Le terme « pyramide » est emprunté au grec « pyramide » ou « pyramidos ». Les Grecs, à leur tour, auraient emprunté ce mot à la langue égyptienne. Dans le papyrus Ahmes, le mot « pyramide » apparaît dans le sens du bord d'une pyramide régulière. D'autres pensent que le terme tire son origine de la forme des pains La Grèce ancienne(« piros » - seigle). En raison du fait que la forme de la flamme ressemble parfois à l'image d'une pyramide, certains érudits médiévaux pensaient que le terme venait du mot grec "pir" - feu. C'est pourquoi dans les manuels de géométrie du XVIe siècle. la pyramide est appelée le « corps en forme de feu ».
DANS L'Egypte ancienne Les tombeaux des pharaons avaient la forme de pyramides. Au 3ème millénaire avant JC. les Égyptiens construisaient des pyramides à degrés faites de blocs de pierre ; Plus tard Pyramides égyptiennes acquis une forme géométriquement correcte - par exemple, la pyramide de Khéops, dont la hauteur atteint près de 147 m, et d'autres. Euclide définit une pyramide comme une figure solide délimitée par des plans qui, à partir d'un plan (la base), convergent en un point (le sommet). Cette définition était déjà critiquée dans l’Antiquité. Par exemple, Héron, qui proposa la définition suivante d'une pyramide : c'est une figure délimitée par des triangles convergeant en un point, et dont la base est un polygone. L’inconvénient le plus important de cette définition est l’utilisation d’une notion vague de fondation. Taylor a défini une pyramide comme un polyèdre dans lequel toutes ses faces sauf une se rencontrent en un point. Legendre, dans ses Éléments de Géométrie, définit une pyramide comme suit : « Figure solide formée de triangles se rencontrant en un point et se terminant sur différents côtés d'une base plate. » Après cette formulation, la notion de fondation est expliquée. La définition de Legendre est clairement redondante, c'est-à-dire qu'elle contient des caractéristiques qui peuvent être dérivées d'autres. Et voici une autre définition apparue dans les manuels du XIXe siècle : une pyramide est un angle solide coupé par un plan.
Le premier calcul direct du volume de la pyramide qui nous est parvenu se trouve chez Héron d'Alexandrie. Il est intéressant de noter que dans les documents anciens, il existe des règles pour déterminer le volume d'une pyramide tronquée, mais il n'y a pas de règles pour calculer le volume. pyramide complète. Dans le Papyrus de Moscou, il y a un problème intitulé « Actions avec une pyramide tronquée », qui expose le calcul correct du volume d'une pyramide tronquée. Les tablettes cunéiformes babyloniennes ne contiennent pas non plus de calculs du volume d'une pyramide, mais elles contiennent de nombreux exemples de calcul du volume d'une pyramide tronquée. La première formule pour déterminer le volume d’une pyramide a apparemment été découverte par les anciens Égyptiens. Après tout, ils devaient être capables de calculer au moins approximativement la quantité de pierre nécessaire pour construire une pyramide particulière.
Selon Archimède, au Ve siècle. AVANT JC. Démocrite d'Abdère a établi que le volume d'une pyramide est égal au tiers du volume d'un prisme de même base et de même hauteur. Une preuve complète de ce théorème a été donnée par Eudoxe de Cnide au IVe siècle. AVANT JC.
Calculer le volume d'une pyramide dont la base est un certain polygone revient à calculer les volumes des tétraèdres (pyramides triangulaires). Par conséquent, l’attention principale ci-dessous sera portée sur le calcul des volumes de ces polyèdres les plus simples.
Généralement, la formule pour calculer le volume d'un tétraèdre est A B C D motivé par les considérations suivantes. Premièrement, on pense que la formule de calcul du volume d'un prisme (en particulier triangulaire) est déjà connue. Deuxièmement, d'une manière ou d'une autre, la validité de l'affirmation selon laquelle deux tétraèdres différents avec une face commune et des hauteurs correspondantes égales ont des volumes égaux est justifiée. La plupart d'une manière simple pour étayer la deuxième affirmation, il y a l'utilisation du principe dit de Cavalieri.
Sur la figure 1, les tétraèdres A B C D Et A B C D" avec un bord commun abc ont des hauteurs égales, les plans π 1, π 2 sont parallèles (le plan π 1 contient un triangle abc, et les sommets D Et D" ces tétraèdres appartiennent au plan π 2). Il est facile de montrer que les triangles UN"B"C" Et UN""B""C"", résultant de l'intersection de ces tétraèdres avec un plan arbitraire π 3 parallèle aux deux premiers plans, sont égaux (Prouvez-le !) et ont donc des aires égales. D'où la conclusion que les volumes de ces tétraèdres sont égaux (« deux piles de crêpes égales remplissent un volume »).
