ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें. निश्चित अभिन्न. किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

16.10.2019

पिछले अनुभाग में, एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के विश्लेषण के लिए समर्पित, हमें क्षेत्र की गणना के लिए कई सूत्र प्राप्त हुए घुमावदार समलम्बाकार:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-नकारात्मक फलन y = f (x) के लिए अंतराल पर [ a ; बी ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-सकारात्मक फलन y = f (x) के लिए अंतराल पर [ a ; बी ] ।

इन्हें हल करने के लिए ये सूत्र लागू होते हैं सरल कार्य. हकीकत में, हमें अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के साथ काम करना होगा। इस संबंध में, हम इस अनुभाग को स्पष्ट रूप में कार्यों द्वारा सीमित आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के लिए एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए समर्पित करेंगे, अर्थात। जैसे y = f(x) या x = g(y).

प्रमेय

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y = f 1 (x) और y = f 2 (x) परिभाषित हैं और अंतराल पर निरंतर हैं [ a ; b ] , और f 1 (x) ≤ f 2 (x) किसी भी मान x के लिए [ a ; बी ] । फिर रेखाओं x = a, x = b, y = f 1 (x) और y = f 2 (x) से घिरी आकृति G के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र S (G) = ∫ जैसा दिखेगा ए बी एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डी एक्स।

एक समान सूत्र y = c, y = d, x = g 1 (y) और x = g 2 (y) रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल के लिए लागू होगा: S (G) = ∫ c d ( जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई) डी वाई .

सबूत

आइए तीन मामलों पर नजर डालें जिनके लिए फॉर्मूला मान्य होगा।

पहले मामले में, क्षेत्र की योगात्मकता के गुण को ध्यान में रखते हुए, मूल आकृति G और वक्ररेखीय समलम्बाकार G1 के क्षेत्रों का योग आकृति G2 के क्षेत्रफल के बराबर है। इस का मतलब है कि

इसलिए, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) डीएक्स.

हम निश्चित समाकलन के तीसरे गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

दूसरे मामले में, समानता सत्य है: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स

ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

यदि दोनों फ़ंक्शन गैर-सकारात्मक हैं, तो हमें मिलता है: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स। ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

आइए सामान्य स्थिति पर विचार करें जब y = f 1 (x) और y = f 2 (x) O x अक्ष को प्रतिच्छेद करते हैं।

हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं को x i, i = 1, 2, के रूप में निरूपित करते हैं। . . , एन - 1 . ये बिंदु खंड को विभाजित करते हैं [ए; b ] n भागों में x i - 1 ; एक्स मैं, मैं = 1, 2, . . . , n, जहां α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

इस तरह,

एस (जी) = ∑ आई = 1 एन एस (जी आई) = ∑ आई = 1 एन ∫ एक्स आई एक्स आई एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स = = ∫ एक्स 0 एक्स एन (एफ 2 (एक्स) - एफ ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

हम निश्चित समाकलन के पांचवें गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

आइए ग्राफ़ पर सामान्य मामले को चित्रित करें।

सूत्र S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x को सिद्ध माना जा सकता है।

अब आइए उन आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के उदाहरणों का विश्लेषण करने के लिए आगे बढ़ें जो रेखाओं y = f (x) और x = g (y) द्वारा सीमित हैं।

हम किसी भी उदाहरण पर अपना विचार एक ग्राफ़ बनाकर शुरू करेंगे। छवि हमें प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगी जटिल आंकड़ेऔर अधिक कैसे संयोजित करें सरल आंकड़े. यदि आपके लिए ग्राफ़ और उन पर आकृतियाँ बनाना कठिन है, तो आप बुनियादी प्राथमिक फ़ंक्शंस, फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तन के साथ-साथ किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय ग्राफ़ का निर्माण करने वाले अनुभाग का अध्ययन कर सकते हैं।

उदाहरण 1

आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है, जो परवलय y = - x 2 + 6 x - 5 और सीधी रेखाओं y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में ग्राफ़ पर रेखाएँ खींचें।

खंड पर [ 1 ; 4 ] परवलय y = - x 2 + 6 x - 5 का ग्राफ सीधी रेखा y = - 1 3 x - 1 2 के ऊपर स्थित है। इस संबंध में, उत्तर प्राप्त करने के लिए हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ ही न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न अंग की गणना करने की विधि का उपयोग करते हैं:

एस (जी) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

उत्तर: एस(जी) = 13

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x + 2, y = x, x = 7 द्वारा सीमित है।

समाधान

में इस मामले मेंहमारे पास x-अक्ष के समानांतर केवल एक सीधी रेखा है। यह x = 7 है. इसके लिए हमें एकीकरण की दूसरी सीमा स्वयं ढूंढनी होगी।

