Točkovni produkt vektorjev

Še naprej se ukvarjamo z vektorji. Na prvi lekciji Vektorji za lutke Ogledali smo si pojem vektorja, dejanja z vektorji, vektorske koordinate in najenostavnejše probleme z vektorji. Če ste na to stran prišli prvič iz iskalnika, vam toplo priporočam branje zgornjega uvodnega članka, saj je za obvladovanje snovi potrebno poznati izraze in oznake, ki jih uporabljam, imeti osnovno znanje o vektorjih in biti sposoben rešiti osnovne probleme. Ta lekcija je logično nadaljevanje teme, na njej pa bom podrobno analiziral tipične naloge, ki uporabljajo skalarni produkt vektorjev. To je ZELO POMEMBNA dejavnost.. Poskusite ne preskočiti primerov; prihajajo z koristnim bonusom - praksa vam bo pomagala utrditi gradivo, ki ste ga obravnavali, in postati boljši pri reševanju običajnih problemov v analitični geometriji.

Seštevanje vektorjev, množenje vektorja s številom.... Naivno bi bilo misliti, da se matematiki niso domislili česa drugega. Poleg že obravnavanih dejanj obstaja še vrsta drugih operacij z vektorji, in sicer: pikčasti produkt vektorjev, vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev. Skalarni produkt vektorjev poznamo iz šole, druga dva produkta tradicionalno spadata v predmet višje matematike. Teme so preproste, algoritem za reševanje številnih problemov je preprost in razumljiv. Edina stvar. Obstaja dostojna količina informacij, zato je nezaželeno poskušati obvladati in rešiti VSE HENRAT. To še posebej velja za lutke; verjemite mi, avtor se nikakor ne želi počutiti kot Čikatilo iz matematike. No, tudi iz matematike ne =) Bolj pripravljeni učenci lahko gradivo uporabijo selektivno, v določenem smislu "pridobijo" manjkajoče znanje; za vas bom neškodljiv grof Drakula =)

Končno odprimo vrata in z navdušenjem opazujmo, kaj se zgodi, ko se srečata dva vektorja...

Definicija skalarnega produkta vektorjev.
Lastnosti skalarnega produkta. Tipična opravila

Koncept pikčastega produkta

Najprej o kot med vektorji. Mislim, da vsi intuitivno razumejo, kakšen je kot med vektorji, vendar za vsak slučaj malo več podrobnosti. Razmislimo o prostih neničelnih vektorjih in . Če te vektorje narišete iz poljubne točke, boste dobili sliko, ki so si jo mnogi že zamislili v mislih:

Priznam, tukaj sem situacijo opisal le na ravni razumevanja. Če potrebujete strogo definicijo kota med vektorji, se obrnite na učbenik; za praktične probleme ga načeloma ne potrebujemo. Tudi TUKAJ IN TUKAJ bom ponekod prezrl ničelne vektorje zaradi njihovega majhnega praktičnega pomena. Pridržal sem se posebej za napredne obiskovalce spletnega mesta, ki mi lahko očitajo teoretično nepopolnost nekaterih poznejših trditev.

lahko sprejme vrednosti od 0 do 180 stopinj (0 do vključno radianov). Analitično to dejstvo zapisano kot dvojna neenakost: oz (v radianih).

V literaturi je simbol kota pogosto preskočen in preprosto zapisan.

definicija: Skalarni produkt dveh vektorjev je ŠTEVILO, ki je enako produktu dolžin teh vektorjev in kosinusa kota med njima:

Zdaj je to precej stroga definicija.

Osredotočamo se na bistvene informacije:

Oznaka: skalarni produkt označimo z ali preprosto.

Rezultat operacije je ŠTEVILO: Vektor se pomnoži z vektorjem in rezultat je število. Če so dolžine vektorjev števila, je kosinus kota število, potem je njihov produkt bo tudi številka.