Avec de tels accords formule de base pour calculer le volume d'un tétraèdre :
Où S est l'aire d'une des faces du tétraèdre, et N- la longueur de la hauteur descendue sur cette face est obtenue en construisant ce tétraèdre en prisme comme le montre la figure 2, dans lequel les plans abc Et UN"B"C" parallèle. Alors ce prisme, dont le volume est égal au produit de l'aire de sa base et de sa hauteur, est composé de trois tétraèdres de taille égale (selon le principe de Cavalieri) ABCA", UN"B"C.B. Et UN"B"CC"(les deux derniers sont de taille égale, puisqu'ils ont un bord commun UN"B"C et hauteurs égales abaissées jusqu'à cette face).
Une autre possibilité de calculer le volume d'un tétraèdre est fournie par une autre construction importante liée au tétraèdre, appelée décrit parallélépipède. Il est obtenu en dessinant trois paires de plans parallèles, dont chacun passe par les bords opposés du tétraèdre (Fig. 3)
Les bords opposés du tétraèdre sont les diagonales des faces opposées du parallélépipède décrit. En plus du tétraèdre d'origine, le parallélépipède contient quatre autres « petits » tétraèdres de taille égale, dont les volumes sont égaux à un sixième du volume du parallélépipède décrit (la taille égale de ces tétraèdres découle de la formule de base) . Il s'ensuit que le volume du tétraèdre originel est égal au tiers du volume du parallélépipède décrit. Ainsi, pour calculer le volume d’un tétraèdre on obtient la formule suivante :
Où UN = BD, b = UN"C", d Et φ - distance et angle, respectivement, entre les lignes qui se croisent BD Et UN"C". En effet, la valeur est égale à la surface du visage A B C D, UN d est la longueur de la hauteur de ce parallélépipède.
De là, en particulier, il s'ensuit que si deux arêtes opposées d'un tétraèdre se déplacent le long de deux lignes de croisement données ( d Et φ - sont donnés) sans changer leurs longueurs, alors le volume du tétraèdre ne change pas
Note 1. Le fait que dans tout tétraèdre le produit de l'aire d'une face et de la hauteur qui y est dessinée ne dépend pas du choix de la base et de la hauteur peut être prouvé directement. Pour ce faire, on choisit deux faces arbitraires du tétraèdre d'aires S 1 et S 2, hauteurs correspondantes H 1 et H 2 et une arête commune de longueur un(Fig. 4).
Nous devons prouver que la relation est notée h 1 et h 2 hauteurs dessinées vers une arête commune dans les faces « première » et « seconde ». De la ressemblance triangles rectangles(d'abord avec la jambe H 1 et hypoténuse h 2, et le second - avec une jambe H 2 et hypoténuse h 1 ; la similitude découle du fait que les angles aigus sont des angles linéaires de l'angle dièdre au bord un) nous avons ça
En plus, 
De ces deux égalités nous obtenons l’énoncé souhaité.
Note 2. Dans son célèbre discours au Congrès international de mathématiques de Paris en août 1900, D. Hilbert, parmi les 23 problèmes qu'il a posés, sous le numéro trois, évoque un problème étroitement lié aux enjeux de l'enseignement de la théorie des volumes de polyèdres. Il attire l'attention sur le fait que pour dériver une formule de calcul du volume d'un tétraèdre, il faut utiliser un passage assez complexe jusqu'à la limite (ce qu'on appelle « l'escalier du diable ») ou utiliser le principe de Cavalieri, comme cela a été fait ci-dessus. . Hilbert a attiré l'attention sur cette circonstance et a émis une hypothèse sur la possibilité de prouver rigoureusement que sans l'opération de passage à la limite, la théorie des volumes des polyèdres ne peut être construite de la même manière qu'on le fait en planimétrie dans la théorie des aires. de polygones. La même année 1900, le mathématicien allemand Max Dehn, élève de Hilbert, confirme l'hypothèse exprimée par son professeur, prouvant qu'il existe des polyèdres de volume égal qui ne sont pas également composés. Autrement dit, l’un d’eux ne peut être divisé en polyèdres qui pourraient servir à former un autre polyèdre (c’est sur l’idée d’équicomposition que se construit la théorie des aires de polygones). L'une des paires de ces polyèdres de taille égale est un cube et un tétraèdre régulier. Pour plus de détails, voir.
