द्विघात फलन के ग्राफ का शीर्ष कैसे ज्ञात करें। द्विघात फलन

गणित में सर्वसमिकाओं का एक पूरा चक्र होता है, जिनमें द्विघात समीकरण महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। ऐसी समानताओं को अलग-अलग हल किया जा सकता है और समन्वय अक्ष पर ग्राफ़ बनाया जा सकता है। समीकरण परवलय और सीधी रेखा ओह के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

सामान्य रूप से देखें

में सामान्य रूप से देखेंनिम्नलिखित संरचना है:

व्यक्तिगत चर और संपूर्ण अभिव्यक्ति दोनों को "X" माना जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

ऐसे मामले में जब x की भूमिका एक अभिव्यक्ति है, इसे एक चर के रूप में प्रस्तुत करना और उसके बाद बहुपद को बराबर करना और x खोजना आवश्यक है।

तो, यदि (x+7)=a, तो समीकरण 2 +3a+2=0 का रूप लेता है।

डी=3 2 -4*1*2=1;

और 1 =(-3-1)/2*1=-2;

और 2 =(-3+1)/2*1=-1.

-2 और -1 के बराबर मूलों के साथ, हमें निम्नलिखित मिलता है:

x+7=-2 और x+7=-1;

जड़ें उस बिंदु का x-निर्देशांक मान हैं जहां परवलय x-अक्ष को काटता है। सिद्धांत रूप में, उनका मूल्य इतना महत्वपूर्ण नहीं है यदि कार्य केवल परवलय के शीर्ष को खोजना है। लेकिन ग्राफ़ बनाने के लिए जड़ें एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।

आइए प्रारंभिक समीकरण पर वापस लौटें। परवलय का शीर्ष कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको निम्नलिखित सूत्र जानने की आवश्यकता है:

जहां x VP वांछित बिंदु का x-निर्देशांक मान है।

लेकिन y-निर्देशांक मान के बिना परवलय का शीर्ष कैसे ज्ञात करें? हम परिणामी x मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और वांछित चर पाते हैं। उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित समीकरण को हल करें:

परवलय के शीर्ष के लिए x-निर्देशांक मान ज्ञात करें:

x वीपी =-बी/2ए=-3/2*1;

परवलय के शीर्ष के लिए y-निर्देशांक मान ज्ञात कीजिए:

y=2x 2 +4x-3=(-1.5) 2 +3*(-1.5)-5;

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि परवलय का शीर्ष निर्देशांक (-1.5;-7.25) वाले बिंदु पर स्थित है।

परवलय उन बिंदुओं का एक संयोजन है जिसमें एक ऊर्ध्वाधर होता है। इस कारण से, इसका निर्माण स्वयं विशेष रूप से कठिन नहीं है। सबसे कठिन काम है बिंदुओं के निर्देशांक की सही गणना करना।

भुगतान करने लायक विशेष ध्यानबाधाओं के लिए द्विघात समीकरण.

गुणांक a परवलय की दिशा को प्रभावित करता है। उस मामले में जहां उसके पास है नकारात्मक मूल्य, शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाएगा, और एक सकारात्मक संकेत के साथ - ऊपर की ओर।

गुणांक b इंगित करता है कि परवलय भुजा कितनी चौड़ी होगी। इसका मूल्य जितना अधिक होगा, यह उतना ही व्यापक होगा।

गुणांक सी मूल के सापेक्ष ऑप अक्ष के साथ परवलय के विस्थापन को इंगित करता है।

हम पहले ही सीख चुके हैं कि परवलय का शीर्ष कैसे ज्ञात किया जाता है, और मूल ज्ञात करने के लिए, हमें निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्देशित होना चाहिए:

जहाँ D वह विवेचक है जो समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए आवश्यक है।

x 1 =(-बी+वी - डी)/2ए

x 2 =(-बी-वी - डी)/2ए

परिणामी x मान शून्य y मान के अनुरूप होंगे, क्योंकि वे OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

इसके बाद हम परिणामी मानों को परवलय के शीर्ष पर अंकित करते हैं। अधिक विस्तृत ग्राफ़ के लिए, आपको कुछ और बिंदु ढूंढने होंगे। ऐसा करने के लिए, परिभाषा के क्षेत्र द्वारा अनुमत x का कोई भी मान चुनें और इसे फ़ंक्शन के समीकरण में प्रतिस्थापित करें। गणना का परिणाम ऑप-एम्प अक्ष के साथ बिंदु का समन्वय होगा।

