A. Dotas divas taisnes Šīs taisnes, kā norādīts 1. nodaļā, veido dažādus pozitīvos un negatīvos leņķus, kas var būt gan asi, gan neasi. Zinot vienu no šiem leņķiem, mēs varam viegli atrast jebkuru citu.
Starp citu, visiem šiem leņķiem pieskares skaitliskā vērtība ir vienāda, atšķirība var būt tikai zīmē
Līniju vienādojumi. Skaitļi ir pirmās un otrās taisnes virziena vektoru projekcijas. Leņķis starp šiem vektoriem ir vienāds ar vienu no taisnes veidotajiem leņķiem. Tāpēc problēma ir saistīta ar leņķa noteikšanu starp vektoriem
Vienkāršības labad varam piekrist, ka leņķis starp divām taisnēm ir akūts pozitīvs leņķis (kā, piemēram, 53. att.).
Tad šī leņķa tangensa vienmēr būs pozitīva. Tātad, ja formulas (1) labajā pusē ir mīnusa zīme, tad tā ir jāatmet, t.i., jāsaglabā tikai absolūtā vērtība.
Piemērs. Nosakiet leņķi starp taisnām līnijām
Saskaņā ar formulu (1) mums ir
Ar. Ja norādīts, kura no leņķa malām ir tā sākums un kura beigas, tad, vienmēr skaitot leņķa virzienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, no formulas (1) varam izvilkt ko vairāk. Kā tas ir viegli redzams no att. 53, formulas (1) labajā pusē iegūtā zīme norādīs, kādu leņķi - akūtu vai stulbu - veido otrā taisne ar pirmo.
(Tiešām, no 53. attēla redzams, ka leņķis starp pirmo un otro virziena vektoru ir vai nu vienāds ar vēlamo leņķi starp taisnēm, vai arī atšķiras no tā par ±180°.)
d. Ja taisnes ir paralēlas, tad to virziena vektori ir paralēli Piemērojot divu vektoru paralēlisma nosacījumu, iegūstam!
Tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums divu līniju paralēlismam.
Piemērs. Tieša
ir paralēli, jo
e. Ja taisnes ir perpendikulāras, tad arī to virziena vektori ir perpendikulāri. Piemērojot divu vektoru perpendikulitātes nosacījumu, iegūstam divu taisnu līniju perpendikulitātes nosacījumu, proti
Piemērs. Tieša
ir perpendikulāri tādēļ, ka
Saistībā ar paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumiem atrisināsim šādas divas problēmas.
f. Novelciet līniju caur punktu, kas ir paralēls dotajai taisnei
Risinājums tiek veikts šādi. Tā kā vēlamā taisne ir paralēla šai, tad tās virziena vektoram varam ņemt to pašu, ko dotajai taisnei, t.i., vektoru ar projekcijām A un B. Un tad tiks ierakstīts vēlamās taisnes vienādojums veidlapa (1. paragrāfs)
Piemērs. Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu (1; 3), kas ir paralēls taisnei
būs nākamais!
g. Novelciet līniju caur punktu, kas ir perpendikulārs dotajai līnijai
Šeit vairs nav piemērots vektors ar projekcijām A un kā virzošais vektors, bet ir jāņem vektors perpendikulāri tam. Tāpēc šī vektora projekcijas ir jāizvēlas atbilstoši abu vektoru perpendikularitātes nosacījumam, t.i., saskaņā ar nosacījumu
Šo nosacījumu var izpildīt neskaitāmos veidos, jo šeit ir viens vienādojums ar diviem nezināmajiem Bet vienkāršākais veids ir ņemt vai Tad vēlamās līnijas vienādojums tiks ierakstīts formā
Piemērs. Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu (-7; 2) perpendikulārā taisnē
būs šādi (pēc otrās formulas)!
h. Gadījumā, ja līnijas ir dotas ar formas vienādojumiem
Ak-o-o-o... nu, tas ir grūti, it kā viņš pie sevis nolasītu teikumu =) Tomēr vēlāk palīdzēs atslābums, jo īpaši tāpēc, ka šodien nopirku atbilstošos aksesuārus. Tāpēc pāriesim pie pirmās sadaļas, ceru, ka līdz raksta beigām saglabāšu jautru noskaņojumu.
Divu līniju relatīvā pozīcija
Tas ir gadījums, kad publika dzied līdzi korī. Divas taisnas līnijas var:
1) sērkociņš;
2) būt paralēli: ;
3) vai krustojas vienā punktā: .
Palīdzība manekeniem : Lūdzu, atcerieties matemātisko krustojuma zīmi, tā parādīsies ļoti bieži. Apzīmējums nozīmē, ka līnija krustojas ar līniju punktā .
Kā noteikt divu līniju relatīvo stāvokli?
Sāksim ar pirmo gadījumu:
Divas līnijas sakrīt tad un tikai tad, ja to atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, tas ir, ir tāds skaitlis “lambda”, ka vienādības ir izpildītas
Aplūkosim taisnes un no atbilstošajiem koeficientiem izveidosim trīs vienādojumus: . No katra vienādojuma izriet, ka tāpēc šīs līnijas sakrīt.
