Visdažādākajos teorētiskajos un lietišķajos pētījumos plaši tiek izmantotas matemātiskās modelēšanas metodes, kas reducē problēmu risinājumu noteiktā pētniecības jomā līdz adekvātu (vai aptuveni adekvātu) problēmu risinājumam. matemātiskas problēmas. Šo uzdevumu risināšanu nepieciešams novest līdz skaitliska rezultāta iegūšanai (dažāda veida lielumu aprēķināšana, dažāda veida vienādojumu risināšana utt.). Skaitļošanas matemātikas mērķis ir izstrādāt algoritmus visdažādāko matemātisko problēmu skaitliskam risinājumam. Metodes ir jāizstrādā tā, lai tās varētu efektīvi ieviest, izmantojot modernās skaitļošanas tehnoloģijas. Parasti aplūkotās problēmas neļauj atrast precīzu risinājumu, tāpēc mēs runājam par tādu algoritmu izstrādi, kas nodrošina aptuvenu risinājumu. Lai nezināmu precīzu problēmas risinājumu varētu aizstāt ar aptuvenu, pēdējam ir jābūt pietiekami tuvam precīzam. Šajā sakarā ir jānovērtē aptuvenā risinājuma tuvums precīzajam un jāizstrādā aptuvenas metodes aptuveno risinājumu konstruēšanai, kas ir tik tuvu precīziem, cik vēlams.
Shematiski aprēķina process ir šāds: noteiktai vērtībai x(ciparu, vektoru utt.) aprēķina kādas funkcijas vērtību A(x). Tiek saukta atšķirība starp daudzuma precīzajām un aptuvenajām vērtībām kļūda. Precīzs vērtības aprēķins A(x) parasti nav iespējams, un tas liek jums aizstāt funkciju (operāciju) A viņas aptuvenais attēlojums à , ko var aprēķināt: aprēķinot daudzumu A(x), aizstāj ar aprēķinu- Ã(x) A(x) - Ã(x) sauca metodes kļūda. Šīs kļūdas novērtēšanas metode ir jāizstrādā kopā ar vērtības aprēķināšanas metodes izstrādi Ã(x). No iespējamās metodes Veidojot tuvinājumu, jāizmanto tas, kas, ņemot vērā pieejamos līdzekļus un iespējas, dod mazāko kļūdu.
Vērtības vērtība x, tas ir, sākotnējos datus reālos uzdevumos iegūst vai nu tieši no mērījumiem, vai arī iepriekšējā aprēķinu posma rezultātā. Šajos gadījumos tiek noteikta tikai aptuvenā vērtība xo daudzumus x. Tāpēc vērtības vietā Ã(x) var aprēķināt tikai aptuvenu vērtību Ã(x o). Rezultātā radusies kļūda A(x) - Ã(x o) sauca nelabojams. Noapaļošanas rezultātā neizbēgami aprēķinu laikā, nevis vērtības Ã(x o) tiek aprēķināta tā “noapaļotā” vērtība, kas noved pie izskata noapaļošanas kļūdas Ã(x o)- . Kopējā aprēķina kļūda izrādās vienāda ar A(x) - .
Ļaujiet mums attēlot kopējo kļūdu formā
A(x) - = [A(x) — ] + [ - Ã(x o)] +
+ [Ã(x o) - ] (1)
Pēdējā vienādība parāda, ka kopējā aprēķina kļūda ir vienāda ar metodes kļūdas, fatālās kļūdas un noapaļošanas kļūdas summu. Pirms aprēķinu sākšanas var novērtēt pirmās divas kļūdas sastāvdaļas. Noapaļošanas kļūda tiek novērtēta tikai aprēķinu laikā.
Apskatīsim šādus uzdevumus:
a) aptuveno skaitļu precizitātes raksturojums
b) rezultāta precizitātes novērtējums, ņemot vērā sākotnējo datu zināmo precizitāti (nāvējošās kļūdas aplēse)
c) nepieciešamās avota datu precizitātes noteikšana, lai nodrošinātu rezultāta noteikto precizitāti
d) avota datu un aprēķinu precizitātes saskaņošana ar pieejamo skaitļošanas rīku iespējām.
4 Mērījumu kļūdas
4.1 Fizikālo lielumu patiesās un faktiskās vērtības. Mērījumu kļūda. Mērījumu kļūdu cēloņi
Analizējot mērījumus, skaidri jānošķir divi jēdzieni: fizisko lielumu patiesās vērtības un to empīriskās izpausmes - mērījumu rezultāti.
Fizisko lielumu patiesās vērtības - tās ir vērtības, ideālā veidā atspoguļojot dotā objekta īpašības gan kvantitatīvi, gan kvalitatīvi. Tie nav atkarīgi no mērīšanas līdzekļiem un ir absolūtā patiesība, uz kuru tie tiecas, veicot mērījumus.
Gluži pretēji, mērījumu rezultāti ir izziņas produkti. Mērījumu rezultātā atrasto daudzumu vērtību aptuvenās aplēses ir atkarīgas no mērīšanas metodes, mērinstrumentiem un citiem faktoriem.
Mērījumu kļūda starpību starp mērījuma rezultātu x un izmērītā daudzuma patieso vērtību Q sauc:
Δ= x – Q (4.1.)
Bet kopš patiesā nozīme Mērītā daudzuma Q nav zināms, tad, lai noteiktu mērījuma kļūdu, formulā (4.1) patiesās vērtības vietā tiek aizstāta tā sauktā reālā vērtība.
Zem izmērītā daudzuma faktiskā vērtība ar tā nozīmi saprot eksperimentāli atrastu un tik tuvu patiesajai vērtībai, ka to var izmantot noteiktam mērķim tā vietā.
Kļūdu cēloņi ir: mērīšanas metožu, mērinstrumentu un novērotāja maņu nepilnības. Iemesli, kas saistīti ar mērījumu apstākļu ietekmi, jāapvieno atsevišķā grupā. Pēdējie izpaužas divos veidos. No vienas puses, visi fizikālie lielumi, kuriem ir kāda nozīme mērījumos, vienā vai otrā pakāpē ir atkarīgi viens no otra. Tāpēc, mainoties ārējiem apstākļiem, mainās izmērīto daudzumu patiesās vērtības. Savukārt mērīšanas apstākļi ietekmē gan mērinstrumentu raksturlielumus, gan novērotāja maņu orgānu fizioloģiskās īpašības un caur tiem kļūst par mērījumu kļūdu avotu.
4.2. Mērījumu kļūdu klasifikācija atkarībā no to izmaiņu rakstura
Aprakstītie kļūdu cēloņi ir kombinācija liels skaits faktori, kuru ietekmē veidojas kopējā mērījumu kļūda. Tos var apvienot divās galvenajās grupās.