रेखांकन प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए, आप परवलय के शीर्ष से होकर OX अक्ष के लंबवत एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींच सकते हैं। इसकी सहायता से, एक बिंदु होने पर, आप खींची गई रेखा से समान दूरी पर दूसरा बिंदु निर्दिष्ट कर सकते हैं।

सामग्री:

परवलय का शीर्ष उसका उच्चतम या निम्नतम बिंदु होता है। परवलय का शीर्ष ज्ञात करने के लिए, आप एक विशेष सूत्र या वर्ग जोड़ विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह कैसे करना है नीचे बताया गया है।

कदम

1 शीर्ष ज्ञात करने का सूत्र

1. 1 a, b, और c का मान ज्ञात कीजिए।द्विघात समीकरण में, गुणांक पर एक्स 2 = ए,पर एक्स= बी, स्थिरांक (चर के बिना गुणांक) = सी।उदाहरण के लिए, समीकरण लें: य = एक्स 2 + 9एक्स + 18.यहाँ ए = 1, बी= 9, और सी = 18.
2. 2 किसी शीर्ष के x निर्देशांक मान की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें।शीर्ष परवलय की समरूपता का बिंदु भी है। परवलय का x निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र: एक्स = -बी/2ए.गणना करने के लिए इसमें उचित मान रखें एक्स.
   • x=-b/2a
   • x=-(9)/(2)(1)
   • x=-9/2
3. 3 Y मान की गणना करने के लिए पाए गए x मान को मूल समीकरण में रखें।अब जब आप x का मान जानते हैं, तो बस इसे y खोजने के लिए मूल समीकरण में जोड़ें। इस प्रकार, परवलय का शीर्ष ज्ञात करने का सूत्र एक फलन के रूप में लिखा जा सकता है: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. इसका मतलब यह है कि y को खोजने के लिए, आपको पहले सूत्र का उपयोग करके x को खोजना होगा, और फिर मूल समीकरण में x के मान को प्रतिस्थापित करना होगा। यहां बताया गया है कि यह कैसे किया जाता है:
   • y = x 2 + 9x + 18
   • y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
   • y = 81/4 -81/2 + 18
   • y = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81 - 162 + 72)/4
   • y = -9/4
4. 4 निर्देशांक की एक जोड़ी के रूप में x और y मान लिखें।अब जब आप जानते हैं कि x = -9/2 और y = -9/4, तो उन्हें निर्देशांक के रूप में इस रूप में लिखें: (-9/2, -9/4)। परवलय का शीर्ष निर्देशांक (-9/2, -9/4) पर स्थित है। यदि आपको इस परवलय को खींचने की आवश्यकता है, तो इसका शीर्ष निचले बिंदु पर स्थित है, क्योंकि x 2 का गुणांक सकारात्मक है।

2 एक पूर्ण वर्ग का पूरक

1. 1 समीकरण लिखिए.एक पूर्ण वर्ग को पूरा करना परवलय का शीर्ष ज्ञात करने का एक और तरीका है। इस पद्धति का उपयोग करके, आप मूल समीकरण में x को प्रतिस्थापित किए बिना, तुरंत x और y निर्देशांक पा लेंगे। उदाहरण के लिए, समीकरण दिया गया है: x 2 + 4x + 1 = 0.
2. 2 प्रत्येक गुणांक को x 2 के गुणांक से विभाजित करें।हमारे मामले में, x 2 का गुणांक 1 है, इसलिए हम इस चरण को छोड़ सकते हैं। 1 से भाग देने पर कुछ नहीं बदलेगा.
3. 3 स्थिरांक को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ।स्थिरांक एक चर रहित गुणांक है। यहाँ यह "1" है। समीकरण के दोनों ओर से 1 घटाकर 1 को दाईं ओर ले जाएँ। यह कैसे करना है यहां बताया गया है:
   • x 2 + 4x + 1 = 0
   • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
   • x 2 + 4x = - 1
4. 4 समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसके बाएँ पक्ष को पूरा करें।ऐसा करने के लिए, बस खोजें (बी/2) 2और परिणाम को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें। के स्थान पर "4" रखें बी, चूँकि "4x" हमारे समीकरण का गुणांक b है।
   • (4/2) 2 = 2 2 = 4। अब समीकरण के दोनों पक्षों में 4 जोड़ें और आपको प्राप्त होगा:
     • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
     • x 2 + 4x + 4 = 3
5. 5 आइए समीकरण के बाईं ओर को सरल बनाएं।हम देखते हैं कि x 2 + 4x + 4 – पूर्ण वर्ग. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x + 2) 2 = 3
6. 6 x और y निर्देशांक खोजने के लिए इसका उपयोग करें।आप केवल (x + 2) 2 को 0 के बराबर करके x ज्ञात कर सकते हैं। अब चूँकि (x + 2) 2 = 0 है, हम x: x = -2 की गणना करते हैं। Y निर्देशांक एक पूर्ण वर्ग के दाईं ओर एक स्थिरांक है। तो y = 3. समीकरण के परवलय का शीर्ष x 2 + 4x + 1 = (-2, 3) है

• ए, बी और सी को सही ढंग से पहचानें।
• प्रारंभिक गणना रिकॉर्ड करें. इससे न केवल कार्य प्रक्रिया के दौरान मदद मिलेगी, बल्कि आपको यह देखने में भी मदद मिलेगी कि कहां गलतियां हुई हैं।
• गणना के क्रम में खलल न डालें।

चेतावनियाँ

• अपना उत्तर जांचें!
• सुनिश्चित करें कि आप जानते हैं कि गुणांक ए, बी और सी कैसे निर्धारित करें। अगर आप नहीं जानते तो जवाब गलत होगा.
• नहीं - ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए अभ्यास की आवश्यकता होती है।

फॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है द्विघात कार्य.

द्विघात फलन का ग्राफ़ – परवलय.

आइए मामलों पर विचार करें:

मेरा मामला, शास्त्रीय परवलय

वह है , ,

निर्माण के लिए, सूत्र में x मानों को प्रतिस्थापित करके तालिका भरें:

बिंदुओं को चिह्नित करें (0;0); (1;1); (-1;1), आदि। पर विमान का समन्वय(जितना छोटा कदम हम x (इंच) का मान लेते हैं इस मामले मेंचरण 1), और जितना अधिक x मान हम लेंगे, वक्र उतना ही चिकना होगा), हमें एक परवलय मिलता है:

यह देखना आसान है कि यदि हम केस लेते हैं, यानी, तो हमें एक परवलय मिलता है जो अक्ष (ओह) के बारे में सममित है। समान तालिका भरकर इसे सत्यापित करना आसान है:

द्वितीय मामला, "ए" इकाई से अलग है

, , लेने से क्या होगा ? परवलय का व्यवहार कैसे बदलेगा? शीर्षक के साथ='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

पहली तस्वीर में (ऊपर देखें) यह स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि परवलय के लिए तालिका के बिंदु (1;1), (-1;1) को बिंदु (1;4), (1;-4) में बदल दिया गया था। अर्थात्, समान मानों के साथ, प्रत्येक बिंदु की कोटि को 4 से गुणा किया जाता है। यह मूल तालिका के सभी प्रमुख बिंदुओं के साथ होगा। हम चित्र 2 और 3 के मामलों में भी इसी तरह तर्क करते हैं।

और जब परवलय, परवलय से अधिक चौड़ा हो जाता है:

आइए संक्षेप में बताएं:

1)गुणांक का चिह्न शाखाओं की दिशा निर्धारित करता है। शीर्षक के साथ='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) पूर्ण मूल्यगुणांक (मापांक) परवलय के "विस्तार" और "संपीड़न" के लिए जिम्मेदार है। परवलय जितना बड़ा, उतना संकरा, छोटा |ए|, परवलय उतना ही चौड़ा।

तृतीय मामला, "सी" प्रकट होता है

आइए अब खेल में परिचय दें (अर्थात्, उस स्थिति पर विचार करें जब), हम रूप के परवलयों पर विचार करेंगे। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है (आप हमेशा तालिका का संदर्भ ले सकते हैं) कि परवलय चिन्ह के आधार पर अक्ष के साथ ऊपर या नीचे स्थानांतरित होगा:

चतुर्थ मामला, "बी" प्रकट होता है

परवलय कब अक्ष से "टूटेगा" और अंततः संपूर्ण समन्वय तल के साथ "चलेगा"? यह बराबर होना कब बंद होगा?

