendicularmente sobre el vector. Entonces el segmento (línea roja) será la "sombra" del vector. En este caso, la proyección del vector sobre el vector es la LONGITUD del segmento. Es decir, LA PROYECCIÓN ES UN NÚMERO.

Este NÚMERO se denota de la siguiente manera: , “vector grande” denota el vector CUAL proyecto, “vector de subíndice pequeño” denota el vector EN que se proyecta.

La entrada en sí dice así: "proyección del vector "a" sobre el vector "be".

¿Qué pasa si el vector "be" es "demasiado corto"? Dibujamos una línea recta que contiene el vector “be”. Y el vector “a” ya estará proyectado a la dirección del vector "be", simplemente - a la línea recta que contiene el vector "be". Lo mismo sucederá si el vector "a" se pospone en el trigésimo reino: aún así se proyectará fácilmente en la línea recta que contiene el vector "be".

Si el ángulo entre vectores picante(como en la imagen), entonces

Si los vectores ortogonal, entonces (la proyección es un punto cuyas dimensiones se consideran cero).

Si el ángulo entre vectores desafilado(en la figura, reorganice mentalmente la flecha del vector), luego (la misma longitud, pero tomada con un signo menos).

Tracemos estos vectores desde un punto:

Obviamente, cuando un vector se mueve, su proyección no cambia.

También habrá problemas que podrás resolver por tu cuenta, de los cuales podrás ver las respuestas.

Si en el problema tanto las longitudes de los vectores como el ángulo entre ellos se presentan "en bandeja de plata", entonces la condición del problema y su solución se ven así:

Ejemplo 1. Se dan vectores. Encuentra el producto escalar de vectores si sus longitudes y el ángulo entre ellos están representados por los siguientes valores:

También es válida otra definición, completamente equivalente a la definición 1.

Definición 2. El producto escalar de vectores es un número (escalar) igual al producto de la longitud de uno de estos vectores y la proyección de otro vector sobre el eje determinado por el primero de estos vectores. Fórmula según la definición 2:

Resolveremos el problema usando esta fórmula después del siguiente punto teórico importante.

Definición del producto escalar de vectores en términos de coordenadas.

Se puede obtener el mismo número si a los vectores que se multiplican se les dan sus coordenadas.

Definición 3. El producto escalar de vectores es un número igual a la suma de los productos por pares de sus coordenadas correspondientes.

En la superficie

Si dos vectores y en el plano están definidos por sus dos Coordenadas rectangulares cartesianas

entonces el producto escalar de estos vectores es igual a la suma de los productos por pares de sus coordenadas correspondientes:

.

Ejemplo 2. Encuentre el valor numérico de la proyección del vector sobre el eje paralelo al vector.

Solución. Encontramos el producto escalar de vectores sumando los productos por pares de sus coordenadas:

Ahora necesitamos igualar el producto escalar resultante al producto de la longitud del vector y la proyección del vector sobre un eje paralelo al vector (de acuerdo con la fórmula).

Encuentre la longitud del vector como Raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas:

.

Creamos una ecuación y la resolvemos:

Respuesta. El valor numérico requerido es menos 8.

En el espacio

Si dos vectores y en el espacio están definidos por sus tres coordenadas rectangulares cartesianas

,

entonces el producto escalar de estos vectores también es igual a la suma de los productos por pares de sus coordenadas correspondientes, solo que ya hay tres coordenadas:

.

La tarea de encontrar el producto escalar utilizando el método considerado es después de analizar las propiedades del producto escalar. Porque en el problema necesitarás determinar qué ángulo forman los vectores multiplicados.

Propiedades del producto escalar de vectores.

Propiedades algebraicas

1. (propiedad conmutativa: invertir los lugares de los vectores multiplicados no cambia el valor de su producto escalar).

2. (propiedad asociativa con respecto a un factor numérico: el producto escalar de un vector multiplicado por algún factor y otro vector es igual al producto escalar de estos vectores multiplicado por el mismo factor).

3. (propiedad distributiva relativa a la suma de vectores: el producto escalar de la suma de dos vectores por el tercer vector es igual a la suma de los productos escalares del primer vector por el tercer vector y del segundo vector por el tercer vector).