Samo nekaj primerov ogrevanja:

Primer 1

rešitev: Uporabljamo formulo . IN v tem primeru:

odgovor:

Kosinusne vrednosti najdete v trigonometrična tabela. Priporočam, da ga natisnete - potreben bo v skoraj vseh delih stolpa in potreben bo večkrat.

S čisto matematičnega vidika je skalarni produkt brezrazsežen, to pomeni, da je rezultat v tem primeru samo število in to je to. Z vidika fizikalnih problemov ima skalarni produkt vedno določen fizikalni pomen, to je, da je treba za rezultatom navesti eno ali drugo fizikalno enoto. Kanonični primer kako izračunati delo sile najdete v vsakem učbeniku (formula je točno skalarni produkt). Delo sile se meri v joulih, zato bo odgovor napisan precej natančno, na primer .

Primer 2

Poiščite, če , kot med vektorjema pa je enak .

To je primer, ki ga morate rešiti sami, odgovor je na koncu lekcije.

Kot med vektorji in vrednostjo pikčastega produkta

V 1. primeru se je skalarni produkt izkazal za pozitivnega, v 2. primeru pa za negativnega. Ugotovimo, od česa je odvisen predznak skalarnega produkta. Poglejmo našo formulo: . Dolžine neničelnih vektorjev so vedno pozitivne: , zato je predznak lahko odvisen samo od vrednosti kosinusa.

Opomba: Za boljše razumevanje spodnjih informacij je bolje preučiti kosinusni graf v priročniku Funkcijski grafi in lastnosti. Oglejte si, kako se kosinus obnaša na segmentu.

Kot smo že omenili, se lahko kot med vektorji spreminja znotraj , možni pa so naslednji primeri:

1) Če kotiček med vektorji začinjeno: (od 0 do 90 stopinj), nato , In pikčasti produkt bo pozitiven sorežiral, potem se kot med njima šteje za nič, skalarni produkt pa bo tudi pozitiven. Ker , je formula poenostavljena: .

2) Če kotiček med vektorji topi: (od 90 do 180 stopinj), nato , in v skladu s tem pikčasti produkt je negativen: . Poseben primer: če vektorji nasprotne smeri, potem se upošteva kot med njima razširjeno: (180 stopinj). Tudi skalarni produkt je negativen, saj

Veljajo tudi obratne trditve:

1) Če je , potem je kot med tema vektorjema oster. Druga možnost je, da so vektorji sosmerni.

2) Če je , potem je kot med tema vektorjema top. Druga možnost je, da sta vektorja v nasprotnih smereh.

Toda tretji primer je še posebej zanimiv:

3) Če kotiček med vektorji neposredno: (90 stopinj), potem skalarni produkt je nič: . Velja tudi obratno: če , potem . Izjavo je mogoče strnjeno formulirati na naslednji način: Skalarni produkt dveh vektorjev je nič, če in samo če sta vektorja pravokotna. Kratek matematični zapis:

! Opomba : Ponovimo osnove matematične logike: dvostranska logična ikona posledice se običajno bere "če in samo če", "če in samo če". Kot lahko vidite, so puščice usmerjene v obe smeri - "iz tega sledi to in obratno - iz tega sledi to." Mimogrede, kakšna je razlika od ikone enosmernega sledenja? Ikona navaja samo to, da »iz tega sledi to«, in ni dejstvo, da je ravno obratno. Na primer: , vendar ni vsaka žival panter, zato v tem primeru ne morete uporabiti ikone. Hkrati pa namesto ikone Lahko uporabite enostransko ikono. Na primer, pri reševanju naloge smo ugotovili, da smo ugotovili, da so vektorji pravokotni: - takšen vnos bo pravilen in celo bolj primeren kot .

Tretji primer ima velik praktični pomen, saj omogoča preverjanje, ali so vektorji pravokotni ali ne. To težavo bomo rešili v drugem delu lekcije.

Lastnosti pikčastega produkta

Vrnimo se k situaciji, ko sta dva vektorja sorežiral. V tem primeru je kot med njima enak nič, , formula skalarnega produkta pa ima obliko: .