Patiešām, ja visi vienādojuma koeficienti 
reiziniet ar –1 (izmaiņas zīmes) un visus vienādojuma koeficientus 
apgriežot ar 2, jūs iegūstat to pašu vienādojumu: .
Otrais gadījums, kad līnijas ir paralēlas:
Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti ir proporcionāli: 
, Bet.
Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Mēs pārbaudām atbilstošo koeficientu proporcionalitāti mainīgajiem: 
Tomēr ir pilnīgi skaidrs, ka.
Un trešais gadījums, kad līnijas krustojas:
Divas taisnes krustojas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti NAV proporcionāli, tas ir, NAV tādas “lambda” vērtības, lai vienādības būtu izpildītas 
Tātad taisnām līnijām mēs izveidosim sistēmu: 
No pirmā vienādojuma izriet, ka , un no otrā vienādojuma: , kas nozīmē sistēma ir nekonsekventa(nav risinājumu). Tādējādi mainīgo lielumu koeficienti nav proporcionāli.
Secinājums: līnijas krustojas
Praktiskajās problēmās varat izmantot tikko apspriesto risinājuma shēmu. Starp citu, tas ļoti atgādina vektoru kolinearitātes pārbaudes algoritmu, kuru mēs apskatījām klasē Vektoru lineārās (ne)atkarības jēdziens. Vektoru bāze. Bet ir arī civilizētāks iepakojums:
1. piemērs
Uzziniet līniju relatīvo novietojumu: 
Risinājums pamatojoties uz taisnu līniju virzīšanas vektoru izpēti:
a) No vienādojumiem atrodam līniju virziena vektorus: 
.
, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri un līnijas krustojas.
Katram gadījumam krustojumā nolikšu akmeni ar zīmēm:
Pārējie lec pāri akmenim un seko tālāk, taisni uz Kaščeju Nemirstīgo =)
b) Atrodiet līniju virziena vektorus: 
Līnijām ir vienāds virziena vektors, kas nozīmē, ka tās ir paralēlas vai sakrīt. Šeit nav jāskaita noteicējs.
Ir skaidrs, ka nezināmo koeficienti ir proporcionāli, un .
Noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa: 
Tādējādi
c) Atrodiet līniju virziena vektorus: 
Aprēķināsim determinantu, kas sastāv no šo vektoru koordinātām: 
, tāpēc virziena vektori ir kolineāri. Līnijas ir paralēlas vai sakrīt.
Proporcionalitātes koeficientu “lambda” ir viegli redzēt tieši no kolineāro virzienu vektoru attiecības. Tomēr to var atrast arī, izmantojot pašu vienādojumu koeficientus: 
.
Tagad noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa. Abi bezmaksas nosacījumi ir nulle, tāpēc:
Iegūtā vērtība apmierina šis vienādojums(jebkurš skaitlis parasti to apmierina).
Tādējādi līnijas sakrīt.
Atbilde:
Ļoti drīz jūs iemācīsities (vai pat jau esat iemācījušies) atrisināt mutiski apspriesto problēmu burtiski dažu sekunžu laikā. Šajā sakarā es neredzu jēgu piedāvāt kaut ko neatkarīgam risinājumam, labāk ir likt vēl vienu svarīgu ķieģeļu ģeometriskajā pamatnē:
Kā izveidot taisni, kas ir paralēla dotajai?
Par nezināšanu par šo vienkāršākais uzdevums Lakstīgala Laupītājs bargi soda.
2. piemērs
Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu paralēlai taisnei, kas iet caur punktu.
Risinājums: Nezināmo rindu apzīmēsim ar burtu . Ko par viņu saka stāvoklis? Taisnā līnija iet caur punktu. Un, ja līnijas ir paralēlas, tad ir acīmredzams, ka taisnes virziena vektors “tse” ir piemērots arī taisnes “de” konstruēšanai.
Mēs izņemam virziena vektoru no vienādojuma:
Atbilde:
Ģeometrijas piemērs izskatās vienkāršs: 
Analītiskā pārbaude sastāv no šādiem posmiem:
1) Pārbaudām, vai līnijām ir vienāds virziena vektors (ja taisnes vienādojums nav pareizi vienkāršots, tad vektori būs kolineāri).
2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu.
Vairumā gadījumu analītisko testēšanu var viegli veikt mutiski. Apskatiet divus vienādojumus, un daudzi no jums ātri noteiks līniju paralēlismu bez jebkāda zīmējuma.
Neatkarīgu risinājumu piemēri šodien būs radoši. Jo vēl būs jāsacenšas ar Baba Jagu, un viņa, ziniet, ir visdažādāko mīklu cienītāja.
3. piemērs
Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu, kas ir paralēls taisnei if
Ir racionāls un ne tik racionāls veids, kā to atrisināt. Lielākā daļa īsceļu- nodarbības beigās.
