Lekcija na temo: Reševanje enačb
Sestavila: Vera Viktorovna Volkova - učiteljica matematike
Tema lekcije: Reševanje enačb z vnosom nove spremenljivke.
Cilji lekcije:1. Učence seznaniti z novo metodo reševanja enačb;
2. utrditi veščine reševanja kvadratnih enačb in izbire metod za njihovo reševanje;
3. Izvedite začetno utrjevanje nove teme;
4. Razviti sposobnost zagovarjanja svojega stališča in vodenja razumnega dialoga s sošolci;
Razviti pozornost, spomin in logično razmišljanje, opazovanje
Privzgojite komunikacijske veščine in kulturo komunikacije
Vcepiti spretnosti samostojno delo
Napredek lekcije
1.Organizacijski trenutek
Sporočanje teme lekcije in zastavljanje cilja.
2. Ponavljanje
V prejšnjih lekcijah smo se naučili reševati kvadratne enačbe na različne načine in enačbe. Ki jih je mogoče zreducirati na kvadratne.
Katera enačba se imenuje kvadratna?
Katere načine za njihovo reševanje poznate?
Katere enačbe je mogoče zmanjšati na kvadratne?
a) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20
b) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2
c) x 2 + x + 9 = 3x-7,
G) x+1 + x = 2,5
X x+1
d) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10 ?
3. Študij novega gradiva.
Zdaj bomo delali v skupinah (opomnite nas na postopek dela in pravila obnašanja pri delu v skupinah). Vaša naloga je rešiti predlagane enačbe (razdelijo se karte z nalogo, na tablo je obešen plakat).
A) x+1 + x = 2,5
X x+1
b) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9
X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10
Učitelj opazuje potek dela in izbere obrazec za preverjanje prve enačbe:
Ustno ali na tabli, odvisno od uspeha pri pouku.
Preverimo, kaj imate.
Prva enačba se zmanjša na kvadratno enačbo x 2 + x -2 = 0.
Rešitev tega sta števili -2 in 1.
Zdaj pa preidimo na reševanje druge enačbe. Vse skupine so imele na koncu enačbo četrte stopnje, ki je ne znate rešiti.
Poskusimo z njim ugotoviti.
Tako kot reševanje katerega koli problema je tudi reševanje enačbe sestavljeno iz več stopenj:
- Analiza enačb
- Priprava načrta rešitve.
- Izvedba tega načrta.
- Preverjanje rešitve.
- Analiza metode reševanja, sistematizacija izkušenj.
- - Kako se običajno analizira enačba?
Najprej odgovorimo na vprašanje, ali smo se že srečali s tovrstnimi enačbami?
Da, imamo, to je ulomljena racionalna enačba.
Lahko poskusite rešiti to "težko" enačbo ali pa se vrnete k
prvotno enačbo in jo znova analizirajte.
Če želite to narediti:
- Naj izpostavimo nekatere elemente enačbe,
- Ugotovimo njihove splošne lastnosti,
- Preučimo povezave med različnimi elementi enačbe,
- Uporabimo te informacije.
Delajmo 5 minut v skupinah po tem načrtu.
Večina je identificirala element, vključen v števce in imenovalce ulomkov v enačbi. Da bo enačba enostavnejša, zamenjajmo ta izraz z eno črko, na primer Z:
X 2 + 2x = Z
Z +2 + Z +3 = 9
Z +5 Z +6 10
Lahko jo obravnavamo kot novo enačbo za novo neznanko Z. V njej spremenljivka x ni eksplicitno prisotna.
Pravijo, da je bila spremenljivka zamenjana.
Je takšna zamenjava priporočljiva? Za odgovor na to vprašanje je dovolj ugotoviti:
Ali je mogoče rešiti novo enačbo in najti vrednosti Z,
Ali je mogoče uporabiti Z za iskanje vrednosti spremenljivke x za prvotno enačbo.
Poskusite v skupinah odgovoriti na prvi del vprašanja.
Učitelj opazuje potek dela. Nato se preverijo rezultati iskanja za vrednosti spremenljivke Z.
