आयत, वर्ग, त्रिभुज, समलम्बाकार और अन्य सटीक विज्ञान के अनुभाग से ज्यामितीय आंकड़े हैं। पिरामिड एक बहुफलक है। इस आकृति का आधार एक बहुभुज है, और पार्श्व फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष, या समलम्ब चतुर्भुज वाले त्रिभुज हैं। किसी भी ज्यामितीय वस्तु का पूर्ण रूप से प्रतिनिधित्व और अध्ययन करने के लिए मॉक-अप बनाए जाते हैं। वे विभिन्न प्रकार की सामग्रियों का उपयोग करते हैं जिनसे पिरामिड बनाया जाता है। किसी समतल पर फैली हुई बहुफलकीय आकृति की सतह को उसका विकास कहा जाता है। समतल वस्तुओं को त्रि-आयामी पॉलीहेड्रा में परिवर्तित करने की विधि और ज्यामिति का निश्चित ज्ञान आपको एक लेआउट बनाने में मदद करेगा। कागज या कार्डबोर्ड से विकास करना आसान नहीं है। आपको निर्दिष्ट आयामों में चित्र बनाने की क्षमता की आवश्यकता होगी।
सामग्री और सहायक उपकरण
पॉलीहेड्रल वॉल्यूम की मॉडलिंग और निष्पादन ज्यामितीय आकार- एक दिलचस्प और रोमांचक प्रक्रिया. कागज से आप बना सकते हैं एक बड़ी संख्या कीसभी प्रकार के लेआउट. काम करने के लिए आपको आवश्यकता होगी:
- कागज या कार्डबोर्ड;
- कैंची;
- पेंसिल;
- शासक;
- दिशा सूचक यंत्र;
- रबड़;
- गोंद।
मापदंडों को परिभाषित करना
सबसे पहले, आइए यह निर्धारित करें कि पिरामिड कैसा होगा। इस आकृति का विकास त्रि-आयामी आकृति बनाने का आधार है। कार्य को पूरा करने में अत्यधिक सटीकता की आवश्यकता होगी। यदि ड्राइंग गलत है, तो एक ज्यामितीय आकृति को इकट्ठा करना असंभव होगा। मान लीजिए कि आपको सही का एक लेआउट बनाने की आवश्यकता है
कोई ज्यामितीय शरीरकुछ गुण हैं. इस आकृति का एक आधार है और इसका शीर्ष इसके केंद्र में प्रक्षेपित है। आधार का चयन किया जाता है. यह स्थिति नाम निर्धारित करती है. पार्श्व पसलियाँएक पिरामिड के लिए, ये त्रिभुज हैं, जिनकी संख्या आधार के लिए चुने गए बहुफलक पर निर्भर करती है। में इस मामले मेंउनमें से तीन होंगे. पिरामिड बनाने वाले सभी घटकों के आयामों को जानना भी महत्वपूर्ण है। कागज का विकास ज्यामितीय आकृति के सभी आंकड़ों के अनुसार किया जाता है। भविष्य के मॉडल के मापदंडों पर पहले से सहमति होती है। प्रयुक्त सामग्री का चुनाव इन आंकड़ों पर निर्भर करता है।
एक नियमित पिरामिड कैसे खुला होता है?
मॉडल का आधार कागज या कार्डबोर्ड की एक शीट है। काम पिरामिड के चित्र से शुरू होता है। चित्र विस्तृत रूप में प्रस्तुत किया गया है। कागज पर एक सपाट छवि पूर्व-चयनित आयामों और मापदंडों से मेल खाती है। इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और इसकी ऊंचाई इसके केंद्र से होकर गुजरती है। आइए एक सरल मॉडल बनाकर शुरुआत करें। इस मामले में, यह एक त्रिकोणीय पिरामिड है। चयनित आकृति के आयाम निर्धारित करें.