4. (cuadrado escalar de vector mayor que cero), si es un vector distinto de cero y , si es un vector cero.

Propiedades geométricas

En las definiciones de la operación en estudio ya hemos tocado el concepto de ángulo entre dos vectores. Es hora de aclarar este concepto.

En la figura anterior puedes ver dos vectores que se reducen a comienzo general. Y lo primero a lo que debes prestar atención es que hay dos ángulos entre estos vectores: φ 1 Y φ 2 . ¿Cuál de estos ángulos aparece en las definiciones y propiedades del producto escalar de vectores? La suma de los ángulos considerados es 2. π y por tanto los cosenos de estos ángulos son iguales. La definición de producto escalar incluye solo el coseno del ángulo y no el valor de su expresión. Pero las propiedades sólo consideran un ángulo. Y este es el de los dos ángulos que no excede π , es decir, 180 grados. En la figura este ángulo se indica como φ 1 .

1. Dos vectores se llaman ortogonal Y el ángulo entre estos vectores es recto (90 grados o π /2 ), si el producto escalar de estos vectores es cero :

.

La ortogonalidad en álgebra vectorial es la perpendicularidad de dos vectores.

2. Dos vectores distintos de cero forman esquina filosa (de 0 a 90 grados, o lo que es lo mismo - menos π el producto escalar es positivo .

3. Dos vectores distintos de cero forman ángulo obtuso (de 90 a 180 grados, o, lo que es lo mismo, más π /2) si y sólo si el producto escalar es negativo .

Ejemplo 3. Las coordenadas están dadas por los vectores:

.

Calcule los productos escalares de todos los pares de vectores dados. ¿Qué ángulo (agudo, recto, obtuso) forman estos pares de vectores?

Solución. Lo calcularemos sumando los productos de las coordenadas correspondientes.

Obtuvimos un número negativo, por lo que los vectores forman un ángulo obtuso.

Obtuvimos un número positivo, por lo que los vectores forman un ángulo agudo.

Obtuvimos cero, entonces los vectores forman un ángulo recto.

Obtuvimos un número positivo, por lo que los vectores forman un ángulo agudo.

.

Obtuvimos un número positivo, por lo que los vectores forman un ángulo agudo.

Para la autoprueba puede utilizar calculadora en línea Producto escalar de vectores y coseno del ángulo entre ellos .

Ejemplo 4. Se dan las longitudes de dos vectores y el ángulo entre ellos:

.

Determine a qué valor del número los vectores y son ortogonales (perpendiculares).

Solución. Multipliquemos los vectores usando la regla para multiplicar polinomios:

Ahora calculemos cada término:

.

Creemos una ecuación (el producto es igual a cero), agreguemos términos similares y resolvamos la ecuación:

Respuesta: tenemos el valor λ = 1,8, en el que los vectores son ortogonales.

Ejemplo 5. Demuestre que el vector ortogonal (perpendicular) al vector

Solución. Para comprobar la ortogonalidad, multiplicamos los vectores y como polinomios, sustituyendo en su lugar la expresión dada en el enunciado del problema:

.

Para hacer esto, debes multiplicar cada miembro (término) del primer polinomio por cada miembro del segundo y sumar los productos resultantes:

.

En el resultado resultante, la fracción se reduce en. Se obtiene el siguiente resultado:

Conclusión: como resultado de la multiplicación obtuvimos cero, por lo tanto, se prueba la ortogonalidad (perpendicularidad) de los vectores.

Resuelva el problema usted mismo y luego vea la solución.

Ejemplo 6. Las longitudes de los vectores y están dadas, y el ángulo entre estos vectores es π /4. Determinar a qué valor μ vectores y son mutuamente perpendiculares.

Para la autoprueba puede utilizar calculadora en línea Producto escalar de vectores y coseno del ángulo entre ellos .

Representación matricial del producto escalar de vectores y el producto de vectores n-dimensionales

A veces resulta ventajoso, por motivos de claridad, representar dos vectores multiplicados en forma de matrices. Luego, el primer vector se representa como una matriz de filas y el segundo como una matriz de columnas:

Entonces el producto escalar de vectores será el producto de estas matrices :

El resultado es el mismo que el obtenido por el método que ya hemos considerado. Obtuvimos un solo número, y el producto de una matriz de filas por una matriz de columnas también es un solo número.