Tako smo našli vrednosti spremenljivke Z: Z 1= 0, Z 2 = - 61| 11
Vendar nas zanimajo vse vrednosti spremenljivke x, ki ustrezajo prvotni enačbi. Poiščimo te vrednosti. Povezava med koreni prvotne in nove enačbe je vsebovana v formuli x 2 + 2x = Z. Vrednosti spremenljivke Z smo že našli. Zato je vsak koren izvirne ulomljene racionalne enačbe koren ene od enačb: x 2 + 2x =Z 1 ali x 2 + 2x =Z 2
Te enačbe rešite sami z možnostmi.
Preverimo rezultate: prva enačba ima korene x 1 = 0, x 2 = -2, druga enačba pa je brez korenin.
Preostane le še preveriti dobljene rezultate za prvotno enačbo in zapisati odgovor.
odgovor: x 1 =0, x 2 = -2.
Tako smo prvotno enačbo rešili z novo metodo, imenovano z uvedbo nove spremenljivke.
Ustvarite algoritem za rešitev naše enačbe z uvedbo nove spremenljivke.(delo v skupinah)
- Izberite izraz x 2 + 2x;
- Ta izraz označimo z eno črko x 2 + 2x =Z;
- Izvedemo zamenjavo in dobimo novo enačbo;
- Zmanjšamo ga na kvadrat in rešimo;
- Z uporabo vrednosti spremenljivke Z najdemo vrednosti spremenljivke x;
- Dobljene rezultate preverimo in odgovor zapišemo.
3. Zavarujte material.
Ali menite, da bi lahko naredili drugačno spremembo spremenljivk? (Na primer x 2 + 2x
2 = Z ali x 2 + 2x +6 = Z.) Kakšno obliko bo potem imela nova enačba? Kako jih rešiti? Ali je mogoče prvo domačo enačbo rešiti z uvedbo nove spremenljivke? Kateri izraz lahko nadomestimo z novo spremenljivko? Kaj je enačba? Kako to rešiti? Kakšne so vrednosti spremenljivke Z? Kakšne so vrednosti spremenljivke x?
4. Povzemanje.
- Kaj smo se danes učili v razredu?
- Katera nov način si našel rešitve enačb?
- Kakšna je metoda za uvedbo nove spremenljivke?
- Kakšen je algoritem za to metodo?
- Se vam je ta metoda zdela težka ali neprijetna?
- Ali ga je mogoče uporabiti za vse enačbe?
5.Domača naloga.
- Zapišite in se naučite algoritem za uporabo metode uvajanja nove spremenljivke;
- Rešite po tej metodi št. 2.43 (1; 2) GIA str.117.
Z načinom uvajanja nove spremenljivke pri reševanju racionalnih enačb z eno spremenljivko ste se seznanili pri predmetu algebra 8. razreda. Bistvo te metode za reševanje sistemov enačb je enako, vendar s tehničnega vidika obstajajo nekatere značilnosti, ki jih bomo obravnavali v naslednjih primerih.
Primer 3. Reši sistem enačb
rešitev. Vstavimo novo spremenljivko. Nato lahko prvo enačbo sistema prepišemo v več v preprosti obliki: 
Rešimo to enačbo za spremenljivko t:
Obe vrednosti izpolnjujeta pogoj in sta zato koreni racionalne enačbe s spremenljivko t. Toda to pomeni bodisi, da je x = 2y, ali
Tako nam je z metodo vnosa nove spremenljivke uspelo prvo enačbo sistema, ki je bila na videz precej zapletena, »razslojiti« na dve preprostejši enačbi:
x = 2 y; y - 2x.
kaj sledi In potem je vsak od obeh prejel preproste enačbe je treba upoštevati eno za drugo v sistemu z enačbo x 2 - y 2 = 3, ki si je še nismo zapomnili. Z drugimi besedami, problem se zmanjša na rešitev dveh sistemov enačb:
Najti moramo rešitve za prvi sistem, drugi sistem in v odgovor vključiti vse nastale pare vrednosti. Rešimo prvi sistem enačb:
Uporabimo substitucijsko metodo, še posebej, ker je tukaj vse pripravljeno zanjo: zamenjajmo izraz 2y namesto x v drugo enačbo sistema. Dobimo
Ker je x = 2y, dobimo x 1 = 2, x 2 = 2. Tako dobimo dve rešitvi danega sistema: (2; 1) in (-2; -1). Rešimo drugi sistem enačb:
Ponovno uporabimo substitucijsko metodo: nadomestimo izraz 2x namesto y v drugo enačbo sistema. Dobimo
Ta enačba je brez korenin, kar pomeni, da sistem enačb nima rešitev. Tako je treba v odgovor vključiti le rešitve prvega sistema.
Odgovor: (2; 1); (-2;-1).
Metoda uvajanja novih spremenljivk pri reševanju sistemov dveh enačb z dvema spremenljivkama je uporabljena v dveh različicah. Prva možnost: ena nova spremenljivka je uvedena in uporabljena samo v eni enačbi sistema. Točno to se je zgodilo v primeru 3. Druga možnost: dve novi spremenljivki sta uvedeni in uporabljeni hkrati v obeh enačbah sistema. Tako bo v primeru 4.
Primer 4. Reši sistem enačb
2.2.3. Metoda za uvedbo nove spremenljivke.
Močno orodje za reševanje iracionalnih enačb je metoda uvajanja nove spremenljivke ali »metoda zamenjave«. Metoda se običajno uporablja, ko se v enačbi večkrat pojavi določen izraz, odvisen od neznane količine. Takrat je smiselno, da ta izraz označimo s kakšno novo črko in poskusimo enačbo najprej rešiti glede na vneseno neznanko, nato pa poiskati prvotno neznanko. V številnih primerih uspešno uvedene nove neznanke včasih omogočajo hitrejšo in enostavnejšo rešitev; včasih je popolnoma nemogoče rešiti težavo brez zamenjave. ,
Primer 7. Reši enačbo.
rešitev. Če postavimo , dobimo bistveno enostavnejšo iracionalno enačbo. Kvadriramo obe strani enačbe: .
;
;
;
Preverjanje najdenih vrednosti z zamenjavo v enačbo pokaže, da je koren enačbe in je tuj koren.
Če se vrnemo k prvotni spremenljivki x, dobimo enačbo, tj kvadratna enačba 
, pri reševanju katerega najdemo dva korena: ,. Oba korena, kot kaže preverjanje, izpolnjujeta prvotno enačbo.
Zamenjava je še posebej uporabna, če je zaradi tega dosežena nova kakovost, na primer iracionalna enačba se spremeni v kvadratno.
Primer 8. Reši enačbo.
rešitev. Zapišimo enačbo takole: .
Vidimo lahko, da če uvedemo novo spremenljivko 
, potem dobi enačba obliko 
, kjer , .
Zdaj se problem spusti k rešitvi enačbe 
in enačbe 
. Prva od teh rešitev nima, iz druge pa dobimo , . Oba korena, kot kaže preverjanje, izpolnjujeta prvotno enačbo.
Upoštevajte, da bi "nepremišljena" uporaba metode "izključitve radikala" in kvadriranja v primeru 8 vodila do enačbe četrte stopnje, katere rešitev je na splošno izjemno težka naloga.
Primer 9. Reši enačbo 
.
Predstavimo novo spremenljivko
Posledično ima prvotna iracionalna enačba obliko kvadratne
,
od koder ob upoštevanju omejitve dobimo . Če rešimo enačbo, dobimo koren. Kot pokaže preverjanje, izpolnjuje prvotno enačbo.
Včasih je mogoče z neko zamenjavo iracionalno enačbo zmanjšati na racionalna oblika, kot je obravnavano v primerih 8, 9. V tem primeru pravijo, da ta zamenjava racionalizira obravnavano iracionalno enačbo, in jo imenujejo racionalizacija. Na podlagi uporabe racionalizirajočih zamenjav se imenuje metoda racionalizacije.
Tega načina reševanja iracionalnih enačb ni treba obravnavati z vsemi učenci pri pouku, lahko pa ga obravnavamo kot del izbirnega ali krožkovnega pouka matematike z učenci, ki kažejo povečano zanimanje za matematiko.