Kaj se zgodi, če vektor pomnožimo samega s seboj? Jasno je, da je vektor poravnan sam s seboj, zato uporabimo zgornjo poenostavljeno formulo:

Številka je poklicana skalarni kvadrat vektorja in so označeni kot .

torej skalarni kvadrat vektor je enak kvadratu dolžine danega vektorja:

Iz te enakosti lahko dobimo formulo za izračun dolžine vektorja:

Zaenkrat se zdi nejasno, toda cilji lekcije bodo vse postavili na svoje mesto. Za reševanje težav, ki jih potrebujemo tudi lastnosti pikčastega produkta.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) – komutativni oz komutativni zakon skalarnega produkta.

2) – distribucija oz razdelilni zakon skalarnega produkta. Preprosto, lahko odprete oklepaje.

3) – asociativne oz asociativno zakon skalarnega produkta. Konstanto lahko izpeljemo iz skalarnega produkta.

Študenti pogosto dojemajo najrazličnejše lastnosti (ki jih je treba tudi dokazati!) kot nepotrebno kramo, ki si jo je treba le zapomniti in takoj po izpitu varno pozabiti. Zdi se, kaj je tukaj pomembno, vsi že od prvega razreda vedo, da preurejanje faktorjev ne spremeni produkta: . Moram vas opozoriti, da je v višji matematiki s takšnim pristopom enostavno kaj zamočiti. Torej, na primer, komutativna lastnost ne velja za algebraične matrike. Prav tako ne drži za vektorski produkt vektorjev. Zato je vsaj bolje, da se poglobite v vse lastnosti, na katere naletite v tečaju višje matematike, da bi razumeli, kaj je mogoče storiti in česa ne.

Primer 3

.

rešitev: Najprej razjasnimo situacijo z vektorjem. Kaj je to sploh? Vsota vektorjev je natančno definiran vektor, ki ga označimo z . Geometrično interpretacijo dejanj z vektorji najdete v članku Vektorji za lutke. Isti peteršilj z vektorjem je vsota vektorjev in .

Torej, glede na pogoj, je treba najti skalarni produkt. Teoretično se morate prijaviti delovna formula , a težava je v tem, da ne poznamo dolžin vektorjev in kota med njimi. Toda pogoj daje podobne parametre za vektorje, zato bomo ubrali drugačno pot:

(1) Zamenjajte izraze vektorjev.

(2) Odpiramo oklepaje po pravilu za množenje polinomov, vulgarno zvijalko najdete v članku Kompleksna števila oz Integracija frakcijsko-racionalne funkcije. Ne bom se ponavljal =) Mimogrede, lastnost distribucije skalarnega produkta nam omogoča, da odpremo oklepaje. Imamo pravico.

(3) V prvi in ​​zadnji člen strnjeno zapišemo skalarne kvadrate vektorjev: . V drugem členu uporabimo komutabilnost skalarnega produkta: .

(4) Predstavljamo podobne izraze: .

(5) V prvem členu uporabimo nedolgo nazaj omenjeno formulo skalarnega kvadrata. V zadnjem mandatu torej deluje isto: . Drugi člen razširimo po standardni formuli .

(6) Nadomestite te pogoje , in PREVIDNO opravite končne izračune.

odgovor:

Negativna vrednost Skalarni produkt navaja dejstvo, da je kot med vektorjema top.

Težava je tipična, tukaj je primer, kako jo rešiti sami:

Primer 4

Poiščite skalarni produkt vektorjev in če je znano, da .

Zdaj pa še ena običajna naloga, samo za novo formulo za dolžino vektorja. Zapis tukaj se bo nekoliko prekrival, zato ga bom zaradi jasnosti prepisal z drugo črko:

Primer 5

Poiščite dolžino vektorja, če .

rešitev bo takole:

(1) Podamo izraz za vektor .

(2) Uporabljamo formulo za dolžino: , in celoten izraz ve deluje kot vektor "ve".

