>>गणित: संख्याओं को जोड़ना विभिन्न संकेत
33. विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का योग
यदि हवा का तापमान 9 डिग्री सेल्सियस के बराबर था, और फिर यह -6 डिग्री सेल्सियस में बदल गया (यानी, 6 डिग्री सेल्सियस की कमी हुई), तो यह 9 + (- 6) डिग्री के बराबर हो गया (चित्र 83)।
का उपयोग करके संख्याओं 9 और - 6 को जोड़ने के लिए, आपको बिंदु ए (9) को 6 इकाई खंडों द्वारा बाईं ओर ले जाना होगा (चित्र 84)। हमें बिंदु B (3) मिलता है।
इसका मतलब है 9+(- 6) = 3. संख्या 3 का चिह्न पद 9 के समान है, और इसका मॉड्यूलपद 9 और -6 के मापांक के बीच अंतर के बराबर।
वास्तव में, |3| =3 और |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.
यदि 9°C का वही वायु तापमान -12°C बदल जाता है (अर्थात 12°C कम हो जाता है), तो यह 9 + (-12) डिग्री (चित्र 85) के बराबर हो जाता है। निर्देशांक रेखा (चित्र 86) का उपयोग करके संख्याओं 9 और -12 को जोड़ने पर, हमें 9 + (-12) = -3 प्राप्त होता है। संख्या -3 में पद -12 के समान चिह्न है, और इसका मापांक पद -12 और 9 के मापांक के बीच के अंतर के बराबर है।
वास्तव में, | - 3| = 3 और | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.
विभिन्न चिह्नों वाली दो संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको यह करना होगा:
1) पदों के बड़े मॉड्यूल में से छोटे को घटाएं;
2) परिणामी संख्या के सामने उस पद का चिह्न लगाएं जिसका मापांक अधिक है।
आमतौर पर, योग का चिह्न पहले निर्धारित और लिखा जाता है, और फिर मॉड्यूल में अंतर पाया जाता है।
उदाहरण के लिए:
1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
या इससे छोटा 6.1+(- 4.2) = 6.1 - 4.2 = 1.9;
धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय आप इसका उपयोग कर सकते हैं सूक्ष्म कैलकुलेटर. माइक्रोकैलकुलेटर में एक ऋणात्मक संख्या दर्ज करने के लिए, आपको इस संख्या का मापांक दर्ज करना होगा, फिर "परिवर्तन चिह्न" कुंजी दबाएँ |/-/|। उदाहरण के लिए, संख्या -56.81 दर्ज करने के लिए, आपको कुंजियाँ क्रमिक रूप से दबानी होंगी: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. किसी भी चिह्न की संख्याओं पर संचालन माइक्रोकैलकुलेटर पर उसी तरह किया जाता है जैसे सकारात्मक संख्याओं पर किया जाता है।
उदाहरण के लिए, योग -6.1 + 3.8 का उपयोग करके गणना की जाती है कार्यक्रम
? संख्या a और b के अलग-अलग चिह्न हैं। यदि बड़ा मॉड्यूल ऋणात्मक है तो इन संख्याओं के योग का क्या चिह्न होगा?
यदि छोटा मापांक ऋणात्मक है?
यदि बड़ा मापांक एक धनात्मक संख्या है?
यदि छोटा मापांक एक धनात्मक संख्या है?
विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम बनाइये। माइक्रोकैलकुलेटर में ऋणात्मक संख्या कैसे दर्ज करें?
को 1045. संख्या 6 को बदलकर -10 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस तरफ स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? यह किसके बराबर है जोड़ 6 और -10?
1046. संख्या 10 को बदलकर -6 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस ओर स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? 10 और -6 का योग क्या है?
1047. संख्या -10 को बदलकर 3 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस तरफ स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? -10 और 3 का योग क्या है?
1048. संख्या -10 को बदलकर 15 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस ओर स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? -10 और 15 का योग क्या है?
1049. दिन के पहले भाग में तापमान - 4 डिग्री सेल्सियस और दूसरे भाग में + 12 डिग्री सेल्सियस बदल गया। दिन के दौरान तापमान में कितने डिग्री परिवर्तन हुआ?
1050. जोड़ प्रदर्शन करें:
1051. जोड़ें:
ए) -6 और -12 के योग पर संख्या 20;
बी) संख्या 2.6 का योग -1.8 और 5.2 है;
ग) -10 और -1.3 के योग में 5 और 8.7 का योग;
घ) 11 और -6.5 के योग में -3.2 और -6 का योग।
1052. कौन सी संख्या 8 है; 7.1; -7.1; -7; -0.5 मूल है समीकरण- 6 + एक्स = -13.1?
1053. समीकरण के मूल का अनुमान लगाएं और जांच करें:
ए) एक्स + (-3) = -11; ग) एम + (-12) = 2;
बी) - 5 + वाई=15; डी) 3 + एन = -10।
1054. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
1055. माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके चरणों का पालन करें:
ए) - 3.2579 + (-12.308); घ) -3.8564+ (-0.8397) +7.84;
बी) 7.8547+ (- 9.239); ई) -0.083 + (-6.378) + 3.9834;
ग) -0.00154 + 0.0837; ई) -0.0085+ 0.00354+ (- 0.00921)।
पी 1056. योग का मूल्य ज्ञात कीजिए:
1057. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
1058. संख्याओं के बीच कितने पूर्णांक स्थित हैं:
ए) 0 और 24; बी) -12 और -3; ग) -20 और 7?
1059. संख्या -10 को दो नकारात्मक पदों के योग के रूप में कल्पना करें ताकि:
ए) दोनों पद पूर्णांक थे;
बी) दोनों पद दशमलव भिन्न थे;
ग) शर्तों में से एक नियमित सामान्य थी अंश.
