Wykresy funkcji pierwotnych w egzaminie Unified State Exam. Funkcja pierwotna i całki

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) (która jest linią łamaną złożoną z trzech prostych odcinków). Korzystając z rysunku, oblicz F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza różnica F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x), jest równa polu zakrzywiony trapez, ograniczone wykresem funkcji y=f(x), liniami prostymi y=0, x=9 i x=5.

Z wykresu stwierdzamy, że wskazany zakrzywiony trapez jest trapezem o podstawach równych 4 i 3 oraz wysokości 3. Jego pole jest równe

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(x) - jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x) określonej na przedziale (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku [-3; 4].

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Zgodnie z definicją funkcji pierwotnej zachodzi równość: F"(x)=f(x). Zatem równanie f(x)=0 można zapisać jako F"(x)=0.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Ponieważ rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(x), musimy znaleźć te punkty w przedziale [-3; 4], w którym pochodna funkcji F(x) jest równa zeru. Z rysunku jasno wynika, że ​​będą to odcięte punktów skrajnych (maksimum lub minimum) wykresu F(x).

Z wykresu stwierdzamy, że wskazany zakrzywiony trapez jest trapezem o podstawach równych 4 i 3 oraz wysokości 3. We wskazanym przedziale jest ich dokładnie 7 (cztery punkty minimalne i trzy punkty maksymalne).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku [-3; 4].

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją funkcji pierwotnej zachodzi równość: F"(x)=f(x). Zatem równanie f(x)=0 można zapisać jako F"(x)=0.

Ponieważ rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(x), musimy znaleźć te punkty w przedziale [-3; 3], w którym pochodna funkcji F(x) jest równa zeru.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku [-3; 4].

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Z rysunku jasno wynika, że ​​będą to odcięte punktów skrajnych (maksimum lub minimum) wykresu F(x).

We wskazanym przedziale jest ich dokładnie 5 (dwa punkty minimalne i trzy punkty maksymalne).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcja F(x)=-x^3+4,5x^2-7 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury. Zacieniona figura to trapez krzywoliniowy ograniczony od góry wykresem funkcji y=f(x), liniami prostymi y=0, x=1 i x=3. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku [-3; 4].

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza jego pole S jest równe różnicy F(3)-F(1), gdzie F(x) jest funkcją pierwotną f(x) określoną w warunku.

Dlatego S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcja F(x)=x^3+6x^2+13x-5 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury. Funkcja pierwotna k(x)

pomiędzy (a; b) nazywa się ta funkcja S= F(x) , że równość obowiązuje dla każdego X (a; b) z danego interwału.

Jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że pochodna stałej

Z S= jest równe zeru, to równość jest prawdziwa. Zatem funkcja .

ma wiele prymitywów F(x)+C, dla dowolnej stałej S= – , a te funkcje pierwotne różnią się od siebie dowolną stałą wartością. Definicja całki nieoznaczonej. S=.

Cały zbiór funkcji pierwotnych nazywa się całką nieoznaczoną tej funkcji i jest oznaczona Wyrażenie nazywa się Funkcja F(x)=x^3+6x^2+13x-5 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). całka , że równość obowiązuje dla każdego.

, A

funkcja całkowa

. Całka reprezentuje różniczkę funkcji

Jeśli trzeba znaleźć taką z rodziny funkcji pierwotnych, wówczas ustawia się dodatkowe warunki, które pozwalają wyznaczyć stałą C. Zwykle w tym celu ustawia się warunki początkowe: gdy argument x = x0, funkcja ma wartość D (x0) = y0.

Przykład. Należy znaleźć funkcję pierwotną funkcji y = 2 x, która przyjmuje wartość 3 przy x0 = 1.

Wymagana funkcja pierwotna: D(x) = x2 + 2.

Rozwiązanie. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Podstawowe własności całki nieoznaczonej

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa funkcji całkowej:

2. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa wyrażeniu całkowemu:

3. Całka nieoznaczona z różniczki jakiejś funkcji równa sumie sama ta funkcja i dowolna stała:

4. Ze znaku całki można wyjąć stały współczynnik:

5. Całka sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) całek:

6. Właściwość jest kombinacją właściwości 4 i 5:

7. Własność niezmienności całki nieoznaczonej:

Jeśli , To

8. Własność:

Jeśli , To

W rzeczywistości ta właściwość jest szczególnym przypadkiem integracji z wykorzystaniem metody zmiany zmiennej, co zostanie omówione bardziej szczegółowo w następnej sekcji.

