Calcul d'un cercle par diamètre. Comment trouver et quelle sera la circonférence d’un cercle ?

Un cercle est une courbe fermée dont tous les points sont à la même distance du centre. Ce chiffre est plat. Par conséquent, la solution au problème, dont la question est de savoir comment trouver la circonférence, est assez simple. Nous examinerons toutes les méthodes disponibles dans l'article d'aujourd'hui.

Description des figures

En plus d'une définition descriptive assez simple, il existe trois autres caractéristiques mathématiques d'un cercle, qui contiennent en elles-mêmes la réponse à la question de savoir comment trouver la circonférence :

• Se compose des points A et B et de tous les autres à partir desquels AB peut être vu à angle droit. Le diamètre de cette figure est égal à la longueur du segment considéré.
• Comprend uniquement les points X tels que le rapport AX/BX est constant et différent de un. Si cette condition n’est pas remplie, alors ce n’est pas un cercle.
• Il est constitué de points pour chacun desquels l'égalité suivante est vraie : la somme des carrés des distances aux deux autres est une valeur donnée, qui est toujours supérieure à la moitié de la longueur du segment qui les sépare.

Terminologie

Tout le monde à l’école n’avait pas un bon professeur de mathématiques. Par conséquent, la réponse à la question de savoir comment trouver la circonférence est encore compliquée par le fait que tout le monde ne connaît pas les concepts géométriques de base. Le rayon est un segment qui relie le centre d'une figure à un point d'une courbe. Un cas particulier en trigonométrie est cercle unitaire. Une corde est un segment qui relie deux points sur une courbe. Par exemple, l'AB déjà évoqué relève de cette définition. Le diamètre est la corde passant par le centre. Le nombre π est égal à la longueur d’un demi-cercle unité.

Formules de base

Des définitions, il découle directement formules géométriques, qui permettent de calculer les principales caractéristiques d'un cercle :

1. La longueur est égale au produit du nombre π et du diamètre. La formule s'écrit généralement comme suit : C = π*D.
2. Le rayon est égal à la moitié du diamètre. Il peut également être calculé en calculant le quotient de la circonférence divisée par deux fois le nombre π. La formule ressemble à ceci : R = C/(2* π) = D/2.
3. Le diamètre est égal au quotient de la circonférence divisé par π ou deux fois le rayon. La formule est assez simple et ressemble à ceci : D = C/π = 2*R.
4. L'aire d'un cercle est égale au produit de π et du carré du rayon. De même, le diamètre peut être utilisé dans cette formule. Dans ce cas, l'aire sera égale au quotient du produit de π et du carré du diamètre divisé par quatre. La formule peut s'écrire comme suit : S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Comment trouver la circonférence d'un cercle par diamètre

Pour simplifier l'explication, désignons par des lettres les caractéristiques du chiffre nécessaires au calcul. Soit C la longueur souhaitée, D son diamètre, et π environ égal à 3,14. Si nous n’avons qu’une seule quantité connue, alors le problème peut être considéré comme résolu. Pourquoi est-ce nécessaire dans la vie ? Supposons que nous décidions d’entourer une piscine ronde d’une clôture. Comment calculer quantité requise Colonnes? Et ici, la capacité de calculer la circonférence vient à la rescousse. La formule est la suivante : C = π D. Dans notre exemple, le diamètre est déterminé en fonction du rayon de la piscine et de la distance requise par rapport à la clôture. Par exemple, supposons que notre étang artificiel domestique mesure 20 mètres de large et que nous allons placer les poteaux à une distance de dix mètres de celui-ci. Le diamètre du cercle résultant est de 20 + 10*2 = 40 m. La longueur est de 3,14*40 = 125,6 mètres. Nous aurons besoin de 25 poteaux si l'écart entre eux est d'environ 5 m.

