विपरीत शीर्ष से) और परिणामी उत्पाद को दो से विभाजित करें। यह इस प्रकार दिखता है:

एस = ½ * ए * एच,

कहाँ:
एस – त्रिभुज का क्षेत्रफल,
a इसकी भुजा की लंबाई है,
h इस तरफ कम की गई ऊँचाई है।

साइड की लंबाई और ऊंचाई को माप की समान इकाइयों में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। इस स्थिति में, त्रिभुज का क्षेत्रफल संगत "" इकाइयों में प्राप्त होगा।

उदाहरण।
20 सेमी लंबे एक विषमकोण त्रिभुज के एक तरफ, विपरीत शीर्ष से 10 सेमी लंबा एक लंब उतारा जाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल आवश्यक है.
समाधान।
एस = ½ * 20 * 10 = 100 (सेमी²)।

यदि एक विषमबाहु त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो सूत्र का उपयोग करें:

एस = ½ * ए * बी * पापγ,

जहाँ: a, b दो मनमानी भुजाओं की लंबाई हैं, और γ उनके बीच का कोण है।

व्यवहार में, उदाहरण के लिए, भूमि भूखंडों को मापते समय, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कभी-कभी मुश्किल होता है, क्योंकि इसके लिए अतिरिक्त निर्माण और कोणों के माप की आवश्यकता होती है।

यदि आप एक विषमबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें:

एस = √(पी(पी-ए)(पी-बी)(पी-सी)),

ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
पी - अर्ध-परिधि: पी = (ए+बी+सी)/2।

यदि, सभी भुजाओं की लंबाई के अलावा, त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो, तो निम्नलिखित कॉम्पैक्ट सूत्र का उपयोग करें:

कहा पे: आर - खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या (पी - अर्ध-परिधि)।

एक विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल और उसकी भुजाओं की लंबाई की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

कहा पे: आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या।

यदि त्रिभुज की एक भुजा और तीन कोणों की लंबाई ज्ञात हो (सिद्धांत रूप में, दो पर्याप्त हैं - तीसरे का मान त्रिभुज के तीन कोणों के योग की समानता से गणना की जाती है - 180º), तो उपयोग करें सूत्र:

एस = (ए² * पापβ * पापγ)/2sinα,

जहां α भुजा a के विपरीत कोण का मान है;
β, γ – त्रिभुज के शेष दो कोणों का मान.

क्षेत्रफल सहित विभिन्न तत्वों को खोजने की आवश्यकता त्रिकोण, कई शताब्दियों ईसा पूर्व विद्वान खगोलविदों के बीच प्रकट हुआ प्राचीन ग्रीस. वर्ग त्रिकोणगणना की जा सकती है विभिन्न तरीकों सेविभिन्न सूत्रों का उपयोग करना। गणना पद्धति किन तत्वों पर निर्भर करती है त्रिकोणज्ञात।

निर्देश

यदि शर्त से हमें दो भुजाओं b, c का मान तथा उनसे बनने वाला कोण ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल ज्ञात हो त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
एस = (बीसीएसआईएन?)/2.

यदि शर्त से हमें दो भुजाओं a, b का मान तथा उनसे न बनने वाले कोण का पता हो, तो क्षेत्रफल ज्ञात हो त्रिकोणएबीसी इस प्रकार पाया जाता है:
कोण ढूँढना?, पाप? = bsin?/a, फिर कोण निर्धारित करने के लिए तालिका का उपयोग करें।
कोण ज्ञात करना?, ? = 180°-?-?.
हम स्वयं क्षेत्र S = (absin?)/2 पाते हैं।

यदि स्थिति से हमें केवल तीन पक्षों का मान ज्ञात होता है त्रिकोणए, बी और सी, फिर क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), जहां p अर्ध-परिधि है p = (a+b+c)/2

यदि समस्या की स्थिति से हमें ऊंचाई का पता चलता है त्रिकोण h और जिस तरफ यह ऊंचाई कम की जाती है, तो क्षेत्र त्रिकोणएबीसी सूत्र के अनुसार:
एस = एएच(ए)/2 = बीएच(बी)/2 = सीएच(सी)/2.

यदि हम पक्षों का अर्थ जानते हैं त्रिकोणए, बी, सी और इसके बारे में वर्णित त्रिज्या त्रिकोणआर, तो इसका क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = एबीसी/4आर.
यदि तीन भुजाएँ a, b, c तथा उनमें अंकित त्रिज्या ज्ञात हो तो क्षेत्रफल ज्ञात करें त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
एस = पीआर, जहां पी अर्ध-परिधि है, पी = (ए+बी+सी)/2।

यदि ABC समबाहु है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
एस = (ए^2वी3)/4.
यदि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, जहां c – त्रिकोण.
यदि त्रिभुज ABC समकोण है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = एबी/2, जहां ए और बी पैर हैं त्रिकोण.
यदि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
S = c^2/4 = a^2/2, जहां c कर्ण है त्रिकोण, ए=बी - पैर।

विषय पर वीडियो

स्रोत:

• त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे मापें

टिप 3: यदि कोण ज्ञात हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए केवल एक पैरामीटर (कोण) जानना पर्याप्त नहीं है tre वर्ग . यदि कोई अतिरिक्त आयाम हैं, तो क्षेत्र निर्धारित करने के लिए आप उन सूत्रों में से एक को चुन सकते हैं जिसमें कोण मान का उपयोग ज्ञात चर में से एक के रूप में भी किया जाता है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कई सूत्र नीचे दिए गए हैं।

निर्देश

यदि, दोनों पक्षों द्वारा निर्मित कोण (γ) के आकार के अतिरिक्त tre वर्ग , तो इन भुजाओं (ए और बी) की लंबाई भी ज्ञात है वर्गकिसी आकृति के (S) को भुजाओं की लंबाई और इस ज्ञात कोण की ज्या के आधे उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: S=½×A×B×sin(γ)।

क्षेत्रफल की अवधारणा

किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग जैसी आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के इकाई क्षेत्रफल के लिए हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे जिसकी भुजा एक के बराबर हो। पूर्णता के लिए, आइए हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करें।

संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनका क्षेत्रफल भी समान है।

संपत्ति 2:किसी भी आकृति को कई आकृतियों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल उसके सभी घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

जाहिर है, त्रिभुज की एक भुजा एक आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ है (क्योंकि इसमें $5$ कोशिकाएँ हैं) और दूसरी $6$ है (क्योंकि इसमें $6$ कोशिकाएँ हैं)। अत: इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है

तब त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर होता है

उत्तर: $15$.

इसके बाद, हम त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई तरीकों पर विचार करेंगे, अर्थात् ऊंचाई और आधार का उपयोग करके, हेरोन के सूत्र और क्षेत्रफल का उपयोग करके। समान भुजाओं वाला त्रिकोण.

किसी त्रिभुज की ऊंचाई और आधार का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

प्रमेय 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई और उस भुजा की ऊँचाई के गुणनफल के आधे के रूप में पाया जा सकता है।

गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है

$S=\frac(1)(2)αh$

जहां $a$ भुजा की लंबाई है, $h$ उस पर खींची गई ऊंचाई है।

सबूत।

एक त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जिसमें $AC=α$ है। इस तरफ ऊँचाई $BH$ खींची गई है, जो $h$ के बराबर है। आइए इसे चित्र 2 के अनुसार वर्ग $AXYC$ तक बनाएं।

आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। तब

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

इसलिए, संपत्ति 2 द्वारा त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल बराबर है

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 2

यदि कोशिका का क्षेत्रफल एक के बराबर है तो नीचे दिए गए चित्र में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

इस त्रिभुज का आधार $9$ के बराबर है (क्योंकि $9$ $9$ वर्ग है)। ऊंचाई भी $9$ है. फिर, प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

उत्तर: $40.5$.

बगुला का सूत्र

प्रमेय 2

यदि हमें किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ $α$, $β$ और $γ$ दी गई हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

यहाँ $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

सबूत।

निम्नलिखित चित्र पर विचार करें:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

इन दोनों संबंधों से हमें समानता प्राप्त होती है

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

चूँकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, तो $α+β+γ=2ρ$, जिसका अर्थ है

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

निर्देश

पार्टियाँऔर कोणों को मूल तत्व माना जाता है ए. एक त्रिभुज पूरी तरह से इसके निम्नलिखित मूल तत्वों में से किसी एक द्वारा परिभाषित होता है: या तो तीन भुजाएँ, या एक भुजा और दो कोण, या दो भुजाएँ और उनके बीच का एक कोण। अस्तित्व के लिए त्रिकोणतीन पक्षों ए, बी, सी द्वारा दिया गया, यह असमानताओं नामक असमानताओं को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है त्रिकोण:
ए+बी > सी,
ए+सी > बी,
बी+सी > ए.

