विभिन्न प्रिज्म एक दूसरे से भिन्न होते हैं। साथ ही, उनमें बहुत सी समानताएं हैं। प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको यह समझना होगा कि यह किस प्रकार का है।
सामान्य सिद्धांत
प्रिज्म कोई भी बहुफलक होता है दोनों पक्षजिसका आकार समांतर चतुर्भुज जैसा है। इसके अलावा, इसका आधार कोई भी बहुफलक हो सकता है - एक त्रिभुज से लेकर एक एन-गॉन तक। इसके अलावा, प्रिज्म के आधार हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं। पार्श्व चेहरों पर जो बात लागू नहीं होती वह यह है कि वे आकार में काफी भिन्न हो सकते हैं।
समस्याओं को हल करते समय न केवल प्रिज्म के आधार क्षेत्र का सामना करना पड़ता है। इसके लिए पार्श्व सतह का ज्ञान आवश्यक हो सकता है, अर्थात वे सभी फलक जो आधार नहीं हैं। पूरी सतह उन सभी चेहरों का मिलन होगी जो प्रिज्म बनाते हैं।
कभी-कभी समस्याओं में ऊंचाई भी शामिल होती है। यह आधारों के लंबवत है। एक बहुफलक का विकर्ण एक खंड है जो किन्हीं दो शीर्षों को जोड़े में जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे या झुके हुए प्रिज्म का आधार क्षेत्र उनके और पार्श्व चेहरों के बीच के कोण पर निर्भर नहीं करता है। यदि उनके ऊपर और नीचे के फलकों पर समान आकृतियाँ हैं, तो उनका क्षेत्रफल बराबर होगा।
त्रिकोणीय प्रिज्म
इसके आधार पर तीन शीर्षों वाली एक आकृति अर्थात एक त्रिभुज है। जैसा कि आप जानते हैं, यह भिन्न हो सकता है। यदि हां, तो यह याद रखना पर्याप्त है कि इसका क्षेत्रफल पैरों के आधे उत्पाद से निर्धारित होता है।
गणितीय संकेतन इस प्रकार दिखता है: S = ½ av.
आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सामान्य रूप से देखें, सूत्र उपयोगी होंगे: बगुला और वह जिसकी भुजा का आधा भाग खींची गई ऊँचाई तक ले जाया जाता है।
पहला सूत्र इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). इस अंकन में एक अर्ध-परिधि (पी) शामिल है, अर्थात, तीन भुजाओं का योग दो से विभाजित होता है।
दूसरा: एस = ½ एन ए * ए।
यदि आप किसी त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहें, जो नियमित हो, तो त्रिभुज समबाहु बनता है। इसके लिए एक सूत्र है: S = ¼ a 2 * √3.
चतुष्कोणीय प्रिज्म
इसका आधार ज्ञात चतुर्भुजों में से कोई एक है। यह एक आयताकार या वर्गाकार, समांतर चतुर्भुज या समचतुर्भुज हो सकता है। प्रत्येक मामले में, प्रिज्म के आधार के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको अपने स्वयं के सूत्र की आवश्यकता होगी।
यदि आधार एक आयत है, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: S = ab, जहाँ a, b आयत की भुजाएँ हैं।
जब चतुर्भुज प्रिज्म की बात आती है, तो आधार क्षेत्र सही प्रिज्मएक वर्ग के सूत्र का उपयोग करके गणना की गई। क्योंकि वही बुनियाद में है। एस = ए 2.
