Geometria mówi nam, czym jest trójkąt, kwadrat i sześcian. W współczesny świat uczą się jej w szkołach wszyscy bez wyjątku. Ponadto nauką bezpośrednio badającą, czym jest trójkąt i jakie ma właściwości, jest trygonometria. Szczegółowo bada wszystkie zjawiska związane z danymi. O tym, czym jest dzisiaj trójkąt, porozmawiamy w naszym artykule. Poniżej zostaną opisane ich rodzaje oraz niektóre twierdzenia z nimi związane.
Co to jest trójkąt? Definicja
To jest płaski wielokąt. Ma trzy rogi, jak wynika z jego nazwy. Ma także trzy boki i trzy wierzchołki, pierwszy z nich to odcinki, drugi to punkty. Wiedząc, jakie są dwa kąty, możesz znaleźć trzeci, odejmując sumę pierwszych dwóch od liczby 180.
Jakie są rodzaje trójkątów?
Można je klasyfikować według różnych kryteriów.
Przede wszystkim dzieli się je na ostre, rozwarte i prostokątne. Te pierwsze mają kąty ostre, czyli takie, które są mniejsze niż 90 stopni. W kątach rozwartych jeden z kątów jest rozwarty, to znaczy taki, który jest równy więcej niż 90 stopni, pozostałe dwa są ostre. Do ostrych trójkątów zaliczają się także trójkąty równoboczne. Takie trójkąty mają wszystkie boki i kąty równe. Wszystkie mają miarę 60 stopni, można to łatwo obliczyć, dzieląc sumę wszystkich kątów (180) przez trzy.
Prawy trójkąt
Nie sposób nie mówić o tym, co to jest prawy trójkąt.
Taka figura ma jeden kąt równy 90 stopni (prosty), to znaczy dwa jej boki są prostopadłe. Pozostałe dwa kąty są ostre. Mogą być równe, wtedy będzie to równoramienny. Twierdzenie Pitagorasa jest powiązane z trójkątem prostokątnym. Za jego pomocą możesz znaleźć trzecią stronę, znając pierwsze dwie. Zgodnie z tym twierdzeniem, jeśli dodamy kwadrat jednej nogi do kwadratu drugiej, otrzymamy kwadrat przeciwprostokątnej. Kwadrat nogi można obliczyć odejmując kwadrat znanej nogi od kwadratu przeciwprostokątnej. Mówiąc o tym, czym jest trójkąt, możemy również przypomnieć sobie trójkąt równoramienny. To taki, w którym dwa boki są równe i dwa kąty również są równe.
Co to jest noga i przeciwprostokątna?
Noga to jeden z boków trójkąta tworzącego kąt 90 stopni. Przeciwprostokątna to pozostała strona przeciwna prosty kąt. Możesz opuścić z niego prostopadłość na nogę. Stosunek sąsiedniej strony do przeciwprostokątnej nazywa się cosinusem, a stronę przeciwną nazywa się sinusem.
- jakie są jego cechy?
Jest prostokątny. Jego nogi mają trzy i cztery, a przeciwprostokątna pięć. Jeśli zobaczysz, że nogi danego trójkąta są równe trzy i cztery, możesz być pewien, że przeciwprostokątna będzie równa pięć. Ponadto, korzystając z tej zasady, można łatwo ustalić, że noga będzie równa trzy, jeśli druga będzie równa cztery, a przeciwprostokątna będzie równa pięć. Aby udowodnić to stwierdzenie, możesz zastosować twierdzenie Pitagorasa. Jeśli dwie nogi są równe 3 i 4, to 9 + 16 = 25, pierwiastek z 25 to 5, czyli przeciwprostokątna jest równa 5. Trójkąt egipski jest również trójkątem prostokątnym, którego boki wynoszą 6, 8 i 10 ; 9, 12 i 15 oraz inne liczby w stosunku 3:4:5.
Czym jeszcze mógłby być trójkąt?