यहां एक परवलय का निर्माण करने के लिए हमें इसकी आवश्यकता है शीर्ष की गणना के लिए सूत्र: , .

तो इस बिंदु पर (जैसा कि बिंदु (0;0) पर) नई प्रणालीनिर्देशांक) हम एक परवलय का निर्माण करेंगे, जो हम पहले से ही कर सकते हैं। यदि हम मामले से निपट रहे हैं, तो शीर्ष से हम एक इकाई खंड को दाईं ओर रखते हैं, एक ऊपर, - परिणामी बिंदु हमारा है (इसी तरह, बाईं ओर एक कदम, एक कदम ऊपर हमारा बिंदु है); उदाहरण के लिए, यदि हम काम कर रहे हैं, तो शीर्ष से हम एक इकाई खंड को दाईं ओर, दो - ऊपर की ओर, आदि रखते हैं।

उदाहरण के लिए, परवलय का शीर्ष:

अब समझने वाली मुख्य बात यह है कि इस शीर्ष पर हम परवलय पैटर्न के अनुसार एक परवलय का निर्माण करेंगे, क्योंकि हमारे मामले में।

परवलय का निर्माण करते समय शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करने के बादनिम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना सुविधाजनक है:

1) परवलय बिंदु से जरूर गुजरेंगे . दरअसल, सूत्र में x=0 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। अर्थात्, अक्ष (oy) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि है। हमारे उदाहरण (ऊपर) में, परवलय कोटि को बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है, क्योंकि।

2) समरूपता की धुरी परवलय एक सीधी रेखा है, इसलिए परवलय के सभी बिंदु इसके बारे में सममित होंगे। हमारे उदाहरण में, हम तुरंत बिंदु (0; -2) लेते हैं और इसे परवलय की समरूपता की धुरी के सापेक्ष सममित बनाते हैं, हमें बिंदु (4; -2) मिलता है जिसके माध्यम से परवलय गुजरेगा।

3) के बराबर, हम अक्ष (ओह) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं। विवेचक के आधार पर, हमें एक (, ), दो ( title='Rendered by QuickLaTeX.com) मिलेगा" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . पिछले उदाहरण में, विवेचक का हमारा मूल एक पूर्णांक नहीं है; निर्माण करते समय, हमारे लिए मूल खोजने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि हमारे पास अक्ष (ओह) के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु होंगे। (चूंकि title='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत किया गया" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

तो चलिए इसे सुलझाते हैं

परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिदम यदि इसे प्रपत्र में दिया गया है

1) शाखाओं की दिशा निर्धारित करें (a>0 - ऊपर, a<0 – вниз)

2) हम सूत्र का उपयोग करके परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करते हैं।

3) हम मुक्त पद का उपयोग करके अक्ष (oy) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को पाते हैं, परवलय के समरूपता अक्ष के सापेक्ष इस बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करते हैं (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा होता है कि इसे चिह्नित करना लाभहीन है उदाहरण के लिए, बिंदु, क्योंकि मान बड़ा है... हम इस बिंदु को छोड़ देते हैं...)

4) पाए गए बिंदु पर - परवलय के शीर्ष पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0;0) पर) हम एक परवलय का निर्माण करते हैं। यदि शीर्षक='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत किया गया है" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) हम समीकरण को हल करके अक्ष (oy) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं (यदि वे अभी तक "सतह" नहीं हुए हैं)

उदाहरण 1

उदाहरण 2

नोट 1.यदि परवलय प्रारंभ में हमें इस रूप में दिया जाता है, जहां कुछ संख्याएं हैं (उदाहरण के लिए,), तो इसे बनाना और भी आसान हो जाएगा, क्योंकि हमें शीर्ष के निर्देशांक पहले ही दिए जा चुके हैं। क्यों?

