Napisz równanie stycznej przechodzącej przez punkt. Kalkulator internetowy. Równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie

Rodzaj pracy: 7

Stan

Prosta y=3x+2 jest styczna do wykresu funkcji y=-12x^2+bx-10.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=-12x^2+bx-10, przez który przechodzi styczna do tego wykresu. Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, czyli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Natomiast punkt styczności należy jednocześnie do obu wykresu funkcję i tangens, czyli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Otrzymujemy układ równań

\begin(przypadki) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(przypadki)

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1.

Rodzaj pracy: 7
Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Stan

Odpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Temat: Znaczenie geometryczne pochodnych. Styczna do wykresu funkcji

Prosta y=-3x+4 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7.

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1.

Znajdź odciętą punktu stycznego.

Rodzaj pracy: 7
Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Stan

Pokaż rozwiązanie

Współczynnik kątowy prostej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7 w dowolnym punkcie x_0 jest równy y"(x_0). Ale y"=-2x+5, co oznacza y" (x_0)=-2x_0+5. Kątowy współczynnik linii y=-3x+4 określony w warunku jest równy -3. Linie równoległe mają takie same współczynniki kątowe. Dlatego znajdujemy wartość x_0 taką, że = -2x_0 +5=-3.

Otrzymujemy: x_0 = 4. Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu. Z rysunku określamy, że styczna przechodzi przez punkty A(-6; 2) i B(-1; 1). Oznaczmy przez C(-6; 1) punkt przecięcia prostych x=-6 i y=1, a przez \alpha kąt ABC (na rysunku widać, że jest on ostry). Następnie prosta AB tworzy kąt \pi -\alpha z dodatnim kierunkiem osi Ox, która jest rozwarta.

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1.

Znajdź odciętą punktu stycznego.

Rodzaj pracy: 7
Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Stan

Jak wiadomo, tg(\pi -\alpha) będzie wartością pochodnej funkcji f(x) w punkcie x_0.

Pokaż rozwiązanie

Zauważ to

tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, czyli y"(x_0)=32x_0+b=-2. Natomiast punkt styczności należy jednocześnie do obu wykresu funkcję i tangens, czyli 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(przypadki)

Rozwiązując układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1.

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1.

Znajdź odciętą punktu stycznego.

Rodzaj pracy: 7
Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Stan

Zgodnie z warunkiem odciętych punkty styczne są większe od zera, zatem x_0=1, wówczas b=-2-32x_0=-34.

Pokaż rozwiązanie

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-2; 8).

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1.

Znajdź odciętą punktu stycznego.

Rodzaj pracy: 7
Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Stan

Wyznacz liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej y=6.

Pokaż rozwiązanie

Linia prosta y=6 jest równoległa do osi Wółu. Znajdujemy zatem punkty, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi Wółu.

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1.

Znajdź odciętą punktu stycznego.

Rodzaj pracy: 7
Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Stan

Na tym wykresie takie punkty są punktami ekstremalnymi (punktami maksymalnymi lub minimalnymi). Jak widać, istnieją 4 ekstrema.

Pokaż rozwiązanie

Prosta y=4x-6 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x^2-4x+9.

Znajdź odciętą punktu stycznego. Nachylenie stycznej do wykresu funkcji y=x^2-4x+9 w dowolnym punkcie x_0 jest równe y"(x_0). Ale y"=2x-4, co oznacza y"(x_0)= 2x_0-4. Nachylenie stycznej y =4x-7 określonej w warunku jest równe 4. Proste równoległe mają te same współczynniki kątowe. Dlatego znajdujemy wartość x_0 taką, że 2x_0-4=4.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x_0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x_0. Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).→0.

Oznaczmy przez C(5; 1) punkt przecięcia prostych x=5 i y=1, a przez \alpha kąt BAC (na rysunku widać, że jest on ostry). Następnie prosta AB tworzy kąt \alfa z dodatnim kierunkiem osi Ox. Tangens jest linią prostą przechodzącą przez punkt na krzywej i pokrywającą się z nim w tym punkcie aż do pierwszego rzędu (rys. 1). Inna definicja: jest to położenie graniczne siecznej w punkcie Δ

X

Wyjaśnienie: Weź linię prostą przecinającą krzywą w dwóch punktach: A I Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B(patrz zdjęcie). To jest sieczna. Będziemy go obracać zgodnie z ruchem wskazówek zegara, aż znajdzie tylko jeden punkt wspólny z krzywą. To da nam tangens. Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B; A(Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).BŚcisła definicja stycznej: Styczna do wykresu funkcji A′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B).