Spójrzmy na przykład:

3. Metoda integracji w którym dana całka jest zredukowana do jednej lub większej liczby całek tablicowych za pomocą identycznych przekształceń całki (lub wyrażenia) i zastosowania właściwości całki nieoznaczonej, nazywa się integracja bezpośrednia. Redukując tę ​​całkę do całki tabelarycznej, często stosuje się następujące przekształcenia różniczkowe (operacja „ subskrybowanie znaku różniczkowego»):

W ogóle, f’(u)du = d(f(u)). Ten (wzór jest bardzo często używany przy obliczaniu całek.

Znajdź całkę

Rozwiązanie. Skorzystajmy z właściwości całki i sprowadźmy tę całkę do kilku tabelarycznych.

4. Całkowanie metodą podstawieniową.

Istota metody polega na tym, że wprowadzamy nową zmienną, wyrażamy całkę poprzez tę zmienną i w rezultacie dochodzimy do tabelarycznej (lub prostszej) postaci całki.

Bardzo często metoda podstawienia przychodzi na ratunek przy całkowaniu funkcji trygonometrycznych i funkcji z pierwiastkami.

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Wprowadźmy nową zmienną. Wyraźmy Funkcja pierwotna Poprzez z:

Otrzymane wyrażenia zastępujemy całką pierwotną:

Z tabeli funkcji pierwotnych, którą mamy .

Pozostaje wrócić do pierwotnej zmiennej Funkcja pierwotna:

Odpowiedź:

Funkcjonować F(X ) zwany funkcja pierwotna dla funkcji F(X) w danym przedziale czasu, jeśli dla wszystkich X z tego przedziału zachodzi równość

F"(X ) = F(X ) .

Na przykład funkcja F(x) = x 2 F(X ) = 2Funkcja pierwotna , ponieważ

F”(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Główna właściwość funkcji pierwotnej

Jeśli Funkcja F(x)=x^3+6x^2+13x-5 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). - funkcja pierwotna funkcji S= w danym przedziale, to funkcja S= ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych i wszystkie te funkcje pierwotne można zapisać w postaci F(x) + C, Gdzie Z jest dowolną stałą.

Na przykład. Funkcjonować F(x) = x 2 + 1 jest funkcją pierwotną F(X ) = 2Funkcja pierwotna , ponieważ F”(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkcjonować F(x) = x 2 - 1 jest funkcją pierwotną F(X ) = 2Funkcja pierwotna , ponieważ F”(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkcjonować F(x) = x 2 - 3 jest funkcją pierwotną F(X) = 2Funkcja pierwotna , ponieważ F”(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); dowolną funkcję F(x) = x 2 + (a; b) , Gdzie Z - dowolna stała i tylko taka funkcja jest funkcją pierwotną F(X) = 2Funkcja pierwotna . ◄

Zasady obliczania funkcji pierwotnych

1. Jeśli F(x) - funkcja pierwotna dla k(x) , A G(x) - funkcja pierwotna dla g(x) , To F(x) + G(x) - funkcja pierwotna dla f(x) + g(x) . Innymi słowy, funkcja pierwotna sumy jest równa sumie funkcji pierwotnych .
2. Jeśli F(x) - funkcja pierwotna dla k(x) , I k - zatem stale k · F(x) - funkcja pierwotna dla k · k(x) . Innymi słowy, stały współczynnik można odjąć od znaku pochodnej .
3. Jeśli F(x) - funkcja pierwotna dla k(x) , I k,B- stała i k ≠ 0 , To 1 / k F( k x+ B ) - funkcja pierwotna dla F(k x+ B) .

Całka nieoznaczona

Nie określona całka z funkcji k(x) zwane ekspresją F(x) + C, czyli zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji k(x) . Całkę nieoznaczoną oznacza się następująco:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

S=- oni dzwonią funkcja całkowa ;

f(x) dx- oni dzwonią całka ;

X - oni dzwonią zmienna integracyjna ;

F(x) - jedna z funkcji pierwotnych k(x) ;

Z jest dowolną stałą.