आइए एक ग्राफ बनाएं और उस पर समस्या कथन में दी गई पंक्तियों को आलेखित करें।

ग्राफ को अपनी आंखों के सामने रखते हुए, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एकीकरण की निचली सीमा सीधी रेखा y = x और अर्ध-परवलय y = x + 2 के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज होगा। भुज को खोजने के लिए हम समानता का उपयोग करते हैं:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

इससे पता चलता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज x = 2 है।

हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि सामान्य उदाहरणरेखाचित्र में, रेखाएँ y = x + 2, y = x बिंदु (2; 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए ऐसी विस्तृत गणनाएँ अनावश्यक लग सकती हैं। हम इसे यहां लाए हैं विस्तृत समाधानकेवल इसलिए कि और भी हैं कठिन मामलेसमाधान इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है. इसका मतलब यह है कि विश्लेषणात्मक रूप से रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक की गणना करना हमेशा बेहतर होता है।

अंतराल पर [2 ; 7] फ़ंक्शन y = x का ग्राफ़ फ़ंक्शन y = x + 2 के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है। आइए क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करें:

एस (जी) = ∫ 2 7 (एक्स - एक्स + 2) डी एक्स = एक्स 2 2 - 2 3 · (एक्स + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

उत्तर: एस (जी) = 59 6

उदाहरण 3

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो फ़ंक्शन y = 1 x और y = - x 2 + 4 x - 2 के ग्राफ़ द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर रेखाएँ आलेखित करें।

आइए एकीकरण की सीमाओं को परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति 1 x और - x 2 + 4 x - 2 को बराबर करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। बशर्ते कि x शून्य नहीं है, समानता 1 x = - x 2 + 4 x - 2 पूर्णांक गुणांक के साथ तीसरे डिग्री समीकरण - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 के बराबर हो जाती है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम की आपकी स्मृति को ताज़ा करने के लिए, हम "घन समीकरणों को हल करना" अनुभाग का संदर्भ ले सकते हैं।

इस समीकरण का मूल x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 है।

व्यंजक - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 को द्विपद x - 1 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

हम समीकरण x 2 - 3 x - 1 = 0 से शेष मूल ज्ञात कर सकते हैं:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3। 3; एक्स 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

हमने अंतराल x ∈ 1 पाया; 3 + 13 2, जिसमें आकृति G नीली रेखा के ऊपर और लाल रेखा के नीचे समाहित है। इससे हमें आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करने में मदद मिलती है:

एस (जी) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - एलएन 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - एलएन 1 = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उत्तर: एस (जी) = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उदाहरण 4

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो वक्र y = x 3, y = - log 2 x + 1 और भुज अक्ष द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर सभी रेखाएँ आलेखित करें। हम ग्राफ़ y = log 2 x से फ़ंक्शन y = - log 2 x + 1 का ग्राफ़ प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे x-अक्ष के बारे में सममित रूप से रखते हैं और इसे एक इकाई ऊपर ले जाते हैं। x-अक्ष का समीकरण y = 0 है।

आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, फलन y = x 3 और y = 0 के ग्राफ़ बिंदु (0; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि x = 0 समीकरण x 3 = 0 का एकमात्र वास्तविक मूल है।

x = 2 समीकरण का एकमात्र मूल है - लॉग 2 x + 1 = 0, इसलिए फ़ंक्शन y = - लॉग 2 x + 1 और y = 0 के ग्राफ़ बिंदु (2; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

x = 1 समीकरण x 3 = - log 2 x + 1 का एकमात्र मूल है। इस संबंध में, फ़ंक्शन y = x 3 और y = - log 2 x + 1 के ग्राफ़ बिंदु (1; 1) पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतिम कथन स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन समीकरण x 3 = - log 2 x + 1 में एक से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन y = x 3 सख्ती से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y = - log 2 x + 1 है सख्ती से घट रही है.

आगे के समाधान में कई विकल्प शामिल हैं।

विकल्प #1

हम आकृति G की कल्पना x-अक्ष के ऊपर स्थित दो वक्ररेखीय समलंबों के योग के रूप में कर सकते हैं, जिनमें से पहला नीचे स्थित है मध्य रेखाखंड x ∈ 0 पर; 1, और दूसरा खंड x ∈ 1 पर लाल रेखा के नीचे है; 2. इसका मतलब है कि क्षेत्रफल S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x के बराबर होगा।

विकल्प संख्या 2

चित्र G को दो आकृतियों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से पहला x-अक्ष के ऊपर और खंड x ∈ 0 पर नीली रेखा के नीचे स्थित है; 2, और खंड x ∈ 1 पर लाल और नीली रेखाओं के बीच दूसरा; 2. यह हमें निम्नानुसार क्षेत्र खोजने की अनुमति देता है:

एस (जी) = ∫ 0 2 एक्स 3 डी एक्स - ∫ 1 2 एक्स 3 - (- लॉग 2 एक्स + 1) डी एक्स

इस मामले में, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y रूप के सूत्र का उपयोग करना होगा। वास्तव में, आकृति को बांधने वाली रेखाओं को तर्क y के कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए समीकरण y = x 3 और - x के संबंध में लघुगणक 2 x + 1 को हल करें:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - लघुगणक 2 x + 1 ⇒ लघुगणक 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

हमें आवश्यक क्षेत्र मिलता है:

एस (जी) = ∫ 0 1 (2 1 - वाई - वाई 3) डी वाई = - 2 1 - वाई एलएन 2 - वाई 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 एलएन 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 एलएन 2 - 0 4 4 = - 1 एलएन 2 - 1 4 + 2 एलएन 2 = 1 एलएन 2 - 1 4

उत्तर: एस (जी) = 1 एलएन 2 - 1 4

उदाहरण 5

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

लाल रेखा से हम फ़ंक्शन y = x द्वारा परिभाषित रेखा खींचते हैं। हम रेखा y = - 1 2 x + 4 को नीले रंग में और रेखा y = 2 3 x - 3 को काले रंग में खींचते हैं।

आइए प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

आइए फ़ंक्शन y = x और y = - 1 2 x + 4 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 जांचें: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 नहीं क्या समीकरण x 2 = का हल है 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 समीकरण का हल है ⇒ (4; 2) प्रतिच्छेदन बिंदु i y = x और y = - 1 2 x +4

आइए फ़ंक्शन y = x और y = 2 3 x - 3 के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 जांचें: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 समीकरण का हल है ⇒ (9 ; 3) बिंदु a s y = x और y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 समीकरण का कोई हल नहीं है

आइए रेखाओं y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3 का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) प्रतिच्छेदन बिंदु y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3

विधि संख्या 1

आइए हम वांछित आकृति के क्षेत्रफल की कल्पना व्यक्तिगत आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में करें।

तब आकृति का क्षेत्रफल है:

एस (जी) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

विधि संख्या 2

मूल आकृति का क्षेत्रफल दो अन्य आकृतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फिर हम x के सापेक्ष रेखा के समीकरण को हल करते हैं, और उसके बाद ही हम आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं।

y = x ⇒ x = y 2 लाल रेखा y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 काली रेखा y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

तो क्षेत्र है:

एस (जी) = ∫ 1 2 3 2 वाई + 9 2 - - 2 वाई + 8 डी वाई + ∫ 2 3 3 3 2 वाई + 9 2 - वाई 2 डी वाई = = ∫ 1 2 7 2 वाई - 7 2 डी वाई + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान समान हैं।

उत्तर: एस (जी) = 11 3

परिणाम

किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए जो दी गई रेखाओं द्वारा सीमित है, हमें एक समतल पर रेखाएँ बनाने, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र लागू करने की आवश्यकता है। इस अनुभाग में, हमने कार्यों के सबसे सामान्य प्रकारों की जांच की।

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हम दोहरे समाकलन की गणना की वास्तविक प्रक्रिया पर विचार करना शुरू करते हैं और इसके ज्यामितीय अर्थ से परिचित होते हैं।

संख्यात्मक रूप से दोहरा अभिन्न क्षेत्रफल के बराबरसमतल आकृति (एकीकरण का क्षेत्र)। यह सबसे सरल रूपदोहरा अभिन्न, जब दो चर का कार्य एक के बराबर होता है:।

आइए सबसे पहले समस्या पर विचार करें सामान्य रूप से देखें. अब आप आश्चर्यचकित होंगे कि सब कुछ वास्तव में कितना सरल है! आइए रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें। निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि खंड पर। इस आकृति का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है:

आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र को पार करने का पहला तरीका चुनें:

इस प्रकार:

और तुरंत महत्वपूर्ण तकनीकी तकनीक: पुनरावृत्त अभिन्नों की गणना अलग से की जा सकती है. पहले आंतरिक अभिन्न, फिर बाह्य अभिन्न। यह विधिमैं इस विषय में शुरुआती लोगों को इसकी अत्यधिक अनुशंसा करता हूँ।

1) आइए आंतरिक अभिन्न की गणना करें, और एकीकरण चर "y" पर किया जाता है:

यहां अनिश्चितकालीन अभिन्न सबसे सरल है, और फिर सामान्य न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग किया जाता है, एकमात्र अंतर के साथ एकीकरण की सीमाएँ संख्याएँ नहीं, बल्कि कार्य हैं. सबसे पहले, हमने ऊपरी सीमा को "y" (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन) में प्रतिस्थापित किया, फिर निचली सीमा को

2) पहले पैराग्राफ में प्राप्त परिणाम को बाहरी अभिन्न अंग में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

संपूर्ण समाधान का अधिक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है:

परिणामी सूत्र - बिल्कुल यही है कार्य सूत्र"साधारण" निश्चित समाकलन का उपयोग करके एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना! पाठ देखें एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करना, वह हर कदम पर है!