Longueur à travers le rayon

Comme toujours, commençons par attribuer des lettres aux caractéristiques du cercle. En fait, ils sont universels, donc les mathématiciens de différents pays Il n'est pas du tout nécessaire de connaître la langue de chacun. Supposons que C soit la circonférence du cercle, r soit son rayon et π soit approximativement égal à 3,14. La formule dans ce cas ressemble à ceci : C = 2*π*r. Il s’agit évidemment d’une équation tout à fait correcte. Comme nous l'avons déjà compris, le diamètre d'un cercle est égal à deux fois son rayon, cette formule ressemble donc à ceci. Dans la vie, cette méthode peut aussi souvent s'avérer utile. Par exemple, nous préparons un gâteau sous une forme coulissante spéciale. Pour éviter qu'il ne se salit, nous avons besoin d'un emballage décoratif. Mais comment découper un cercle de la taille requise. C’est là que les mathématiques viennent à la rescousse. Ceux qui savent connaître la circonférence d'un cercle diront immédiatement qu'il faut multiplier le nombre π par deux fois le rayon de la forme. Si son rayon est de 25 cm, alors sa longueur sera de 157 centimètres.

Exemples de problèmes

Nous avons déjà examiné plusieurs cas pratiques de connaissances acquises sur la manière de connaître la circonférence d'un cercle. Mais souvent, nous ne nous préoccupons pas d'eux, mais de la réalité. Problèmes mathématiques qui sont contenus dans le manuel. Après tout, le professeur leur donne des points ! Examinons donc un problème plus complexe. Supposons que la circonférence du cercle soit de 26 cm. Comment trouver le rayon d'une telle figure ?

Exemple de solution

Tout d'abord, écrivons ce qu'on nous donne : C = 26 cm, π = 3,14. Rappelez-vous également la formule : C = 2* π*R. De là, vous pouvez extraire le rayon du cercle. Ainsi, R= C/2/π. Passons maintenant au calcul proprement dit. Tout d’abord, divisez la longueur par deux. Nous obtenons 13. Il faut maintenant diviser par la valeur du nombre π : 13/3,14 = 4,14 cm Il est important de ne pas oublier d'écrire la réponse correctement, c'est-à-dire avec des unités de mesure, sinon toute la signification pratique de. de tels problèmes sont perdus. De plus, pour une telle inattention, vous pouvez obtenir une note inférieure d'un point. Et aussi ennuyeux que cela puisse être, vous devrez supporter cet état de fait.

La bête n'est pas aussi effrayante qu'elle est peinte

Nous avons donc affronté une tâche si difficile à première vue. Il s'avère qu'il vous suffit de comprendre le sens des termes et de mémoriser quelques formules simples. Les mathématiques ne font pas si peur, il suffit de faire un petit effort. Alors la géométrie vous attend !

Cela ressemble souvent à une partie d’un plan délimité par un cercle. La circonférence d'un cercle est une courbe plate et fermée. Tous les points situés sur la courbe sont à la même distance du centre du cercle. Dans un cercle, sa longueur et son périmètre sont les mêmes. Le rapport entre la longueur de tout cercle et son diamètre est constant et est désigné par le nombre π = 3,1415.

Déterminer le périmètre d'un cercle

Le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à deux fois le produit du rayon r et le nombre π(~3,1415)

Formule de périmètre de cercle

Périmètre d'un cercle de rayon \(r\) :

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – périmètre (circonférence).

\(r\) – rayon.

\(d\) – diamètre.

Nous appellerons un cercle une figure géométrique composée de tous les points situés à la même distance d’un point donné.

Centre du cercle nous appellerons le point spécifié dans la définition 1.

Rayon du cercle nous appellerons la distance du centre de ce cercle à l'un de ses points.

Dans le système de coordonnées cartésiennes \(xOy\) on peut également introduire l'équation de n'importe quel cercle. Notons le centre du cercle par le point \(X\) , qui aura pour coordonnées \((x_0,y_0)\) . Soit le rayon de ce cercle égal à \(τ\) . Prenons un point arbitraire \(Y\) dont nous désignons les coordonnées par \((x,y)\) (Fig. 2).

En utilisant la formule de la distance entre deux points dans notre système de coordonnées donné, nous obtenons :

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

D'autre part, \(|XY| \) est la distance entre n'importe quel point du cercle et le centre que nous avons choisi. Autrement dit, par définition 3, nous obtenons que \(|XY|=τ\) , donc

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Ainsi, nous obtenons que l'équation (1) est l'équation d'un cercle dans le système de coordonnées cartésiennes.

Circonférence (périmètre d'un cercle)

Nous dériverons la longueur d'un cercle arbitraire \(C\) en utilisant son rayon égal à \(τ\) .

