Jak znaleźć pole pod wykresem. Określona całka. Jak obliczyć pole figury

16.10.2019

W poprzedniej części poświęconej analizie znaczenia geometrycznego całki oznaczonej otrzymaliśmy szereg wzorów na obliczenie pola zakrzywiony trapez:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i nieujemnej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i niedodatniej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] .

Wzory te mają zastosowanie do rozwiązywania proste zadania. W rzeczywistości często będziemy musieli pracować z bardziej złożonymi figurami. W związku z tym tę sekcję poświęcimy analizie algorytmów obliczania pola figur ograniczonych funkcjami w postaci jawnej, tj. jak y = f(x) lub x = g(y).

Twierdzenie

Niech funkcje y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będą określone i ciągłe na przedziale [ a ; b] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) dla dowolnej wartości x z [ a ; B ] . Następnie wzór na obliczenie pola figury G, ograniczonego liniami x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będzie wyglądać jak S (G) = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x .

Podobny wzór będzie miał zastosowanie do powierzchni figury ograniczonej liniami y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( sol 2 (y) - sol 1 (y) re y .

Dowód

Przyjrzyjmy się trzem przypadkom, dla których formuła będzie obowiązywać.

W pierwszym przypadku, biorąc pod uwagę właściwość addytywności pola, suma pól pierwotnej figury G i krzywoliniowego trapezu G1 jest równa powierzchni figury G2. To znaczy, że

Dlatego S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) re x - ∫ a b f 1 (x) re x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z trzeciej własności całki oznaczonej.

W drugim przypadku równość jest prawdziwa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) re x

Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Jeśli obie funkcje nie są dodatnie, otrzymujemy: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - fa 1 (x)) re x . Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Przejdźmy do rozważenia ogólnego przypadku, gdy y = f 1 (x) i y = f 2 (x) przecinają oś O x.

Punkty przecięcia oznaczamy jako x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Punkty te dzielą odcinek [a; b ] na n części x i - 1 ; x ja, ja = 1, 2, . . . , n, gdzie α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Stąd,

S (G) = ∑ ja = 1 n S (G i) = ∑ ja = 1 n ∫ x ja x ja fa 2 (x) - fa 1 (x)) re x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - fa ( x)) re x = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x

Ostatniego przejścia możemy dokonać korzystając z piątej własności całki oznaczonej.

Zilustrujmy przypadek ogólny na wykresie.

Wzór S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x można uznać za udowodniony.

Przejdźmy teraz do analizy przykładów obliczania pola figur ograniczonych liniami y = f (x) i x = g (y).

Rozważanie dowolnego z przykładów zaczniemy od skonstruowania wykresu. Obraz pozwoli nam przedstawić złożone figury jak połączyć więcej proste figury. Jeśli konstruowanie na nich wykresów i figur sprawia ci trudności, możesz przestudiować rozdział poświęcony podstawowym funkcjom elementarnym, transformacji geometrycznej wykresów funkcji, a także konstruowaniu wykresów podczas nauki funkcji.

Przykład 1

Konieczne jest określenie obszaru figury, który jest ograniczony parabolą y = - x 2 + 6 x - 5 i liniami prostymi y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Na odcinku [ 1 ; 4 ] wykres paraboli y = - x 2 + 6 x - 5 znajduje się nad prostą y = - 1 3 x - 1 2. W związku z tym, aby uzyskać odpowiedź, korzystamy z otrzymanego wcześniej wzoru oraz metody obliczania całki oznaczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 re x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpowiedź: S(G) = 13

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 2

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x + 2, y = x, x = 7.

Rozwiązanie

W w tym przypadku mamy tylko jedną linię prostą równoległą do osi x. To jest x = 7. Wymaga to od nas samodzielnego znalezienia drugiej granicy całkowania.

Zbudujmy wykres i nanieś na niego linie podane w opisie problemu.

