नए वेरिएबल पेश करने की विधि. विषय पर पाठ: एक नया चर प्रस्तुत करके समीकरणों को हल करना

आपको 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में एक चर के साथ तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय एक नया चर पेश करने की विधि से परिचित कराया गया था। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की इस पद्धति का सार एक ही है, लेकिन तकनीकी दृष्टिकोण से इसमें कुछ विशेषताएं हैं जिनकी चर्चा हम निम्नलिखित उदाहरणों में करेंगे।

उदाहरण 3.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान।आइए एक नए वेरिएबल का परिचय दें, फिर सिस्टम के पहले समीकरण को और अधिक में फिर से लिखा जा सकता है सरल रूप में: आइए चर t के लिए इस समीकरण को हल करें:

ये दोनों मान शर्त को पूरा करते हैं और इसलिए चर t के साथ एक तर्कसंगत समीकरण की जड़ें हैं। लेकिन इसका मतलब यह है कि या तो हम पाते हैं कि x = 2y, या
इस प्रकार, एक नए चर को पेश करने की विधि का उपयोग करके, हम सिस्टम के पहले समीकरण को, जो दिखने में काफी जटिल था, दो सरल समीकरणों में "स्तरीकृत" करने में कामयाब रहे:

एक्स = 2 वाई; y - 2x.

आगे क्या होगा? और फिर दोनों में से प्रत्येक ने प्राप्त किया सरल समीकरणसमीकरण x 2 - y 2 = 3 के साथ एक प्रणाली में एक-एक करके विचार करने की आवश्यकता है, जिसे हमने अभी तक याद नहीं किया है। दूसरे शब्दों में, समस्या समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करने तक आती है:

हमें पहली प्रणाली, दूसरी प्रणाली का समाधान खोजने और उत्तर में मूल्यों के सभी परिणामी युग्मों को शामिल करने की आवश्यकता है। आइए समीकरणों की पहली प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें, खासकर जब से यहां सब कुछ इसके लिए तैयार है: आइए सिस्टम के दूसरे समीकरण में x के बजाय अभिव्यक्ति 2y को प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं

चूँकि x = 2y, हम क्रमशः x 1 = 2, x 2 = 2 पाते हैं। इस प्रकार, दिए गए सिस्टम के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (2; 1) और (-2; -1)। आइए समीकरणों की दूसरी प्रणाली को हल करें:

आइए फिर से प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें: सिस्टम के दूसरे समीकरण में y के बजाय अभिव्यक्ति 2x को प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं

इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, जिसका अर्थ है कि समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। इस प्रकार, उत्तर में केवल पहली प्रणाली के समाधानों को शामिल करने की आवश्यकता है।

उत्तर: (2; 1); (-2;-1).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय नए चर पेश करने की विधि का उपयोग दो संस्करणों में किया जाता है। पहला विकल्प: एक नया चर पेश किया जाता है और सिस्टम के केवल एक समीकरण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण 3 में बिल्कुल यही हुआ। दूसरा विकल्प: सिस्टम के दोनों समीकरणों में दो नए चर पेश किए गए और एक साथ उपयोग किए गए। उदाहरण 4 में यही स्थिति होगी।

उदाहरण 4.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

ax4 + bx2 + c = 0 के रूप का समीकरण द्विघात समीकरण कहलाता है। इस प्रकार के किसी भी समीकरण को एक नया चर प्रस्तुत करके और फिर उसके लिए समीकरण को हल करके हल किया जा सकता है। फिर विपरीत प्रतिस्थापन किया जाता है और वांछित x ज्ञात किया जाता है।
आइए देखें कि तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए इस पद्धति को कैसे लागू किया जाए।

समीकरण दिया गया है: x4 - 4x2 + 4 = 0.
समाधान
समाधान करना दिया गया समीकरणएक नया वेरिएबल प्रस्तुत करना आवश्यक है, जिसका रूप y =x2 है। निम्नलिखित समानता भी सत्य है: x4 = (x2)2 = y2. हम मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं: y2 - 4y + 4 =0. यह एक साधारण द्विघात समीकरण है, जिसे हल करने पर आपको मूल y1 = y2 = 2 प्राप्त होंगे। चूँकि y = x2, इस समस्या का समाधान एक अन्य समीकरण को हल करने के लिए आता है, अर्थात्: x2 = 2। हमें उत्तर मिलता है: +- √2.