एक पिरामिड का जाल बनाना जिसका आधार है नियमित त्रिकोण, शीट के केंद्र में, एक रूलर और पेंसिल का उपयोग करके, दिए गए आयामों का एक आधार बनाएं। इसके बाद, प्रत्येक पक्ष पर हम पिरामिड के पार्श्व फलक - त्रिभुज बनाते हैं। अब चलिए उनके निर्माण की ओर बढ़ते हैं। हम कम्पास की सहायता से पार्श्व सतह पर त्रिभुजों की भुजाओं के आयाम मापते हैं। हम कम्पास के पैर को खींचे गए आधार के शीर्ष पर रखते हैं और एक पायदान बनाते हैं। हम त्रिभुज के अगले बिंदु पर जाकर कार्रवाई दोहराते हैं। इस तरह की कार्रवाइयों के परिणामस्वरूप प्राप्त प्रतिच्छेदन पिरामिड के पार्श्व चेहरों के शीर्षों को निर्धारित करेगा। हम उन्हें आधार से जोड़ते हैं। हमें एक पिरामिड का चित्र मिलता है। त्रि-आयामी आकृति को चिपकाने के लिए, साइड चेहरों के किनारों पर वाल्व प्रदान किए जाते हैं। हम छोटे ट्रेपेज़ॉइड बनाना समाप्त करते हैं।
लेआउट असेंबली
कैंची का उपयोग करके, समोच्च के साथ पूर्ण डिज़ाइन को काटें। सभी रेखाओं के साथ विकास को सावधानीपूर्वक मोड़ें। हम ट्रेपेज़ॉइड वाल्व को आकृति के अंदर दबा देते हैं ताकि इसके किनारे एक साथ बंद हो जाएं। हम उन्हें गोंद से चिकना करते हैं। तीस मिनट बाद गोंद सूख जायेगा। त्रि-आयामी आकृति तैयार है.
सबसे पहले, आइए कल्पना करें कि ज्यामितीय आकृति कैसी दिखती है, जिसका मॉडल हम बनाएंगे। चयनित पिरामिड का आधार एक चतुर्भुज है। पार्श्व पसलियां त्रिकोण हैं। काम के लिए हम पिछले संस्करण की तरह ही सामग्रियों और उपकरणों का उपयोग करते हैं। हम पेंसिल से कागज पर चित्र बनाते हैं। शीट के केंद्र में हम चयनित मापदंडों के साथ एक चतुर्भुज बनाते हैं।
हम आधार के प्रत्येक पक्ष को आधे में विभाजित करते हैं। हम एक लंब खींचते हैं, जो ऊंचाई होगी त्रिकोणीय चेहरा. कम्पास समाधान, लंबाई के बराबरपिरामिड के पार्श्व चेहरे पर, हम आधार के शीर्ष पर उसके पैर को रखते हुए, लंबवत पर पायदान बनाते हैं। हम आधार के एक तरफ के दोनों कोनों को लंबवत पर परिणामी बिंदु से जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें ड्राइंग के केंद्र में एक वर्ग मिलता है, जिसके किनारों पर त्रिकोण खींचे जाते हैं। साइड चेहरों पर मॉडल को ठीक करने के लिए, सहायक वाल्व जोड़ें। विश्वसनीय बन्धन के लिए, सेंटीमीटर चौड़ाई की एक पट्टी पर्याप्त है। पिरामिड संयोजन के लिए तैयार है.