Mając przed oczami wykres, łatwo możemy określić, że dolną granicą całkowania będzie odcięta punktu przecięcia wykresu prostej y = x i półparaboli y = x + 2. Aby znaleźć odciętą, używamy równości:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Okazuje się, że odcięta punktu przecięcia wynosi x = 2.

Zwracamy uwagę na fakt, że w ogólny przykład na rysunku proste y = x + 2, y = x przecinają się w punkcie (2; 2), więc tak szczegółowe obliczenia mogą wydawać się niepotrzebne. Przywieźliśmy to tutaj szczegółowe rozwiązanie tylko dlatego, że jest ich więcej trudne przypadki rozwiązanie może nie być takie oczywiste. Oznacza to, że zawsze lepiej jest obliczyć współrzędne przecięcia linii analitycznie.

Na przedziale [ 2 ; 7] wykres funkcji y = x znajduje się nad wykresem funkcji y = x + 2. Zastosujmy wzór do obliczenia pola:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) re x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpowiedź: S (G) = 59 6

Przykład 3

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony wykresami funkcji y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie.

Zdefiniujmy granice całkowania. Aby to zrobić, określamy współrzędne punktów przecięcia linii, przyrównując wyrażenia 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod warunkiem, że x nie jest równe zero, równość 1 x = - x 2 + 4 x - 2 staje się równoważna równaniu trzeciego stopnia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ze współczynnikami całkowitymi. Aby odświeżyć pamięć o algorytmie rozwiązywania takich równań, możemy zapoznać się z sekcją „Rozwiązywanie równań sześciennych”.

Pierwiastkiem tego równania jest x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dzieląc wyrażenie - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 przez dwumian x - 1, otrzymujemy: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Pozostałe pierwiastki możemy znaleźć z równania x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 re = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Znaleźliśmy przedział x ∈ 1; 3 + 13 2, w którym cyfra G zawarta jest nad linią niebieską i poniżej linii czerwonej. Pomaga nam to określić obszar figury:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x re x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpowiedź: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Przykład 4

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego krzywymi y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osią odciętych.

Rozwiązanie

Narysujmy wszystkie linie na wykresie. Wykres funkcji y = - log 2 x + 1 możemy otrzymać z wykresu y = log 2 x, jeżeli umieścimy go symetrycznie względem osi x i przesuniemy go o jedną jednostkę w górę. Równanie osi x to y = 0.

Zaznaczmy punkty przecięcia prostych.

Jak widać z rysunku, wykresy funkcji y = x 3 i y = 0 przecinają się w punkcie (0; 0). Dzieje się tak, ponieważ x = 0 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania x 3 = 0.

x = 2 jest jedynym pierwiastkiem równania - log 2 x + 1 = 0, więc wykresy funkcji y = - log 2 x + 1 i y = 0 przecinają się w punkcie (2; 0).

x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania x 3 = - log 2 x + 1 . Pod tym względem wykresy funkcji y = x 3 i y = - log 2 x + 1 przecinają się w punkcie (1; 1). Ostatnie stwierdzenie może nie być oczywiste, ale równanie x 3 = - log 2 x + 1 nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka, gdyż funkcja y = x 3 jest ściśle rosnąca, a funkcja y = - log 2 x + 1 to ściśle malejące.

Dalsze rozwiązanie obejmuje kilka opcji.

Opcja 1

Możemy sobie wyobrazić figurę G jako sumę dwóch trapezów krzywoliniowych znajdujących się powyżej osi x, z których pierwszy znajduje się poniżej linia środkowa na odcinku x ∈ 0; 1, a druga poniżej czerwonej linii na odcinku x ∈ 1; 2. Oznacza to, że pole będzie równe S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) re x .

Opcja nr 2

Figurę G można przedstawić jako różnicę dwóch figur, z których pierwsza znajduje się powyżej osi x i poniżej niebieskiej linii na odcinku x ∈ 0; 2, a druga pomiędzy czerwoną i niebieską linią na odcinku x ∈ 1; 2. Dzięki temu możemy znaleźć obszar w następujący sposób:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) re x

W tym przypadku, aby znaleźć pole, będziesz musiał użyć wzoru w postaci S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. W rzeczywistości linie ograniczające figurę można przedstawić jako funkcje argumentu y.