निर्माण करने के लिए त्रिकोणतीन तरफ ए, बी, सी पर, कंपास का उपयोग करके खंड सीबी = ए के बिंदु सी से त्रिज्या बी का एक वृत्त खींचना आवश्यक है। फिर, इसी प्रकार, बिंदु B से भुजा c के बराबर त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु A वांछित का तीसरा शीर्ष है त्रिकोणएबीसी, जहां एबी=सी, सीबी=ए, सीए=बी - भुजाएं त्रिकोण. समस्या यह है कि यदि भुजाएँ a, b, c, असमानताओं को संतुष्ट करती हैं त्रिकोणचरण 1 में निर्दिष्ट.

क्षेत्र एस का निर्माण इस प्रकार किया गया त्रिकोणज्ञात भुजाओं a, b, c के साथ ABC की गणना हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
जहाँ a, b, c भुजाएँ हैं त्रिकोण, पी - अर्ध-परिधि।
पी = (ए+बी+सी)/2

यदि कोई त्रिभुज समबाहु है, अर्थात उसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं (a=b=c).क्षेत्रफल त्रिकोणसूत्र द्वारा गणना:
S=(a^2 v3)/4

यदि त्रिभुज समकोण है, अर्थात इसका एक कोण 90° के बराबर है, और इसे बनाने वाली भुजाएँ पैर हैं, तो तीसरी भुजा कर्ण है। में इस मामले में वर्गदो से विभाजित पैरों के गुणनफल के बराबर होता है।
एस=अब/2

ढूँढ़ने के लिए वर्ग त्रिकोण, आप कई सूत्रों में से एक का उपयोग कर सकते हैं। जो डेटा पहले से ज्ञात है उसके आधार पर एक सूत्र चुनें।

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों का ज्ञान

निर्देश

यदि आप किसी एक भुजा का आकार और इसके विपरीत कोण से इस भुजा पर कम की गई ऊँचाई का मान जानते हैं, तो आप निम्नलिखित का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: S = a*h/2, जहाँ S क्षेत्रफल है त्रिभुज की, a त्रिभुज की भुजाओं में से एक है, और h - ऊंचाई, भुजा a की।

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की एक ज्ञात विधि है यदि उसकी तीन भुजाएँ ज्ञात हों। यह हेरॉन का फार्मूला है. इसकी रिकॉर्डिंग को सरल बनाने के लिए, एक मध्यवर्ती मान पेश किया गया है - अर्ध-परिधि: पी = (ए+बी+सी)/2, जहां ए, बी, सी -। तब हेरॉन का सूत्र इस प्रकार है: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ घातांक।

आइए मान लें कि आप त्रिभुज की एक भुजा और तीन कोणों को जानते हैं। फिर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान है: S = a²sinα synγ / (2sinβ), जहां β भुजा a के विपरीत कोण है, और α और γ भुजा के आसन्न कोण हैं।

विषय पर वीडियो

कृपया ध्यान

सबसे सामान्य सूत्र जो सभी मामलों के लिए उपयुक्त है वह हेरॉन का सूत्र है।

स्रोत:

टिप 3: तीन भुजाओं के आधार पर त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना सबसे आम समस्याओं में से एक है स्कूल प्लानिमेट्री. किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं को जानना किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। समबाहु त्रिभुजों के विशेष मामलों में, क्रमशः दो और एक भुजाओं की लंबाई जानना पर्याप्त है।

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई, हेरॉन का सूत्र, कोसाइन प्रमेय

निर्देश

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हेरोन का सूत्र इस प्रकार है: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). यदि हम अर्ध-परिधि p लिखते हैं, तो हमें मिलता है: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