वह है, दोहरे समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने की समस्या बहुत अलग नहींएक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या से!वास्तव में, यह वही बात है!

तदनुसार, कोई कठिनाई उत्पन्न नहीं होनी चाहिए! मैं बहुत सारे उदाहरण नहीं देखूंगा, क्योंकि वास्तव में, आपने बार-बार इस कार्य का सामना किया है।

उदाहरण 9

समाधान:आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र के भ्रमण का निम्नलिखित क्रम चुनें:

यहां और आगे मैं इस बात पर ध्यान नहीं दूंगा कि क्षेत्र को कैसे पार किया जाए, क्योंकि पहले पैराग्राफ में बहुत विस्तृत विवरण दिए गए थे।

इस प्रकार:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, शुरुआती लोगों के लिए पुनरावृत्त इंटीग्रल्स की अलग से गणना करना बेहतर है, और मैं उसी विधि पर कायम रहूंगा:

1) सबसे पहले, न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करते हुए, हम आंतरिक अभिन्न से निपटते हैं:

2) पहले चरण में प्राप्त परिणाम को बाह्य समाकलन में प्रतिस्थापित किया जाता है:

बिंदु 2 वास्तव में एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

उत्तर:

यह कितना मूर्खतापूर्ण और अनुभवहीन कार्य है।

स्वतंत्र समाधान के लिए एक दिलचस्प उदाहरण:

उदाहरण 10

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं से घिरे एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

अनुमानित नमूनापाठ के अंत में समाधान को अंतिम रूप देना।

उदाहरण 9-10 में, क्षेत्र को पार करने की पहली विधि का उपयोग करना अधिक लाभदायक है, जिज्ञासु पाठक, दूसरी विधि का उपयोग करके पारगमन के क्रम को बदल सकते हैं और क्षेत्रों की गणना कर सकते हैं। यदि आप कोई गलती नहीं करते हैं, तो, स्वाभाविक रूप से, आपको वही क्षेत्र मान मिलेंगे।

लेकिन कुछ मामलों में, क्षेत्र को पार करने की दूसरी विधि अधिक प्रभावी होती है, और युवा बेवकूफ़ के पाठ्यक्रम के अंत में, आइए इस विषय पर कुछ और उदाहरण देखें:

उदाहरण 11

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

समाधान:हम विचित्रता के साथ दो परवलयों की प्रतीक्षा कर रहे हैं जो उनके किनारों पर स्थित हैं। मुस्कुराने की कोई ज़रूरत नहीं है; समान चीजें कई अभिन्नताओं में अक्सर होती हैं।

चित्र बनाने का सबसे आसान तरीका क्या है?

आइए दो कार्यों के रूप में एक परवलय की कल्पना करें:
- ऊपरी शाखा और - निचली शाखा।

इसी प्रकार ऊपर और नीचे के रूप में एक परवलय की कल्पना करें शाखाएँ.

इसके बाद, ग्राफ़ नियमों की बिंदु-वार साजिश रची गई, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा विचित्र आंकड़ा प्राप्त हुआ:

हम सूत्र के अनुसार दोहरे समाकलन का उपयोग करके आकृति के क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

यदि हम क्षेत्र को पार करने का पहला तरीका चुनते हैं तो क्या होगा? सबसे पहले इस क्षेत्र को दो हिस्सों में बांटना होगा. और दूसरी बात, हम इस दुखद तस्वीर को देखेंगे: . बेशक, इंटीग्रल अति-जटिल स्तर के नहीं हैं, लेकिन... एक पुरानी गणितीय कहावत है: जो लोग अपनी जड़ों के करीब हैं उन्हें परीक्षण की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए, स्थिति में दी गई गलतफहमी से, हम व्युत्क्रम कार्यों को व्यक्त करते हैं:

उलटा कार्यवी इस उदाहरण मेंइसका फायदा यह है कि वे बिना किसी पत्ते, बलूत के फल, शाखाओं और जड़ों के एक ही बार में पूरे परवलय को निर्दिष्ट कर देते हैं।

दूसरी विधि के अनुसार, क्षेत्र ट्रैवर्सल इस प्रकार होगा:

इस प्रकार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें।

1) हम आंतरिक अभिन्न से निपटते हैं:

हम परिणाम को बाहरी अभिन्न अंग में प्रतिस्थापित करते हैं:

चर "y" पर एकीकरण भ्रमित करने वाला नहीं होना चाहिए; यदि कोई अक्षर "zy" होता, तो उस पर एकीकृत करना बहुत अच्छा होता। हालाँकि पाठ का दूसरा पैराग्राफ किसने पढ़ा परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना कैसे करें, वह अब "Y" पद्धति के अनुसार एकीकरण के साथ थोड़ी सी भी अजीबता का अनुभव नहीं करता है।

पहले चरण पर भी ध्यान दें: इंटीग्रैंड सम है, और एकीकरण का अंतराल शून्य के बारे में सममित है। इसलिए, खंड को आधा किया जा सकता है, और परिणाम को दोगुना किया जा सकता है। यह तकनीकपाठ में विस्तार से टिप्पणी की प्रभावी तरीकेएक निश्चित अभिन्न की गणना.

क्या जोड़ें... सभी!

उत्तर:

अपनी एकीकरण तकनीक का परीक्षण करने के लिए, आप गणना करने का प्रयास कर सकते हैं . उत्तर बिल्कुल वैसा ही होना चाहिए.

उदाहरण 12

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप क्षेत्र को पार करने की पहली विधि का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो आकृति को अब दो में नहीं, बल्कि तीन भागों में विभाजित करना होगा! और, तदनुसार, हमें दोहराए गए अभिन्नों के तीन जोड़े मिलते हैं। ऐसा भी होता है.

मास्टर क्लास समाप्त हो गई है, और ग्रैंडमास्टर स्तर पर आगे बढ़ने का समय आ गया है - डबल इंटीग्रल की गणना कैसे करें? समाधान के उदाहरण. मैं दूसरे लेख में इतना उन्मत्त न होने का प्रयास करूँगा =)

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:समाधान: आइए क्षेत्र का चित्रण करें ड्राइंग पर:

आइए क्षेत्र के भ्रमण का निम्नलिखित क्रम चुनें:

इस प्रकार:
आइए व्युत्क्रम कार्यों पर चलते हैं:

इस प्रकार:
उत्तर:

उदाहरण 4:समाधान: आइए प्रत्यक्ष कार्यों पर आगे बढ़ें:

आइए चित्र बनाएं:

आइए क्षेत्र को पार करने का क्रम बदलें:

उत्तर:

समस्या 1(घुमावदार समलंब के क्षेत्रफल की गणना के बारे में)।

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली xOy में, एक आकृति दी गई है (चित्र देखें) जो x अक्ष से घिरा है, सीधी रेखाएं x = a, x = b (एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड। घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है।
समाधान।ज्यामिति हमें बहुभुजों और एक वृत्त के कुछ भागों (सेक्टर, खंड) के क्षेत्रफल की गणना करने की विधि देती है। ज्यामितीय विचारों का उपयोग करते हुए, हम केवल आवश्यक क्षेत्र का अनुमानित मूल्य पा सकते हैं, निम्नानुसार तर्क दे सकते हैं।

आइए खंड को विभाजित करें [ए; बी] (घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का आधार) एन बराबर भागों में; यह विभाजन बिंदु x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 का उपयोग करके किया जाता है। आइए इन बिंदुओं से होकर y-अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें। फिर दिए गए वक्रीय समलम्ब को n भागों में, n संकीर्ण स्तंभों में विभाजित किया जाएगा। संपूर्ण समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्तंभों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

आइए हम k-वें कॉलम पर अलग से विचार करें, अर्थात। एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज जिसका आधार एक खंड है। आइए इसे समान आधार और f(x k) के बराबर ऊंचाई वाले एक आयत से बदलें (आंकड़ा देखें)। आयत का क्षेत्रफल $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ के बराबर है, जहां $\Delta x_k $ खंड की लंबाई है; परिणामी उत्पाद को kth कॉलम के क्षेत्रफल के अनुमानित मान के रूप में मानना स्वाभाविक है।

यदि अब हम अन्य सभी स्तंभों के साथ भी ऐसा ही करते हैं, तो हम निम्नलिखित परिणाम पर आएंगे: किसी दिए गए वक्रीय समलंब का क्षेत्रफल S, n आयतों से बनी एक चरणबद्ध आकृति के क्षेत्रफल S n के लगभग बराबर है (आंकड़ा देखें):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
यहां, अंकन की एकरूपता के लिए, हम मानते हैं कि a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - खंड की लंबाई, $\Delta x_1 $ - खंड की लंबाई, आदि; इस मामले में, जैसा कि हम ऊपर सहमत हुए थे, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

