व्युत्पन्न किस बिंदु पर घटता है? किस बिंदु पर व्युत्पन्न सबसे बड़ा है?

(चित्र .1)

चित्र 1. व्युत्पन्न ग्राफ़

व्युत्पन्न ग्राफ़ गुण

1. बढ़ते अंतराल पर, व्युत्पन्न सकारात्मक है। यदि किसी निश्चित अंतराल से किसी निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न का मान धनात्मक हो तो इस अंतराल पर फलन का ग्राफ बढ़ जाता है।
2. घटते अंतराल पर, व्युत्पन्न ऋणात्मक (ऋण चिह्न के साथ) होता है। यदि एक निश्चित अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न है नकारात्मक मूल्य, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ घटता जाता है।
3. बिंदु x पर व्युत्पन्न बराबर है ढलानफ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक ही बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा।
4. फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर, व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है।

उदाहरण 1

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 2) का उपयोग करके, खंड पर किस बिंदु पर निर्धारित करें [-3; 5] कार्य अधिकतम है।

चित्र 2. व्युत्पन्न ग्राफ़

समाधान: इस खंड पर, व्युत्पन्न नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बाएं से दाएं घटता है, और उच्चतम मूल्यबायीं ओर बिंदु-3 पर स्थित है।

उदाहरण 2

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 3) का उपयोग करके, खंड पर अधिकतम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें [-11; 3].

चित्र 3. व्युत्पन्न ग्राफ़

समाधान: अधिकतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है। इस अंतराल पर, फ़ंक्शन चिह्न को प्लस से माइनस में दो बार बदलता है - बिंदु -10 पर और बिंदु -1 पर। इसका मतलब है कि अधिकतम अंकों की संख्या दो है.

उदाहरण 3

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 3) का उपयोग करके, खंड में न्यूनतम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें [-11; -1].

समाधान: न्यूनतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न नकारात्मक से सकारात्मक में बदल जाता है। इस खंड पर ऐसा बिंदु केवल -7 है। इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए खंड पर न्यूनतम अंकों की संख्या एक है।

उदाहरण 4

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 3) का उपयोग करके, चरम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें।

समाधान: चरम बिंदु न्यूनतम और अधिकतम दोनों बिंदु हैं। आइए उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर व्युत्पन्न चिह्न बदलता है।

प्रथम व्युत्पन्न यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित अंतराल में सकारात्मक (नकारात्मक) है, तो इस अंतराल में फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है (नीरस रूप से घटता है)। यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित अंतराल में सकारात्मक (नकारात्मक) है, तो इस अंतराल में फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है (नीरस रूप से घटता है)। अगला

परिभाषा एक वक्र को किसी बिंदु पर उत्तल कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में यह किसी बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित होता है एक वक्र को किसी बिंदु पर अवतल कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में यह किसी बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा से ऊपर स्थित होता है। एक वक्र को किसी बिंदु पर अवतल कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में यह किसी बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा से ऊपर स्थित होता है।

अवतलता और उत्तलता का संकेत यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो इस अंतराल में वक्र अवतल है, और यदि यह नकारात्मक है, तो इस अंतराल में उत्तल है। यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो इस अंतराल में वक्र अवतल है, और यदि यह नकारात्मक है, तो यह इस अंतराल में उत्तल है। परिभाषा

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने की योजना 1. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढें और असंततता बिंदु निर्धारित करें, यदि कोई हो 1. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढें और असंततता बिंदु निर्धारित करें, यदि कोई हो 2. खोजें; यह पता लगाना कि फलन सम है या विषम; इसकी आवधिकता की जांच करें 2. पता लगाएं कि फलन सम है या विषम; इसकी आवधिकता की जाँच करें 3. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें 3. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें 4. पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें 4. महत्वपूर्ण खोजें पहली तरह के बिंदु 5. फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल निर्धारित करें 5. फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल निर्धारित करें 6. उत्तलता और अवतलता के अंतराल निर्धारित करें और विभक्ति बिंदु खोजें 6. उत्तलता और अवतलता के अंतराल निर्धारित करें और विभक्ति बिंदु खोजें 7. शोध परिणामों का उपयोग करके, प्राप्त बिंदुओं को एक चिकने वक्र से जोड़ें 7. शोध परिणामों का उपयोग करके, प्राप्त बिंदुओं को एक चिकने वक्र से जोड़ें आउटपुट