लेआउट का अंतिम चरण
हमने आकृति के परिणामी पैटर्न को समोच्च के साथ काट दिया। हम कागज को खींची गई रेखाओं के अनुसार मोड़ते हैं। त्रि-आयामी आकृति को चिपकाकर इकट्ठा किया जाता है। दिए गए वाल्वों को गोंद से चिकना करें और परिणामी मॉडल को ठीक करें।
जटिल आकृतियों के वॉल्यूमेट्रिक लेआउट
एक सरल पॉलीहेड्रॉन मॉडल को पूरा करने के बाद, आप अधिक जटिल ज्यामितीय आकृतियों की ओर आगे बढ़ सकते हैं। काटे गए पिरामिड को खोलना अधिक कठिन है। इसके आधार बहुफलक के समान हैं। पार्श्व चेहरे- ये ट्रेपेज़ॉइड हैं। कार्य का क्रम वही होगा जिसमें एक साधारण पिरामिड बनाया गया था। स्वीप अधिक बोझिल होगा. ड्राइंग को पूरा करने के लिए, एक पेंसिल, कंपास और रूलर का उपयोग करें।
एक चित्र का निर्माण
काटे गए पिरामिड का विकास कई चरणों में किया जाता है। काटे गए पिरामिड का पार्श्व भाग एक समलम्बाकार है, और आधार समान बहुफलकीय हैं। मान लीजिए कि ये वर्ग हैं। कागज की एक शीट पर हम दिए गए आयामों के साथ एक ट्रेपोज़ॉइड बनाते हैं। हम परिणामी आकृति के किनारों को तब तक बढ़ाते हैं जब तक वे प्रतिच्छेद न हो जाएं। परिणाम एक समद्विबाहु त्रिभुज है। हम कंपास से इसके किनारे को मापते हैं। हम कागज की एक अलग शीट पर निर्माण करते हैं जो मापी गई दूरी होगी।
अगला चरण पार्श्व पसलियों का निर्माण है जो कि काटे गए पिरामिड में हैं। स्वीप खींचे गए घेरे के अंदर किया जाता है। कम्पास का उपयोग करके, ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार को मापें। वृत्त पर हम पाँच बिंदुओं को चिह्नित करते हैं जो रेखाओं को उसके केंद्र से जोड़ते हैं। हमें चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलते हैं। कम्पास का उपयोग करके, एक अलग शीट पर खींचे गए ट्रेपेज़ॉइड के किनारे को मापें। हम इस दूरी को खींचे गए त्रिभुजों के प्रत्येक पक्ष पर रखते हैं। हम परिणामी बिंदुओं को जोड़ते हैं। समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व फलक तैयार हैं। जो कुछ बचा है वह पिरामिड के ऊपरी और निचले आधारों को खींचना है। इस मामले में, ये समान पॉलीहेड्रा - वर्ग हैं। हम पहले ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी और निचले आधारों पर वर्ग जोड़ते हैं। चित्र पिरामिड के सभी भागों को दर्शाता है। स्कैन लगभग तैयार है. जो कुछ बचा है वह छोटे वर्ग के किनारों और ट्रेपेज़ॉइड के चेहरों में से एक पर कनेक्टिंग वाल्व को चित्रित करना है।
सिमुलेशन पूरा करना
त्रि-आयामी आकृति को चिपकाने से पहले, समोच्च के साथ चित्र को कैंची से काट दिया जाता है। अगला, विकास सावधानी से खींची गई रेखाओं के साथ मुड़ा हुआ है। हम मॉडल के अंदर माउंटिंग वाल्व लगाते हैं। हम उन्हें गोंद से चिकना करते हैं और उन्हें पिरामिड के किनारों पर दबाते हैं। मॉडलों को सूखने दें.