आइए लेते हैं द्विघात त्रिपदऔर इसमें एक पूरा वर्ग चुनें: देखिए, हमें वह मिल गया। आपने और मैंने पहले इसे परवलय का शीर्ष कहा था, अर्थात अब।

उदाहरण के लिए, । हम समतल पर परवलय के शीर्ष को चिह्नित करते हैं, हम समझते हैं कि शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित हैं, परवलय का विस्तार होता है (के सापेक्ष)। अर्थात्, हम अंक 1 को क्रियान्वित करते हैं; 3; 4; 5 एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिदम से (ऊपर देखें)।

नोट 2.यदि परवलय को इसके समान रूप में दिया गया है (अर्थात, दो रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया गया है), तो हम तुरंत अक्ष (बैल) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं। इस मामले में - (0;0) और (4;0). बाकी के लिए, हम कोष्ठक खोलते हुए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

शायद हर कोई जानता है कि परवलय क्या है। लेकिन हम नीचे विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय देखेंगे कि इसका सही और सक्षम तरीके से उपयोग कैसे किया जाए।

सबसे पहले, आइए हम उन बुनियादी अवधारणाओं की रूपरेखा तैयार करें जो बीजगणित और ज्यामिति इस शब्द को देते हैं। आइए सब कुछ पर विचार करें संभावित प्रकारयह चार्ट.

आइए इस फ़ंक्शन की सभी मुख्य विशेषताओं का पता लगाएं। आइए वक्र निर्माण (ज्यामिति) की मूल बातें समझें। आइए जानें कि इस प्रकार के ग्राफ़ के शीर्ष और अन्य बुनियादी मान कैसे ज्ञात करें।

आइए जानें कि समीकरण का उपयोग करके वांछित वक्र का सही ढंग से निर्माण कैसे करें, आपको किस पर ध्यान देने की आवश्यकता है। आइए मूल बातें देखें व्यावहारिक अनुप्रयोगमानव जीवन में यह अद्वितीय मूल्य है।

परवलय क्या है और यह कैसा दिखता है?

बीजगणित: यह शब्द एक द्विघात फलन के ग्राफ को संदर्भित करता है।

ज्यामिति: यह एक दूसरे क्रम का वक्र है जिसमें कई विशिष्ट विशेषताएं हैं:

विहित परवलय समीकरण

यह आंकड़ा एक आयताकार समन्वय प्रणाली (एक्सओवाई), एक चरम, एब्सिस्सा अक्ष के साथ ड्राइंग फ़ंक्शन की शाखाओं की दिशा दिखाता है।

विहित समीकरण है:

वाई 2 = 2 * पी * एक्स,

जहां गुणांक पी परवलय (एएफ) का फोकल पैरामीटर है।

बीजगणित में इसे अलग तरह से लिखा जाएगा:

y = a x 2 + b x + c (पहचानने योग्य पैटर्न: y = x 2)।

द्विघात फलन के गुण और ग्राफ़

फ़ंक्शन में समरूपता की धुरी और एक केंद्र (चरम) है। परिभाषा का क्षेत्र भुज अक्ष के सभी मान हैं।

फ़ंक्शन के मानों की सीमा - (-∞, M) या (M, +∞) वक्र की शाखाओं की दिशा पर निर्भर करती है। यहां पैरामीटर एम का अर्थ पंक्ति के शीर्ष पर फ़ंक्शन का मान है।

यह कैसे निर्धारित करें कि परवलय की शाखाएँ कहाँ निर्देशित हैं

किसी अभिव्यक्ति से इस प्रकार के वक्र की दिशा जानने के लिए, आपको पहले पैरामीटर से पहले चिह्न निर्धारित करना होगा बीजगणितीय अभिव्यक्ति. यदि ˃ 0 है, तो वे ऊपर की ओर निर्देशित हैं। यदि यह दूसरा तरीका है, तो नीचे।

सूत्र का उपयोग करके परवलय का शीर्ष कैसे ज्ञात करें

कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में चरम सीमा का पता लगाना मुख्य कदम है। बेशक, आप विशेष खोल सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर, लेकिन इसे स्वयं करने में सक्षम होना बेहतर है।

इसका निर्धारण कैसे करें? एक खास फॉर्मूला है. जब b 0 के बराबर नहीं है, तो हमें इस बिंदु के निर्देशांक देखने की आवश्यकता है।

शीर्ष ज्ञात करने के सूत्र:

• एक्स 0 = -बी / (2 * ए);
• य 0 = य (एक्स 0).

