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Graphiques des primitives dans l'examen d'État unifié. Primitive et intégrales

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) (qui est une ligne brisée composée de trois segments droits). À l’aide de la figure, calculez F(9)-F(5), où F(x) est l’une des primitives de la fonction f(x).

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Solution

D'après la formule de Newton-Leibniz, la différence F(9)-F(5), où F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), est égale à l'aire trapèze courbé, limité par le graphique de la fonction y=f(x), droites y=0, x=9 et x=5.

À partir du graphique, nous déterminons que le trapèze courbe indiqué est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3. Sa superficie est égale

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

Répondre

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Solution

La figure montre un graphique de la fonction y=F(x) - l'une des primitives d'une fonction f(x) définie sur l'intervalle (-5 ; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur le segment [-3; 4].

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

Selon la définition d'une primitive, l'égalité est vraie : F"(x)=f(x). Par conséquent, l'équation f(x)=0 peut s'écrire sous la forme F"(x)=0.

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Solution

Puisque la figure montre le graphique de la fonction y=F(x), nous devons trouver ces points dans l'intervalle [-3; 4], dans laquelle la dérivée de la fonction F(x) est égale à zéro. Il ressort clairement de la figure qu'il s'agira des abscisses des points extrêmes (maximum ou minimum) du graphe F(x).

À partir du graphique, nous déterminons que le trapèze courbe indiqué est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3. Il y en a exactement 7 dans l'intervalle indiqué (quatre points minimum et trois points maximum).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur le segment [-3; 4].

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

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Solution

Selon la définition d'une primitive, l'égalité est vraie : F"(x)=f(x). Par conséquent, l'équation f(x)=0 peut s'écrire sous la forme F"(x)=0.

Puisque la figure montre le graphique de la fonction y=F(x), nous devons trouver ces points dans l'intervalle [-3; 3], dans laquelle la dérivée de la fonction F(x) est égale à zéro.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur le segment [-3; 4].

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

Il ressort clairement de la figure qu'il s'agira des abscisses des points extrêmes (maximum ou minimum) du graphe F(x).

Il y en a exactement 5 dans l'intervalle indiqué (deux points minimum et trois points maximum).

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Solution

La figure montre un graphique d'une fonction y=f(x). La fonction F(x)=-x^3+4.5x^2-7 est l'une des primitives de la fonction f(x). Trouvez l'aire de la figure ombrée. La figure ombrée est un trapèze curviligne délimité par le haut par le graphique de la fonction y=f(x), les droites y=0, x=1 et x=3. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur le segment [-3; 4].

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

Selon la formule de Newton-Leibniz, son aire S est égale à la différence F(3)-F(1), où F(x) est la primitive de la fonction f(x) spécifiée dans la condition.

C'est pourquoi S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= La figure montre un graphique d'une fonction y=f(x). La fonction F(x)=x^3+6x^2+13x-5 est l'une des primitives de la fonction f(x). Trouvez l'aire de la figure ombrée. Fonction primitive f(x)

entre (un B) cette fonction s'appelle S= F(x) , que l'égalité vaut pour tout X (un B)à partir d'un intervalle donné.

Si l'on prend en compte le fait que la dérivée d'une constante

AVEC S= est égal à zéro, alors l’égalité est vraie. Donc la fonction .

a de nombreuses primitives F(x)+C, pour une constante arbitraire S= – , et ces primitives diffèrent les unes des autres par une valeur constante arbitraire. Définition d'une intégrale indéfinie. S=.

L'ensemble des fonctions primitives est appelée l'intégrale indéfinie de cette fonction et est notée L'expression s'appelle La fonction F(x)=x^3+6x^2+13x-5 est l'une des primitives de la fonction f(x). intégrande , que l'égalité vaut pour tout.

, UN

fonction intégrande

. L'intégrande représente la différentielle de la fonction

Si vous avez besoin d'en trouver une dans une famille de primitives, des conditions supplémentaires sont définies qui vous permettent de déterminer la constante C. Habituellement, à cet effet, des conditions initiales sont définies : lorsque l'argument x = x0, la fonction a la valeur D (x0) = y0.

Exemple. Il faut trouver cette primitive de la fonction y = 2 x qui prend la valeur 3 à x0 = 1.

La primitive requise : D(x) = x2 + 2.

Solution. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3 ; C = 2.