Na przykład, ∫ 2 x dx =X 2 + (a; b) , ∫ sałatax dx = grzech X + (a; b) i tak dalej. ◄

Słowo „integralny” pochodzi od słowa łacińskiego liczba całkowita , co oznacza „przywrócony”. Biorąc pod uwagę całkę nieoznaczoną 2 X, wydaje się, że przywracamy tę funkcję X 2 , którego pochodna jest równa 2 X. Przywrócenie funkcji z jej pochodnej, czyli znalezienie całki nieoznaczonej po danej całce, nazywa się integracja tę funkcję. Całkowanie jest odwrotną operacją różniczkowania. Aby sprawdzić, czy całkowanie zostało wykonane poprawnie, wystarczy zróżnicować wynik i otrzymać całkę.

Podstawowe własności całki nieoznaczonej

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Stały współczynnik całki można wyjąć ze znaku całki:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Całka z sumy (różnicy) funkcji jest równa sumie (różnicy) całek tych funkcji:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Jeśli k,B- stała i k ≠ 0 , To

∫ F ( k x+ B) dx = 1 / k F( k x+ B ) + C .

Tabela funkcji pierwotnych i całek nieoznaczonych

	k(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\grzech x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Całki pierwotne i nieoznaczone podane w tej tabeli są zwykle nazywane tabelaryczne funkcje pierwotne I Całki tabelaryczne .

Określona całka

Pozwól pomiędzy [A; B] podana jest funkcja ciągła y = f(x) , Następnie Całka oznaczona od a do b Funkcje k(x) nazywa się przyrostem funkcji pierwotnej F(x) tę funkcję, tj

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Liczby A I B są odpowiednio nazywane niżej I szczyt granice integracji.

Podstawowe zasady obliczania całki oznaczonej

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) gdzie k - stała;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), gdzie k(x) — równa funkcja;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), gdzie k(x) jest funkcją nieparzystą.

Komentarz . We wszystkich przypadkach zakłada się, że całki są całkowalne na przedziałach liczbowych, których granice są granicami całkowania.

Znaczenie geometryczne i fizyczne całki oznaczonej

Znaczenie geometryczne określona całka	Znaczenie fizyczne określona całka
Kwadrat S trapez krzywoliniowy (figura ograniczona wykresem ciągłego dodatniego na przedziale [A; B] Funkcje k(x) , oś Wół i proste x=a , x=b ) oblicza się ze wzoru $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Ścieżka S, który pokonał punkt materialny, poruszając się prostoliniowo z prędkością zmieniającą się zgodnie z prawem v(t) , przez pewien czas a ; B] , to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi x = a , x = b , obliczone według wzoru $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Na przykład. Obliczmy obszar figury ograniczony liniami y = x 2 I y= 2-X . Przedstawmy schematycznie wykresy tych funkcji i zaznaczmy innym kolorem figurę, której pole należy znaleźć. Aby znaleźć granice całkowania, rozwiązujemy równanie: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Objętość ciała obrotowego

	Jeżeli ciało powstaje w wyniku obrotu wokół osi Wół krzywoliniowy trapez ograniczony ciągłym i nieujemnym wykresem na przedziale [A; B] Funkcje y = f(x) i proste x = a I x = b , wtedy to się nazywa korpus obrotowy . Objętość ciała obrotowego oblicza się ze wzoru $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jeżeli ciało obrotowe uzyskuje się w wyniku obrotu figury ograniczonej od góry i od dołu wykresami funkcji y = f(x) I y = g(x) , zatem $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Na przykład. Obliczmy objętość stożka o promieniu R i wysokość H . Ustawmy stożek w prostokątnym układzie współrzędnych tak, aby jego oś pokrywała się z osią Wół , a środek podstawy znajdował się w początku. Obrót generatora AB definiuje stożek. Od równania AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
i dla objętości stożka, którą mamy $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\lewo (0-\frac(1)(3) \prawo)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Jedną z operacji różniczkowania jest znalezienie pochodnej (różniczki) i zastosowanie jej do badania funkcji.