उदाहरण।

एक फलन y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 है। आइए इस फलन के शीर्ष ज्ञात करें।

इस तरह की एक पंक्ति के लिए:

• एक्स = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

हमें शीर्ष (-2, -41) के निर्देशांक मिलते हैं।

परवलय विस्थापन

क्लासिक मामला तब होता है जब एक द्विघात फ़ंक्शन y = a x 2 + b x + c में, दूसरा और तीसरा पैरामीटर 0 के बराबर होता है, और = 1 - शीर्ष बिंदु (0; 0) पर होता है।

भुज या कोटि अक्षों के साथ गति क्रमशः पैरामीटर बी और सी में परिवर्तन के कारण होती है।समतल पर रेखा को पैरामीटर के मान के बराबर इकाइयों की संख्या द्वारा स्थानांतरित किया जाएगा।

उदाहरण।

हमारे पास है: बी = 2, सी = 3।

इसका मतलब यह है कि वक्र का क्लासिक रूप भुज अक्ष के साथ 2 इकाई खंडों और कोटि अक्ष के साथ 3 इकाई खंडों द्वारा स्थानांतरित हो जाएगा।

द्विघात समीकरण का उपयोग करके परवलय का निर्माण कैसे करें

स्कूली बच्चों के लिए यह सीखना महत्वपूर्ण है कि दिए गए मापदंडों का उपयोग करके परवलय को सही ढंग से कैसे बनाया जाए।

व्यंजकों और समीकरणों का विश्लेषण करके, आप निम्नलिखित देख सकते हैं:

1. कोटि सदिश के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का मान c के बराबर होगा।
2. ग्राफ़ के सभी बिंदु (एक्स-अक्ष के साथ) फ़ंक्शन के मुख्य चरम के संबंध में सममित होंगे।

इसके अलावा, OX के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ऐसे फ़ंक्शन के विभेदक (D) को जानकर पाया जा सकता है:

डी = (बी 2 - 4 * ए * सी)।

ऐसा करने के लिए, आपको व्यंजक को शून्य के बराबर करना होगा।

परवलय की जड़ों की उपस्थिति परिणाम पर निर्भर करती है:

• डी ˃ 0, फिर x 1, 2 = (-बी ± डी 0.5) / (2 * ए);
• डी = 0, फिर एक्स 1, 2 = -बी / (2 * ए);
• D ˂ 0, तो सदिश OX के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।

हमें परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म मिलता है:

• शाखाओं की दिशा निर्धारित करें;
• शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें;
• कोटि अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें;
• x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 1.

फ़ंक्शन y = x 2 - 5 * x + 4 दिया गया है। एक परवलय का निर्माण करना आवश्यक है। हम एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1. ए = 1, इसलिए, शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित हैं;
2. चरम निर्देशांक: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. कोटि अक्ष के साथ y = 4 के मान पर प्रतिच्छेद करता है;
4. आइए विभेदक खोजें: डी = 25 - 16 = 9;
5. जड़ों की तलाश:

• एक्स 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• एक्स 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

उदाहरण 2.

फ़ंक्शन y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 के लिए आपको एक परवलय बनाने की आवश्यकता है। हम दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं:

1. ए = 3, इसलिए, शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित हैं;
2. चरम निर्देशांक: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. मान y = -1 पर y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करेगा;
4. आइए विवेचक खोजें: D = 4 + 12 = 16. तो मूल हैं:

• एक्स 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• एक्स 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

प्राप्त बिंदुओं का उपयोग करके, आप एक परवलय का निर्माण कर सकते हैं।

दिक्चालन, विलक्षणता, परवलय का फोकस

पर आधारित विहित समीकरण, F के फोकस के निर्देशांक (p/2, 0) हैं।

सीधी रेखा AB एक डायरेक्ट्रिक्स (एक निश्चित लंबाई के परवलय की एक प्रकार की जीवा) है। इसका समीकरण x = -p/2 है.

विलक्षणता (स्थिर) = 1.