Trójkąty można również wpisać lub opisać. Figurę, wokół której opisano okrąg, nazywa się wpisaną; wszystkie jej wierzchołki są punktami leżącymi na okręgu. Trójkąt opisany to taki, w który wpisano okrąg. Wszystkie jego boki stykają się z nim w pewnych punktach.
Jak się znajduje?
Powierzchnię dowolnej figury mierzy się w jednostkach kwadratowych (metry kwadratowe, milimetry kwadratowe, centymetry kwadratowe, decymetry kwadratowe itp.) Wartość tę można obliczyć na różne sposoby, w zależności od rodzaju trójkąta. Obszar dowolnej figury z kątami można znaleźć, mnożąc jej bok przez prostopadłą upuszczoną na nią z przeciwnego kąta i dzieląc tę figurę o dwa. Wartość tę można również znaleźć, mnożąc obie strony. Następnie pomnóż tę liczbę przez sinus kąta znajdującego się między tymi bokami i podziel wynik przez dwa. Znając wszystkie boki trójkąta, ale nie znając jego kątów, możesz znaleźć obszar w inny sposób. Aby to zrobić, musisz znaleźć połowę obwodu. Następnie na przemian odejmij od tej liczby różne strony i pomnóż otrzymane cztery wartości. Następnie znajdź na podstawie numeru, który wyszedł. Pole wpisanego trójkąta można obliczyć, mnożąc wszystkie boki i dzieląc uzyskaną liczbę przez liczbę opisaną wokół niego, pomnożoną przez cztery.
Pole opisanego trójkąta oblicza się w ten sposób: mnożymy połowę obwodu przez promień okręgu w niego wpisanego. Jeśli wówczas jego pole można obliczyć w następujący sposób: podnieś bok, pomnóż wynikową liczbę przez pierwiastek z trzech, a następnie podziel tę liczbę przez cztery. W podobny sposób możesz obliczyć wysokość trójkąta, w którym wszystkie boki są równe; w tym celu jeden z nich należy pomnożyć przez pierwiastek z trzech, a następnie podzielić podany numer o dwa.
Twierdzenia dotyczące trójkąta
Główne twierdzenia powiązane z tą figurą to opisane powyżej twierdzenie Pitagorasa i cosinusy. Drugie (o sinusach) polega na tym, że jeśli podzielisz dowolny bok przez sinus kąta leżącego naprzeciw niego, otrzymasz promień okręgu opisanego wokół niego pomnożony przez dwa. Trzecia (cosinusy) polega na tym, że jeśli od sumy kwadratów dwóch boków odejmiemy ich iloczyn pomnożony przez dwa i cosinus kąta znajdującego się między nimi, otrzymamy kwadrat trzeciego boku.
Trójkąt Dali – co to jest?
Wielu w obliczu tej koncepcji początkowo myśli, że jest to pewnego rodzaju definicja w geometrii, ale wcale tak nie jest. Trójkąt Dali jest nazwa zwyczajowa trzy miejsca ściśle związane z życiem znany artysta. Jego „szczytami” są dom, w którym mieszkał Salvador Dali, zamek, który podarował swojej żonie, a także muzeum malarstwa surrealistycznego. Zwiedzając te miejsca, można się wiele dowiedzieć. ciekawe fakty o tym wyjątkowym, twórczym artyście, znanym na całym świecie.
Być może najbardziej podstawową, prostą i interesującą figurą w geometrii jest trójkąt. Wiadomo szkoła średnia badane są jego podstawowe właściwości, jednak czasami wiedza na ten temat jest niepełna. Rodzaje trójkątów początkowo określają ich właściwości. Ale ten pogląd pozostaje mieszany. Dlatego teraz przyjrzyjmy się temu tematowi nieco bardziej szczegółowo.
Rodzaje trójkątów zależą od stopnia miary kątów. Liczby te są ostre, prostokątne i tępe. Jeśli wszystkie kąty nie przekraczają 90 stopni, wówczas figurę można bezpiecznie nazwać ostrą. Jeśli przynajmniej jeden kąt trójkąta wynosi 90 stopni, wówczas mamy do czynienia z podgatunkiem prostokątnym. Odpowiednio we wszystkich innych przypadkach rozważany nazywa się rozwartym.