Mēs nedaudz strādājām ar paralēlām līnijām un pie tām atgriezīsimies vēlāk. Sakrītošu līniju gadījums maz interesē, tāpēc apskatīsim problēmu, kas jums ir pazīstama skolas mācību programma:
Kā atrast divu līniju krustošanās punktu?
Ja taisni 
krustojas punktā , tad tā koordinātas ir risinājums lineāro vienādojumu sistēmas 
Kā atrast līniju krustošanās punktu? Atrisiniet sistēmu.
Lūk ģeometriskā nozīme sistēmas no diviem lineārie vienādojumi ar diviem nezināmajiem- tās ir divas plaknes krustojošas (visbiežāk) līnijas.
4. piemērs
Atrodiet līniju krustošanās punktu
Risinājums: Ir divi risināšanas veidi – grafiskais un analītiskais.
Grafiskā metode ir vienkārši uzzīmēt dotās līnijas un noskaidrot krustošanās punktu tieši no zīmējuma: 
Šeit ir mūsu punkts: . Lai pārbaudītu, tās koordinātas jāievieto katrā līnijas vienādojumā, un tām ir jāiekļaujas gan tur, gan tur. Citiem vārdiem sakot, punkta koordinātas ir sistēmas risinājums. Būtībā mēs apskatījām grafisko risinājumu lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem vienādojumiem, diviem nezināmiem.
Grafiskā metode, protams, nav slikta, taču ir manāmi trūkumi. Nē, runa nav par to, ka septītklasnieki šādi izlemj, bet gan par to, ka pareiza un PRECĪZA zīmējuma izveidošana prasīs laiku. Turklāt dažas taisnes nav tik vienkārši konstruējamas, un pats krustošanās punkts var atrasties kaut kur trīsdesmitajā valstībā ārpus piezīmju grāmatiņas lapas.
Tāpēc krustošanās punktu lietderīgāk ir meklēt ar analītisko metodi. Atrisināsim sistēmu: 
Sistēmas risināšanai tika izmantota vienādojumu saskaitīšanas metode pa terminiem. Lai attīstītu atbilstošas prasmes, apmeklējiet mācību stundu Kā atrisināt vienādojumu sistēmu?
Atbilde:
Pārbaude ir triviāla – krustojuma punkta koordinātām jāapmierina katrs sistēmas vienādojums.
5. piemērs
Atrodiet līniju krustošanās punktu, ja tās krustojas.
Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Ir ērti sadalīt uzdevumu vairākos posmos. Stāvokļa analīze liecina, ka ir nepieciešams:
1) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
2) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
3) Noskaidro līniju relatīvo novietojumu.
4) Ja līnijas krustojas, tad atrodiet krustošanās punktu.
Darbības algoritma izstrāde ir raksturīga daudzām ģeometriskām problēmām, un es vairākkārt pievērsīšos tam.
Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās:
Pirms nonācām stundas otrajā daļā, nebija nolietots pat apavu pāris:
Perpendikulāras līnijas. Attālums no punkta līdz līnijai.
Leņķis starp taisnām līnijām
Sāksim ar tipisku un ļoti svarīgs uzdevums. Pirmajā daļā mēs uzzinājām, kā izveidot taisnu līniju paralēli šai, un tagad būda uz vistas kājām pagriezīsies par 90 grādiem:
Kā izveidot līniju, kas ir perpendikulāra noteiktai?
6. piemērs
Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu perpendikulāri tai taisnei, kas iet caur punktu.
Risinājums: Pēc nosacījuma ir zināms, ka. Būtu jauki atrast līnijas virzošo vektoru. Tā kā līnijas ir perpendikulāras, triks ir vienkāršs:
No vienādojuma “noņemam” normālvektoru: , kas būs taisnes virzošais vektors.
Sastādām taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:
Atbilde: 
Izvērsīsim ģeometrisko skici:
Hmm... Oranžas debesis, oranža jūra, oranžs kamielis.
Risinājuma analītiskā pārbaude:
1) No vienādojumiem izņemam virziena vektorus 
un ar palīdzību vektoru skalārais reizinājums mēs nonākam pie secinājuma, ka taisnes patiešām ir perpendikulāras: .
Starp citu, jūs varat izmantot parastos vektorus, tas ir vēl vienkāršāk.
2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu 
.
Pārbaudi atkal ir viegli veikt mutiski.
7. piemērs
Atrodiet perpendikulāru līniju krustpunktu, ja vienādojums ir zināms 
un periods.
Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Problēmā ir vairākas darbības, tāpēc ir ērti formulēt risinājumu punktu pa punktam.
Mūsu aizraujošs ceļojums turpina:
Attālums no punkta līdz līnijai
Mums priekšā ir taisna upes josla un mūsu uzdevums ir līdz tai nokļūt pa īsāko ceļu. Šķēršļu nav, un optimālākais maršruts būs pārvietošanās pa perpendikulu. Tas ir, attālums no punkta līdz līnijai ir perpendikulāra segmenta garums.
Attālums ģeometrijā tradicionāli tiek apzīmēts ar grieķu burtu “rho”, piemēram: – attālums no punkta “em” līdz taisnei “de”.