समस्या B9 एक फ़ंक्शन या व्युत्पन्न का एक ग्राफ़ देती है जिससे आपको निम्नलिखित में से एक मात्रा निर्धारित करने की आवश्यकता होती है:

1. किसी बिंदु पर व्युत्पन्न का मान x 0,
2. अधिकतम या न्यूनतम अंक (चरम बिंदु),
3. बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल (एकरसता के अंतराल)।

इस समस्या में प्रस्तुत फ़ंक्शन और डेरिवेटिव हमेशा निरंतर होते हैं, जिससे समाधान बहुत आसान हो जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि कार्य गणितीय विश्लेषण के अनुभाग से संबंधित है, यहां तक ​​कि सबसे कमजोर छात्र भी इसे कर सकते हैं, क्योंकि यहां किसी गहन सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है।

व्युत्पन्न, चरम बिंदु और एकरसता अंतराल का मान ज्ञात करने के लिए, सरल और सार्वभौमिक एल्गोरिदम हैं - उन सभी पर नीचे चर्चा की जाएगी।

मूर्खतापूर्ण गलतियाँ करने से बचने के लिए समस्या B9 की शर्तों को ध्यान से पढ़ें: कभी-कभी आपको काफी लंबे पाठ देखने को मिलते हैं, लेकिन महत्वपूर्ण शर्तें, जो निर्णय की दिशा को प्रभावित करते हैं, बहुत कम हैं।

व्युत्पन्न मूल्य की गणना. दो बिंदु विधि

यदि समस्या में किसी बिंदु x 0 पर इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा फ़ंक्शन f(x) का ग्राफ़ दिया गया है, और इस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना आवश्यक है, तो निम्नलिखित एल्गोरिदम लागू किया जाता है:

1. स्पर्शरेखा ग्राफ़ पर दो "पर्याप्त" बिंदु खोजें: उनके निर्देशांक पूर्णांक होने चाहिए। आइए इन बिंदुओं को A (x 1 ; y 1) और B (x 2 ; y 2) के रूप में निरूपित करें। निर्देशांकों को सही ढंग से लिखें - यह समाधान में एक महत्वपूर्ण बिंदु है, और यहां कोई भी गलती गलत उत्तर की ओर ले जाएगी।
2. निर्देशांक को जानने के बाद, तर्क Δx = x 2 - x 1 की वृद्धि और फ़ंक्शन Δy = y 2 - y 1 की वृद्धि की गणना करना आसान है।
3. अंत में, हम व्युत्पन्न D = Δy/Δx का मान ज्ञात करते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि को तर्क की वृद्धि से विभाजित करने की आवश्यकता है - और यही उत्तर होगा।

आइए एक बार फिर से ध्यान दें: बिंदु ए और बी को सटीक रूप से स्पर्शरेखा पर देखा जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन एफ (एक्स) के ग्राफ़ पर, जैसा कि अक्सर होता है। स्पर्शरेखा रेखा में आवश्यक रूप से कम से कम दो ऐसे बिंदु होंगे - अन्यथा समस्या सही ढंग से तैयार नहीं की जाएगी।

बिंदु A (−3; 2) और B (−1; 6) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

आइए अवकलज का मान ज्ञात करें: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

काम। यह चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु A (0; 3) और B (3; 0) पर विचार करें, वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

अब हम अवकलज का मान ज्ञात करते हैं: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

काम। यह चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु A (0; 2) और B (5; 2) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना बाकी है: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

पिछले उदाहरण से, हम एक नियम बना सकते हैं: यदि स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है। इस मामले में, आपको कुछ भी गिनने की ज़रूरत नहीं है - बस ग्राफ़ को देखें।