(3) Za kvadrat vsote uporabimo šolsko formulo. Opazite, kako zanimivo deluje tukaj: – to je pravzaprav kvadrat razlike in v resnici je tako. Kdor želi, lahko prerazporedi vektorje: - zgodi se isto, do prerazporeditve členov.

(4) Kar sledi, je znano že iz prejšnjih dveh problemov.

odgovor:

Ker govorimo o dolžini, ne pozabite navesti dimenzije - "enote".

Primer 6

Poiščite dolžino vektorja, če .

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Še naprej stiskamo uporabne stvari iz pikčastega izdelka. Ponovno poglejmo našo formulo . Z uporabo pravila sorazmernosti ponastavimo dolžine vektorjev na imenovalec leve strani:

Zamenjajmo dele:

Kakšen je pomen te formule? Če sta znani dolžini dveh vektorjev in njun skalarni produkt, potem lahko izračunamo kosinus kota med tema vektorjema in posledično sam kot.

Ali je pikčasti produkt številka? številka. Ali so vektorske dolžine števila? Številke. To pomeni, da je ulomek tudi število. In če je znan kosinus kota: , nato z uporabo inverzna funkcija Sam kot je enostavno najti: .

Primer 7

Poiščite kot med vektorji in če je znano, da .

rešitev: Uporabljamo formulo:

V končni fazi izračunov smo uporabili tehnična tehnika– odprava neracionalnosti v imenovalcu. Da bi odpravili neracionalnost, sem števec in imenovalec pomnožil z .

Če torej , to:

Inverzne vrednosti trigonometrične funkcije lahko najdete trigonometrična tabela. Čeprav se to zgodi redko. Pri problemih analitične geometrije veliko pogosteje kakšen neroden medved, kot je , vrednost kota pa je treba približno najti s kalkulatorjem. Pravzaprav bomo takšno sliko videli več kot enkrat.

odgovor:

Ponovno ne pozabite navesti dimenzij - radianov in stopinj. Osebno, da bi očitno “razrešili vsa vprašanja”, raje navedem oboje (če pogoj seveda ne zahteva podajanja odgovora samo v radianih ali samo v stopinjah).

Zdaj se lahko samostojno spopadete s kompleksnejšo nalogo:

Primer 7*

Podane so dolžine vektorjev in koti med njimi. Poiščite kot med vektorji , .

Naloga ni toliko težka, kot je večstopenjska.
Poglejmo si algoritem rešitve:

1) Glede na pogoj morate najti kot med vektorjema in , zato morate uporabiti formulo .

2) Poiščite skalarni produkt (glej primera št. 3, 4).

3) Poiščite dolžino vektorja in dolžino vektorja (glej primera št. 5, 6).

4) Konec rešitve sovpada s primerom št. 7 - poznamo številko , kar pomeni, da je enostavno najti sam kot:

Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Drugi del lekcije je posvečen istemu skalarnemu produktu. Koordinate. Še lažje bo kot v prvem delu.

pikčasti produkt vektorjev,
podana s koordinatami v ortonormirani bazi

odgovor:

Ni treba posebej poudarjati, da je ukvarjanje s koordinatami veliko bolj prijetno.

Primer 14

Poiščite skalarni produkt vektorjev in če

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Tukaj lahko uporabite asociativnost operacije, to je, ne štejte, ampak trojček takoj vzamete izven skalarnega produkta in ga zadnji pomnožite z njim. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

Na koncu razdelka provokativen primer izračuna dolžine vektorja:

Primer 15

Poiščite dolžine vektorjev , Če

rešitev: Metoda iz prejšnjega razdelka se znova predlaga: vendar obstaja še en način:

Poiščimo vektor:

In njegova dolžina po trivialni formuli :

Pikasti izdelek tukaj sploh ni pomemben!

Prav tako ni uporaben pri izračunu dolžine vektorja:
Stop. Ali ne bi morali izkoristiti očitne lastnosti vektorske dolžine? Kaj lahko rečete o dolžini vektorja? Ta vektor 5-krat daljši od vektorja. Smer je nasprotna, vendar to ni pomembno, saj govorimo o dolžini. Očitno je dolžina vektorja enaka produktu modulštevila na dolžino vektorja:
– znak modula “poje” možni minus števila.