Rozwiążmy równania y = x 3 i - log 2 x + 1 względem x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otrzymujemy wymagany obszar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) re y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpowiedź: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Przykład 5

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Rozwiązanie

Czerwoną linią nakreślamy linię określoną przez funkcję y = x. Rysujemy linię y = - 1 2 x + 4 na niebiesko, a linię y = 2 3 x - 3 na czarno.

Zaznaczmy punkty przecięcia.

Znajdźmy punkty przecięcia wykresów funkcji y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Sprawdź: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Czy jest rozwiązaniem równania x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 jest rozwiązaniem równania ⇒ (4; 2) punkt przecięcia i y = x i y = - 1 2 x + 4

Znajdźmy punkt przecięcia wykresów funkcji y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 re = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sprawdź: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 jest rozwiązaniem równania ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Równanie nie ma rozwiązania

Znajdźmy punkt przecięcia prostych y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punkt przecięcia y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda nr 1

Wyobraźmy sobie pole pożądanej figury jako sumę pól poszczególnych figur.

Następnie obszar figury wynosi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 re x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr 2

Obszar oryginalnej figury można przedstawić jako sumę dwóch innych figur.

Następnie rozwiązujemy równanie linii względem x i dopiero potem stosujemy wzór do obliczenia pola figury.

y = x ⇒ x = y 2 czerwona linia y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 czarna linia y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ja n i a l i n e

Zatem obszar wynosi:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak widać wartości są takie same.

Odpowiedź: S (G) = 11 3

Wyniki

Aby znaleźć pole figury ograniczone podanymi liniami, musimy skonstruować linie na płaszczyźnie, znaleźć ich punkty przecięcia i zastosować wzór na obliczenie pola. W tej sekcji sprawdziliśmy najczęstsze warianty zadań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Zaczynamy rozważać faktyczny proces obliczania całki podwójnej i zapoznawać się z jej znaczeniem geometrycznym.

Całka podwójna numerycznie równa powierzchni figura płaska (obszar integracji). Ten najprostsza forma całka podwójna, gdy funkcja dwóch zmiennych jest równa jeden: .

Rozważmy najpierw problem w ogólna perspektywa. Teraz będziesz zaskoczony, jak wszystko jest naprawdę proste! Obliczmy obszar płaskiej figury ograniczony liniami. Dla pewności zakładamy, że na odcinku . Pole tej figury jest liczbowo równe:

Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy pierwszy sposób przemierzania terenu:

Zatem:

I od razu ważne technika techniczna: iterowane całki można obliczyć oddzielnie. Najpierw całka wewnętrzna, potem całka zewnętrzna. Ta metoda Gorąco polecam początkującym w temacie.

1) Obliczamy całkę wewnętrzną i całkowanie przeprowadzamy po zmiennej „y”:

Całka nieoznaczona jest tutaj najprostsza i wtedy stosuje się banalny wzór Newtona-Leibniza, z tą tylko różnicą, że granicami całkowania nie są liczby, ale funkcje. Najpierw podstawiliśmy górną granicę do „y” (funkcja pierwotna), a następnie dolną granicę

2) Wynik uzyskany w akapicie pierwszym należy podstawić do całki zewnętrznej:

Bardziej zwarta reprezentacja całego rozwiązania wygląda następująco:

Wynikowa formuła - to dokładnie działająca formuła obliczyć pole figury płaskiej za pomocą „zwykłej” całki oznaczonej! Obejrzyj lekcję Obliczanie powierzchni za pomocą całki oznaczonej, ona jest na każdym kroku!

To jest, problem obliczania pola za pomocą całki podwójnej niewiele się różni z problemu znalezienia pola za pomocą całki oznaczonej! Właściwie to jest to samo!