Problem odwrotny jest nie mniej ważny. Jeśli znane jest zachowanie funkcji w pobliżu każdego punktu jej definicji, to w jaki sposób można zrekonstruować funkcję jako całość, tj. w całym zakresie swojej definicji. Problem ten jest przedmiotem badań tzw. rachunku całkowego.

Integracja jest działaniem odwrotnym do różnicowania. Albo przywrócenie funkcji f(x) z danej pochodnej f`(x). Łacińskie słowo „integro” oznacza przywrócenie.

Przykład nr 1.

Niech (f(x))’ = 3x 2. Znajdźmy f(x).

Rozwiązanie:

Na podstawie reguły różniczkowania nietrudno zgadnąć, że f(x) = x 3, ponieważ

(x 3)’ = 3x 2 Można jednak łatwo zauważyć, że f(x) nie występuje jednoznacznie. Jako f(x) możesz przyjąć f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 itd.

Ponieważ pochodna każdego z nich wynosi 3x2. (Pochodna stałej wynosi 0). Wszystkie te funkcje różnią się od siebie składnikiem stałym. Dlatego wspólna decyzja problem można zapisać w postaci f(x)= x 3 +C, gdzie C jest dowolną stałą liczbą rzeczywistą.

Wywoływana jest dowolna ze znalezionych funkcji f(x). funkcja pierwotna dla funkcji F`(x)= 3x 2

Definicja.

Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji f(x) na danym przedziale J, jeśli dla wszystkich x z tego przedziału F`(x)= f(x). Zatem funkcja F(x)=x 3 jest funkcją pierwotną dla f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞). Ponieważ dla wszystkich x ~R równość jest prawdziwa: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Jak już zauważyliśmy, tę funkcję ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych.

Przykład nr 2.

Funkcja jest pierwotna dla wszystkich w przedziale (0; +∞), ponieważ dla wszystkich h z tego przedziału zachodzi równość.

Problemem integracji jest dana funkcja znajdź wszystkie jego funkcje pierwotne. Przy rozwiązywaniu tego problemu ważną rolę odgrywa następujące stwierdzenie:

Znak stałości funkcji. Jeżeli F"(x) = 0 w pewnym przedziale I, to funkcja F jest w tym przedziale stała.

Dowód.

Ustalmy jakieś x 0 z przedziału I. Wtedy dla dowolnej liczby x z takiego przedziału, na mocy wzoru Lagrange'a, możemy wskazać liczbę c zawierającą się pomiędzy x a x 0 taką, że

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Zgodnie z warunkiem F’ (c) = 0, ponieważ c ∈1 zatem,

F(x) - F(x 0) = 0.

Zatem dla wszystkich x z przedziału I

oznacza to, że funkcja F utrzymuje stałą wartość.

Wszystkie funkcje pierwotne f można zapisać za pomocą jednego wzoru, który nazywa się ogólna postać funkcji pierwotnych F. Prawdziwe jest następujące twierdzenie ( główna właściwość funkcji pierwotnych):

Twierdzenie. Dowolną funkcję pierwotną funkcji f na przedziale I można zapisać w postaci

F(x) + C, (1) gdzie F (x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f (x) na przedziale I, a C jest dowolną stałą.

Wyjaśnijmy to stwierdzenie, w którym krótko formułowane są dwie właściwości funkcji pierwotnej:

1. Jakąkolwiek liczbę wstawimy do wyrażenia (1) zamiast C, otrzymamy funkcję pierwotną dla f w przedziale I;
2. niezależnie od tego, jaką funkcję pierwotną Ф dla f w przedziale I weźmiemy, można wybrać taką liczbę C, że dla wszystkich x z przedziału I równość

Dowód.

1. Pod warunkiem, funkcja F jest funkcją pierwotną dla f na przedziale I. Zatem F”(x)= f (x) dla dowolnego x∈1, zatem (F(x) + C)” = F”(x) + C"= f(x)+0=f(x), tj. F(x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f.
2. Niech Ф (x) będzie jedną z funkcji pierwotnych funkcji f w tym samym przedziale I, tj. Ф "(x) = f (х) dla wszystkich x∈I.

Wtedy (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Stąd wynika c. potęgę znaku stałości funkcji, że różnica Ф(х) - F(х) jest funkcją, która na przedziale I przyjmuje pewną stałą wartość C.