तो, $S \लगभग S_n $, और यह अनुमानित समानता अधिक सटीक है, बड़ा n।
परिभाषा के अनुसार, यह माना जाता है कि घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का आवश्यक क्षेत्र अनुक्रम की सीमा (एस एन) के बराबर है:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

समस्या 2(एक बिंदु को हिलाने के बारे में)
एक सीधी रेखा में चलता है भौतिक बिंदु. समय पर गति की निर्भरता सूत्र v = v(t) द्वारा व्यक्त की जाती है। समय की अवधि में एक बिंदु की गति का पता लगाएं [ए; बी]।
समाधान।यदि गति एक समान होती, तो समस्या बहुत सरलता से हल हो जाती: s = vt, यानी। s = v(बी-ए). असमान गति के लिए आपको उन्हीं विचारों का उपयोग करना होगा जिन पर पिछली समस्या का समाधान आधारित था।
1) समय अंतराल को विभाजित करें [ए; b] n बराबर भागों में।
2) समय की एक अवधि पर विचार करें और मान लें कि इस अवधि के दौरान गति स्थिर थी, समय t k के समान। तो हम मानते हैं कि v = v(t k).
3) आइए किसी समयावधि में बिंदु की गति का अनुमानित मान ज्ञात करें, हम इस अनुमानित मान को s k के रूप में निरूपित करेंगे
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) विस्थापन का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए:
$s \लगभग S_n $ कहां
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) आवश्यक विस्थापन अनुक्रम की सीमा के बराबर है (एस एन):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

आइए संक्षेप करें। विभिन्न समस्याओं का समाधान एक ही गणितीय मॉडल पर सिमट गया। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों की कई समस्याएं समाधान की प्रक्रिया में एक ही मॉडल की ओर ले जाती हैं। इसका मतलब यह है कि इस गणितीय मॉडल का विशेष रूप से अध्ययन किया जाना चाहिए।

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा

आइए हम उस मॉडल का गणितीय विवरण दें जो फ़ंक्शन y = f(x) के लिए तीन मानी गई समस्याओं में बनाया गया था, अंतराल पर निरंतर (लेकिन जरूरी नहीं कि गैर-नकारात्मक, जैसा कि मानी गई समस्याओं में माना गया था); बी]:
1) खंड को विभाजित करें [ए; बी] एन बराबर भागों में;
2) योग बनाएं $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ की गणना करें

गणितीय विश्लेषण के दौरान यह साबित हुआ कि यह सीमा निरंतर (या टुकड़े-टुकड़े निरंतर) फ़ंक्शन के मामले में मौजूद है। वे उसे बुलाते हैं खंड पर फ़ंक्शन y = f(x) का एक निश्चित अभिन्न अंग [a; बी]और इस प्रकार दर्शाया गया है:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
संख्या ए और बी को एकीकरण की सीमाएं (क्रमशः निचली और ऊपरी) कहा जाता है।

आइए ऊपर चर्चा किए गए कार्यों पर वापस आएं। समस्या 1 में दी गई क्षेत्रफल की परिभाषा को अब इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
यहाँ S ऊपर चित्र में दिखाए गए वक्ररेखीय समलंब का क्षेत्रफल है। यह है ज्यामितीय अर्थनिश्चित अभिन्न.

समस्या 2 में दी गई t = a से t = b तक की समयावधि में v = v(t) गति के साथ एक सीधी रेखा में चलते हुए एक बिंदु के विस्थापन s की परिभाषा को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

सबसे पहले, आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: निश्चित अभिन्न और प्रतिअवकलन के बीच क्या संबंध है?

इसका उत्तर समस्या 2 में पाया जा सकता है। एक ओर, t = a से t = b तक की समयावधि में v = v(t) गति के साथ एक सीधी रेखा में चलते हुए एक बिंदु के विस्थापन की गणना निम्न द्वारा की जाती है सूत्र
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

दूसरी ओर, एक गतिमान बिंदु का निर्देशांक गति के लिए एक प्रतिअवकलन है - आइए इसे s(t) से निरूपित करें; इसका मतलब यह है कि विस्थापन s को सूत्र s = s(b) - s(a) द्वारा व्यक्त किया जाता है। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
जहाँ s(t) v(t) का प्रतिअवकलज है।

गणितीय विश्लेषण के दौरान निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध हुआ।
प्रमेय. यदि फलन y = f(x) अंतराल [a; बी], तो सूत्र मान्य है
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
जहाँ F(x) f(x) का प्रतिअवकलन है।

दिए गए सूत्र को आमतौर पर कहा जाता है न्यूटन-लीबनिज सूत्रअंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लीबनिज (1646-1716) के सम्मान में, जिन्होंने इसे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ प्राप्त किया।