अधिकतम और न्यूनतम अंक की गणना

कभी-कभी, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बजाय, समस्या B9 व्युत्पन्न का ग्राफ़ देता है और फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम बिंदु को खोजने की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, दो-बिंदु विधि बेकार है, लेकिन एक और भी सरल एल्गोरिदम है। सबसे पहले, आइए शब्दावली को परिभाषित करें:

1. बिंदु x 0 को फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में निम्नलिखित असमानता है: f(x 0) ≥ f(x)।
2. बिंदु x 0 को फ़ंक्शन f(x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में निम्नलिखित असमानता है: f(x 0) ≤ f(x)।

व्युत्पन्न ग्राफ़ पर अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने के लिए, बस इन चरणों का पालन करें:

1. सभी अनावश्यक जानकारी को हटाते हुए, व्युत्पन्न ग्राफ़ को फिर से बनाएं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अनावश्यक डेटा केवल निर्णय में हस्तक्षेप करता है। इसलिए, हम इस पर ध्यान देते हैं समन्वय अक्षव्युत्पन्न के शून्य - बस इतना ही।
2. शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न ज्ञात कीजिए। यदि किसी बिंदु x 0 के लिए यह ज्ञात है कि f'(x 0) ≠ 0, तो केवल दो विकल्प संभव हैं: f'(x 0) ≥ 0 या f'(x 0) ≤ 0. अवकलज का चिह्न है मूल रेखाचित्र से निर्धारित करना आसान है: यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित है, तो f'(x) ≥ 0. और इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के नीचे स्थित है, तो f'(x) ≤ 0.
3. हम व्युत्पन्न के शून्य और चिह्नों की फिर से जाँच करते हैं। जहां चिह्न ऋण से धन में बदलता है वह न्यूनतम बिंदु है। इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह अधिकतम बिंदु है। गिनती सदैव बाएँ से दाएँ की ओर की जाती है।

यह योजना केवल निरंतर कार्यों के लिए काम करती है - समस्या B9 में कोई अन्य नहीं हैं।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−5; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 5]. इस खंड पर फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं और केवल सीमाएं छोड़ें [−5; 5] और अवकलज x = −3 और x = 2.5 के शून्य। हम संकेतों पर भी ध्यान देते हैं:

जाहिर है, बिंदु x = −3 पर व्युत्पन्न का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। यह न्यूनतम बिंदु है.

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−3; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 7]. इस खंड पर फलन f(x) का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए, केवल सीमाओं को छोड़कर, ग्राफ़ को फिर से बनाएं [−3; 7] और अवकलज x = −1.7 और x = 5 के शून्य। आइए हम परिणामी ग्राफ़ पर अवकलज के चिह्नों पर ध्यान दें। हमारे पास है:

जाहिर है, बिंदु x = 5 पर व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है - यह अधिकतम बिंदु है।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−6; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 4]. खंड [−4;'' से संबंधित फलन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। 3].

समस्या की स्थितियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि ग्राफ़ के केवल खंड [−4; 3]. इसलिए, हम एक नया ग्राफ़ बनाते हैं जिस पर हम केवल सीमाओं को चिह्नित करते हैं [−4; 3] और इसके अंदर व्युत्पन्न के शून्य। अर्थात्, अंक x = −3.5 और x = 2. हमें मिलता है:

इस ग्राफ़ पर केवल एक अधिकतम बिंदु x = 2 है। यह इस बिंदु पर है कि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है।

गैर-पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में एक छोटा सा नोट। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में बिंदु x = −3.5 पर विचार किया गया था, लेकिन उसी सफलता के साथ हम x = −3.4 ले सकते हैं। यदि समस्या को सही ढंग से संकलित किया गया है, तो ऐसे परिवर्तनों का उत्तर पर कोई प्रभाव नहीं पड़ना चाहिए, क्योंकि "बिना निश्चित निवास स्थान के" बिंदु समस्या को हल करने में सीधे भाग नहीं लेते हैं। बेशक, यह युक्ति पूर्णांक बिंदुओं के साथ काम नहीं करेगी।

बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल ढूँढना

ऐसी समस्या में, अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं की तरह, उन क्षेत्रों को खोजने के लिए व्युत्पन्न ग्राफ़ का उपयोग करने का प्रस्ताव है जिनमें फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता या घटता है। सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि वृद्धि और कमी क्या हैं:

1. एक फलन f(x) को एक खंड पर बढ़ता हुआ माना जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . दूसरे शब्दों में, तर्क मान जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन मान उतना ही बड़ा होगा।
2. एक फलन f(x) को किसी खंड पर घटता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2)। वे। उच्च मूल्यतर्क फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

आइए हम बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त स्थितियाँ तैयार करें:

1. खंड पर निरंतर फ़ंक्शन f(x) को बढ़ाने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक हो, यानी। एफ'(एक्स) ≥ 0.
2. एक सतत फलन f(x) के खंड पर घटने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) ≤ 0.

आइए हम इन बयानों को बिना सबूत के स्वीकार कर लें। इस प्रकार, हम बढ़ते और घटते अंतरालों को खोजने के लिए एक योजना प्राप्त करते हैं, जो कई मायनों में चरम बिंदुओं की गणना के लिए एल्गोरिदम के समान है:

1. सभी अनावश्यक जानकारी हटा दें. व्युत्पन्न के मूल ग्राफ़ में, हम मुख्य रूप से फ़ंक्शन के शून्य में रुचि रखते हैं, इसलिए हम केवल उन्हें छोड़ देंगे।
2. शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न अंकित करें। जहां f'(x) ≥ 0, फ़ंक्शन बढ़ता है, और जहां f'(x) ≤ 0, यह घटता है। यदि समस्या वेरिएबल x पर प्रतिबंध लगाती है, तो हम अतिरिक्त रूप से उन्हें एक नए ग्राफ़ पर चिह्नित करते हैं।
3. अब जब हम फ़ंक्शन के व्यवहार और बाधाओं को जानते हैं, तो समस्या में आवश्यक मात्रा की गणना करना बाकी है।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−3; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 7.5]. फलन f(x) के घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांकों का योग इंगित करें।

हमेशा की तरह, आइए ग्राफ़ को फिर से बनाएं और सीमाओं को चिह्नित करें [−3; 7.5], साथ ही अवकलज x = −1.5 और x = 5.3 के शून्य भी। फिर हम व्युत्पन्न के चिह्नों पर ध्यान देते हैं। हमारे पास है:

चूँकि अंतराल (− 1.5) पर अवकलज ऋणात्मक है, यह घटते फलन का अंतराल है। इस अंतराल के अंदर मौजूद सभी पूर्णांकों का योग करना बाकी है:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−10; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 4]. फलन f(x) की वृद्धि के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं। आइए हम केवल सीमाएँ छोड़ें [−10; 4] और अवकलज के शून्य, जिनमें से इस बार चार थे: x = −8, x = −6, x = −3 और x = 2। आइए अवकलज के चिह्नों को चिह्नित करें और निम्नलिखित चित्र प्राप्त करें:

हम बढ़ते फलन के अंतरालों में रुचि रखते हैं, अर्थात्। ऐसे जहां f'(x) ≥ 0. ग्राफ़ पर ऐसे दो अंतराल हैं: (−8; −6) और (−3; 2)। आइए उनकी लंबाई की गणना करें:
एल 1 = − 6 − (−8) = 2;
एल 2 = 2 − (−3) = 5.

चूँकि हमें सबसे बड़े अंतराल की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, हम उत्तर के रूप में मान l 2 = 5 लिखते हैं।

किसी फ़ंक्शन का उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके अध्ययन करना। इस लेख में हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अध्ययन से संबंधित कुछ कार्यों का विश्लेषण करेंगे। ऐसी समस्याओं में, फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिया जाता है और उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करने से संबंधित प्रश्न उठाए जाते हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक (या नकारात्मक) होता है, साथ ही अन्य भी। इन्हें कार्यों के अध्ययन में डेरिवेटिव लागू करने के कार्यों के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

