लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ। जटिल लघुगणकीय असमानताएँ

परिचय

गणनाओं को तेज़ और सरल बनाने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया था। लघुगणक का विचार, यानी संख्याओं को एक ही आधार की शक्तियों के रूप में व्यक्त करने का विचार मिखाइल स्टिफ़ेल का है। लेकिन स्टिफ़ेल के समय में गणित इतना विकसित नहीं था और लघुगणक का विचार भी विकसित नहीं था। लॉगरिदम का आविष्कार बाद में स्कॉटिश वैज्ञानिक जॉन नेपियर (1550-1617) द्वारा एक साथ और एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से किया गया था और स्विस जॉबस्ट बर्गी (1552-1632) ने 1614 में इस काम को प्रकाशित किया था। "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण" शीर्षक से, नेपियर के लघुगणक के सिद्धांत को पर्याप्त विवरण दिया गया था पूरे में, लघुगणक की गणना करने की विधि सबसे सरल दी गई है, इसलिए लघुगणक के आविष्कार में नेपियर के गुण बर्गी की तुलना में अधिक हैं। बर्गी ने नेपियर के साथ ही टेबलों पर काम किया, लेकिन उन्हें लंबे समय तक गुप्त रखा और केवल 1620 में प्रकाशित किया। नेपियर ने 1594 के आसपास लघुगणक के विचार में महारत हासिल की। हालाँकि तालिकाएँ 20 साल बाद प्रकाशित हुईं। सबसे पहले उन्होंने अपने लघुगणक को "कृत्रिम संख्याएँ" कहा और उसके बाद ही इन "कृत्रिम संख्याओं" को एक शब्द "लघुगणक" में बुलाने का प्रस्ताव रखा, जिसका ग्रीक से अनुवाद "सहसंबद्ध संख्याएँ" है, एक को अंकगणितीय प्रगति से लिया गया, और दूसरे को एक से लिया गया। ज्यामितीय प्रगति को विशेष रूप से इसके लिए चुना गया है। रूसी भाषा में पहली तालिकाएँ 1703 में प्रकाशित हुईं। 18वीं सदी के एक अद्भुत शिक्षक की भागीदारी के साथ। एल. एफ. मैग्निट्स्की। लघुगणक के सिद्धांत के विकास में बड़ा मूल्यवानसेंट पीटर्सबर्ग के शिक्षाविद लियोनहार्ड यूलर की कृतियाँ थीं। वह लघुगणक को घात के विपरीत मानने वाले पहले व्यक्ति थे; उन्होंने "लघुगणक आधार" और "मेंटिसा" शब्द प्रस्तुत किए। ब्रिग्स ने आधार 10 के साथ लघुगणक की तालिकाएँ संकलित कीं। दशमलव तालिकाएँ व्यावहारिक उपयोग के लिए अधिक सुविधाजनक हैं, उनका सिद्धांत है। नेपियर के लघुगणक की तुलना में सरल। इसलिए, दशमलव लघुगणक को कभी-कभी ब्रिग्स लघुगणक कहा जाता है। "लक्षणीकरण" शब्द ब्रिग्स द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

उन दूर के समय में, जब ऋषियों ने पहली बार अज्ञात मात्राओं वाली समानताओं के बारे में सोचना शुरू किया, तो संभवतः कोई सिक्के या बटुए नहीं थे। लेकिन वहाँ ढेर, साथ ही बर्तन और टोकरियाँ भी थीं, जो भंडारण कैश की भूमिका के लिए बिल्कुल उपयुक्त थीं जिनमें अज्ञात संख्या में वस्तुएँ रखी जा सकती थीं। पूर्वजों में गणितीय समस्याएँमेसोपोटामिया, भारत, चीन, ग्रीस, अज्ञात मात्रा में बगीचे में मोरों की संख्या, झुंड में बैलों की संख्या, संपत्ति को विभाजित करते समय ध्यान में रखी गई चीजों की समग्रता व्यक्त की गई। गुप्त ज्ञान में दीक्षित शास्त्री, अधिकारी और पुजारी, हिसाब-किताब के विज्ञान में अच्छी तरह से प्रशिक्षित, ऐसे कार्यों को काफी सफलतापूर्वक पूरा करते थे।

जो सूत्र हम तक पहुँचे हैं, उनसे संकेत मिलता है कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास अज्ञात मात्राओं से जुड़ी समस्याओं को हल करने की कुछ सामान्य तकनीकें थीं। हालाँकि, एक भी पपीरस या मिट्टी की गोली में इन तकनीकों का विवरण नहीं है। लेखक केवल कभी-कभार ही अपनी संख्यात्मक गणनाएँ संक्षिप्त टिप्पणियों के साथ प्रदान करते हैं जैसे: "देखो!", "ऐसा करो!", "आपको सही मिला।" इस अर्थ में, अपवाद अलेक्जेंड्रिया (III सदी) के ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस का "अंकगणित" है - उनके समाधानों की व्यवस्थित प्रस्तुति के साथ समीकरण बनाने के लिए समस्याओं का एक संग्रह।

हालाँकि, समस्याओं को हल करने के लिए पहला मैनुअल जो व्यापक रूप से जाना गया, वह 9वीं शताब्दी के बगदाद वैज्ञानिक का काम था। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी। इस ग्रंथ के अरबी नाम से "अल-जबर" शब्द - "किताब अल-जबर वल-मुकाबला" ("पुनर्स्थापना और विरोध की पुस्तक") - समय के साथ प्रसिद्ध शब्द "बीजगणित" में बदल गया, और काम अल-ख़्वारिज़्मी ने ही समीकरणों को हल करने के विज्ञान के विकास में शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया।

लघुगणकीय समीकरण और असमानताएँ

1. लघुगणकीय समीकरण

वह समीकरण जिसमें लघुगणक चिह्न के नीचे या उसके आधार पर कोई अज्ञात हो, कहलाता है लघुगणकीय समीकरण.