1060. निर्देशांक वाली निर्देशांक रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी (इकाई खंडों में) क्या है:
ए) 0 और ए; बी) -ए और ए; ग) -ए और 0; घ) ए और -ज़ा?
एम 1061. भौगोलिक समानताओं की त्रिज्या पृथ्वी की सतह, जिस पर एथेंस और मॉस्को शहर स्थित हैं, क्रमशः 5040 किमी और 3580 किमी (चित्र 87) हैं। मॉस्को समानांतर एथेंस समानांतर से कितना छोटा है?
1062. समस्या को हल करने के लिए एक समीकरण लिखें: “2.4 हेक्टेयर क्षेत्रफल वाले एक खेत को दो खंडों में विभाजित किया गया था। खोजो वर्गप्रत्येक साइट, यदि यह ज्ञात हो कि साइटों में से एक:
ए) दूसरे से 0.8 हेक्टेयर अधिक;
बी) दूसरे से 0.2 हेक्टेयर कम;
ग) दूसरे से 3 गुना अधिक;
घ) दूसरे से 1.5 गुना कम;
ई) दूसरे का गठन करता है;
ई) अन्य का 0.2 है;
छ) अन्य का 60% बनता है;
ज) अन्य का 140% है।”
1063. समस्या का समाधान करें:
1) पहले दिन यात्रियों ने 240 किमी की यात्रा की, दूसरे दिन 140 किमी की, तीसरे दिन उन्होंने दूसरे की तुलना में 3 गुना अधिक यात्रा की और चौथे दिन उन्होंने आराम किया। यदि वे 5 दिनों में प्रतिदिन औसतन 230 किमी चलते हैं, तो उन्होंने पांचवें दिन कितने किलोमीटर की यात्रा की?
2) पिता की मासिक आय 280 रूबल है। मेरी बेटी की स्कॉलरशिप 4 गुना कम है. यदि परिवार में 4 लोग हैं तो एक माँ प्रति माह कितना कमाती है? सबसे छोटा बेटा- एक स्कूली छात्र और प्रत्येक व्यक्ति को औसतन 135 रूबल मिलते हैं?
1064. इन चरणों का पालन करें:
1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);
2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).
1066. प्रत्येक संख्या को दो समान पदों के योग के रूप में प्रस्तुत करें:
1067. a + b का मान ज्ञात कीजिए यदि:
ए) ए= -1.6, बी = 3.2; बी) ए=- 2.6, बी = 1.9; वी) 
1068. एक आवासीय भवन की एक मंजिल पर 8 अपार्टमेंट थे। 2 अपार्टमेंट का रहने का क्षेत्र 22.8 एम2, 3 अपार्टमेंट - 16.2 एम2, 2 अपार्टमेंट - 34 एम2 था। यदि इस मंजिल पर प्रत्येक अपार्टमेंट में औसतन 24.7 वर्ग मीटर रहने की जगह हो तो आठवें अपार्टमेंट में रहने का क्षेत्र क्या होगा?
1069. मालगाड़ी में 42 डिब्बे थे। वहाँ प्लेटफार्मों की तुलना में 1.2 गुना अधिक ढकी हुई कारें थीं, और टैंकों की संख्या प्लेटफार्मों की संख्या के बराबर थी। ट्रेन में प्रत्येक प्रकार की कितनी गाड़ियाँ थीं?
1070. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें 
एन.या.विलेंकिन, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ड, वी.आई. ज़ोखोव, ग्रेड 6 के लिए गणित, पाठ्यपुस्तक हाई स्कूल
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विभिन्न चिन्हों वाली संख्याएँ
यह सुनिश्चित करना कि छात्र, पहले की तुलना में कम समय में, बड़ी मात्रा में संपूर्ण और प्रभावी ज्ञान हासिल कर ले - यह आधुनिक शिक्षाशास्त्र के मुख्य कार्यों में से एक है। इस संबंध में, किसी दिए गए विषय पर पुरानी, पहले से अध्ययन की गई, ज्ञात सामग्री को दोहराकर नई चीजों का अध्ययन शुरू करने की आवश्यकता है। पुनरावृत्ति को तेजी से आगे बढ़ाने के लिए और नए और पुराने के बीच सबसे स्पष्ट संबंध रखने के लिए, समझाते समय अध्ययन की गई सामग्री की रिकॉर्डिंग को एक विशेष तरीके से व्यवस्थित करना आवश्यक है।
उदाहरण के तौर पर, मैं आपको बताऊंगा कि कैसे मैं विद्यार्थियों को एक निर्देशांक रेखा का उपयोग करके विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ना और घटाना सिखाता हूं। विषय का सीधे अध्ययन करने से पहले और 5वीं और 6वीं कक्षा में पाठ के दौरान, मैं समन्वय रेखा की संरचना पर बहुत ध्यान देता हूं। "विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का जोड़ और घटाव" विषय का अध्ययन शुरू करने से पहले, यह आवश्यक है कि प्रत्येक छात्र निम्नलिखित प्रश्नों को दृढ़ता से जानता हो और उनका उत्तर देने में सक्षम हो:
1) निर्देशांक रेखा का निर्माण कैसे किया जाता है?
2) इस पर अंक कैसे स्थित हैं?
3) संख्या 0 से किसी भी संख्या की दूरी कितनी है?
छात्रों को यह समझना चाहिए कि एक सीधी रेखा में दाईं ओर जाने से संख्या में वृद्धि होती है, यानी। अतिरिक्त कार्रवाई की जाती है, और बाईं ओर - इसकी कमी के लिए, यानी। संख्याओं को घटाने की क्रिया की जाती है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक समन्वय रेखा के साथ काम करने से बोरियत न हो, कई गैर-मानक गेम समस्याएं हैं। उदाहरण के लिए, यह वाला.