Attālums no punkta līdz līnijai 
izteikts ar formulu
8. piemērs
Atrodiet attālumu no punkta līdz līnijai 
Risinājums: viss, kas jums jādara, ir rūpīgi jāaizstāj skaitļi formulā un jāveic aprēķini:
Atbilde: 
Izveidosim zīmējumu: 
Atrastais attālums no punkta līdz līnijai ir tieši sarkanā segmenta garums. Ja uz rūtainā papīra uzzīmējat zīmējumu 1 mērogā. = 1 cm (2 šūnas), tad attālumu var izmērīt ar parastu lineālu.
Apskatīsim citu uzdevumu, pamatojoties uz to pašu zīmējumu:
Uzdevums ir atrast punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret taisni 
. Es iesaku veikt darbības pašam, bet es izklāstīšu risinājuma algoritmu ar starprezultātiem:
1) Atrodiet taisni, kas ir perpendikulāra tai.
2) Atrodiet līniju krustošanās punktu: 
.
Abas darbības ir detalizēti apspriestas šajā nodarbībā.
3) Punkts ir segmenta viduspunkts. Mēs zinām vidus un viena gala koordinātas. Autors formulas segmenta viduspunkta koordinātām mēs atrodam.
Būtu lietderīgi pārbaudīt, vai attālums ir arī 2,2 vienības.
Šeit var rasties grūtības aprēķinos, bet tornī lieliski palīdz mikrokalkulators, kas ļauj aprēķināt parastās frakcijas. Esmu jums daudzkārt konsultējis un ieteikšu vēlreiz.
Kā atrast attālumu starp divām paralēlām līnijām?
9. piemērs
Atrodiet attālumu starp divām paralēlām līnijām
Šis ir vēl viens piemērs, kas jums jāizlemj pašiem. Es sniegšu jums nelielu mājienu: ir bezgala daudz veidu, kā to atrisināt. Apspriešana nodarbības beigās, bet labāk mēģināt uzminēt pašam, manuprāt, jūsu atjautība bija labi attīstīta.
Leņķis starp divām taisnēm
Katrs stūris ir aploka: 
Ģeometrijā leņķis starp divām taisnēm tiek uzskatīts par MAZĀKO leņķi, no kura automātiski izriet, ka tas nevar būt neass. Attēlā sarkanā loka norādītais leņķis netiek uzskatīts par leņķi starp krustojošām līnijām. Un viņa “zaļais” kaimiņš vai pretēji orientēts"aveņu" stūrītis.
Ja līnijas ir perpendikulāras, par leņķi starp tām var uzskatīt jebkuru no 4 leņķiem.
Kā atšķiras leņķi? Orientēšanās. Pirmkārt, ļoti svarīgs ir virziens, kurā leņķis tiek “ritināts”. Otrkārt, negatīvi orientētu leņķi raksta ar mīnusa zīmi, piemēram, ja .
Kāpēc es tev to teicu? Šķiet, ka varam iztikt ar ierasto leņķa jēdzienu. Fakts ir tāds, ka formulas, pēc kurām mēs atradīsim leņķus, var viegli izraisīt negatīvu rezultātu, un tam nevajadzētu jūs pārsteigt. Leņķis ar mīnusa zīmi nav sliktāks, un tam ir ļoti specifiska ģeometriskā nozīme. Zīmējumā negatīvam leņķim noteikti norādiet tā orientāciju ar bultiņu (pulksteņrādītāja virzienā).
Kā atrast leņķi starp divām taisnēm? Ir divas darba formulas:
10. piemērs
Atrodiet leņķi starp līnijām
Risinājums Un Pirmā metode
Apsveriet divas taisnas līnijas, dots ar vienādojumiem V vispārējs skats:
Ja taisni nav perpendikulāri, Tas orientēts Leņķi starp tiem var aprēķināt, izmantojot formulu: 
Visvairāk ciešu uzmanību apgriezīsim to pret saucēju - tieši tā punktu produkts taisnu līniju virzīšanas vektori:
Ja , tad formulas saucējs kļūst par nulli, un vektori būs ortogonāli un līnijas būs perpendikulāras. Tāpēc formulējumā tika izteikta atruna par taisnu līniju neperpendikularitāti.
Pamatojoties uz iepriekš minēto, ir ērti formalizēt risinājumu divos posmos:
1) Parēķināsim punktu produkts taisnu līniju virzīšanas vektori:
, kas nozīmē, ka līnijas nav perpendikulāras.
2) Atrodiet leņķi starp taisnēm, izmantojot formulu:
Izmantojot apgrieztā funkcija Ir viegli atrast pašu stūri. Šajā gadījumā mēs izmantojam arktangenta dīvainību (sk. Elementāro funkciju grafiki un īpašības):
Atbilde: 
Atbildē mēs norādām precīza vērtība, kā arī aptuvenā vērtība (vēlams gan grādos, gan radiānos), kas aprēķināta, izmantojot kalkulatoru.