EN forma matricial Es conveniente representar el producto de vectores abstractos de n dimensiones. Así, el producto de dos vectores de cuatro dimensiones será el producto de una matriz de filas con cuatro elementos por una matriz de columnas también con cuatro elementos, el producto de dos vectores de cinco dimensiones será el producto de una matriz de filas con cinco elementos por una matriz de columnas también con cinco elementos, y así sucesivamente.

Ejemplo 7. Encuentra productos escalares de pares de vectores.

,

usando representación matricial.

Solución. El primer par de vectores. Representamos el primer vector como una matriz de filas y el segundo como una matriz de columnas. Encontramos el producto escalar de estos vectores como el producto de una matriz de filas y una matriz de columnas:

Representamos de manera similar el segundo par y encontramos:

Como puede ver, los resultados fueron los mismos que para los mismos pares del ejemplo 2.

Ángulo entre dos vectores

La derivación de la fórmula para el coseno del ángulo entre dos vectores es muy bonita y concisa.

Para expresar el producto escalar de vectores.

(1)

en forma de coordenadas, primero encontramos el producto escalar de los vectores unitarios. El producto escalar de un vector consigo mismo por definición:

Lo que está escrito en la fórmula anterior significa: el producto escalar de un vector consigo mismo es igual al cuadrado de su longitud. El coseno de cero es igual a uno, por lo que el cuadrado de cada unidad será igual a uno:

Desde vectores

son perpendiculares por pares, entonces los productos por pares de los vectores unitarios serán iguales a cero:

Ahora realicemos la multiplicación de polinomios vectoriales:

Sustituimos los valores de los productos escalares correspondientes de los vectores unitarios en el lado derecho de la igualdad:

Obtenemos la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores:

Ejemplo 8. Se dan tres puntos A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Encuentra el ángulo.

Solución. Encontrar las coordenadas de los vectores:

,

.

Usando la fórmula del ángulo coseno obtenemos:

Por eso, .

Para la autoprueba puede utilizar calculadora en línea Producto escalar de vectores y coseno del ángulo entre ellos .

Ejemplo 9. Se dan dos vectores

Encuentra la suma, la diferencia, la longitud, el producto escalar y el ángulo entre ellos.

I. El producto escalar desaparece si y sólo si al menos uno de los vectores es cero o si los vectores son perpendiculares. De hecho, si o, o entonces.

Por el contrario, si los vectores multiplicados no son cero, entonces debido a la condición

cuando sigue:

Dado que la dirección del vector cero es incierta, el vector cero puede considerarse perpendicular a cualquier vector. Por lo tanto, la propiedad indicada del producto escalar se puede formular más brevemente: el producto escalar desaparece si y sólo si los vectores son perpendiculares.

II. El producto escalar tiene la propiedad conmutativa:

Esta propiedad se deriva directamente de la definición:

porque diferentes designaciones para el mismo ángulo.

III. La ley distributiva es extremadamente importante. Su aplicación es tan grande como en la aritmética o el álgebra ordinaria, donde se formula de la siguiente manera: para multiplicar una suma, es necesario multiplicar cada término y sumar los productos resultantes, es decir

Obviamente, la multiplicación números de varios dígitos en aritmética o polinomios en álgebra se basa en esta propiedad de la multiplicación.

Esta ley tiene el mismo significado básico en álgebra vectorial, ya que a partir de ella podemos aplicar la regla habitual para multiplicar polinomios por vectores.

Demostremos que para tres vectores cualesquiera A, B, C se cumple la siguiente igualdad:

Según la segunda definición del producto escalar, expresada por la fórmula, obtenemos:

Aplicando ahora la propiedad de 2 proyecciones del § 5, encontramos:

Q.E.D.

IV. El producto escalar tiene la propiedad de combinabilidad respecto de un factor numérico; esta propiedad se expresa mediante la siguiente fórmula:

es decir, para multiplicar el producto escalar de vectores por un número, basta con multiplicar uno de los factores por este número.