राजमार्ग पर एक सीधी रेखा खींची गई है। एक इकाई खंड की लंबाई 2 मीटर है। प्रत्येक व्यक्ति केवल एक सीधी रेखा के साथ चलता है। तीसरे नंबर पर गेना और चेबुरश्का हैं। वे एक ही समय में अलग-अलग दिशाओं में चले और एक ही समय पर रुक गए। गेना चेबुरश्का तक दो बार चला और 11वें नंबर पर पहुंच गया। चेर्बाश्का किस नंबर पर पहुंचा? चेबुरश्का कितने मीटर चली? उनमें से कौन धीरे चला और कितना?(स्कूल में गैर-मानक गणित। - एम., लैडा, 1993, संख्या 62)।
जब मैं दृढ़ता से आश्वस्त हो जाता हूं कि सभी छात्र एक सीधी रेखा में होने वाली गतिविधियों का सामना कर सकते हैं, और यह बहुत महत्वपूर्ण है, तो मैं सीधे एक ही समय में संख्याओं को जोड़ना और घटाना सिखाने की ओर बढ़ता हूं।
प्रत्येक छात्र को एक संदर्भ नोट दिया जाता है। नोट्स के प्रावधानों का विश्लेषण करके और समन्वय रेखा के मौजूदा ज्यामितीय दृश्य चित्रों पर भरोसा करके, छात्रों को नया ज्ञान प्राप्त होता है। (रूपरेखा चित्र में दिखाई गई है)। किसी विषय का अध्ययन उन प्रश्नों को एक नोटबुक में लिखने से शुरू होता है जिन पर चर्चा की जाएगी।
1 . निर्देशांक रेखा का उपयोग करके जोड़ कैसे करें? अज्ञात शब्द कैसे खोजें? आइए रूपरेखा के प्रासंगिक भाग को देखें?? आइये इसे याद रखें एजोड़ना बी- इसका मतलब है बढ़ाना एपर बीऔर समन्वय रेखा के साथ गति दाईं ओर होती है। हम याद करते हैं कि कैसे जोड़ के घटकों और जोड़ के नियमों का नाम और गणना की जाती है, साथ ही जोड़ के दौरान शून्य के गुण भी। क्या ये हिस्से हैं?? और?? टिप्पणियाँ. इसलिए, नोटबुक में लिखे गए निम्नलिखित प्रश्न हैं:
1). जोड़ दाहिनी ओर गति है।
एस.एल. + एसएल. = सी; एस.एल. = सी - एसएल.
2). अतिरिक्त कानून:
1)विस्थापन कानून: ए+ बी= बी+ ए;
2) संयोजन कानून: (ए+ बी) + सी= ए+ (बी+ सी) = (ए+ सी) + बी
3). जोड़ के दौरान शून्य के गुण: ए+ 0= ए; 0+ ए= ए; ए+ (- ए) = 0.
4). घटाव बाईं ओर की एक गति है।
यू. - वी. = आर.; यू. = वी. + आर.; वी. = यू. - आर.
5). जोड़ को घटाव से बदला जा सकता है और घटाव को जोड़ से बदला जा सकता है।
4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1
4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1
जोड़ के क्रमविनिमेय नियम के अनुसार
6). कोष्ठक इस प्रकार खुलते हैं:
+ (ए+ बी+ सी) = + ए+ बी+ सी
"सज्जन"
- (ए + बी + सी) = - ए - बी - सी
"डाकू"
2 . जोड़ के नियम.
3 . जोड़ के दौरान शून्य के गुणों की सूची बनाएं।
4 . निर्देशांक रेखा का उपयोग करके संख्याओं को कैसे घटाएं? अज्ञात उपट्रेंड और मीनूएंड खोजने के नियम।
5 . आप जोड़ से घटाव और घटाव से जोड़ की ओर कैसे जाते हैं?
6 . पहले वाले कोष्ठक कैसे खोलें: a) धन चिह्न; बी) ऋण चिह्न?
सैद्धांतिक सामग्री काफी विशाल है, लेकिन चूंकि इसका प्रत्येक भाग जुड़ा हुआ है और, जैसा कि यह था, एक दूसरे से "प्रवाह" होता है, संस्मरण सफलतापूर्वक होता है। नोट्स के साथ काम यहीं ख़त्म नहीं होता। रूपरेखा का प्रत्येक भाग पाठ्यपुस्तक के पाठ से जुड़ा है, जिसे कक्षा में पढ़ा जाता है। यदि इसके बाद छात्र को लगता है कि विश्लेषण किया जा रहा भाग उसके लिए पूरी तरह से स्पष्ट है, तो वह सारांश के पाठ को उचित फ्रेम में हल्के ढंग से चित्रित करता है, जैसे कि कह रहा हो: "मैं इसे समझता हूं।" यदि कुछ अस्पष्ट है, तो फ्रेम पर तब तक पेंट नहीं किया जाता जब तक कि सब कुछ स्पष्ट न हो जाए। नोट का सफेद भाग संकेत है "इसका पता लगाएं!"
शिक्षक का लक्ष्य, जिसे पाठ के अंत तक हासिल किया जाना चाहिए, यह है: छात्रों को, पाठ छोड़ते समय, यह याद रखना चाहिए कि जोड़ एक समन्वय रेखा के साथ दाईं ओर गति है, और घटाव बाईं ओर है। सभी विद्यार्थियों ने कोष्ठक खोलना सीखा। पाठ का शेष समय कोष्ठक खोलने के लिए समर्पित है। हम निम्नलिखित कार्यों में मौखिक और लिखित रूप से कोष्ठक खोलते हैं:
|
); - 20 + (- 7 + (- 5)). |
||||
होमवर्क असाइनमेंट। नोट्स में दर्शाए गए पाठ्यपुस्तक के पैराग्राफ को पढ़कर नोटबुक में लिखे प्रश्नों के उत्तर दें।
अगले पाठ में हम संख्याओं को जोड़ने और घटाने के लिए एल्गोरिदम का अभ्यास करेंगे। प्रत्येक छात्र के डेस्क पर निर्देशों वाला एक कार्ड होता है:
1) एक उदाहरण लिखिए।
2) कोष्ठक, यदि कोई हो, खोलें।
3) एक निर्देशांक रेखा खींचिए।
4) इस पर पहला नंबर बिना स्केल के अंकित करें.