2. Propriétés de base de l'intégrale indéfinie

1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à la fonction intégrale :

2. La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'expression de l'intégrande :

3. Intégrale indéfinie du différentiel d'une fonction égal à la somme cette fonction elle-même et une constante arbitraire :

4. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :

5. L'intégrale de la somme (différence) est égale à la somme (différence) des intégrales :

6. La propriété est une combinaison des propriétés 4 et 5 :

7. Propriété d'invariance de l'intégrale indéfinie :

Si , Que

8. Propriété :

Si , Que

En fait, cette propriété est un cas particulier d’intégration utilisant la méthode du changement de variable, qui est discutée plus en détail dans la section suivante.

Regardons un exemple :

3. Méthode d'intégration dans lequel une intégrale donnée est réduite à une ou plusieurs intégrales de table au moyen de transformations identiques de l'intégrande (ou de l'expression) et de l'application des propriétés de l'intégrale indéfinie, est appelé intégration directe. Lors de la réduction de cette intégrale à une intégrale tabulaire, les transformations différentielles suivantes sont souvent utilisées (opération " souscrire au signe différentiel»):

Du tout, f’(u)du = d(f(u)). Cette (formule est très souvent utilisée lors du calcul des intégrales.

Trouver l'intégrale

Solution. Utilisons les propriétés de l'intégrale et réduisons cette intégrale à plusieurs intégrales tabulaires.

4. Méthode d'intégration par substitution.

L'essence de la méthode est que nous introduisons une nouvelle variable, exprimons l'intégrande à travers cette variable et, par conséquent, nous arrivons à une forme tabulaire (ou plus simple) de l'intégrale.

Très souvent, la méthode de substitution vient à la rescousse lors de l'intégration de fonctions trigonométriques et de fonctions avec radicaux.

Exemple.

Trouver l'intégrale indéfinie .

Solution.

Introduisons une nouvelle variable. Exprimons Fonction primitiveà travers z:

Nous substituons les expressions résultantes dans l'intégrale d'origine :

Du tableau des primitives nous avons .

Reste à revenir à la variable d'origine Fonction primitive:

Répondre:

Fonction F(X ) appelé primitive pour la fonction F(X) sur un intervalle donné, si pour tout X à partir de cet intervalle l'égalité est vraie

F"(X ) = F(X ) .

Par exemple, la fonction F(x) = x 2 F(X ) = 2Fonction primitive , parce que

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

La propriété principale de la primitive

Si La fonction F(x)=x^3+6x^2+13x-5 est l'une des primitives de la fonction f(x). - primitive d'une fonction S= sur un intervalle donné, alors la fonction S= a une infinité de primitives, et toutes ces primitives peuvent s'écrire sous la forme F(x) + C, Où AVEC est une constante arbitraire.

Par exemple.

Fonction F(x) = x 2 + 1 est une primitive de la fonction

F(X ) = 2Fonction primitive , parce que F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

fonction F(x) = x 2 - 1 est une primitive de la fonction

F(X ) = 2Fonction primitive , parce que F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

fonction F(x) = x 2 - 3 est une primitive de la fonction

F(X) = 2Fonction primitive , parce que F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x);

n'importe quelle fonction F(x) = x 2 + (un B) , Où AVEC - une constante arbitraire, et seule une telle fonction est une primitive de la fonction F(X) = 2Fonction primitive . ◄

Règles de calcul des primitives

  1. Si F(x) - primitive pour f(x) , UN G(x) - primitive pour g(x) , Que F(x) + G(x) - primitive pour f(x) + g(x) . Autrement dit, la primitive de la somme est égale à la somme des primitives .
  2. Si F(x) - primitive pour f(x) , Et k - constant, alors k · F(x) - primitive pour k · f(x) . Autrement dit, le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée .
  3. Si F(x) - primitive pour f(x) , Et k,b- constant, et k ≠ 0 , Que 1 / k F( k x+ b ) - primitive pour F(k x+ b) .

Intégrale indéfinie

Pas Intégrale définie de la fonction f(x) expression appelée F(x) + C, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction donnée f(x) . L'intégrale indéfinie est notée comme suit :

∫ f(x)dx = F(x) + C ,

S=- ils appelent fonction intégrande ;

f(x)dx- ils appelent intégrande ;

X - ils appelent variable d'intégration ;

F(x) - une des fonctions primitives f(x) ;

AVEC est une constante arbitraire.