इस स्थिति में, एक वेरिएबल को पेश करने की विधि "स्थिति के लिए पर्याप्त" थी, यानी, यह स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा था कि किस अभिव्यक्ति को एक नए वेरिएबल से बदलना है, लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है। मूल रूप से, एक अभिव्यक्ति जिसे प्रतिस्थापित किया जा सकता है वह केवल मूल अभिव्यक्ति को बदलने और सरल बनाने की प्रक्रिया के माध्यम से प्रकट होती है। आप वीडियो ट्यूटोरियल में एक समान उदाहरण देख सकते हैं।

फ़ंक्शन के गुण y = k/x, k >0 के लिए
वीडियो ट्यूटोरियल में आप हाइपरबोला के ज्यामितीय मॉडल के आधार पर उसके मूल गुणों से परिचित होंगे।
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में 0 को छोड़कर सभी संख्याएं शामिल हैं।
2. x > 0 => y > 0 के लिए, और x के लिए< 0 =>य< 0.

3. k > 0 के लिए, खुली किरण (-∞;0) और खुली किरण (0; ∞) पर फलन घटता है।
4. फ़ंक्शन y = k/x में कोई ऊपरी या निचला प्रतिबंध नहीं है।
5. फ़ंक्शन y = k/x में अधिकतम और न्यूनतम मान नहीं हैं।
6. अंतराल (-∞;0) और (0; ∞) पर निरंतर, x = 0 पर असंततता से गुजर रहा है।

विषय पर पाठ: समीकरणों को हल करना

संकलनकर्ता: वेरा विक्टोरोवना वोल्कोवा - गणित शिक्षक

पाठ का विषय: एक नया चर प्रस्तुत करके समीकरणों को हल करना।

पाठ के उद्देश्य:1. छात्रों को समीकरणों को हल करने की एक नई विधि से परिचित कराना;

2. समाधान कौशल को मजबूत करें द्विघातीय समीकरणऔर उन्हें हल करने के तरीकों का चयन करना;

3. किसी नए विषय का प्रारंभिक समेकन करना;

4. अपने दृष्टिकोण का बचाव करने और सहपाठियों के साथ तर्कसंगत बातचीत करने की क्षमता विकसित करना;

ध्यान, स्मृति और विकसित करें तर्कसम्मत सोच, अवलोकन

संचार कौशल और संचार की संस्कृति विकसित करें

कौशल पैदा करें स्वतंत्र कार्य

पाठ प्रगति

1.संगठन का क्षण

पाठ के विषय पर संप्रेषण करना और लक्ष्य निर्धारित करना।

2. पुनरावृत्ति

पिछले पाठों में हमने सीखा कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए अलग - अलग तरीकों सेऔर समीकरण. जिसे घटाकर वर्गाकार किया जा सकता है।

किस समीकरण को द्विघात कहा जाता है?

आप उन्हें हल करने के कौन से तरीके जानते हैं?

किन समीकरणों को द्विघात समीकरणों में बदला जा सकता है?

ए) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20

बी) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2

ग) x 2 + x + 9 = 3x-7,

जी) x+1 + x = 2.5

एक्स एक्स+1

ई) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9

एक्स 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10 ?

3. नई सामग्री का अध्ययन.

अब हम समूहों में काम करेंगे (समूहों में काम करते समय कार्य प्रक्रिया और व्यवहार के नियमों की याद दिलाएँ)। आपका कार्य प्रस्तावित समीकरणों को हल करना है (कार्य वाले कार्ड बांटे जाते हैं, बोर्ड पर एक पोस्टर लटका दिया जाता है)।

ए) x+1 + x = 2.5

एक्स एक्स+1

बी) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9

एक्स 2 +2एक्स+5 एक्स 2 +2एक्स+6 10

शिक्षक कार्य की प्रगति को देखता है और पहले समीकरण की जाँच के लिए एक फॉर्म चुनता है:

कक्षा की सफलता के आधार पर मौखिक रूप से या बोर्ड पर।

आइए देखें कि आपको क्या मिला।

पहला समीकरण द्विघात समीकरण x 2 + x -2 = 0 में बदल जाता है।

जिसका समाधान संख्या -2 और 1 है।

अब दूसरे समीकरण को हल करने की ओर बढ़ते हैं। सभी समूह चौथी डिग्री के समीकरण के साथ समाप्त हुए, जिसे आप नहीं जानते कि कैसे हल करें।

आइए उसके साथ यह जानने का प्रयास करें।

किसी भी समस्या को हल करने की तरह, समीकरण को हल करने में कई चरण होते हैं:

• समीकरण विश्लेषण
• समाधान योजना तैयार करना।
• इस योजना का क्रियान्वयन.
• समाधान की जाँच कर रहा है.
• समाधान विधि का विश्लेषण अनुभव का व्यवस्थितकरण।
• - आमतौर पर किसी समीकरण का विश्लेषण कैसे किया जाता है?