Istnieje wiele problemów w przypadku podtypów o ostrym kącie. Osobliwość to wewnętrzne położenie punktów przecięcia dwusiecznych, środkowych i wysokości. W innych przypadkach warunek ten może nie zostać spełniony. Określenie rodzaju figury trójkąta nie jest trudne. Wystarczy znać np. cosinus każdego kąta. Jeśli jakiekolwiek wartości są mniejsze od zera, wówczas trójkąt jest w każdym przypadku rozwarty. W przypadku wskaźnika zerowego figura ma kąt prosty. Wszystkie wartości dodatnie z pewnością powiedzą Ci, że patrzysz na widok kątowy.
Nie sposób o tym nie powiedzieć prawy trójkąt. To jest najwięcej doskonały widok, gdzie pokrywają się wszystkie punkty przecięcia środkowych, dwusiecznych i wysokości. Środek okręgu wpisanego i opisanego również leży w tym samym miejscu. Aby rozwiązać problemy, musisz znać tylko jedną stronę, ponieważ początkowo podane są kąty, a pozostałe dwie strony są znane. Oznacza to, że liczba jest określona tylko przez jeden parametr. Istnieją główna cecha- równość dwóch boków i kątów u podstawy.
Czasami pojawia się pytanie, czy istnieje trójkąt o danych bokach. Tak naprawdę pytasz, czy podany opis pasuje do głównego gatunku. Na przykład, jeśli suma dwóch stron jest mniejsza niż trzecia, to w rzeczywistości taka liczba w ogóle nie istnieje. Jeśli zadanie wymaga znalezienia cosinusów kątów trójkąta o bokach 3,5,9, wówczas oczywistość można wyjaśnić bez skomplikowanych technik matematycznych. Załóżmy, że chcesz dostać się z punktu A do punktu B. Odległość w linii prostej wynosi 9 kilometrów. Pamiętałeś jednak, że musisz udać się do punktu C w sklepie. Odległość z A do C to 3 kilometry, a z C do B to 5. Okazuje się zatem, że poruszając się po sklepie, przejdziesz o jeden kilometr mniej. Ponieważ jednak punkt C nie leży na prostej AB, będziesz musiał przejść dodatkową odległość. Jest tu sprzeczność. Jest to oczywiście wyjaśnienie warunkowe. Matematyka zna więcej niż jeden sposób udowodnienia, że wszystkie typy trójkątów mają podstawową tożsamość. Mówi, że suma dwóch boków jest większa niż długość trzeciego.
Każdy typ ma następujące właściwości:
1) Suma wszystkich kątów wynosi 180 stopni.
2) Zawsze istnieje ortocentrum - punkt przecięcia wszystkich trzech wysokości.
3) Wszystkie trzy środkowe wyprowadzone z wierzchołków kątów wewnętrznych przecinają się w jednym miejscu.
4) Wokół dowolnego trójkąta można narysować okrąg. Można też wpisać okrąg tak, aby miał tylko trzy punkty styczności i nie wychodził poza zewnętrzne boki.
Teraz znasz podstawowe właściwości różnych typów trójkątów. W przyszłości ważne jest, aby zrozumieć, z czym masz do czynienia podczas rozwiązywania problemu.
Więcej dzieci wiek przedszkolny wie, jak wygląda trójkąt. Ale dzieci już zaczynają rozumieć, jak wygląda ich życie w szkole. Jednym z typów jest trójkąt rozwarty. Najłatwiej zrozumieć, co to jest, oglądając jego zdjęcie. I teoretycznie jest to tak zwany „najprostszy wielokąt” z trzema bokami i wierzchołkami, z których jeden jest
Zrozumienie pojęć
W geometrii istnieją tego typu figury z trzema bokami: trójkąty ostre, prostokątne i rozwarte. Co więcej, właściwości tych najprostszych wielokątów są takie same dla wszystkich. Tak, dla każdego wymienione typy taka nierówność zostanie zaobserwowana. Suma długości dowolnych dwóch boków będzie z konieczności większa niż długość trzeciego boku.