Par exemple, ∫ 2 x dx =X 2 + (un B) , ∫ parce quex dx = péché X + (un B) et ainsi de suite. ◄

Le mot « intégral » vient du mot latin entier , qui signifie « restauré ». Considérant l'intégrale indéfinie de 2 X, nous semblons restaurer la fonction X 2 , dont la dérivée est égale à 2 X. Restaurer une fonction à partir de sa dérivée, ou, ce qui revient au même, trouver une intégrale indéfinie sur un intégrande donné s'appelle l'intégration cette fonction. L'intégration est l'opération inverse de la différenciation. Pour vérifier si l'intégration a été effectuée correctement, il suffit de différencier le résultat et d'obtenir l'intégrande.

Propriétés de base de l'intégrale indéfinie

  1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

    2. (∫ f(x)dx )" = f(x) .

  2. Le facteur constant de l'intégrande peut être soustrait du signe intégral :

    3. ∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

  3. L'intégrale de la somme (différence) des fonctions est égale à la somme (différence) des intégrales de ces fonctions :

    4. ∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

  4. Si k,b- constant, et k ≠ 0 , Que

    5. ∫ F ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) +C .

Tableau des primitives et intégrales indéfinies


f(x)
F(x) + C
∫ f(x)dx = F(x) + C
JE.
$$0$$
$$C$$
$$\int 0dx=C$$
II.
$$k$$
$$kx+C$$
$$\int kdx=kx+C$$
III.
$$x^n~(n\neq-1)$$
$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.
$$\frac(1)(x)$$
$$\ln |x|+C$$
$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.
$$\péché x$$
$$-\cos x+C$$
$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.
$$\cos x$$
$$\sin x+C$$
$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.
$$\frac(1)(\cos^2x)$$
$$\textrm(tg) ~x+C$$
$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.
$$\frac(1)(\sin^2x)$$
$$-\textrm(ctg) ~x+C$$
$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.
$$e^x$$
$$e^x+C$$
$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.
$$a^x$$
$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$
$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.
$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$
$$\arcsin x +C$$
$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.
$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$
$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$
$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.
$$\frac(1)(1+x^2)$$
$$\textrm(arctg) ~x+C$$
$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.
$$\frac(1)(a^2+x^2)$$
$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.
$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$
$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.
$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$
$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$
$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ $CAN
XVII.
$$\textrm(tg) ~x$$
$$-\ln |\cos x|+C$$
$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.
$$\textrm(ctg) ~x$$
$$\ln |\sin x|+C$$
$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.
$$ \frac(1)(\sin x) $$
$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.
$$ \frac(1)(\cos x) $$
$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$
$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Les intégrales primitives et indéfinies données dans ce tableau sont généralement appelées primitives tabulaires Et intégrales de table .

Intégrale définie

Laisser entre les deux [un; b] une fonction continue est donnée y = f(x) , Alors intégrale définie de a à b les fonctions f(x) est appelé l'incrément de la primitive F(x) cette fonction, c'est-à-dire

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Nombres un Et b sont appelés en conséquence inférieur Et haut limites de l’intégration.

Règles de base pour le calcul de l'intégrale définie

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) où k - constante;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), où f(x) — même fonction ;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), où f(x) est une fonction étrange.

Commentaire . Dans tous les cas, on suppose que les intégrandes sont intégrables sur des intervalles numériques dont les frontières sont les limites d'intégration.

Signification géométrique et physique de l'intégrale définie

Signification géométrique
Intégrale définie

Signification physique
Intégrale définie



Carré S trapèze curviligne (une figure limitée par le graphique d'un positif continu sur l'intervalle [un; b] les fonctions f(x) , axe Bœuf et droit x=une , x=b ) est calculé par la formule

$$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$

Chemin s, que le point matériel a surmonté, se déplaçant de manière rectiligne avec une vitesse variant selon la loi Vermont) , pendant une période de temps ; b] , puis l'aire de la figure limitée par les graphiques de ces fonctions et droites x = un , x = b , calculé par la formule

$$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$

Par exemple. Calculons l'aire de la figure délimitée par des lignes

y = x 2 Et y= 2- X .


Représentons schématiquement les graphiques de ces fonctions et soulignons dans une couleur différente la figure dont il faut trouver l'aire. Pour trouver les limites de l’intégration, on résout l’équation :

X 2 = 2- X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 .

$$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$

$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$

◄

Volume d'un corps de rotation


Si un corps est obtenu à la suite d'une rotation autour d'un axe Bœuf trapèze curviligne délimité par un graphe continu et non négatif sur l'intervalle [un; b] les fonctions y = f(x) et droit x = un Et x = b , alors on l'appelle corps de rotation .