उस स्थिति में जब आधार एक समांतर चतुर्भुज है, तो निम्नलिखित समानता की आवश्यकता होगी: S = a * n a। ऐसा होता है कि एक समांतर चतुर्भुज की भुजा और एक कोण दिया गया है। फिर, ऊंचाई की गणना करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी: n a = b * पाप A. इसके अलावा, कोण A भुजा "b" के निकट है, और ऊंचाई n इस कोण के विपरीत है।
यदि प्रिज्म के आधार पर एक समचतुर्भुज है, तो इसका क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए आपको समांतर चतुर्भुज के समान सूत्र की आवश्यकता होगी (क्योंकि यह इसका एक विशेष मामला है)। लेकिन आप इसका भी उपयोग कर सकते हैं: S = ½ d 1 d 2. यहाँ d 1 और d 2 समचतुर्भुज के दो विकर्ण हैं।
नियमित पंचकोणीय प्रिज्म
इस मामले में बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करना शामिल है, जिनके क्षेत्रफल का पता लगाना आसान है। हालाँकि ऐसा होता है कि आकृतियों के शीर्षों की संख्या अलग-अलग हो सकती है।
चूँकि प्रिज्म का आधार एक नियमित पंचभुज है, इसे पाँच समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। फिर प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ऐसे एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है (सूत्र ऊपर देखा जा सकता है), पांच से गुणा किया जाता है।
नियमित षट्कोणीय प्रिज्म
पंचकोणीय प्रिज्म के लिए वर्णित सिद्धांत के अनुसार आधार के षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित करना संभव है। ऐसे प्रिज्म के आधार क्षेत्र का सूत्र पिछले वाले के समान है। केवल इसे छह से गुणा किया जाना चाहिए।
सूत्र इस प्रकार दिखेगा: S = 3/2 a 2 * √3.
कार्य
नंबर 1. एक नियमित सीधी रेखा दी गई है, इसका विकर्ण 22 सेमी है, पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई 14 सेमी है, प्रिज्म के आधार और पूरी सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।
समाधान।प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, लेकिन इसका पक्ष अज्ञात है। आप इसका मान वर्ग (x) के विकर्ण से ज्ञात कर सकते हैं, जो प्रिज्म के विकर्ण (d) और उसकी ऊँचाई (h) से संबंधित है। एक्स 2 = डी 2 - एन 2. दूसरी ओर, यह खंड "x" एक त्रिभुज में कर्ण है जिसके पैर वर्ग की भुजा के बराबर हैं। यानी x 2 = a 2 + a 2. इस प्रकार यह पता चलता है कि a 2 = (d 2 - n 2)/2।
d के स्थान पर संख्या 22 रखें, और "n" को उसके मान - 14 से बदलें, यह पता चलता है कि वर्ग की भुजा 12 सेमी है। अब बस आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें: 12 * 12 = 144 सेमी 2.
संपूर्ण सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको आधार क्षेत्रफल को दोगुना और पार्श्व क्षेत्रफल को चौगुना जोड़ना होगा। उत्तरार्द्ध को आयत के सूत्र का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है: पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई और आधार के किनारे को गुणा करें। यानी 14 और 12, यह संख्या 168 सेमी 2 के बराबर होगी। प्रिज्म का कुल सतह क्षेत्रफल 960 सेमी 2 निकला।
उत्तर।प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 144 सेमी 2 है। संपूर्ण सतह 960 सेमी 2 है।
क्रमांक 2. आधार पर 6 सेमी भुजा वाला एक त्रिभुज है। इस स्थिति में, पार्श्व फलक का विकर्ण 10 सेमी है। क्षेत्रफल की गणना करें: आधार और पार्श्व सतह।
समाधान।चूँकि प्रिज्म नियमित है, इसका आधार है समान भुजाओं वाला त्रिकोण. इसलिए, इसका क्षेत्रफल ¼ से गुणा करने पर और 3 के वर्गमूल से गुणा करने पर 6 वर्ग के बराबर निकलता है। एक सरल गणना से परिणाम मिलता है: 9√3 सेमी 2। यह प्रिज्म के एक आधार का क्षेत्र है.
सभी पार्श्व चेहरेसमान हैं और 6 और 10 सेमी की भुजाओं वाले आयत हैं, उनके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, इन संख्याओं को गुणा करना पर्याप्त है। फिर उन्हें तीन से गुणा करें, क्योंकि प्रिज्म में बिल्कुल उतने ही पार्श्व फलक हैं। तब घाव की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 हो जाता है।
उत्तर।क्षेत्रफल: आधार - 9√3 सेमी 2, प्रिज्म की पार्श्व सतह - 180 सेमी 2।
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1. सबसे छोटी संख्याचतुष्फलक में 6 किनारे होते हैं।
2. एक प्रिज्म के n फलक होते हैं। इसके आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है?
(एन - 2) - वर्ग।
3. क्या कोई प्रिज्म सीधा है यदि उसके दो आसन्न पार्श्व फलक आधार के तल के लंबवत हों?