ऐसी समस्याओं को हल करना, और सामान्य तौर पर अनुसंधान से संबंधित समस्याओं को हल करना, कार्यों और व्युत्पन्न के ग्राफ का अध्ययन करने के लिए व्युत्पन्न के गुणों की पूरी समझ के साथ ही संभव है। इसलिए, मैं दृढ़तापूर्वक अनुशंसा करता हूं कि आप प्रासंगिक सिद्धांत का अध्ययन करें। आप अध्ययन भी कर सकते हैं और देख भी सकते हैं (लेकिन इसमें संक्षिप्त सारांश होता है)।

हम उन समस्याओं पर भी विचार करेंगे जहां भविष्य के लेखों में व्युत्पन्न ग्राफ़ दिया गया है, इसे देखने से न चूकें! तो, कार्य:

चित्र अंतराल (−6; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। परिभाषित करना:

1. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है;

2. उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 2 के समानांतर है;

1. किसी फलन का व्युत्पन्न उन अंतरालों पर ऋणात्मक होता है जिन पर फलन घटता है, अर्थात् अंतरालों (−6; -3), (0; 4.2), (6.9; 8) पर। उनमें पूर्णांक बिंदु −5, −4, 1, 2, 3, 4, और 7 हैं। हमें 7 अंक मिलते हैं।

2. प्रत्यक्ष य= 2 अक्ष के समानांतरओहय= 2 केवल चरम बिंदुओं पर (उन बिंदुओं पर जहां ग्राफ़ अपने व्यवहार को बढ़ने से घटने या इसके विपरीत बदलता है)। ऐसे चार बिंदु हैं:-3; 0; 4.2; 6.9

अपने लिए तय करें:

उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है।

चित्र अंतराल (−5; 5) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। परिभाषित करना:

2. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 3 के समानांतर है;

3. उन बिंदुओं की संख्या जिन पर व्युत्पन्न शून्य है;

1. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के गुणों से यह ज्ञात होता है कि यह उन अंतरालों पर सकारात्मक है जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है, अर्थात अंतराल (1.4; 2.5) और (4.4; 5) पर। उनमें केवल एक पूर्णांक बिंदु x = 2 है।

2. प्रत्यक्ष य= 3 अक्ष के समानांतरओह. स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर होगीय= 3 केवल चरम बिंदुओं पर (उन बिंदुओं पर जहां ग्राफ़ अपने व्यवहार को बढ़ने से घटने या इसके विपरीत बदलता है)।

ऐसे चार बिंदु हैं: -4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. व्युत्पन्न चार बिंदुओं (चरम बिंदुओं पर) पर शून्य के बराबर है, हम उन्हें पहले ही इंगित कर चुके हैं।

अपने लिए तय करें:

उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है।

यह चित्र अंतराल (−2; 12) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। खोजो:

1. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है;

2. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है;

3. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 2 के समानांतर है;

4. उन बिंदुओं की संख्या जिन पर व्युत्पन्न शून्य है।

1. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के गुणों से यह ज्ञात होता है कि यह उन अंतरालों पर सकारात्मक होता है जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है, अर्थात अंतराल (-2; 1), (2; 4), (7; 9) और ( 10; 11). उनमें पूर्णांक बिंदु हैं: -1, 0, 3, 8. ये कुल मिलाकर चार हैं।

2. किसी फलन का व्युत्पन्न उन अंतरालों पर ऋणात्मक होता है जिन पर फलन घटता है, अर्थात् अंतरालों (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12) पर। उनमें पूर्णांक अंक 5 और 6 हैं। हमें 2 अंक मिलते हैं।

3. प्रत्यक्ष य= 2 अक्ष के समानांतरओह. स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर होगीय= 2 केवल चरम बिंदुओं पर (उन बिंदुओं पर जहां ग्राफ़ अपने व्यवहार को बढ़ने से घटने या इसके विपरीत बदलता है)। ऐसे सात बिंदु हैं: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11।

4. व्युत्पन्न सात बिंदुओं (चरम बिंदुओं पर) पर शून्य के बराबर है, हम उन्हें पहले ही इंगित कर चुके हैं।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इनमें से एक है कठिन विषयवी स्कूल के पाठ्यक्रम. प्रत्येक स्नातक इस प्रश्न का उत्तर नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह लेख सरल और स्पष्ट तरीके से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रेजेंटेशन में गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात इसका अर्थ समझना है।

आइए परिभाषा याद रखें:

व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

यह चित्र तीन कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। आपके अनुसार इनमें से कौन तेजी से बढ़ रहा है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। उसके पास सबसे ज्यादा है उच्च गतिपरिवर्तन, यानी सबसे बड़ा व्युत्पन्न।

यहाँ एक और उदाहरण है.