En lien avec la motivation de la formule de base, un prisme composé de trois tétraèdres égaux a été utilisé pour calculer le volume d'un tétraèdre.
Et quoi prismes triangulaires peut être divisé en trois égal tétraèdre? À partir de quels trois tétraèdres égaux peut-on construire un prisme ?
Pour répondre à la première question, considérons (voir Fig. 2) un prisme triangulaire ABCA"B"C" et supposons que les tétraèdres ABCA", UN"B"C"C Et UN"B"AVANT JC. sont égaux les uns aux autres (le dernier d’entre eux se situe entre les deux autres).
Puis les tétraèdres ABCA" Et UN"B"AVANT JC. avoir un avantage commun UN"AVANT JC., et comme ils sont égaux, alors les arêtes provenant des sommets sont également égales UN Et B". Mais AA" = BB" Comment côtes latérales prismes, UN B = UN"B" comme les côtés correspondants des bases du prisme, donc A.C. = B"C.
Considérons les tétraèdres de la même manière UN"B"C"C Et UN"B"AVANT JC. comme des tétraèdres avec une face commune UN"B"C et quatrièmes sommets B Et C" respectivement. Comparez à nouveau les côtes latérales : BB" = C"C comme les nervures latérales d'un prisme ; C"B" = AVANT JC. comme les côtés correspondants des bases du prisme. Alors de l’égalité de ces tétraèdres il résulte que UN"B = UN"C".
Ainsi, si un prisme est composé de trois tétraèdres égaux comme le montre la figure 2, alors
A.C. = UN"C" = UN"B = B"C. (*)
Ce prisme peut être divisé en trois tétraèdres d'autres manières. (Il existe 6 méthodes de ce type au total. Prouvez-le vous-même !) Dans chacune de ces partitions, comme ce qui vient d'être considéré, nous nous assurons que la relation (*) est satisfaite. Ainsi, si un prisme peut être divisé en trois tétraèdres égaux, alors les diagonales non sécantes des deux faces latérales du prisme doivent être égales entre elles et égales au côté de la base, couché dans la troisième face latérale.
Avant de donner une réponse détaillée à la deuxième question, attardons-nous sur une méthode de construction d'un prisme à partir de trois tétraèdres égaux.
Désignons par a le plan passant par le point UN. Considérons un triangle équilatéral AMN dans cet avion. Restituons les perpendiculaires à a en ses sommets. Sur ces lignes nous sélectionnons trois points UN", B, C tel que Les AA" = 3je,M.B. = je, NC = 2je, Où je- un nombre positif arbitraire (voir Fig. 5). Complétons maintenant le tétraèdre résultant ABCA"à un prisme avec une base abc et côtes latérales BB", CC". Le prisme ainsi obtenu satisfait à la condition (*) et est donc constitué de trois tétraèdres égaux : ABCA", UN"B"AVANT JC., UN"B"C"C. En effet, désignant pour un longueur du côté du triangle AMN et en utilisant le théorème de Pythagore, il est facile de calculer que
La réponse complète à la question posée est contenue dans la tâche 2.
Tâches et exercices
1. Est-il possible de découper un cube : a) en 5 pyramides triangulaires ; b) en 4 pyramides triangulaires ?
2. Quels trois tétraèdres égaux peuvent être utilisés pour fabriquer un prisme ? Trouvez la relation que ses bords doivent satisfaire.
Note. Soit un tétraèdre ABCA" et les longueurs de toutes ses arêtes sont connues. Construisez-le jusqu'à un prisme ABCA"B"C" et exprimer AVANT JC"à travers des quantités connues.
3. Montrer qu'il est impossible de construire un prisme à partir de trois tétraèdres réguliers.
4. Soit toutes les faces du tétraèdre des triangles égaux dont les côtés sont égaux un, b Et c. Calculez le volume du tétraèdre.
5. Étant donné trois lignes parallèles p, q Et r, ne se trouvant pas dans le même plan. Le bord du tétraèdre se déplace librement en ligne droite p(sans changer sa longueur), et les deux sommets restants - en lignes droites q Et r. Montrer que le volume du tétraèdre reste constant.