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण रूप का एक समीकरण है

लकड़ी का लट्ठा ए एक्स = बी . (1)

कथन 1. यदि ए > 0, ए≠ 1, किसी वास्तविक के लिए समीकरण (1)। बीएक अनोखा समाधान है एक्स = ए बी .

उदाहरण 1. समीकरण हल करें:

ए)लॉग 2 एक्स= 3, बी) लॉग 3 एक्स= -1, सी)

समाधान। कथन 1 का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं a) एक्स= 2 3 या एक्स= 8; बी) एक्स= 3 -1 या एक्स= 1/3 ; सी)

या एक्स = 1.

आइए हम लघुगणक के मूल गुण प्रस्तुत करें।

पी1. मूल लघुगणकीय पहचान:

कहाँ ए > 0, ए≠ 1 और बी > 0.

पी2. सकारात्मक कारकों के उत्पाद का लघुगणक योग के बराबरइन कारकों के लघुगणक:

लकड़ी का लट्ठा ए एन 1 · एन 2 = लॉग ए एन 1 + लॉग ए एन 2 (ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। अगर एन 1 · एन 2 > 0, तब गुण P2 का रूप लेता है

लकड़ी का लट्ठा ए एन 1 · एन 2 = लॉग ए |एन 1 | +लॉग ए |एन 2 | (ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 · एन 2 > 0).

पी3. दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है

(ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। अगर

, (जो समतुल्य है एन 1 एन 2 > 0) तो गुण P3 का रूप ले लेता है (ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 एन 2 > 0).

पी4. किसी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस संख्या के लघुगणक के बराबर होता है:

लकड़ी का लट्ठा ए एन के = केलकड़ी का लट्ठा ए एन (ए > 0, ए ≠ 1, एन > 0).

टिप्पणी। अगर के - सम संख्या (के = 2एस), वह

लकड़ी का लट्ठा ए एन 2एस = 2एसलकड़ी का लट्ठा ए |एन | (ए > 0, ए ≠ 1, एन ≠ 0).

पी5. दूसरे बेस पर जाने का फॉर्मूला:

(ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1, एन > 0),

विशेषकर यदि एन = बी, हम पाते हैं

(ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1). (2)

गुण P4 और P5 का उपयोग करके, निम्नलिखित गुण प्राप्त करना आसान है

(ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (3) (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (4) (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (5)

और, यदि (5) में सी- सम संख्या ( सी = 2एन), धारण करता है

(बी > 0, ए ≠ 0, |ए | ≠ 1). (6)

आइए हम लघुगणकीय फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करें एफ (एक्स) = लॉग ए एक्स :

1. लघुगणक फलन की परिभाषा का क्षेत्र धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।

2. लघुगणकीय फ़ंक्शन के मानों की सीमा वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

3. कब ए> 1 लॉगरिदमिक फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है (0< एक्स 1 < एक्स 2लॉग ए एक्स 1 < logए एक्स 2), और 0 पर< ए < 1, - строго убывает (0 < एक्स 1 < एक्स 2लॉग ए एक्स 1 > लॉग ए एक्स 2).

4.लॉग ए 1 = 0 और लॉग करें ए ए = 1 (ए > 0, ए ≠ 1).

5. यदि ए> 1, तब लघुगणकीय फलन ऋणात्मक होता है एक्स(0;1) और सकारात्मक पर एक्स(1;+∞), और यदि 0< ए < 1, то логарифмическая функция положительна при एक्स (0;1) और नकारात्मक पर एक्स (1;+∞).

6. यदि ए> 1, तो लघुगणक फलन ऊपर की ओर उत्तल है, और यदि ए(0;1) - नीचे की ओर उत्तल।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय निम्नलिखित कथनों (उदाहरण के लिए देखें) का उपयोग किया जाता है।

किसी असमानता को लघुगणकीय कहा जाता है यदि उसमें कोई लघुगणकीय फलन हो।

समाधान के तरीके लघुगणकीय असमानताएँदो चीजों को छोड़कर, से अलग नहीं।

सबसे पहले, लघुगणकीय असमानता से उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता की ओर बढ़ते समय, किसी को ऐसा करना चाहिए परिणामी असमानता के संकेत का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है.

यदि लघुगणकीय फ़ंक्शन का आधार $1$ से अधिक है, तो लघुगणकीय असमानता से सबलॉगरिदमिक कार्यों की असमानता की ओर बढ़ने पर, असमानता का संकेत संरक्षित रहता है, लेकिन यदि यह $1$ से कम है, तो यह विपरीत में बदल जाता है .

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता को हल करने के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता होगी, और दूसरा लघुगणकीय असमानता में शामिल लघुगणकीय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का अंतराल होगा।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिह्न नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in )