Nu mīnuss, mīnuss, nekāda lielā bēda. Šeit ir ģeometriska ilustrācija: 
Nav pārsteidzoši, ka leņķis izrādījās negatīvas orientācijas, jo uzdevuma formulējumā pirmais skaitlis ir taisna līnija un tieši ar to sākās leņķa “atskrūvēšana”.
Ja jūs patiešām vēlaties iegūt pozitīvu leņķi, jums ir jāmaina līnijas, tas ir, jāņem koeficienti no otrā vienādojuma 
, un ņemt koeficientus no pirmā vienādojuma. Īsāk sakot, jums jāsāk ar tiešo 
.
Šis materiāls ir veltīts tādam jēdzienam kā leņķis starp divām krustojošām līnijām. Pirmajā rindkopā mēs paskaidrosim, kas tas ir, un parādīsim to ilustrācijās. Pēc tam apskatīsim, kā var atrast šī leņķa sinusu, kosinusu un pašu leņķi (atsevišķi aplūkosim gadījumus ar plakni un trīsdimensiju telpu), sniegsim nepieciešamās formulas un ar piemēriem parādīsim, kā tieši tās ir izmanto praksē.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Lai saprastu, kāds ir leņķis, kas veidojas, kad krustojas divas līnijas, mums jāatceras pati leņķa definīcija, perpendikularitāte un krustošanās punkts.
1. definīcija
Mēs saucam divas līnijas, kas krustojas, ja tām ir viens kopīgs punkts. Šo punktu sauc par divu līniju krustošanās punktu.
Katra taisne tiek sadalīta ar krustojuma punktu staros. Abas taisnās līnijas veido 4 leņķus, no kuriem divi ir vertikāli un divi atrodas blakus. Ja zinām vienas no tām mēru, tad varam noteikt pārējos.
Pieņemsim, ka mēs zinām, ka viens no leņķiem ir vienāds ar α. Šajā gadījumā leņķis, kas ir vertikāls attiecībā pret to, arī būs vienāds ar α. Lai atrastu atlikušos leņķus, mums jāaprēķina starpība 180 ° - α. Ja α ir vienāds ar 90 grādiem, tad visi leņķi būs taisni. Taisnes, kas krustojas taisnā leņķī, sauc par perpendikulārām (perpendikulitātes jēdzienam ir veltīts atsevišķs raksts).
Apskatiet attēlu:
Pāriesim pie galvenās definīcijas formulēšanas.
2. definīcija
Leņķis, ko veido divas krustojošas līnijas, ir mazākā no 4 leņķiem, kas veido šīs divas līnijas.
No definīcijas jāizdara svarīgs secinājums: leņķa lielums šajā gadījumā tiks izteikts ar jebkuru reālu skaitli intervālā (0, 90]. Ja līnijas ir perpendikulāras, tad leņķis starp tām jebkurā gadījumā būs vienāds ar 90 grādiem.
Spēja atrast leņķa mēru starp divām krustojošām līnijām ir noderīga daudzu praktisku problēmu risināšanai. Risinājuma metodi var izvēlēties no vairākām iespējām.
Sākumā mēs varam izmantot ģeometriskās metodes. Ja mēs zinām kaut ko par papildu leņķiem, mēs varam tos saistīt ar mums nepieciešamo leņķi, izmantojot vienādu vai līdzīgu figūru īpašības. Piemēram, ja mēs zinām trijstūra malas un ir jāaprēķina leņķis starp taisnēm, uz kurām atrodas šīs malas, tad mūsu risinājumam ir piemērota kosinusa teorēma. Ja mums ir nosacījums taisnleņķa trīsstūris, tad aprēķiniem mums būs nepieciešamas arī leņķa sinusa, kosinusa un pieskares zināšanas.
Arī koordinātu metode ir ļoti ērta šāda veida problēmu risināšanai. Paskaidrosim, kā to pareizi lietot.
Mums ir taisnstūra (Dekarta) koordinātu sistēma O x y, kurā ir dotas divas taisnes. Apzīmēsim tos ar burtiem a un b. Taisnās līnijas var aprakstīt, izmantojot dažus vienādojumus. Sākotnējām līnijām ir krustošanās punkts M. Kā noteikt vajadzīgo leņķi (apzīmēsim to α) starp šīm taisnēm?
Sāksim ar leņķa atrašanas pamatprincipa formulēšanu noteiktos apstākļos.
Mēs zinām, ka taisnes jēdziens ir cieši saistīts ar tādiem jēdzieniem kā virziena vektors un normāls vektors. Ja mums ir noteiktas taisnes vienādojums, mēs varam no tā ņemt šo vektoru koordinātas. Mēs to varam izdarīt uzreiz divām krustojošām līnijām.
Leņķi, ko ierobežo divas krustojošas līnijas, var atrast, izmantojot:
- leņķis starp virziena vektoriem;
- leņķis starp normāliem vektoriem;
- leņķis starp vienas taisnes normālvektoru un otras taisnes virziena vektoru.
Tagad apskatīsim katru metodi atsevišķi.