5) यदि संख्या के बाद "+" चिह्न है, तो दाईं ओर जाएं, और यदि "-" चिह्न है, तो दूसरे पद में जितने इकाई खंड हैं, उतने इकाई खंड बाईं ओर ले जाएं। इसे आरेखीय रूप से बनाएं और जिस नंबर को आप ढूंढ रहे हैं उसके आगे एक चिन्ह लगाएं?
6) प्रश्न पूछें "शून्य कहाँ है?"
7) उस संख्या का चिन्ह ज्ञात करें जिसके पास है प्रश्न चिह्न, जो एक समाधान है, इस तरह: यदि? 0 के दाईं ओर है, तो उत्तर में + चिह्न है, लेकिन क्या होगा? 0 के बाईं ओर है, तो उत्तर में - का चिह्न है। उत्तर में = चिह्न के बाद पाया हुआ चिह्न लिखें।
8) ड्राइंग पर तीन खंड अंकित करें।
9) शून्य से चिह्न तक खंड की लंबाई ज्ञात करें?
उदाहरण 1.- 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.
1. मैं उदाहरण की प्रतिलिपि बनाता हूं और कोष्ठक खोलता हूं।
2. मैं एक चित्र और कारण इस प्रकार बनाता हूं:
ए) मैं -35 को चिह्नित करता हूं और 9 इकाई खंडों द्वारा बाईं ओर बढ़ता हूं; मैं वांछित संख्या के आगे एक चिन्ह लगाता हूँ?;
ख) मैं अपने आप से पूछता हूं: "शून्य कहां है?" मैं उत्तर देता हूं: “शून्य दाईं ओर है - 35 गुणा 35 इकाई खंड, जिसका अर्थ है कि उत्तर का चिह्न है -, तो? शून्य के बाईं ओर";
ग) 0 से चिह्न तक की दूरी तलाश रहे हैं? ऐसा करने के लिए, मैं 35 + 9 = 44 की गणना करता हूं और - चिह्न के जवाब में परिणामी संख्या निर्दिष्ट करता हूं।
उदाहरण 2.- 35 + 9.
उदाहरण 3. 9 - 35.
हम इन उदाहरणों को उदाहरण 1 के समान तर्क का उपयोग करके हल करते हैं। संख्याओं की व्यवस्था के अन्य मामले नहीं हो सकते हैं, और प्रत्येक चित्र पाठ्यपुस्तक में दिए गए नियमों में से एक से मेल खाता है और याद रखने की आवश्यकता है। यह सत्यापित किया गया है (और बार-बार) कि जोड़ने की यह विधि अधिक तर्कसंगत है। इसके अलावा, यह आपको तब भी संख्याएँ जोड़ने की अनुमति देता है जब छात्र सोचता है कि उसे एक भी नियम याद नहीं है। यह विधिभिन्नों के साथ काम करते समय काम करता है, आपको बस उन्हें लाने की जरूरत है आम विभाजकऔर फिर एक चित्र बनाएं. उदाहरण के लिए,
हर कोई "निर्देश" कार्ड का उपयोग तब तक करता है जब तक इसकी आवश्यकता होती है।
ऐसा कार्य जीवित और सक्रिय रूप से काम करने वाले विचार के नियमों के अनुसार गिनती की थकाऊ और नीरस क्रिया को प्रतिस्थापित करता है। इसके कई फायदे हैं: रटने और घबराहट में यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि कौन सा नियम लागू करना है; समन्वय रेखा की संरचना को याद रखना आसान है, और यह बीजगणित और ज्यामिति दोनों में एक खंड के मूल्य की गणना करते समय होता है जब एक रेखा पर एक बिंदु दो अन्य बिंदुओं के बीच स्थित होता है। यह तकनीक गणित के गहन अध्ययन वाली कक्षाओं और आयु मानदंडों वाली कक्षाओं और यहां तक कि सुधारात्मक कक्षाओं दोनों में प्रभावी है।
गणित का लगभग पूरा पाठ्यक्रम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं वाली संक्रियाओं पर आधारित है। आख़िरकार, जैसे ही हम निर्देशांक रेखा का अध्ययन करना शुरू करते हैं, प्लस और माइनस चिह्न वाली संख्याएँ हमें हर जगह, हर जगह दिखाई देने लगती हैं नया विषय. सामान्य धनात्मक संख्याओं को एक साथ जोड़ने से आसान कुछ भी नहीं है; एक को दूसरे से घटाना कठिन नहीं है। यहां तक कि दो ऋणात्मक संख्याओं वाला अंकगणित भी शायद ही कोई समस्या है।
हालाँकि, कई लोग विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने और घटाने में भ्रमित हो जाते हैं। आइए उन नियमों को याद करें जिनके द्वारा ये क्रियाएं होती हैं।
विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याएँ जोड़ना
यदि किसी समस्या को हल करने के लिए हमें किसी संख्या "ए" में एक ऋणात्मक संख्या "-बी" जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें निम्नानुसार कार्य करने की आवश्यकता है।
- आइए दोनों संख्याओं के मॉड्यूल लें - |ए| और |बी| - और इन निरपेक्ष मूल्यों की एक दूसरे से तुलना करें।
- आइए ध्यान दें कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा है, और इसमें से घटाएँ अधिक मूल्यकम।
- आइए परिणामी संख्या के सामने उस संख्या का चिह्न लगाएं जिसका मापांक अधिक है।
यही उत्तर होगा. इसे और अधिक सरलता से व्यक्त किया जा सकता है: यदि अभिव्यक्ति ए + (-बी) में संख्या "बी" का मापांक "ए" के मापांक से अधिक है, तो हम "बी" से "ए" घटाते हैं और "माइनस" डालते हैं परिणाम के सामने. यदि मॉड्यूल "ए" बड़ा है, तो "बी" को "ए" से घटा दिया जाता है - और समाधान "प्लस" चिह्न के साथ प्राप्त किया जाता है।