W związku z tym nie powinny pojawić się żadne trudności! Nie będę patrzeć na bardzo wiele przykładów, ponieważ w rzeczywistości wielokrotnie spotykałeś się z tym zadaniem.

Przykład 9

Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przechodzenia przez obszar:

Tutaj i dalej nie będę się rozwodzić nad tym, jak przemierzać ten obszar, ponieważ bardzo szczegółowe wyjaśnienia podano w pierwszym akapicie.

Zatem:

Jak już wspomniałem, dla początkujących lepiej jest obliczać całki iterowane osobno i ja będę się trzymał tej samej metody:

1) Najpierw, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza, zajmujemy się całką wewnętrzną:

2) Wynik uzyskany w pierwszym kroku podstawiamy do całki zewnętrznej:

Punkt 2 to tak naprawdę znalezienie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej.

Odpowiedź:

To takie głupie i naiwne zadanie.

Ciekawy przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami , ,

Przybliżona próbka finalizacja rozwiązania na koniec lekcji.

W przykładach 9-10 znacznie bardziej opłaca się zastosować pierwszą metodę przemierzania terenu, ciekawscy czytelnicy, nawiasem mówiąc, mogą zmienić kolejność przemierzania i obliczyć pola drugą metodą. Jeśli się nie pomylisz, otrzymasz oczywiście te same wartości powierzchni.

Ale w niektórych przypadkach druga metoda przemierzania terenu jest skuteczniejsza i na koniec kursu młodego kujona przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom na ten temat:

Przykład 11

Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami,

Rozwiązanie: Z niecierpliwością czekamy na dwie parabole z dziwactwem, które leżą po bokach. Nie ma co się uśmiechać; podobne rzeczy zdarzają się dość często w całkach wielokrotnych.

Jak najłatwiej zrobić rysunek?

Wyobraźmy sobie parabolę w postaci dwóch funkcji:
– gałąź górna i – gałąź dolna.

Podobnie wyobraźmy sobie parabolę w postaci górnej i dolnej gałęzie.

Następnie punktowe kreślenie reguł wykresów, w wyniku czego otrzymano tak dziwną figurę:

Pole figury obliczamy za pomocą całki podwójnej według wzoru:

Co się stanie jeśli wybierzemy pierwszą metodę przemierzania terenu? Po pierwsze, obszar ten będzie musiał zostać podzielony na dwie części. Po drugie, będziemy obserwować ten smutny obraz: . Całki oczywiście nie są bardzo skomplikowane, ale... jest stare matematyczne powiedzenie: ci, którzy są blisko swoich korzeni, nie potrzebują testu.

Dlatego na podstawie nieporozumienia podanego w warunku wyrażamy funkcje odwrotne:

Funkcje odwrotne V w tym przykładzie mają tę zaletę, że określają całą parabolę na raz, bez liści, żołędzi, gałęzi i korzeni.

Według drugiej metody przemieszczanie się po obszarze będzie wyglądać następująco:

Zatem:

Jak to mówią, poczuj różnicę.

1) Zajmujemy się całką wewnętrzną:

Wynik podstawiamy do całki zewnętrznej:

Całkowanie po zmiennej „y” nie powinno być mylące; gdyby istniała litera „zy”, świetnie byłoby ją zintegrować. Chociaż kto przeczytał drugi akapit lekcji Jak obliczyć objętość ciała wirującego, nie odczuwa już najmniejszej niezręczności przy integracji metodą „Y”.

Zwróć także uwagę na pierwszy krok: całka jest parzysta, a przedział całkowania jest symetryczny względem zera. Dlatego segment można podzielić na połowę, a wynik można podwoić. Ta technika szczegółowo komentował na lekcji Skuteczne metody obliczanie całki oznaczonej.

Co dodać…. Wszystko!

Odpowiedź:

Aby przetestować technikę integracji, możesz spróbować wykonać obliczenia . Odpowiedź powinna być dokładnie taka sama.