1. Pieņemsim, ka mums ir taisne a ar virziena vektoru a → = (a x, a y) un taisne b ar virziena vektoru b → (b x, b y). Tagad uzzīmēsim divus vektorus a → un b → no krustojuma punkta. Pēc tam mēs redzēsim, ka tie katrs atradīsies uz savas taisnās līnijas. Tad mums ir četras iespējas to relatīvajam izvietojumam. Skatīt ilustrāciju:
Ja leņķis starp diviem vektoriem nav neass, tad tas būs leņķis, kas mums nepieciešams starp krustojošām taisnēm a un b. Ja tas ir neass, tad vēlamais leņķis būs vienāds ar leņķi, kas atrodas blakus leņķim a →, b → ^. Tādējādi α = a → , b → ^, ja a → , b → ^ ≤ 90 ° , un α = 180 ° - a → , b → ^ ja a → , b → ^ > 90 ° .
Pamatojoties uz to, ka kosinusus vienādi leņķi ir vienādi, iegūtās vienādības varam pārrakstīt šādi: cos α = cos a → , b → ^ , ja a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ja a →, b → ^ > 90 °.
Otrajā gadījumā tika izmantotas reducēšanas formulas. Tādējādi
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Rakstīsim pēdējo formulu vārdos:
3. definīcija
Leņķa kosinuss, ko veido divas krustojošas taisnes, būs vienāds ar leņķa kosinusa moduli starp tā virziena vektoriem.
Formulas vispārīgā forma leņķa kosinusam starp diviem vektoriem a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) izskatās šādi:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
No tā mēs varam iegūt formulu leņķa kosinusam starp divām dotajām taisnēm:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tad pašu leņķi var atrast, izmantojot šādu formulu:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Šeit a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) ir doto līniju virziena vektori.
Sniegsim piemēru problēmas risināšanai.
1. piemērs
Taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē ir dotas divas krustojošas taisnes a un b. Tos var aprakstīt ar parametru vienādojumiem x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R un x 5 = y - 6 - 3. Aprēķiniet leņķi starp šīm līnijām.
Risinājums
Mūsu stāvoklī ir parametrisks vienādojums, kas nozīmē, ka šai taisnei mēs varam uzreiz pierakstīt tās virziena vektora koordinātas. Lai to izdarītu, mums ir jāņem parametra koeficientu vērtības, t.i. taisnei x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R būs virziena vektors a → = (4, 1).
Otrā taisne ir aprakstīta izmantojot kanoniskais vienādojums x 5 = y - 6 - 3 . Šeit mēs varam ņemt koordinātas no saucējiem. Tādējādi šai taisnei ir virziena vektors b → = (5 , - 3) .
Tālāk mēs pārejam tieši uz leņķa atrašanu. Lai to izdarītu, vienkārši aizvietojiet abu vektoru esošās koordinātas iepriekš minētajā formulā α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Mēs iegūstam sekojošo:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Atbilde: šīs taisnās līnijas veido 45 grādu leņķi.
Mēs varam atrisināt līdzīgu problēmu, atrodot leņķi starp normāliem vektoriem. Ja mums ir taisne a ar normālu vektoru n a → = (n a x , n a y) un taisne b ar normālu vektoru n b → = (n b x , n b y), tad leņķis starp tām būs vienāds ar leņķi starp n a → un n b → vai leņķis, kas būs blakus n a →, n b → ^. Šī metode ir parādīta attēlā:
Formulas leņķa kosinusa aprēķināšanai starp krustojošām līnijām un pašu šo leņķi, izmantojot normālu vektoru koordinātas, izskatās šādi:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n a x b 2 y 2
Šeit n a → un n b → apzīmē divu doto līniju normālos vektorus.
2. piemērs
Taisnstūra koordinātu sistēmā divas taisnes ir dotas, izmantojot vienādojumus 3 x + 5 y - 30 = 0 un x + 4 y - 17 = 0. Atrodiet starp tiem esošā leņķa sinusu un kosinusu un paša šī leņķa lielumu.
Risinājums
Sākotnējās līnijas tiek norādītas, izmantojot parastos līniju vienādojumus formā A x + B y + C = 0. Normālo vektoru apzīmējam kā n → = (A, B). Atradīsim pirmā normālvektora koordinātas vienai rindai un ierakstīsim tās: n a → = (3, 5) . Otrajai rindai x + 4 y - 17 = 0 normālajam vektoram būs koordinātas n b → = (1, 4). Tagad pievienosim iegūtās vērtības formulai un aprēķināsim kopsummu:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ja mēs zinām leņķa kosinusu, tad varam aprēķināt tā sinusu, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti. Tā kā taisnu līniju veidotais leņķis α nav strups, tad sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Šajā gadījumā α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Atbilde: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Sakārtosim to pēdējais gadījums– leņķa atrašana starp taisnēm, ja zinām vienas taisnes virziena vektora un otras normālvektora koordinātas.