आप किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए विचारों से एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, कोसाइन प्रमेय को लागू करके।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC)। प्रस्तुत नोटेशन का उपयोग करके, इन्हें इस रूप में भी लिखा जा सकता है: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC)। इसलिए, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके सूत्र S = a*c*sin(ABC)/2 द्वारा भी पाया जाता है। कोण ABC की ज्या को मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके इसके माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है: syn(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2)। क्षेत्र के सूत्र में ज्या को प्रतिस्थापित करके और इसे लिखकर , आप त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के सूत्र पर पहुंच सकते हैं।

विषय पर वीडियो

मरम्मत कार्य करने के लिए माप करना आवश्यक हो सकता है वर्गदीवारों इसकी गणना करना आसान है आवश्यक मात्रापेंट या वॉलपेपर. माप के लिए, टेप माप या मापने वाले टेप का उपयोग करना सबसे अच्छा है। माप बाद में लिया जाना चाहिए दीवारोंसमतल कर दिए गए.

आपको चाहिये होगा

• -रूलेट;
• -सीढ़ी।

निर्देश

गिनती करने के लिए वर्गदीवारों, आपको छत की सटीक ऊंचाई जानने की जरूरत है, और फर्श के साथ लंबाई भी मापनी होगी। यह निम्नानुसार किया जाता है: एक सेंटीमीटर लें और इसे बेसबोर्ड पर रखें। आमतौर पर एक सेंटीमीटर पूरी लंबाई के लिए पर्याप्त नहीं होता है, इसलिए इसे कोने में सुरक्षित करें, फिर इसे अधिकतम लंबाई तक खोल दें। इस बिंदु पर, एक पेंसिल से एक निशान लगाएं, प्राप्त परिणाम को लिखें और अंतिम माप बिंदु से शुरू करते हुए, उसी तरह आगे का माप करें।

घर के आधार पर मानक छतें 2 मीटर 80 सेंटीमीटर, 3 मीटर और 3 मीटर 20 सेंटीमीटर हैं। यदि घर 50 के दशक से पहले बनाया गया था, तो सबसे अधिक संभावना है कि वास्तविक ऊंचाई संकेत से थोड़ी कम है। यदि आप गणना कर रहे हैं वर्गमरम्मत कार्य के लिए, तो एक छोटी आपूर्ति से नुकसान नहीं होगा - मानक के आधार पर विचार करें। यदि आपको अभी भी वास्तविक ऊंचाई जानने की आवश्यकता है, तो माप लें। सिद्धांत लंबाई मापने के समान है, लेकिन आपको एक सीढ़ी की आवश्यकता होगी।

परिणामी संकेतकों को गुणा करें - यह है वर्गतुम्हारा दीवारों. सच है, पेंटिंग करते समय या पेंटिंग के लिए घटाना आवश्यक है वर्गदरवाज़ा और खिड़कियाँ खोलना। ऐसा करने के लिए, उद्घाटन के साथ एक सेंटीमीटर बिछाएं। यदि हम एक ऐसे दरवाजे के बारे में बात कर रहे हैं जिसे आप बाद में बदलने जा रहे हैं, तो दरवाजे के फ्रेम को हटाने के साथ ही आगे बढ़ें वर्गसीधे उद्घाटन पर ही। खिड़की के क्षेत्रफल की गणना उसके फ्रेम की परिधि के साथ की जाती है। बाद वर्गखिड़की और दरवाज़े की गणना करके, कमरे के कुल परिणामी क्षेत्र से परिणाम घटाएँ।

कृपया ध्यान दें कि कमरे की लंबाई और चौड़ाई को मापने का काम दो लोगों द्वारा किया जाता है, इससे एक सेंटीमीटर या टेप माप को ठीक करना आसान हो जाता है और तदनुसार, अधिक सटीक परिणाम प्राप्त होता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपको प्राप्त संख्याएँ सटीक हैं, एक ही माप कई बार लें।

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किसी त्रिभुज का आयतन ज्ञात करना वास्तव में एक गैर-मामूली कार्य है। तथ्य यह है कि एक त्रिभुज एक द्वि-आयामी आकृति है, अर्थात। यह पूरी तरह से एक ही तल में स्थित है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई आयतन नहीं है। निःसंदेह, आप ऐसी कोई चीज़ नहीं खोज सकते जो अस्तित्व में न हो। लेकिन आइए हार न मानें! हम निम्नलिखित धारणा को स्वीकार कर सकते हैं: एक द्वि-आयामी आकृति का आयतन उसका क्षेत्रफल है। हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।