सबसे पहले, हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं कि क्या हमने पहले इस प्रकार के समीकरणों का सामना किया है?

हाँ, हमारे पास यह एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण है।

आप इस "कठिन" समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं, या आप वापस लौट सकते हैं

मूल समीकरण और उसका पुनः विश्लेषण करें।

यह करने के लिए:

• आइए समीकरण के कुछ तत्वों पर प्रकाश डालें,
• आइए हम उनके सामान्य गुण स्थापित करें,
• आइए समीकरण के विभिन्न तत्वों के बीच संबंध का अध्ययन करें,
• आइए इस जानकारी का उपयोग करें.

आइए इस योजना के अनुसार समूहों में 5 मिनट तक काम करें।

अधिकांश ने समीकरण में भिन्नों के अंश और हर में शामिल तत्व की पहचान की। समीकरण को सरल बनाने के लिए, आइए इस अभिव्यक्ति को एक अक्षर से बदलें, उदाहरण के लिए Z:

एक्स 2 + 2एक्स = जेड

जेड +2 + जेड +3 = 9

जेड +5 जेड +6 10

इसे नए अज्ञात Z के लिए एक नया समीकरण माना जा सकता है। इसमें वेरिएबल x स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं है।

उनका कहना है कि एक वेरिएबल को बदल दिया गया है.

क्या ऐसा प्रतिस्थापन उचित है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए यह जानना पर्याप्त है:

क्या नए समीकरण को हल करना और Z मान ज्ञात करना संभव है?

क्या मूल समीकरण के लिए चर x का मान ज्ञात करने के लिए Z का उपयोग करना संभव है।

प्रश्न के पहले भाग का उत्तर देने के लिए समूहों में काम करने का प्रयास करें।

शिक्षक कार्य की प्रगति का अवलोकन करता है। फिर वेरिएबल Z के मानों के खोज परिणामों की जाँच की जाती है।

तो, हमने वेरिएबल Z का मान पाया: Z 1= 0, Z 2 = - 61| 11

लेकिन हम वेरिएबल x के सभी मानों में रुचि रखते हैं जो मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं। आइए इन मूल्यों को खोजें। मूल और नए समीकरणों की जड़ों के बीच संबंध सूत्र x 2 + 2x = Z में निहित है। हम वेरिएबल Z का मान पहले ही पा चुके हैं। इसलिए, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का कोई भी मूल समीकरणों में से एक का मूल है: x 2 + 2x =Z 1 या x 2 + 2x =Z 2

विकल्पों का उपयोग करके इन समीकरणों को स्वयं हल करें।

आइए परिणामों की जाँच करें: पहले समीकरण के मूल x 1 = 0, x 2 = -2 हैं, और दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।

जो कुछ बचा है वह मूल समीकरण के लिए प्राप्त परिणामों की जांच करना और उत्तर लिखना है।

उत्तर: एक्स 1 =0, x 2 = -2.

इसलिए, हमने मूल समीकरण को एक नई विधि से हल किया एक नया वेरिएबल पेश करके।

हमारे समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं एक नया वेरिएबल पेश करके।(समूहों में काम)

• अभिव्यक्ति x 2 + 2x का चयन करें;
• हम इस अभिव्यक्ति को एक अक्षर x 2 + 2x =Z से निरूपित करते हैं;
• हम प्रतिस्थापन करते हैं और एक नया समीकरण प्राप्त करते हैं;
• हम इसे एक वर्ग में घटाते हैं और हल करते हैं;
• वेरिएबल Z के मानों का उपयोग करके, हम वेरिएबल x के मान ज्ञात करते हैं;
• हम प्राप्त परिणामों की जांच करते हैं और उत्तर लिखते हैं।

3.सामग्री सुरक्षित करें.

क्या आपको लगता है कि चरों में कोई भिन्न परिवर्तन किया जा सकता था? (उदाहरण के लिए, x 2 + 2x

2 = Z या x 2 + 2x +6 = Z.) फिर नए समीकरण का क्या रूप होगा? उन्हें कैसे हल करें? क्या पहला घरेलू समीकरण एक नया चर पेश करके हल किया जा सकता है? किस अभिव्यक्ति को नए वेरिएबल से बदला जा सकता है? समीकरण क्या है? इसे कैसे हल करें? वेरिएबल Z के मान क्या हैं? वेरिएबल x के मान क्या हैं?