निष्कर्ष

हमने एक ऐसे विषय पर गौर किया जिसमें स्कूली बच्चे पढ़ते हैं हाई स्कूल. अब आप जानते हैं, एक परवलय के द्विघात फलन को देखते हुए, इसका शीर्ष कैसे खोजा जाए, शाखाओं को किस दिशा में निर्देशित किया जाएगा, क्या अक्षों के साथ कोई विस्थापन है, और, एक निर्माण एल्गोरिथ्म होने पर, आप इसका ग्राफ बना सकते हैं।

निर्देश

द्विघात फलनसामान्य रूप में इसे समीकरण द्वारा लिखा जाता है: y = ax² + bx + c. इस समीकरण का ग्राफ़ है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर (a > 0 के लिए) या नीचे की ओर (a > 0 के लिए) निर्देशित हैं< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

व्युत्पन्न की अवधारणा से परिचित लोगों के लिए, परवलय का शीर्ष खोजना आसान है। परवलय की शाखाओं की स्थिति के बावजूद, इसका शीर्ष एक बिंदु होता है (न्यूनतम यदि शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित हों, या जब शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित हों)। किसी के अनुमानित चरम बिंदु को खोजने के लिए, आपको इसके पहले व्युत्पन्न की गणना करने और इसे शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b के बराबर होता है। शून्य के बराबर, आपको 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a मिलता है।

परवलय एक सममित रेखा है। अक्ष परवलय के शीर्ष से होकर गुजरता है। X निर्देशांक अक्ष के साथ परवलय के बिंदुओं को जानकर, आप शीर्ष x0 का भुज आसानी से पा सकते हैं। मान लीजिए x1 और x2 परवलय के मूल हैं (x-अक्ष के साथ परवलय के तथाकथित प्रतिच्छेदन बिंदु, क्योंकि ये मान द्विघात समीकरण ax² + bx + c को लुप्त कर देते हैं)। इसके अलावा, चलो |x2| > |x1|, तो परवलय का शीर्ष उनके बीच आधा होता है और इसे निम्नलिखित अभिव्यक्ति से पाया जा सकता है: x0 = ½(|x2| - |x1|)।

विषय पर वीडियो

स्रोत:

• द्विघात फलन
• परवलय का शीर्ष ज्ञात करने का सूत्र

एक परवलय एक द्विघात फलन का एक ग्राफ होता है; सामान्य तौर पर, एक परवलय का समीकरण y=ax^2+bx+c लिखा जाता है, जहाँ a≠0 होता है। यह एक सार्वभौमिक दूसरे क्रम का वक्र है जो जीवन में कई घटनाओं का वर्णन करता है, उदाहरण के लिए, एक उछाले गए और फिर गिरते हुए शरीर की गति, इंद्रधनुष का आकार, इसलिए खोजने की क्षमता परवलयजीवन में बहुत उपयोगी हो सकता है.

आपको चाहिये होगा

• - द्विघात समीकरण सूत्र;
• - एक समन्वय ग्रिड के साथ कागज की एक शीट;
• - पेंसिल, इरेज़र;
• - कंप्यूटर और एक्सेल प्रोग्राम.

निर्देश

सबसे पहले, परवलय का शीर्ष ज्ञात कीजिए। इस बिंदु का भुज खोजने के लिए, x का गुणांक लें, इसे x^2 के गुणांक के दोगुने से विभाजित करें और -1 (x=-b/2a) से गुणा करें। परिणामी मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करके या सूत्र y=(b^2-4ac)/4a का उपयोग करके कोटि ज्ञात करें। आपने परवलय के शीर्ष बिंदु के निर्देशांक प्राप्त कर लिए हैं।

परवलय का शीर्ष दूसरे तरीके से पाया जा सकता है। चूँकि यह फ़ंक्शन का चरम है, इसकी गणना करने के लिए, पहले व्युत्पन्न की गणना करें और इसे शून्य के बराबर करें। सामान्य तौर पर, आपको सूत्र f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b मिलेगा। और इसे शून्य के बराबर करने पर आप उसी सूत्र पर आ जायेंगे - x=-b/2a.

पता लगाएँ कि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर इंगित करती हैं या नीचे की ओर। ऐसा करने के लिए, x^2, यानी a के सामने गुणांक को देखें। यदि a>0, तो शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, यदि a

COORDINATES चोटियोंपरवलय पाए गए हैं। उन्हें एक बिंदु (x0,y0) के निर्देशांक के रूप में लिखें।

विषय पर वीडियो

फ़ंक्शंस के लिए (अधिक सटीक रूप से, उनके ग्राफ़) अवधारणा का उपयोग किया जाता है उच्चतम मूल्य, स्थानीय अधिकतम सहित। "शिखर" की अवधारणा अधिक संभावित रूप से जुड़ी हुई है ज्यामितीय आकार. सुचारू कार्यों (व्युत्पन्न वाले) के अधिकतम बिंदु पहले व्युत्पन्न के शून्य का उपयोग करके निर्धारित करना आसान है।

निर्देश

उन बिंदुओं के लिए जहां फ़ंक्शन भिन्न नहीं है लेकिन निरंतर है, अंतराल पर सबसे बड़ा मान एक टिप के रूप में हो सकता है (y=-|x| पर)। ऐसे बिंदुओं पर कार्यआप जितनी चाहें उतनी स्पर्शरेखाएँ खींच सकते हैं; इसके लिए स्पर्शरेखाएँ मौजूद ही नहीं हैं। सामी कार्ययह प्रकार आमतौर पर खंडों पर निर्दिष्ट होता है। जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न कार्यशून्य के बराबर या अस्तित्व में नहीं होने को क्रिटिकल कहा जाता है।

रियानिंग. x≤-1 के लिए y=x+3 और x>-1 के लिए y=((x^2)^(1/3)) –x। फ़ंक्शन जानबूझकर खंडों पर निर्दिष्ट किया गया है, क्योंकि इस मामले में लक्ष्य सब कुछ एक उदाहरण में प्रदर्शित करना है। यह आसान है कि x=-1 के लिए फ़ंक्शन निरंतर रहता है। x≤-1 के लिए y'=1 और y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) x>-1 के लिए। y'=0 for x=8/27' x=-1 और x=0 के लिए मौजूद नहीं है। इस मामले में, y '>0 यदि x

विषय पर वीडियो

परवलय दूसरे क्रम के वक्रों में से एक है; इसके बिंदु द्विघात समीकरण के अनुसार निर्मित होते हैं। इस वक्र के निर्माण में मुख्य बात खोजना है शीर्ष परवलय. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

निर्देश

किसी शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करना परवलय, निम्न सूत्र का उपयोग करें: x=-b/2a, जहां a, x in से पहले का गुणांक है, और b, x से पहले का गुणांक है। अपने मूल्यों को प्लग इन करें और इसकी गणना करें। फिर समीकरण में x के परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें और शीर्ष की कोटि की गणना करें। उदाहरण के लिए, यदि आपको समीकरण y=2x^2-4x+5 दिया गया है, तो भुज इस प्रकार ज्ञात करें: x=-(-4)/2*2=1. समीकरण में x=1 प्रतिस्थापित करते हुए, शीर्ष के लिए y-मान की गणना करें परवलय: y=2*1^2-4*1+5=3. तो सबसे ऊपर परवलयनिर्देशांक (1;3) हैं।

कोटि का मान परवलयपहले भुज की गणना किए बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सूत्र y=-b^2/4ac+c का उपयोग करें।

यदि आप व्युत्पन्न की अवधारणा से परिचित हैं, तो खोजें शीर्ष परवलयडेरिवेटिव का उपयोग करते हुए, किसी की निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग करते हुए: किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न, शून्य के बराबर, इंगित करता है। ऊपर से परवलय, भले ही इसकी शाखाएँ ऊपर या नीचे निर्देशित हों, बिंदु, अपने फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की गणना करें। सामान्य तौर पर, यह f(x)=2ax+b जैसा दिखेगा। इसे शून्य के बराबर करें और शीर्ष के निर्देशांक प्राप्त करें परवलय, आपके कार्य के अनुरूप।

ढूंढने की कोशिश करो शीर्ष परवलय, समरूपता जैसी इसकी संपत्ति का लाभ उठाते हुए। ऐसा करने के लिए, प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें परवलय x अक्ष के साथ, फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करना (y = 0 प्रतिस्थापित करना)। द्विघात समीकरण को हल करने पर आपको x1 और x2 मिलेंगे। चूँकि परवलय गुजरने वाली नियता के संबंध में सममित है शीर्ष, ये बिंदु शीर्ष के भुज से समान दूरी पर होंगे। इसे खोजने के लिए, हम विभाजित करते हैं