Pieņemsim, ka taisnei a ir virziena vektors a → = (a x , a y) , bet taisnei b ir normālvektors n b → = (n b x , n b y) . Mums šie vektori jānovieto malā no krustošanās punkta un jāapsver visas to relatīvās pozīcijas iespējas. Skatīt attēlā:
Ja leņķis starp dotie vektori ne vairāk kā 90 grādu, izrādās, ka tas papildinās leņķi starp a un b līdz taisnam leņķim.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , ja a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ja tas ir mazāks par 90 grādiem, mēs iegūstam sekojošo:
a → , n b → ^ > 90 ° , tad a → , n b → ^ = 90 ° + α
Izmantojot vienādu leņķu kosinusu vienādības likumu, mēs rakstām:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pie a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90° + α = - sin α pie a → , n b → ^ > 90° .
Tādējādi
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formulēsim secinājumu.
4. definīcija
Lai atrastu leņķa sinusu starp divām līnijām, kas krustojas plaknē, jāaprēķina leņķa kosinusa modulis starp pirmās līnijas virziena vektoru un otrās normālo vektoru.
Pierakstīsim vajadzīgās formulas. Leņķa sinusa atrašana:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Paša leņķa atrašana:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Šeit a → ir pirmās rindas virziena vektors, un n b → ir otrās rindas normālais vektors.
3. piemērs
Divas krustojošās taisnes ir dotas ar vienādojumu x - 5 = y - 6 3 un x + 4 y - 17 = 0. Atrodiet krustojuma leņķi.
Risinājums
No dotajiem vienādojumiem ņemam virzošā un normālā vektora koordinātas. Izrādās a → = (- 5, 3) un n → b = (1, 4). Mēs ņemam formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 un aprēķinām:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs paņēmām vienādojumus no iepriekšējās problēmas un ieguvām tieši tādu pašu rezultātu, bet atšķirīgā veidā.
Atbilde:α = a r c sin 7 2 34
Piedāvāsim vēl vienu veidu, kā atrast vēlamo leņķi, izmantojot doto taisnu līniju leņķiskos koeficientus.
Mums ir taisne a, kas ir definēta taisnstūra koordinātu sistēmā, izmantojot vienādojumu y = k 1 x + b 1, un līnija b, kas definēta kā y = k 2 x + b 2. Tie ir līniju vienādojumi ar slīpumiem. Lai atrastu krustojuma leņķi, mēs izmantojam formulu:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kur k 1 un k 2 ir leņķa koeficienti dotas taisnas līnijas. Lai iegūtu šo ierakstu, tika izmantotas formulas leņķa noteikšanai caur normālu vektoru koordinātām.
4. piemērs
Plaknē krustojas divas taisnes, kas dotas ar vienādojumu y = - 3 5 x + 6 un y = - 1 4 x + 17 4. Aprēķiniet krustojuma leņķa vērtību.
Risinājums
Mūsu līniju leņķiskie koeficienti ir vienādi ar k 1 = - 3 5 un k 2 = - 1 4. Saskaitīsim tos formulai α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 un aprēķināsim:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Atbilde:α = a r c cos 23 2 34
Šīs rindkopas secinājumos jāatzīmē, ka šeit dotās formulas leņķa atrašanai nav jāiemācās no galvas. Lai to izdarītu, pietiek zināt doto līniju vadotņu un/vai normālo vektoru koordinātas un prast tās noteikt pēc dažādi veidi vienādojumi. Bet labāk ir atcerēties vai pierakstīt formulas leņķa kosinusa aprēķināšanai.
Kā aprēķināt leņķi starp krustojošām līnijām telpā
Šāda leņķa aprēķinu var reducēt līdz virziena vektoru koordinātu aprēķināšanai un šo vektoru veidotā leņķa lieluma noteikšanai. Šādiem piemēriem tiek izmantots tas pats pamatojums, ko mēs minējām iepriekš.
Pieņemsim, ka mums ir taisnstūra koordinātu sistēma, kas atrodas trīsdimensiju telpā. Tajā ir divas taisnes a un b ar krustpunktu M. Lai aprēķinātu virziena vektoru koordinātas, mums jāzina šo līniju vienādojumi. Apzīmēsim virziena vektorus a → = (a x , a y , a z) un b → = (b x , b y , b z) . Lai aprēķinātu leņķa kosinusu starp tiem, mēs izmantojam formulu:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Lai atrastu pašu leņķi, mums ir nepieciešama šī formula:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
5. piemērs
Mums ir līnija, kas definēta trīsdimensiju telpā, izmantojot vienādojumu x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Ir zināms, ka tas krustojas ar O z asi. Aprēķiniet pārtveres leņķi un šī leņķa kosinusu.
Risinājums
Leņķi, kas jāaprēķina, apzīmēsim ar burtu α. Pierakstīsim virziena vektora koordinātas pirmajai taisnei – a → = (1, - 3, - 2) . Par ass pieteikumu mēs varam ņemt koordinātu vektors k → = (0, 0, 1) kā ceļvedis. Mēs esam saņēmuši nepieciešamos datus un varam pievienot tos vajadzīgajai formulai:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Rezultātā mēs noskaidrojām, ka mums vajadzīgais leņķis būs vienāds ar a r c cos 1 2 = 45 °.
Atbilde: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Leņķis starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus esošajiem leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu paralēli datiem.