Nous en considérerons deux cercles arbitraires. Notons leurs longueurs par \(C\) et \(C"\) , dont les rayons sont égaux à \(τ\) et \(τ"\) . On inscrira dans ces cercles des \(n\)-gons réguliers dont les périmètres sont égaux à \(ρ\) et \(ρ"\), les longueurs des côtés sont égales à \(α\) et \ (α"\), respectivement. Comme on le sait, le côté d’un carré régulier \(n\) inscrit dans un cercle est égal à

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Ensuite, nous obtiendrons cela

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Nous comprenons que la relation \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) sera vrai quel que soit le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits. C'est

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

En revanche, si l'on augmente infiniment le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits (c'est-à-dire \(n→∞\)), on obtient l'égalité :

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Des deux dernières égalités on obtient que

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

On voit que le rapport de la circonférence d'un cercle à son double rayon est toujours le même nombre, quel que soit le choix du cercle et de ses paramètres, c'est-à-dire

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Cette constante doit être appelée le nombre « pi » et notée \(π\) . Approximativement, ce nombre sera égal à \(3.14\) ( valeur exacte ce nombre n'existe pas, puisque c'est un nombre irrationnel). Ainsi

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Enfin, on constate que la circonférence (périmètre d'un cercle) est déterminée par la formule

\(C=2πτ\)

Une règle seule ne suffit pas ; il faut connaître des formules spéciales. La seule chose que nous devons faire est de déterminer le diamètre ou le rayon du cercle. Dans certains problèmes, ces quantités sont indiquées. Mais que se passe-t-il si nous n’avons rien d’autre qu’un dessin ? Aucun problème. Le diamètre et le rayon peuvent être calculés à l'aide d'une règle ordinaire. Passons maintenant à l'essentiel.

Des formules que tout le monde devrait connaître

Il y a près de 4 000 ans, les scientifiques ont découvert une relation étonnante : si la circonférence d'un cercle est divisée par son diamètre, le résultat est le même nombre, soit environ 3,14. Cette signification a été nommée avec cette lettre dans la langue grecque ancienne, les mots « périmètre » et « circonférence » commençaient. Sur la base des découvertes faites par d'anciens scientifiques, vous pouvez calculer la longueur de n'importe quel cercle :

Où P désigne la longueur (périmètre) du cercle,

D - diamètre, P - nombre "Pi".

La circonférence d'un cercle peut également être calculée par son rayon (r), qui est égal à la moitié de la longueur du diamètre. Voici la deuxième formule à retenir :

Comment connaître le diamètre d'un cercle ?

C'est une corde qui passe par le centre de la figure. En même temps, il relie les deux points les plus éloignés du cercle. Sur cette base, vous pouvez dessiner indépendamment le diamètre (rayon) et mesurer sa longueur à l'aide d'une règle.

Méthode 1 : entrez triangle rectangle dans un cercle

Calculer la circonférence d'un cercle ne sera pas difficile si l'on trouve son diamètre. Il faut tracer un cercle où l'hypoténuse sera égale au diamètre du cercle. Pour ce faire, vous devez avoir une règle et une équerre sous la main, sinon rien ne fonctionnera.

Méthode 2 : ajuster n’importe quel triangle

Sur le côté du cercle, nous marquons trois points quelconques, les connectons - nous obtenons un triangle. Il est important que le centre du cercle se situe dans la zone du triangle ; cela peut être fait à l'œil nu. On trace des médianes de chaque côté du triangle, le point de leur intersection coïncide avec le centre du cercle. Et quand on connaît le centre, on peut facilement tracer le diamètre à l’aide d’une règle.

Cette méthode est très similaire à la première, mais peut être utilisée en l'absence de carré ou dans les cas où il n'est pas possible de dessiner sur une figure, par exemple sur une plaque. Vous devez prendre une feuille de papier à angles droits. Nous appliquons la feuille au cercle de manière à ce qu'un sommet de son coin touche le bord du cercle. Ensuite, marquez avec des points les endroits où les côtés du papier se croisent avec la ligne circulaire. Reliez ces points à l’aide d’un crayon et d’une règle. Si vous n'avez rien sous la main, pliez simplement le papier. Cette ligne sera égale à la longueur du diamètre.

