Metodę wprowadzania nowej zmiennej przy rozwiązywaniu równań wymiernych z jedną zmienną zapoznałeś się z algebrą w ósmej klasie. Istota tej metody rozwiązywania układów równań jest taka sama, ale z technicznego punktu widzenia istnieją pewne cechy, które omówimy w poniższych przykładach.
Przykład 3. Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie. Wprowadźmy nową zmienną. Następnie pierwsze równanie układu można przepisać na bardziej w prostej formie: 
Rozwiążmy to równanie dla zmiennej t:
Obie te wartości spełniają warunek i dlatego są pierwiastkami równania wymiernego o zmiennej t. Ale to oznacza albo miejsce, w którym stwierdzamy, że x = 2y, albo
Tym samym stosując metodę wprowadzenia nowej zmiennej udało nam się „rozwarstwić” pierwsze równanie układu, z pozoru dość złożonego, na dwa prostsze równania:
x = 2 lata; y - 2x.
Co dalej? A potem każdy z nich otrzymał proste równania należy rozpatrywać jeden po drugim w układzie o równaniu x 2 - y 2 = 3, o którym jeszcze nie pamiętaliśmy. Inaczej mówiąc, problem sprowadza się do rozwiązania dwóch układów równań:
Musimy znaleźć rozwiązania dla pierwszego układu, drugiego układu i uwzględnić w odpowiedzi wszystkie powstałe pary wartości. Rozwiążmy pierwszy układ równań:
Skorzystajmy z metody podstawieniowej, zwłaszcza, że tutaj wszystko jest na to gotowe: podstawmy wyrażenie 2y zamiast x do drugiego równania układu. Dostajemy
Ponieważ x = 2y, znajdujemy odpowiednio x 1 = 2, x 2 = 2. Otrzymujemy zatem dwa rozwiązania danego układu: (2; 1) i (-2; -1). Rozwiążmy drugi układ równań:
Zastosujmy ponownie metodę podstawienia: podstawmy wyrażenie 2x zamiast y do drugiego równania układu. Dostajemy
Równanie to nie ma pierwiastków, co oznacza, że układ równań nie ma rozwiązań. Zatem w odpowiedzi należy uwzględnić jedynie rozwiązania pierwszego układu.
Odpowiedź: (2; 1); (-2;-1).
Metodę wprowadzania nowych zmiennych przy rozwiązywaniu układów dwóch równań z dwiema zmiennymi zastosowano w dwóch wersjach. Opcja pierwsza: wprowadza się jedną nową zmienną i wykorzystuje się ją tylko w jednym równaniu układu. Dokładnie tak się stało w przykładzie 3. Opcja druga: wprowadza się dwie nowe zmienne i wykorzystuje je jednocześnie w obu równaniach układu. Będzie tak w przykładzie 4.
Przykład 4. Rozwiązać układ równań
Równanie w postaci ax4 + bx2 + c = 0 nazywa się równaniem dwukwadratowym. Absolutnie każde równanie tego typu można rozwiązać wprowadzając nową zmienną, a następnie rozwiązując dla niej równanie. Następnie przeprowadza się odwrotne podstawienie i znajduje wymagane x.
Przyjrzyjmy się, jak zastosować tę metodę do rozwiązywania równań wymiernych.
Podano równanie: x4 - 4x2 + 4 = 0.
Rozwiązanie
Aby rozwiązać dane równanie konieczne jest wprowadzenie nowej zmiennej, która ma postać y =x2. Prawdziwa jest także następująca równość: x4 = (x2)2 = y2. Przepisujemy pierwotne równanie w następujący sposób: y2 - 4y + 4 =0. Jest to zwykłe równanie kwadratowe, po rozwiązaniu którego otrzymamy pierwiastki y1 = y2 = 2. Ponieważ y = x2, rozwiązanie tego problemu sprowadza się do rozwiązania innego równania, a mianowicie: x2 = 2. Znajdujemy odpowiedź: +- √2.
W tej sytuacji sposób wprowadzenia zmiennej był „adekwatny do sytuacji”, czyli wyraźnie było widać, które wyrażenie zastąpić nową zmienną, ale nie zawsze tak się dzieje. Zasadniczo wyrażenie, które można zastąpić, pojawia się dopiero w procesie przekształcania i upraszczania wyrażenia pierwotnego. Podobny przykład możesz obejrzeć w samouczku wideo.