F , różniczkowalna w punkcieOInna definicja, jest linią prostą przechodzącą przez punkt ( )) i posiadanie nachylenie Nachylenie ma prostą linię formy y =

kx + równy tangensowi kąt ostry, utworzony przez tę prostą z osią odciętej:

Tutaj kąt α jest kątem pomiędzy linią prostą , różniczkowalna w punkcieOInna definicja i dodatni (to znaczy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) kierunek osi x. To się nazywa kąt nachylenia linii prostej(Rys. 1 i 2).

Jeśli kąt nachylenia jest prosty , różniczkowalna w punkcieOInna definicja ostre, wówczas nachylenie jest liczbą dodatnią. Wykres rośnie (ryc. 1).

Jeśli kąt nachylenia jest prosty , różniczkowalna w punkcieOInna definicja jest rozwarty, to nachylenie jest liczbą ujemną. Wykres maleje (ryc. 2).

Jeżeli prosta jest równoległa do osi x, to kąt nachylenia prostej wynosi zero. W tym przypadku nachylenie linii również wynosi zero (ponieważ tangens zera wynosi zero). Równanie prostej będzie wyglądać jak y = b (ryc. 3).

Jeżeli kąt nachylenia prostej wynosi 90° (π/2), czyli jest prostopadły do ​​osi odciętych, to prosta jest dana przez równość x =C, Gdzie C– jakaś liczba rzeczywista (ryc. 4).

Równanie stycznej do wykresu funkcjiy = A(Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).) w punkcie Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B:

Przykład: Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji A(Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).) = Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4). 3 – 2Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4). 2 + 1 w punkcie z odciętą 2.

Rozwiązanie .

Postępujemy zgodnie z algorytmem.

1) Punkt dotykowy Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B jest równe 2. Oblicz A(Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B):

A(Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B) = A(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Znajdź A′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).). W tym celu stosujemy wzory różniczkowe opisane w poprzedniej sekcji. Według tych formuł, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Oznacza:

A′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Teraz korzystając z otrzymanej wartości A′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).), oblicz A′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B):

A′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B) = A′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Mamy więc wszystkie niezbędne dane: Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B = 2, A(Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B) = 1, A ′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B) = 4. Podstaw te liczby do równania stycznego i znajdź ostateczne rozwiązanie:

y = A(Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B) + A′( Z rysunku wynika, że ​​styczna przechodzi przez punkty A(1; 1) i B(5; 4).B) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Odpowiedź: y = 4x – 7.

Instrukcje

Wyznaczamy współczynnik kątowy stycznej do krzywej w punkcie M.
Krzywa reprezentująca wykres funkcji y = f(x) jest ciągła w pewnym sąsiedztwie punktu M (uwzględniając sam punkt M).

Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przebiega ona pionowo. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia niepionowej stycznej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy f "(x0). Zatem staje się jasne znaczenie geometryczne pochodna – obliczenie nachylenia stycznej.

Znajdź wartość odciętej punktu stycznego, który jest oznaczony literą „a”. Jeśli pokrywa się z danym punktem stycznym, wówczas „a” będzie jego współrzędną x. Określ wartość funkcje f(a) poprzez podstawienie do równania funkcje wartość odciętej.

Wyznacz pierwszą pochodną równania funkcje f’(x) i podstawiamy do niego wartość punktu „a”.

Brać równanie ogólne tangens, który jest zdefiniowany jako y = f(a) = f (a)(x – a), i podstaw do niego znalezione wartości a, f(a), f "(a). W rezultacie zostanie znalezione rozwiązanie wykresu i stycznej.

Rozwiąż zadanie w inny sposób, jeśli podany punkt styczny nie pokrywa się z punktem stycznym. W takim przypadku konieczne jest podstawienie „a” zamiast liczb w równaniu stycznym. Następnie zamiast liter „x” i „y” podstawia się wartość współrzędnych danego punktu. Rozwiąż powstałe równanie, w którym „a” jest niewiadomą. Podstaw otrzymaną wartość do równania stycznego.

Napisz równanie stycznej z literą „a”, jeśli opis problemu określa równanie funkcje oraz równanie linii równoległej względem żądanej stycznej. Następnie potrzebujemy pochodnej funkcje, do współrzędnej w punkcie „a”. Podstaw odpowiednią wartość do równania stycznego i rozwiąż funkcję.

Wskazanie związku znaku pochodnej z naturą monotoniczności funkcji.

Prosimy o zachowanie szczególnej ostrożności w następujących kwestiach. Spójrz, harmonogram CO jest ci dane! Funkcja lub jej pochodna

Jeśli podano wykres pochodnej, wówczas będą nas interesować tylko znaki funkcji i zera. W zasadzie nie interesują nas żadne „wzgórza” czy „dziuple”!

Zadanie 1.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest ujemna.

Rozwiązanie:

Na rysunku obszary malejącej funkcji zaznaczono kolorem:

Te malejące obszary funkcji zawierają 4 wartości całkowite.

Zadanie 2.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą.