पॉलीहेड्रा के विभिन्न मॉडल बनाना
ज्यामितीय आकृतियों के त्रि-आयामी मॉडल बनाना एक आकर्षक गतिविधि है। इसमें पूरी तरह से महारत हासिल करने के लिए, आपको सबसे सरल स्वीप करके शुरुआत करनी चाहिए। धीरे-धीरे सरल शिल्प से अधिक शिल्प की ओर बढ़ रहे हैं जटिल मॉडल, आप सबसे जटिल डिज़ाइन बनाना शुरू कर सकते हैं।
चरण दर चरण पिरामिड बनाना
बेशक, मैं कोई कलाकार नहीं हूं और मुझे यह समझाना मुश्किल है कि पिरामिड को सही तरीके से कैसे बनाया जाता है, लेकिन मैं आपको चरण दर चरण दिखा सकता हूं कि मास्टर्स कैसे बनाते हैं।
इन रेखाचित्रों को देखकर मुझे लगता है कि पिरामिड बनाना कठिन नहीं है।
सामान्य तौर पर, एक पिरामिड काफी सरलता से बनाया जा सकता है। आरंभ करने के लिए, शीट को आधे में विभाजित किया जाना चाहिए; यह एक रूलर का उपयोग करके एक पंक्ति में किया जा सकता है। आगे हम पिरामिड के पार्श्व भाग बनाते हैं और सब कुछ तैयार है।
सब कुछ बनाना आसान और सरल है!!
स्कूल में, हम सभी कक्षा में पिरामिड बनाते थे, केवल ये ज्यामितीय आकार होते थे और पिरामिड बनाने के लिए, आपको निश्चित रूप से एक रूलर और एक पेंसिल की आवश्यकता होगी, और जो अनावश्यक है उसे मिटाने के लिए एक इरेज़र की भी आवश्यकता होगी।
पिरामिड इस तरह दिखना चाहिए:
और इसे बनाने के लिए, हमें पहले एक वर्ग बनाना होगा, फिर किनारों को वर्ग के अंदर खींचना होगा और उन्हें आधार पर जोड़ना होगा, उनके बाद के कनेक्शन के लिए पिरामिड के आधार पर रेखाओं को हरे रंग में हाइलाइट किया जाएगा।
फिर आप अपने पिरामिड को किसी भी रंग में रंग सकते हैं या तो पेंट या रंगीन मार्कर इसके लिए उपयुक्त हैं और आपका पिरामिड रंग में अधिक सुंदर होगा।
यहां स्फिंक्स के साथ चेप्स का पिरामिड कैसे बनाया जाए, इस पर एक वीडियो मास्टर क्लास है।
और नीचे है चरण दर चरण आरेखणपिरामिड, यदि आप चाहें, तो आप रेत खींच सकते हैं और ऊंट कारवां चला सकते हैं और फिरौन की रहस्यमय घाटी तैयार है :)
पिरामिड का चित्र बनाइये। हम इसे सात चरणों में करेंगे.
पहला कदम। आइए एक वर्ग बनाएं, इसकी भुजा की लंबाई पांच सेंटीमीटर होगी।
दूसरा कदम। एक कंपास लें और उसकी लंबाई निर्धारित करें पक्ष के बराबरवर्ग। अब हम कम्पास सुई को सबसे दाहिनी ओर रखते हैं और विपरीत किनारे से ऊपर की तरफ एक रेखा खींचते हैं, जैसा चित्र में दिखाया गया है:
तीसरा चरण। हम विपरीत किनारे से एक समान ऑपरेशन करते हैं, इसलिए हमें दो वक्र मिलते हैं जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चौथा चरण. आधार के दोनों चरम बिंदुओं से हम दो सीधी रेखाएँ खींचते हैं जो वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
