प्रिज्म किस बहुभुज से बना होता है? सीधा प्रिज्म - ज्ञान हाइपरमार्केट

परिभाषा। चश्मेएक बहुफलक है, जिसके सभी शीर्ष दो समानांतर तलों में स्थित हैं, और इन्हीं दो तलों में प्रिज्म के दो फलक स्थित हैं, जो क्रमशः समान बहुभुज हैं समानांतर भुजाएँ, और इन तलों में न पड़े सभी किनारे समानांतर हैं।

दो समान चेहरेकहा जाता है प्रिज्म आधार(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).

प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं पार्श्व चेहरे(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।

सभी पार्श्व चेहरेरूप प्रिज्म की पार्श्व सतह .

प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज हैं .

वे किनारे जो आधारों पर स्थित नहीं होते, प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं ( एए 1, बीबी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).

प्रिज्म विकर्ण एक खंड है जिसके सिरे एक प्रिज्म के दो शीर्ष हैं जो एक ही फलक पर नहीं हैं (AD 1)।

प्रिज्म के आधारों तथा दोनों आधारों के लंब को एक ही समय में जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म की ऊंचाई .

पद का नाम:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (पहले, ट्रैवर्सल क्रम में, एक आधार के शीर्षों को इंगित किया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को समान अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, केवल एक आधार में स्थित शीर्षों को निर्दिष्ट किया जाता है बिना किसी अनुक्रमणिका वाले अक्षरों द्वारा, और दूसरे में - एक अनुक्रमणिका के साथ)

प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या से जुड़ा है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में आधार पर एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन क्योंकि ऐसे प्रिज्म के 7 चेहरे हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक - प्रिज्म के आधार, 5 फलक - समांतर चतुर्भुज, - इसके पार्श्व फलक)

सीधे प्रिज्मों के बीच, एक विशेष प्रकार सामने आता है: नियमित प्रिज्म।

सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।

समानांतर खात

आयताकार समान्तर चतुर्भुज- एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।

गुण और प्रमेय:

,

जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
a वर्ग की भुजा है.

प्रिज्म का एक विचार निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

• विभिन्न स्थापत्य संरचनाएँ;
• बच्चों के खिलौने;
• पैकेजिंग बक्से;
• डिजाइनर आइटम, आदि

प्रिज्म की कुल एवं पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

एस पूर्ण = एस पक्ष + 2एस मुख्य,

कहाँ एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्र, एस ओर-पार्श्व सतह क्षेत्र, एस आधार- आधार क्षेत्र

एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.

एस ओर= पी बेसिक * एच,

कहाँ एस ओर-सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल,

पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,

h सीधे प्रिज्म की ऊंचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।

प्रिज्म आयतन

प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

1. सबसे छोटी संख्याचतुष्फलक में 6 किनारे होते हैं।

2. एक प्रिज्म के n फलक होते हैं। इसके आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है?

(एन - 2) - वर्ग।

3. क्या कोई प्रिज्म सीधा है यदि उसके दो आसन्न पार्श्व फलक आधार के तल के लंबवत हों?

हां यह है।

4. किस प्रिज्म में पार्श्व किनारे उसकी ऊंचाई के समानांतर हैं?

सीधे प्रिज्म में.

5. क्या एक प्रिज्म नियमित है यदि उसके सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों?

नहीं, यह प्रत्यक्ष नहीं हो सकता.

6. क्या झुके हुए प्रिज्म के किसी एक पार्श्व फलक की ऊंचाई भी प्रिज्म की ऊंचाई हो सकती है?

हां, यदि यह फलक आधार से लंबवत है।

7. क्या कोई प्रिज्म है जिसमें: क) पार्श्व किनारा आधार के केवल एक किनारे पर लंबवत है; ख) केवल एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है?

क) हाँ. बी) नहीं.

8. एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म आधारों की मध्य रेखाओं से गुजरने वाले एक विमान द्वारा दो प्रिज्मों में विभाजित होता है। इन प्रिज्मों के पार्श्व सतह क्षेत्रों का अनुपात क्या है?

प्रमेय 27 से हम पाते हैं कि पार्श्व सतहों का अनुपात 5:3 है

9. यदि पिरामिड के पार्श्व फलक नियमित त्रिभुज हों तो क्या पिरामिड नियमित होगा?

10. एक पिरामिड के आधार तल पर लंबवत कितने फलक हो सकते हैं?

11. क्या कोई चतुर्भुज पिरामिड है जिसके विपरीत पार्श्व फलक आधार से लंबवत हैं?

नहीं, अन्यथा पिरामिड के शीर्ष से होकर, आधारों के लंबवत, कम से कम दो सीधी रेखाएँ गुजरती होंगी।

12. क्या त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी फलक समकोण त्रिभुज हो सकते हैं?