Exemple de tâche

1. Nous recherchons le diamètre à l'aide d'une équerre, d'une règle et d'un crayon selon la méthode n°1. Supposons qu'il s'avère être de 5 cm.
2. Connaissant le diamètre, nous pouvons facilement l'insérer dans notre formule : P = d P = 5 * 3,14 = 15,7 Dans notre cas, il s'est avéré être d'environ 15,7. Vous pouvez maintenant facilement expliquer comment calculer la circonférence d’un cercle.

Élèves de la classe écoles secondaires au cours du cours, ils étudient le cercle et le cercle en tant que figure géométrique, ainsi que tout ce qui touche à cette figure. Les enfants se familiarisent avec des notions telles que rayon et diamètre, circonférence ou périmètre, aire d'un cercle. C'est sur ce sujet qu'ils découvrent le mystérieux nombre Pi - c'est le nombre de Ludolph, comme on l'appelait auparavant. Le nombre Pi est irrationnel, puisque sa représentation sous la forme décimal sans cesse. En pratique, sa version tronquée de trois nombres est utilisée : 3.14. Cette constante exprime le rapport entre la longueur d'un cercle et son diamètre.
Les élèves de sixième année résolvent des problèmes en déduisant, à partir des mêmes données et du nombre « Pi », les caractéristiques restantes d'un cercle et d'un cercle. Dans des cahiers et au tableau, ils dessinent des sphères abstraites à l’échelle et font des calculs dénués de sens.

Mais en pratique

Dans la pratique, un tel problème peut survenir dans une situation où, par exemple, il est nécessaire de tracer un parcours d'une certaine longueur pour organiser une compétition avec le départ et l'arrivée au même endroit. Après avoir calculé le rayon, vous pouvez sélectionner le passage de cet itinéraire sur le plan, boussole en main, en considérant les options, en tenant compte caractéristiques géographiques région. En déplaçant le pied de la boussole - le centre équidistant du futur itinéraire, il est déjà possible à ce stade de prévoir où dans les tronçons il y aura des montées et où il y aura des descentes, en tenant compte des différences naturelles du relief. Vous pouvez également décider immédiatement des zones où il est préférable de placer les stands pour les fans.

Rayon d'un cercle

Supposons donc que pour une compétition d'autocross vous ayez besoin d'une piste circulaire de 10 000 m de long. Voici la formule nécessaire pour déterminer le rayon (R) d'un cercle étant donné sa longueur (C) :
R=C/2п (п – nombre égal à 3,14).
En remplaçant les valeurs disponibles, vous pouvez facilement obtenir le résultat :
R = 10 000 : 3,14 = 3 184,71 (m) soit 3 km 184 m et 71 cm.

Du rayon à la zone

Connaissant le rayon du cercle, vous pouvez facilement déterminer la zone qui sera retirée du paysage. Formule pour l'aire d'un cercle (S) : S=пR2
À R = 3 184,71 m, ce sera : S = 3,14 x 3 184,71 x 3 184,71 = 31 847 063 (m²) soit près de 32 kilomètres carrés.

Des calculs similaires peuvent être utiles lors de la clôture. Par exemple, vous disposez de suffisamment de matériel pour une clôture. En prenant cette valeur comme périmètre du cercle, vous pouvez facilement déterminer son diamètre (rayon) et sa superficie et, par conséquent, imaginer visuellement la taille de la future zone clôturée.

Un cercle est constitué de nombreux points situés à égales distances du centre. C'est plat figure géométrique, et trouver sa longueur n'est pas difficile. Une personne rencontre un cercle et un cercle chaque jour, quel que soit le domaine dans lequel elle travaille. Beaucoup de légumes et de fruits, les appareils et mécanismes, la vaisselle et les meubles sont de forme ronde. Un cercle est l’ensemble des points situés à l’intérieur des limites du cercle. La longueur de la figure est donc égale au périmètre du cercle.

Caractéristiques de la figurine

Outre le fait que la description du concept de cercle est assez simple, ses caractéristiques sont également faciles à comprendre. Avec leur aide, vous pouvez calculer sa longueur. Intérieur Le cercle est constitué de nombreux points, parmi lesquels deux - A et B - sont visibles à angle droit. Ce segment s'appelle le diamètre, il est constitué de deux rayons.