Zatem dla wszystkich x z przedziału I prawdziwa jest równość Ф(x) - F(x)=С, co należało udowodnić. Można podać główną właściwość funkcji pierwotnej znaczenie geometryczne: wykresy dowolnych dwóch funkcji pierwotnych funkcji f otrzymuje się od siebie poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Oy

Pytania do notatek

Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x). Znajdź F(1) jeśli f(x)=9x2 - 6x + 1 i F(-1) = 2.

Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji

Dla funkcji (x) = cos2 * sin2x znajdź funkcję pierwotną F(x), jeśli F(0) = 0.

Dla funkcji znajdź funkcję pierwotną, której wykres przechodzi przez punkt

51. Rysunek przedstawia wykres y=f "(x)- pochodna funkcji f(x), zdefiniowany na przedziale (− 4; 6). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) równolegle do linii y=3x lub zbiega się z nim.

Odpowiedź: 5

52. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) S= S= pozytywny?

Odpowiedź: 7

53. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji f(x), a na osi x zaznaczono osiem punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. W ilu z tych punktów znajduje się funkcja S= negatywny?

Odpowiedź: 3

54. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji S= a na osi x zaznaczono dziesięć punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. W ilu z tych punktów znajduje się funkcja S= pozytywny?

Odpowiedź: 6

55. Rysunek przedstawia wykres y=F(x f(x), zdefiniowany na przedziale (− 7; 5). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku [− 5; 

Odpowiedź: 3

2]. y=F(x) 56. Rysunek przedstawia wykres jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji f zdefiniowany na przedziale (− 8; 7). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania f(x)= 0 w przedziale [− 5; 

5].

Odpowiedź: 4 57. Rysunek przedstawia wykres(X y=F F(X) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji ), zdefiniowanych na przedziale (1;13). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania (X F

5].

)=0 w segmencie . 58. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x) (dwa promienie ze wspólnym punktem początkowym). Korzystając z rysunku, oblicz F(−1)−F(−8), Funkcja F(x)=x^3+6x^2+13x-5 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Gdzie

f(x).

Odpowiedź: 20 y=f(x 59. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji ) (dwa promienie ze wspólnym punktem początkowym). Korzystając z rysunku, oblicz F(−1)−F(−9), Funkcja F(x)=x^3+6x^2+13x-5 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Gdzie Gdzie

- jedna z funkcji pierwotnych

Odpowiedź: 24 y=f(x 60. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji

-). Funkcjonować Gdzie jedna z prymitywnych funkcji.

Odpowiedź: 6

Znajdź obszar zacienionej figury 61. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x).

Funkcjonować Gdzie Jedna z prymitywnych funkcji

Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź: 14,5

równolegle do stycznej do wykresu funkcji

Odpowiedź:0,5

Znajdź odciętą punktu stycznego.

Odpowiedź 1

jest styczna do wykresu funkcji Znajdować.

f(x).

Odpowiedź 1

jest styczna do wykresu funkcji A.

C

Odpowiedź 1

jest styczna do wykresu funkcji B Odpowiedź:0,125

, biorąc pod uwagę, że odcięta punktu stycznego jest większa niż 0.

67. Odpowiedź: -33 Punkt materialny

F(−1)−F(−9), X porusza się po linii prostej zgodnie z prawem T

- czas w sekundach liczony od momentu rozpoczęcia ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość wynosiła 96 m/s?

Odpowiedź: 18

F(−1)−F(−9), X 68. Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem porusza się po linii prostej zgodnie z prawem- odległość od punktu odniesienia w metrach,

- czas w sekundach liczony od momentu rozpoczęcia ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość wynosiła 48 m/s?

Odpowiedź: 9

F(−1)−F(−9), X 69. Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem porusza się po linii prostej zgodnie z prawem=6 T

f(x).

Z.

F(−1)−F(−9), X 70. Punkt materialny porusza się zgodnie z prawem prostoliniowo porusza się po linii prostej zgodnie z prawem- odległość od punktu odniesienia w metrach, porusza się po linii prostej zgodnie z prawem=3 T

- czas w sekundach mierzony od rozpoczęcia ruchu. Znajdź jego prędkość (w m/s) w danym momencie