हां यह है।
4. किस प्रिज्म में पार्श्व किनारे उसकी ऊंचाई के समानांतर हैं?
सीधे प्रिज्म में.
5. क्या एक प्रिज्म नियमित है यदि उसके सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों?
नहीं, यह प्रत्यक्ष नहीं हो सकता.
6. क्या झुके हुए प्रिज्म के किसी एक पार्श्व फलक की ऊंचाई भी प्रिज्म की ऊंचाई हो सकती है?
हां, यदि यह फलक आधार से लंबवत है।
7. क्या कोई प्रिज्म है जिसमें: क) पार्श्व किनारा आधार के केवल एक किनारे पर लंबवत है; ख) केवल एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है?
क) हाँ. बी) नहीं.
8. एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म आधारों की मध्य रेखाओं से गुजरने वाले एक विमान द्वारा दो प्रिज्मों में विभाजित होता है। इन प्रिज्मों के पार्श्व सतह क्षेत्रों का अनुपात क्या है?
प्रमेय 27 से हम पाते हैं कि पार्श्व सतहों का अनुपात 5:3 है
9. यदि पिरामिड के पार्श्व फलक नियमित त्रिभुज हों तो क्या पिरामिड नियमित होगा?
10. एक पिरामिड के आधार तल पर लंबवत कितने फलक हो सकते हैं?
11. क्या कोई चतुर्भुज पिरामिड है जिसके विपरीत पार्श्व फलक आधार से लंबवत हैं?
नहीं, अन्यथा पिरामिड के शीर्ष से होकर, आधारों के लंबवत, कम से कम दो सीधी रेखाएँ गुजरती होंगी।
12. क्या त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी फलक समकोण त्रिभुज हो सकते हैं?
हाँ (चित्र 183)।
परिभाषा 1. प्रिज्मीय सतह
प्रमेय 1. प्रिज्मीय सतह के समानांतर खंडों पर
परिभाषा 2. प्रिज्मीय सतह का लंबवत खंड
परिभाषा 3. प्रिज्म
परिभाषा 4. प्रिज्म की ऊंचाई
परिभाषा 5. दायां प्रिज्म
प्रमेय 2. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल
समानांतर खात :
परिभाषा 6. समांतर चतुर्भुज
प्रमेय 3. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर
परिभाषा 7. दायां समान्तर चतुर्भुज
परिभाषा 8. आयताकार समांतर चतुर्भुज
परिभाषा 9. एक समान्तर चतुर्भुज का माप
परिभाषा 10. घन
परिभाषा 11. रॉम्बोहेड्रोन
प्रमेय 4. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्णों पर
प्रमेय 5. एक प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 6. एक सीधे प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 7. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन
चश्मेएक बहुफलक है जिसके दो फलक (आधार) समानांतर तलों में स्थित होते हैं, और जो किनारे इन फलकों में नहीं होते वे एक दूसरे के समानांतर होते हैं।
आधारों के अतिरिक्त अन्य फलकों को कहा जाता है पार्श्व.
पार्श्व फलकों और आधारों की भुजाएँ कहलाती हैं प्रिज्म पसलियाँ, किनारों के सिरे कहलाते हैं प्रिज्म के शीर्ष. पार्श्व पसलियाँवे किनारे जो आधार से संबंधित नहीं होते, कहलाते हैं। पार्श्व फलकों का मिलन कहलाता है प्रिज्म की पार्श्व सतह, और सभी चेहरों का मिलन कहलाता है प्रिज्म की पूरी सतह. प्रिज्म की ऊंचाईऊपरी आधार के बिंदु से निचले आधार के तल पर गिराया गया लंब या इस लंब की लंबाई कहलाता है। 
प्रत्यक्ष प्रिज्मप्रिज्म कहलाता है जिसके पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत होते हैं। 
सहीइसे एक सीधा प्रिज्म कहा जाता है (चित्र 3), जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज स्थित है।
पदनाम:
एल - पार्श्व पसली;
पी - आधार परिधि;
एस ओ - आधार क्षेत्र;
एच - ऊंचाई;
पी^ - लंबवत खंड परिधि;
एस बी - पार्श्व सतह क्षेत्र;
वी - मात्रा;
एस पी - क्षेत्र पूरी सतहप्रिज्म.