Przykład 12

Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Co ciekawe, jeśli spróbujesz skorzystać z pierwszej metody przemierzania obszaru, figura nie będzie już musiała być podzielona na dwie, ale na trzy części! I odpowiednio otrzymujemy trzy pary powtarzających się całek. Czasami tak bywa.

Klasa mistrzowska dobiegła końca i czas przejść na poziom arcymistrzowski - Jak obliczyć całkę podwójną? Przykłady rozwiązań. Postaram się nie być takim maniakiem w drugim artykule =)

Życzę Ci sukcesu!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2:Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Wybierzmy następującą kolejność przechodzenia przez obszar:

Zatem:
Przejdźmy do funkcji odwrotnych:

Zatem:
Odpowiedź:

Przykład 4:Rozwiązanie: Przejdźmy do funkcji bezpośrednich:

Zróbmy rysunek:

Zmieńmy kolejność przemierzania terenu:

Odpowiedź:

Problem 1(o obliczaniu pola zakrzywionego trapezu).

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych xOy podana jest figura (patrz rysunek) ograniczona osią x, liniami prostymi x = a, x = b (zakrzywiony trapez. Wymagane jest obliczenie pola zakrzywionego trapezu.
Rozwiązanie. Geometria daje nam recepty na obliczanie pól wielokątów i niektórych części koła (sektora, odcinka). Korzystając z rozważań geometrycznych, możemy znaleźć jedynie przybliżoną wartość wymaganej powierzchni, rozumując w następujący sposób.

Podzielmy odcinek [a; b] (podstawa zakrzywionego trapezu) na n równych części; podział ten przeprowadza się za pomocą punktów x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Narysujmy przez te punkty proste linie równoległe do osi y. Następnie dany trapez krzywoliniowy zostanie podzielony na n części, na n wąskich kolumn. Pole całego trapezu jest równe sumie pól kolumn.

Rozważmy k-tą kolumnę osobno, tj. zakrzywiony trapez, którego podstawą jest odcinek. Zastąpmy go prostokątem o tej samej podstawie i wysokości równej f(x k) (patrz rysunek). Pole prostokąta jest równe $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, gdzie $\Delta x_k $ to długość odcinka; Naturalne jest rozważenie powstałego produktu jako przybliżonej wartości pola k-tej kolumny.

Jeśli teraz zrobimy to samo ze wszystkimi pozostałymi kolumnami, dojdziemy do następującego wyniku: pole S danego trapezu krzywoliniowego jest w przybliżeniu równe polu S n figury schodkowej złożonej z n prostokątów (patrz rysunek):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Tutaj, dla zachowania jednolitości zapisu, zakładamy, że a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - długość odcinka, $\Delta x_1 $ - długość odcinka itp.; w tym przypadku, jak ustaliliśmy powyżej, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Zatem $S \około S_n $ i ta przybliżona równość jest dokładniejsza, im większe n.
Z definicji uważa się, że wymagana powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest równa granicy ciągu (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o przesuwaniu punktu)
Porusza się po linii prostej punkt materialny. Zależność prędkości od czasu wyraża się wzorem v = v(t). Znajdź ruch punktu w pewnym okresie czasu [a; B].
Rozwiązanie. Gdyby ruch był jednostajny, problem zostałby rozwiązany w bardzo prosty sposób: s = vt, tj. s = v(b-a). W przypadku nierównego ruchu trzeba posłużyć się tymi samymi pomysłami, na których opierało się rozwiązanie poprzedniego problemu.
1) Podziel przedział czasu [a; b] na n równych części.
2) Rozważmy okres czasu i załóżmy, że w tym czasie prędkość była stała, taka sama jak w chwili t k. Zakładamy więc, że v = v(t k).
3) Znajdźmy przybliżoną wartość ruchu punktu w czasie i tę przybliżoną wartość oznaczymy jako sk
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia s:
$s \około S_n $ gdzie
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Wymagane przemieszczenie jest równe granicy ciągu (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Podsumujmy. Rozwiązania różnych problemów sprowadzono do tego samego modelu matematycznego. Wiele problemów z różnych dziedzin nauki i techniki prowadzi w procesie rozwiązania do tego samego modelu. Oznacza to, że ten model matematyczny musi zostać specjalnie przestudiowany.

Pojęcie całki oznaczonej

Podajmy opis matematyczny modelu, który zbudowano w trzech rozpatrywanych problemach dla funkcji y = f(x), ciągłej (ale niekoniecznie nieujemnej, jak założono w rozważanych zagadnieniach) na przedziale [a; B]:
1) podzielić odcinek [a; b] na n równych części;
2) uzupełnij sumę $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) oblicz $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

W toku analizy matematycznej wykazano, że granica ta istnieje w przypadku funkcji ciągłej (lub fragmentarycznie ciągłej). Jest on nazywany pewna całka funkcji y = f(x) po odcinku [a; B] i oznaczone następująco:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Liczby a i b nazywane są granicami całkowania (odpowiednio dolną i górną).

Wróćmy do zadań omówionych powyżej. Definicję obszaru podaną w Zadaniu 1 można teraz przepisać w następujący sposób:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
tutaj S jest obszarem krzywoliniowego trapezu pokazanego na powyższym rysunku. To jest znaczenie geometryczne określona całka.

Definicja przemieszczenia s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w czasie od t = a do t = b, podana w Zadaniu 2, może zostać przepisana następująco:

Wzór Newtona-Leibniza

Najpierw odpowiedzmy sobie na pytanie: jaki jest związek pomiędzy całką oznaczoną a funkcją pierwotną?

Odpowiedź można znaleźć w Zadaniu 2. Z jednej strony przemieszczenie s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w okresie od t = a do t = b oblicza się ze wzoru Formuła
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Z drugiej strony współrzędna poruszającego się punktu jest funkcją pierwotną prędkości - oznaczmy ją jako s(t); Oznacza to, że przemieszczenie s wyraża się wzorem s = s(b) – s(a). W rezultacie otrzymujemy:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
gdzie s(t) jest funkcją pierwotną v(t).

W toku analizy matematycznej udowodniono następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na przedziale [a; b], to wzór jest ważny
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
gdzie F(x) jest funkcją pierwotną f(x).

Podana formuła jest zwykle wywoływana Wzór Newtona-Leibniza na cześć angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643-1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), którzy otrzymali go niezależnie od siebie i niemal jednocześnie.

W praktyce zamiast pisać F(b) - F(a), używają notacji $\left. F(x)\right|_a^b $ (czasami nazywa się to podwójna substytucja) i odpowiednio przepisz wzór Newtona-Leibniza w następującej postaci:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Obliczając całkę oznaczoną, najpierw znajdź funkcję pierwotną, a następnie wykonaj podwójne podstawienie.

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza możemy otrzymać dwie własności całki oznaczonej.

Właściwość 1. Całka z sumy funkcji równa sumie całki:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Własność 2. Stały współczynnik można wyjąć ze znaku całki:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki oznaczonej

Za pomocą całki możesz obliczyć pola nie tylko trapezów krzywoliniowych, ale także figur płaskich typ złożony, na przykład ten pokazany na rysunku. Figurę P ograniczają proste x = a, x = b oraz wykresy funkcji ciągłych y = f(x), y = g(x) oraz na odcinku [a; b] zachodzi nierówność $g(x) \leq f(x) $. Aby obliczyć pole S takiej figury, postępujemy w następujący sposób:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Zatem pole S figury ograniczone liniami prostymi x = a, x = b oraz wykresami funkcji y = f(x), y = g(x), ciągłe na odcinku i takie, że dla dowolnego x z odcinka [A; b] nierówność $g(x) \leq f(x) $ jest spełniona, obliczona ze wzoru
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabela całek nieoznaczonych (pierwszych) niektórych funkcji

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy właśnie zakończyliśmy naukę całek oznaczonych i przyszedł czas na geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

Zatem, co jest potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

Umiejętność wykonywania kompetentnych rysunków;
Umiejętność rozwiązania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
Możliwość „dostrzeżenia” bardziej opłacalnej opcji rozwiązania – tj. rozumiesz, jak wygodniej będzie przeprowadzić integrację w tym czy innym przypadku? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
Cóż, gdzie bylibyśmy bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać całki innego rodzaju i prawidłowe obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania pola figury ograniczonego liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w kratkę, na dużą skalę. Nazwę tej funkcji podpisujemy ołówkiem nad każdym wykresem. Wykresy są podpisane wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu żądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice całkowania zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeżeli granice całkowania nie są wyraźnie określone, to znajdujemy punkty przecięcia wykresów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z rozwiązaniem analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od układu wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważmy różne przykłady o znalezieniu obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczna i najprostsza wersja problemu polega na tym, że trzeba znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Co to jest zakrzywiony trapez? Ten płaska figura, ograniczone osią x (y = 0), prosty x = a, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od A zanim B. Co więcej, liczba ta nie jest ujemna i nie znajduje się poniżej osi x. W tym przypadku pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe pewnej całce obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakimi liniami ograniczona jest figura? Mamy parabolę y = x2 – 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, to nie jest ujemne, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli mają wartości dodatnie. Następnie podane linie proste x = 1 I x = 3, które biegną równolegle do osi Jednostka organizacyjna, to linie graniczne figury po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, jest to także oś x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa figura jest zacieniowana, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład zakrzywionego trapezu, który dalej rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 zbadaliśmy przypadek, gdy zakrzywiony trapez znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki zadania są takie same, z tą różnicą, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Poniżej zastanowimy się, jak rozwiązać taki problem.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczone liniami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

W tym przykładzie mamy parabolę y = x2 + 6x + 2, który pochodzi z osi OH, prosty x = -4, x = -1, y = 0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną liczbę od góry. Bezpośredni x = -4 I x = -1 są to granice, w obrębie których obliczana będzie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to dana funkcja nie jest dodatni i nadal ciągły w przedziale [-4; -1] . Co masz na myśli mówiąc, że nie jest pozytywny? Jak widać na rysunku, liczba znajdująca się w obrębie podanych x ma wyłącznie współrzędne „ujemne”, o czym musimy pamiętać i co musimy zobaczyć podczas rozwiązywania problemu. Pole figury szukamy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.

Zatem, co jest potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

Umiejętność wykonywania kompetentnych rysunków;
Umiejętność rozwiązania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
Możliwość „dostrzeżenia” bardziej opłacalnej opcji rozwiązania – tj. rozumiesz, jak wygodniej będzie przeprowadzić integrację w tym czy innym przypadku? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
Cóż, gdzie bylibyśmy bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać całki innego rodzaju i prawidłowe obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania pola figury ograniczonego liniami:

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od układu wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Przyjrzyjmy się różnym przykładom znajdowania obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczna i najprostsza wersja problemu polega na tym, że trzeba znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Co to jest zakrzywiony trapez? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y = 0), prosty x = a, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od A zanim B. Co więcej, liczba ta nie jest ujemna i nie znajduje się poniżej osi x. W tym przypadku pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe pewnej całce obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczone liniami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

W tym przykładzie mamy parabolę y = x2 + 6x + 2, który pochodzi z osi OH, prosty x = -4, x = -1, y = 0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną liczbę od góry. Bezpośredni x = -4 I x = -1 są to granice, w obrębie których obliczana będzie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia pola figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła na przedziale [-4; -1] . Co masz na myśli mówiąc, że nie jest pozytywny? Jak widać na rysunku, liczba znajdująca się w obrębie podanych x ma wyłącznie współrzędne „ujemne”, o czym musimy pamiętać i co musimy zobaczyć podczas rozwiązywania problemu. Pole figury szukamy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.