पाँचवाँ चरण. वर्ग की घुमावदार रेखाओं और किनारों और शीर्षों को मिटा दें।
छठा चरण. आओ बनाते हैं ओरपिरामिड:
पेंसिल से पिरामिड बनाना शायद सबसे आसान ड्राइंग कार्यों में से एक है। इसके लिए किसी विशेष प्रतिभा या काकिनी या ड्राइंग कौशल की आवश्यकता नहीं है। मैं एक शिक्षाप्रद वीडियो प्रदान करता हूँ।
आप निम्नलिखित आरेखों के आधार पर चरण दर चरण पेंसिल से एक पिरामिड बना सकते हैं:
पिरामिड बनाने के चरण:
1) हम रेखाचित्र बनाना शुरू करते हैं;
2) हम चित्रों के अनुसार तत्वों को बनाना शुरू करते हैं;
3) आइए छवि के विवरण पर आगे बढ़ें;
4) समोच्च के साथ छाया और निशान लगाएं।
पिरामिडये मिस्र की संस्कृति और सामान्यतः विश्व संस्कृति के स्मारक हैं।
में प्राचीन मिस्र पिरामिडवे स्थान थे जहां फिरौन को दफनाया गया था। और उनमें से कई (पिरामिड) पर उन फिरौन के नाम अंकित थे जिन्हें इसमें दफनाया गया था। (चेओप्स, तूतनखामुन)।
अब, उन्हीं के लिए बहुत से लोग मिस्र जाते हैं। प्राचीन काल की भव्य इमारतों को देखना।
कि कैसे चरण दर चरण पेंसिल से पिरामिड बनाएं:
पहला कदम:
दूसरा चरण:
तीसरा कदम:
चरण चार:
एक पिरामिड को चित्रित करने के लिए, आपको एक दूसरे से सटे दो त्रिकोण बनाने होंगे, उदाहरण के लिए, जैसा कि नीचे दिए गए वीडियो में है। और यदि आपको मिस्र के पिरामिड की आवश्यकता है, तो आपको पिरामिड पर ईंटवर्क जैसा एक पैटर्न जोड़ना होगा और प्रवेश द्वार को पूरा करना होगा।
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ऐसा प्रतीत होता है कि पिरामिड की छवि में क्या कठिन या गलत हो सकता है? क्या यह वास्तव में संभव है कि एक गणित शिक्षक यहां विशेष तकनीकों और तकनीकों के बिना काम नहीं कर सकता? केवल 4 बिंदु चिह्नित हैं (जिनमें से कोई 3 एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं) और छह खंडों से जुड़े हुए हैं। बस इतना ही। यहाँ चर्चा करने के लिए क्या है? लेकिन ऐसी साधारण स्थिति में भी, गणित शिक्षक को छात्र की गलतियों को सुधारना होगा। इतना गणितीय भी नहीं जितना कि रणनीतिक। कौन सा? एक चित्र जिसमें किसी स्थानिक निकाय के तत्वों की जांच करना या दिखाना असंभव है, मात्राओं के मूल्यों पर हस्ताक्षर करना, जिसमें अतिरिक्त निर्माण के साथ विस्तार करना संभव नहीं है, उसे फिर से बनाना बेहतर है। किसी भी शिक्षक को इसे समझना चाहिए और, एकीकृत राज्य परीक्षा तैयारी पाठ्यक्रम की शुरुआत में, ड्राइंग के नियमों और संस्कृति को सिखाने में कुछ समय बिताना चाहिए। समस्या कथन से इसकी सटीकता और जानकारी की सुविधाजनक व्यवस्था की आवश्यकताओं के अलावा, इसके कार्यान्वयन के लिए गणितीय कानून भी हैं। आइए उन पर करीब से नज़र डालें।
छवि विधि का नियम.