Torej:

odgovor:

Formula za kosinus kota med vektorjema, ki sta podana s koordinatami

Zdaj imamo popolne informacije, tako da prej izpeljana formula za kosinus kota med vektorjema izrazi skozi vektorske koordinate:

Kosinus kota med ravninskima vektorjema in , določeno v ortonormirana osnova , izraženo s formulo:
.

Kosinus kota med prostorskimi vektorji, določeno v ortonormirani osnovi, izraženo s formulo:

Primer 16

Dana so tri oglišča trikotnika. Poiščite (kot vrha).

rešitev: Po pogojih risba ni obvezna, a vseeno:

Zahtevani kot je označen z zelenim lokom. Takoj se spomnimo šolske oznake za kot: – posebna pozornost na povprečječrka - to je vrh kota, ki ga potrebujemo. Zaradi kratkosti bi lahko napisali tudi preprosto.

Iz risbe je povsem očitno, da kot trikotnika sovpada s kotom med vektorjema in z drugimi besedami: .

Priporočljivo je, da se naučite mentalno izvajati analizo.

Poiščimo vektorje:

Izračunajmo skalarni produkt:

In dolžine vektorjev:

Kosinus kota:

To je točno vrstni red opravljanja naloge, ki ga priporočam za telebane. Naprednejši bralci lahko izračune zapišejo »v eno vrstico«:

Tukaj je primer "slabe" vrednosti kosinusa. Dobljena vrednost ni dokončna, zato se nima smisla znebiti neracionalnosti v imenovalcu.

Poiščimo sam kot:

Če pogledate risbo, je rezultat precej verjeten. Za preverjanje lahko kot izmerimo tudi s kotomerom. Ne poškodujte pokrova monitorja =)

odgovor:

V odgovoru tega ne pozabimo vprašal o kotu trikotnika(in ne o kotu med vektorji), ne pozabite navesti točnega odgovora: in približne vrednosti kota: , ugotovljeno s kalkulatorjem.

Tisti, ki so uživali v procesu, lahko izračunajo kote in preverijo veljavnost kanonične enakosti

Primer 17

Trikotnik je v prostoru določen s koordinatami svojih oglišč. Poiščite kot med stranicama in

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije

Kratek zadnji del bo posvečen projekcijam, ki vključujejo tudi skalarni produkt:

Projekcija vektorja na vektor. Projekcija vektorja na koordinatne osi.
Smerni kosinus vektorja

Razmislite o vektorjih in:

Projicirajmo vektor na vektor, pri čemer izpustimo začetek in konec vektorja pravokotnice v vektor (zeleno pikčaste črte). Predstavljajte si, da svetlobni žarki padajo pravokotno na vektor. Potem bo segment (rdeča črta) "senca" vektorja. V tem primeru je projekcija vektorja na vektor DOLŽINA odseka. To pomeni, PROJEKCIJA JE ŠTEVILO.

Ta ŠTEVILKA je označena na naslednji način: "velik vektor" označuje vektor KI projekta, "vektor z majhnim indeksom" označuje vektor VKLOP ki je predvidena.

Sam vnos se glasi takole: "projekcija vektorja "a" na vektor "be"."

Kaj se zgodi, če je vektor "be" "prekratek"? Narišemo ravno črto, ki vsebuje vektor "be". In vektor "a" bo že projiciran v smeri vektorja "be", preprosto - na ravno črto, ki vsebuje vektor "be". Enako se bo zgodilo, če se vektor "a" odloži v tridesetem kraljestvu - še vedno se bo zlahka projiciral na ravno črto, ki vsebuje vektor "be".

Če je kot med vektorji začinjeno(kot na sliki), potem

Če vektorji pravokoten, potem (projekcija je točka, katere dimenzije veljajo za nič).

Če je kot med vektorji topi(na sliki mentalno preuredite vektorsko puščico), nato (enake dolžine, vendar z znakom minus).

Narišimo te vektorje iz ene točke:

Ko se vektor premika, se njegova projekcija očitno ne spremeni

Na voljo bodo tudi naloge za samostojno reševanje, katerih odgovore si lahko ogledate.

Če sta v problemu dolžine vektorjev in kot med njimi predstavljeni "na srebrnem krožniku", potem sta pogoj problema in njegova rešitev videti takole:

Primer 1. Vektorji so podani. Poiščite skalarni produkt vektorjev, če so njihove dolžine in kot med njimi predstavljeni z naslednjimi vrednostmi:

Velja tudi druga definicija, popolnoma enakovredna definiciji 1.

Definicija 2. Skalarni produkt vektorjev je število (skalar), ki je enako produktu dolžine enega od teh vektorjev in projekcije drugega vektorja na os, ki jo določa prvi od teh vektorjev. Formula po definiciji 2:

S to formulo bomo problem rešili po naslednji pomembni teoretični točki.

Definicija skalarnega produkta vektorjev v smislu koordinat

Enako število lahko dobimo, če vektorjem, ki jih množimo, damo svoje koordinate.

Definicija 3. Pikasti produkt vektorjev je število, ki je enako vsoti parnih produktov njihovih ustreznih koordinat.

Na letalu

Če sta dva vektorja in na ravnini določena s svojima dvema Kartezične pravokotne koordinate

potem je skalarni produkt teh vektorjev enak vsoti parnih produktov njihovih ustreznih koordinat:

.

Primer 2. Poiščite številsko vrednost projekcije vektorja na os, ki je vzporedna z vektorjem.

rešitev. Skalarni produkt vektorjev najdemo tako, da seštejemo parne produkte njihovih koordinat:

Sedaj moramo dobljeni skalarni produkt enačiti z produktom dolžine vektorja in projekcije vektorja na os, ki je vzporedna z vektorjem (v skladu s formulo).

Poiščite dolžino vektorja kot kvadratni koren iz vsote kvadratov njegovih koordinat:

.

Sestavimo enačbo in jo rešimo:

Odgovori. Zahtevana številčna vrednost je minus 8.

V vesolju

Če sta dva vektorja in v prostoru definirana s svojimi tremi kartezičnimi pravokotnimi koordinatami

,

potem je tudi skalarni produkt teh vektorjev enak vsoti parnih produktov njihovih ustreznih koordinat, le da že obstajajo tri koordinate:

.

Naloga iskanja skalarnega produkta z obravnavano metodo je po analizi lastnosti skalarnega produkta. Ker boste v nalogi morali določiti, pod kakšnim kotom tvorijo pomnoženi vektorji.

Lastnosti skalarnega produkta vektorjev

Algebraične lastnosti

1. (komutativna lastnost: zamenjava mest pomnoženih vektorjev ne spremeni vrednosti njihovega skalarnega produkta).

2. (asociativna lastnost glede na numerični faktor: skalarni produkt vektorja, pomnoženega z nekim faktorjem, in drugega vektorja je enak skalarnemu produktu teh vektorjev, pomnoženih z istim faktorjem).

3. (distribucijska lastnost glede na vsoto vektorjev: skalarni produkt vsote dveh vektorjev s tretjim vektorjem je enak vsoti skalarnih produktov prvega vektorja s tretjim vektorjem in drugega vektorja s tretjim vektorjem).

4. (skalarni kvadrat vektorja večji od nič), če je ničelni vektor, in če je ničelni vektor.

Geometrijske lastnosti

V definicijah proučevane operacije smo se že dotaknili koncepta kota med dvema vektorjema. Čas je, da razjasnimo ta koncept.