Aby jednak mieć pewność, że mówimy o pełnej figurze, a nie o zbiorze pojedynczych wierzchołków, należy sprawdzić, czy spełniony jest główny warunek: suma kątów trójkąta rozwartego wynosi 180 stopni . To samo dotyczy innych typów figur o trzech bokach. To prawda, że \u200b\u200bw trójkącie rozwartym jeden z kątów będzie nawet większy niż 90°, a pozostałe dwa z pewnością będą ostre. W tym przypadku jest to największy kąt, który będzie naprzeciwko najdłuższego boku. To prawda, że nie są to wszystkie właściwości trójkąta rozwartego. Ale nawet znając tylko te cechy, uczniowie mogą rozwiązać wiele problemów z geometrii.
Dla każdego wielokąta o trzech wierzchołkach prawdą jest również, że kontynuując którykolwiek z boków, otrzymamy kąt, którego wielkość będzie wynosić równa sumie dwa niesąsiadujące wierzchołki wewnętrzne. Obwód trójkąta rozwartego oblicza się w taki sam sposób, jak w przypadku innych kształtów. Jest równa sumie długości wszystkich jego boków. Aby to ustalić, matematycy opracowali różne wzory, w zależności od tego, jakie dane są początkowo obecne.
Poprawny styl
Jeden z najważniejsze warunki rozwiązywanie problemów z geometrii to poprawny rysunek. Nauczyciele matematyki często mówią, że pomoże to nie tylko zwizualizować sobie to, co jest dane i czego się od ciebie wymaga, ale także zbliży się o 80% do prawidłowej odpowiedzi. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, jak skonstruować trójkąt rozwarty. Jeśli potrzebujesz tylko figury hipotetycznej, możesz narysować dowolny wielokąt z trzema bokami, tak aby jeden z kątów był większy niż 90 stopni.
Jeżeli podane są pewne wartości długości boków lub stopni kątów, wówczas konieczne jest narysowanie zgodnie z nimi trójkąta rozwartego. W takim przypadku należy spróbować jak najdokładniej przedstawić kąty, obliczając je za pomocą kątomierza i wyświetlając boki proporcjonalnie do warunków podanych w zadaniu.
Główne linie
Często nie wystarczy, że uczniowie wiedzą tylko, jak powinny wyglądać określone liczby. Nie mogą ograniczać się jedynie do informacji, który trójkąt jest rozwarty, a który prawidłowy. Kurs matematyki wymaga, aby ich znajomość podstawowych cech figur była pełniejsza.
Zatem każdy uczeń powinien rozumieć definicję dwusiecznej, mediany, dwusiecznej prostopadłej i wzrostu. Ponadto musi znać ich podstawowe właściwości.
Zatem dwusieczne dzielą kąt na pół, a przeciwną stronę na odcinki proporcjonalne do sąsiednich boków.
Mediana dzieli dowolny trójkąt na dwa równe pola. W miejscu ich przecięcia każdy z nich jest podzielony na 2 segmenty w stosunku 2:1, patrząc od wierzchołka, z którego wyszedł. W tym przypadku duża mediana jest zawsze rysowana do najmniejszej strony.
Nie mniejszą uwagę przywiązuje się do wysokości. Jest to prostopadłe do strony przeciwnej do narożnika. Wysokość trójkąta rozwartego ma swoje własne cechy. Jeśli zostanie narysowany z ostrego wierzchołka, to nie skończy się na boku tego najprostszego wielokąta, ale na jego kontynuacji.
Dwusieczna prostopadła to odcinek rozciągający się od środka ściany trójkąta. Co więcej, jest on umieszczony pod kątem prostym do niego.
Praca z kręgami
Na początku nauki geometrii wystarczy, że dzieci zrozumieją, jak narysować trójkąt rozwarty, nauczą się odróżniać go od innych typów i zapamiętają jego podstawowe właściwości. Jednak dla uczniów szkół średnich ta wiedza już nie wystarczy. Na przykład na egzaminie Unified State Exam często pojawiają się pytania dotyczące okręgów ograniczonych i wpisanych. Pierwszy z nich dotyka wszystkich trzech wierzchołków trójkąta, a drugi ma jeden punkt wspólny ze wszystkimi bokami.
Konstruowanie wpisanego lub opisanego trójkąta rozwartego jest znacznie trudniejsze, ponieważ aby to zrobić, musisz najpierw dowiedzieć się, gdzie powinien znajdować się środek okręgu i jego promień. Nawiasem mówiąc, w tym przypadku niezbędnym narzędziem stanie się nie tylko ołówek z linijką, ale także kompas.
Te same trudności pojawiają się przy konstruowaniu wielokątów wpisanych z trzema bokami. Matematycy opracowali różne wzory, które pozwalają im możliwie najdokładniej określić swoje położenie.
Wpisane trójkąty
Jak wspomniano wcześniej, jeśli okrąg przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki, nazywa się go okręgiem opisanym. Jego główną cechą jest to, że jest wyjątkowy. Aby dowiedzieć się, jak powinien znajdować się okrąg opisany w trójkącie rozwartym, należy pamiętać, że jego środek znajduje się na przecięciu trzech dwusiecznych prostopadłych przechodzących na boki figury. Jeśli w wielokącie o kącie ostrym z trzema wierzchołkami ten punkt będzie się w nim znajdował, to w wielokącie o kącie rozwartym będzie poza nim.
Wiedząc na przykład, że jeden z boków trójkąta rozwartego jest równy jego promieniowi, możesz znaleźć kąt leżący naprzeciw znanej ściany. Jego sinus będzie równy wynikowi podzielenia długości znanego boku przez 2R (gdzie R jest promieniem okręgu). Oznacza to, że grzech kąta będzie równy ½. Oznacza to, że kąt będzie równy 150°.
Jeśli chcesz znaleźć promień obwodu rozwartego trójkąta, będziesz potrzebować informacji o długości jego boków (c, v, b) i jego powierzchni S. W końcu promień oblicza się w ten sposób: (c x v x b) : 4 x S. Swoją drogą nie ma znaczenia, jaki masz typ sylwetki: trójkąt rozwarty, równoramienny, prostokątny czy ostry. W każdej sytuacji dzięki powyższemu wzorowi można poznać pole danego wielokąta o trzech bokach.
Opisane trójkąty
Dość powszechną praktyką jest również praca z wpisanymi okręgami. Według jednego wzoru promień takiej figury pomnożony przez ½ obwodu będzie równy polu trójkąta. To prawda, aby to rozgryźć, musisz znać boki trójkąta rozwartego. W końcu, aby określić ½ obwodu, musisz dodać ich długości i podzielić przez 2.
Aby zrozumieć, gdzie powinien znajdować się środek okręgu wpisanego w trójkąt rozwarty, należy narysować trzy dwusieczne. To są linie przecinające rogi. To na ich przecięciu będzie znajdować się środek okręgu. W tym przypadku będzie w równej odległości od każdej strony.
Promień takiego okręgu wpisanego w trójkąt rozwarty jest równy ilorazowi (p-c) x (p-v) x (p-b): p. W tym przypadku p jest półobwodem trójkąta, c, v, b to jego boki.
Najprostszym wielokątem, którego uczy się w szkole, jest trójkąt. Jest bardziej zrozumiały dla uczniów i napotyka mniej trudności. Pomimo tego, że istnieją różne typy trójkątów, które mają specjalne właściwości.
Jaki kształt nazywa się trójkątem?
Utworzony przez trzy punkty i segmenty. Pierwsze z nich nazywane są wierzchołkami, drugie bokami. Ponadto wszystkie trzy segmenty muszą być połączone, aby między nimi utworzyły się kąty. Stąd nazwa figury „trójkąt”.
Różnice w nazwach w rogach
Ponieważ mogą być ostre, tępe i proste, rodzaje trójkątów są określone przez te nazwy. W związku z tym istnieją trzy grupy takich postaci.
- Pierwszy. Jeśli wszystkie kąty trójkąta są ostre, wówczas nazwiemy go ostrym. Wszystko jest logiczne.
- Drugi. Jeden z kątów jest rozwarty, co oznacza, że trójkąt jest rozwarty. To nie mogłoby być prostsze.
- Trzeci. Istnieje kąt równy 90 stopniom, który nazywa się kątem prostym. Trójkąt staje się prostokątny.
Różnice w nazwach po bokach
W zależności od charakterystyki boków wyróżnia się następujące typy trójkątów:
ogólnym przypadkiem jest skalen, w którym wszystkie boki mają dowolną długość;
równoramienne, których dwa boki mają te same wartości liczbowe;
równoboczny, długości wszystkich jego boków są takie same.
Jeśli problem nie określa konkretnego typu trójkąta, musisz narysować dowolny. W którym wszystkie rogi są ostre, a boki mają różną długość.
Właściwości wspólne dla wszystkich trójkątów
- Jeśli dodasz wszystkie kąty trójkąta, otrzymasz liczbę równą 180°. I nie ma znaczenia, jaki to rodzaj. Ta zasada obowiązuje zawsze.
- Wartość liczbowa dowolnego boku trójkąta jest mniejsza niż pozostałe dwa dodane do siebie. Co więcej, jest większa niż ich różnica.
- Każdy kąt zewnętrzny ma wartość, którą uzyskuje się przez dodanie dwóch kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują. Co więcej, jest zawsze większy niż sąsiadujący z nim wewnętrzny.
- Najmniejszy kąt leży zawsze naprzeciwko mniejszego boku trójkąta. I odwrotnie, jeśli bok jest duży, kąt będzie największy.
Te właściwości są zawsze ważne, niezależnie od tego, jakie typy trójkątów są brane pod uwagę w zadaniach. Cała reszta wynika z konkretnych funkcji.
Właściwości trójkąta równoramiennego
- Kąty przylegające do podstawy są równe.
- Wysokość narysowana do podstawy jest jednocześnie medianą i dwusieczną.
- Wysokości, środkowe i dwusieczne zbudowane na bokach trójkąta są sobie odpowiednio równe.
Właściwości trójkąta równobocznego
Jeśli istnieje taka liczba, wówczas wszystkie właściwości opisane nieco powyżej będą prawdziwe. Ponieważ równobok zawsze będzie równoramienny. Ale nie odwrotnie; trójkąt równoramienny niekoniecznie będzie równoboczny.
- Wszystkie jego kąty są sobie równe i mają wartość 60°.
- Dowolna mediana trójkąt równoboczny to jego wysokość i dwusieczna. Co więcej, wszyscy są sobie równi. Aby określić ich wartości, istnieje wzór składający się z iloczynu boku i pierwiastka kwadratowego z 3 podzielonego przez 2.
Właściwości trójkąta prostokątnego
- Dwa kąty ostre sumują się do 90°.
- Długość przeciwprostokątnej jest zawsze większa niż długość którejkolwiek z nóg.
- Wartość liczbowa mediany poprowadzonej do przeciwprostokątnej jest równa jej połowie.
- Noga ma tę samą wartość, jeśli leży naprzeciwko kąta 30°.
- Wysokość, która jest pobierana z wierzchołka o wartości 90°, ma pewną matematyczną zależność od nóg: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Tutaj: a, b - nogi, n - wysokość.
Zadania z różnymi typami trójkątów
nr 1. Biorąc pod uwagę trójkąt równoramienny. Jego obwód jest znany i wynosi 90 cm. Musimy obliczyć jego boki. Jako dodatkowy warunek: bok boczny jest 1,2 razy mniejszy od podstawy.
Wartość obwodu zależy bezpośrednio od ilości, które należy znaleźć. Suma wszystkich trzech boków da 90 cm. Teraz musisz zapamiętać znak trójkąta, zgodnie z którym jest to równoramienny. Oznacza to, że obie strony są równe. Możesz utworzyć równanie z dwiema niewiadomymi: 2a + b = 90. Tutaj a to bok, b to podstawa.
Teraz czas na dodatkowy warunek. Następnie otrzymuje się drugie równanie: b = 1,2a. Możesz zastąpić to wyrażenie pierwszym. Okazuje się, że: 2a + 1,2a = 90. Po przekształceniach: 3,2a = 90. Stąd a = 28,125 (cm). Teraz łatwo jest znaleźć podstawę. Najlepiej zrobić to z drugiego warunku: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).
Aby to sprawdzić, możesz dodać trzy wartości: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Zgadza się.
Odpowiedź: Boki trójkąta mają długość 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
Nr 2. Bok trójkąta równobocznego ma długość 12 cm. Należy obliczyć jego wysokość.
Rozwiązanie. Aby znaleźć odpowiedź, wystarczy wrócić do momentu, w którym opisano właściwości trójkąta. To jest wzór na znalezienie wysokości, środkowej i dwusiecznej trójkąta równobocznego.
n = a * √3 / 2, gdzie n to wysokość, a a to bok.
Podstawienie i obliczenia dają następujący wynik: n = 6 √3 (cm).
Nie ma potrzeby zapamiętywania tej formuły. Wystarczy pamiętać, że wysokość dzieli trójkąt na dwa prostokątne. Co więcej, okazuje się, że jest to noga, a przeciwprostokątna w niej jest stroną pierwotnej, druga noga to połowa znanego boku. Teraz musisz zapisać twierdzenie Pitagorasa i wyprowadzić wzór na wysokość.
Odpowiedź: wysokość wynosi 6 √3 cm.
Nr 3. Biorąc pod uwagę, że MKR jest trójkątem, w którym kąt K ma 90 stopni, znane są boki MR i KR, które mają odpowiednio 30 i 15 cm. Musimy obliczyć wartość kąta P.
Rozwiązanie. Jeśli wykonasz rysunek, stanie się jasne, że MR jest przeciwprostokątną. Ponadto jest dwukrotnie większy od boku KR. Ponownie musisz zwrócić się do właściwości. Jeden z nich dotyczy kątów. Z tego jasno wynika, że kąt KMR wynosi 30°. Oznacza to, że pożądany kąt P będzie równy 60°. Wynika to z innej własności, która stwierdza, że suma dwóch ostre zakręty powinien wynosić 90°.
Odpowiedź: kąt P wynosi 60°.
nr 4. Musimy znaleźć wszystkie kąty trójkąta równoramiennego. Wiadomo o tym, że kąt zewnętrzny od kąta przy podstawie wynosi 110°.
Rozwiązanie. Ponieważ podany jest tylko kąt zewnętrzny, należy go użyć. Tworzy kąt rozłożony z kątem wewnętrznym. Oznacza to, że w sumie dadzą 180°. Oznacza to, że kąt u podstawy trójkąta będzie równy 70°. Ponieważ jest to równoramienny, drugi kąt ma tę samą wartość. Pozostaje obliczyć trzeci kąt. Zgodnie z właściwością wspólną dla wszystkich trójkątów suma kątów wynosi 180°. Oznacza to, że trzeci będzie zdefiniowany jako 180° - 70° - 70° = 40°.
Odpowiedź: kąty wynoszą 70°, 70°, 40°.
Nr 5. Wiadomo, że w trójkącie równoramiennym kąt leżący naprzeciwko podstawy wynosi 90°. Na podstawie jest zaznaczony punkt. Odcinek łączący go pod kątem prostym dzieli go w stosunku od 1 do 4. Musisz znaleźć wszystkie kąty mniejszego trójkąta.
Rozwiązanie. Można natychmiast wyznaczyć jeden z kątów. Ponieważ trójkąt jest prostokątny i równoramienny, te leżące u jego podstawy będą miały po 45° każdy, czyli 90°/2.
Drugi z nich pomoże Ci znaleźć zależność znaną w warunku. Ponieważ jest równy 1 do 4, to części, na które jest podzielony, jest tylko 5. Oznacza to, że aby znaleźć mniejszy kąt trójkąta, potrzebujesz 90°/5 = 18°. Pozostaje dowiedzieć się trzeciego. Aby to zrobić, należy odjąć 45° i 18° od 180° (suma wszystkich kątów trójkąta). Obliczenia są proste i otrzymujesz: 117°.
Studiując matematykę, uczniowie zaczynają zapoznawać się z różnymi jej rodzajami kształty geometryczne. Dzisiaj porozmawiamy o różne typy trójkąty.
Definicja
Figury geometryczne składające się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii, nazywane są trójkątami.
Odcinki łączące punkty nazywane są bokami, a punkty wierzchołkami. Wierzchołki oznacza się wielkimi literami, np.: A, B, C.
Boki są oznaczone nazwami dwóch punktów, z których się składają - AB, BC, AC. Przecinając się, boki tworzą kąty. Dolna strona jest uważana za podstawę figury.
Ryż. 1. Trójkąt ABC.
Rodzaje trójkątów
Trójkąty są klasyfikowane według kątów i boków. Każdy typ trójkąta ma swoje własne właściwości.
W rogach znajdują się trzy rodzaje trójkątów:
- ostry kąt;
- prostokątny;
- rozwartokątny.
Wszystkie kąty ostry kąt trójkąty są ostre, tzn miara stopnia każdy nie jest większy niż 90 0.
Prostokątny trójkąt zawiera kąt prosty. Pozostałe dwa kąty będą zawsze ostre, ponieważ w przeciwnym razie suma kątów trójkąta przekroczy 180 stopni, a to jest niemożliwe. Strona przeciwna do kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną, a pozostałe dwie nazywane są nogami. Przeciwprostokątna jest zawsze większa niż noga.
Rozwarty trójkąt zawiera kąt rozwarty. Oznacza to, że kąt jest większy niż 90 stopni. Pozostałe dwa kąty w takim trójkącie będą ostre.
Ryż. 2. Rodzaje trójkątów w narożnikach.
Trójkąt pitagorejski to prostokąt, którego boki wynoszą 3, 4, 5.
Co więcej, większy bok to przeciwprostokątna.
Takie trójkąty są często używane do wykonania proste zadania w geometrii. Dlatego pamiętaj: jeśli dwa boki trójkąta są równe 3, to trzeci na pewno będzie 5. To uprości obliczenia.
Rodzaje trójkątów po bokach:
- równoboczny;
- równoramienny;
- wszechstronny.
Równoboczny Trójkąt to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe. Wszystkie kąty takiego trójkąta są równe 60 0, czyli zawsze są ostre.
Równoramienny trójkąt - trójkąt mający tylko dwa boki równe. Boki te nazywane są bocznymi, a trzecia nazywana jest podstawą. Ponadto kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe i zawsze ostre.
Wszechstronny lub dowolny trójkąt to trójkąt, w którym wszystkie długości i wszystkie kąty nie są sobie równe.
Jeśli problem nie zawiera żadnych wyjaśnień dotyczących figury, ogólnie przyjmuje się, że mówimy o dowolnym trójkącie.
Ryż. 3. Rodzaje trójkątów po bokach.
Suma wszystkich kątów trójkąta, niezależnie od jego typu, wynosi 1800.
Naprzeciwko większego kąta znajduje się większy bok. A także długość dowolnego boku jest zawsze mniejsza niż suma jego dwóch pozostałych boków. Właściwości te potwierdza twierdzenie o nierówności trójkąta.
Istnieje koncepcja złotego trójkąta. To jest trójkąt równoramienny z dwoma strony proporcjonalna do podstawy i równa pewna liczba. Na takiej figurze kąty są proporcjonalne do stosunku 2:2:1.
Zadanie:
Czy istnieje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Rozwiązanie:
Aby rozwiązać tego zadania musisz skorzystać z nierówności a
Czego się nauczyliśmy?
Z tego materiału Z zajęć z matematyki w piątej klasie dowiedzieliśmy się, że trójkąty klasyfikuje się ze względu na ich boki i wielkość kątów. Trójkąty mają pewne właściwości, które można wykorzystać do rozwiązywania problemów.