Pirmajā grupā ietilpst faktori, kas parādās neregulāri un pēkšņi izzūd vai parādās ar grūti prognozējamu intensitāti. Tie ietver, piemēram, nelielas ietekmējošo daudzumu (temperatūras, spiediena) svārstības vidi utt.). Šīs grupas faktoru ietekmē radušās kopējās mērījumu kļūdas daļa jeb komponente nosaka nejaušo mērījumu kļūdu.
Tādējādi nejauša mērījuma kļūda - mērījumu kļūdas sastāvdaļa, kas nejauši mainās, veicot atkārtotus viena un tā paša lieluma mērījumus.
Veidojot mērinstrumentus un organizējot mērīšanas procesu kopumā, nejaušo mērījumu kļūdu noteicošo faktoru izpausmes intensitāti var samazināt līdz vispārējam līmenim, lai tie visi vairāk vai mazāk vienādi ietekmētu nejaušības veidošanos. kļūda. Tomēr daži no tiem, piemēram, pēkšņs sprieguma kritums elektroapgādes tīklā, var izrādīties negaidīti spēcīgs, kā rezultātā kļūda iegūst izmērus, kas nepārprotami pārsniedz mērīšanas eksperimenta gaitā noteiktās robežas. . Šādas kļūdas nejaušās kļūdas ietvaros sauc rupjš . Cieši blakus tiem garām - kļūdas, kas ir atkarīgas no novērotāja un ir saistītas ar nepareizu apiešanos ar mērinstrumentiem, nepareiziem rādījumiem vai kļūdām rezultātu ierakstīšanā.
Otrajā grupā ietilpst faktori, kas ir nemainīgi vai dabiski mainās mērījumu eksperimenta laikā, piemēram, vienmērīgas ietekmējošo lielumu izmaiņas. Mērījumu kopējās kļūdas komponents, kas rodas šīs grupas faktoru ietekmē, nosaka sistemātisko mērījumu kļūdu.
Tādējādi sistemātiska mērījumu kļūda - mērījumu kļūdas sastāvdaļa, kas paliek nemainīga vai dabiski mainās, veicot atkārtotus viena un tā paša lieluma mērījumus.
Mērīšanas procesā aprakstītās kļūdu sastāvdaļas parādās vienlaicīgi, un kopējo kļūdu var attēlot kā summu
, (4.2)
Kur 
- nejaušas, un Δ s - sistemātiskas kļūdas.
Lai iegūtu rezultātus, kas minimāli atšķiras no lielumu patiesajām vērtībām, tiek veikti vairāki izmērītā daudzuma novērojumi, kam seko eksperimentālo datu apstrāde. Tieši tāpēc lieliska vērtība ir kļūdas izpēte kā novērojuma skaitļa funkcija, t.i. laiks A(t). Tad atsevišķas kļūdu vērtības var interpretēt kā šīs funkcijas vērtību kopu:
Δ 1 = Δ(t 1), Δ 2 = Δ(t 2),..., Δ n = Δ(t n).
Vispārīgā gadījumā kļūda ir nejauša laika funkcija, kas atšķiras no klasiskajām matemātiskās analīzes funkcijām ar to, ka nevar pateikt, kādu vērtību tā aizņems laikā t i. Varat norādīt tikai tās vērtību rašanās varbūtības noteiktā intervālā. Eksperimentu sērijā, kas sastāv no vairākiem atkārtotiem novērojumiem, mēs iegūstam vienu šīs funkcijas realizāciju. Atkārtojot sērijas ar vienādām lielumu vērtībām, kas raksturo otrās grupas faktorus, mēs neizbēgami iegūstam jaunu realizāciju, kas atšķiras no pirmās. Realizācijas atšķiras viena no otras pirmās grupas faktoru ietekmes dēļ, savukārt otrās grupas faktori, kas vienādi izpaužas, saņemot katru realizāciju, dod tām zināmu kopīgas iezīmes(4.1. attēls).
Mērījumu kļūdu, kas atbilst katram laika momentam t i, sauc par šķērsgriezumu izlases funkcijaΔ(t). Katrā sadaļā var atrast vidējo kļūdas vērtību Δ s (t i), ap kuru tiek grupētas kļūdas dažādās implementācijās. Ja caur šādā veidā iegūtajiem punktiem Δ s (t i) novelk gludu līkni, tad tā raksturos kopējo kļūdas izmaiņu tendenci laika gaitā. Ir viegli redzēt, ka vidējās vērtības Δ s (tj) nosaka otrās grupas faktoru darbība un atspoguļo sistemātisku mērījumu kļūdu laikā t i un novirzes Δ j (t j) no vidējās vērtības. sadaļa t i, kas atbilst jth ieviešana, norādiet nejaušās kļūdas vērtību. Tādējādi vienlīdzība ir spēkā
(4.3)
4.1.attēls
Pieņemsim, ka Δ s (t i) = 0, t.i. sistemātiskās kļūdas vienā vai otrā veidā tiek izslēgtas no novērojumu rezultātiem, un mēs ņemsim vērā tikai nejaušas kļūdas, kuru vidējās vērtības katrā sadaļā ir vienādas ar nulli. Pieņemsim, ka nejaušās kļūdas dažādās sadaļās nav atkarīgas viena no otras, t.i. zināšanas par nejaušu kļūdu vienā sadaļā mums neko nedod papildu informāciju par vērtību, ko šī realizācija ieņem jebkurā sadaļā, un ka visas nejaušo kļūdu teorētiskās un varbūtības pazīmes, kas ir vienas realizācijas vērtības visās sadaļās, sakrīt viena ar otru. Tad nejaušo kļūdu var uzskatīt par nejaušu lielumu, un tās vērtības katram no vairākiem viena un tā paša fiziskā lieluma novērojumiem var uzskatīt par tā neatkarīgu novērojumu rezultātiem.
Šādos apstākļos nejaušo mērījumu kļūdu definē kā starpību starp koriģēto mērījumu rezultātu XI (rezultāts, kas nesatur sistemātisku kļūdu) un izmērītā lieluma patieso vērtību Q:
Δ = X UN –Q 4.4)
Turklāt koriģētais mērījumu rezultāts būs tāds, no kura tiks izslēgtas sistemātiskās kļūdas.
Šādus datus parasti iegūst, pārbaudot mērinstrumentus, mērot iepriekš zināmos lielumus. Veicot mērījumus, mērķis ir novērtēt izmērītā daudzuma patieso vērtību, kas pirms eksperimenta nav zināma. Mērījumu rezultāts papildus patiesajai vērtībai ietver arī nejaušu kļūdu, tāpēc tas pats par sevi ir nejaušs lielums. Šajos apstākļos verifikācijas laikā iegūtās nejaušās kļūdas faktiskā vērtība vēl neraksturo mērījumu precizitāti, tāpēc nav skaidrs, kādu vērtību ņemt par galīgo mērījumu rezultātu un kā raksturot tās precizitāti.