Temelji na poznavanju razmerja med rezultatom in komponentami aritmetičnih operacij (tj. na znanju, kako najti neznane komponente). Te programske zahteve določajo metodologijo dela na enačbah. 2. Metodologija preučevanja neenakosti v srednji šoli 2.1 Vsebina in vloga premice enačb in neenačb v sodobnem šolski tečaj Matematika Zaradi pomembnosti in širine snovi, ...
Na kakovostno novo raven obvladovanja vsebin šolske matematike. Poglavje II. Metodološka in pedagoška načela uporabe samostojnega dela kot sredstva za poučevanje reševanja enačb v 5. - 9. razredu. § 1. Organizacija samostojnega dela pri poučevanju reševanja enačb v razredih 5-9. Pri tradicionalnem načinu poučevanja učitelj učenca pogosto postavi v položaj objekta...
Sklepamo lahko, da je problematika, ki se preučuje, v sodobnem času premalo pokrita metodološka literatura. Predmet raziskave dela: proces poučevanja matematike. Predmet: razvijanje sposobnosti reševanja kvadratnih enačb pri učencih 8. razreda. Kontingent: učenci 8. razreda. 1. poglavje Teoretični vidiki pouk reševanja enačb v 8. razredu 1.1. Iz zgodovine nastanka kvadrata...
Numerični argument, torej s tem pristopom obstaja določena redundanca pri oblikovanju funkcije kot posplošenega pojma. 2. Glavne usmeritve za uvajanje pojma funkcije v šolski tečaj matematike V sodobnem šolskem tečaju matematike velja, da je vodilni pristop genetski z dodatkom logičnih elementov. Oblikovanje pojmov in idej, metod in tehnik kot del...
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno, v skladu z zakonom, sodni postopek, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih poizvedb ali zahtev od vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
Enačbo oblike ax4 + bx2 + c = 0 imenujemo bikvadratna enačba. Absolutno vsako enačbo te vrste je mogoče rešiti tako, da vnesemo novo spremenljivko in nato rešimo enačbo zanjo. Nato se izvede obratna zamenjava in najde se zahtevani x.
Poglejmo, kako uporabiti to metodo za reševanje racionalnih enačb.
Podana je enačba: x4 - 4x2 + 4 = 0.
rešitev
Rešiti podana enačba potrebno je uvesti novo spremenljivko, ki ima obliko y =x2. Velja tudi naslednja enakost: x4 = (x2)2 = y2. Prvotno enačbo prepišemo na naslednji način: y2 - 4y + 4 =0. To je navadna kvadratna enačba, z reševanjem katere boste dobili korenine y1 = y2 = 2. Ker je y = x2, se rešitev tega problema zmanjša na rešitev druge enačbe, in sicer: x2 = 2. Najdemo odgovor: +- √2.
V tej situaciji je bila metoda vnosa spremenljivke »primerna situaciji«, kar pomeni, da je bilo jasno vidno, kateri izraz je treba nadomestiti z novo spremenljivko, vendar se to ne zgodi vedno. V bistvu se izraz, ki ga je mogoče zamenjati, pojavi le skozi proces preoblikovanja in poenostavitve prvotnega izraza. Podoben primer si lahko ogledate v video vadnici.
Lastnosti funkcije y = k/x, za k >0
V video vadnici se boste seznanili z osnovnimi lastnostmi hiperbole, ki temeljijo na njenem geometrijskem modelu.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) - domena definicije funkcije je sestavljena iz vseh števil razen 0.
2. Za x > 0 => y > 0 in za x< 0 =>l< 0.
3. Pri k > 0 funkcija pada na odprtem žarku (-∞;0) in na odprtem žarku (0; ∞).
4. Funkcija y = k/x nima zgornjih ali spodnjih omejitev.
5. Funkcija y = k/x nima največje in najmanjše vrednosti.
6. Zvezen na intervalu (-∞;0) in (0; ∞), podvržen diskontinuiteti pri x = 0.