4. सारांश.

• आज हमने कक्षा में क्या पढ़ा?
• कौन नया तरीकाक्या आपने समीकरणों का हल ढूंढ लिया?
• एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करने की विधि क्या है?
• इस विधि के लिए एल्गोरिदम क्या है?
• क्या यह विधि आपको कठिन या असुविधाजनक लगी?
• क्या इसे सभी समीकरणों पर लागू किया जा सकता है?

5. गृहकार्य.

• एक नए वेरिएबल को पेश करने की विधि को लागू करने के लिए एल्गोरिदम लिखें और सीखें;
• इस विधि से हल करें संख्या 2.43 (1; 2) जीआईए पृ.117.

2.2.3. एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करने की विधि.

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण एक नया चर, या "प्रतिस्थापन विधि" शुरू करने की विधि है। विधि का उपयोग आमतौर पर तब किया जाता है जब किसी अज्ञात मात्रा पर निर्भर एक निश्चित अभिव्यक्ति किसी समीकरण में बार-बार दिखाई देती है। तब इस अभिव्यक्ति को किसी नए अक्षर से निरूपित करना और पहले प्रस्तुत अज्ञात के संबंध में समीकरण को हल करने का प्रयास करना और फिर मूल अज्ञात को ढूंढना समझ में आता है। कई मामलों में, नए अज्ञात को सफलतापूर्वक पेश करने से कभी-कभी समाधान तेजी से और आसानी से प्राप्त करना संभव हो जाता है; कभी-कभी प्रतिस्थापन के बिना समस्या का समाधान करना पूरी तरह असंभव होता है। ,

उदाहरण 7. समीकरण हल करें.

समाधान। रखने पर, हमें एक अत्यंत सरल अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: .

;

;

;

पाए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करके जाँचने से पता चलता है कि यह समीकरण का मूल है, और एक बाहरी मूल है।

मूल चर x पर लौटने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है, अर्थात एक द्विघात समीकरण , जिसे हल करने पर हमें दो जड़ें मिलती हैं: ,। जैसा कि जाँच से पता चलता है, दोनों जड़ें मूल समीकरण को संतुष्ट करती हैं।

प्रतिस्थापन विशेष रूप से उपयोगी होता है यदि परिणामस्वरूप एक नई गुणवत्ता प्राप्त होती है, उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण द्विघात में बदल जाता है।

उदाहरण 8. समीकरण हल करें.

समाधान। आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:।

यह देखा जा सकता है कि यदि हम एक नया वेरिएबल पेश करते हैं , तो समीकरण रूप ले लेता है , कहाँ , ।

अब समस्या समीकरण को हल करने पर आती है और समीकरण . इनमें से पहले समाधान में नहीं है, लेकिन दूसरे से हमें प्राप्त होता है। जैसा कि जाँच से पता चलता है, दोनों जड़ें मूल समीकरण को संतुष्ट करती हैं।

ध्यान दें कि उदाहरण 8 में "रेडिकल को अलग करने" और वर्ग करने की विधि के "विचारहीन" अनुप्रयोग से चौथी डिग्री का एक समीकरण प्राप्त होगा, जिसका समाधान, सामान्य तौर पर, अत्यंत है कठिन कार्य.

उदाहरण 9. समीकरण हल करें .

आइए एक नया वेरिएबल पेश करें

परिणामस्वरूप, मूल अपरिमेय समीकरण द्विघात का रूप ले लेता है

,

जहां से, सीमा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं। समीकरण को हल करने पर हमें मूल प्राप्त होता है। जैसा कि चेक से पता चलता है, यह मूल समीकरण को संतुष्ट करता है।

कभी-कभी, कुछ प्रतिस्थापन के माध्यम से, एक अपरिमेय समीकरण को कम करना संभव होता है तर्कसंगत रूप, जैसा कि उदाहरण 8, 9 में चर्चा की गई है। इस मामले में, वे कहते हैं कि यह प्रतिस्थापन विचाराधीन अपरिमेय समीकरण को तर्कसंगत बनाता है, और वे इसे तर्कसंगत प्रतिस्थापन के उपयोग के आधार पर तर्कसंगत बनाने की विधि कहते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की इस पद्धति पर पाठ में सभी छात्रों के साथ चर्चा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसे उन छात्रों के साथ वैकल्पिक या क्लब गणित कक्षाओं का हिस्सा माना जा सकता है जो गणित में बढ़ती रुचि दिखाते हैं।

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