Atbildi uz šiem jautājumiem var iegūt, izmantojot matemātiskās statistikas metodes, kas īpaši attiecas uz nejaušiem mainīgajiem, apstrādājot novērojumu rezultātus.
4.3. Mērījumu kļūdu klasifikācija atkarībā no to rašanās iemesliem
Atkarībā no to rašanās iemesliem tiek izdalītas šādas kļūdu grupas: metodoloģiskā, instrumentālā, ārējā un subjektīvā.
Daudzās mērīšanas metodēs ir iespējams noteikt metodiskā kļūda , kas ir noteiktu pieņēmumu un vienkāršojumu, empīrisko formulu izmantošanas un funkcionālo atkarību sekas. Dažos gadījumos šādu pieņēmumu ietekme izrādās nenozīmīga, t.i. daudz mazākas par pieļaujamajām mērījumu kļūdām; citos gadījumos tas pārsniedz šīs kļūdas.
Metodoloģisko kļūdu piemērs ir kļūdas elektriskās pretestības mērīšanas metodē, izmantojot ampērmetru un voltmetru (4.2. attēls). Ja pretestību R x nosaka pēc Oma likuma formulas R x =U v /I a, kur U v ir sprieguma kritums, ko mēra ar voltmetru V; I a ir strāvas stiprums, ko mēra ar ampērmetru A, tad abos gadījumos būs pieļaujamas metodiskās mērījumu kļūdas.
4.2.a attēlā strāvas stiprums I a, ko mēra ar ampērmetru, būs lielāks par strāvas stiprumu pretestībā R x par strāvas stipruma I v vērtību voltmetrā, kas savienots paralēli pretestībai. Pretestība R x, kas aprēķināta, izmantojot iepriekš minēto formulu, būs mazāka par faktisko. 4.2.6. attēlā spriegums, ko mēra ar voltmetru V, būs lielāks par sprieguma kritumu U r pretestībā R x par vērtību U a (sprieguma kritums pāri ampērmetra A pretestībai). Pretestība, kas aprēķināta, izmantojot Ohma likuma formulu, būs lielāka par pretestību R x par vērtību Ra (ampērmetra pretestība). Korekcijas abos gadījumos var viegli aprēķināt, ja zināt voltmetra un ampērmetra pretestību. Labojumi nav jāveic, ja tie ir ievērojami mazāki par pieļaujamo kļūdu R x pretestības mērīšanā, piemēram, ja pirmajā gadījumā voltmetra pretestība ir ievērojami b
Lielāks par R x, un otrajā gadījumā Ra ir ievērojami mazāks par R x.
Attēls 4.2
Vēl viens metodoloģiskas kļūdas rašanās piemērs ir ķermeņu, kuru forma tiek pieņemta ģeometriski pareiza, tilpuma mērīšana, mērot izmērus vienā vai nepietiekamā skaitā vietu, piemēram, izmērot ķermeņu tilpumu. telpa, mērot garumu, platumu un augstumu tikai trīs virzienos. Lai precīzi noteiktu apjomu, būtu nepieciešams noteikt telpas garumu un platumu gar katru sienu, augšā un apakšā, izmērīt augstumu stūros un vidū un, visbeidzot, stūrus starp sienām. Šis piemērs ilustrē iespējamību, ka var rasties būtiska metodoloģiska kļūda, ja metode tiek nepamatoti vienkāršota.
Metodoloģiskā kļūda parasti ir sistemātiska kļūda.
Instrumentāla kļūda - tā ir kļūdas sastāvdaļa mērinstrumentu nepilnību dēļ. Klasisks šādas kļūdas piemērs ir mērinstrumenta kļūda, ko izraisa neprecīza tā skalas kalibrēšana. Ir ļoti svarīgi skaidri nošķirt mērījumu kļūdas un instrumentālās kļūdas. Mērinstrumentu nepilnība ir tikai viens no mērījumu kļūdu avotiem un nosaka tikai vienu no tās sastāvdaļām – instrumentālo kļūdu. Savukārt instrumentālā kļūda ir totāla, kuras sastāvdaļas - funkcionālo vienību kļūdas - var būt gan sistemātiskas, gan nejaušas.
Ārēja kļūda - Mērījumu kļūdas sastāvdaļa, ko izraisa viena vai vairāku ietekmējošo lielumu novirze no normālām vērtībām vai to iziešana ārpus normālā diapazona (piemēram, temperatūras ietekme, ārējie elektriskie un magnētiskie lauki, mehāniskās ietekmes utt.). Parasti ārējās kļūdas nosaka izmantoto mērinstrumentu papildu kļūdas un ir sistemātiskas. Tomēr, ja ietekmējošie lielumi ir nestabili, tie var kļūt nejauši.
Subjektīva (personiskā) kļūda dēļ individuālās īpašības eksperimentētājs un var būt sistemātisks vai nejaušs. Lietojot mūsdienu digitālos mērinstrumentus, subjektīvo kļūdu var neņemt vērā. Tomēr, ņemot rādījumus no rādītājinstrumentiem, šādas kļūdas var būt nozīmīgas, jo nepareizi nolasītas skalas desmitdaļas, asimetrija, kas rodas, iestatot gājienu vidū starp divām atzīmēm utt. Piemēram, kļūdas, ko eksperimentētājs pieļauj, novērtējot instrumenta skalas iedalījuma desmitdaļas, var sasniegt 0,1 iedalījumu. Šīs kļūdas izpaužas apstāklī, ka dažādām dalījuma desmitdaļām dažādiem eksperimentētājiem ir raksturīgas dažādas novērtējuma frekvences, un katrs eksperimentētājs ilgstoši saglabā sev raksturīgo sadalījumu. Tādējādi viens eksperimentētājs rādījumus biežāk atsaucas uz līnijām, kas veido dalījuma malas, un uz 0,5 dalījumu vērtību. Otrs ir 0,4 un 0,6 dalījumu vērtībām. Trešais dod priekšroku 0,2 un 0,8 dalījumu vērtībām utt. Kopumā, paturot prātā nejaušu eksperimentētāju, kļūdu sadalījumu dalījuma desmitdaļu skaitīšanā var uzskatīt par vienmērīgu ar ±0,1 dalījuma robežām.