Własności funkcji y = k/x, dla k >0
W samouczku wideo zapoznasz się z podstawowymi właściwościami hiperboli na podstawie jej modelu geometrycznego.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - dziedziną definicji funkcji są wszystkie liczby z wyjątkiem 0.
2. Dla x > 0 => y > 0 oraz dla x< 0 =>y< 0.
3. Dla k > 0 funkcja maleje na półprostej otwartej (-∞;0) i na półprostej otwartej (0; ∞).
4. Funkcja y = k/x nie ma górnych i dolnych ograniczeń.
5. Funkcja y = k/x nie ma wartości maksymalnych i minimalnych.
6. Ciągły na przedziale (-∞;0) i (0; ∞), przechodzący nieciągłość w punkcie x = 0.
Lekcja na temat: Rozwiązywanie równań
Opracowała: Vera Viktorovna Volkova – nauczycielka matematyki
Temat lekcji: Rozwiązywanie równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej.
Cele lekcji:1. Zapoznanie studentów z nową metodą rozwiązywania równań;
2. Wzmocnij umiejętności rozwiązywania problemów równania kwadratowe i wybór metod ich rozwiązywania;
3. Przeprowadź wstępne ugruntowanie nowego tematu;
4. Rozwijać umiejętność obrony własnego punktu widzenia i prowadzenia uzasadnionego dialogu z kolegami z klasy;
Rozwijaj uwagę, pamięć i logiczne myślenie, obserwacja
Wpajanie umiejętności komunikacyjnych i kultury komunikacji
Zaszczep umiejętności niezależna praca
Postęp lekcji
1. Moment organizacyjny
Przekazanie tematu lekcji i ustalenie celu.
2. Powtórzenie
Na poprzednich lekcjach nauczyliśmy się rozwiązywać równania kwadratowe na różne sposoby i równania. Które można zredukować do kwadratowych.
Które równanie nazywa się kwadratowym?
Jakie znasz sposoby na ich rozwiązanie?
Jakie równania można sprowadzić do postaci kwadratowej?
a) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20
b) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2
c) x 2 + x + 9 = 3x-7,
G) x+1 + x = 2,5
Xx+1
D) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10 ?
3. Studiowanie nowego materiału.
Teraz będziemy pracować w grupach (przypomnijmy o trybie pracy i zasadach postępowania podczas pracy w grupach). Twoim zadaniem jest rozwiązanie zaproponowanych równań (rozdaje się karty z zadaniem, na tablicy wiesza plakat).
A) x+1 + x = 2,5
Xx+1
B) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10
Nauczyciel obserwuje postęp pracy i wybiera formę sprawdzenia pierwszego równania:
Ustnie lub na tablicy w zależności od sukcesu zajęć.
Sprawdźmy, co masz.
Pierwsze równanie sprowadza się do równania kwadratowego x 2 + x -2 = 0.
Rozwiązaniem są liczby -2 i 1.
Przejdźmy teraz do rozwiązania drugiego równania. Wszystkie grupy otrzymały równanie czwartego stopnia, którego nie wiadomo jak rozwiązać.
Spróbujmy to z nim rozwiązać.
Podobnie jak rozwiązywanie dowolnego problemu, rozwiązywanie równania składa się z kilku etapów:
- Analiza równań
- Opracowanie planu rozwiązania.
- Realizacja tego planu.
- Sprawdzanie rozwiązania.
- Analiza metody rozwiązania, systematyzacja doświadczenia.
- - W jaki sposób zwykle analizuje się równanie?
Przede wszystkim odpowiadamy na pytanie, czy spotkaliśmy się już wcześniej z równaniami tego typu?
Tak, mamy, to ułamkowe równanie wymierne.
Możesz spróbować rozwiązać to „trudne” równanie lub wrócić do niego
oryginalne równanie i przeanalizuj je ponownie.
Aby to zrobić:
- Podkreślmy niektóre elementy równania,
- Ustalmy ich ogólne właściwości,
- Przeanalizujmy powiązania między różnymi elementami równania,
- Wykorzystajmy te informacje.
Pracujmy przez 5 minut w grupach według tego planu.
Większość identyfikowała element zawarty w licznikach i mianownikach ułamków w równaniu. Aby uprościć równanie, zamieńmy to wyrażenie na jedną literę, na przykład Z:
X 2 + 2x = Z
Z +2 + Z +3 = 9
Z +5 Z +6 10
Można to uznać za nowe równanie na nową niewiadomą Z. Zmienna x nie występuje w nim wprost.