6. Lignes parallèles p, q, r Et je, ne se trouvant pas dans le même plan, coupe le premier plan en des points UN, B, C Et D, et le second - aux points UN", B", C" Et D" respectivement. Prouver que les tétraèdres UN B"C"D" Et UN"BCD ont les mêmes volumes.
7 * . (Olympiade panrusse, 1988 .) a) Est-il possible de placer deux tétraèdres réguliers non sécants d'arête 1 à l'intérieur d'un cube d'arête 1 ?
b) Lequel le plus grand nombre les tétraèdres réguliers d'arête 1 sont placés à l'intérieur d'un cube d'arête 1 si les tétraèdres ne peuvent toucher que leurs faces ?
2. Jusqu'à une permutation des sommets, l'égalité doit être satisfaite UN B = CALIFORNIE.", ainsi que l'une des deux relations suivantes :
(UN B) 2 = (A.C.) 2 + (B.A.") 2 – (AVANT JC.) 2 – (Les AA") 2 ,
3(UN B) 2 = (A.C.) 2 + (B.A.") 2 + (AVANT JC.) 2 + (Les AA") 2 .
7. a) C'est possible; b) 3 tétraèdres.
Littérature
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En géométrie tétraèdre est un polyèdre régulier qui a quatre faces qui sont des triangles équilatéraux. Il s'ensuit que tous les bords tétraèdre ont la même longueur et toutes ses faces ont la même aire. Ce corps géométrique et ses propriétés de base sont étudiés dans les cours de géométrie à l'école, mais dans la vie, il " V forme pure "Ça n'arrive pas très souvent. Ou plutôt, tétraèdre souvent tout simplement pas aussi visible et évident que, par exemple, une sphère ou un parallélépipède.
Néanmoins, en technologie, ce corps géométrique se retrouve assez souvent. Par exemple, le formulaire tétraèdres avoir des éléments optiques qui constituent la base de la conception des réflecteurs. En raison des particularités de la disposition des bords tétraèdres réfléchissent la lumière au même point d'où elle vient et semblent donc briller d'eux-mêmes. Les réflecteurs ont trouvé une très large application en tant que dispositifs de sécurité routière.
Trouver le volume d'un tétraèdre
| V |
un- bord d'un tétraèdre
V- volume du tétraèdre
Parce que le tétraèdre est par nature une forme statique exclusivement rigide, cette propriété est assez largement utilisée en technologie. Par exemple, les tiges de nombreuses structures métalliques porteuses sont disposées précisément sous la forme de tétraèdres, et grâce à cela, les ingénieurs sont capables de créer des fermes légères et exceptionnellement résistantes pour les ponts et les planchers de diverses structures.
Les réseaux cristallins de nombreux minéraux naturels durables ont également la forme tétraèdre. L'un d'eux est le diamant, dans lequel les atomes sont situés précisément aux sommets de ce corps géométrique. Il est intéressant de noter que le graphite est également composé d’atomes de carbone, ce qui signifie que sa composition chimique est similaire composition chimique le diamant, cependant, en termes de caractéristiques de résistance, il est très nettement inférieur à ce dernier précisément parce que la forme de son réseau cristallin est différente. La production de diamants artificiels à partir de graphite consiste donc précisément à ordonner les atomes de carbone de manière à former des tétraèdres.
La disposition des fruits de certaines plantes en grappes a également la forme de ce corps géométrique. Par exemple, les noix sont souvent positionnées de telle sorte que leurs centres soient aux sommets d'un tétraèdre.
Maintenant en Russie et dans certains pays étrangers des emballages de lait sont produits, également façonnés tétraèdre. La base de sa fabrication est un tuyau constitué d'un matériau spécial, rappelant celui utilisé dans la fabrication de ce qu'on appelle « tétrapacks" Lorsqu'il est rempli de lait ou de crème, des dispositifs spéciaux le scellent de telle sorte que les coutures adjacentes soient perpendiculaires les unes aux autres et que les sacs finis aient ainsi la forme d'un tétraèdre.
Classique tétraèdre est aussi un puzzle connu sous le nom de " La pyramide de Rubik», « Tétraèdre japonais" Et " Pyramide moldave" Le célèbre architecte et inventeur hongrois n’y est cependant pour rien, même si le principe sur lequel il repose est pratiquement le même que celui utilisé dans son célèbre cube. En fait, ce jouet a été développé par l'Allemand Uwe Meffert en 1972, puis, indépendamment de lui, inventé par l'ingénieur moldave A.A. Ordynets, et depuis 1981 produit par la société Jouets Tomy, dont le siège social est situé au Japon.