Dans le cercle il y a des points X tels que, qui ne change pas et n'est pas égal à l'unité, le rapport AX/BX. Dans un cercle, cette condition doit être remplie ; sinon, cette figure n’a pas la forme d’un cercle. La règle s'applique à chaque point qui compose la figure : la somme des carrés des distances de ces points aux deux autres dépasse toujours la moitié de la longueur du segment qui les sépare.

Termes du cercle de base

Afin de pouvoir déterminer la longueur d’une figure, vous devez connaître les termes de base qui s’y rapportent. Les principaux paramètres de la figure sont le diamètre, le rayon et la corde. Le rayon est le segment reliant le centre du cercle à n'importe quel point de sa courbe. La grandeur d'une corde est égale à la distance entre deux points de la courbe de la figure. Diamètre - distance entre les points, passant par le centre de la figure.

Formules de base pour les calculs

Les paramètres sont utilisés dans les formules de calcul des dimensions d'un cercle :

Diamètre dans les formules de calcul

En économie et en mathématiques, il est souvent nécessaire de trouver la circonférence d’un cercle. Mais aussi dans Vie courante Vous pourriez rencontrer ce besoin, par exemple, lors de la construction d’une clôture autour d’une piscine ronde. Comment calculer la circonférence d'un cercle par diamètre ? Dans ce cas, utilisez la formule C = π*D, où C est la valeur souhaitée, D est le diamètre.

Par exemple, la largeur de la piscine est de 30 mètres et il est prévu que les poteaux de clôture soient placés à une distance de dix mètres de celle-ci. Dans ce cas, la formule de calcul du diamètre est : 30+10*2 = 50 mètres. La valeur requise (dans cet exemple, la longueur de la clôture) : 3,14*50 = 157 mètres. Si les poteaux de clôture sont situés à une distance de trois mètres les uns des autres, il en faudra au total 52.

Calculs de rayon

Comment calculer la circonférence d'un cercle à partir d'un rayon connu ? Pour ce faire, utilisez la formule C = 2*π*r, où C est la longueur, r est le rayon. Le rayon d'un cercle est la moitié du diamètre, et cette règle peut être utile dans la vie de tous les jours. Par exemple, dans le cas de la préparation d'une tarte sous forme coulissante.

Pour éviter que le produit culinaire ne se salisse, il est nécessaire d'utiliser un emballage décoratif. Comment découper un cercle de papier de la taille appropriée ?

Ceux qui connaissent un peu les mathématiques comprennent que dans ce cas il faut multiplier le nombre π par deux fois le rayon de la forme utilisée. Par exemple, le diamètre de la forme est respectivement de 20 centimètres et son rayon est de 10 centimètres. En utilisant ces paramètres, la taille de cercle requise est trouvée : 2*10*3, 14 = 62,8 centimètres.

Des méthodes de calcul pratiques

S'il n'est pas possible de trouver la circonférence à l'aide de la formule, vous devez alors utiliser les méthodes disponibles pour calculer cette valeur :

• Si un objet rond est petit, sa longueur peut être déterminée à l’aide d’une corde enroulée une fois autour de lui.
• La taille d'un gros objet est mesurée comme suit : une corde est disposée sur une surface plane et un cercle est enroulé une fois le long de celle-ci.
• Les étudiants et écoliers modernes utilisent des calculatrices pour les calculs. En ligne, vous pouvez découvrir des quantités inconnues en utilisant des paramètres connus.

Objets ronds dans l'histoire de la vie humaine

Le premier produit de forme ronde inventé par l’homme était la roue. Les premières structures étaient de petites bûches rondes montées sur un essieu. Puis vinrent les roues faites de rayons et de jantes en bois. Progressivement, des pièces métalliques ont été ajoutées au produit pour réduire l'usure. C'est pour connaître la longueur des bandes métalliques destinées au revêtement des roues que les scientifiques des siècles passés cherchaient une formule permettant de calculer cette valeur.

A une forme de roue tour de potier , la plupart des pièces dans des mécanismes complexes, des conceptions de moulins à eau et des rouets. Les objets ronds se trouvent souvent dans la construction - les cadres de fenêtres rondes en style roman style architectural, hublots dans les navires. Architectes, ingénieurs, scientifiques, mécaniciens et designers au quotidien dans leur domaine activité professionnelle sont confrontés à la nécessité de calculer la taille d’un cercle.