आपको चाहिये होगा

• कागज की शीट, पेंसिल, शासक, कैलकुलेटर

निर्देश

रूलर और पेंसिल का उपयोग करके कागज के एक टुकड़े पर चित्र बनाएं। त्रिभुज की सावधानीपूर्वक जांच करके, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि इसमें वास्तव में कोई त्रिभुज नहीं है, क्योंकि यह एक समतल पर बनाया गया है। त्रिभुज की भुजाओं को लेबल करें: मान लीजिए कि एक भुजा "a", दूसरी भुजा "b", और तीसरी भुजा "c" है। त्रिभुज के शीर्षों को "ए", "बी" और "सी" अक्षरों से लेबल करें।

त्रिभुज की किसी भी भुजा को रूलर से मापें और परिणाम लिख लें। इसके बाद इसके विपरीत शीर्ष से मापी गई भुजा पर एक लंब स्थापित करें, ऐसा लंब त्रिभुज की ऊंचाई होगी। चित्र में दिखाए गए मामले में, लंबवत "एच" को शीर्ष "ए" से साइड "सी" पर बहाल किया गया है। परिणामी ऊंचाई को रूलर से मापें और माप परिणाम लिख लें।

आपके लिए सटीक लंब को पुनर्स्थापित करना कठिन हो सकता है। इस मामले में, आपको एक अलग फॉर्मूला का उपयोग करना चाहिए। एक रूलर से त्रिभुज की सभी भुजाओं को मापें। इसके बाद, भुजाओं की परिणामी लंबाई को जोड़कर और उनके योग को आधे में विभाजित करके त्रिभुज "पी" की अर्ध-परिधि की गणना करें। अर्ध-परिधि का मान आपके पास होने पर, आप हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए आपको निकालने की आवश्यकता है वर्गमूलनिम्नलिखित से: p(p-a)(p-b)(p-c).

आपने त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल प्राप्त कर लिया है। त्रिभुज का आयतन ज्ञात करने की समस्या हल नहीं हुई है, लेकिन जैसा कि ऊपर बताया गया है, आयतन नहीं है। आप त्रि-आयामी दुनिया में एक ऐसा आयतन पा सकते हैं जो मूलतः एक त्रिकोण है। यदि हम कल्पना करें कि हमारा मूल त्रिभुज एक त्रि-आयामी पिरामिड बन गया है, तो ऐसे पिरामिड का आयतन हमारे द्वारा प्राप्त त्रिभुज के क्षेत्रफल द्वारा उसके आधार की लंबाई का गुणनफल होगा।

कृपया ध्यान

आप जितनी सावधानी से मापेंगे, आपकी गणना उतनी ही सटीक होगी।

स्रोत:

• कैलकुलेटर "एवरीथिंग टू एवरीथिंग" - संदर्भ मूल्यों के लिए एक पोर्टल
• 2019 में त्रिकोण आयतन

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने वाले तीन बिंदु इसके शीर्ष हैं। प्रत्येक समन्वय अक्ष के सापेक्ष उनकी स्थिति को जानकर, आप इसके किसी भी पैरामीटर की गणना कर सकते हैं सपाट आकृति, इसकी परिधि द्वारा सम्मिलित और सीमित वर्ग. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

निर्देश

क्षेत्रफल की गणना के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें त्रिकोण. इसमें आकृति के तीन पक्षों के आयाम शामिल हैं, इसलिए अपनी गणना इससे शुरू करें। प्रत्येक भुजा की लंबाई उसके प्रक्षेपणों की लंबाई के वर्गों के योग के मूल के बराबर होनी चाहिए समन्वय अक्ष. यदि हम निर्देशांक A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) और C(X₃,Y₃,Z₃) को निरूपित करते हैं, तो उनकी भुजाओं की लंबाई इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, एक सहायक चर - सेमीपरिमीटर (पी) का परिचय दें। इस तथ्य से कि यह सभी भुजाओं की लंबाई का आधा योग है: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