व्यवहार में, F(b) - F(a) लिखने के बजाय, वे नोटेशन $\left. F(x)\right|_a^b $ का उपयोग करते हैं (इसे कभी-कभी कहा जाता है दोहरा प्रतिस्थापन) और, तदनुसार, न्यूटन-लीबनिज सूत्र को इस रूप में फिर से लिखें:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

एक निश्चित अभिन्न की गणना करते समय, पहले प्रतिअवकलन ज्ञात करें, और फिर दोहरा प्रतिस्थापन करें।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र के आधार पर, हम निश्चित अभिन्न के दो गुण प्राप्त कर सकते हैं।

संपत्ति 1.कार्यों के योग का अभिन्न अंग योग के बराबरअभिन्न:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करना

इंटीग्रल का उपयोग करके, आप न केवल घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्रों की गणना कर सकते हैं, बल्कि अधिक सपाट आकृतियों के भी जटिल प्रकार, उदाहरण के लिए चित्र में दिखाया गया है। आकृति P सीधी रेखाओं x = a, x = b और सतत फलनों y = f(x), y = g(x) के ग्राफ़ और खंड [a; b] असमानता $g(x) \leq f(x) $ कायम है। ऐसी आकृति के क्षेत्रफल S की गणना करने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

तो, एक आकृति का क्षेत्र S सीधी रेखाओं x = a, x = b और कार्यों के ग्राफ y = f(x), y = g(x) से घिरा है, जो खंड पर निरंतर है और इस प्रकार खंड से किसी भी x के लिए [ए; b] असमानता $g(x) \leq f(x) $ संतुष्ट है, सूत्र द्वारा गणना की गई है
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

कुछ फलनों के अनिश्चित समाकलन (प्रतिअवकलन) की तालिका

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) एक्स +सी $$

इस लेख में आप सीखेंगे कि अभिन्न गणना का उपयोग करके रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। हम पहली बार हाई स्कूल में ऐसी समस्या के सूत्रीकरण का सामना करते हैं, जब हमने निश्चित अभिन्नों का अध्ययन पूरा कर लिया है और व्यवहार में अर्जित ज्ञान की ज्यामितीय व्याख्या शुरू करने का समय आ गया है।

तो, इंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए क्या आवश्यक है:

सक्षम चित्र बनाने की क्षमता;
प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न को हल करने की क्षमता;
अधिक लाभदायक समाधान विकल्प "देखने" की क्षमता - अर्थात। समझें कि किसी न किसी मामले में एकीकरण करना कैसे अधिक सुविधाजनक होगा? x-अक्ष (OX) के अनुदिश या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
खैर, सही गणनाओं के बिना हम कहां होंगे?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के अभिन्नों को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम एक चित्र बना रहे हैं. इसे बड़े पैमाने पर कागज के चेकदार टुकड़े पर करने की सलाह दी जाती है। हम प्रत्येक ग्राफ़ के ऊपर एक पेंसिल से इस फ़ंक्शन के नाम पर हस्ताक्षर करते हैं। ग्राफ़ पर हस्ताक्षर केवल आगे की गणना की सुविधा के लिए किया जाता है। वांछित आंकड़े का एक ग्राफ प्राप्त करने के बाद, ज्यादातर मामलों में यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि एकीकरण की कौन सी सीमा का उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार, हम समस्या को ग्राफिक रूप से हल करते हैं। हालाँकि, ऐसा होता है कि सीमाओं के मान भिन्नात्मक या अपरिमेय होते हैं। इसलिए, आप अतिरिक्त गणनाएँ कर सकते हैं, चरण दो पर जाएँ।

2. यदि एकीकरण की सीमाएँ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं हैं, तो हम एक दूसरे के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं और देखते हैं कि क्या हमारा ग्राफिकल समाधान विश्लेषणात्मक समाधान से मेल खाता है।

3. इसके बाद, आपको ड्राइंग का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, इसके आधार पर, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण होते हैं। आइए विचार करें विभिन्न उदाहरणइंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने पर।

3.1. समस्या का सबसे क्लासिक और सरल संस्करण तब होता है जब आपको घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। घुमावदार समलम्बाकार क्या है? यह सपाट आकृति, एक्स-अक्ष द्वारा सीमित (य = 0), सीधा एक्स = ए, एक्स = बीऔर से अंतराल पर निरंतर कोई वक्र एको बी. इसके अलावा, यह आंकड़ा गैर-नकारात्मक है और x-अक्ष के नीचे स्थित नहीं है। इस मामले में, वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है, जिसकी गणना न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