Rozwiązanie:

Gdy styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią prostą (lub, co jest tym samym), mając nachylenie równy zero, to tangens ma współczynnik kątowy .

To z kolei oznacza, że ​​styczna jest równoległa do osi, gdyż nachylenie jest styczną kąta nachylenia stycznej do osi.

Dlatego na wykresie znajdujemy punkty ekstremalne (punkty maksymalne i minimalne) - to właśnie w tych punktach funkcje styczne do wykresu będą równoległe do osi.

Są 4 takie punkty.

Zadanie 3.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą.

Rozwiązanie:

Ponieważ styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią, która ma nachylenie, to styczna również ma nachylenie.

To z kolei oznacza, że ​​w punktach dotykowych.

Dlatego sprawdzamy, ile punktów na wykresie ma rzędną równą .

Jak widać, są cztery takie punkty.

Zadanie 4.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których pochodna funkcji wynosi 0.

Rozwiązanie:

Pochodna jest równa zero w punktach ekstremalnych. Mamy ich 4:

Zadanie 5.

Rysunek przedstawia wykres funkcji i jedenaście punktów na osi x: W ilu z tych punktów pochodna funkcji jest ujemna?

Rozwiązanie:

Na przedziałach funkcji malejącej przyjmuje się jej pochodną wartości ujemne. Funkcja maleje w punktach. Są 4 takie punkty.

Zadanie 6.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź sumę ekstremów funkcji.

Rozwiązanie:

Punkty ekstremalne– są to punkty maksymalne (-3, -1, 1) i minimalne (-2, 0, 3).

Suma punktów ekstremalnych: -3-1+1-2+0+3=-2.

Zadanie 7.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź przedziały wzrostu funkcji. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rozwiązanie:

Na rysunku zaznaczono przedziały, w których pochodna funkcji jest nieujemna.

Na małym rosnącym przedziale nie ma punktów całkowitych; na rosnącym przedziale znajdują się cztery wartości całkowite: , i .

Ich suma:

Zadanie 8.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź przedziały wzrostu funkcji. W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

Rozwiązanie:

Na rysunku kolorem zaznaczono wszystkie przedziały, w których pochodna jest dodatnia, co oznacza, że ​​sama funkcja rośnie w tych przedziałach.

Długość największego z nich wynosi 6.

Zadanie 9.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. W którym punkcie segmentu przyjmuje największą wartość?

Rozwiązanie:

Zobaczmy jak wykres zachowuje się na segmencie, a to nas interesuje tylko znak pochodnej .

Znak pochodnej wynosi minus, ponieważ wykres tego odcinka znajduje się poniżej osi.

Rozważ następujący rysunek:

Przedstawia pewną funkcję y = f(x), która jest różniczkowalna w punkcie a. Zaznaczono punkt M o współrzędnych (a; f(a)). Sieczny MR jest rysowany przez dowolny punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) wykresu.

Jeśli teraz punkt P zostanie przesunięty na wykresie do punktu M, to linia prosta MR będzie się obracać wokół punktu M. W tym przypadku ∆x będzie dążyć do zera. Stąd możemy sformułować definicję stycznej do wykresu funkcji.

Styczna do wykresu funkcji

Styczna do wykresu funkcji jest pozycją graniczną siecznej, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Należy rozumieć, że istnienie pochodnej funkcji f w punkcie x0 oznacza, że ​​w tym punkcie wykresu tangens do niego.

W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy pochodnej tej funkcji w tym punkcie f’(x0). To jest geometryczne znaczenie pochodnej. Styczna do wykresu funkcji f różniczkowalnej w punkcie x0 jest pewną linią prostą przechodzącą przez ten punkt (x0;f(x0)) i posiadającą współczynnik kątowy f’(x0).

Równanie styczne

Spróbujmy otrzymać równanie stycznej do wykresu jakiejś funkcji f w punkcie A(x0; f(x0)). Równanie prostej o nachyleniu k ma postać:

Ponieważ nasz współczynnik nachylenia jest równy pochodnej f’(x0), wówczas równanie przyjmie postać: y = f’(x0)*x + b.

Teraz obliczmy wartość b. W tym celu wykorzystujemy fakt, że funkcja przechodzi przez punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, stąd wyrażamy b i otrzymujemy b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Otrzymaną wartość podstawiamy do równania stycznego:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Rozważmy następny przykład: znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 w punkcie x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Podstaw otrzymane wartości do wzoru stycznego, otrzymamy: y = 1 + 4*(x - 2). Otwierając nawiasy i wprowadzając podobne wyrazy, otrzymujemy: y = 4*x - 7.

Odpowiedź: y = 4*x - 7.

Ogólny schemat tworzenia równania stycznego do wykresu funkcji y = f(x):

1. Określ x0.

2. Oblicz f(x0).

3. Oblicz f’(x)