|
वी=एसएच |
*यह माना जाता है कि प्रत्येक दो क्रमिक तल प्रतिच्छेद करते हैं और अंतिम तल पहले को प्रतिच्छेद करता है
प्रमेय 1 . एक दूसरे के समानांतर (लेकिन इसके किनारों के समानांतर नहीं) विमानों द्वारा प्रिज्मीय सतह के खंड समान बहुभुज होते हैं।
मान लीजिए कि ABCDE और A"B"C"D"E" दो समानांतर समतलों द्वारा एक प्रिज्मीय सतह के खंड हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि ये दो बहुभुज बराबर हैं, यह दिखाना पर्याप्त है कि त्रिभुज ABC और A"B"C" हैं समान हैं और घूर्णन की दिशा समान है और त्रिकोण एबीडी और ए"बी"डी", एबीई और ए"बी"ई" के लिए भी यही बात लागू होती है। लेकिन इन त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानांतर हैं (उदाहरण के लिए, AC, AC के समानांतर है) जैसे कि दो समानांतर विमानों के साथ एक निश्चित विमान की प्रतिच्छेदन रेखा; इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये भुजाएँ समान हैं (उदाहरण के लिए, AC, A"C" के बराबर है), एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की तरह, और इन भुजाओं से बने कोण समान होते हैं और उनकी दिशा समान होती है।
परिभाषा 2 . प्रिज्मीय सतह का एक लंबवत खंड इस सतह का एक खंड है जो इसके किनारों पर लंबवत होता है। पिछले प्रमेय के आधार पर, एक ही प्रिज्मीय सतह के सभी लंबवत खंड समान बहुभुज होंगे।
परिभाषा 3
. प्रिज्म एक बहुफलक है जो एक प्रिज्मीय सतह और एक दूसरे के समानांतर दो विमानों से घिरा होता है (लेकिन प्रिज्मीय सतह के किनारों के समानांतर नहीं)
इन अंतिम तलों में पड़े चेहरों को कहा जाता है प्रिज्म आधार; प्रिज्मीय सतह से संबंधित चेहरे - पार्श्व चेहरे; प्रिज्मीय सतह के किनारे - प्रिज्म की पार्श्व पसलियाँ. पिछले प्रमेय के आधार पर प्रिज्म का आधार है समान बहुभुज. प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक - समानांतर चतुर्भुज
; सभी पार्श्व पसलियाँ एक दूसरे के बराबर हैं।
जाहिर है, यदि प्रिज्म का आधार ABCDE और किनारों में से एक AA" आकार और दिशा में दिया गया है, तो किनारों BB", CC", ... को किनारे AA के बराबर और समानांतर खींचकर एक प्रिज्म का निर्माण करना संभव है। .
परिभाषा 4 . किसी प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के तलों के बीच की दूरी (HH") होती है।
परिभाषा 5
. एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि उसके आधार प्रिज्मीय सतह के लंबवत खंड हों। इस मामले में, प्रिज्म की ऊंचाई, निश्चित रूप से, इसकी है पार्श्व पसली; पार्श्व किनारे होंगे आयत.
प्रिज्मों को पार्श्व फलकों की संख्या के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है, समान संख्याबहुभुज के किनारे जो इसके आधार के रूप में कार्य करते हैं। इस प्रकार, प्रिज्म त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय आदि हो सकते हैं।
प्रमेय 2
. प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र उत्पाद के बराबर है पार्श्व पसलीलम्बवत् खंड की परिधि तक।
मान लीजिए कि ABCDEA"B"C"D"E" एक दिया गया प्रिज्म है और इसका लंबवत खंड abcde है, ताकि खंड ab, bc, .. इसके पार्श्व किनारों पर लंबवत हों। फलक ABA"B" एक समांतर चतुर्भुज है; इसका क्षेत्रफल आधार AA के गुणनफल के बराबर है " उस ऊँचाई तक जो ab से मेल खाती है; चेहरे का क्षेत्र ВСВ "С" आधार ВВ के उत्पाद के बराबर है ऊंचाई बीसी, आदि द्वारा। नतीजतन, पार्श्व सतह(अर्थात, पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग) पार्श्व किनारे के गुणनफल के बराबर है, दूसरे शब्दों में, खंड AA", BB", .. की कुल लंबाई, ab+bc+cd के योग से +डी+ईए.