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:

ग्राफ़ सब कुछ एक ही बार में दिखाता है, है ना? कोस्त्या की आय छह महीने में दोगुनी से अधिक हो गई। और ग्रिशा की आय भी बढ़ी, लेकिन थोड़ी सी। और मैटवे की आय शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियाँ समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर समान है यौगिक, - अलग। जहां तक ​​मैटवे का सवाल है, उनका आय व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम यह कैसे करें?

हम वास्तव में यह देख रहे हैं कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के बदलने पर y कितनी तेजी से बदलता है? जाहिर है, वही कार्य अलग-अलग बिंदुहो सकता है अलग अर्थव्युत्पन्न - अर्थात यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दर्शाया गया है।

हम आपको दिखाएंगे कि ग्राफ़ का उपयोग करके इसे कैसे खोजा जाए।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचा गया है. आइए एक बिंदु लें जिस पर भुज है। आइए इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम यह अनुमान लगाना चाहते हैं कि फ़ंक्शन ग्राफ़ कितनी तेज़ी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक सुविधाजनक मूल्य है स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींचे गए स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

कृपया ध्यान दें कि स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण को लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसका इस अनुभाग में ग्राफ़ के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है, और जैसा कि हमारे चित्र में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्शरेखा की तरह दिखता है।

आइए इसे खोजें. हमें याद है कि एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा सही त्रिकोण अनुपात के बराबरआसन्न के विपरीत पक्ष। त्रिभुज से:

हमने फ़ंक्शन का सूत्र जाने बिना ही ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में संख्या के अंतर्गत ऐसी समस्याएँ अक्सर पाई जाती हैं।

एक और महत्वपूर्ण रिश्ता है. याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

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हमें वह मिल गया

आइए इस सूत्र को याद रखें. वह व्यक्त करती है ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फ़ंक्शन के अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग व्युत्पन्न हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस कार्य को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें और अन्य में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन में अधिकतम और न्यूनतम अंक होने दें।

एक बिंदु पर कार्य बढ़ जाता है। बिंदु पर खींचे गए ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बनती है तीव्र कोण; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. इसका मतलब है कि बिंदु पर व्युत्पन्न सकारात्मक है।

इस बिंदु पर हमारा कार्य कम हो जाता है। इस बिंदु पर स्पर्श रेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. चूँकि अधिक कोण की स्पर्शरेखा ऋणात्मक होती है, बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।

यहाँ क्या होता है:

यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो उसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि बिंदुओं (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा का स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु - अधिकतम बिंदु. इस बिंदु पर, फ़ंक्शन में वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का चिह्न बिंदु पर "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य है, लेकिन इसका चिह्न "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न का उपयोग करके, हम किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में वह सब कुछ सीख सकते हैं जिसमें हमारी रुचि है।

यदि व्युत्पन्न धनात्मक है, तो फलन बढ़ जाता है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट जाता है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य होता है और चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और चिह्न "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

आइए इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखें:

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण दें। समस्या का समाधान करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। दूसरा - पहले वर्ष में, फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

यह संभव है कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम। यह तथाकथित है :

एक बिंदु पर, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्षैतिज है और व्युत्पन्न शून्य है। हालाँकि, बिंदु से पहले कार्य बढ़ता गया - और बिंदु के बाद यह बढ़ता ही जाता है। व्युत्पन्न का चिह्न नहीं बदलता - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक रहता है।

ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ़ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव होता है।

यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा नहीं, बल्कि सूत्र द्वारा दिया गया है तो व्युत्पन्न कैसे खोजें? इस मामले में यह लागू होता है