Telpā dotas divas rindas:
Acīmredzot leņķi φ starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad, izmantojot formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam
Divu taisnu līniju paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi ir līdzvērtīgi to virziena vektoru paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumiem un:
Divi taisni paralēli tad un tikai tad, ja to atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, t.i. l 1 paralēle l 2 tad un tikai tad, ja paralēli 
.
Divi taisni perpendikulāri tad un tikai tad, ja atbilstošo koeficientu reizinājumu summa ir vienāda ar nulli: .
U mērķis starp līniju un plakni
Lai tas ir taisni d- nav perpendikulāra θ plaknei;
d′− līnijas projekcija d uz θ plakni;
Mazākais leņķis starp taisnām līnijām d Un d'' mēs piezvanīsim leņķis starp taisni un plakni.
Apzīmēsim to kā φ=( d,θ)
Ja d⊥θ, tad ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− taisnstūra koordinātu sistēma.
Plaknes vienādojums:
θ: Ax+Autors+Cz+D=0
Mēs pieņemam, ka taisni nosaka punkts un virziena vektors: d[M 0,lpp→]
Vektors n→(A,B,C)⊥θ
Tad atliek noskaidrot leņķi starp vektoriem n→ un lpp→, apzīmēsim to kā γ=( n→,lpp→).
Ja leņķis γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ja leņķis ir γ>π/2, tad vēlamais leņķis ir φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Tad leņķis starp taisni un plakni var aprēķināt, izmantojot formulu:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Kp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lpp 21+lpp 22+lpp 23
29. jautājums. Kvadrātformas jēdziens. Kvadrātisko formu zīmju noteiktība.
Kvadrātiskā forma j (x 1, x 2, …, x n) n reāli mainīgie x 1, x 2, …, x n sauc par formas summu 
, (1)
Kur a ij – daži skaitļi, ko sauc par koeficientiem. Nezaudējot vispārīgumu, mēs to varam pieņemt a ij = a ji.
Kvadrātiskā forma tiek saukta derīgs, Ja a ij
Î GR. Kvadrātiskās formas matrica sauc par matricu, kas sastāv no tās koeficientiem. Kvadrātiskā forma (1) atbilst vienīgajai simetriskajai matricai 
Tas ir A T = A. Tāpēc kvadrātiskā forma(1) var ierakstīt matricas forma j ( X) = x T Ah, Kur x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Un, otrādi, katra simetriskā matrica (2) atbilst unikālai kvadrātveida formai līdz mainīgo apzīmējumam.
Kvadrātiskās formas rangs sauc par tās matricas rangu. Kvadrātiskā forma tiek saukta nedeģenerēts, ja tā matrica nav vienskaitlī A. (atcerieties, ka matrica A sauc par nedeģenerētu, ja tā determinants nav vienāds ar nulli). Pretējā gadījumā kvadrātiskā forma ir deģenerēta.
pozitīvs noteikts(vai stingri pozitīvs), ja
j( X) > 0 , jebkuram X = (X 1 , X 2 , …, x n), izņemot X = (0, 0, …, 0).
Matrica A pozitīva noteikta kvadrātiskā forma j ( X) sauc arī par pozitīvu noteiktu. Tāpēc pozitīva noteikta kvadrātiskā forma atbilst unikālai pozitīvai noteiktai matricai un otrādi.
Tiek saukta kvadrātiskā forma (1). negatīvi definēts(vai stingri negatīvs), ja
j( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), izņemot X = (0, 0, …, 0).
Līdzīgi kā iepriekš, negatīvas noteiktas kvadrātiskās formas matricu sauc arī par negatīvu noteiktu.
Līdz ar to pozitīvā (negatīvā) noteiktā kvadrātiskā forma j ( X) sasniedz minimālo (maksimālo) vērtību j ( X*) = 0 plkst X* = (0, 0, …, 0).
Ņemiet vērā, ka lielākā daļa kvadrātisko formu nav noteiktas ar zīmi, tas ir, tās nav ne pozitīvas, ne negatīvas. Šādas kvadrātiskās formas izzūd ne tikai koordinātu sistēmas sākumā, bet arī citos punktos.
Kad n> 2, kvadrātveida formas zīmes pārbaudei nepieciešami īpaši kritēriji. Apskatīsim tos.
Lielākie nepilngadīgie kvadrātveida formas sauc par nepilngadīgajiem:
tas ir, tie ir nepilngadīgie 1, 2, ..., n matricas A, kas atrodas augšējā kreisajā stūrī, pēdējais no tiem sakrīt ar matricas determinantu A.
Pozitīvās noteiktības kritērijs (Silvestra kritērijs)
X) = x T Ah bija pozitīvs noteikti, ir nepieciešams un pietiekams, lai visi matricas galvenie nepilngadīgie A bija pozitīvas, tas ir: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatīvās noteiktības kritērijs Lai kvadrātveida forma j ( X) = x T Ah bija negatīvs noteikts, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā galvenie nepilngadīgie pāra secībā būtu pozitīvi, bet nepāra secībā - negatīvi, t.i.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n