छवि विधि एक अलग विषय है, जिसके अध्ययन के लिए मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के गणित संकाय में एक पूरा सेमेस्टर समर्पित है। कागज पर हम जो चित्र बनाते हैं वह एक निश्चित तल पर शरीर के अंगों के प्रक्षेपण के निशान होते हैं। यह निर्धारित करता है कि कौन से खंड और कौन से खंड स्पष्ट रूप से दिखाई देंगे, और कौन से एक दूसरे पर "रेंगते" होंगे या छिपे होंगे। जब एक गणित शिक्षक यह तय करता है कि किसी छात्र के लिए पिरामिड किस तरफ बनाया जाए, तो वह विमान का स्थान और प्रक्षेपण की दिशा निर्धारित करता है।
सरलतम स्टीरियोमेट्रिक वस्तुओं के प्रक्षेपण के लिए ज्यामितीय नियम हैं। उदाहरण के लिए, गैर-समानांतर खंडों की लंबाई, जब चित्रित की जाती है, तो उनकी लंबाई का अनुपात बदल सकता है (शिक्षक के लिए "विकृत" कहना बेहतर है)। यदि वास्तव में उनमें से एक दूसरे से बड़ा है, तो प्रक्षेपण में सब कुछ बिल्कुल विपरीत हो सकता है। यही बात कोनों पर भी लागू होती है। एक समकोण को न्यून कोण या अधिक कोण में प्रक्षेपित किया जा सकता है। एक गणित शिक्षक को एक छात्र को यह समझाने के लिए, उसे अपनी आंखों के सामने एक साधारण वर्ग घुमाना चाहिए। हालाँकि, समानांतर या संपाती रेखाओं पर स्थित खंडों की लंबाई का अनुपात नहीं बदलता है और, विशेष रूप से, बहुभुज (पिरामिड चेहरे) के किनारों के मध्य बिंदु विकृत नहीं होते हैं। यह एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई के आधार के स्थान के नियम की व्याख्या करता है: यह होना ही चाहिए इसके मध्यस्थों का प्रतिच्छेदन बिंदु(ग्रैविटी केंद्र)। समांतरता भी विकृत नहीं है. यदि अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच समानता है, तो यह उनके निशानों के बीच संरक्षित है। इसलिए, आधार की छवि सही है चतुर्भुज पिरामिडएक समांतर चतुर्भुज का चयन किया जाता है.
ड्राइंग की पठनीयता.
पिरामिड को व्यवस्थित करना महत्वपूर्ण है ताकि उसके सभी हिस्से न केवल दिखाई दें, बल्कि ड्राइंग की और जटिलता को भी अनुमति दें: एपोथेम का चित्रण, अनुभागों के निशान, आदि।
ऐसा करने के लिए, उदाहरण के लिए, निर्माण करें, सही पिरामिडअधिमानतः ऊपर से नीचेऊंचाई के माध्यम से (लगभग सभी कार्यों में इसका उपयोग इसी प्रकार किया जाता है)। सबसे पहले, गणित शिक्षक पिरामिड का आधार खींचता है, फिर उसका केंद्र, और इस बिंदु से लंबवत को पुनर्स्थापित करता है। इसके शीर्ष सिरे का चयन इस प्रकार किया जाता है कि सभी झुकी हुई पसलियाँ एक दूसरे से पर्याप्त दूरी पर हों। यदि आप उल्टे क्रम में निर्माण करते हैं, तो आप बहुभुज के केंद्र से चूक सकते हैं। बेशक, समस्याओं को सही ढंग से हल करने के लिए यह महत्वपूर्ण नहीं है त्रिकोणीयपिरामिड, लेकिन फिर भी देखने में भद्दा। मध्यबिंदु को मध्यबिंदु के रूप में प्रदर्शित किया जाना चाहिए।
नींव का निर्माण.
चतुष्फलक के आधार के प्रकार के बावजूद, इसे एक तीव्र त्रिभुज के रूप में दर्शाया गया है और बाईं या दाईं ओर विस्तारित किया गया है। किस लिए? यदि यह समद्विबाहु है, तो पार्श्व पसलियों में से एक ऊंचाई को कवर करेगी (यदि, निश्चित रूप से, इसका आधार सही ढंग से स्थित है)। यह चित्र में दिखाया गया है. 
चतुष्फलक की सामने की छवि। अध्यापक का नियम.