Na zgornji sliki lahko vidite dva vektorja, ki sta reducirana na splošni začetek. In prva stvar, na katero morate biti pozorni, je, da sta med temi vektorji dva kota - φ 1 in φ 2 . Kateri od teh kotov se pojavlja v definicijah in lastnostih skalarnega produkta vektorjev? Vsota obravnavanih kotov je 2 π in zato sta kosinusa teh kotov enaka. Opredelitev pikčastega zmnožka vključuje samo kosinus kota in ne vrednosti njegovega izraza. Toda lastnosti upoštevajo samo en kot. In to je eden od dveh kotov, ki ne presega π , torej 180 stopinj. Na sliki je ta kot označen kot φ 1 .

1. Dva vektorja se imenujeta pravokoten in kot med temi vektorji je raven (90 stopinj oz π /2 ), če skalarni produkt teh vektorjev je nič :

.

Ortogonalnost v vektorski algebri je pravokotnost dveh vektorjev.

2. Dva neničelna vektorja se sestavljata oster kot (od 0 do 90 stopinj ali, kar je enako - manj π pikčasti produkt je pozitiven .

3. Dva neničelna vektorja se sestavljata tupi kot (od 90 do 180 stopinj ali, kar je isto - več π /2) če in samo če so pikčasti produkt je negativen .

Primer 3. Koordinate so podane z vektorji:

.

Izračunaj skalarne produkte vseh parov danih vektorjev. Kakšen kot (oster, pravi, top) tvorita ta par vektorjev?

rešitev. Računali bomo tako, da smo sešteli zmnožke pripadajočih koordinat.

Dobili smo negativno število, zato vektorja tvorita top kot.

Dobili smo pozitivno število, torej vektorja tvorita ostri kot.

Dobili smo ničlo, torej vektorja tvorita pravi kot.

Dobili smo pozitivno število, torej vektorja tvorita ostri kot.

.

Dobili smo pozitivno število, torej vektorja tvorita ostri kot.

Za samotestiranje lahko uporabite spletni kalkulator Točkovni produkt vektorjev in kosinusa kota med njima .

Primer 4. Glede na dolžini dveh vektorjev in kot med njima:

.

Ugotovite, pri kateri vrednosti števila sta vektorja in pravokotna (pravokotna).

rešitev. Pomnožimo vektorje z uporabo pravila za množenje polinomov:

Zdaj pa izračunajmo vsak člen:

.

Sestavimo enačbo (zmnožek je enak nič), dodamo podobne člene in rešimo enačbo:

Odgovor: dobili smo vrednost λ = 1,8, pri katerem sta vektorja pravokotna.

Primer 5. Dokaži, da je vektor pravokoten (pravokoten) na vektor

rešitev. Za preverjanje ortogonalnosti pomnožimo vektorje in kot polinome, namesto tega nadomestimo izraz, podan v izjavi problema:

.

Če želite to narediti, morate vsak člen (člen) prvega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in dodati dobljene produkte:

.

V dobljenem rezultatu se frakcija zmanjša za. Dobljen je naslednji rezultat:

Zaključek: kot rezultat množenja smo dobili nič, zato je ortogonalnost (pravokotnost) vektorjev dokazana.

Rešite problem sami in nato poglejte rešitev

Primer 6. Dolžine vektorjev in so podane, kot med tema vektorjema pa je π /4. Ugotovite, v kakšni vrednosti μ vektorji in so medsebojno pravokotni.

Za samotestiranje lahko uporabite spletni kalkulator Točkovni produkt vektorjev in kosinusa kota med njima .

Matrična predstavitev pikastega produkta vektorjev in produkta n-dimenzionalnih vektorjev

Včasih je zaradi jasnosti koristno predstaviti dva pomnožena vektorja v obliki matrik. Nato je prvi vektor predstavljen kot vrstična matrika, drugi pa kot stolpčna matrika:

Potem bo skalarni produkt vektorjev zmnožek teh matrik :

Rezultat je enak tistemu, ki ga dobimo z metodo, ki smo jo že obravnavali. Dobili smo eno samo število in zmnožek vrstične matrike s stolpčno matriko je prav tako eno samo število.