ऐसा भी होता है कि मॉड्यूल बराबर हो जाते हैं। यदि ऐसा है, तो हम इस बिंदु पर रुक सकते हैं - हम विपरीत संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और उनका योग हमेशा शून्य के बराबर होगा।
विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को घटाना
हमने जोड़ से निपट लिया है, अब घटाव के नियम पर नजर डालते हैं। यह काफी सरल भी है - और इसके अलावा, यह दो नकारात्मक संख्याओं को घटाने के लिए एक समान नियम को पूरी तरह से दोहराता है।
एक निश्चित संख्या "ए" से घटाने के लिए - मनमाना, यानी, किसी भी संकेत के साथ - एक नकारात्मक संख्या "सी", आपको हमारी मनमानी संख्या "ए" में "सी" के विपरीत संख्या जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:
- यदि "ए" एक सकारात्मक संख्या है, और "सी" नकारात्मक है, और आपको "ए" से "सी" घटाना है, तो हम इसे इस तरह लिखते हैं: ए - (-सी) = ए + सी।
- यदि "a" एक ऋणात्मक संख्या है, और "c" धनात्मक है, और "c" को "a" से घटाने की आवश्यकता है, तो हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: (- a)– c = - a+ (-c)।
इस प्रकार, जब विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को घटाते हैं, तो हम जोड़ के नियमों पर लौटते हैं, और जब विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ते हैं, तो हम घटाव के नियमों पर लौटते हैं। इन नियमों को याद रखने से आप समस्याओं को जल्दी और आसानी से हल कर सकते हैं।
विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के नियम के बारे में ज्ञान विकसित करना, इसे सरलतम मामलों में लागू करने की क्षमता;
तुलना करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास;
शैक्षिक कार्यों के प्रति एक जिम्मेदार रवैया अपनाना।
उपकरण:मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन।
पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ.
पाठ की प्रगति
1. संगठनात्मक क्षण.
सीधे खड़े हो जाओ
वे चुपचाप बैठ गये.
अब घंटी बज चुकी है,
आइए अपना पाठ शुरू करें।
दोस्तो! आज मेहमान हमारे पाठ में आए। आइए उनकी ओर मुड़ें और एक-दूसरे को देखकर मुस्कुराएं। तो, हम अपना पाठ शुरू करते हैं।
स्लाइड 2- पाठ का पुरालेख: “जो किसी चीज़ पर ध्यान नहीं देता वह कुछ भी अध्ययन नहीं करता।
जो कुछ भी नहीं पढ़ता वह हमेशा रोता रहता है और ऊबता रहता है।”
रोमन सेफ़ ( बच्चों के लेखक)
स्लैड 3 -मैं "इसके विपरीत" गेम खेलने का सुझाव देता हूं। खेल के नियम: आपको शब्दों को दो समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता है: जीत, झूठ, गर्मजोशी, दिया, सच, अच्छा, हानि, लिया, बुरा, ठंडा, सकारात्मक, नकारात्मक।
जीवन में अनेक विरोधाभास हैं। उनकी मदद से हम तय करते हैं आसपास की वास्तविकता. हमारे पाठ के लिए मुझे अंतिम की आवश्यकता है: सकारात्मक - नकारात्मक।
जब हम इन शब्दों का उपयोग करते हैं तो हम गणित में किस बारे में बात कर रहे हैं? (संख्याओं के बारे में)
महान पाइथागोरस ने कहा: "संख्याएँ दुनिया पर राज करती हैं।" मैं विज्ञान में सबसे रहस्यमय संख्याओं के बारे में बात करने का प्रस्ताव करता हूं - विभिन्न संकेतों वाली संख्याएं। - विज्ञान में ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक संख्याओं के विपरीत के रूप में प्रकट हुईं। विज्ञान तक उनकी राह कठिन थी क्योंकि कई वैज्ञानिक भी उनके अस्तित्व के विचार का समर्थन नहीं करते थे।
लोग किन अवधारणाओं और मात्राओं को धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं से मापते हैं? (प्राथमिक कणों का आवेश, तापमान, हानि, ऊंचाई और गहराई, आदि)
स्लाइड 4-विपरीत अर्थ वाले शब्द विलोम हैं (सारणी)।
2. पाठ का विषय निर्धारित करना।
स्लाइड 5 (टेबल के साथ काम करना)– पिछले पाठों में किन संख्याओं का अध्ययन किया गया था?
- आप धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं से संबंधित कौन से कार्य कर सकते हैं?
– स्क्रीन पर ध्यान दें. (स्लाइड 5)
– तालिका में कौन सी संख्याएँ प्रस्तुत की गई हैं?
- क्षैतिज रूप से लिखे गए संख्याओं के मॉड्यूल का नाम बताएं।
- कृपया इंगित करें सबसे बड़ी संख्या, सबसे बड़े मापांक वाली संख्या इंगित करें।
- लंबवत लिखी संख्याओं के लिए समान प्रश्नों के उत्तर दें।
– क्या सबसे बड़ी संख्या और सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाली संख्या हमेशा मेल खाती है?
– धनात्मक संख्याओं का योग, ऋणात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
- धनात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम बनाएं।
– कौन सी संख्याएँ जोड़ने के लिए बची हैं?
- क्या आप जानते हैं कि उन्हें कैसे मोड़ना है?
– क्या आप विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम जानते हैं?