Le volume d'un corps de révolution est calculé par la formule

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

Si un corps de révolution est obtenu à la suite de la rotation d'une figure délimitée en haut et en bas par des graphiques de fonctions y = f(x) Et y = g(x) , en conséquence, alors

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

Par exemple. Calculons le volume d'un cône de rayon r et la hauteur h .

Positionnons le cône dans un système de coordonnées rectangulaires pour que son axe coïncide avec l'axe Bœuf , et le centre de la base était situé à l'origine. Rotation du générateur UN B définit un cône. Puisque l'équation UN B

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$
et pour le volume du cône on a

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

◄

L'une des opérations de différenciation consiste à trouver la dérivée (différentielle) et à l'appliquer à l'étude des fonctions.

Le problème inverse n’est pas moins important. Si le comportement d'une fonction au voisinage de chaque point de sa définition est connu, alors comment reconstruire la fonction dans son ensemble, c'est-à-dire dans toute la portée de sa définition. Ce problème fait l'objet d'étude du calcul dit intégral.

L'intégration est l'action inverse de la différenciation. Ou restaurer la fonction f(x) à partir d'une dérivée donnée f`(x). Le mot latin « integro » signifie restauration.

Exemple n°1.

Soit (f(x))’ = 3x 2. Trouvons f(x).

Solution:

Sur la base de la règle de différenciation, il n'est pas difficile de deviner que f(x) = x 3, car

(x 3)' = 3x 2 Cependant, vous pouvez facilement remarquer que f(x) n'est pas trouvé de manière unique. Comme f(x), vous pouvez prendre f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, etc.

Parce que la dérivée de chacun d'eux est 3x 2. (La dérivée d'une constante est 0). Toutes ces fonctions diffèrent les unes des autres par un terme constant. C'est pourquoi décision commune le problème peut s'écrire sous la forme f(x)= x 3 +C, où C est n'importe quel nombre réel constant.

N'importe laquelle des fonctions trouvées f(x) est appelée primitive pour la fonction F`(x)= 3x 2

Définition.

Une fonction F(x) est dite primitive pour une fonction f(x) sur un intervalle donné J si pour tout x de cet intervalle F`(x)= f(x). Donc la fonction F(x)=x 3 est primitive pour f(x)=3x 2 sur (- ∞ ; ∞). Puisque pour tout x ~R l'égalité est vraie : F`(x)=(x 3)`=3x 2

Comme nous l'avons déjà remarqué, cette fonction a un nombre infini de primitives.

Exemple n°2.

La fonction est primitive pour tout sur l'intervalle (0; +∞), car pour tout h de cet intervalle, l’égalité est vraie.

Le problème de l'intégration est de fonction donnée trouver toutes ses primitives. Lors de la résolution de ce problème, l'énoncé suivant joue un rôle important :

Un signe de constance de fonction. Si F"(x) = 0 sur un intervalle I, alors la fonction F est constante sur cet intervalle.

Preuve.

Fixons quelques x 0 de l'intervalle I. Alors pour tout nombre x d'un tel intervalle, grâce à la formule de Lagrange, on peut indiquer un nombre c contenu entre x et x 0 tel que

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Par condition, F’ (c) = 0, puisque c ∈1, donc,

F(x) - F(x 0) = 0.

Donc, pour tout x de l’intervalle I

c'est-à-dire que la fonction F maintient une valeur constante.

Toutes les fonctions primitives f peuvent être écrites en utilisant une formule, appelée forme générale de primitives pour la fonction F. Le théorème suivant est vrai ( propriété principale des primitives):

Théorème. Toute primitive d'une fonction f sur l'intervalle I peut s'écrire sous la forme

F(x) + C, (1) où F (x) est l'une des primitives de la fonction f (x) sur l'intervalle I, et C est une constante arbitraire.

Expliquons cet énoncé, dans lequel sont brièvement formulées deux propriétés de la primitive :

  1. Quel que soit le nombre que l'on met dans l'expression (1) au lieu de C, on obtient la primitive de f sur l'intervalle I ;
  2. quelle que soit la primitive Ф pour f sur l'intervalle I, il est possible de sélectionner un nombre C tel que pour tout x de l'intervalle I l'égalité

Preuve.

  1. Par condition, la fonction F est primitive de f sur l'intervalle I. Donc, F"(x)= f (x) pour tout x∈1, donc (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), c'est-à-dire que F(x) + C est la primitive de la fonction f.
  2. Soit Ф (x) l'une des primitives de la fonction f sur le même intervalle I, c'est-à-dire Ф "(x) = f (х) pour tout x∈I.