IN matrična oblika Primerno je predstaviti produkt abstraktnih n-dimenzionalnih vektorjev. Tako bo zmnožek dveh štiridimenzionalnih vektorjev zmnožek vrstične matrike s štirimi elementi s stolpčno matriko prav tako s štirimi elementi, zmnožek dveh petdimenzionalnih vektorjev bo zmnožek vrstične matrike s petimi elementi s matriko stolpcev prav tako s petimi elementi itd.

Primer 7. Poiščite skalarne produkte parov vektorjev

,

z uporabo matrične predstavitve.

rešitev. Prvi par vektorjev. Prvi vektor predstavimo kot vrstično matriko, drugega pa kot stolpčno matriko. Skalarni produkt teh vektorjev najdemo kot produkt vrstične matrike in stolpčne matrike:

Podobno predstavimo drugi par in ugotovimo:

Kot lahko vidite, so bili rezultati enaki kot za iste pare iz primera 2.

Kot med dvema vektorjema

Izpeljava formule za kosinus kota med dvema vektorjema je zelo lepa in jedrnata.

Za izražanje pikčastega produkta vektorjev

(1)

v koordinatni obliki najprej poiščemo skalarni produkt enotskih vektorjev. Skalarni produkt vektorja s samim seboj po definiciji:

Kar je zapisano v zgornji formuli, pomeni: skalarni produkt vektorja s samim seboj je enak kvadratu njegove dolžine. Kosinus nič je enak ena, zato bo kvadrat vsake enote enak ena:

Od vektorjev

so parno pravokotni, potem bodo parni produkti enotskih vektorjev enaki nič:

Zdaj pa izvedimo množenje vektorskih polinomov:

V desno stran enakosti nadomestimo vrednosti ustreznih skalarnih produktov enotskih vektorjev:

Dobimo formulo za kosinus kota med dvema vektorjema:

Primer 8. Podane so tri točke A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Poiščite kot.

rešitev. Iskanje koordinat vektorjev:

,

.

Z uporabo formule kosinusnega kota dobimo:

Zato,.

Za samotestiranje lahko uporabite spletni kalkulator Točkovni produkt vektorjev in kosinusa kota med njima .

Primer 9. Podana sta dva vektorja

Poiščite vsoto, razliko, dolžino, pikčasti produkt in kot med njimi.

I. Skalarni produkt izniči, če in samo če je vsaj eden od vektorjev nič ali če so vektorji pravokotni. Pravzaprav če ali , ali potem .

Nasprotno, če pomnoženi vektorji niso nič, potem ker iz pogoja

ko sledi:

Ker je smer ničelnega vektorja negotova, se ničelni vektor lahko šteje za pravokotnega na kateri koli vektor. Zato lahko označeno lastnost skalarnega produkta formuliramo bolj na kratko: skalarni produkt izgine, če in samo če so vektorji pravokotni.

II. Skalarni produkt ima komutativno lastnost:

Ta lastnost izhaja neposredno iz definicije:

ker različne oznake za isti kot.

III. Distribucijski zakon je izjemno pomemben. Njegova uporaba je tako velika kot v navadni aritmetiki ali algebri, kjer je formulirana takole: da bi pomnožili vsoto, morate pomnožiti vsak člen in dodati dobljene produkte, tj.

Očitno množenje večmestna števila v aritmetiki ali polinomih v algebri temelji na tej lastnosti množenja.

Ta zakon ima enak osnovni pomen v vektorski algebri, saj lahko na njegovi podlagi uporabimo običajno pravilo za množenje polinomov na vektorje.

Dokažimo, da za poljubne tri vektorje A, B, C velja enakost:

Po drugi definiciji skalarnega produkta, izraženega s formulo, dobimo:

Zdaj z uporabo lastnosti 2 projekcij iz § 5 ugotovimo:

Q.E.D.

IV. Skalarni produkt ima lastnost kombiniranja glede na numerični faktor; ta lastnost je izražena z naslednjo formulo:

to pomeni, da pomnožimo skalarni produkt vektorjev s številom, je dovolj, da enega od faktorjev pomnožimo s tem številom.