एक त्रिभुज इस प्रकार है ज्यामितीय आकृति, जिसमें तीन रेखाएं उन बिंदुओं से जुड़ती हैं जो एक ही रेखा पर नहीं हैं। रेखाओं के जुड़ने वाले बिंदु त्रिभुज के शीर्ष हैं, जिन्हें लैटिन अक्षरों (उदाहरण के लिए, ए, बी, सी) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। त्रिभुज की जुड़ने वाली सीधी रेखाओं को खंड कहा जाता है, जिन्हें आमतौर पर लैटिन अक्षरों द्वारा भी दर्शाया जाता है। निम्नलिखित प्रकार के त्रिभुज प्रतिष्ठित हैं:

• आयताकार.
• कुंठित.
• तीव्र कोणीय.
• बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।
• समबाहु.
• समद्विबाहु।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सामान्य सूत्र

लंबाई और ऊंचाई के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस= ए*एच/2,
जहां a त्रिभुज की भुजा की लंबाई है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, h आधार तक खींची गई ऊंचाई की लंबाई है।

बगुला का सूत्र

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
जहाँ √ वर्गमूल है, p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, a,b,c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है। त्रिभुज की अर्ध-परिधि की गणना सूत्र p=(a+b+c)/2 का उपयोग करके की जा सकती है।

कोण और खंड की लंबाई के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = (ए*बी*पाप(α))/2,
कहाँ बी,सी हैत्रिभुज की भुजाओं की लंबाई, पाप(α) दोनों भुजाओं के बीच के कोण की ज्या है।

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र, जिसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या और तीन भुजाएँ दी गई हैं

एस=पी*आर,
जहाँ p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

तीन भुजाओं और उसके चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस= (ए*बी*सी)/4*आर,
जहाँ a,b,c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है, R त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।

बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक xOy प्रणाली में निर्देशांक हैं, जहां x भुज है, y कोटि है। एक समतल पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली xOy परस्पर लंबवत संख्यात्मक अक्ष Ox और Oy है सामान्य शुरुआतबिंदु O पर संदर्भ। यदि इस तल पर बिंदुओं के निर्देशांक A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) के रूप में दिए गए हैं, तो आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके, जिसे प्राप्त किया गया है वेक्टर उत्पाददो वैक्टर.
एस = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
कहाँ || मॉड्यूल के लिए खड़ा है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री का होता है। एक त्रिभुज में ऐसा केवल एक ही कोण हो सकता है।

एक समकोण त्रिभुज के दो भुजाओं के क्षेत्रफल का सूत्र

एस= ए*बी/2,
जहाँ a,b पैरों की लंबाई है। पैर समकोण से सटे किनारे हैं।

कर्ण और न्यूनकोण के आधार पर समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = ए*बी*सिन(α)/ 2,
जहां ए, बी त्रिभुज के पैर हैं, और पाप (α) उस कोण की ज्या है जिस पर रेखाएं ए, बी प्रतिच्छेद करती हैं।

भुजा और सम्मुख कोण के आधार पर समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = ए*बी/2*टीजी(β),
जहां a, b त्रिभुज के पैर हैं, tan(β) उस कोण की स्पर्शरेखा है जिस पर पैर a, b जुड़े हुए हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें दो होते हैं बराबर भुजाएँ. इन भुजाओं को भुजाएँ कहा जाता है, और दूसरी भुजा को आधार कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्रों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए मूल सूत्र

एस=एच*सी/2,
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, h त्रिभुज की आधार से नीचे की ऊँचाई है।

भुजा और आधार के आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज का सूत्र

एस=(सी/2)* √(ए*ए – सी*सी/4),
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, a समद्विबाहु त्रिभुज की एक भुजा का आकार है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

समबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
एस = (√3*ए*ए)/4,
जहाँ a समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई है।

उपरोक्त सूत्र आपको त्रिभुज के आवश्यक क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देंगे। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको त्रिभुज के प्रकार और उपलब्ध डेटा पर विचार करना होगा जिसका उपयोग गणना के लिए किया जा सकता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप विभिन्न सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। सभी तरीकों में से, सबसे आसान और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका ऊंचाई को आधार की लंबाई से गुणा करना और फिर परिणाम को दो से विभाजित करना है। हालाँकि, यह विधि एकमात्र से बहुत दूर है। नीचे आप पढ़ सकते हैं कि विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

अलग से, हम विशिष्ट प्रकार के त्रिभुजों - आयताकार, समद्विबाहु और समबाहु के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर गौर करेंगे। हम प्रत्येक सूत्र के साथ एक संक्षिप्त व्याख्या देते हैं जो आपको इसका सार समझने में मदद करेगी।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की सार्वभौमिक विधियाँ

नीचे दिए गए सूत्र विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं। हम उनमें से प्रत्येक को समझेंगे:

• ए, बी, सी - जिस आकृति पर हम विचार कर रहे हैं उसकी तीन भुजाओं की लंबाई;
• r वृत्त की त्रिज्या है जिसे हमारे त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है;
• आर वृत्त की त्रिज्या है जिसे इसके चारों ओर वर्णित किया जा सकता है;
• α भुजाओं b और c से बने कोण का परिमाण है;
• β a और c के बीच के कोण का परिमाण है;
• γ भुजाओं a और b से बने कोण का परिमाण है;
• h हमारे त्रिभुज की ऊंचाई है, जो कोण α से भुजा a तक कम है;
• पी - पक्षों ए, बी और सी का आधा योग।

यह तार्किक रूप से स्पष्ट है कि आप इस प्रकार त्रिभुज का क्षेत्रफल क्यों ज्ञात कर सकते हैं। त्रिभुज को आसानी से एक समांतर चतुर्भुज में पूरा किया जा सकता है, जिसमें त्रिभुज की एक भुजा विकर्ण के रूप में कार्य करेगी। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी एक भुजा की लंबाई को उस पर खींची गई ऊंचाई के मान से गुणा करके पाया जाता है। विकर्ण इस सशर्त समांतर चतुर्भुज को 2 समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हमारे मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सहायक समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए।

एस=½ ए बी पाप γ

इस सूत्र के अनुसार, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं अर्थात a और b की लंबाई को उनसे बने कोण की ज्या से गुणा करके निकाला जाता है। यह सूत्र तार्किक रूप से पिछले सूत्र से लिया गया है। यदि हम कोण β से भुजा b तक की ऊँचाई कम करते हैं, तो, गुणों के अनुसार सही त्रिकोण, जब भुजा a की लंबाई को कोण γ की ज्या से गुणा किया जाता है, तो हमें त्रिभुज की ऊंचाई प्राप्त होती है, अर्थात h।

प्रश्नाधीन आकृति का क्षेत्रफल उसमें अंकित की जा सकने वाली वृत्त की आधी त्रिज्या को उसके परिमाप से गुणा करके ज्ञात किया जाता है। दूसरे शब्दों में, हम उल्लिखित वृत्त की अर्ध-परिधि और त्रिज्या का गुणनफल ज्ञात करते हैं।

एस= ए बी सी/4आर

इस सूत्र के अनुसार, हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है वह आकृति की भुजाओं के गुणनफल को उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की 4 त्रिज्याओं से विभाजित करके पाया जा सकता है।

ये सूत्र सार्वभौमिक हैं, क्योंकि ये किसी भी त्रिभुज (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु, आयताकार) का क्षेत्रफल निर्धारित करना संभव बनाते हैं। यह अधिक जटिल गणनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है, जिस पर हम विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।

विशिष्ट गुणों वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस आकृति की ख़ासियत यह है कि इसकी दोनों भुजाएँ एक साथ इसकी ऊँचाई हैं। यदि a और b पैर हैं, और c कर्ण बन जाता है, तो हम क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात करते हैं:

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसकी दो भुजाएँ a लंबाई वाली और एक भुजा b लंबाई वाली है। नतीजतन, इसका क्षेत्रफल कोण γ की ज्या द्वारा भुजा a के वर्ग के गुणनफल को 2 से विभाजित करके निर्धारित किया जा सकता है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसमें सभी भुजाओं की लंबाई a के बराबर होती है और सभी कोणों का परिमाण α होता है। इसकी ऊंचाई भुजा a की लंबाई और 3 के वर्गमूल के गुणनफल के आधे के बराबर है। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए नियमित त्रिकोण, आपको भुजा a के वर्ग को 3 के वर्गमूल से गुणा करना होगा और 4 से विभाजित करना होगा।