आकृति किन रेखाओं से घिरी हुई है? हमारे पास एक परवलय है y = x2 – 3x + 3, जो अक्ष के ऊपर स्थित है ओह, यह गैर-नकारात्मक है, क्योंकि इस परवलय के सभी बिंदुओं का मान सकारात्मक है। आगे, सीधी रेखाएँ दी गई हैं एक्स = 1और एक्स = 3, जो अक्ष के समानांतर चलती है ऑप-एम्प, बाएँ और दाएँ चित्र की सीमा रेखाएँ हैं। कुंआ आप = 0, यह x-अक्ष भी है, जो नीचे से चित्र को सीमित करता है। परिणामी आकृति छायांकित है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति से देखा जा सकता है। इस मामले में, आप तुरंत समस्या का समाधान शुरू कर सकते हैं। हमारे सामने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का एक सरल उदाहरण है, जिसे हम आगे न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं।

3.2. पिछले पैराग्राफ 3.1 में, हमने उस मामले की जांच की जब एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड एक्स-अक्ष के ऊपर स्थित है। अब उस मामले पर विचार करें जब समस्या की स्थितियाँ समान हों, सिवाय इसके कि फ़ंक्शन x-अक्ष के अंतर्गत है। मानक न्यूटन-लीबनिज सूत्र में एक ऋण जोड़ा जाता है। ऐसी समस्या को कैसे हल किया जाए, इस पर हम नीचे विचार करेंगे।

उदाहरण 2 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

इस उदाहरण में हमारे पास एक परवलय है y = x2 + 6x + 2, जो अक्ष से उत्पन्न होता है ओह, सीधा एक्स = -4, एक्स = -1, वाई = 0. यहाँ आप = 0ऊपर से वांछित आंकड़े को सीमित करता है। प्रत्यक्ष एक्स = -4और एक्स = -1ये वे सीमाएँ हैं जिनके भीतर निश्चित अभिन्न की गणना की जाएगी। किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को हल करने का सिद्धांत उदाहरण संख्या 1 से लगभग पूरी तरह मेल खाता है। अंतर केवल इतना है दिया गया कार्यसकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर अभी भी जारी है [-4; -1] . आपका क्या मतलब है सकारात्मक नहीं? जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, दिए गए x के भीतर मौजूद आंकड़े में विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक हैं, जो कि समस्या को हल करते समय हमें देखने और याद रखने की आवश्यकता है। हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की तलाश करते हैं, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

लेख पूरा नहीं हुआ है.

सक्षम चित्र बनाने की क्षमता;
प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न को हल करने की क्षमता;
अधिक लाभदायक समाधान विकल्प "देखने" की क्षमता - अर्थात। समझें कि किसी न किसी मामले में एकीकरण करना कैसे अधिक सुविधाजनक होगा? x-अक्ष (OX) के अनुदिश या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
खैर, सही गणनाओं के बिना हम कहां होंगे?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के अभिन्नों को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।

3. इसके बाद, आपको ड्राइंग का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, इसके आधार पर, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण होते हैं। आइए अभिन्नों का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के विभिन्न उदाहरण देखें।

3.1. समस्या का सबसे क्लासिक और सरल संस्करण तब होता है जब आपको घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। घुमावदार समलम्बाकार क्या है? यह x-अक्ष द्वारा सीमित एक सपाट आकृति है (य = 0), सीधा एक्स = ए, एक्स = बीऔर से अंतराल पर निरंतर कोई वक्र एको बी. इसके अलावा, यह आंकड़ा गैर-नकारात्मक है और x-अक्ष के नीचे स्थित नहीं है। इस मामले में, वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है, जिसकी गणना न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

उदाहरण 2 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

इस उदाहरण में हमारे पास एक परवलय है y = x2 + 6x + 2, जो अक्ष से उत्पन्न होता है ओह, सीधा एक्स = -4, एक्स = -1, वाई = 0. यहाँ आप = 0ऊपर से वांछित आंकड़े को सीमित करता है। प्रत्यक्ष एक्स = -4और एक्स = -1ये वे सीमाएँ हैं जिनके भीतर निश्चित अभिन्न की गणना की जाएगी। किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को हल करने का सिद्धांत लगभग पूरी तरह से उदाहरण संख्या 1 से मेल खाता है। अंतर केवल इतना है कि दिया गया फ़ंक्शन सकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर भी निरंतर है [-4; -1] . आपका क्या मतलब है सकारात्मक नहीं? जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, दिए गए x के भीतर मौजूद आंकड़े में विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक हैं, जो कि समस्या को हल करते समय हमें देखने और याद रखने की आवश्यकता है। हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की तलाश करते हैं, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

लेख पूरा नहीं हुआ है.