4.4 Formas mērījumu kļūdas attēlošanai. Mērījumu precizitāte
Mērījumu kļūdu var attēlot formā absolūts kļūda, kas izteikta izmērītās vērtības vienībās un noteikta pēc formulas (4.1), vai radinieks kļūda, kas definēta kā absolūtās kļūdas attiecība pret izmērītās vērtības patieso vērtību:
δ = Δ/Q. (4.5)
Gadījumā, ja nejaušo kļūdu izsaka procentos, attiecību Δ/Q reizina ar 100%. Turklāt formulā (4.5) Q patiesās vērtības vietā ir atļauts izmantot x mērīšanas rezultātu.
Arī šis jēdziens tiek plaši izmantots mērījumu precizitāte − raksturlielums, kas atspoguļo to rezultātu tuvumu izmērītās vērtības patiesajai vērtībai. Citiem vārdiem sakot, augsta precizitāte atbilst nelielām mērījumu kļūdām. Tāpēc mērījumu precizitāti var kvantitatīvi novērtēt ar relatīvās kļūdas moduļa apgriezto vērtību
3.2. Noapaļošana
Viens no aptuveno skaitļu iegūšanas avotiem ir O noapaļošana. Gan precīzie, gan aptuvenie skaitļi ir noapaļoti.
Noapaļošana dotais numurs līdz noteiktam ciparam sauc tā aizstāšanu ar jaunu, ko iegūst no dotā ar izmetot visi viņa numuri pierakstīti pa labišī cipara ciparus vai aizstājot to ar nullēm. Šie nulles parasti pasvītrojiet vai uzrakstiet tos mazākus. Lai nodrošinātu vistuvāko noapaļotā skaitļa tuvumu noapaļotajam, izmantojiet tālāk norādīto noteikumiem:
Lai noapaļotu skaitli līdz vienam no noteikta cipara, jums ir jāatmet visi cipari pēc šī cipara cipara un jāaizstāj tie ar nullēm veselajā skaitlī. Tiek ņemts vērā:
1 ), ja pirmais (kreisais) no izmestajiem cipariem mazāk par 5, tad pēdējais atlikušais cipars netiek mainīts (noapaļot ar trūkums);
2 ), ja pirmais cipars ir jāatmet lielāks par 5 vai vienāds ar 5, tad pēdējais atlikušais cipars tiek palielināts par vienu (noapaļot lieko).*
Piemēram:
Apaļš:Atbildes:
A) līdz desmitdaļām 12,34; 12,34 ≈ 12,3;
b) līdz simtdaļām 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
V) līdz tūkstošdaļām 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;
G) līdz tūkstošiem 12 375, 320 729 12 375 ≈ 12 000 ; 320 729 ≈ 321 000.
(* Pirms vairākiem gadiem, ja tika izmests tikai viens cipars 5 izbaudīja "pāra skaitļa noteikums": pēdējais cipars tika atstāts nemainīgs, ja tas bija pāra, un palielināts par vienu, ja tas bija nepāra. Tagad "pāra ciparu noteikumi" Nav ievērot: ja tiek izmests viens cipars 5 , tad viens tiek pievienots pēdējam atlikušajam ciparam neatkarīgi no tā, vai tas ir pāra vai nepāra).
3.3. Aptuveno vērtību absolūtā un relatīvā kļūda
Absolūtā vērtība atšķirības starp aptuveno un precīzo (patieso) lieluma vērtību sauc absolūta kļūda aptuvenā vērtība. Piemēram, ja precīzs skaitlis 1,214 noapaļo līdz tuvākajai desmitdaļai, iegūstam aptuvenu skaitli 1,2 . IN šajā gadījumā aptuvenā skaitļa absolūtā kļūda būs 1,214 – 1,2 = 0,014 .
Bet vairumā gadījumu precīza vērtība apskatāmais daudzums nav zināms, bet tikai aptuvens. Tad absolūtā kļūda nav zināma. Šajos gadījumos norāda robeža, ko tas nepārsniedz. Šo numuru sauc ierobežojot absolūto kļūdu. Viņi saka, ka skaitļa precīzā vērtība ir vienāda ar tā aptuveno vērtību ar kļūdu, kas ir mazāka par robežkļūdu. Piemēram, numurs 23,71 ir skaitļa aptuvenā vērtība 23,7125 līdz 0,01 , jo absolūtā tuvinājuma kļūda ir vienāda ar 0,0025 un mazāk 0,01 . Šeit ierobežojošā absolūtā kļūda ir vienāda ar 0,01 .*
(* Absolūti Kļūda var būt gan pozitīva, gan negatīva. Piemēram,1,68 ≈ 1,7 . Absolūtā kļūda ir 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 .Robeža kļūda vienmēr ir pozitīva).
Aptuvenā skaitļa robežas absolūtā kļūda " A » ir apzīmēts ar simbolu Δ A . Ieraksts
X ≈ a (Δa)
jāsaprot šādi: precīza daudzuma vērtība X atrodas starp cipariem A +Δ A Un A –Δ A, kurus attiecīgi sauc apakšā Un augšējā robežaX un apzīmē N G X Un IN G X .
Piemēram, Ja X
≈ 2,3 (
0,1),
Tas 2,2 <
X
< 2,4
.
Gluži pretēji, ja 7,3 < X < 7,4 , Tas X ≈ 7,35 ( 0,05).
Absolūtā vai robežabsolūtā kļūda Nav raksturo veiktā mērījuma kvalitāti. To pašu absolūto kļūdu var uzskatīt par nozīmīgu un nenozīmīgu atkarībā no skaitļa, ar kuru izmērītā vērtība tiek izteikta.
Piemēram, ja mēram attālumu starp divām pilsētām ar viena kilometra precizitāti, tad šāda precizitāte šim mērījumam ir pilnīgi pietiekama, bet tajā pašā laikā, mērot attālumu starp divām mājām uz vienas ielas, šāda precizitāte būs nepieņemama.
Līdz ar to daudzuma aptuvenās vērtības precizitāte ir atkarīga ne tikai no absolūtās kļūdas lieluma, bet arī no izmērītā daudzuma vērtības. Tieši tāpēc precizitātes mērs ir relatīvā kļūda.
Relatīvā kļūda sauc par absolūtās kļūdas attiecību pret aptuvenā skaitļa vērtību. Tiek izsaukta ierobežojošās absolūtās kļūdas attiecība pret aptuveno skaitli ierobežot relatīvo kļūdu; apzīmē to šādi: Δ a/a . Relatīvās un marginālās relatīvās kļūdas parasti izsaka kā procentos.