पिरामिड को चित्रित करने के लिए कौन सा किनारा सबसे अच्छा है? यानी प्रक्षेपण के लिए विमान का इष्टतम चयन कैसे करें? गणित के कुछ शिक्षक और ट्यूटर, दुर्भाग्य से, पिरामिड के ललाट स्थान जैसी "छोटी सी चीज़" पर ध्यान नहीं देते हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। चित्र दो प्रकार के होते हैं: "आधार का कोना हमारी ओर" या "कोना हमसे दूर।" "कोने ABC हमसे दूर" वाले चित्र पर विचार करें:
हम ऊंचाई को नीचे से ऊपर तक पुनर्स्थापित करते हैं और एबीपी चेहरे की स्वीकार्य अवधि को ध्यान में रखते हुए इसके अंत (पिरामिड के शीर्ष) की स्थिति का चयन करते हैं। ऐसा करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि रेखा AB पर बिंदु P न मिले। अन्यथा हम लाइन नहीं देखेंगे. रेखाओं AB और OP के प्रतिच्छेदन बिंदु (छवि में) से एक महत्वपूर्ण विचलन, किरण AB से किरण AP के अपेक्षाकृत छोटे विचलन का कारण बनता है और इसलिए, किनारे ABP की अवधि प्राप्त करने के लिए, बिंदु P को चुनना आवश्यक है बहुत नीचा या बहुत ऊँचा। 
उत्तरार्द्ध ड्राइंग को अत्यधिक बड़ा कर सकता है, पिरामिड को ऊपर की ओर खींच सकता है (समाधान के लिए जगह कम कर सकता है), और एक निचला बिंदु ड्राइंग को छोटा बना देता है। इसलिए, मैं यह अनुशंसा नहीं करता कि गणित के शिक्षक इस मोर्चे पर काम करें। त्रिभुज ABC को इस प्रकार मोड़ना सबसे अच्छा है कि कोना हमारी ओर हो। 
ध्यान दें कि अब बिंदु P की स्थिति किसी भी तरह से किनारे ABP की पठनीयता को प्रभावित नहीं करती है और यदि यह समद्विबाहु और "दृढ़ता से तीव्र" नहीं है, लेकिन बिंदु O इसका गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है (अर्थात, O की ऊंचाई पर नहीं है) आधार), तो पिरामिड की ऊँचाई किनारे BP द्वारा कवर नहीं की जाएगी और न ही शीर्ष P के किस स्थान पर होगी। 
इस मामले में, गणित शिक्षक को पिरामिड के शीर्ष को चुनने में एक निश्चित स्वतंत्रता मिलती है, जो जटिल समस्याओं में आगे के निर्माण की पठनीयता में सुधार के लिए बेहद महत्वपूर्ण है।
अदृश्य रेखाएँ खींचना.
बेशक, एक गणित शिक्षक बिंदीदार रेखाओं के बिना काम कर सकता है। हालाँकि, एक रूसी के लिए जो अच्छा है वह एक जर्मन के लिए मृत्यु है। विद्यार्थी के लिए यह महत्वपूर्ण है कि वह शरीर को ठीक उसी तरफ से देखे जिस तरफ से शिक्षक उसे देखता है। खासकर किनारों के साथ काम करते समय। मैं गणित के शिक्षक को सलाह देता हूं कि वे चेहरों का नाम उनके शीर्षों के आधार पर नहीं, बल्कि उनके प्राकृतिक स्थान के आधार पर रखें: "निकट", "दूर", "बाएं", "दाएं"। यदि कोई बच्चा अपने सिर में किसी वस्तु की छवि "पीछे से आगे" बनाता है, तो अतिरिक्त निर्माण की प्रगति का वर्णन करने, चित्र पढ़ने और यहां तक कि निर्णयों के समझ से बाहर के क्षणों को समझाने में भी समस्याएं उत्पन्न होंगी।
एक चतुर्भुज पिरामिड के निर्माण पर.
एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। क्यों? बेशक, हम वर्ग को प्रक्षेपण तल पर इस तरह से रख सकते हैं कि समकोण संरक्षित रहे (और हमें एक आयत मिलता है), लेकिन फिर दो निकटतम चेहरों के एपोटेम पिरामिड की ऊंचाई को कवर करेंगे। मुझे वर्तमान छवि मानकों के लिए कोई अन्य स्पष्टीकरण नहीं मिल रहा है।
अलेक्जेंडर कोलपाकोव, मास्को में गणित के शिक्षक. एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी।
प्राचीन समय में, लोग विशेष रूप से दूरदर्शी और आशावादी नहीं थे, और आम तौर पर उनका मानना था कि लोग अधिकतम 2012 तक जीवित रहेंगे, और फिर वे उग्र नरक में जल जायेंगे। इसलिए, सामान्य तौर पर, उनमें चीजों को समझाने या कम से कम उनके सार पर संकेत देने की क्षमता नहीं थी, साथ ही सरल चीजें करने की क्षमता भी नहीं थी। मायाओं ने एक पोस्ट-एपोकैलिक कैलेंडर बनाया, जिससे औसत व्यक्ति में जीवन के बारे में बहुत सारी चिंताएँ और विचार पैदा हुए, और प्राचीन मिस्रवासियों ने पिरामिड बनाए, जिनके उद्देश्य से कलाकार भी चिंतित थे। और यदि हां, तो हम सीखेंगे कि पेंसिल से पिरामिड कैसे बनाएं। चेप्स के पिरामिड दुनिया के आश्चर्यों में से एक हैं, कोबलस्टोन का एक समूह जो पर्यटकों की आमद से बहुत अधिक आय लाता है, साथ ही हमारे युग से पहले निर्मित एक वास्तुशिल्प उत्कृष्ट कृति है। प्राचीन काल में, सूर्य देवता रा के शासनकाल के दौरान, उनका उपयोग फिरौन को दफनाने, बलिदान देने और प्लेटोनिक संपर्कों के लिए किया जाता था। दूसरी दुनियाऔर अन्य सामूहिक मनोरंजन। पिरामिड के आकार की संरचना बहुत विश्वसनीय संरचना साबित हुई, इसलिए मेसोपोटामिया, चीन, मंगल और लास वेगास में इसी तरह की इमारतें बनाई गईं। यदि आप विकिपीडिया के सटीक स्रोतों पर विश्वास करते हैं, तो मिस्र में पिरामिडों को मिस्र कहा जाता है, चीन में चीनी, इत्यादि। ठीक है, आप समझते हैं.
मात्र मनुष्यों ने 15 टन वजनी ब्लॉकों से 146 मीटर ऊंची इमारत बनाने का प्रबंधन कैसे किया? यह कोई नहीं जानता. शायद विदेशी मित्रों की मदद के बिना यह संभव नहीं हो सका।
एक बात जो मैं निश्चित रूप से जानता हूं वह यह है कि रहस्यमय संरचनाओं को चित्रित करना उन्हें बनाने की तुलना में बहुत आसान है, खासकर यदि आप इसे इन चरणों के अनुसार करते हैं:
चरण दर चरण पेंसिल से पिरामिड कैसे बनाएं
पहला कदम। कई त्रिकोण बनाएं, अधिमानतः सम त्रिकोण, और नीचे ऊंटों के साथ एक रेत की पृष्ठभूमि होगी। अभी के लिए, आइए उन्हें वृत्तों द्वारा निरूपित करें। 
दूसरा चरण। पिरामिडों के आकार का सावधानीपूर्वक चयन करें और आकृति की रूपरेखा तैयार करें। 
तीसरा कदम। आइए अब ऊँटों के साथ कुछ बेडौइन भी जोड़ें। 
चरण चार. आइए विश्वसनीयता के लिए कुछ स्पर्श जोड़ें। आप इसे रंगीन पेंसिल से भी रंग सकते हैं। लेकिन मैं इसे आप पर छोड़ूंगा: 
दूसरों को भी चित्रित करने का प्रयास करें रहस्यमय स्थानहमारे ग्रह का.