हाँ (चित्र 183)।

सीधे प्रिज्म के बारे में सामान्य जानकारी

प्रिज्म की पार्श्व सतह (अधिक सटीक रूप से, पार्श्व सतह क्षेत्र) कहलाती है जोड़पार्श्व चेहरों के क्षेत्र. पूर्ण सतहप्रिज्म पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

प्रमेय 19.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई, यानी पार्श्व किनारे की लंबाई के उत्पाद के बराबर होती है।

सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं। इन आयतों के आधार प्रिज्म के आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाएँ हैं, और ऊँचाई पार्श्व किनारों की लंबाई के बराबर है। यह उसी का अनुसरण करता है पार्श्व सतहप्रिज्म बराबर है

एस = ए 1 एल + ए 2 एल + ... + ए एन एल = पीएल,

जहां a 1 और n आधार किनारों की लंबाई हैं, p प्रिज्म के आधार की परिधि है, और I पार्श्व किनारों की लंबाई है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

व्यावहारिक कार्य

समस्या (22) . इसे एक झुके हुए प्रिज्म में किया जाता है अनुभाग, पार्श्व पसलियों के लंबवत और सभी पार्श्व पसलियों को काटते हुए। प्रिज्म की पार्श्व सतह ज्ञात करें यदि अनुभाग की परिधि p के बराबर है और पार्श्व किनारे l के बराबर हैं।

समाधान। खींचे गए खंड का तल प्रिज्म को दो भागों में विभाजित करता है (चित्र 411)। आइए उनमें से एक को प्रिज्म के आधारों को मिलाकर समानांतर अनुवाद के अधीन करें। इस मामले में, हमें एक सीधा प्रिज्म मिलता है, जिसका आधार मूल प्रिज्म का क्रॉस-सेक्शन है, और साइड किनारे एल के बराबर हैं। इस प्रिज्म की पार्श्व सतह मूल प्रिज्म के समान ही है। इस प्रकार, मूल प्रिज्म की पार्श्व सतह pl के बराबर है।

कवर किए गए विषय का सारांश

आइए अब प्रिज्म के बारे में हमने जो विषय कवर किया है उसे संक्षेप में प्रस्तुत करने का प्रयास करें और याद रखें कि प्रिज्म में क्या गुण हैं।

प्रिज्म गुण

सबसे पहले, एक प्रिज्म के सभी आधार समान बहुभुज के रूप में होते हैं;
दूसरे, एक प्रिज्म में उसके सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं;
तीसरा, प्रिज्म जैसी बहुआयामी आकृति में, सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं;

साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि प्रिज्म जैसे पॉलीहेड्रा सीधे या झुके हुए हो सकते हैं।

किस प्रिज्म को सीधा प्रिज्म कहा जाता है?

यदि प्रिज्म पार्श्व पसलीअपने आधार के तल पर लंबवत स्थित है, तो ऐसे प्रिज्म को सीधी रेखा कहा जाता है।

यह स्मरण करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं।

किस प्रकार के प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है?

लेकिन यदि किसी प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित नहीं है, तो हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक झुका हुआ प्रिज्म है।

किस प्रिज्म को सही कहा जाता है?

यदि एक नियमित बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो ऐसा प्रिज्म नियमित है।

आइए अब उन गुणों को याद करें जो एक नियमित प्रिज्म में होते हैं।

एक नियमित प्रिज्म के गुण

सबसे पहले, नियमित बहुभुज हमेशा एक नियमित प्रिज्म के आधार के रूप में काम करते हैं;
दूसरे, यदि हम एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व फलकों पर विचार करें, तो वे हमेशा समान आयत होते हैं;
तीसरा, यदि आप पार्श्व पसलियों के आकार की तुलना करते हैं, तो एक नियमित प्रिज्म में वे हमेशा बराबर होते हैं।
चौथा, एक सही प्रिज्म हमेशा सीधा होता है;
पांचवां, यदि किसी नियमित प्रिज्म में पार्श्व फलकों का आकार वर्गों जैसा हो, तो ऐसी आकृति को आमतौर पर अर्ध-नियमित बहुभुज कहा जाता है।

प्रिज्म क्रॉस सेक्शन

आइए अब प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन को देखें:

गृहकार्य

आइए अब समस्याओं को हल करके सीखे गए विषय को समेकित करने का प्रयास करें।

आइए एक झुका हुआ त्रिकोणीय प्रिज्म बनाएं, इसके किनारों के बीच की दूरी बराबर होगी: 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी, और इस प्रिज्म की पार्श्व सतह 60 सेमी2 के बराबर होगी। इन मापदंडों को ध्यान में रखते हुए, इस प्रिज्म का पार्श्व किनारा खोजें।

क्या आप यह जानते हैं ज्यामितीय आकारन केवल ज्यामिति पाठों में, बल्कि अंदर भी हमें लगातार घेरते रहते हैं रोजमर्रा की जिंदगीऐसी वस्तुएं हैं जो किसी न किसी ज्यामितीय आकृति से मिलती जुलती हैं।

प्रत्येक घर, स्कूल या कार्यस्थल पर एक कंप्यूटर होता है जिसकी सिस्टम यूनिट एक सीधे प्रिज्म के आकार की होती है।

यदि आप एक साधारण पेंसिल उठाएंगे तो आप देखेंगे कि पेंसिल का मुख्य भाग एक प्रिज्म है।

साथ चलना केंद्रीय सड़कशहर, हम देखते हैं कि हमारे पैरों के नीचे एक टाइल पड़ी है जिसका आकार षटकोणीय प्रिज्म जैसा है।

ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक