Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie jednolitego egzaminu państwowego z matematyki na 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.
Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.
Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania złożone zadania 2 części jednolitego egzaminu państwowego.
Aby rozwiązać problemy z geometrią, musisz znać wzory - takie jak pole trójkąta lub pole równoległoboku - a także proste techniki, które omówimy.
Najpierw nauczmy się wzorów na pola figur. Specjalnie zebraliśmy je w wygodnym stoliku. Drukuj, ucz się i aplikuj!
Oczywiście nie wszystkie wzory geometrii znajdują się w naszej tabeli. Na przykład, aby rozwiązać problemy z geometrii i stereometrii w drugiej części profilu Unified State Examination z matematyki, stosuje się inne wzory na pole trójkąta. Na pewno o nich opowiemy.
Ale co, jeśli chcesz znaleźć nie obszar trapezu lub trójkąta, ale obszar jakiejś złożonej figury? Istnieją uniwersalne sposoby! Pokażemy je na przykładach z banku zadań FIPI.
1. Jak znaleźć obszar niestandardowej figury? Na przykład dowolny czworokąt? Prosta technika - podzielmy tę figurę na te, o których wiemy wszystko i znajdźmy jej pole - jako sumę pól tych figur.
Podziel ten czworokąt linią poziomą na dwa trójkąty o wspólnej podstawie równej . Wysokości tych trójkątów są równe i . Następnie pole czworoboku jest równe sumie pól dwóch trójkątów: .
Odpowiedź: .
2. W niektórych przypadkach obszar figury można przedstawić jako różnicę niektórych obszarów.
Nie jest łatwo obliczyć, ile wynosi podstawa i wysokość tego trójkąta! Ale możemy powiedzieć, że jego powierzchnia jest równa różnicy między obszarami kwadratu o boku i trzema trójkąty prostokątne. Czy widzisz je na zdjęciu? Otrzymujemy: .
Odpowiedź: .
3. Czasami w zadaniu trzeba znaleźć obszar nie całej figury, ale jej część. Zwykle mówimy o obszarze sektora - części koła. Znajdź obszar sektora koła o promieniu, którego długość łuku jest równa .
Na tym zdjęciu widzimy część koła. Pole całego koła jest równe. Pozostaje dowiedzieć się, która część koła jest przedstawiona. Ponieważ długość całego koła jest równa (ponieważ) i długość łuku danego sektora jest równa, dlatego długość łuku jest współczynnikiem mniejszym niż długość całego koła. Kąt, pod którym spoczywa ten łuk, jest również czynnikiem mniejszym niż pełne koło (to znaczy stopni). Oznacza to, że powierzchnia sektora będzie kilkakrotnie mniejsza niż powierzchnia całego koła.
Starożytni Egipcjanie stosowali metody obliczania pól różnych figur, podobne do naszych metod.
W moich książkach „Początki” dość to opisał słynny starożytny grecki matematyk Euklides duża liczba metody obliczania pól wielu figury geometryczne. Pierwsze rękopisy na Rusi zawierające informacje geometryczne powstały w XVI wieku. Opisują zasady znajdowania pól figur o różnych kształtach.
Dziś z pomocą nowoczesne metody możesz znaleźć obszar dowolnej figury z dużą dokładnością.
Rozważmy jedną z najprostszych figur - prostokąt - i wzór na znalezienie jego pola.
Wzór na pole prostokąta
Rozważmy figurę (ryc. 1), która składa się z kwadratów o boku 1 $ cm o boku 1 $. Pole jednego kwadratu o boku 1 $ cm nazywa się centymetrem kwadratowym i zapisuje się $1\ cm^2. $.
Pole tej figury (ryc. 1) będzie równe 8\cm^2$.
Pole figury, którą można podzielić na kilka kwadratów o boku 1 $\ cm$ (na przykład $p$) będzie równe $p\ cm^2$.
Innymi słowy, pole figury będzie równe tyle $cm^2$, ile kwadratów o boku 1 $\ cm$ można podzielić tą figurą.
Rozważmy prostokąt (ryc. 2), który składa się z pasków o wartości 3 $, z których każdy jest podzielony na kwadraty o długości 5 $ i boku 1 $ cm $. cały prostokąt składa się z $5\cdot 3=15$ takich kwadratów, a jego pole wynosi $15\cm^2$.
Obrazek 1.
Rysunek 2.
Obszar cyfr jest zwykle oznaczany literą $S$.
Aby znaleźć pole prostokąta, należy pomnożyć jego długość przez szerokość.
Jeżeli jego długość oznaczymy literą $a$, a szerokość literą $b$, to wzór na pole prostokąta będzie wyglądał następująco:
Definicja 1
Liczby nazywają się równy jeżeli po nałożeniu na siebie liczby pokrywają się. Mają równe liczby równe obszary i równe obwody.
Pole figury można obliczyć jako sumę pól jej części.
Przykład 1
Na przykład na rysunku $3$ prostokąt $ABCD$ jest podzielony na dwie części linią $KLMN$. Pole jednej części wynosi 12 $ cm^2 $, a drugiej 9 $ cm^2 $. Wtedy pole prostokąta $ABCD$ będzie równe $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Znajdź obszar prostokąta, korzystając ze wzoru:
Jak widać obszary znalezione obiema metodami są równe.
Rysunek 3.
Rysunek 4.
Odcinek $AC$ dzieli prostokąt na dwie części równy trójkąt: $ABC$ i $ADC$. Oznacza to, że powierzchnia każdego trójkąta jest równa połowie powierzchni całego prostokąta.
Definicja 2
Nazywa się prostokąt o równych bokach kwadrat.
Jeśli oznaczymy bok kwadratu literą $a$, wówczas pole kwadratu zostanie określone według wzoru:
Stąd nazwa kwadratu liczby $a$.
Przykład 2
Na przykład, jeśli bok kwadratu wynosi 5 $ cm, to jego pole wynosi:
Wolumeny
Wraz z rozwojem handlu i budownictwa, nawet w czasach starożytnych cywilizacji, pojawiła się potrzeba odnajdywania tomów. W matematyce istnieje dział geometrii zajmujący się badaniem figur przestrzennych, zwany stereometrią. Wzmianki o tej odrębnej gałęzi matematyki znaleziono już w IV wieku p.n.e.
Starożytni matematycy opracowali metodę obliczania objętości prostych figur - sześcianu i równoległościanu. Wszystkie budynki tamtych czasów miały taki kształt. Ale później znaleziono metody obliczania objętości figur o bardziej złożonych kształtach.
Objętość równoległościanu prostokątnego
Jeśli wypełnisz formę mokrym piaskiem, a następnie ją odwrócisz, otrzymasz trójwymiarową figurę charakteryzującą się objętością. Jeśli wykonasz kilka takich figur przy użyciu tej samej formy, otrzymasz figury o tej samej objętości. Jeśli napełnisz formę wodą, objętość wody i objętość figurki piasku również będą równe.
Rysunek 5.
Można porównać objętości dwóch naczyń, napełniając jedno wodą i wlewając ją do drugiego naczynia. Jeśli drugie naczynie jest całkowicie wypełnione, wówczas naczynia mają równe objętości. Jeśli w pierwszym naczyniu pozostaje woda, wówczas objętość pierwszego naczynia jest większa niż objętość drugiego. Jeżeli podczas nalewania wody z pierwszego naczynia nie jest możliwe całkowite napełnienie drugiego naczynia, wówczas objętość pierwszego naczynia jest mniejsza niż objętość drugiego.
Objętość mierzy się za pomocą następujących jednostek:
$mm^3$ -- milimetr sześcienny,
$cm^3$ -- centymetr sześcienny,
$dm^3$ -- decymetr sześcienny,
$m^3$ -- metr sześcienny,
$km^3$ -- kilometr sześcienny.
Starożytni Egipcjanie stosowali metody obliczania pól różnych figur, podobne do naszych metod.
W moich książkach „Początki” Słynny starożytny grecki matematyk Euklides opisał dość dużą liczbę sposobów obliczania pól wielu figur geometrycznych. Pierwsze rękopisy na Rusi zawierające informacje geometryczne powstały w XVI wieku. Opisują zasady znajdowania pól figur o różnych kształtach.
Dziś, korzystając z nowoczesnych metod, można z dużą dokładnością znaleźć obszar dowolnej figury.
Rozważmy jedną z najprostszych figur - prostokąt - i wzór na znalezienie jego pola.
Wzór na pole prostokąta
Rozważmy figurę (ryc. 1), która składa się z kwadratów o boku 1 $ cm o boku 1 $. Pole jednego kwadratu o boku 1 $ cm nazywa się centymetrem kwadratowym i zapisuje się $1\ cm^2. $.
Pole tej figury (ryc. 1) będzie równe 8\cm^2$.
Pole figury, którą można podzielić na kilka kwadratów o boku 1 $\ cm$ (na przykład $p$) będzie równe $p\ cm^2$.
Innymi słowy, pole figury będzie równe tyle $cm^2$, ile kwadratów o boku 1 $\ cm$ można podzielić tą figurą.
Rozważmy prostokąt (ryc. 2), który składa się z pasków o wartości 3 $, z których każdy jest podzielony na kwadraty o długości 5 $ i boku 1 $ cm $. cały prostokąt składa się z $5\cdot 3=15$ takich kwadratów, a jego pole wynosi $15\cm^2$.
Obrazek 1.
Rysunek 2.
Obszar cyfr jest zwykle oznaczany literą $S$.
Aby znaleźć pole prostokąta, należy pomnożyć jego długość przez szerokość.
Jeżeli jego długość oznaczymy literą $a$, a szerokość literą $b$, to wzór na pole prostokąta będzie wyglądał następująco:
Definicja 1
Liczby nazywają się równy jeżeli po nałożeniu na siebie liczby pokrywają się. Równe figury mają równe pola i równe obwody.
Pole figury można obliczyć jako sumę pól jej części.
Przykład 1
Na przykład na rysunku $3$ prostokąt $ABCD$ jest podzielony na dwie części linią $KLMN$. Pole jednej części wynosi 12 $ cm^2 $, a drugiej 9 $ cm^2 $. Wtedy pole prostokąta $ABCD$ będzie równe $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Znajdź obszar prostokąta, korzystając ze wzoru:
Jak widać obszary znalezione obiema metodami są równe.
Rysunek 3.
Rysunek 4.
Odcinek $AC$ dzieli prostokąt na dwa równe trójkąty: $ABC$ i $ADC$. Oznacza to, że powierzchnia każdego trójkąta jest równa połowie powierzchni całego prostokąta.
Definicja 2
Nazywa się prostokąt o równych bokach kwadrat.
Jeśli oznaczymy bok kwadratu literą $a$, wówczas pole kwadratu zostanie określone według wzoru:
Stąd nazwa kwadratu liczby $a$.
Przykład 2
Na przykład, jeśli bok kwadratu wynosi 5 $ cm, to jego pole wynosi:
Wolumeny
Wraz z rozwojem handlu i budownictwa, nawet w czasach starożytnych cywilizacji, pojawiła się potrzeba odnajdywania tomów. W matematyce istnieje dział geometrii zajmujący się badaniem figur przestrzennych, zwany stereometrią. Wzmianki o tej odrębnej gałęzi matematyki znaleziono już w IV wieku p.n.e.
Starożytni matematycy opracowali metodę obliczania objętości prostych figur - sześcianu i równoległościanu. Wszystkie budynki tamtych czasów miały taki kształt. Ale później znaleziono metody obliczania objętości figur o bardziej złożonych kształtach.
Objętość równoległościanu prostokątnego
Jeśli wypełnisz formę mokrym piaskiem, a następnie ją odwrócisz, otrzymasz trójwymiarową figurę charakteryzującą się objętością. Jeśli wykonasz kilka takich figur przy użyciu tej samej formy, otrzymasz figury o tej samej objętości. Jeśli napełnisz formę wodą, objętość wody i objętość figurki piasku również będą równe.
Rysunek 5.
Można porównać objętości dwóch naczyń, napełniając jedno wodą i wlewając ją do drugiego naczynia. Jeśli drugie naczynie jest całkowicie wypełnione, wówczas naczynia mają równe objętości. Jeśli w pierwszym naczyniu pozostaje woda, wówczas objętość pierwszego naczynia jest większa niż objętość drugiego. Jeżeli podczas nalewania wody z pierwszego naczynia nie jest możliwe całkowite napełnienie drugiego naczynia, wówczas objętość pierwszego naczynia jest mniejsza niż objętość drugiego.
Objętość mierzy się za pomocą następujących jednostek:
$mm^3$ -- milimetr sześcienny,
$cm^3$ -- centymetr sześcienny,
$dm^3$ -- decymetr sześcienny,
$m^3$ -- metr sześcienny,
$km^3$ -- kilometr sześcienny.
Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.
Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.
Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.