Mówią, że zmienna została zastąpiona.
Czy taka wymiana jest wskazana? Aby odpowiedzieć na to pytanie wystarczy dowiedzieć się:
Czy można rozwiązać nowe równanie i znaleźć wartości Z,
Czy można użyć Z do znalezienia wartości zmiennej x dla pierwotnego równania?
Spróbujcie, pracując w grupach, odpowiedzieć na pierwszą część pytania.
Nauczyciel obserwuje postęp pracy. Następnie sprawdzane są wyniki wyszukiwania wartości zmiennej Z.
Znaleźliśmy więc wartości zmiennej Z: Z 1= 0, Z 2 = - 61| 11
Ale interesują nas wszystkie wartości zmiennej x, które spełniają pierwotne równanie. Znajdźmy te wartości. Związek między pierwiastkami pierwotnego i nowego równania zawarty jest we wzorze x 2 + 2x = Z. Znaleźliśmy już wartości zmiennej Z. Dlatego każdy pierwiastek pierwotnego ułamkowego równania wymiernego jest pierwiastkiem jednego z równań: x 2 + 2x = Z 1 lub x 2 + 2x = Z 2
Rozwiąż te równania samodzielnie, korzystając z opcji.
Sprawdźmy wyniki: pierwsze równanie ma pierwiastki x 1 = 0, x 2 = -2, a drugie równanie nie ma pierwiastków.
Pozostaje tylko sprawdzić wyniki uzyskane dla pierwotnego równania i zapisać odpowiedź.
Odpowiedź: x 1 =0, x 2 = -2.
Rozwiązaliśmy więc oryginalne równanie nową metodą zwaną poprzez wprowadzenie nowej zmiennej.
Utwórz algorytm rozwiązania naszego równania poprzez wprowadzenie nowej zmiennej.(praca w grupach)
- Wybierz wyrażenie x 2 + 2x;
- Oznaczamy to wyrażenie jedną literą x 2 + 2x =Z;
- Wykonujemy podstawienie i otrzymujemy nowe równanie;
- Redukujemy to do kwadratu i rozwiązujemy;
- Korzystając z wartości zmiennej Z, znajdujemy wartości zmiennej x;
- Sprawdzamy uzyskane wyniki i zapisujemy odpowiedź.
3. Zabezpiecz materiał.
Czy sądzisz, że można było dokonać innej zmiany zmiennych? (Na przykład x 2 + 2x
2 = Z lub x 2 + 2x +6 = Z.) Jaką formę będzie zatem miało nowe równanie? Jak je rozwiązać? Czy pierwsze równanie domu można rozwiązać poprzez wprowadzenie nowej zmiennej? Które wyrażenie można zastąpić nową zmienną? Jakie jest równanie? Jak to rozwiązać? Jakie są wartości zmiennej Z? Jakie są wartości zmiennej x?
4. Podsumowanie.
- Czego uczyliśmy się dzisiaj na zajęciach?
- Który nowy sposób Czy znalazłeś rozwiązania równań?
- Jaka jest metoda wprowadzenia nowej zmiennej?
- Jaki jest algorytm tej metody?
- Czy ta metoda wydawała Ci się trudna lub niewygodna?
- Czy można to zastosować do wszystkich równań?
5.Zadanie domowe.
- Zapisz i poznaj algorytm zastosowania metody wprowadzania nowej zmiennej;
- Rozwiąż za pomocą tej metody nr 2.43 (1; 2) GIA s.117.
2.2.3. Sposób wprowadzania nowej zmiennej.
Potężnym narzędziem do rozwiązywania równań irracjonalnych jest metoda wprowadzania nowej zmiennej, zwana „metodą podstawienia”. Metodę tę stosuje się zwykle, gdy w równaniu wielokrotnie pojawia się określone wyrażenie zależne od nieznanej wielkości. Wtedy warto oznaczyć to wyrażenie jakąś nową literą i spróbować najpierw rozwiązać równanie w odniesieniu do wprowadzonej niewiadomej, a następnie znaleźć pierwotną niewiadomą. W wielu przypadkach pomyślnie wprowadzone nowe niewiadome pozwalają czasem na szybsze i łatwiejsze znalezienie rozwiązania; czasami całkowicie niemożliwe jest rozwiązanie problemu bez wymiany. ,
Przykład 7. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie. Stawiając , otrzymujemy znacznie prostsze równanie irracjonalne. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu: .