Piemēram, ja mērījumi liecina, ka attālums starp diviem punktiem ir lielāks 12,3 km, bet mazāk 12,7 km, tad priekš aptuvens tā nozīme ir pieņemta vidējais aritmētiskaisšie divi skaitļi, t.i. viņu puse no summas, Tad robeža absolūtā kļūda ir pusatšķirībasšie skaitļi. Šajā gadījumā X ≈ 12,5 ( 0,2). Šeit ir robeža absolūts kļūda ir vienāda ar 0,2 km, un robeža radinieks:
Absolūtās un relatīvās kļūdas
Absolūtā mērījumu kļūda ir lielums, ko nosaka mērījumu rezultāta starpība x un izmērītā daudzuma patieso vērtību x 0:
Δ x = |x – x 0 |.
Vērtība δ, vienāds ar attiecību absolūto mērījumu kļūdu mērījuma rezultātam sauc par relatīvo kļūdu:
Piemērs 2.1. Aptuvenā π vērtība ir 3,14. Tad tā kļūda ir 0,00159... . Absolūto kļūdu var uzskatīt par vienādu ar 0,0016, un relatīvo kļūdu, kas vienāda ar 0,0016 / 3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Nozīmīgi skaitļi. Ja vērtības a absolūtā kļūda nepārsniedz vienu skaitļa a pēdējā cipara vietvienību, tad tiek uzskatīts, ka skaitlim ir visas pareizās zīmes. Jāpieraksta aptuvenie skaitļi, saglabājot tikai pareizās zīmes. Ja, piemēram, skaitļa 52 400 absolūtā kļūda ir 100, tad šis skaitlis jāraksta, piemēram, formā 524 · 10 2 vai 0,524 · 10 5. Aptuvenā skaitļa kļūdu var novērtēt, norādot, kā tajā ir daudz pareizo zīmīgo ciparu. Skaitot zīmīgos skaitļus, nulles skaitļa kreisajā pusē netiek skaitītas.
Piemēram, skaitlim 0,0283 ir trīs derīgi nozīmīgi skaitļi, bet 2,5400 ir pieci derīgi zīmīgie skaitļi.
Skaitļu noapaļošanas noteikumi. Ja aptuvenais skaitlis satur papildu (vai nepareizus) ciparus, tas ir jānoapaļo. Noapaļojot, rodas papildu kļūda, kas nepārsniedz pusi vienības no pēdējā zīmīgā cipara vietas ( d) noapaļots skaitlis. Noapaļojot, tiek saglabāti tikai pareizie cipari; papildu rakstzīmes tiek izmestas, un, ja pirmais izmestais cipars ir lielāks vai vienāds ar d/2, tad pēdējais saglabātais cipars tiek palielināts par vienu.
Papildu cipari veselos skaitļos tiek aizstāti ar nullēm un iekšā decimāldaļas tiek izmesti (tāpat kā papildu nulles). Piemēram, ja mērījuma kļūda ir 0,001 mm, tad rezultāts 1,07005 tiek noapaļots līdz 1,070. Ja pirmais cipars, kas mainīts ar nullēm un izmests, ir mazāks par 5, pārējie cipari netiek mainīti. Piemēram, skaitļa 148 935 ar mērījumu precizitāti 50 noapaļošanas vērtība ir 148 900. Ja pirmais no cipariem, kas aizstāts ar nullēm vai izmests, ir 5, un tam nav ciparu vai nulles, tad noapaļošana tiek veikta līdz tuvākajam. pāra skaitlis. Piemēram, skaitlis 123,50 tiek noapaļots līdz 124. Ja pirmais cipars, kas jāaizstāj ar nullēm vai jāatmet, ir lielāks vai vienāds ar 5, bet tam seko nozīmīgs cipars, tad pēdējais atlikušais cipars tiek palielināts par vienu. Piemēram, skaitlis 6783,6 ir noapaļots līdz 6784.
Piemērs 2.2. Noapaļojot 1284 līdz 1300, absolūtā kļūda ir 1300 – 1284 = 16, un, noapaļojot līdz 1280, absolūtā kļūda ir 1280 – 1284 = 4.
Piemērs 2.3. Noapaļojot skaitli 197 līdz 200, absolūtā kļūda ir 200 – 197 = 3. Relatīvā kļūda ir 3/197 ≈ 0,01523 jeb aptuveni 3/200 ≈ 1,5%.
Piemērs 2.4. Pārdevējs sver arbūzu uz svariem. Mazākais svars komplektā ir 50 g. Šis skaitlis ir aptuvens. Precīzs svars arbūzs nezināms. Bet absolūtā kļūda nepārsniedz 50 g Relatīvā kļūda nepārsniedz 50/3600 = 1,4%.
Kļūdas problēmas risināšanā ieslēgts PC
Trīs kļūdu veidi parasti tiek uzskatīti par galvenajiem kļūdu avotiem. Tās sauc par saīsināšanas kļūdām, noapaļošanas kļūdām un izplatīšanās kļūdām. Piemēram, izmantojot iteratīvās metodes nelineāro vienādojumu sakņu meklēšanai, rezultāti ir aptuveni, atšķirībā no tiešajām metodēm, kas nodrošina precīzu risinājumu.
Saīsināšanas kļūdas
Šāda veida kļūda ir saistīta ar kļūdu, kas raksturīga pašam uzdevumam. Tas var būt saistīts ar neprecizitāti, nosakot avota datus. Piemēram, ja problēmas izklāstā ir norādīti kādi izmēri, tad praksē reāliem objektiem šie izmēri vienmēr ir zināmi ar zināmu precizitāti. Tas pats attiecas uz jebkuru citu fizikālie parametri. Tas ietver arī aprēķinu formulu un tajās iekļauto skaitlisko koeficientu neprecizitāti.
Pavairošanas kļūdas
Šāda veida kļūda ir saistīta ar vienas vai otras problēmas risināšanas metodes izmantošanu. Aprēķinu laikā neizbēgami notiek kļūdu uzkrāšanās vai, citiem vārdiem sakot, izplatīšanās. Papildus tam, ka paši sākotnējie dati nav precīzi, tos reizinot, saskaitot utt. rodas jauna kļūda. Kļūdu uzkrāšanās ir atkarīga no aprēķinā izmantoto aritmētisko darbību rakstura un skaita.
Noapaļošanas kļūdas
Šāda veida kļūda rodas tāpēc, ka dators ne vienmēr precīzi saglabā skaitļa patieso vērtību. Kad reāls skaitlis tiek saglabāts datora atmiņā, tas tiek rakstīts kā mantisa un eksponents tāpat kā skaitlis tiek parādīts kalkulatorā.
Tagad, kad cilvēkam pieder jaudīgs datortehnikas arsenāls (dažādi kalkulatori, datori u.c.), aptuveno aprēķinu noteikumu ievērošana ir īpaši svarīga, lai neizkropļotu rezultāta ticamību.
Veicot aprēķinus, jāatceras rezultāta precizitāte, ko var iegūt vai vajadzētu iegūt (ja tas ir noteikts). Līdz ar to ir nepieņemami veikt aprēķinus ar lielāku precizitāti, nekā to nosaka fizikālās problēmas dati vai prasa eksperimenta nosacījumi1. Piemēram, veicot matemātiskas darbības ar fizisko lielumu skaitliskām vērtībām, kurām ir divi uzticami (nozīmīgi) cipari, jūs nevarat pierakstīt aprēķinu rezultātu ar precizitāti, kas pārsniedz divu uzticamu ciparu robežas, pat ja beigās mums tādu ir vairāk.
Fizisko lielumu vērtība ir jāpieraksta, atzīmējot tikai ticama rezultāta pazīmes. Piemēram, ja skaitliskajai vērtībai 39 600 ir trīs ticami cipari (rezultāta absolūtā kļūda ir 100), tad rezultāts jāraksta kā 3,96 104 vai 0,396 105. Aprēķinot uzticamus ciparus, nulles pa kreisi no skaitļa netiek ņemti vērā.
Lai aprēķina rezultāts būtu pareizs, tas ir jānoapaļo, atstājot tikai daudzuma patieso vērtību. Ja daudzuma skaitliskā vērtība satur papildu (neuzticamus) ciparus, kas pārsniedz noteikto precizitāti, tad pēdējais saglabātais cipars tiek palielināts par 1 ar nosacījumu, ka pārpalikums (papildu cipari) ir vienāds ar pusi no nākamā cipara vērtības vai lielāks par to. numuru.
Dažādās skaitliskās vērtībās nulle var būt vai nu uzticams, vai neuzticams skaitlis. Tātad b) piemērā tas ir neuzticams skaitlis, un d) tas ir uzticams un nozīmīgs. Fizikā, ja viņi vēlas uzsvērt fiziskā lieluma skaitliskās vērtības cipara ticamību, tā standarta izteiksmē norāda “0”. Piemēram, ierakstot masas vērtību 2,10 10–3 kg, tiek norādīti trīs ticami rezultāta skaitļi un atbilstošā mērījuma precizitāte, bet vērtība 2,1 10–3 kg ir tikai divi ticami cipari.
Jāatceras, ka darbību rezultāts ar fizisko lielumu skaitliskām vērtībām ir aptuvens rezultāts, kurā ņemta vērā aprēķina precizitāte vai mērījumu kļūda. Tāpēc, veicot aptuvenus aprēķinus, jums jāvadās pēc šādiem uzticamu skaitļu aprēķināšanas noteikumiem:
1. Veicot aritmētiskās darbības ar fizisko lielumu skaitliskām vērtībām, to rezultāts jāņem tik daudz ticamu zīmju, cik ir skaitliskās vērtības ar vismazāko ticamo zīmju skaitu.
2. Visos starpaprēķinos ir jāsaglabā vēl viens cipars nekā skaitliskā vērtība ar vismazāko ticamo ciparu skaitu. Galu galā šis "papildu" skaitlis tiek izmests, noapaļojot.
3. Ja dažiem datiem ir ticamākas zīmes nekā citiem, to vērtības vispirms ir jānoapaļo (var saglabāt vienu “lieko” ciparu) un pēc tam jāveic darbības.
Vairumā gadījumu uzdevumos norādītie skaitliskie dati ir aptuveni. Uzdevuma apstākļos var rasties arī precīzas vērtības, piemēram, neliela objektu skaita skaitīšanas rezultāti, dažas konstantes utt.
Lai norādītu skaitļa aptuveno vērtību, izmantojiet aptuveno vienādības zīmi; lasiet šādi: "aptuveni vienāds" (nevajadzētu lasīt: "aptuveni vienāds").
Skaitlisko datu būtības noskaidrošana ir svarīgs sagatavošanās posms jebkuras problēmas risināšanā.
Šīs vadlīnijas var palīdzēt atpazīt precīzus un aptuvenus skaitļus:
| Precīzas vērtības | Aptuvenās vērtības |
| 1. Vairāku pārrēķina koeficientu vērtības pārejai no vienas mērvienības uz citu (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Daudzi pārrēķina koeficienti ir izmērīti un aprēķināti ar tik augstu (metroloģisko) precizitāti, ka tagad praktiski tiek uzskatīti par precīziem. | 1. Lielākā daļa matemātisko lielumu vērtību, kas norādītas tabulās (saknes, logaritmi, vērtības trigonometriskās funkcijas, kā arī skaitļa un bāzes praktiskā nozīme naturālie logaritmi(skaitlis e)) |
| 2. Mēroga faktori. | Ja, piemēram, ir zināms, ka mērogs ir 1:10000, tad skaitļi 1 un 10000 tiek uzskatīti par precīziem. |
| Ja ir norādīts, ka 1 cm ir 4 m, tad 1 un 4 ir precīzas garuma vērtības | 2. Mērījumu rezultāti. |
| (Dažas pamatkonstantes: gaismas ātrums vakuumā, gravitācijas konstante, elektrona lādiņš un masa utt.) Tabulas fizikālo lielumu vērtības (vielas blīvums, kušanas un viršanas temperatūra utt.) 3. Tarifi un cenas.(maksa par 1 kWh elektrības – precīza cena) | |
| 3. Projektēšanas dati arī ir aptuveni, jo tie ir norādīti ar dažām novirzēm, kuras standartizē GOST. | |
| (Piemēram, saskaņā ar standartu ķieģeļa izmēri ir: garums 250 6 mm, platums 120 4 mm, biezums 65 3 mm) Tajā pašā aptuveno skaitļu grupā ietilpst izmēri, kas ņemti no zīmējuma | |
| 7. 4. Daudzumu nosacītās vērtības (piemēri: absolūtā nulle |
temperatūra -273,15 C, normāls atmosfēras spiediens 101325 Pa) 5. Fizikālās un matemātiskās formulās atrastie koeficienti un eksponenti ( ; %; utt.).
1. 6. Preču skaitīšanas rezultāti (bateriju skaits akumulatorā; rūpnīcā saražoto piena kastīšu skaits, kas saskaitītas ar fotoelektrisko skaitītāju)
Uzdotās vērtības
daudzumi (piemēram, uzdevumā “Atrodiet 1 un 4 m garu svārstu svārstību periodus” skaitļus 1 un 4 var uzskatīt par precīzām svārsta garuma vērtībām)
Izpildīt
šādus uzdevumus, noformējiet savu atbildi tabulas veidā:
Norādiet, kuras no dotajām vērtībām ir precīzas un kuras ir aptuvenas:
1) Ūdens blīvums (4 C)……………………………………………………1000kg/m3
2. 2) Skaņas ātrums (0 C)…………………………………………….332 m/s
1) Tvaika dzinējā bronzas spole, kuras garums un platums ir attiecīgi 200 un 120 mm, piedzīvo spiedienu 12 MPa. Atrodiet spēku, kas nepieciešams, lai spoli pārvietotu pa cilindra čuguna virsmu. Berzes koeficients ir 0,10.
2) Nosakiet elektriskās spuldzes kvēldiega pretestību, izmantojot šādus marķējumus: "220 V, 60 W."
3. Kādas atbildes – precīzas vai aptuvenas – saņemsim, risinot tālāk norādītās problēmas?
1) Kāds ir brīvi krītoša ķermeņa ātrums 15. sekundes beigās, pieņemot, ka laika intervāls ir precīzi norādīts?
2) Kāds ir skriemeļa ātrums, ja tā diametrs ir 300 mm un griešanās ātrums ir 10 apgr./s? Uzskatiet, ka dati ir precīzi.
3) Noteikt spēka moduli. Mērogs 1 cm – 50N.
4) Noteikt statiskās berzes koeficientu ķermenim, kas atrodas uz slīpas plaknes, ja ķermenis sāk vienmērīgi slīdēt pa slīpumu pie = 0,675, kur ir plaknes slīpuma leņķis.
Ja ir zināms, ka a< А, то а называют aptuvenā A vērtība ar trūkumu. Ja a > A, tad tiek izsaukts a aptuvenā A vērtība ar pārpalikumu.
Tiek saukta atšķirība starp daudzuma precīzajām un aptuvenajām vērtībām tuvinājuma kļūda un tiek apzīmēts ar D, t.i.
D = A – a (1)
Aproksimācijas kļūda D var būt pozitīvs vai negatīvs skaitlis.
Lai raksturotu daudzuma aptuvenās un precīzās vērtības atšķirību, bieži vien pietiek norādīt precīzās un aptuvenās vērtības starpības absolūto vērtību.
Absolūtā vērtība starpībai starp aptuveno A un precīzi A tiek izsauktas skaitļa vērtības absolūtā tuvinājuma kļūda (kļūda). un apzīmē ar D A:
D A = ½ A – A½ (2)
1. piemērs. Mērot segmentu l izmantoja lineālu, kura skalas dalījums ir 0,5 cm. Ieguvām aptuvenu segmenta garuma vērtību A= 204 cm.
Skaidrs, ka mērījuma laikā varēja būt kļūda ne lielāka par 0,5 cm, t.i. Absolūtā mērījuma kļūda nepārsniedz 0,5 cm.
Parasti absolūtā kļūda nav zināma, jo nav zināma precīza skaitļa A vērtība novērtējums absolūta kļūda:
D A <= DA pirms tam. (3)
kur D un pirms tam. – maksimālā kļūda (skaits, vairāk nulle), kas norādīts, ņemot vērā ticamību, ar kādu ir zināms skaitlis a.
Tiek saukta arī maksimālā absolūtā kļūda kļūdu robeža. Tātad dotajā piemērā
D un pirms tam. = 0,5 cm.
No (3) mēs iegūstam:
D A = ½ A – A½<= DA pirms tam. .
A-D A pirms tam. ≤ A≤ A+D A pirms tam. . (4)
a – D A pirms tam. būs aptuvenā vērtība A ar trūkumu
a + D A pirms tam – aptuvenā vērtība A pārpilnībā. Izmanto arī īso apzīmējumu:
A= A±D A pirms tam (5)
No maksimālās absolūtās kļūdas definīcijas izriet, ka skaitļi D A pirms tam, apmierinot nevienādību (3), būs bezgalīga kopa. Praksē viņi cenšas izvēlēties iespējams mazāk no cipariem D un pirms tam, apmierinot nevienlīdzību D A <= DA pirms tam.
2. piemērs. Noteiksim skaitļa maksimālo absolūto kļūdu a=3,14, ko ņem kā aptuvenu skaitļa π vērtību.
Ir zināms, ka 3,14<π<3,15. No tā izriet
|A – π |< 0,01.
Maksimālo absolūto kļūdu var uzskatīt par skaitli D A = 0,01.
Ja ņemam vērā to 3,14<π<3,142 , tad mēs iegūstam labāku vērtējumu: D A= 0,002, tad π ≈3,14 ±0,002.
4. Relatīvā kļūda (kļūda). Lai raksturotu mērījuma kvalitāti, nepietiek tikai ar absolūtās kļūdas zināšanu.
Ļaujiet, piemēram, sverot divus ķermeņus, iegūstot šādus rezultātus:
P 1 = 240,3 ±0,1 g.
P 2 = 3,8 ± 0,1 g.
Lai gan abu rezultātu absolūtās mērījumu kļūdas ir vienādas, mērījumu kvalitāte pirmajā gadījumā būs labāka nekā otrajā. To raksturo relatīva kļūda.
Relatīvā kļūda (kļūda) tuvojas skaitlim A sauc par absolūto kļūdu attiecību D a tuvojas skaitļa A absolūtajai vērtībai:
Tā kā precīza daudzuma vērtība parasti nav zināma, to aizstāj ar aptuvenu vērtību un pēc tam:
(7)
Maksimālā relatīvā kļūda vai relatīvās tuvināšanas kļūdas robeža, sauca uz numuru d un pirms tam>0, tā, lai:
d A<= d un pirms tam(8)
Maksimālo relatīvo kļūdu acīmredzami var uzskatīt par maksimālās absolūtās kļūdas attiecību pret aptuvenās vērtības absolūto vērtību:
(9)
No (9) ir viegli iegūt šādas svarīgas attiecības:
∆un pirms tam = |a| d un pirms tam(10)
Maksimālo relatīvo kļūdu parasti izsaka procentos:
Piemērs. Tiek pieņemts, ka aprēķina naturālo logaritmu bāze ir vienāda ar e=2,72. Mēs pieņēmām precīzu vērtību e t = 2,7183. Atrodiet aptuvenā skaitļa absolūtās un relatīvās kļūdas.
D e = ½ e – e t ½ = 0,0017;
.
Relatīvās kļūdas lielums paliek nemainīgs, proporcionāli mainoties vistuvākajam skaitlim un tā absolūtajai kļūdai. Tādējādi skaitlim 634,7, kas aprēķināts ar absolūto kļūdu D = 1,3, un skaitlim 6347 ar kļūdu D = 13, relatīvās kļūdas ir vienādas: d= 0,2.
Relatīvās kļūdas lielumu var aptuveni spriest pēc skaitļa patiesie apzīmētāji skaitļu cipari.
Sahalīnas reģions
"13. arodskola"
Vadlīnijas Uz patstāvīgs darbs studenti
Aleksandrovska-Sahalinska
Daudzumu aptuvenās vērtības un tuvināšanas kļūdas: norādītā metode. / Sast.
GBOU NPO "Arodskola Nr. 13", - Aleksandrovska-Sahalinska, 2012
Vadlīnijas paredzētas visu profesiju skolēniem, kuri apgūst matemātikas kursus
MK priekšsēdētājs
Aptuvenā lieluma vērtība un tuvinājumu kļūda.
Praksē mēs gandrīz nekad nezinām precīzas daudzumu vērtības. Neviens svari, lai cik precīzi tie būtu, neuzrāda svaru absolūti precīzi; jebkurš termometrs rāda temperatūru ar vienu vai otru kļūdu; neviens ampērmetrs nevar dot precīzus strāvas rādījumus utt. Turklāt mūsu acs nespēj absolūti pareizi nolasīt mērinstrumentu rādījumus. Tāpēc tā vietā, lai nodarbotos ar lielumu patiesajām vērtībām, mēs esam spiesti darboties ar to aptuvenajām vērtībām.
Fakts, ka A" ir skaitļa aptuvenā vērtība A , ir rakstīts šādi:
a ≈ a" .
Ja A" ir aptuvenā daudzuma vērtība A , tad atšķirība Δ = a - a" sauca tuvinājuma kļūda*.
* Δ - grieķu burts; lasīt: delta. Tālāk nāk vēl viena grieķu vēstule ε (lasi: epsilons).
Piemēram, ja skaitlis 3,756 tiek aizstāts ar aptuvenu vērtību 3,7, kļūda būs vienāda ar: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Ja kā aptuvenu vērtību ņemam 3,8, tad kļūda būs vienāda ar: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
Praksē visbiežāk tiek izmantota tuvinājuma kļūda Δ
, un šīs kļūdas absolūtā vērtība | Δ
|. Tālāk mēs vienkārši sauksim šo kļūdas absolūto vērtību absolūta kļūda. Viena aproksimācija tiek uzskatīta par labāku par citu, ja pirmās tuvināšanas absolūtā kļūda ir mazāka par otrās aproksimācijas absolūto kļūdu. Piemēram, 3,8 tuvinājums skaitlim 3,756 ir labāks nekā 3,7 tuvinājums, jo pirmajam tuvinājumam
|Δ
| = | - 0,044| =0,044, bet otrajam | Δ
| = |0,056| = 0,056.
Numurs A" A līdzε , ja šī tuvinājuma absolūtā kļūda ir mazāka parε :
|a - a" | < ε .
Piemēram, 3,6 ir aptuvenā skaitļa 3,671 vērtība ar precizitāti 0,1, jo |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.
Līdzīgi - 3/2 var uzskatīt par skaitļa - 8/5 tuvinājumu 1/5 robežās, jo
< A , Tas A" sauc par skaitļa aptuveno vērtību A ar trūkumu.
Ja A" > A , Tas A" sauc par skaitļa aptuveno vērtību A pārpilnībā.
Piemēram, 3,6 ir aptuvenā skaitļa 3,671 vērtība ar trūkumu, jo 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
Ja skaitļu vietā mēs A Un b saskaitiet to aptuvenās vērtības A" Un b" , tad rezultāts a"+b" būs aptuvenā summas vērtība a + b . Rodas jautājums: kā novērtēt šī rezultāta precizitāti, ja ir zināma katra termina tuvinājuma precizitāte? Šīs un līdzīgu problēmu risinājums ir balstīts uz šādu absolūtās vērtības īpašību:
|a + b | < |a | + |b |.
Jebkuru divu skaitļu summas absolūtā vērtība nepārsniedz to absolūto vērtību summu.
Kļūdas
Atšķirību starp precīzu skaitli x un tā aptuveno vērtību a sauc par šī aptuvenā skaitļa kļūdu. Ja ir zināms, ka | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
Absolūtās kļūdas attiecību pret aptuvenās vērtības absolūto vērtību sauc par aptuvenās vērtības relatīvo kļūdu. Relatīvā kļūda parasti tiek izteikta procentos.
Piemērs. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
Tiešām,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
Vingrinājumi patstāvīgam darbam.
1. Ar kādu precizitāti var izmērīt garumus, izmantojot parastu lineālu?
2. Cik precīzs ir pulkstenis?
3. Vai zini, ar kādu precizitāti uz mūsdienu elektriskajiem svariem var izmērīt ķermeņa svaru?
4. a) Kādos robežās skaitlis ir ietverts? A , ja tā aptuvenā vērtība ar precizitāti 0,01 ir 0,99?
b) Kādos robežās skaitlis ir ietverts? A , ja tā aptuvenā vērtība ar mīnusu ar precizitāti līdz 0,01 ir 0,99?
c) Kādi ir skaitļa ierobežojumi? A , ja tā aptuvenā vērtība ar lieko precizitāti 0,01 ir vienāda ar 0,99?
5. Kāds ir skaitļa tuvinājums π ≈ 3,1415 ir labāks: 3,1 vai 3,2?
6. Vai noteikta skaitļa aptuvenu vērtību ar precizitāti 0,01 var uzskatīt par tāda paša skaitļa aptuvenu vērtību ar precizitāti 0,1? Kā ir otrādi?
7. Uz skaitļa līnijas ir norādīta ciparam atbilstošā punkta pozīcija A . Šajā rindā norādiet:
a) visu punktu atrašanās vieta, kas atbilst aptuvenajām skaitļa vērtībām A ar trūkumu ar precizitāti 0,1;
b) visu punktu atrašanās vieta, kas atbilst aptuvenajām skaitļa vērtībām A ar pārpalikumu ar precizitāti 0,1;
c) visu punktu atrašanās vieta, kas atbilst aptuvenajām skaitļa vērtībām A ar precizitāti 0,1.
8. Kādā gadījumā ir divu skaitļu summas absolūtā vērtība:
a) mazāks par šo skaitļu absolūto vērtību summu;
b) vienāds ar šo skaitļu absolūto vērtību summu?
9. Pierādiet nevienādības:
a) | a-b | < |a| + |b |; b)* | a - b | > ||A | - | b ||.
Kad šajās formulās parādās vienādības zīme?
Literatūra:
1. Bašmakovs (pamatlīmenis) 10-11 klase. – M., 2012. gads
2. Bašmakovs, 10.kl. Problēmu kolekcija. - M: Izdevniecības centrs "Akadēmija", 2008
3., Mordkovičs: Uzziņas materiāli: Grāmata studentiem - M.: Izglītība, 1990.g
4. Enciklopēdiskā vārdnīca jaunais matemātiķis / Sast. .-M.: Pedagoģija, 1989.g