– पाठ का विषय तैयार करें.
– आप अपने लिए क्या लक्ष्य निर्धारित करेंगे? .सोचो आज हम क्या करेंगे? (बच्चों के उत्तर)। आज हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बारे में सीखते रहते हैं। हमारे पाठ का विषय है "विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ना।" हमारा लक्ष्य यह सीखना है कि बिना किसी त्रुटि के विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को कैसे जोड़ा जाए। पाठ की तिथि और विषय अपनी नोटबुक में लिखें.
3.पाठ के विषय पर काम करें.
स्लाइड 6.- इन अवधारणाओं का उपयोग करके, स्क्रीन पर विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के परिणाम खोजें।
– धनात्मक संख्याओं और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने पर कौन सी संख्याएँ प्राप्त होती हैं?
– विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने पर कौन सी संख्याएँ प्राप्त होती हैं?
– विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं के योग का चिह्न क्या निर्धारित करता है? (स्लाइड 5)
– सबसे बड़े मापांक वाले पद से.
- यह रस्साकशी की तरह है। सबसे मजबूत जीतता है.
स्लाइड 7- आइए खेलते हैं। कल्पना कीजिए कि आप रस्साकशी में हैं। . अध्यापक। प्रतिद्वंद्वी आमतौर पर प्रतियोगिताओं में मिलते हैं। और आज हम आपके साथ कई टूर्नामेंट देखेंगे। पहली चीज जो हमारा इंतजार कर रही है वह रस्साकशी प्रतियोगिता का फाइनल है। नंबर -7 पर इवान मिनुसोव और नंबर +5 पर पेट्र प्लायुसोव से मिलें। आपको क्या लगता है कौन जीतेगा? क्यों? तो, इवान मिनुसोव जीत गया, वह वास्तव में अपने प्रतिद्वंद्वी से अधिक मजबूत निकला, और उसे अपने पास खींचने में सक्षम था नकारात्मक पक्षबिल्कुल दो कदम.
स्लाइड 8.- . अब अन्य प्रतियोगिताओं की ओर चलते हैं। शूटिंग प्रतियोगिता का फाइनल आपके सामने है. इस स्पर्धा में सर्वश्रेष्ठ तीन के साथ माइनस ट्रोइकिन थे गुब्बारेऔर प्लस चेतवेरिकोव, जिनके पास स्टॉक में चार हैं गुब्बारा. और यहाँ दोस्तों, आपके अनुसार विजेता कौन होगा?
स्लाइड 9- प्रतियोगिताओं से पता चला कि सबसे मजबूत जीतता है। विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने पर ऐसा ही होता है: -7 + 5 = -2 और -3 + 4 = +1। दोस्तों, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का योग कैसे बनता है? छात्र अपने स्वयं के विकल्प प्रदान करते हैं।
शिक्षक नियम बनाता है और उदाहरण देता है।
10 + 12 = +(12 – 10) = +2
4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4
प्रदर्शन के दौरान, छात्र स्लाइड पर दिखाई देने वाले समाधान पर टिप्पणी कर सकते हैं।
स्लाइड 10- शिक्षक, चलो एक और खेल "बैटलशिप" खेलते हैं। एक शत्रु जहाज हमारे तट के पास आ रहा है, उसे मारकर डुबो देना चाहिए। इसके लिए हमारे पास बंदूक है. लेकिन लक्ष्य पर प्रहार करने के लिए आपको सटीक गणना करने की आवश्यकता है। जिन्हें आप अब देखेंगे. क्या आप तैयार हैं? तो फिर आगे बढ़ें! कृपया विचलित न हों, उदाहरण ठीक 3 सेकंड के बाद बदल जाते हैं। क्या हर कोई तैयार है?
छात्र बारी-बारी से बोर्ड के पास आते हैं और स्लाइड पर दिखाई देने वाले उदाहरणों की गणना करते हैं। – कार्य पूरा करने के चरणों का नाम बताइए।
स्लाइड 11-पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें: पृष्ठ 180 पृष्ठ 33, विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम पढ़ें। नियम पर टिप्पणियाँ.
– पाठ्यपुस्तक में प्रस्तावित नियम और आपके द्वारा संकलित एल्गोरिदम के बीच क्या अंतर है? टिप्पणी सहित पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों पर विचार करें।
स्लाइड 12-अध्यापक - अब चलो आचरण करते हैं प्रयोग।लेकिन रासायनिक नहीं, बल्कि गणितीय! आइए अंक 6 और 8, प्लस और माइनस चिह्न लें और सब कुछ अच्छी तरह से मिलाएं। आइए चार प्रायोगिक उदाहरण लें। उन्हें अपनी नोटबुक में करें. (दो छात्र बोर्ड के पंखों पर हल करते हैं, फिर उत्तरों की जाँच की जाती है)। इस प्रयोग से क्या निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं?(संकेतों की भूमिका)। आइए 2 और प्रयोग करें , लेकिन आपके नंबरों के साथ (एक समय में 1 व्यक्ति बोर्ड में जाता है)। आइए एक-दूसरे के लिए संख्याएं लेकर आएं और प्रयोग के परिणामों की जांच करें (पारस्परिक जांच)।
स्लाइड 13 .- नियम को स्क्रीन पर काव्यात्मक रूप में प्रदर्शित किया जाता है .
4. पाठ के विषय को सुदृढ़ करना।
स्लाइड 14 -शिक्षक - "सभी प्रकार के संकेतों की आवश्यकता है, सभी प्रकार के संकेत महत्वपूर्ण हैं!" अब दोस्तों हम आपको दो टीमों में बाँट देंगे। लड़के सांता क्लॉज़ की टीम में होंगे, और लड़कियाँ सनी की टीम में होंगी। आपका कार्य, उदाहरणों की गणना किए बिना, यह निर्धारित करना है कि उनमें से किसका उत्तर नकारात्मक होगा और किसका सकारात्मक उत्तर होगा और इन उदाहरणों के अक्षरों को एक नोटबुक में लिख लें। लड़के क्रमशः नकारात्मक हैं, और लड़कियां सकारात्मक हैं (आवेदन से कार्ड जारी किए जाते हैं)। एक स्व-परीक्षण किया जा रहा है.