;
;
;
Sprawdzenie znalezionych wartości poprzez podstawienie ich do równania pokazuje, że jest to pierwiastek równania i jest pierwiastkiem obcym.
Wracając do pierwotnej zmiennej x, otrzymujemy równanie, czyli równanie kwadratowe 
, rozwiązując które znajdujemy dwa pierwiastki: ,. Obydwa pierwiastki, jak pokazuje weryfikacja, spełniają pierwotne równanie.
Zastąpienie jest szczególnie przydatne, jeśli w rezultacie uzyskuje się nową jakość, na przykład równanie irracjonalne zamienia się w równanie kwadratowe.
Przykład 8. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie. Przepiszmy równanie w następujący sposób: .
Można to zauważyć, jeśli wprowadzimy nową zmienną 
, to równanie przyjmuje postać 
, Gdzie , .
Teraz problem sprowadza się do rozwiązania równania 
i równania 
. Pierwszego z tych rozwiązań nie mamy, ale z drugiego otrzymujemy , . Obydwa pierwiastki, jak pokazuje weryfikacja, spełniają pierwotne równanie.
Należy zauważyć, że „bezmyślne” zastosowanie w przykładzie 8 metody „odseparowania pierwiastka” i podniesienia do kwadratu doprowadziłoby do równania czwartego stopnia, którego rozwiązanie jest na ogół niezwykle trudne trudne zadanie.
Przykład 9. Rozwiąż równanie 
.
Wprowadźmy nową zmienną
W rezultacie pierwotne irracjonalne równanie przyjmuje postać kwadratową
,
skąd, biorąc pod uwagę ograniczenie, otrzymujemy . Rozwiązując równanie, otrzymujemy pierwiastek. Jak pokazuje kontrola, spełnia to pierwotne równanie.
Czasami poprzez podstawienie można zredukować irracjonalne równanie do: racjonalna forma, jak omówiono w Przykładach 8, 9. W tym przypadku mówią, że to podstawienie racjonalizuje rozważane równanie irracjonalne i nazywają je racjonalizacją. W oparciu o zastosowanie podstawień racjonalizujących nazywa się to metodą racjonalizacji.
Tej metody rozwiązywania równań niewymiernych nie trzeba omawiać ze wszystkimi uczniami na lekcji, ale można ją rozważyć w ramach zajęć fakultatywnych lub klubowych z matematyki z uczniami, którzy wykazują zwiększone zainteresowanie matematyką.
W oparciu o wiedzę o związku pomiędzy wynikiem a składowymi operacji arytmetycznych (tj. wiedzę o znajdowaniu nieznanych składowych). Te wymagania programu określają metodologię pracy z równaniami. 2. Metodologia badania nierówności w szkole średniej 2.1 Treść i rola układu równań i nierówności we współczesnym świecie kurs szkolny Matematyka Ze względu na wagę i zakres materiału, ...
Na jakościowo nowy poziom opanowania treści matematyki szkolnej. Rozdział II. Metodyczne i pedagogiczne zasady wykorzystania samodzielnej pracy do nauczania rozwiązywania równań w klasach 5 - 9. § 1. Organizacja samodzielnej pracy w nauczaniu rozwiązywania równań w klasach 5 - 9. W tradycyjnym sposobie nauczania nauczyciel często stawia ucznia w sytuacji przedmiotu...
Można stwierdzić, że współczesność nie obejmuje dostatecznie badanego zagadnienia literatura metodologiczna. Przedmiot badań pracy: proces nauczania matematyki. Temat: rozwijanie umiejętności rozwiązywania równań kwadratowych u uczniów klasy VIII. Grupa: uczniowie klasy 8. Rozdział 1. Aspekty teoretyczne nauczanie rozwiązywania równań w klasie 8 1.1. Z historii powstania kwadratu...
Zatem w przypadku tego podejścia w argumencie liczbowym występuje pewna redundancja w tworzeniu funkcji jako uogólnionego pojęcia. 2. Główne kierunki wprowadzania pojęcia funkcji do szkolnego kursu matematyki. We współczesnej szkolnej lekcji matematyki za wiodące podejście uznaje się podejście genetyczne z dodatkiem elementów logicznych. Tworzenie koncepcji i pomysłów, metod i technik w ramach...
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie zapytań lub żądań opinii publicznej agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.