Introduction
Les logarithmes ont été inventés pour accélérer et simplifier les calculs. L'idée d'un logarithme, c'est-à-dire l'idée d'exprimer les nombres sous forme de puissances de même base, appartient à Mikhail Stiefel. Mais à l’époque de Stiefel, les mathématiques n’étaient pas aussi développées et l’idée du logarithme n’était pas développée. Les logarithmes ont ensuite été inventés simultanément et indépendamment les uns des autres par le scientifique écossais John Napier (1550-1617) et le Suisse Jobst Burgi (1552-1632) fut le premier à publier ces travaux en 1614. intitulée "Description de l'étonnante table des logarithmes", la théorie des logarithmes de Napier a été donnée en suffisamment en entier, la méthode de calcul des logarithmes est la plus simple, donc les mérites de Napier dans l'invention des logarithmes sont supérieurs à ceux de Bürgi. Burgi travailla sur les tableaux en même temps que Napier, mais les garda longtemps secrets et ne les publia qu'en 1620. Napier maîtrisa l'idée du logarithme vers 1594. bien que les tableaux aient été publiés 20 ans plus tard. Au début, il appela ses logarithmes « nombres artificiels » et ce n'est qu'ensuite qu'il proposa d'appeler ces « nombres artificiels » en un seul mot « logarithme », qui, traduit du grec, signifie « nombres corrélés », tirés l'un d'une progression arithmétique et l'autre d'un progression géométrique spécialement sélectionnée pour cela. Les premiers tableaux en russe furent publiés en 1703. avec la participation d'un merveilleux professeur du XVIIIe siècle. L.F. Magnitski. Dans le développement de la théorie des logarithmes grande importance avait les œuvres de l'académicien de Saint-Pétersbourg Leonhard Euler. Il fut le premier à considérer les logarithmes comme l'inverse de l'élévation à une puissance ; il introduisit les termes « base du logarithme » et « mantisse ». Briggs a compilé des tableaux de logarithmes en base 10. Les tableaux décimaux sont plus pratiques pour une utilisation pratique, leur théorie est la suivante. plus simple que celui des logarithmes de Napier. Par conséquent, les logarithmes décimaux sont parfois appelés logarithmes de Briggs. Le terme « caractérisation » a été introduit par Briggs.
À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Mais il y avait des tas, ainsi que des pots et des paniers, qui étaient parfaits pour servir de caches de stockage pouvant contenir un nombre indéterminé d'objets. Chez les anciens problèmes mathématiques Mésopotamie, Inde, Chine, Grèce, des grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau, l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Scribes, fonctionnaires et prêtres initiés aux connaissances secrètes, bien formés à la science comptable, s'acquittèrent de ces tâches avec beaucoup de succès.
Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Cependant, pas un seul papyrus ou tablette d’argile ne contient une description de ces techniques. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ». En ce sens, l'exception est « l'Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes pour composer des équations avec une présentation systématique de leurs solutions.
Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'ouvrage du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot "al-jabr" du nom arabe de ce traité - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Livre de restauration et d'opposition") - s'est transformé au fil du temps en le mot bien connu "algèbre", et al- Les travaux de Khwarizmi eux-mêmes ont servi de point de départ au développement de la science de la résolution des équations.
Équations logarithmiques et inégalités
1. Équations logarithmiques
Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme ou à sa base s'appelle équation logarithmique.
L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme
enregistrer un X = b . (1)
Déclaration 1. Si un > 0, un≠ 1, équation (1) pour tout réel b a une solution unique X = un B .
Exemple 1. Résolvez les équations :
a) journal 2 X= 3, b) journal 3 X= -1,c)
Solution. En utilisant l’énoncé 1, nous obtenons a) X= 2 3 ou X= 8 ; b) X= 3 -1 ou X= 1 / 3 ; c)
ou X = 1.Présentons les propriétés de base du logarithme.
P1. Identité logarithmique de base :
Où un > 0, un≠ 1 et b > 0.
P2. Logarithme du produit de facteurs positifs égal à la somme logarithmes de ces facteurs :
enregistrer un N 1 · N 2 = journal un N 1 + journal un N 2 (un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Commentaire. Si N 1 · N 2 > 0, alors la propriété P2 prend la forme
enregistrer un N 1 · N 2 = journal un |N 1 | + journal un |N 2 | (un > 0, un ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. Le logarithme du quotient de deux nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur
(un
> 0, un
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Commentaire. Si
, (ce qui équivaut N 1 N 2 > 0) alors la propriété P3 prend la forme
(un
> 0, un
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Le logarithme de la puissance d'un nombre positif est égal au produit de l'exposant et du logarithme de ce nombre :
enregistrer un N k = k enregistrer un N (un > 0, un ≠ 1, N > 0).
Commentaire. Si k - nombre pair (k = 2s), Que
enregistrer un N 2s = 2s enregistrer un |N | (un > 0, un ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Formule pour déménager dans une autre base :
(un
> 0, un
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
en particulier si N = b, on a
(un > 0, un ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)En utilisant les propriétés P4 et P5, il est facile d'obtenir les propriétés suivantes
(un
> 0, un
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(un
> 0, un
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(un
> 0, un
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
et, si en (5) c- nombre pair ( c = 2n), se produit
(b
> 0, un
≠ 0, |un
| ≠ 1). (6)
Listons les principales propriétés de la fonction logarithmique F (X) = journal un X :
1. Le domaine de définition d'une fonction logarithmique est l'ensemble des nombres positifs.
2. La plage de valeurs de la fonction logarithmique est l'ensemble des nombres réels.
3. Quand un> 1 fonction logarithmique est strictement croissante (0< X 1 < X 2log un X 1 < logun X 2), et à 0< un < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log un X 1 > journal un X 2).
4. journal un 1 = 0 et journal un un = 1 (un > 0, un ≠ 1).
5. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est négative lorsque X(0;1) et positif à X(1;+∞), et si 0< un < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) et négatif à X (1;+∞).
6. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est convexe vers le haut, et si un(0;1) - convexe vers le bas.
Les instructions suivantes (voir, par exemple) sont utilisées lors de la résolution d'équations logarithmiques.
Une inégalité est dite logarithmique si elle contient une fonction logarithmique.
Méthodes de résolution inégalités logarithmiques pas différent de , sauf pour deux choses.
Premièrement, lorsqu'on passe de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sublogarithmiques, il faut suivre le signe de l'inégalité résultante. Il obéit à la règle suivante.
Si la base de la fonction logarithmique est supérieure à 1$, alors lors du passage de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, le signe de l'inégalité est conservé, mais s'il est inférieur à 1$, alors il change à l'opposé .
Deuxièmement, la solution de toute inégalité est un intervalle, et, par conséquent, à la fin de la résolution de l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, il est nécessaire de créer un système de deux inégalités : la première inégalité de ce système sera l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, et le second sera l'intervalle du domaine de définition des fonctions logarithmiques incluses dans l'inégalité logarithmique.
Pratique.
Résolvons les inégalités :
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y) : \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
La base du logarithme est $2>1$, donc le signe ne change pas. En utilisant la définition du logarithme, on obtient :
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )