Matemātikā jautājums par to, kā iegūt sakni, tiek uzskatīts par samērā vienkāršu. Ja jūs kvadrātā skaitļus no dabiska sērija: 1, 2, 3, 4, 5...n, tad iegūstam šādu kvadrātu rindu: 1, 4, 9, 16...n 2. Kvadrātu rinda ir bezgalīga, un, ja paskatās uz to uzmanīgi, jūs redzēsit, ka tajā nav ļoti daudz veselu skaitļu. Kāpēc tas tā, tiks paskaidrots nedaudz vēlāk.
Skaitļa sakne: aprēķina noteikumi un piemēri
Tātad, mēs sagriezām skaitli 2 kvadrātā, tas ir, sareizinājām to ar sevi un saņēmām 4. Kā iegūt skaitļa 4 sakni? Uzreiz teiksim, ka saknes var būt kvadrātveida, kubiskas un jebkuras pakāpes līdz bezgalībai.
Saknes pakāpe – vienmēr dabiskais skaitlis, tas ir, nav iespējams atrisināt šādu vienādojumu: sakne no n koeficienta 3,6.
Kvadrātsakne
Atgriezīsimies pie jautājuma par to, kā iegūt kvadrātsakni no 4. Tā kā skaitļa 2 kvadrātā mēs izvilksim arī kvadrātsakni. Lai pareizi izvilktu skaitļa 4 sakni, jums vienkārši jāizvēlas pareizais skaitlis, kas kvadrātā iegūts skaitlis 4. Un tas, protams, ir 2. Apskatiet piemēru:
- 2 2 =4
- Sakne no 4 = 2
Šis piemērs ir pavisam vienkāršs. Mēģināsim iegūt kvadrātsakni no 64. Kāds skaitlis, reizinot ar sevi, iegūst 64? Acīmredzot tas ir 8.
- 8 2 =64
- Sakne no 64 = 8
Kuba sakne
Kā minēts iepriekš, saknes ir ne tikai kvadrātveida, izmantojot piemēru, mēs centīsimies skaidrāk izskaidrot, kā iegūt kuba sakne vai trešā sakne. Kubsaknes iegūšanas princips ir tāds pats kā kvadrātsaknei, vienīgā atšķirība ir tā, ka nepieciešamais skaitlis sākotnēji tika reizināts ar sevi nevis vienu, bet divas reizes. Tas ir, pieņemsim, ka mēs ņēmām šādu piemēru:
- 3x3x3=27
- Protams, 27 kuba sakne ir trīs:
- 3. sakne no 27 = 3
Pieņemsim, ka jāatrod 64 kuba sakne. Lai atrisinātu šo vienādojumu, pietiek atrast skaitli, kuru paaugstinot līdz trešajai pakāpei, iegūtu 64.
- 4 3 =64
- 3. sakne no 64 = 4
Izvelciet skaitļa sakni kalkulatorā
Kvadrātu, kubu un citas saknes, protams, vislabāk iemācīties izvilkt praksē, risinot daudzus piemērus un iegaumējot mazo skaitļu kvadrātu un kubu tabulas. Nākotnē tas ievērojami atvieglos un samazinās vienādojumu atrisināšanai nepieciešamo laiku. Lai gan jāatzīmē, ka dažreiz ir nepieciešams iegūt sakni šādai liels skaits ka atrast pareizo skaitli kvadrātā būtu ļoti grūti, ja tas vispār būtu iespējams. Kvadrātsaknes izņemšanā palīgā nāks parasts kalkulators. Kā kalkulatorā izvilkt sakni? Ļoti vienkārši ievadiet numuru, no kura vēlaties atrast rezultātu. Tagad uzmanīgi apskatiet kalkulatora pogas. Pat visvienkāršākajā no tām ir atslēga ar saknes ikonu. Noklikšķinot uz tā, jūs nekavējoties iegūsit gatavo rezultātu.
Ne katru numuru var iegūt visa sakne, apsveriet šādu piemēru:
1859. gada sakne = 43,116122…
Jūs varat vienlaikus mēģināt atrisināt šo piemēru, izmantojot kalkulatoru. Kā redzat, iegūtais skaitlis nav vesels skaitlis, turklāt ciparu kopa aiz komata nav galīga. Speciālie inženiertehniskie kalkulatori var dot precīzāku rezultātu, taču pilnais rezultāts vienkārši neietilpst parastajā displejā. Un, ja turpināsiet iepriekš iesākto kvadrātu sēriju, jūs tajā neatradīsiet skaitli 1859 tieši tāpēc, ka skaitlis, kas tika likts kvadrātā, lai to iegūtu, nav vesels skaitlis.
Ja jums ir nepieciešams iegūt trešo sakni vienkāršs kalkulators, tad jums ir jāveic dubultklikšķis uz pogas ar saknes zīmi. Piemēram, ņemiet iepriekš izmantoto numuru 1859 un paņemiet no tā kuba sakni:
3. sakne no 1859 = 6,5662867…
Tas ir, ja skaitlis 6.5662867... tiek pacelts līdz trešajai pakāpei, tad iegūstam aptuveni 1859. Tādējādi no skaitļiem izvilkt saknes nav grūti, tikai jāatceras iepriekš minētie algoritmi.
Sava pirmā izdevuma “Atjautības valstībā” (1908) priekšvārdā E. I. Ignatjevs raksta: “... intelektuālu iniciatīvu, ātru asprātību un “atjautību” nevienam nevar “ieurbt” galvā. Rezultāti ir ticami tikai tad, ja ievads matemātikas zināšanu jomā tiek veikts vieglā un patīkamā veidā, izmantojot objektus un piemērus no ikdienišķām un ikdienas situācijām, kas atlasīti ar atbilstošu asprātību un izklaidi.
1911. gada izdevuma “Atmiņas loma matemātikā” priekšvārdā E.I. Ignatjevs raksta: "... matemātikā nav jāatceras formulas, bet gan domāšanas process."
Lai iegūtu kvadrātsakni, ir kvadrātu tabulas divciparu skaitļiem, kurus varat sadalīt galvenie faktori un paņemiet produkta kvadrātsakni. Ar kvadrātu tabulu dažreiz nepietiek ar saknes izvilkšanu, izmantojot faktoringu, kas ir laikietilpīgs uzdevums, kas arī ne vienmēr noved pie vēlamā rezultāta. Mēģiniet ņemt kvadrātsakni no 209764? Faktorings primārajos faktoros dod reizinājumu 2*2*52441. Ar izmēģinājumu un kļūdu, atlasi - to, protams, var izdarīt, ja esat pārliecināts, ka tas ir vesels skaitlis. Metode, kuru es vēlos piedāvāt, ļauj jebkurā gadījumā ņemt kvadrātsakni.
Savulaik institūtā (Permas Valsts pedagoģiskajā institūtā) mūs iepazīstināja ar šo metodi, par kuru es tagad gribu runāt. Es nekad neesmu domājis, vai šai metodei ir pierādījums, tāpēc tagad man pašam bija jāizsecina daži pierādījumi.
Šīs metodes pamatā ir skaitļa = sastāvs.
=&, t.i. & 2 =596334.
1. Sadaliet skaitli (5963364) pāros no labās puses uz kreiso (5`96`33`64)
2. Izvelciet kvadrātsakni no pirmās grupas kreisajā pusē ( - numurs 2). Tādā veidā mēs iegūstam & pirmo ciparu.
3. Atrodiet pirmā cipara kvadrātu (2 2 =4).
4. Atrodiet atšķirību starp pirmo grupu un pirmā cipara kvadrātu (5-4=1).
5. Mēs noņemam nākamos divus ciparus (iegūstam skaitli 196).
6. Divkāršojiet pirmo atrasto ciparu un ierakstiet to kreisajā pusē aiz līnijas (2*2=4).
7. Tagad mums jāatrod skaitļa otrais cipars &: divkāršot pirmo ciparu, ko atradām, kļūst par skaitļa desmitiem ciparu, kuru reizinot ar vieninieku skaitu, jāiegūst skaitlis, kas mazāks par 196 (tas ir skaitlis 4, 44*4=176). 4 ir & otrais cipars.
8. Atrodi atšķirību (196-176=20).
9. Nojaucam nākamo grupu (iegūstam numuru 2033).
10. Dubultojiet skaitli 24, iegūstam 48.
Skaitlī ir 11,48 desmiti, ko reizinot ar vieninieku skaitu, vajadzētu iegūt skaitli, kas ir mazāks par 2033 (484*4=1936). Mūsu atrastie cipari (4) ir skaitļa & trešais cipars.
Esmu sniedzis pierādījumus šādiem gadījumiem:
1. Trīsciparu skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana;
2. Četrciparu skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana.
Aptuvenās kvadrātsakņu iegūšanas metodes (neizmantojot kalkulatoru).
1. Senie babilonieši izmantoja šādu metodi, lai atrastu aptuveno sava skaitļa x kvadrātsaknes vērtību. Viņi attēloja skaitli x kā summu a 2 + b, kur a 2 ir precīzs naturālā skaitļa a kvadrāts (a 2 ? x), kas ir vistuvāk skaitlim x, un izmantoja formulu. 
. (1)
Izmantojot formulu (1), mēs izņemam kvadrātsakni, piemēram, no skaitļa 28:
Rezultāts, iegūstot 28 sakni, izmantojot MK, ir 5.2915026.
Kā redzam, Babilonijas metode dod labu tuvinājumu precīza vērtība sakne
2. Īzaks Ņūtons izstrādāja metodi kvadrātsakņu iegūšanai, kas datēta ar Aleksandrijas Heronu (apmēram mūsu ēras 100. gadu). Šī metode (pazīstama kā Ņūtona metode) ir šāda.
Ļaujiet a 1- skaitļa pirmais tuvinājums (kā 1 varat ņemt naturāla skaitļa kvadrātsaknes vērtības - precīzs kvadrāts, kas nepārsniedz X) .
Tālāk precīzāka tuvināšana a 2 cipariem
atrasts pēc formulas 
.
Sakņu formulas. Kvadrātsakņu īpašības.
Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)
Iepriekšējā nodarbībā mēs sapratām, kas ir kvadrātsakne. Ir pienācis laiks noskaidrot, kuri no tiem pastāv formulas saknēm kas ir sakņu īpašības, un ko ar to visu var darīt.
Sakņu formulas, sakņu īpašības un noteikumi darbam ar saknēm- būtībā tas ir viens un tas pats. Kvadrātsakņu formulu ir pārsteidzoši maz. Kas mani noteikti iepriecina! Pareizāk sakot, jūs varat rakstīt daudz dažādu formulu, bet praktiskam un pārliecinātam darbam ar saknēm pietiek tikai ar trim. Viss pārējais izriet no šiem trim. Lai gan daudzi cilvēki apjūk trīs sakņu formulās, jā...
Sāksim ar vienkāršāko. Šeit tas ir:
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Bibliogrāfiskais apraksts: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Kvadrātsaknes iegūšanas metodes // Jaunais zinātnieks. 2017. Nr.2.2. P. 76-77..02.2019).
Atslēgvārdi : kvadrātsaknes, kvadrātsaknes ekstrakcija.
Matemātikas stundās iepazinos ar kvadrātsaknes jēdzienu un kvadrātsaknes iegūšanas darbību. Es sāku interesēties, vai kvadrātsaknes izvilkšana ir iespējama tikai izmantojot kvadrātu tabulu, izmantojot kalkulatoru, vai arī ir veids, kā to izvilkt manuāli. Es atradu vairākus veidus: formula Senā Babilonija, izmantojot vienādojumu risināšanu, izmešanas metodi pilns kvadrāts, Ņūtona metode, ģeometriskā metode, grafiskā metode (, ), minēšanas metode, nepāra skaitļu atskaitīšanas metode.
Apsveriet šādas metodes:
Faktorizēsim pirmfaktoros, izmantojot dalāmības kritērijus 27225=5*5*3*3*11*11. Tādējādi
- UZ Kanādas metode.Šis ātra metode 20. gadsimtā atklāja jaunie zinātnieki vienā no Kanādas vadošajām universitātēm. Tās precizitāte ir ne vairāk kā divas līdz trīs zīmes aiz komata.
kur x ir skaitlis, no kura jāizvelk sakne, c ir tuvākā kvadrāta skaitlis), piemēram:
=5,92
- Kolonnā.Šī metode ļauj ar jebkuru iepriekš noteiktu precizitāti atrast jebkura reāla skaitļa saknes aptuveno vērtību. Šīs metodes trūkumi ietver pieaugošo aprēķinu sarežģītību, palielinoties atrasto ciparu skaitam. Lai manuāli izvilktu sakni, tiek izmantots apzīmējums, kas līdzīgs dalījumam ar garumu
Kvadrātsaknes algoritms
1. Daļas daļu un veselo skaitļu daļu sadalām atsevišķi no komata uz divu ciparu robežas katrā sejā ( skūpsts daļa - no labās uz kreiso; daļēja- no kreisās puses uz labo). Iespējams, ka veselā skaitļa daļā var būt viens cipars, bet daļējā daļā var būt nulles.
2. Ekstrakcija sākas no kreisās puses uz labo, un mēs izvēlamies skaitli, kura kvadrāts nepārsniedz skaitli pirmajā skaldnē. Šo skaitli mēs kvadrātā un ierakstām zem skaitļa pirmajā pusē.
3. Atrodiet atšķirību starp skaitli pirmajā ciparnīcā un izvēlētā pirmā skaitļa kvadrātu.
4. Iegūtajai starpībai pievienojam nākamo malu, iegūtais skaitlis būs dalāms. Izglītosim sadalītājs. Mēs dubultojam atbildes pirmo izvēlēto ciparu (reizinām ar 2), iegūstam dalītāja desmitnieku skaitu, un vienību skaitam jābūt tādam, lai tā reizinājums ar visu dalītāju nepārsniegtu dividendi. Kā atbildi pierakstām izvēlēto skaitli.
5. Mēs ņemam nākamo malu uz iegūto starpību un veicam darbības saskaņā ar algoritmu. Ja šī seja izrādās daļējas daļas seja, tad atbildē ievietojam komatu. (1. att.)
|
|
|
Izmantojot šo metodi, varat iegūt skaitļus ar dažādu precizitāti, piemēram, līdz tūkstošdaļām. (2. att.)
Ņemot vērā dažādos veidos iegūstot kvadrātsakni, varam secināt: katrā konkrētajā gadījumā jāizlemj par visefektīvākās izvēli, lai risināšanai pavadītu mazāk laika
Literatūra:
- Kiseļevs A. Algebras un analīzes elementi. Pirmā daļa.-M.-1928
Atslēgas vārdi: kvadrātsakne, kvadrātsakne.
Anotācija: Rakstā ir aprakstītas kvadrātsakņu iegūšanas metodes un sniegti sakņu ieguves piemēri.