Definicja. Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są dzielone bez reszty największy wspólny dzielnik (NWD) te liczby.
Znajdźmy największy wspólny dzielnik numery 24 i 35.
Dzielnikami liczby 24 są liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami liczby 35 są liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby nazywane są wzajemnie pierwsze.
Definicja. Nazywa się liczby naturalne wzajemnie pierwsze, jeśli ich największy wspólny dzielnik (NWD) wynosi 1.
Największy wspólny dzielnik (GCD) można znaleźć bez wypisywania wszystkich dzielników danych liczb.
Rozkładając liczby 48 i 36, otrzymujemy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników wchodzących w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb skreślamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostałe czynniki to 2 * 2 * 3. Ich iloczyn to 12. Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono także największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik
2) spośród czynników wchodzących w skład rozwinięcia jednej z tych liczb skreślić te, które nie wchodzą w skład rozwinięcia innych liczb;
3) znaleźć iloczyn pozostałych czynników.
Jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to ta liczba jest podzielna największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem liczb 15, 45, 75 i 180 jest liczba 15, ponieważ wszystkie inne liczby są przez nią podzielne: 45, 75 i 180.
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)
Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością obu a i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb 75 i 60 można znaleźć bez zapisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozłóżmy 75 i 60 na czynniki pierwsze: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapiszmy czynniki wchodzące w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb i dodajmy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.
Znajdują także najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.
Do znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) zapisz czynniki składające się na rozwinięcie jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn uzyskanych czynników.
Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne liczby, to liczba ta jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12, 15, 20 i 60 wynosi 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie te liczby.
Pitagoras (VI wiek p.n.e.) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Numer, równa sumie Wszystkie jej dzielniki (bez samej liczby) nazwali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Kolejne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. N. mi. Piąty – 33 550 336 – odnaleziono w XV wieku. W 1983 roku znanych było już 27 liczb doskonałych. Ale naukowcy nadal nie wiedzą, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste, czy też istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwsza, albo można ją przedstawić w postaci iloczynu liczby pierwsze, czyli liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowane są pozostałe liczby naturalne.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych – mniej. Ale im dalej posuniemy się w szeregu liczbowym, tym mniej popularne są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III w. p.n.e.) w swojej książce „Elementy”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, czyli za każdą liczbą pierwszą kryje się jeszcze większa liczba pierwsza numer.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk z tego samego okresu, Eratostenes, wymyślił tę metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, po czym skreślił jedynkę, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, następnie przekreślił przez jedynkę wszystkie liczby występujące po 2 (liczby będące wielokrotnością 2, czyli 4, 6, 8 itd.). Pierwszą pozostałą liczbą po 2 było 3. Następnie po dwójce wszystkie liczby występujące po 3 (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.) zostały przekreślone. w końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskrzyżowane.
Znalezienie największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sekwencyjnego znajdowania gcd dwóch liczb. Wspominaliśmy o tym badając właściwości GCD. Tam sformułowaliśmy i udowodniliśmy twierdzenie: największy wspólny dzielnik kilku liczb a 1 , a 2 , …, k równa liczbie nie wiem, co można znaleźć w drodze obliczeń sekwencyjnych NWD(a 1 , a 2) = d 2, NWD(d 2 , a 3) = d 3, NWD(d 3 , a 4) = d 4, …,NWD(d k-1, a k)=d k.
Zobaczmy jak wygląda proces znajdowania gcd kilku liczb patrząc na rozwiązanie na przykładzie.
Przykład.
Znajdź największy wspólny dzielnik czterech liczb 78 , 294 , 570 I 36 .
Rozwiązanie.
W tym przykładzie 1 =78, a2 =294, a3 =570, 4 = 36.
Najpierw, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy największy wspólny dzielnik d 2 pierwsze dwie cyfry 78 I 294 . Dzieląc otrzymujemy równości 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 I 18=6·3. Zatem, d2 =NWD(78, 294)=6.
Teraz obliczmy d 3 = NWD (d 2, a 3) = NWD (6, 570). Użyjmy ponownie algorytmu Euklidesa: 570=6,95, stąd, d3 =NWD(6,570)=6.
Pozostaje policzyć d 4 =NWD(d 3, za 4)=NWD(6, 36). Ponieważ 36 podzielone przez 6 , To d 4 = NWD(6, 36)=6.
Zatem największy wspólny dzielnik czterech podanych liczb jest równy d 4 = 6, to jest, NWD(78, 294, 570, 36)=6.
Odpowiedź:
NWD(78, 294, 570, 36)=6.
Rozłożenie liczb na czynniki pierwsze pozwala również obliczyć gcd trzech lub więcej liczb. W tym przypadku największy wspólny dzielnik jest iloczynem wszystkich wspólnych czynników pierwszych danych liczb.
Przykład.
Oblicz gcd liczb z poprzedniego przykładu, korzystając z ich rozkładów na czynniki pierwsze.
Rozwiązanie.
Rozłóżmy liczby 78 , 294 , 570 I 36 przez czynniki pierwsze, otrzymujemy 78=2,3,13,294=2,3,7,7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Wspólnymi czynnikami pierwszymi wszystkich czterech liczb są liczby 2 I 3 . Stąd, NWD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Odpowiedź:
NWD(78, 294, 570, 36)=6.
Góra strony
Znajdowanie NWD liczb ujemnych
Jeśli jedna, kilka lub wszystkie liczby, których największy dzielnik można znaleźć, są liczbami ujemnymi, to ich gcd jest równe największemu wspólnemu dzielnikowi modułów tych liczb. Wynika to z faktu, że liczby przeciwne A I -a mają te same dzielniki, co omówiliśmy podczas badania właściwości podzielności.
Przykład.
Znajdź gcd ujemnych liczb całkowitych −231 I −140 .
Rozwiązanie.
Moduł liczbowy −231 równa się 231 i moduł liczby −140 równa się 140 , I NWD(−231, −140)=NWD(231, 140). Algorytm Euklidesa daje nam następujące równości: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 I 42=7 6. Stąd, NWD(231, 140)=7. Następnie pożądany największy wspólny dzielnik liczb ujemnych to −231 I −140 równa się 7 .
Odpowiedź:
NWD(−231, −140)=7.
Przykład.
Określ gcd trzech liczb −585 , 81 I −189 .
Rozwiązanie.
Szukając największego wspólnego dzielnika, liczby ujemne można zastąpić ich wartościami bezwzględnymi, to znaczy: NWD(-585, 81, -189)=NWD(585, 81, 189). Rozszerzenia liczb 585 , 81 I 189 na czynniki pierwsze mają postać 585=3,3,5,13, 81=3·3·3·3 I 189=3,3,3,7. Wspólnymi czynnikami pierwszymi tych trzech liczb są: 3 I 3 . Następnie NWD(585, 81, 189)=3·3=9, stąd, NWD(-585, 81, -189)=9.
Odpowiedź:
NWD(-585, 81, -189)=9.
35. Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezouta. (33 i więcej)
36. Pierwiastki wielokrotne, kryterium mnogości pierwiastków.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność to kluczowe pojęcia arytmetyczne, które pozwalają na łatwe działanie zwykłe ułamki. LCM i są najczęściej używane do znalezienia wspólnego mianownika kilku ułamków.
Podstawowe pojęcia
Dzielnik liczby całkowitej X to inna liczba całkowita Y, przez którą X jest dzielone bez pozostawiania reszty. Na przykład dzielnik liczby 4 to 2, a 36 to 4, 6, 9. Wielokrotność liczby całkowitej X to liczba Y, która dzieli się przez X bez reszty. Na przykład 3 jest wielokrotnością 15, a 6 jest wielokrotnością 12.
Dla każdej pary liczb możemy znaleźć ich wspólne dzielniki i wielokrotności. Na przykład dla liczb 6 i 9 wspólna wielokrotność wynosi 18, a wspólny dzielnik wynosi 3. Oczywiście pary mogą mieć kilka dzielników i wielokrotności, dlatego w obliczeniach używany jest największy dzielnik GCD i najmniejsza wielokrotność LCM.
Najmniejszy dzielnik nie ma znaczenia, ponieważ dla dowolnej liczby jest zawsze jeden. Największa wielokrotność również nie ma znaczenia, ponieważ ciąg wielokrotności zmierza do nieskończoności.
Znalezienie gcd
Istnieje wiele metod znajdowania największego wspólnego dzielnika, z których najbardziej znane to:
- sekwencyjne wyszukiwanie dzielników, wybór wspólnych dla pary i poszukiwanie największego z nich;
- rozkład liczb na czynniki niepodzielne;
- algorytm euklidesowy;
- algorytm binarny.
Dziś o godz instytucje edukacyjne Do najpopularniejszych należą metody faktoryzacji liczb pierwszych i algorytm Euklidesa. To drugie z kolei wykorzystuje się przy rozwiązywaniu równań diofantyny: poszukiwanie NWD jest wymagane, aby sprawdzić równanie pod kątem możliwości rozwiązania w liczbach całkowitych.
Znalezienie NOC
Najmniejszą wspólną wielokrotność wyznacza się również poprzez wyszukiwanie sekwencyjne lub rozkład na niepodzielne czynniki. Ponadto łatwo jest znaleźć LCM, jeśli został już wyznaczony największy dzielnik. Dla liczb X i Y LCM i GCD są powiązane następującą zależnością:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Na przykład, jeśli GCM(15,18) = 3, to LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbardziej oczywistym przykładem użycia LCM jest znalezienie wspólnego mianownika, który jest najmniejszą wspólną wielokrotnością dane ułamki.
Liczby względnie pierwsze
Jeśli para liczb nie ma wspólnych dzielników, wówczas taką parę nazywamy względnie pierwszą. Współczynnik gcd dla takich par jest zawsze równy jeden, a na podstawie połączenia między dzielnikami i wielokrotnościami, gcd dla par względnie pierwszych jest równy ich iloczynowi. Na przykład liczby 25 i 28 są względnie pierwsze, ponieważ nie mają wspólnych dzielników, a LCM(25, 28) = 700, co odpowiada ich iloczynowi. Każde dwie niepodzielne liczby zawsze będą względnie pierwsze.
Wspólny dzielnik i kalkulator wielokrotny
Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć GCD i LCM dla dowolnej liczby liczb do wyboru. Zadania dotyczące obliczania wspólnych dzielników i wielokrotności znajdują się w arytmetyce w piątej i szóstej klasie, ale GCD i LCM są kluczowymi pojęciami w matematyce i są wykorzystywane w teorii liczb, planimetrii i algebrze komunikacyjnej.
Przykłady z życia wzięte
Wspólny mianownik ułamków
Najmniejsza wspólna wielokrotność jest używana przy znajdowaniu wspólnego mianownika kilku ułamków. Wpuszczać problem arytmetyczny musisz zsumować 5 ułamków:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Aby dodać ułamek, wyrażenie należy zredukować do wspólny mianownik, co sprowadza się do problemu znalezienia LCM. Aby to zrobić, wybierz 5 liczb w kalkulatorze i wprowadź wartości mianowników w odpowiednich komórkach. Program obliczy LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz dla każdego ułamka należy obliczyć dodatkowe współczynniki, które definiuje się jako stosunek LCM do mianownika. Zatem dodatkowe mnożniki będą wyglądać następująco:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Następnie mnożymy wszystkie ułamki przez odpowiedni dodatkowy współczynnik i otrzymujemy:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Możemy łatwo zsumować takie ułamki i otrzymać wynik 159/360. Zmniejszamy ułamek o 3 i widzimy ostateczną odpowiedź - 53/120.
Rozwiązywanie liniowych równań diofantyny
Liniowe równania diofantyny są wyrażeniami w postaci ax + by = d. Jeśli stosunek d / gcd(a, b) jest liczbą całkowitą, wówczas równanie można rozwiązać w liczbach całkowitych. Sprawdźmy kilka równań, aby zobaczyć, czy mają rozwiązanie w postaci liczb całkowitych. Najpierw sprawdźmy równanie 150x + 8y = 37. Używając kalkulatora, znajdujemy GCD (150,8) = 2. Podziel 37/2 = 18,5. Liczba nie jest liczbą całkowitą, dlatego równanie nie ma pierwiastków całkowitych.
Sprawdźmy równanie 1320x + 1760y = 10120. Użyj kalkulatora, aby znaleźć GCD(1320, 1760) = 440. Podziel 10120/440 = 23. W rezultacie otrzymamy liczbę całkowitą, zatem równanie diofantyny można rozwiązać przy współczynnikach całkowitych .
Wniosek
GCD i LCM odgrywają dużą rolę w teorii liczb, a same pojęcia są szeroko stosowane w wielu różnych obszarach matematyki. Skorzystaj z naszego kalkulatora, aby obliczyć największe dzielniki i najmniejsze wielokrotności dowolnej liczby liczb.
Ale wiele liczb naturalnych dzieli się także przez inne liczby naturalne.
Na przykład:
Liczba 12 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
Liczba 36 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.
Liczby, przez które liczba jest podzielna przez całość (dla 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywane są dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej A- jest liczbą naturalną, która dzieli podany numer A bez śladu. Nazywa się liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony. Należy pamiętać, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Te liczby to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12.
Wspólny dzielnik dwóch danych liczb A I B- jest to liczba, przez którą podzielone są obie podane liczby bez reszty A I B. Wspólny dzielnik kilku liczb (NWD) to liczba, która służy jako dzielnik każdego z nich.
W skrócie największy wspólny dzielnik liczb A I B napisz to tak:
Przykład: NWD (12; 36) = 12.
Dzielniki liczb w zapisie rozwiązania są oznaczone dużą literą „D”.
Przykład:
NWD (7; 9) = 1
Liczby 7 i 9 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby nazywane są wzajemnie pierwszechi slam.
Liczby względnie pierwsze- są to liczby naturalne, które mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Ich gcd wynosi 1.
Największy wspólny dzielnik (NWD), własności.
- Własność podstawowa: największy wspólny dzielnik M I N jest podzielna przez dowolny wspólny dzielnik tych liczb. Przykład: Dla liczb 12 i 18 największym wspólnym dzielnikiem jest 6; jest on dzielony przez wszystkie wspólne dzielniki tych liczb: 1, 2, 3, 6.
- Wniosek 1: zbiór wspólnych dzielników M I N pokrywa się ze zbiorem dzielników NWD ( M, N).
- Wniosek 2: zbiór wspólnych wielokrotności M I N pokrywa się ze zbiorem wielu LCM ( M, N).
Oznacza to w szczególności, że aby sprowadzić ułamek do postaci nieredukowalnej, należy podzielić jego licznik i mianownik przez ich gcd.
- Największy wspólny dzielnik liczb M I N można zdefiniować jako najmniejszy dodatni element zbioru wszystkich ich kombinacji liniowych:
i dlatego przedstawiamy to jako liniową kombinację liczb M I N:
Ten stosunek nazywa się Relacja Bezouta i współczynniki ty I w — Współczynniki Bezouta. Współczynniki Bezouta są efektywnie obliczane za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa. Stwierdzenie to uogólnia na zbiory liczb naturalnych - jego znaczenie jest takie, że podgrupa grupy generowanej przez zbiór jest cykliczna i generowana przez jeden element: NWD ( A 1 , A 2 , … , jakiś).
Oblicz największy wspólny dzielnik (NWD).
Skuteczne sposoby obliczenia gcd dwóch liczb to Algorytm euklidesowy I dwójkowyalgorytm. Ponadto wartość gcd ( M,N) można łatwo obliczyć, jeśli znane jest rozwinięcie kanoniczne liczb M I N na czynniki pierwsze:
gdzie są różnymi liczbami pierwszymi i są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą być zerami, jeśli odpowiednia liczba pierwsza nie znajduje się w rozwinięciu). Następnie NWD ( M,N) i NOC ( M,N) wyraża się wzorami:
Jeśli jest więcej niż dwie liczby: , ich gcd znajduje się przy użyciu następującego algorytmu:
- to jest pożądany GCD.
Także po to, żeby znaleźć największy wspólny dzielnik, możesz rozłożyć każdą z podanych liczb na czynniki pierwsze. Następnie zapisz osobno tylko te czynniki, które wchodzą w skład wszystkich podanych liczb. Następnie mnożymy zapisane liczby przez siebie - wynikiem mnożenia jest największy wspólny dzielnik .
Przyjrzyjmy się krok po kroku obliczeniu największego wspólnego dzielnika:
1. Rozłóż dzielniki liczb na czynniki pierwsze:
Wygodnie jest pisać obliczenia za pomocą pionowej kreski. Po lewej stronie linii najpierw zapisujemy dywidendę, po prawej - dzielnik. Następnie w lewej kolumnie zapisujemy wartości ilorazów. Wyjaśnijmy to od razu na przykładzie. Rozłóżmy liczby 28 i 64 na czynniki pierwsze.
2. W obu liczbach podkreślamy te same czynniki pierwsze:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Znajdź iloczyn identycznych czynników pierwszych i zapisz odpowiedź:
gcd (28; 64) = 2. 2 = 4
Odpowiedź: NWD (28; 64) = 4
Możesz sformalizować lokalizację GCD na dwa sposoby: w kolumnie (jak pokazano powyżej) lub „w rzędzie”.
Pierwszy sposób zapisu GCD:
Znajdź gcd 48 i 36.
NWD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
Drugi sposób zapisu GCD:
Zapiszmy teraz w wierszu rozwiązanie wyszukiwania GCD. Znajdź gcd 10 i 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)
Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.
Wielokrotność A jest liczbą naturalną, która dzieli się przez A bez reszty. Zatem liczby będące wielokrotnością 5 można uznać za 15, 20, 25 i tak dalej.
Mogą istnieć dzielniki określonej liczby ograniczona ilość, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.
Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba, którą można przez nie podzielić bez pozostawiania reszty.
Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się przez wszystkie te liczby.
Aby znaleźć LOC, możesz skorzystać z kilku metod.
W przypadku małych liczb wygodnie jest zapisać wszystkie wielokrotności tych liczb w jednym wierszu, aż znajdziesz wśród nich coś wspólnego. Wielokrotności oznacza się wielką literą K.
Na przykład wielokrotności liczby 4 można zapisać w następujący sposób:
K. (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K. (6) = (12, 18, 24, ...)
Zatem widać, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Zapis ten wykonuje się w następujący sposób:
LCM(4, 6) = 24
Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej zastosować inną metodę obliczenia LCM.
Aby wykonać zadanie, należy rozłożyć podane liczby na czynniki pierwsze.
Najpierw musisz zapisać rozkład największej liczby na linii, a poniżej - resztę.
Rozkład każdej liczby może obejmować inną liczbę czynników.
Na przykład, rozłóżmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.
W rozwinięciu mniejszej liczby należy podkreślić czynniki, których nie ma w rozwinięciu pierwszej. duża liczba, a następnie dodaj je do niego. W przedstawionym przykładzie brakuje dwójki.
Teraz możesz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Zatem iloczyn czynników pierwszych więcej a czynniki drugiej liczby, które nie zostały uwzględnione w rozwinięciu większej liczby, będą najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, należy je wszystkie rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.
Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Zatem tylko dwie dwójki z rozwinięcia szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w rozwinięciu dwudziestu czterech).
Należy je zatem dodać do rozwinięcia większej liczby.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez inną, wówczas większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Na przykład LCM wynoszący dwanaście i dwadzieścia cztery to dwadzieścia cztery.
Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają identycznych dzielników, wówczas ich LCM będzie równa ich iloczynowi.
Na przykład LCM (10, 11) = 110.