बहुत अच्छा! आपकी संकेतों की समझ उत्कृष्ट है. इससे आपको अगला कार्य पूरा करने में मदद मिलेगी
स्लाइड 15 -व्यायाम शिक्षा। -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5, आदि (नकारात्मक संख्याएँ - बैठना, सकारात्मक संख्याएँ - ऊपर खींचना, कूदना)
स्लाइड 16-9 उदाहरण स्वयं हल करें (ऐप में कार्ड पर कार्य)। बोर्ड पर 1 व्यक्ति. आत्मपरीक्षण करें. उत्तर स्क्रीन पर प्रदर्शित होते हैं, और छात्र अपनी नोटबुक में गलतियों को सुधारते हैं। यदि आपके पास यह सही है तो अपने हाथ उठाएँ। (अच्छे और उत्कृष्ट परिणाम के लिए ही अंक दिए जाते हैं)
स्लाइड 17-नियम हमें उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में मदद करते हैं। आइए उन्हें दोहराएं। स्क्रीन पर विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को जोड़ने के लिए एक एल्गोरिदम है।
5. स्वतंत्र कार्य का संगठन।
स्लाइड 18 -एफखेल "शब्द का अनुमान लगाओ" के माध्यम से ऑनलाइन काम(परिशिष्ट में कार्ड पर कार्य)।
स्लाइड 19 -खेल का स्कोर "ए" होना चाहिए
स्लाइड 20-एअब, ध्यान. गृहकार्य. गृहकार्य से आपको कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए।
स्लाइड 21 -भौतिक परिघटनाओं में योग के नियम. विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण लेकर आएं और उन्हें एक-दूसरे से पूछें। आपने क्या नया सीखा है? क्या हमने अपना लक्ष्य हासिल कर लिया है?
स्लाइड 22 -यह पाठ का अंत है, आइए अब इसे संक्षेप में प्रस्तुत करें। प्रतिबिंब। शिक्षक पाठ पर टिप्पणी करता है और उसका मूल्यांकन करता है।
स्लाइड 23 -आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!
मैं चाहता हूं कि आपके जीवन में अधिक सकारात्मक और कम नकारात्मकता हो। मैं आप लोगों से कहना चाहता हूं, आपके सक्रिय कार्य के लिए धन्यवाद। मुझे लगता है कि आप अर्जित ज्ञान को बाद के पाठों में आसानी से लागू कर सकते हैं। पाठ ख़त्म हो गया. आपको बहुत बहुत धन्यवाद। अलविदा!
यदि हवा का तापमान 9°C था, और फिर यह -6°C में बदल गया (अर्थात, 6°C कम हो गया), तो यह 9 + (-6) डिग्री के बराबर हो गया (चित्र 83)।
चावल। 83
समन्वय रेखा का उपयोग करके संख्या 9 और -6 को जोड़ने के लिए, आपको बिंदु ए(9) को 6 इकाई खंडों द्वारा बाईं ओर ले जाना होगा (चित्र 84)। हमें बिंदु B(3) मिलता है।
चावल। 84
इसका मतलब है 9 + (-6) = 3. संख्या 3 का चिह्न पद 9 के समान है, और इसका मापांक पद 9 और -6 के मापांक के बीच के अंतर के बराबर है।
वास्तव में, |3| = 3 और |9| - |-6| = 9 - 6 = 3.
यदि 9°C का वही वायु तापमान -12°C बदल जाता है (अर्थात 12°C कम हो जाता है), तो यह 9 + (-12) डिग्री के बराबर हो जाता है (चित्र 85)।
चावल। 85
निर्देशांक रेखा (चित्र 86) का उपयोग करके संख्या 9 और -12 जोड़ने पर, हमें 9 + (-12) = -3 प्राप्त होता है। संख्या -3 में पद -12 के समान चिह्न है, और इसका मापांक पद -12 और 9 के मापांक के बीच के अंतर के बराबर है।
चावल। 86
वास्तव में, |-3| = 3 और |-12| - |-9| = 12 - 9 = 3.
आमतौर पर, योग का चिह्न पहले निर्धारित और लिखा जाता है, और फिर मॉड्यूल में अंतर पाया जाता है।
उदाहरण के लिए:
आप धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं। माइक्रोकैलकुलेटर में एक ऋणात्मक संख्या दर्ज करने के लिए, आपको इस संख्या का मापांक दर्ज करना होगा, फिर "परिवर्तन चिह्न" कुंजी दबाएँ। उदाहरण के लिए, संख्या -56.81 दर्ज करने के लिए, आपको कुंजियों को क्रमिक रूप से दबाना होगा:। किसी भी चिह्न की संख्याओं पर संचालन माइक्रोकैलकुलेटर पर उसी तरह किया जाता है जैसे सकारात्मक संख्याओं पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, योग -6.1 + 3.8 की गणना प्रोग्राम का उपयोग करके की जाती है
संक्षेप में, यह प्रोग्राम इस प्रकार लिखा गया है: 
.
स्व-परीक्षण प्रश्न
- संख्या a और b के अलग-अलग चिह्न हैं। यदि बड़ा मॉड्यूल ऋणात्मक है तो इन संख्याओं के योग का क्या चिह्न होगा? यदि छोटा मापांक ऋणात्मक है? यदि बड़ा मापांक एक धनात्मक संख्या है? यदि छोटा मापांक एक धनात्मक संख्या है?
- विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम बनाइये।
- माइक्रोकैलकुलेटर में ऋणात्मक संख्या कैसे दर्ज करें?
व्यायाम करें
1061. संख्या 6 को बदलकर -10 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस ओर स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? 6 और -10 का योग क्या है?
1062. संख्या 10 को बदलकर -6 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस तरफ स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? 10 और -6 का योग क्या है?
1063. संख्या -10 को बदलकर 3 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस ओर स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? -10 और 3 का योग क्या है?
1064. संख्या -10 को बदलकर 15 कर दिया गया। परिणामी संख्या मूल बिंदु के किस ओर स्थित है? यह उद्गम से कितनी दूरी पर स्थित है? -10 और 15 का योग क्या है?
1065. दिन के पहले भाग में तापमान -4°C और दूसरे भाग में +12°C बदल गया। दिन के दौरान तापमान में कितने डिग्री परिवर्तन हुआ?
1066. जोड़ प्रदर्शन करें:
- ए) 26 + (-6);
- बी) -70 + 50;
- ग) -17 + 30;
- घ) 80 + (-120);
- ई) -6.3 + 7.8;
- ई) -9 + 10.2;
- जी) 1 + (-0.39);
- ज) 0.3 + (-1.2);
1067. जोड़ना:
- ए) -6 और -12 के योग पर संख्या 20;
- बी) संख्या 2.6 का योग -1.8 और 5.2 है;
- ग) -10 और -1.3 के योग में 5 और 8.7 का योग;
- घ) 11 और -6.5 के योग में -3.2 और -6 का योग।
1068. 8 कौन सी संख्या है? 7.1; -7.1; -7; क्या -0.5 समीकरण -6 + x = -13.1 का मूल है?
1069. समीकरण के मूल का अनुमान लगाएं और जाँच करें:
- ए) एक्स + (-3) = -11;
- बी) -5 + वाई = 15;
- ग) टी + (-12) = 2;
- डी) 3 + एन = -10।
1070. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
1071. माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके इन चरणों का पालन करें:
- ए) -3.2579 + (-12.308);
- बी) 7.8547 + (-9.239);
- ग) -0.00154 + 0.0837;
- घ) -3.8564 + (-0.8397) + 7.84;
- ई) -0.083 + (-6.378) + 3.9834;
- ई) -0.0085 + 0.00354 + (-0.00921)।
1072. योग का मान ज्ञात कीजिए:
1073. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
1074. संख्याओं के बीच कितने पूर्णांक स्थित हैं:
- ए) 0 और 24;
- बी) -12 और -3;
- ग) -20 और 7?
1075. संख्या -10 को दो नकारात्मक पदों के योग के रूप में कल्पना करें ताकि:
- ए) दोनों पद पूर्णांक थे;
- बी) दोनों पद दशमलव भिन्न थे;
- ग) इनमें से एक पद उचित साधारण भिन्न था।
1076. निर्देशांक वाली निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के बीच की दूरी (इकाई खंडों में) क्या है:
- ए) 0 और ए;
- बी) -ए और ए;
- ग) -ए और 0;
- घ) ए और -ज़ा?
1077. पृथ्वी की सतह के भौगोलिक समानांतरों की त्रिज्या, जिस पर एथेंस और मॉस्को शहर स्थित हैं, क्रमशः 5040 किमी और 3580 किमी (चित्र 87) के बराबर हैं। मॉस्को समानांतर एथेंस समानांतर से कितना छोटा है?
चावल। 87
1078. समस्या को हल करने के लिए एक समीकरण लिखें: “2.4 हेक्टेयर के एक खेत को दो खंडों में विभाजित किया गया था। प्रत्येक भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि भूखंडों में से एक:
1079. समस्या का समाधान करो:
- पहले दिन यात्रियों ने 240 किमी की यात्रा की, दूसरे दिन 140 किमी की, तीसरे दिन उन्होंने दूसरे की तुलना में 3 गुना अधिक यात्रा की और चौथे दिन उन्होंने आराम किया। यदि वे 5 दिनों में प्रतिदिन औसतन 230 किमी चलते हैं, तो उन्होंने पांचवें दिन कितने किलोमीटर की यात्रा की?
- दो बेटों वाले एक किसान ने एकत्रित सेबों को 4 कंटेनरों में रखा, प्रत्येक कंटेनर में औसतन 135 किलोग्राम। किसान ने 280 किलोग्राम सेब एकत्र किए, और सबसे छोटे बेटे ने 4 गुना कम सेब एकत्र किए। सबसे बड़े बेटे ने कितने किलोग्राम सेब एकत्र किये?
1080. इन चरणों का पालन करें:
- (2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
- (7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).
1081. जोड़ प्रदर्शन करें:
1082.
प्रत्येक संख्या को दो समान पदों के योग के रूप में कल्पना करें: 10; -8; -6.8; 
.
1083. a + b का मान ज्ञात करें यदि:
1084. एक आवासीय भवन की एक मंजिल पर 8 अपार्टमेंट थे। 22.8 वर्ग मीटर के रहने वाले क्षेत्र के साथ 2 अपार्टमेंट, 16.2 वर्ग मीटर के 3 अपार्टमेंट और 34 वर्ग मीटर के 2 अपार्टमेंट थे। यदि इस मंजिल पर प्रत्येक अपार्टमेंट में औसतन 24.7 वर्ग मीटर रहने की जगह हो तो आठवें अपार्टमेंट में रहने का क्षेत्र क्या होगा?
1085. मालगाड़ी में 42 डिब्बे शामिल थे। वहाँ प्लेटफार्मों की तुलना में 1.2 गुना अधिक ढकी हुई कारें थीं, और टैंकों की संख्या प्लेटफार्मों की संख्या के बराबर थी। ट्रेन में प्रत्येक प्रकार की कितनी गाड़ियाँ थीं?
1086.
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