Alors (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

De là, il s'ensuit c. la puissance du signe de constance de la fonction, que la différence Ф(х) - F(х) est une fonction qui prend une valeur constante C sur l'intervalle I.

Ainsi, pour tout x de l'intervalle I, l'égalité Ф(x) - F(x)=С est vraie, ce qui devait être prouvé. La propriété principale de la primitive peut être donnée signification géométrique: les graphiques de deux primitives quelconques de la fonction f sont obtenus l'un de l'autre par translation parallèle le long de l'axe Oy

Questions pour les notes

La fonction F(x) est une primitive de la fonction f(x). Trouvez F(1) si f(x)=9x2 - 6x + 1 et F(-1) = 2.

Trouver toutes les primitives de la fonction

Pour la fonction (x) = cos2 * sin2x, trouvez la primitive de F(x) si F(0) = 0.

Pour une fonction, trouver une primitive dont le graphe passe par le point

51. La figure montre un graphique y=f "(x)- dérivée d'une fonction f(x), défini sur l’intervalle (− 4; 6). Trouver l'abscisse du point auquel la tangente au graphique de la fonction y=f(x) parallèle à la droite y=3x ou coïncide avec lui.

Réponse : 5

52. La figure montre un graphique y=F(x) S= S= positif?

Réponse : 7

53. La figure montre un graphique y=F(x) une des primitives d'une fonction f(x) et huit points sont marqués sur l'axe des x : x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. En combien de ces points se trouve la fonction S= négatif?

Réponse : 3

54. La figure montre un graphique y=F(x) une des primitives d'une fonction S= et dix points sont marqués sur l'axe des x : x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. En combien de ces points se trouve la fonction S= positif?

Réponse : 6

55. La figure montre un graphique y=F(x f(x), défini sur l’intervalle (− 7; 5). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions à l'équation f(x)=0 sur le segment [− 5 ; 

Réponse : 3

2]. y=F(x) 56. La figure montre un graphique une des primitives d'une fonction f défini sur l’intervalle (− 8; 7). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions à l'équation f(x)= 0 sur l'intervalle [− 5; 

5].

Réponse : 4 57. La figure montre un graphique(X y = F F(X) une des primitives d'une fonction ), défini sur l'intervalle (1;13). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions à l'équation (X F

5].

)=0 sur le segment . 58. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y=f(x) (deux rayons avec un point de départ commun). À l'aide de la figure, calculez F(−1)−F(−8), La fonction F(x)=x^3+6x^2+13x-5 est l'une des primitives de la fonction f(x). Où


f(x).

Réponse : 20 y=f(x 59. La figure montre un graphique d'une certaine fonction ) (deux rayons avec un point de départ commun). À l’aide de la figure, calculez F(−1)−F(−9), La fonction F(x)=x^3+6x^2+13x-5 est l'une des primitives de la fonction f(x). Où Où


- une des fonctions primitives

Réponse : 24 y=f(x 60. La figure montre un graphique d'une certaine fonction

-). Fonction Où une des fonctions primitives.

Réponse : 6

Trouver l'aire de la figure ombrée 61. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y=f(x).

Fonction Où Une des fonctions primitives

Trouvez l'aire de la figure ombrée.

Réponse : 14,5

parallèle à la tangente au graphique de la fonction

Réponse : 0,5

Trouvez l'abscisse du point tangent.

Réponse 1

est tangente au graphe de la fonction Trouver.

f(x).

Réponse 1

est tangente au graphe de la fonction un.

c

Réponse 1

est tangente au graphe de la fonction b Réponse : 0,125

, en tenant compte du fait que l'abscisse du point tangent est supérieure à 0.

67. Réponse : -33 Point matériel

F(−1)−F(−9), X se déplace en ligne droite selon la loi t

- temps en secondes, mesuré à partir du début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 96 m/s ?

Réponse : 18

F(−1)−F(−9), X 68. Un point matériel se déplace rectiligne selon la loi se déplace en ligne droite selon la loi- distance du point de référence en mètres,

- temps en secondes, mesuré à partir du début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle de 48 m/s ?

Réponse : 9

F(−1)−F(−9), X 69. Un point matériel se déplace rectiligne selon la loi se déplace en ligne droite selon la loi=6 t

f(x).

Avec.

F(−1)−F(−9), X 70. Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi se déplace en ligne droite selon la loi- distance du point de référence en mètres, se déplace en ligne droite selon la loi=3 t

- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouver sa vitesse (en m/s) à un instant donné